RIKTIGA TAL II

44 § Geometrisk framställning av reella tal

Geometriskt reella tal, liksom rationella tal, representeras av punkter på en rät linje.

Låta l - en godtycklig rät linje, och O - några av dess punkter (Fig. 58). Varje positivt reellt tal α sätta i korrespondens punkten A, som ligger till höger om O på ett avstånd från α längdenheter.

Om t.ex. α = 2,1356..., alltså

2 < α < 3
2,1 < α < 2,2
2,13 < α < 2,14

etc. Det är uppenbart att punkten A i detta fall måste ligga på linjen l till höger om punkterna som motsvarar siffrorna

2; 2,1; 2,13; ... ,

men till vänster om punkterna som motsvarar siffrorna

3; 2,2; 2,14; ... .

Det kan visas att dessa förhållanden definierar på linjen l den enda punkten A, som vi betraktar som den geometriska bilden av ett reellt tal α = 2,1356... .

Likaså varje negativt reellt tal β sätta i korrespondens punkten B som ligger till vänster om O på ett avstånd av | β | längdenheter. Slutligen tilldelar vi punkten O till talet "noll".

Så siffran 1 kommer att visas på en rak linje l punkt A, belägen till höger om O på ett avstånd av en längdenhet (fig. 59), numret - √2 - punkt B, som ligger till vänster om O på ett avstånd av √2 längdenheter, etc.

Låt oss visa hur på en rak linje l med hjälp av en kompass och en linjal kan du hitta punkter som motsvarar de reella talen √2, √3, √4, √5, etc. För att göra detta kommer vi först och främst att visa hur man konstruerar segment vars längder uttrycks av dessa siffror. Låt AB vara ett segment taget som en längdenhet (fig. 60).

Vid punkt A återställer vi en vinkelrät till detta segment och avsätter segmentet AC, lika med segmentet AB, på det. Om vi ​​sedan applicerar Pythagoras sats på den räta triangeln ABC får vi; BC \u003d √AB 2 + AC 2 \u003d √1 + 1 \u003d √2

Därför har segmentet BC längden √2. Låt oss nu återställa vinkelrät till segmentet BC i punkten C och välja punkten D på det så att segmentet CD är lika med ett AB längd. Sedan från rät triangel BCD hitta:

ВD \u003d √BC 2 + CD 2 \u003d √2 + 1 \u003d √3

Därför har segmentet BD längden √3. Om vi ​​fortsätter med den beskrivna processen ytterligare kan vi få segment BE, BF, ..., vars längder uttrycks med siffrorna √4, √5, etc.

Nu på linjen l det är lätt att hitta de punkter som fungerar som en geometrisk representation av talen √2, √3, √4, √5, etc.

Om vi ​​till exempel sätter till höger om punkten O segmentet BC (fig. 61), får vi punkten C, som fungerar som en geometrisk representation av talet √2. På samma sätt, om vi lägger av segmentet BD till höger om punkten O, får vi punkten D", som är den geometriska bilden av talet √3, etc.

Det ska man dock inte tänka med hjälp av en kompass och en linjal på en tallinje l man kan hitta en punkt som motsvarar ett givet reellt tal. Det har till exempel bevisats att, med endast en kompass och en linjal till ditt förfogande, är det omöjligt att konstruera ett segment vars längd uttrycks med siffran π = 3,14 ... . Alltså på talraden l med hjälp av sådana konstruktioner är det omöjligt att ange en punkt som motsvarar detta nummer, men det finns en sådan punkt.

Så för varje reellt tal α det är möjligt att associera någon väldefinierad punkt på linjen l . Denna punkt kommer att separeras från startpunkten O på ett avstånd av | α | längdenheter och vara till höger om O if α > 0, och till vänster om O if α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две olika punkter hetero l . Ja, låt numret α motsvarar punkt A och numret β - punkt B. Sedan, om α > β , då kommer A att vara till höger om B (Fig. 62, a); om α < β , då kommer A att ligga till vänster om B (Fig. 62, b).

