Hem > Matematik

Grad med en rationell indikator alternativ 3. Grad av antal: definitioner, beteckning, exempel

Från heltalsexponenter för talet a antyder övergången till en rationell exponent sig själv. Nedan definierar vi en grad med en rationell exponent, och vi kommer att göra det på ett sådant sätt att alla egenskaper för en grad med en heltalsexponent bevaras. Detta är nödvändigt eftersom heltal är en del av rationella tal.

Det är känt att mängden rationella tal består av heltal och bråktal, och var och en bråktal kan representeras som positivt eller negativt vanlig bråkdel. Vi definierade graden med en heltalsexponent i föregående stycke, därför, för att slutföra definitionen av graden med en rationell exponent, måste vi ge betydelsen av graden av talet a med en bråkdel m/n, var mär ett heltal, och n- naturligt. Vi gör det.

Betrakta en grad med en bråkdelsexponent av formen. För att examensegendomen i en examen ska förbli giltig krävs att likställigheten gäller . Om vi ​​tar hänsyn till den resulterande jämlikheten och hur vi bestämde roten till den n:e graden, så är det logiskt att acceptera, förutsatt att med uppgifterna m, n och a uttrycket är vettigt.

Det är lätt att verifiera att alla egenskaper för en grad med en heltalsexponent är giltiga för som (detta görs i avsnittet om egenskaper för en grad med en rationell exponent).

Ovanstående resonemang tillåter oss att göra följande slutsats: om det ges m, n och a uttryck är vettigt, då kraften i talet a med en bråkdel m/n kallas roten n e graden av a till omfattningen m.

Detta påstående för oss nära definitionen av en grad med en bråkdelsexponent. Det återstår bara att beskriva under vad m, n och a uttrycket är vettigt. Beroende på vilka restriktioner som läggs på m, n och a det finns två huvudsakliga tillvägagångssätt.

1. Det enklaste sättet är att införa en begränsning på a, accepterar a≥0 för positivt m och a>0 för negativt m(eftersom kl m≤0 grad 0 m inte bestämd). Då får vi följande definition av graden med bråkexponent.

Definition.

Graden av ett positivt tal a med en bråkdel m/n , var mär en helhet, och när ett naturligt tal som kallas rot n-th bland a till omfattningen m, det är, .



Bråkgraden noll definieras också med den enda varningen att exponenten måste vara positiv.

Definition.

Potensen noll med positiv bråkexponent m/n , var mär ett positivt heltal, och när ett naturligt tal, definierat som .
När graden inte är definierad, det vill säga graden av talet noll med en negativ bråkdelsexponent är inte meningsfull.

Det bör noteras att med en sådan definition av graden med en bråkdelsexponent finns det en nyans: för vissa negativa a och lite m och n uttrycket är vettigt, och vi kasserade dessa fall genom att introducera villkoret a≥0. Det är till exempel vettigt att skriva eller , och definitionen ovan tvingar oss att säga att grader med en bråkdelsexponent av formen är meningslösa, eftersom basen inte får vara negativ.

2. Ett annat tillvägagångssätt för att bestämma graden med en bråkdelsexponent m/n består i separat övervägande av jämna och udda exponenter av roten. Detta tillvägagångssätt kräver ytterligare villkor: grad av a, vars indikator är en reducerad ordinär bråkdel, anses vara en potens av ett tal a, vars indikator är motsvarande irreducerbara fraktion (vikten av detta tillstånd kommer att förklaras nedan). Det vill säga om m/när en irreducerbar bråkdel, då för vilket naturligt tal som helst k examen preliminärt ersätts av .

För även n och positivt m uttryck är vettigt för alla icke-negativa a(roten av en jämn grad av ett negativt tal är inte vettigt), med negativ m siffra a måste fortfarande skilja sig från noll (annars blir det en division med noll). Och för udda n och positivt m siffra a kan vara vad som helst (roten till en udda grad definieras för valfritt reellt tal) och för negativt m siffra a måste skilja sig från noll (så att det inte blir någon division med noll).

