Det som kallas kvadratrot. Hur man hittar kvadratroten av ett tal manuellt

Matematik föddes när en person blev medveten om sig själv och började positionera sig själv som en autonom enhet i världen. Viljan att mäta, jämföra, beräkna vad som omger dig är det som ligger till grund för en av våra dagars grundläggande vetenskaper. Till en början var dessa delar av elementär matematik, som gjorde det möjligt att associera siffror med deras fysiska uttryck, senare började slutsatserna presenteras endast teoretiskt (på grund av deras abstrakthet), men efter ett tag, som en vetenskapsman uttryckte det, " matematik nådde taket av komplexitet när alla tal." Begreppet "kvadratrot" dök upp vid en tidpunkt då det lätt kunde stödjas av empiriska data, som gick utanför beräkningarnas plan.

Hur allt började

Det första omnämnandet av roten, som på det här ögonblicket betecknad som √, registrerades i de babyloniska matematikernas skrifter, som lade grunden för modern aritmetik. Naturligtvis såg de ut lite som den nuvarande formen - forskarna under dessa år använde först skrymmande tabletter. Men under det andra årtusendet f.Kr. e. de kom på en ungefärlig beräkningsformel som visade hur man tar kvadratroten. Bilden nedan visar en sten på vilken babyloniska forskare ristade utdataprocessen √2, och den visade sig vara så korrekt att avvikelsen i svaret endast hittades i den tionde decimalen.

Dessutom användes roten om det var nödvändigt att hitta sidan på en triangel, förutsatt att de andra två var kända. Tja, när man löser andragradsekvationer finns det ingen flykt från att extrahera roten.

Tillsammans med de babyloniska verken studerades föremålet för artikeln också i det kinesiska verket "Mathematics in Nine Books", och de gamla grekerna kom till slutsatsen att vilket tal som helst från vilket roten inte extraheras utan en rest ger ett irrationellt resultat .

Ursprunget till denna term är associerad med den arabiska representationen av numret: forntida forskare trodde att kvadraten på ett godtyckligt tal växer från roten, som en växt. På latin låter detta ord som radix (man kan spåra ett mönster - allt som har en "rot" semantisk belastning är konsonant, vare sig det är rädisa eller ischias).

Forskare från efterföljande generationer plockade upp denna idé och betecknade den som Rx. Till exempel, på 1400-talet, för att indikera att kvadratroten är hämtad från ett godtyckligt tal a, skrev de R 2 a. Vanlig modernt utseende"tick" √ dök upp först på 1600-talet tack vare Rene Descartes.

Våra dagar

Matematiskt är kvadratroten ur y talet z vars kvadrat är y. Med andra ord är z 2 =y ekvivalent med √y=z. Denna definition är dock endast relevant för den aritmetiska roten, eftersom den antyder ett icke-negativt värde för uttrycket. Med andra ord, √y=z, där z är större än eller lika med 0.

I allmänhet, vilket är giltigt för att bestämma den algebraiska roten, kan uttryckets värde vara antingen positivt eller negativt. På grund av det faktum att z 2 =y och (-z) 2 =y har vi alltså: √y=±z eller √y=|z|.

På grund av det faktum att kärleken till matematik bara har ökat med vetenskapens utveckling, finns det olika manifestationer av tillgivenhet för det, inte uttryckt i torra beräkningar. Till exempel, tillsammans med sådana intressanta händelser som Pi-dagen, firas också kvadratrotens helgdagar. De firas nio gånger på hundra år, och bestäms enligt följande princip: siffrorna som anger dagen och månaden i ordning måste vara kvadratroten av året. Ja, in nästa gång Denna högtid kommer att firas den 4 april 2016.

Egenskaper för kvadratroten på fältet R

Nästan alla matematiska uttryck har en geometrisk grund, detta öde passerade inte och √y, som definieras som sidan av en kvadrat med area y.

Hur hittar man roten till ett tal?

Det finns flera beräkningsalgoritmer. Den enklaste, men samtidigt ganska besvärliga, är den vanliga aritmetiska beräkningen, som är följande:

1) från talet vars rot vi behöver subtraheras udda tal i tur och ordning - tills resten av utdata är mindre än det subtraherade eller jämna noll-. Antalet drag blir så småningom det önskade antalet. Till exempel beräkningen roten ur av 25:

Nästa udda nummer är 11, resten är: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

För sådana fall finns det en Taylor-serieexpansion:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , där n tar värden från 0 till

+∞ och |y|≤1.