När vi i § 37 talade om den geometriska representationen av rationella tal ställde vi frågan: kan vilken punkt som helst på en rät linje betraktas som en geometrisk bild av några rationell tal? På den tiden kunde vi inte ge något svar på denna fråga; nu kan vi svara ganska definitivt. Det finns punkter på en rak linje som fungerar som en geometrisk bild irrationella tal(t.ex. √2 ). Därför representerar inte varje punkt på en rät linje ett rationellt tal. Men i det här fallet uppstår en annan fråga: kan någon punkt på den verkliga linjen betraktas som en geometrisk bild av några giltig tal? Detta problem har redan lösts positivt.

Låt A faktiskt vara en godtycklig punkt på linjen l , liggande till höger om O (bild 63).

Längden på segmentet OA uttrycks med något positivt reellt tal α (se § 41). Därför är punkt A den geometriska bilden av talet α . På samma sätt är det fastställt att varje punkt B, som ligger till vänster om O, kan betraktas som en geometrisk bild av ett negativt reellt tal - β , var β - längden på segmentet VO. Slutligen tjänar punkten O som en geometrisk representation av talet noll. Det är tydligt att två distinkta punkter på linjen l kan inte vara den geometriska bilden av samma reella tal.

Av de skäl som anges ovan kallas en rät linje på vilken någon punkt O är indikerad som "initial" punkt (för en given längdenhet) nummer linje.

Slutsats. Mängden av alla reella tal och mängden av alla punkter på den reella linjen är i en en-till-en-korrespondens.

Detta betyder att varje reellt tal motsvarar en, väldefinierad punkt på tallinjen, och omvänt, till varje punkt på tallinjen, med en sådan överensstämmelse, motsvarar det ett, väldefinierat reellt tal.

Övningar

320. Ta reda på vilken av de två punkterna som finns på tallinjen till vänster och vilken till höger, om dessa punkter motsvarar siffror:

a) 1,454545... och 1,455454...; c) O och -1,56673...;

b) - 12.0003... och - 12.0002...; d) 13.24... och 13.00....

321. Ta reda på vilken av de två punkterna som ligger längre från startpunkten O på tallinjen, om dessa punkter motsvarar siffror:

a) 5,2397... och 4,4996...; .. c) -0,3567... och 0,3557... .

d) - 15.0001 och - 15.1000...;

322. I detta avsnitt visades det att för att konstruera ett längdsegment √ n med hjälp av en kompass och rätsida kan du göra följande: konstruera först ett segment med längden √2, sedan ett segment med längden √3, etc., tills vi når ett segment med längden √ n . Men för varje fast P > 3 denna process kan påskyndas. Hur skulle du till exempel börja bygga ett segment med längden √10?

323*. Hur man använder en kompass och linjal för att hitta en punkt på tallinjen som motsvarar siffran 1 / α , om positionen för punkten som motsvarar numret α , känd?

En tallinje, en talaxel, är en linje på vilken reella tal avbildas. På den räta linjen väljs origo - punkten O (punkten O representerar 0) och punkten L, representerar enheten. Punkten L står vanligtvis till höger om punkten O. Segmentet OL kallas enhetssegmentet.

Punkterna till höger om punkt O representerar positiva tal. Prickar till vänster om pricken. Åh, avbilda negativa siffror. Om punkten X representerar ett positivt tal x, då är avståndet OX = x. Om punkten X representerar ett negativt tal x, då är avståndet OX = - x.

Siffran som visar positionen för en punkt på en rät linje kallas koordinaten för denna punkt.

Punkt V som visas i figuren har en koordinat på 2 och punkt H har en koordinat på -2,6.

Modulen för ett reellt tal är avståndet från origo till den punkt som motsvarar detta tal. Ange modulen för talet x, så: | x |. Uppenbarligen, | 0 | = 0.