Ovanstående resonemang leder oss till en sådan definition av graden med bråkexponent.

Definition.

Låt vara m/n- oreducerbar fraktion mär en helhet, och n- naturligt nummer. För varje reducerbar ordinär bråkdel ersätts graden med . Grad av a med irreducerbar fraktionell exponent m/n- det är för

o valfritt reellt tal a, ett heltal positivt m och udda naturliga n, Till exempel, ;

o alla reella tal som inte är noll a, ett negativt heltal m och udda n, till exempel, ;

o alla icke-negativa tal a, ett heltal positivt m och även n, Till exempel, ;

o något positivt a, ett negativt heltal m och även n, till exempel, ;

o i andra fall är graden med bråkexponent inte definierad, eftersom till exempel grader inte definieras .a-poster vi inte tillmäter någon betydelse, vi definierar graden av noll för positiva bråkexponenter m/n som , för negativa bråkexponenter är graden av talet noll inte definierad.

Som avslutning av detta stycke, låt oss uppmärksamma det faktum att en bråkexponent kan skrivas som en decimalbråkdel eller ett blandat tal, till exempel, . För att beräkna värdena för uttryck av detta slag måste du skriva exponenten som ett vanligt bråk och sedan använda definitionen av graden med en bråkexponent. För dessa exempel har vi och


Efter att graden av antalet har bestämts är det logiskt att tala om examensegenskaper. I den här artikeln kommer vi att ge de grundläggande egenskaperna för graden av ett tal, samtidigt som vi berör alla möjliga exponenter. Här kommer vi att ge bevis på examens alla egenskaper, och även visa hur dessa egenskaper tillämpas vid lösning av exempel.

Sidnavigering.

Egenskaper för grader med naturliga indikatorer

Per definition av en potens med en naturlig exponent är styrkan av ett n produkten av n faktorer, som var och en är lika med a . Baserat på denna definition, och med hjälp av multiplikationsegenskaper riktiga nummer , kan vi erhålla och motivera följande gradegenskaper med naturlig exponent:

  1. huvudegenskapen för graden a m ·a n =a m+n , dess generalisering ;
  2. egenskapen för partiella potenser med samma baser a m:a n =a m−n ;
  3. produktgradsegenskap (a b) n =a n b n , dess förlängning ;
  4. kvotegendom in natura (a:b) n =a n:b n ;
  5. exponentiering (a m) n =a m n , dess generalisering (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 n 2 ... n k;
  6. jämföra grad med noll:
    • om a>0, då a n >0 för vilket naturligt n som helst;
    • om a=0 så är a n=0;
    • Om en<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 om a<0 и показатель степени есть udda nummer 2 m−1, sedan en 2 m−1<0 ;
  7. om a och b är positiva tal och a
  8. om m och n är naturliga tal så att m>n , då vid 0 0 är olikheten a m >a n sann.

Vi noterar omedelbart att alla skriftliga likheter är identisk under de angivna förhållandena, och deras högra och vänstra delar kan bytas ut. Till exempel, huvudegenskapen för bråket a m a n = a m + n med förenkling av uttryck används ofta i formen a m+n = a m a n .

Låt oss nu titta på var och en av dem i detalj.

    Låt oss börja med egenskapen för produkten av två potenser med samma baser, som kallas examens huvudsakliga egenskap: för alla reella tal a och alla naturliga tal m och n är likheten a m ·a n =a m+n sann.

    Låt oss bevisa gradens huvudsakliga egenskap. Genom definitionen av en grad med en naturlig exponent kan produkten av potenser med samma baser av formen a m a n skrivas som en produkt. På grund av multiplikationens egenskaper kan det resulterande uttrycket skrivas som , och denna produkt är styrkan av a med naturlig exponent m+n , det vill säga a m+n . Detta fullbordar beviset.

