Vad är derivatan av en bråkdel. Hur man hittar derivatan av en bråkdel

Det är absolut omöjligt att lösa fysiska problem eller exempel i matematik utan kunskap om derivatan och metoder för att beräkna den. Derivat är ett av de viktigaste begreppen matematisk analys. Vi bestämde oss för att ägna dagens artikel åt detta grundläggande ämne. Vad är ett derivat, vad är dess fysiska och geometrisk känsla hur beräknar man derivatan av en funktion? Alla dessa frågor kan kombineras till en: hur förstår man derivatan?

Geometrisk och fysisk betydelse av derivatan

Låt det finnas en funktion f(x) , ges i något intervall (a,b) . Punkterna x och x0 tillhör detta intervall. När x ändras ändras själva funktionen. Argumentförändring - skillnad mellan dess värden x-x0 . Denna skillnad skrivs som delta x och kallas argumentökning. Förändringen eller ökningen av en funktion är skillnaden mellan funktionens värden vid två punkter. Derivatdefinition:

Derivatan av en funktion vid en punkt är gränsen för förhållandet mellan ökningen av funktionen vid en given punkt och ökningen av argumentet när det senare tenderar till noll.

Annars kan det skrivas så här:

Vad är poängen med att hitta en sådan gräns? Men vilken:

derivatan av en funktion i en punkt är lika med tangenten för vinkeln mellan OX-axeln och tangenten till grafen för funktionen i en given punkt.

fysisk mening derivat: tidsderivatan av banan är lika med hastigheten för den rätlinjiga rörelsen.

Sedan skoltiden vet alla att hastighet är en privat väg. x=f(t) och tid t . medelhastighet under en viss tid:

För att ta reda på rörelsehastigheten åt gången t0 du måste beräkna gränsen:

Regel ett: ta ut konstanten

Konstanten kan tas ut ur derivatans tecken. Dessutom måste det göras. När du löser exempel i matematik, ta som regel - om du kan förenkla uttrycket, se till att förenkla .

Exempel. Låt oss beräkna derivatan:

Regel två: derivata av summan av funktioner

Derivatan av summan av två funktioner är lika med summan av derivatan av dessa funktioner. Detsamma gäller för derivatan av skillnaden mellan funktioner.

Vi kommer inte att ge ett bevis för denna sats, utan snarare överväga ett praktiskt exempel.

Hitta derivatan av en funktion:

Regel tre: derivatan av produkten av funktioner

Derivatan av produkten av två differentierbara funktioner beräknas med formeln:

Exempel: hitta derivatan av en funktion:

Beslut:

Här är det viktigt att säga om beräkningen av derivator av komplexa funktioner. Derivatan av en komplex funktion är lika med produkten av derivatan av denna funktion med avseende på det mellanliggande argumentet med derivatan av det mellanliggande argumentet med avseende på den oberoende variabeln.

I exemplet ovan möter vi uttrycket:

I det här fallet är det mellanliggande argumentet 8x i femte potensen. För att beräkna derivatan av ett sådant uttryck, betraktar vi först derivatan av den externa funktionen med avseende på det mellanliggande argumentet, och multiplicerar sedan med derivatan av själva det mellanliggande argumentet med avseende på den oberoende variabeln.

Regel fyra: Derivatan av kvoten av två funktioner

Formel för att bestämma derivatan av en kvot av två funktioner:

Vi försökte prata om derivat för dummies från grunden. Det här ämnet är inte så enkelt som det verkar, så var varning: det finns ofta fallgropar i exemplen, så var försiktig när du beräknar derivator.

Om du har frågor om detta och andra ämnen kan du kontakta studenttjänsten. På kort tid hjälper vi dig att lösa den svåraste kontrollen och hantera uppgifter, även om du aldrig tidigare sysslat med beräkning av derivat.

Definition. Låt funktionen \(y = f(x) \) definieras i något intervall som innehåller punkten \(x_0 \) inuti. Låt oss öka \(\Delta x \) till argumentet för att inte lämna detta intervall. Hitta motsvarande ökning av funktionen \(\Delta y \) (när man går från punkten \(x_0 \) till punkten \(x_0 + \Delta x \)) och komponera relationen \(\frac(\Delta y) )(\Delta x) \). Om det finns en gräns för denna relation vid \(\Delta x \högerpil 0 \), så kallas den angivna gränsen derivatfunktion\(y=f(x) \) vid punkten \(x_0 \) och beteckna \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Symbolen y används ofta för att beteckna derivatan. Observera att y" = f(x) är ny funktion, men naturligt associerad med funktionen y = f(x) definierad vid alla punkter x där ovanstående gräns existerar. Denna funktion kallas så här: derivata av funktionen y \u003d f (x).