Om talet x är större än 0, då | x | = x, och om x är mindre än 0, då | x | = - x. På dessa egenskaper hos modulen är lösningen av många ekvationer och olikheter med modulen baserad.

Exempel: Lös ekvation | x - 3 | = 1.

Lösning: Tänk på två fall - det första fallet, när x -3 > 0, och det andra fallet, när x - 3 0.

1. x - 3 > 0, x > 3.

I det här fallet | x - 3 | = x - 3.

Ekvationen har formen x - 3 \u003d 1, x \u003d 4. 4\u003e 3 - uppfyller det första villkoret.

2. x -3 0, x 3.

I det här fallet | x - 3 | = - x + 3

Ekvationen har formen x + 3 \u003d 1, x \u003d - 2. -2 3 - uppfyller det andra villkoret.

Svar: x = 4, x = -2.

Numeriska uttryck.

Ett numeriskt uttryck är en samling av ett eller flera tal och funktioner kopplade med aritmetiska operatorer och parenteser.
Exempel på numeriska uttryck:

Värdet av ett numeriskt uttryck är ett tal.
Operationer i numeriska uttryck utförs i följande sekvens:

1. Åtgärder inom parentes.

2. Beräkning av funktioner.

3. Exponentiering

4. Multiplikation och division.

5. Addition och subtraktion.

6. Operationer av samma typ utförs från vänster till höger.

Så värdet på det första uttrycket blir själva talet 12,3
För att beräkna värdet på det andra uttrycket kommer vi att utföra åtgärderna i följande sekvens:

1. Utför åtgärderna inom parentes i följande sekvens - först höjer vi 2 till tredje potens och subtraherar sedan 11 från det resulterande talet:

3 4 + (23 - 11) = 3 4 + (8 - 11) = 3 4 + (-3)

2. Multiplicera 3 med 4:

3 4 + (-3) = 12 + (-3)

3. Utför operationerna sekventiellt från vänster till höger:

12 + (-3) = 9.
Ett uttryck med variabler är en samling av ett eller flera tal, variabler och funktioner kopplade med aritmetiska operatorer och parenteser. Värdena för uttryck med variabler beror på värdena för de variabler som ingår i den. Sekvensen av operationer här är densamma som för numeriska uttryck. Det är ibland användbart att förenkla uttryck med variabler genom att utföra olika åtgärder - parenteser, parentesexpansion, gruppering, reducering av bråk, reducering av liknande osv. För att förenkla uttryck används ofta olika formler, till exempel förkortade multiplikationsformler, egenskaper för olika funktioner etc.

Algebraiska uttryck.

Ett algebraiskt uttryck är en eller flera algebraiska storheter (siffror och bokstäver) sammankopplade med tecken på algebraiska operationer: addition, subtraktion, multiplikation och division, samt extrahering av roten och höjning till en heltalspotens (dessutom måste roten och exponenten nödvändigtvis vara heltal) och tecken på sekvensen av dessa åtgärder (vanligtvis parenteser). annan sort). Antalet kvantiteter som ingår i algebraiska uttryck borde vara slutgiltigt.

Ett exempel på ett algebraiskt uttryck:

"Algebraiskt uttryck" är ett syntaktiskt begrepp, det vill säga något är ett algebraiskt uttryck om och endast om det följer vissa grammatiska regler (se Formell grammatik). Om bokstäverna i ett algebraiskt uttryck anses vara variabler, får det algebraiska uttrycket betydelsen av en algebraisk funktion.

Från det stora utbudet av set av särskilt intresse är de s.k nummeruppsättningar, det vill säga mängder vars element är tal. Det är klart att för bekvämt arbete med dem måste du kunna skriva ner dem. Med notationen och principerna för att skriva numeriska uppsättningar kommer vi att börja den här artikeln. Och sedan kommer vi att överväga hur numeriska uppsättningar avbildas på koordinatlinjen.

Sidnavigering.