    Låt oss ge ett exempel som bekräftar gradens huvudegenskap. Låt oss ta grader med samma baser 2 och naturliga potenser 2 och 3, enligt gradens huvudegenskap kan vi skriva likheten 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Låt oss kontrollera dess giltighet, för vilken vi beräknar värdena för uttrycken 2 2 · 2 3 och 2 5 . Utför exponentiering, vi har 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 och 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, eftersom lika värden erhålls, är likheten 2 2 2 3 \u003d 2 5 korrekt, och det bekräftar gradens huvudegenskap.

    Huvudegenskapen för en grad baserad på multiplikationsegenskaperna kan generaliseras till produkten av tre eller flera potenser med samma baser och naturliga exponenter. Så för vilket tal k som helst av naturliga tal n 1 , n 2 , …, n k är likheten a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +...+n k.

    Till exempel, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

    Du kan gå vidare till nästa egenskap av grader med en naturlig indikator - egenskapen för partiella makter med samma grunder: för alla reella tal som inte är noll a och godtyckliga naturliga tal m och n som uppfyller villkoret m>n , är likheten a m:a n =a m−n sann.

    Innan vi ger bevis för denna egenskap, låt oss diskutera innebörden av de ytterligare villkoren i uttalandet. Villkoret a≠0 är nödvändigt för att undvika division med noll, eftersom 0 n =0, och när vi bekantade oss med division var vi överens om att det är omöjligt att dividera med noll. Villkoret m>n införs för att vi inte ska gå längre än naturliga exponenter. För m>n är exponenten faktiskt a m−n naturligt nummer, annars blir det antingen noll (vilket händer när m − n ) eller ett negativt tal (vilket händer när m

    Bevis. Huvudegenskapen för ett bråk gör att vi kan skriva likheten a m−n a n =a (m−n)+n =a m. Av den erhållna likheten a m−n ·a n =a m och därav följer att a m−n är en kvot av potenser av a m och a n . Detta bevisar egenskapen hos partiella makter med samma baser.

    Låt oss ta ett exempel. Låt oss ta två grader med samma baser π och naturliga exponenter 5 och 2, gradens betraktade egenskap motsvarar likheten π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.

    Överväg nu produktgradsegenskap: den naturliga graden n av produkten av två reella tal a och b är lika med produkten av graderna a n och b n , det vill säga (a b) n =a n b n .

    I själva verket, per definition av en grad med en naturlig exponent, har vi . Den sista produkten, baserad på multiplikationens egenskaper, kan skrivas om som , vilket är lika med a n b n .

    Här är ett exempel: .

    Denna egenskap sträcker sig till graden av produkten av tre eller flera faktorer. Det vill säga den naturliga maktegenskapen n för produkten av k faktorer skrivs som (a 1 a 2 ... a k) n =a 1 n a 2 n ... a k n.

    För tydlighetens skull visar vi den här egenskapen med ett exempel. För produkten av tre faktorer i makten 7 har vi .

    Nästa fastighet är naturlig egendom: kvoten för de reella talen a och b , b≠0 till den naturliga potensen n är lika med kvoten av potenserna a n och b n , det vill säga (a:b) n =a n:b n .

    Beviset kan utföras med den tidigare egenskapen. Så (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, och likheten (a:b) n b n =a n antyder att (a:b) n är kvoten av a n dividerat med b n .

    Låt oss skriva den här egenskapen med exemplet med specifika siffror: .

    Låt oss nu rösta exponentieringsegenskap: för alla reella tal a och alla naturliga tal m och n, är makten av a m till potensen av n lika med potensen av a med exponent m·n , det vill säga (a m) n =a m·n .

    Till exempel, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

    Beviset på maktegenskapen i en grad är följande kedja av likheter: .

    Den betraktade egendomen kan utökas till grad inom grad inom grad, och så vidare. Till exempel, för alla naturliga tal p, q, r och s, är likheten . För större tydlighet, här är ett exempel med specifika siffror: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

    Det återstår att uppehålla sig vid egenskaperna för att jämföra grader med en naturlig exponent.

    Vi börjar med att bevisa jämförelseegenskapen för noll och makt med en naturlig exponent.