Grafisk representation av funktionen z=√y

Betrakta en elementär funktion z=√y i fältet för reella tal R, där y är större än eller lika med noll. Hennes diagram ser ut så här:

Kurvan växer från origo och korsar nödvändigtvis punkten (1; 1).

Egenskaper för funktionen z=√y i fältet för reella tal R

1. Definitionsdomänen för den betraktade funktionen är intervallet från noll till plus oändlighet (noll ingår).

2. Värdeintervallet för den betraktade funktionen är intervallet från noll till plus oändlighet (noll ingår igen).

3. Funktionen tar minimivärdet (0) endast vid punkten (0; 0). Det finns inget maxvärde.

4. Funktionen z=√y är varken jämn eller udda.

5. Funktionen z=√y är inte periodisk.

6. Det finns bara en skärningspunkt för grafen för funktionen z=√y med koordinataxlarna: (0; 0).

7. Skärningspunkten för grafen för funktionen z=√y är också nollpunkten för denna funktion.

8. Funktionen z=√y växer kontinuerligt.

9. Funktionen z=√y tar bara positiva värden, därför upptar dess graf den första koordinatvinkeln.

Alternativ för att visa funktionen z=√y

Inom matematiken, för att underlätta beräkningen av komplexa uttryck, används ibland kraftformen att skriva kvadratroten: √y=y 1/2. Det här alternativet är praktiskt, till exempel för att höja en funktion till en potens: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Denna metod är också en bra representation för differentiering med integration, eftersom kvadratroten tack vare den representeras av en vanlig potensfunktion.

Och i programmering är ersättningen för symbolen √ kombinationen av bokstäverna sqrt.

Det är värt att notera att i detta område är kvadratroten mycket efterfrågad, eftersom den är en del av de flesta geometriska formler som är nödvändiga för beräkningar. Själva räknealgoritmen är ganska komplicerad och bygger på rekursion (en funktion som kallar sig själv).

Kvadratroten i det komplexa fältet C

I stort sett var det ämnet för denna artikel som stimulerade upptäckten av området komplexa tal C, eftersom matematiker hemsöktes av frågan om att få en jämn gradsrot från ett negativt tal. Så här såg den imaginära enheten i ut, som kännetecknas av en mycket intressant egenskap: dess kvadrat är -1. Tack vare detta fick andragradsekvationer och med en negativ diskriminant en lösning. I C, för kvadratroten, är samma egenskaper relevanta som i R, det enda är att begränsningarna för rotuttrycket tas bort.

Arean av en kvadratisk tomt är 81 dm². Hitta hans sida. Antag att längden på sidan av kvadraten är X decimeter. Då är tomtens yta X² kvadratdecimeter. Eftersom, enligt villkoret, denna yta är 81 dm², alltså X² = 81. Längden på sidan av en kvadrat är ett positivt tal. Ett positivt tal vars kvadrat är 81 är talet 9. När man löste problemet krävdes det att man hittade talet x, vars kvadrat är 81, det vill säga lösa ekvationen X² = 81. Denna ekvation har två rötter: x 1 = 9 och x 2 \u003d - 9, eftersom 9² \u003d 81 och (- 9)² \u003d 81. Båda talen 9 och - 9 kallas kvadratrötterna av talet 81.

Observera att en av kvadratrötterna X= 9 är ett positivt tal. Det kallas den aritmetiska kvadratroten ur 81 och betecknas √81, så √81 = 9.

Aritmetisk kvadratrot ur ett tal aär ett icke-negativt tal vars kvadrat är lika med a.

Till exempel är talen 6 och - 6 kvadratrötter av 36. I det här fallet är talet 6 den aritmetiska kvadratroten av 36, eftersom 6 är ett icke-negativt tal och 6² \u003d 36. Talet - 6 är inte aritmetisk rot.

Aritmetisk kvadratrot ur ett tal a betecknas enligt följande: √ a.

Tecknet kallas det aritmetiska kvadratrottecknet; a kallas ett rotuttryck. Uttryck √ a läsa så här: den aritmetiska kvadratroten ur ett tal a. Till exempel, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. I de fall där det är tydligt att vi talar om en aritmetisk rot, säger de kort: "kvadratroten ur a«.