Den geometriska betydelsen av derivatan består av följande. Om en tangent som inte är parallell med y-axeln kan dras till grafen för funktionen y \u003d f (x) i en punkt med abskissan x \u003d a, då uttrycker f (a) lutningen för tangenten:
\(k = f"(a)\)

Eftersom \(k = tg(a) \), är likheten \(f"(a) = tg(a) \) sann.

Och nu tolkar vi definitionen av derivatan i termer av ungefärliga likheter. Låt funktionen \(y = f(x) \) ha en derivata vid en viss punkt \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Detta betyder att nära punkten x, den ungefärliga likheten \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), dvs. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\). Den meningsfulla innebörden av den erhållna ungefärliga likheten är som följer: ökningen av funktionen är "nästan proportionell" mot ökningen av argumentet, och proportionalitetskoefficienten är värdet av derivatan i given poäng X. Till exempel, för funktionen \(y = x^2 \) är den ungefärliga likheten \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) sann. Om vi ​​noggrant analyserar definitionen av derivatan kommer vi att finna att den innehåller en algoritm för att hitta den.

Låt oss formulera det.

Hur hittar man derivatan av funktionen y \u003d f (x) ?

1. Fixa värdet \(x \), hitta \(f(x) \)
2. Öka \(x \) argument \(\Delta x \), flytta till en ny punkt \(x+ \Delta x \), hitta \(f(x+ \Delta x) \)
3. Hitta funktionsökningen: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Komponera relationen \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Beräkna $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Denna gräns är derivatan av funktionen vid x.

Om funktionen y = f(x) har en derivata i punkten x, så kallas den differentierbar i punkten x. Proceduren för att hitta derivatan av funktionen y \u003d f (x) anropas differentiering funktioner y = f(x).

Låt oss diskutera följande fråga: hur är kontinuiteten och differentierbarheten för en funktion vid en punkt relaterade?

Låt funktionen y = f(x) vara differentierbar i punkten x. Sedan kan en tangent ritas till grafen för funktionen i punkten M (x; f (x)) och, kom ihåg, lutningen på tangenten är lika med f "(x). En sådan graf kan inte "bryta" vid punkten M, dvs funktionen måste vara kontinuerlig vid x.

Det var resonemang "på fingrarna". Låt oss presentera ett mer rigoröst argument. Om funktionen y = f(x) är differentierbar vid punkten x, så gäller den ungefärliga likheten \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) noll, sedan \(\Delta y \) ) kommer också att tendera till noll, och detta är villkoret för kontinuiteten för funktionen vid en punkt.

Så, om en funktion är differentierbar vid en punkt x, så är den också kontinuerlig vid den punkten.

Det omvända är inte sant. Till exempel: funktion y = |x| är kontinuerlig överallt, i synnerhet i punkten x = 0, men tangenten till grafen för funktionen i "fogpunkten" (0; 0) existerar inte. Om det någon gång är omöjligt att dra en tangent till funktionsgrafen, så finns det ingen derivata vid denna punkt.

Ännu ett exempel. Funktionen \(y=\sqrt(x) \) är kontinuerlig på hela tallinjen, inklusive i punkten x = 0. Och tangenten till grafen för funktionen finns i vilken punkt som helst, inklusive i punkten x = 0 Men vid denna punkt sammanfaller tangenten med y-axeln, det vill säga den är vinkelrät mot abskissaxeln, dess ekvation har formen x \u003d 0. Det finns ingen lutning för en sådan rät linje, vilket betyder att \ ( f "(0) \) finns inte heller

Så vi bekantade oss med en ny egenskap hos en funktion - differentierbarhet. Hur kan du avgöra om en funktion är differentierbar från grafen för en funktion?

Svaret ges faktiskt ovan. Om vid någon punkt en tangent kan dras till grafen för en funktion som inte är vinkelrät mot x-axeln, så är funktionen vid denna punkt differentierbar. Om någon gång tangenten till grafen för funktionen inte existerar eller den är vinkelrät mot x-axeln, så är funktionen inte differentierbar vid denna tidpunkt.