    Låt oss först motivera att a n >0 för valfri a>0 .

    Produkten av två positiva tal är ett positivt tal, enligt definitionen av multiplikation. Detta faktum och multiplikationens egenskaper tillåter oss att hävda att resultatet av att multiplicera ett valfritt antal positiva tal också blir ett positivt tal. Och styrkan av a med naturlig exponent n är per definition produkten av n faktorer, som var och en är lika med a. Dessa argument tillåter oss att hävda att för varje positiv bas a är graden av n ett positivt tal. I kraft av den bevisade egenskapen 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 och .

    Det är ganska uppenbart att för varje naturligt n med a=0 är graden av ett n noll. Faktum är att 0n =0·0·…·0=0 . Till exempel, 0 3 =0 och 0 762 =0 .

    Låt oss gå vidare till negativa grunder.

    Låt oss börja med fallet när exponenten är ett jämnt tal, beteckna det som 2 m , där m är ett naturligt tal. Sedan . För var och en av produkterna i formen är a·a lika med produkten av modulerna av talen a och a är därför ett positivt tal. Därför kommer produkten också att vara positiv. och grad a 2 m. Här är exempel: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 och .

    Slutligen, när basen av a är ett negativt tal och exponenten är ett udda tal 2 m−1, då . Alla produkter a·a är positiva tal, produkten av dessa positiva tal är också positiv, och dess multiplikation med det återstående negativa talet a resulterar i ett negativt tal. På grund av denna egenskap (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

    Vi övergår till egenskapen att jämföra grader med samma naturliga exponenter, som har följande formulering: av två grader med samma naturliga exponenter är n mindre än den vars bas är mindre och mer än den vars bas är större. Låt oss bevisa det.

    Ojämlikhet a n egenskaper hos ojämlikheter ojämlikheten bevisas av formen a n (2,2) 7 och .

    Det återstår att bevisa den sista av de listade egenskaperna hos krafter med naturliga exponenter. Låt oss formulera det. Av de två graderna med naturliga indikatorer och samma positiva baser, mindre än en, är graden större, vars indikator är mindre; och av två grader med naturliga indikatorer och samma baser större än en, graden vars indikator är större är större. Vi vänder oss till beviset för denna egenskap.

    Låt oss bevisa det för m>n och 0 0 på grund av initialvillkoret m>n , varav det följer att vid 0

    Det återstår att bevisa den andra delen av fastigheten. Låt oss bevisa att för m>n och a>1 är a m >a n sant. Skillnaden a m −a n efter att ha tagit ett n inom parentes har formen a n ·(a m−n −1) . Denna produkt är positiv, eftersom för a>1 graden av a n är ett positivt tal, och skillnaden a m−n −1 är ett positivt tal, eftersom m−n>0 på grund av initialtillståndet, och för a>1, graden av en m−n är större än en . Därför a m − a n >0 och a m >a n , vilket skulle bevisas. Denna egenskap illustreras av ojämlikheten 3 7 >3 2 .

Egenskaper för grader med heltalsexponenter

Eftersom positiva heltal är naturliga tal, så sammanfaller alla egenskaper hos potenser med positiva heltalsexponenter exakt med egenskaperna hos potenser med naturliga exponenter listade och bevisade i föregående stycke.

Graden med en negativ heltalsexponent, såväl som graden med en nollexponent, definierade vi på ett sådant sätt att alla egenskaper hos grader med naturliga exponenter uttryckta med likheter förblir giltiga. Därför är alla dessa egenskaper giltiga både för nollexponenter och för negativa exponenter, medan, naturligtvis, gradernas baser är icke-noll.

Så för alla reella och icke-nolltal a och b, såväl som alla heltal m och n, är följande sant egenskaper hos grader med heltalsexponenter:

  1. a m a n \u003d a m + n;
  2. a m: a n = a m−n ;
  3. (a b) n = a n b n;
  4. (a:b) n =a n:bn;
  5. (a m) n = a m n;
  6. om n är ett positivt heltal är a och b positiva tal och a b-n;
  7. om m och n är heltal och m>n , då vid 0 1 är ojämlikheten a m >a n uppfylld.