Skriva numeriska uppsättningar

Låt oss börja med den accepterade notationen. Som bekant används stora bokstäver i det latinska alfabetet för att beteckna mängder. Numeriska uppsättningar som specialfall uppsättningar betecknas också. Till exempel kan vi prata om numeriska mängder A , H , W , etc. Av särskild betydelse är uppsättningarna av naturliga, heltal, rationella, reella, komplexa tal, etc., för vilka deras egna beteckningar antogs:

• N är mängden av alla naturliga tal;
• Z är mängden heltal;
• Q är mängden rationella tal;
• J är mängden irrationella tal;
• R är mängden av reella tal;
• C är mängden av komplexa tal.

Av detta framgår att det inte är nödvändigt att beteckna en mängd bestående av till exempel två siffror 5 och −7 som Q, denna beteckning blir missvisande, eftersom bokstaven Q vanligtvis betecknar mängden av alla rationella tal. För att beteckna den angivna numeriska uppsättningen är det bättre att använda någon annan "neutral" bokstav, till exempel A.

Eftersom vi talar om notation, minns vi här också notationen av en tom mängd, det vill säga en mängd som inte innehåller element. Det betecknas med tecknet ∅.

Låt oss också komma ihåg beteckningen medlemskap och icke-medlemskap av ett element i en uppsättning. För att göra detta, använd tecknen ∈ - tillhör och ∉ - hör inte hemma. Till exempel betyder posten 5∈N att talet 5 hör till mängden naturliga tal och 5,7∉Z - decimalbråket 5,7 tillhör inte mängden heltal.

Låt oss också påminna om notationen som antogs för att inkludera en uppsättning i en annan. Det är tydligt att alla element i mängden N ingår i mängden Z, alltså, nummeruppsättning N ingår i Z, detta betecknas som N⊂Z. Du kan också använda notationen Z⊃N , vilket betyder att mängden av alla heltal Z inkluderar mängden N . Relationer som inte ingår och inte ingår betecknas med tecknen ⊄ respektive . De icke-striktiga inklusionstecknen av formen ⊆ och ⊇ används också, vilket betyder att respektive ingår eller matchar och inkluderar eller matchar.

Vi pratade om notationen, låt oss gå vidare till beskrivningen av numeriska uppsättningar. I det här fallet kommer vi bara att beröra de huvudfall som oftast används i praktiken.

Låt oss börja med numeriska mängder som innehåller ett ändligt och litet antal element. Numeriska mängder som består av ett ändligt antal element kan bekvämt beskrivas genom att lista alla deras element. Alla nummerelement skrivs åtskilda med kommatecken och omsluts av , vilket överensstämmer med gemensamt ange beskrivningsregler. Till exempel kan en mängd som består av tre siffror 0 , −0,25 och 4/7 beskrivas som (0, −0,25, 4/7) .

Ibland, när antalet element i en numerisk uppsättning är tillräckligt stort, men elementen följer något mönster, används ellips för att beskriva. Till exempel kan uppsättningen av alla udda tal från 3 till 99 skrivas som (3, 5, 7, ..., 99) .

Så vi närmade oss smidigt beskrivningen av numeriska uppsättningar, vars antal element är oändligt. Ibland kan de beskrivas med samma ellips. Låt oss till exempel beskriva mängden av alla naturliga tal: N=(1, 2. 3, …) .

De använder också beskrivningen av numeriska mängder genom att ange egenskaperna för dess element. I detta fall används notationen (x| egenskaper). Till exempel definierar notationen (n| 8 n+3, n∈N) mängden av sådana naturliga tal som, när de divideras med 8, ger en återstod av 3 . Samma uppsättning kan beskrivas som (11,19, 27, ...) .

I speciella fall är numeriska mängder med ett oändligt antal element kända mängder N , Z , R , etc. eller nummerluckor. Och i allmänhet representeras numeriska uppsättningar som En förening individuella numeriska intervall som utgör dem och numeriska mängder med ett ändligt antal element (som vi pratade om lite högre).