Att hitta kvadratroten ur ett tal kallas att ta kvadratroten. Denna åtgärd är det omvända till kvadrering.

Vilket tal som helst kan kvadreras, men kvadratrötter kan inte tas från vilket tal som helst. Till exempel är det omöjligt att extrahera kvadratroten av talet - 4. Om en sådan rot fanns, beteckna den med bokstaven X, vi skulle få fel likhet x² \u003d - 4, eftersom det finns ett icke-negativt tal till vänster och ett negativt tal till höger.

Uttryck √ a bara vettigt när a ≥ 0. Definitionen av kvadratroten kan kortfattat skrivas som: √ a ≥ 0, (√a)² = a. Jämlikhet (√ a)² = a giltig för a ≥ 0. Alltså för att se till att kvadratroten av ett icke-negativt tal a lika b, d.v.s. att √ a =b måste du kontrollera att följande två villkor är uppfyllda: b ≥ 0, b² = a.

Kvadratroten ur en bråkdel

Låt oss räkna ut. Observera att √25 = 5, √36 = 6, och kontrollera om likheten håller.

Som och , då är jämställdheten sann. Så, .

Sats: Om en a≥ 0 och b> 0, det vill säga roten till bråket lika med roten från täljaren dividerat med roten av nämnaren. Det krävs för att bevisa att: och .

Sedan √ a≥0 och √ b>0, då.

Genom egenskapen att höja en bråkdel till en potens och bestämma kvadratroten satsen är bevisad. Låt oss titta på några exempel.

Beräkna , enligt den beprövade satsen .

Andra exemplet: Bevisa det , om a ≤ 0, b < 0. .

Ett annat exempel: Beräkna .

.

Kvadratrotstransformation

Ta ut multiplikatorn under rotens tecken. Låt ett uttryck ges. Om en a≥ 0 och b≥ 0, sedan genom satsen på produktens rot kan vi skriva:

En sådan omvandling kallas att faktorisera rottecknet. Betrakta ett exempel;

Beräkna kl X= 2. Direkt substitution X= 2 i det radikala uttrycket leder till komplicerade beräkningar. Dessa beräkningar kan förenklas om vi först tar bort faktorerna under rottecknet: . Genom att nu ersätta x = 2 får vi:.

Så när man tar bort faktorn under rottecknet, representeras det radikala uttrycket som en produkt där en eller flera faktorer är kvadrater av icke-negativa tal. Rotproduktsatsen tillämpas sedan och roten av varje faktor tas. Betrakta ett exempel: Förenkla uttrycket A = √8 + √18 - 4√2 genom att ta bort faktorerna under rottecknet i de två första termerna, vi får:. Vi betonar att jämställdheten gäller endast när a≥ 0 och b≥ 0. om a < 0, то .

Exponentiering innebär att ett givet tal måste multipliceras med sig självt ett visst antal gånger. Att till exempel höja siffran 2 till femte potensen skulle se ut så här:

Talet som måste multipliceras med sig självt kallas gradens bas, och antalet multiplikationer är dess exponent. Att höja till en potens motsvarar två motsatta åtgärder: hitta exponenten och hitta basen.

rotextraktion

Att hitta basen för en exponent kallas rotextraktion. Det betyder att du måste hitta talet som måste höjas till n för att få det givna.

Till exempel är det nödvändigt att extrahera den 4:e roten av talet 16, d.v.s. för att avgöra måste du multiplicera med sig själv 4 gånger för att få 16 till slut. Detta nummer är 2.

Sådan aritmetisk operation skrivs med ett speciellt tecken - radikalen: √, ovanför vilken exponenten anges till vänster.

aritmetisk rot

Om exponenten är jämnt nummer, då kan roten vara två tal med samma modul, men med - positiva och negativa. Så i det givna exemplet kan det vara nummer 2 och -2.

Uttrycket ska vara entydigt, d.v.s. har ett resultat. För detta introducerades begreppet en aritmetisk rot, som bara kan vara ett positivt tal. En aritmetisk rot kan inte vara mindre än noll.

I exemplet som diskuterats ovan kommer alltså endast talet 2 att vara den aritmetiska roten, och det andra svaret - -2 - exkluderas per definition.

Roten ur

För vissa grader som används oftare än andra finns speciella namn som ursprungligen förknippas med geometri. Det handlar om om att höja sig till andra och tredje makten.