För a=0 är potenserna a m och a n vettiga endast när både m och n är positiva heltal, det vill säga naturliga tal. De egenskaper som just skrivits är alltså giltiga för de fall då a=0 och talen m och n är positiva heltal.

Det är inte svårt att bevisa var och en av dessa egenskaper, för detta räcker det att använda definitionerna av graden med en naturlig och heltalsexponent, såväl som egenskaperna för åtgärder med reella tal. Som ett exempel, låt oss bevisa att maktegenskapen gäller för både positiva heltal och icke-positiva heltal. För att göra detta måste vi visa att om p är noll eller ett naturligt tal och q är noll eller ett naturligt tal, då är likheterna (a p) q =a p q , (a −p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) och (a−p)−q =a (−p) (−q). Vi gör det.

För positiva p och q bevisades likheten (a p) q =a p·q i föregående underavsnitt. Om p=0 så har vi (a 0) q =1 q =1 och a 0 q =a 0 =1 , varav (a 0) q =a 0 q . På liknande sätt, om q=0, då (a p) 0 =1 och a p 0 = a 0 = 1, varav (a p) 0 = a p 0 . Om både p=0 och q=0, då (a 0) 0 =1 0 =1 och a 0 0 =a 0 =1 , varav (a 0) 0 =a 0 0 .

Låt oss nu bevisa att (a −p) q =a (−p) q . Per definition av en grad med en negativ heltalsexponent , alltså . Genom egenskapen hos kvoten i graden har vi . Eftersom 1 p =1·1·…·1=1 och , då . Det sista uttrycket är per definition en potens av formen a −(p q) , som i kraft av multiplikationsreglerna kan skrivas som en (−p) q .

Liknande .

Och .

Enligt samma princip kan man bevisa alla andra egenskaper hos en grad med en heltalsexponent, skriven i form av likheter.

I den näst sista av de registrerade egenskaperna är det värt att uppehålla sig vid beviset för olikheten a −n >b −n , vilket är sant för alla negativa heltal −n och alla positiva a och b för vilka villkoret a . Eftersom genom villkor a 0 . Produkten a n · b n är också positiv som produkten av positiva tal a n och b n . Då är det resulterande bråket positivt som en kvot av positiva tal b n − a n och a n b n . Därav, varifrån a −n >b −n , som skulle bevisas.

Den sista egenskapen för grader med heltalsexponenter bevisas på samma sätt som den analoga egenskapen för grader med naturliga exponenter.

Egenskaper hos potenser med rationella exponenter

Vi definierade graden med en bråkdelsexponent genom att utöka egenskaperna för en grad med en heltalsexponent till den. Med andra ord, grader med bråkexponenter har samma egenskaper som grader med heltalsexponenter. Nämligen:

Beviset för egenskaperna hos grader med bråkexponenter baseras på definitionen av en grad med bråkexponent, på och på egenskaperna hos en grad med heltalsexponent. Låt oss ge bevis.

Per definition av graden med en bråkdelsexponent och , då . Egenskaperna för den aritmetiska roten gör att vi kan skriva följande likheter. Vidare, genom att använda egenskapen för graden med en heltalsexponent, får vi , varifrån vi, genom definitionen av en grad med en bråkdelsexponent, har , och exponenten för den erhållna graden kan omvandlas enligt följande: . Detta fullbordar beviset.

Den andra egenskapen hos potenser med bråkexponenter bevisas på exakt samma sätt:

Resten av jämlikheterna bevisas av liknande principer:

Vi vänder oss till beviset för nästa egendom. Låt oss bevisa att för alla positiva a och b , a b p. Låt oss skriva ner rationellt tal p som m/n , där m är ett heltal och n är ett naturligt tal. Villkor sid<0 и p>0 i detta fall kommer att motsvara villkoren m<0 и m>0 respektive. För m>0 och a

På samma sätt, för m<0 имеем a m >b m, varifrån, det vill säga, och a p >b p.