Låt oss visa ett exempel. Låt talmängden vara talen −10 , −9 , −8.56 , 0 , alla siffror för intervallet [−5, −1.3] och talen för den öppna talstrålen (7, +∞) . I kraft av definitionen av föreningen av mängder kan den angivna numeriska mängden skrivas som {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . En sådan notation betyder egentligen en mängd som innehåller alla element i mängderna (−10, −9, −8.56, 0), [−5, −1.3] och (7, +∞) .

På liknande sätt, genom att kombinera olika numeriska intervall och uppsättningar av individuella tal, kan vilken taluppsättning som helst (som består av reella tal) beskrivas. Här blir det tydligt varför sådana typer av numeriska intervall som intervall, halvintervall, segment, öppet nummerstråle och en talstråle: alla av dem, tillsammans med notationen av uppsättningar av individuella tal, gör det möjligt att beskriva vilka talmängder som helst genom sin förening.

Observera att när du skriver en numerisk uppsättning sorteras dess ingående nummer och numeriska intervall i stigande ordning. Detta är inte ett obligatoriskt, men önskvärt villkor, eftersom en ordnad numerisk uppsättning är lättare att representera och avbilda på en koordinatlinje. Observera också att sådana poster inte använder numeriska intervall med gemensamma element, eftersom sådana poster kan ersättas av föreningen av numeriska intervall utan gemensamma element. Till exempel är föreningen av numeriska mängder med gemensamma element [−10, 0] och (−5, 3) ett halvintervall [−10, 3) . Detsamma gäller föreningen av numeriska intervall med samma gränstal, till exempel är föreningen (3, 5]∪(5, 7] en mängd (3, 7), vi kommer att uppehålla oss vid detta separat när vi lär oss att hitta skärningspunkten och föreningen av numeriska mängder.

Bild av nummeruppsättningar på koordinatlinjen

I praktiken är det bekvämt att använda de geometriska bilderna av numeriska uppsättningar - deras bilder på . Till exempel när lösa ojämlikheter, där det är nödvändigt att ta hänsyn till ODZ, är det nödvändigt att avbilda numeriska uppsättningar för att hitta deras skärningspunkt och / eller förening. Så det kommer att vara användbart att förstå alla nyanser av representationen av numeriska uppsättningar på koordinatlinjen.

Det är känt att det finns en en-till-en-överensstämmelse mellan punkterna på koordinatlinjen och de reella talen, vilket betyder att själva koordinatlinjen är en geometrisk modell av mängden av alla reella tal R. Således, för att skildra uppsättningen av alla reella tal, är det nödvändigt att rita en koordinatlinje med kläckning längs hela dess längd:

Och ofta anger de inte ens ursprunget och ett enda segment:

Låt oss nu prata om bilden av numeriska mängder, som är ett ändligt antal individuella tal. Låt oss till exempel rita taluppsättningen (−2, −0,5, 1,2) . Den geometriska bilden av denna uppsättning, bestående av tre siffror -2, -0,5 och 1,2 kommer att vara tre punkter på koordinatlinjen med motsvarande koordinater:

Observera att vanligtvis för övningens behov finns det inget behov av att utföra ritningen exakt. Ofta räcker det med en schematisk ritning, vilket gör att det inte är nödvändigt att bibehålla skalan, medan det bara är viktigt att underhålla ömsesidigt arrangemang punkter i förhållande till varandra: varje punkt med en mindre koordinat måste vara till vänster om en punkt med en större koordinat. Den föregående ritningen kommer schematiskt att se ut så här:

Separat, från alla möjliga numeriska uppsättningar, urskiljs numeriska intervall (intervall, halvintervall, strålar, etc.), som representerar deras geometriska bilder, undersökte vi i detalj i avsnittet. Vi kommer inte att upprepa oss här.