Till andra potens, längden på sidan av kvadraten när du behöver beräkna dess area. Om du behöver hitta volymen på en kub, höjs längden på dess kant till tredje potens. Därför kallas det kvadraten på talet, och den tredje kallas kuben.

Följaktligen kallas roten av den andra graden kvadraten, och roten av den tredje graden kallas kubik. Kvadratroten är den enda av rötterna som inte har en exponent över radikalen när den skrivs:

Så den aritmetiska kvadratroten av ett givet tal är ett positivt tal som måste höjas till andra potensen för att få det givna talet.

Det är dags att demontera rotextraktionsmetoder. De är baserade på egenskaperna hos rötterna, i synnerhet på likheten, vilket är sant för alla icke-negativa tal b.

Nedan kommer vi i sin tur att överväga de viktigaste metoderna för att extrahera rötter.

Låt oss börja med det enklaste fallet - extrahera rötter från naturliga tal med hjälp av en kvadrattabell, en tabell med kuber, etc.

Om tabellerna med rutor, kuber osv. inte är till hands, är det logiskt att använda metoden för att extrahera roten, vilket innebär att dekomponera rotnumret i enkla faktorer.

Separat är det värt att uppehålla sig vid, vilket är möjligt för rötter med udda exponenter.

Slutligen, överväg en metod som gör att du sekventiellt kan hitta siffrorna för rotens värde.

Låt oss börja.

Använda en tabell med kvadrater, en tabell med kuber, etc.

I de flesta enkla fall tabeller av rutor, kuber, etc. tillåter extrahering av rötter. Vilka är dessa tabeller?

Tabellen med kvadrater av heltal från 0 till 99 inklusive (visas nedan) består av två zoner. Den första zonen i tabellen ligger på en grå bakgrund, den använder urvalet viss sträng och en specifik kolumn låter dig göra ett tal från 0 till 99 . Låt oss till exempel välja en rad med 8 tiotal och en kolumn med 3 enheter, med detta fixade vi siffran 83. Den andra zonen upptar resten av tabellen. Var och en av dess celler ligger i skärningspunkten mellan en viss rad och en viss kolumn och innehåller kvadraten på motsvarande tal från 0 till 99 . I skärningspunkten mellan vår valda rad med 8 tiotal och kolumn 3 i en, finns en cell med numret 6889, vilket är kvadraten på talet 83.

Tabeller med kuber, tabeller med fjärde potenser av tal från 0 till 99 och så vidare liknar kvadrattabellen, bara de innehåller kuber, fjärde potenser etc. i den andra zonen. motsvarande nummer.

Tabeller över kvadrater, kuber, fjärde potenser osv. låter dig extrahera kvadratrötter, kubrötter, fjärde rötter osv. från siffrorna i dessa tabeller. Låt oss förklara principen för deras tillämpning vid utvinning av rötter.

Låt oss säga att vi behöver extrahera den n:te roten av talet a, medan talet a finns i tabellen med n:te grader. Enligt denna tabell finner vi talet b så att a=b n . Sedan , därför kommer talet b att vara den önskade roten av den n:te graden.

Som ett exempel, låt oss visa hur kubroten från 19683 extraheras med hjälp av kubtabellen. Vi hittar talet 19 683 i kubtabellen, från det finner vi att detta tal är en kub av talet 27, därför, .

Det är tydligt att tabeller med n:te grader är mycket bekväma när man utvinner rötter. De finns dock ofta inte till hands och deras sammanställning kräver en viss tid. Dessutom är det ofta nödvändigt att extrahera rötter från tal som inte finns i motsvarande tabeller. I dessa fall måste man tillgripa andra metoder för att utvinna rötterna.

Nedbrytning av rottalet till primtalsfaktorer

Tillräckligt bekväm väg, som gör det möjligt att extrahera roten från ett naturligt tal (om, naturligtvis, roten extraheras) är nedbrytningen av rotnumret till primtalsfaktorer. Hans essensen är som följer: efter är det ganska lätt att representera det som en grad med önskad indikator, vilket gör att du kan få värdet på roten. Låt oss förklara denna punkt.

Låt roten av den n:e graden extraheras från ett naturligt tal a, och dess värde är lika med b. I detta fall är likheten a=b n sann. Nummer b som vilket som helst naturligt nummer kan representeras som en produkt av alla dess primfaktorer p 1 , p 2 , ..., p m i formen p 1 p 2 ... p m , och rottalet a i detta fall representeras som (p 1 p 2 ... p m) n. Eftersom sönderdelningen av talet till primtal är unik kommer sönderdelningen av rottalet a till primtal se ut som (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , vilket gör det möjligt att beräkna rotens värde som .