Det återstår att bevisa den sista av de listade fastigheterna. Låt oss bevisa att för rationella tal p och q, p>q för 0 0 – olikhet a p >a q . Vi kan alltid reducera de rationella talen p och q till en gemensam nämnare, låt oss få vanliga bråk och, där m 1 och m 2 är heltal, och n är ett naturligt tal. I detta fall kommer villkoret p>q att motsvara villkoret m 1 >m 2, som följer av . Sedan genom egenskapen att jämföra potenser med samma baser och naturliga exponenter vid 0 1 – ojämlikhet a m 1 >a m 2 . Dessa ojämlikheter i fråga om rötternas egenskaper kan skrivas om, respektive, som och . Och definitionen av en examen med en rationell exponent tillåter oss att gå över till ojämlikheterna och resp. Av detta drar vi den slutliga slutsatsen: för p>q och 0 0 – olikhet a p >a q .

Egenskaper för grader med irrationella exponenter

Av hur en grad med en irrationell exponent definieras kan man dra slutsatsen att den har alla egenskaper hos grader med rationella exponenter. Så för alla a>0 , b>0 och irrationella tal p och q gäller följande egenskaper hos grader med irrationella indikatorer :

  1. a p a q = a p + q;
  2. a p:a q = a p−q;
  3. (ab) p = apbp;
  4. (a:b) p =a p:bp;
  5. (a p) q = a pq;
  6. för alla positiva tal a och b , a 0 ojämlikheten a sid b p;
  7. för irrationella tal p och q, p>q vid 0 0 – olikhet a p >a q .

Av detta kan vi dra slutsatsen att potenser med eventuella reella exponenter p och q för a>0 har samma egenskaper.

Bibliografi.

  • Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematik Zh lärobok för 5 celler. läroanstalter.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: en lärobok för 7 celler. läroanstalter.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: lärobok för 8 celler. läroanstalter.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: en lärobok för 9 celler. läroanstalter.
  • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra och början av analys: En lärobok för årskurserna 10-11 av allmänna utbildningsinstitutioner.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (en manual för sökande till tekniska skolor).

MBOU "Sidorskaya

grundskola»

Utveckling av en planöversikt öppen lektion

i algebra i årskurs 11 på ämnet:

Förberedd och genomförd

mattelärare

Iskhakova E.F.

Översikt över en öppen lektion i algebra i årskurs 11.

Ämne : "Examen med en rationell exponent".

Lektionstyp : Lära sig nytt material

Lektionens mål:

    Att bekanta studenter med begreppet examen med en rationell indikator och dess huvudsakliga egenskaper, baserat på tidigare studerat material (en examen med en heltalsindikator).

    Utveckla beräkningsfärdigheter och förmågan att konvertera och jämföra tal med en rationell exponent.

    Att odla matematisk läskunnighet och matematiskt intresse hos elever.

Utrustning : Uppgiftskort, en elevs presentation av en examen med en heltalsindikator, en lärares presentation av en examen med en rationell indikator, en bärbar dator, en multimediaprojektor, en skärm.

Under lektionerna:

    Att organisera tid.

Kontrollera assimileringen av ämnet som täcks av individuella uppgiftskort.

Uppgift nummer 1.

=2;

B) = x + 5;

Lös systemet irrationella ekvationer: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Uppgift nummer 2.

Lös den irrationella ekvationen: = - 3;

B) = x - 2;

Lös ett system med irrationella ekvationer: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

    Presentation av ämnet och målen för lektionen.

Ämnet för dagens lektion Examen med rationell exponent».

    Förklaring av nytt material på exemplet med tidigare studerat.

Du är redan bekant med begreppet grad med en heltalsexponent. Vem kan hjälpa mig att komma ihåg dem?

Upprepning med presentation Grad med heltalsexponent».