Differentieringsregler

Operationen att hitta derivatan kallas differentiering. När du utför denna operation måste du ofta arbeta med kvoter, summor, produkter av funktioner, samt med "funktioner av funktioner", det vill säga komplexa funktioner. Utifrån definitionen av derivatan kan vi härleda differentieringsregler som underlättar detta arbete. Om C är ett konstant tal och f=f(x), g=g(x) är några differentierbara funktioner, då är följande sant differentieringsregler:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Sammansatt funktionsderivata:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabell över derivator av vissa funktioner

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $ Derivatberäkningär en av de viktigaste operationerna i differentialkalkyl. Nedan finns en tabell för att hitta derivat enkla funktioner. För mer komplexa differentieringsregler, se andra lektioner:

• Tabell över derivator av exponentiella och logaritmiska funktioner

Använd de givna formlerna som referensvärden. De kommer att hjälpa till att lösa differentialekvationer och problem. På bilden, i tabellen över derivator av enkla funktioner, finns ett "fuskblad" över huvudfallen för att hitta derivatan i en form som är begriplig för användning, bredvid finns förklaringar för varje fall.

Derivater av enkla funktioner

1. Derivat av ett tal noll-
с´ = 0
Exempel:
5' = 0

Förklaring:
Derivatan visar den hastighet med vilken värdet på funktionen ändras när argumentet ändras. Eftersom siffran inte förändras på något sätt under några förhållanden, är ändringshastigheten alltid noll.

2. Derivat av en variabel lika med ett
x' = 1

Förklaring:
Med varje ökning av argumentet (x) med ett, ökar värdet på funktionen (beräkningsresultat) med samma belopp. Således är förändringshastigheten för värdet av funktionen y = x exakt lika med förändringshastigheten för argumentets värde.

3. Derivatan av en variabel och en faktor är lika med denna faktor
сx´ = с
Exempel:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Förklaring:
I det här fallet, varje gång funktionsargumentet ( X) dess värde (y) växer in med en gång. Således är förändringshastigheten för funktionens värde med avseende på förändringshastigheten för argumentet exakt lika med värdet med.

Varifrån följer det
(cx + b)" = c
det vill säga differentialen för den linjära funktionen y=kx+b är lika med vinkelkoefficient den räta linjens lutning (k).

4. Moduloderivata av en variabelär lika med kvoten för denna variabel till dess modul
|x|"= x / |x| förutsatt att x ≠ 0
Förklaring:
Eftersom derivatan av variabeln (se formel 2) är lika med en, skiljer sig modulens derivata endast genom att värdet på funktionens förändringshastighet ändras till det motsatta när man korsar ursprungspunkten (försök att rita en graf av funktionen y = |x| och se själv. Detta är exakt värdet och returnerar uttrycket x / |x| När x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - en. Det vill säga kl negativa värden variabel x, med varje ökning av förändringen av argumentet, minskar värdet på funktionen med exakt samma värde, och för positiva, tvärtom, ökar det, men med exakt samma värde.

5. Potensderivata av en variabelär lika med produkten av talet av denna potens och variabeln i potensen, reducerad med en
(x c)"= cx c-1, förutsatt att xc och cx c-1 är definierade och c ≠ 0
Exempel:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Att memorera formeln:
Ta exponenten för variabeln "ner" som en multiplikator och minska sedan själva exponenten med ett. Till exempel, för x 2 - två var före x, och sedan gav den reducerade effekten (2-1=1) oss bara 2x. Samma sak hände för x 3 - vi sänker trippeln, minskar den med en och istället för en kub har vi en kvadrat, det vill säga 3x 2 . Lite "ovetenskapligt", men väldigt lätt att komma ihåg.

6.Bråkderivat 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Exempel:
Eftersom en bråkdel kan representeras som en höjning till en negativ potens
(1/x)" = (x -1)" , då kan du tillämpa formeln från regel 5 i derivattabellen
(x -1)" = -1x -2 = -1 / x 2

7. Bråkderivat med en variabel av godtycklig grad i nämnaren
(1/x c)" = - c/x c+1
Exempel:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. rotderivat(derivata av variabeln under roten ur)
(√x)" = 1 / (2√x) eller 1/2 x -1/2
Exempel:
(√x)" = (x 1/2)" så att du kan tillämpa formeln från regel 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Derivat av en variabel under en rot av en godtycklig grad
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)