Observera att om faktoriseringen av rottalet a inte kan representeras i formen (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , så extraheras inte roten av den n:e graden från ett sådant tal a helt.

Låt oss ta itu med detta när vi löser exempel.

Exempel.

Ta kvadratroten av 144 .

Beslut.

Om vi ​​vänder oss till kvadrattabellen som ges i föregående stycke, framgår det tydligt att 144=12 2 , av vilken det framgår att kvadratroten ur 144 är 12 .

Men mot bakgrund av denna punkt är vi intresserade av hur roten extraheras genom att sönderdela rottalet 144 i primtalsfaktorer. Låt oss ta en titt på den här lösningen.

Låt oss bryta ner 144 till primfaktorer:

Det vill säga 144=2 2 2 2 3 3 . Baserat på den resulterande nedbrytningen kan följande transformationer utföras: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Därav, .

Med hjälp av egenskaperna för graden och egenskaperna hos rötterna skulle lösningen kunna formuleras lite annorlunda: .

Svar:

För att konsolidera materialet, överväg lösningarna i ytterligare två exempel.

Exempel.

Beräkna rotvärdet.

Beslut.

Primfaktoriseringen av rottalet 243 är 243=3 5 . Således, .

Svar:

Exempel.

Är rotens värde ett heltal?

Beslut.

För att besvara denna fråga, låt oss dekomponera rottalet i primtal och se om det kan representeras som en kub av ett heltal.

Vi har 285 768=2 3 3 6 7 2 . Den resulterande sönderdelningen representeras inte som en kub av ett heltal, eftersom graden av primtalsfaktorn 7 inte är en multipel av tre. Därför tas inte kubroten av 285 768 helt.

Svar:

Nej.

Extrahera rötter från bråktal

Det är dags att ta reda på hur roten utvinns från bråktal. Låt bråkrottalet skrivas som p/q . Enligt egenskapen hos roten av kvoten är följande likhet sann. Av denna jämlikhet följer bråkrotsregel: Roten till ett bråk är lika med kvoten för att dividera roten av täljaren med roten av nämnaren.

Låt oss titta på ett exempel på att extrahera en rot från en bråkdel.

Exempel.

Vad är kvadratroten av vanlig bråkdel 25/169 .

Beslut.

Enligt kvadrattabellen finner vi att kvadratroten av täljaren i det ursprungliga bråket är 5 och kvadratroten av nämnaren är 13. Sedan . Detta avslutar utvinningen av roten från en vanlig fraktion 25/169.

Svar:

Roten till ett decimalbråk eller ett blandat tal extraheras efter att rottalen har ersatts med vanliga bråk.

Exempel.

Ta kubroten av decimalen 474,552.

Beslut.

Låt oss representera den ursprungliga decimalen som ett vanligt bråktal: 474.552=474552/1000 . Sedan . Det återstår att extrahera kubrötter som finns i täljaren och nämnaren för den resulterande fraktionen. Som 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 och 1 000=10 3 , sedan och . Det återstår bara att slutföra beräkningarna .

Svar:

.

Extrahera roten till ett negativt tal

Separat är det värt att uppehålla sig vid att extrahera rötter från negativa tal. När vi studerade rötter sa vi att när exponenten för roten är ett udda tal, så kan ett negativt tal stå under rotens tecken. Vi gav sådana notationer följande betydelse: för ett negativt tal −a och en udda exponent för roten 2 n−1, har vi . Denna jämlikhet ger regel för att extrahera udda rötter från negativa tal: för att extrahera roten till ett negativt tal måste du extrahera roten av det motsatta positiva talet och sätta ett minustecken framför resultatet.

Låt oss överväga ett exempel på en lösning.

Exempel.

Hitta rotvärdet.

Beslut.

Låt oss omvandla det ursprungliga uttrycket så att ett positivt tal visas under rottecknet: . Nu ersätter vi det blandade talet med ett vanligt bråktal: . Vi tillämpar regeln att extrahera roten från en vanlig bråkdel: . Det återstår att beräkna rötterna i täljaren och nämnaren för den resulterande fraktionen: .

Här är en sammanfattning av lösningen: .