För alla tal är a , b och alla heltal m och n likheter sanna:

a m * a n = a m + n;

a m: a n = a m-n (a ≠ 0);

(am) n = a mn;

(a b) n = a n * b n;

(a/b) n = a n/b n (b ≠ 0);

ai = a; a 0 = 1(a ≠ 0)

Idag kommer vi att generalisera begreppet graden av ett tal och ge mening åt uttryck som har en bråkdelsexponent. Låt oss presentera definition grader med en rationell indikator (Presentation "Grad med en rationell indikator"):

Graden av a > 0 med en rationell exponent r = , var m är ett heltal, och n - naturlig ( n > 1), ringde numret m .

Så per definition förstår vi det = m .

Låt oss försöka tillämpa denna definition när vi utför en uppgift.

EXEMPEL #1

Jag uttrycker uttrycket som roten till ett tal:

MEN) B) PÅ) .

Låt oss nu försöka tillämpa denna definition omvänt

II Uttryck uttrycket som en potens med en rationell exponent:

MEN) 2 B) PÅ) 5 .

Potensen 0 definieras endast för positiva exponenter.

0 r= 0 för någon r> 0.

Med hjälp av denna definition, hemma du kommer att slutföra #428 och #429.

Låt oss nu visa att ovanstående definition av en grad med en rationell exponent bevarar de grundläggande egenskaperna hos grader som är sanna för alla exponenter.

För alla rationella tal r och s och alla positiva a och b är likheterna sanna:

1 0 . a r a s =a r+s ;

EXEMPEL: *

tjugo . a r: a s = a r-s;

EXEMPEL: :

3 0 . (a r) s = a rs;

EXEMPEL: ( -2/3

4 0 . ( ab) r = a r b r ; 5 0 . ( = .

EXEMPEL: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

EXEMPEL på användning av flera fastigheter samtidigt: * : .

    Fizkultminutka.

Vi satte pennor på skrivbordet, rätade på ryggarna och nu sträcker vi oss framåt, vi vill röra vid tavlan. Och nu lyfte vi och lutade oss åt höger, åt vänster, framåt, bakåt. De visade mig pennorna och visa mig nu hur dina fingrar kan dansa.

    Arbeta med materialet

Vi noterar ytterligare två egenskaper hos potenser med rationella exponenter:

60 . Låt vara r är ett rationellt tal och 0< a < b . Тогда

a r < b r på r> 0,

a r < b r på r< 0.

7 0 . För alla rationella talr och s från ojämlikhet r> s följer det

a r> a r för en > 1,

a r < а r vid 0< а < 1.

EXEMPEL: Jämför siffror:

Och ; 2 300 och 3 200 .

    Lektionssammanfattning:

Idag i lektionen kom vi ihåg egenskaperna för en grad med en heltalsexponent, lärde oss definitionen och grundläggande egenskaper för en grad med en rationell exponent, övervägde tillämpningen av denna teoretiskt material i praktiken under träning. Jag vill uppmärksamma dig på att ämnet "Examen med en rationell indikator" är obligatoriskt i ANVÄND uppdrag. I förberedelse läxa ( nr 428 och nr 429

Videolektionen "Grad med en rationell indikator" innehåller en visuell utbildningsmaterial att undervisa i detta ämne. Videolektionen innehåller information om begreppet en examen med en rationell exponent, egenskaper, sådana grader, samt exempel som beskriver användningen av utbildningsmaterial för att lösa praktiska problem. Uppgiften med den här videolektionen är att tydligt och tydligt presentera utbildningsmaterialet, för att underlätta dess utveckling och memorering av eleverna, för att bilda förmågan att lösa problem med hjälp av de lärda begreppen.

De främsta fördelarna med videolektionen är förmågan att göra visuella transformationer och beräkningar, möjligheten att använda animationseffekter för att förbättra inlärningseffektiviteten. Röstakompanjemang hjälper till att utveckla korrekt matematiskt tal och gör det också möjligt att ersätta lärarens förklaring, vilket frigör honom för individuellt arbete.