Och det återstår bara att uppehålla sig vid bilden av numeriska uppsättningar, som är föreningen av flera numeriska intervall och uppsättningar som består av individuella nummer. Det är inget knepigt här: enligt meningen med föreningen, i dessa fall, på koordinatlinjen, måste du avbilda alla komponenter i uppsättningen av en given numerisk uppsättning. Som ett exempel, låt oss visa bilden av en nummeruppsättning (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (log 2 5, 5)∪(17, +∞):

Och låt oss uppehålla oss vid ganska vanliga fall när den avbildade numeriska uppsättningen är hela uppsättningen av reella tal, med undantag för en eller flera punkter. Sådana uppsättningar specificeras ofta av villkor som x≠5 eller x≠−1 , x≠2 , x≠3,7 etc. I dessa fall representerar de geometriskt hela koordinatlinjen, med undantag för motsvarande punkter. Med andra ord måste dessa punkter "stansas ut" från koordinatlinjen. De är avbildade som cirklar med ett tomt centrum. För tydlighetens skull, låt oss rita en nummeruppsättning, överensstämmer med villkoren (denna uppsättning är i huvudsak):

Sammanfatta. Helst bör informationen i de föregående styckena bilda samma bild av registreringen och representationen av numeriska uppsättningar som synen av individuella numeriska intervall: registreringen av en numerisk uppsättning bör omedelbart ge sin bild på koordinatlinjen, och från bilden på koordinatlinjen bör vi vara redo att enkelt beskriva motsvarande numeriska uppsättning genom föreningen av individuella luckor och uppsättningar som består av individuella tal.

Bibliografi.

• Algebra: lärobok för 8 celler. Allmän utbildning institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakovskij. - 16:e upplagan. - M. : Utbildning, 2008. - 271 sid. : sjuk. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. Årskurs 9 Kl 14. Del 1. Elevens lärobok läroinstitut/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13:e upplagan, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.

Forma siffrorna

I digitala enheter finns det två former av bilder av siffror: med en fast і flytande koma.

I det första stycket syntes bara ett fåtal positiva siffror. Formel (1.14) ger möjlighet att visa ett dubbeltal med en hel och en bråkdel och en fast koma. Tecknet för ett tvåsiffrigt tal med fast koma ges av en extra rangordning, som placeras framför siffror. För ytterligare nummer är värdet på tilläggsbeställningen lika med " 0 ", för bilder - " 1 ”.

På bordet 1.3 finns det tre alternativ för att koda det sista och andra numret med en dubbelkod.

Tabell 1.3.

I den första varianten, som det visar sig från tabellerna, i den kodade dubbelsekvensen, kan det finnas en plats för ytterligare och slutliga nollor, vilket kan leda till problem med utseendet av aritmetiska operationer.

Representationen av de givna talen i portkoden löser inte heller ovanstående problem. Du kommer inte att ha fel bara en gång om du ser siffrorna ytterligare kod, som beräknas med formeln:

På fig. 1.12 visar en grafisk tolkning av bilden av positiva och negativa tal som liknar noll till alternativen för de direkta och komplementära koderna. Som kommer att visas senare kommer en sådan form av representation av tionde tal helt enkelt att förenkla aritmetiska operationer.

Exempel 1.10. Känna till komplementkoden till tionde siffror: 0 10 , 17 10 , -127 10 .

Rozvyazannya. Vi känner till två ekvivalenter till givna tal:

0 10 = 00000000 2 ; 17 10 = 00010001 2 ; -127 10 = 10000001 2 .

Vi känner till koden, zvorotnі dvіykovim - vіdpovіdno: 11111111; 11101110; 01111110.

Det är känt att komplettera koderna för givna nummer: 11111111 + 1 = 100000000 2 = 0 10;

11101110 + 1 = 11101111 2 = -17 10 ; 01111110 + 1 = 01111111 2 = 127 10 .

Nu förklarar vi essensen av att spela in nummer med en fast koma. Oavsett om antalet i digitala system tas upp av speciella minnesenheter, bildas en rad med skinn av ett fast antal element. Koman, som i antalet skott inkluderade en del av antalet skott, intar i en minnesrad en fast position - framför den högre rangen eller efter den unge.