Svar:

.

Bitvis hitta rotvärdet

I det allmänna fallet, under roten finns ett tal som, med de tekniker som diskuterats ovan, inte kan representeras som den n:te potensen av något tal. Men samtidigt finns det ett behov av att veta värdet av en given rot, åtminstone upp till ett visst tecken. I det här fallet, för att extrahera roten, kan du använda en algoritm som låter dig konsekvent få ett tillräckligt antal värden av siffrorna i det önskade numret.

På första steget denna algoritm du måste ta reda på vad som är den viktigaste biten av rotens värde. För att göra detta höjs talen 0, 10, 100, ... successivt till potensen n tills ett tal som överstiger rotnumret erhålls. Då kommer talet som vi höjde till n i föregående steg att indikera motsvarande höga ordning.

Tänk till exempel på detta steg i algoritmen när du extraherar kvadratroten ur fem. Vi tar talen 0, 10, 100, ... och kvadrerar dem tills vi får ett tal större än 5 . Vi har 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5 , vilket betyder att den mest signifikanta siffran kommer att vara enhetssiffran. Värdet på denna bit, såväl som lägre, kommer att hittas i nästa steg i rotextraktionsalgoritmen.

Alla följande steg i algoritmen syftar till successiv förfining av rotens värde på grund av det faktum att värdena för nästa siffror i rotens önskade värde hittas, med början från den högsta och flyttar till den lägsta . Till exempel är värdet på roten i det första steget 2 , i det andra - 2,2 , i det tredje - 2,23 , och så vidare 2,236067977 ... . Låt oss beskriva hur värdena på bitarna hittas.

Att hitta siffrorna utförs genom att räkna upp dem möjliga värden 0, 1, 2, ..., 9 . I det här fallet beräknas de n:te potenserna av motsvarande tal parallellt och de jämförs med rottalet. Om värdet på graden i något skede överstiger radikalnumret, anses värdet på siffran som motsvarar det föregående värdet hittats, och övergången till nästa steg i rotextraktionsalgoritmen görs, om detta inte händer, då är värdet på denna siffra 9 .

Låt oss förklara alla dessa punkter med samma exempel på att extrahera kvadratroten ur fem.

Hitta först värdet på enhetssiffran. Vi itererar över värdena 0, 1, 2, …, 9 , och beräknar respektive 0 2 , 1 2 , …, 9 2 tills vi får ett värde som är större än radikaltalet 5 . Alla dessa beräkningar presenteras bekvämt i form av en tabell:

Så värdet på enhetssiffran är 2 (eftersom 2 2<5 , а 2 3 >5). Låt oss gå vidare till att hitta värdet av den tionde platsen. I det här fallet kommer vi att kvadrera talen 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, och jämföra de erhållna värdena med rotnumret 5:

Sedan 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, då är värdet på den tionde platsen 2. Du kan fortsätta med att hitta värdet på hundradelsplatsen:

Så hittat nästa värde roten av fem är det lika med 2,23. Och så kan du fortsätta att hitta värden ytterligare: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

För att konsolidera materialet kommer vi att analysera utvinningen av roten med en noggrannhet på hundradelar med hjälp av den övervägda algoritmen.

Först definierar vi seniorsiffran. För att göra detta kuber vi talen 0, 10, 100, etc. tills vi får ett tal större än 2 151,186 . Vi har 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , så den mest signifikanta siffran är tiotalssiffran.

Låt oss definiera dess värde.

Sedan 103<2 151,186 , а 20 3 >2,151,186, då är värdet på tiotalssiffran 1. Låt oss gå vidare till enheter.

Således är värdet på ens plats 2 . Låt oss gå vidare till tio.

Eftersom även 12,9 3 är mindre än radikaltalet 2 151,186 är värdet på tionde platsen 9 . Det återstår att utföra det sista steget i algoritmen, det kommer att ge oss rotens värde med den noggrannhet som krävs.

I detta skede hittas rotens värde upp till hundradelar: .

Som avslutning på den här artikeln skulle jag vilja säga att det finns många andra sätt att extrahera rötter. Men för de flesta uppgifter räcker de som vi studerade ovan.

Bibliografi.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: lärobok för 8 celler. läroanstalter.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra och början av analys: En lärobok för årskurserna 10-11 av allmänna utbildningsinstitutioner.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (en manual för sökande till tekniska skolor).