Handledningsvideon börjar med att introducera ämnet. Länka studie nytt ämne med det tidigare studerade materialet föreslås det att komma ihåg att n √ a annars betecknas med a 1/n för naturligt n och positivt a. Denna representation av n-roten visas på skärmen. Vidare föreslås att man överväger vad uttrycket a m/n betyder, där a är ett positivt tal och m/n är en bråkdel. Definitionen av graden markerad i rutan ges med en rationell exponent som a m/n = n √ a m . Det noteras att n kan vara ett naturligt tal och m - ett heltal.

Efter att ha bestämt graden med en rationell exponent, avslöjas dess betydelse genom exempel: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . Ett exempel visas också där en potens som representeras av en decimal omvandlas till ett gemensamt bråktal som ska representeras som en rot: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 och ett exempel från negativt värde grader: 3 -1/8 \u003d 8 √3 -1.

Separat indikeras ett särdrag för det speciella fallet när gradens bas är noll. Det noteras att denna grad endast är meningsfull med en positiv bråkdelsexponent. I detta fall är dess värde lika med noll: 0 m/n =0.

En annan egenskap hos graden med en rationell exponent noteras - att graden med en bråkexponent inte kan betraktas med en bråkdelsexponent. Exempel på felaktig notering av graden ges: (-9) -3/7 , (-3) -1/3 , 0 -1/5 .

Längre fram i videolektionen beaktas egenskaperna hos en examen med en rationell exponent. Det noteras att egenskaperna för en examen med heltalsexponent också kommer att gälla för en examen med en rationell exponent. Det föreslås att återkalla listan över fastigheter som också är giltiga i detta fall:

  1. När potenser multipliceras med samma baser, adderas deras indikatorer: a p a q \u003d a p + q.
  2. Graddelningen med samma baser reduceras till en grad med en given bas och skillnaden i exponenter: a p:a q =a p-q .
  3. Om vi ​​höjer graden till en viss grad, så får vi som ett resultat en grad med den givna basen och produkten av exponenterna: (a p) q =a pq .

Alla dessa egenskaper gäller för potenser med rationella exponenter p, q och positiv bas a>0. Gradtransformationer förblir också sanna när du öppnar parenteser:

  1. (ab) p =a p b p - att höja en produkt av två tal till en viss potens med en rationell exponent reduceras till en produkt av tal, som var och en höjs till en given potens.
  2. (a/b) p =a p /b p - exponentiering med en rationell exponent för ett bråk reduceras till ett bråk vars täljare och nämnare höjs till den givna potensen.

Videohandledningen diskuterar lösningen av exempel som använder de övervägda egenskaperna hos grader med en rationell exponent. I det första exemplet föreslås det att hitta värdet på ett uttryck som innehåller variablerna x till en bråkpotens: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Trots komplexiteten i uttrycket, med hjälp av egenskaperna hos grader, löses det ganska enkelt. Lösningen av uppgiften börjar med en förenkling av uttrycket, som använder regeln att höja en grad med en rationell exponent till en potens, samt multiplicera grader med samma bas. Efter att ha ersatt det givna värdet x=8 i det förenklade uttrycket x 1/3 +48 är det lätt att få värdet - 50.

I det andra exemplet krävs det att man reducerar ett bråk vars täljare och nämnare innehåller potenser med en rationell exponent. Med hjälp av gradens egenskaper väljer vi faktorn x 1/3 från skillnaden, som sedan reduceras i täljaren och nämnaren, och med hjälp av formeln för skillnaden mellan kvadrater delas täljaren upp i faktorer, vilket ger fler reduktioner av samma faktorer i täljaren och nämnaren. Resultatet av sådana transformationer är en kort bråkdel x 1/4 +3.

Videolektionen "Examen med en rationell indikator" kan användas istället för att läraren förklarar det nya ämnet för lektionen. Denna manual innehåller också tillräcklig information för Självstudie studerande. Materialet kan vara användbart vid distansundervisning.

Vi rekommenderar också

Läser in...Läser in...