För den första typen är talets absoluta värde mindre än ett - till exempel 0,110101 2 . 1.13 visar den slutliga avgiftsrankningen tecknet på siffran och reshta - modulens rangordning. Vilni unga flytningar är fyllda med nollor. Oskіlki i den granskade vipadku i en rad av minne överförs för att spela in endast bråkdelen av numret, då resultatet av alla operationer beror på absoluta värden, mindre än en. Wikonnannya tsієї var noga med att välja lämpliga skalfaktorer, på vilka externa data multipliceras. Om vibrationskoefficienten är fel, kan det finnas en omordning av urladdningarna och utseendet på hela delen, som om det kommer att förbrukas, kommer skärvorna i utsläppsnätet inte att överföras till її-utseendet. Samtidigt kommer jag att ta dig till helvetet i resultatet, som är brist på en sådan metod.

På ett annat humör, om en koma fixeras efter den yngsta ordningen, kan det bli rätt med heltal. Så, till exempel, siffran 10011 2 i en minnesrad placeras i synligheten i fig. 1.14, de livy rank är tecken, och efter det till höger fylls de lediga siffrorna med nollor. På detta sätt är värdet på modulen en inhägnad minnesrad.

Siffror med flytande koma överför bilden av numret till bönsyrsvarianten, som multipliceras med grunden för talsystemet på scenen, som sätts i ordning. Till exempel skrivs talet 200 som 0,2 × 10 3 och talet 0,000312 - som 0,312 × 10 -3. Vidpovidno zapisyutsya och dvіykovі nummer. Bönsyrsan och ordningen visas i en dubbelkod, och grunden är en tvåa. Till exempel visas talet 0,111 × 2 10 \u003d 11,10 2 i det tionde systemet som 0,875 × 2 2 \u003d 3,5 10. I en minnesrad tas sådana nummer från två grupper av siffror: den första gruppen - mantis - bestämmer själva numret, den andra - ordningen - platsen för Komi i numret (fig. 1.15).

Vid nollelementet i minnesraden visas numrets tecken (för det givna dubbla talet, som skrivs i minnesraden - " 0 ”). Avstånden ställs in i ordningsföljden för själva numret (stowpts 1...8). Om det ges av ett mindre antal rader, fylls minneselementen på höger sida av numret med nollor. Vid den nionde ordningen visas ordningens tecken, och i fortsättningen, analogt med mantissan, - talet som betecknar ordningen. Med en sådan post ställs värdet på numret in på ett sådant sätt att den första signifikanta siffran i mantis inte är lika med " 0 ". Denna form av inträde kallas vanligt.

Det minsta tilläggstalet, som kan skrivas i normal form i en minnesrad, bestäms av minsta mantissan 0,1000..0 2 och den maximala visuella ordningen 111..1 2 . Med en mängd k i ordningen minst tio bestäms antalet som kan skrivas ned av formeln:

. (1.15)

Det maximala antalet matimemos vid det maximala värdet av bönsyrsan (0,111 ... 1) 2 och den maximala ytterligare ordningen (111 ... 1 2) = 2 k– 1 då

Räckvidd D tal representerade i normal form, som det visar sig ur formlerna (1.15) och (1.16), betecknar endast ett tal k. Till exempel för k= 6 är känt:

; .

Noggrannheten för att registrera numret bestäms av antalet beställningar m mantici. Om antalet rangord av numret vänder på antalet rangordnade i bönsyrsan, avrundas talet uppåt till önskat antal. Regeln för att avrunda två tal på det här sättet är följande: om den högre ordningen för den del av ordet som ses är ett, så läggs en till den yngsta ordningen på bönsyrsan. Med en sådan avrundad absolut siffra överstiger bilden av mantis inte hälften av koefficienten för kategorin unga mantis, som tas, tobto:

Vrakhovuchi, att i den normala formen av rekordet för mantis inte kan vara mindre än 0,5, ett uppenbart fel η:

Till exempel när m= 24 maєmo:

.

I dagens digitala system för att visa tal med flytande koma används en rad dozhinoy chotiri-bytes. Med 23 urladdningar, ställ in mantis, och 7 - storleken på ordningen. Antalet siffror som visas viks från ± 2 127 till ± 2 -127 .

Variation av tal med en flytande koma kommer att expandera och förenkla representationen av tal, men mångsidigheten i operationer på sådana tal är mer samarbetande, lägre på tal med en fix koma.

En uttrycksfull geometrisk representation av systemet med rationella tal kan erhållas enligt följande.

Ris. 8. Nummeraxel

På någon rak linje, den "numeriska axeln", markerar vi segmentet från 0 till 1 (Fig. 8). Detta ställer in längden på enhetssegmentet, som generellt sett kan väljas godtyckligt. Positiva och negativa heltal avbildas sedan som en uppsättning punkter med lika mellanrum på talaxeln, nämligen positiva tal är markerade till höger och negativa till vänster om punkten 0. För att avbilda tal med en nämnare delar vi varje av de erhållna segmenten av enhetslängd till lika delar; divisionspunkter kommer att representera bråk med en nämnare. Om vi ​​gör detta för de värden som motsvarar alla naturliga tal, kommer varje rationellt tal att avbildas av någon punkt på den numeriska axeln. Vi kommer överens om att kalla dessa punkter "rationella"; i allmänhet kommer termerna "rationellt tal" och "rationell punkt" att användas som synonymer.

I kapitel I, § 1, definierades olikhetsrelationen för naturliga tal. På talaxeln återspeglas detta förhållande enligt följande: if naturligt nummer A är mindre än ett naturligt tal B, då ligger punkten A till vänster om punkten B. Eftersom den angivna geometriska relationen upprättas för vilket par av rationella punkter som helst, är det naturligt att försöka generalisera den aritmetiska olikhetsrelationen i en sådan sätt att bevara denna geometriska ordning för punkterna i fråga. Detta är möjligt om vi accepterar följande definition: vi säger att det rationella talet A är mindre än rationellt tal eller att talet B är större än talet om skillnaden är positiv. Det följer av detta (för ) att punkterna (talen) mellan är de som

samtidigt Varje sådant par av punkter, tillsammans med alla punkter mellan dem, kallas ett segment (eller segment) och betecknas (och enbart uppsättningen av mellanliggande punkter kallas ett intervall (eller intervall), betecknat med

Avståndet för en godtycklig punkt A från origo 0, betraktat som ett positivt tal, kallas absolutvärdet av A och betecknas med symbolen

Begreppet "absolut värde" definieras på följande sätt: om , sedan om då Det är tydligt att om talen har samma tecken, så är likhet sant om de har olika tecken, då . Genom att kombinera dessa två resultat kommer vi fram till den allmänna ojämlikheten

som gäller oavsett tecken

Ett faktum av grundläggande betydelse uttrycks av följande påstående: rationella punkter är överallt täta på tallinjen. Innebörden av detta uttalande är att inom vilket intervall som helst, hur litet det än kan vara, finns det rationella poäng. För att verifiera giltigheten av det angivna påståendet räcker det att ta ett tal så stort att intervallet ( kommer att vara mindre än det givna intervallet ; då kommer åtminstone en av punkterna i formuläret att ligga inom detta intervall. Det finns alltså inget sådant intervall på talaxeln (även den minsta, som kan tänkas), inom vilket det inte skulle finnas några rationella punkter. Av detta följer ytterligare en följd: varje intervall innehåller ett oändligt antal rationella punkter. Ja, om något intervall innehöll endast ett ändligt antal rationella punkter, då inom intervallet som bildas av två närliggande sådana punkter, skulle det inte längre finnas rationella punkter, och detta motsäger vad som just har bevisats.