Graf av funktionen kubrot av x 1. Funktion y \u003d tredje roten av x, dess egenskaper och graf

Ämne "Roten till graden P"Det är lämpligt att dela upp det i två lektioner. I den första lektionen, överväg kubroten, jämför dess egenskaper med den aritmetiska kvadratroten och överväg grafen för denna kubrotfunktion. Sedan i den andra lektionen kommer eleverna att bättre förstå begreppet kronan P-e graden. Jämförelse av två typer av rötter hjälper till att undvika "typiska" fel för närvaron av värden från negativa uttryck som är under rotens tecken.

Visa dokumentinnehåll
"Kubikroten"

Lektionens ämne: kubikroten

Zhikharev Sergey Alekseevich, lärare i matematik, MKOU "Pozhilinskaya School No. 13"

Lektionens mål:

• introducera begreppet en kubrot;
• utveckla färdigheter i att beräkna kubrötter;
• upprepa och generalisera kunskap om den aritmetiska kvadratroten;
• fortsätta att förbereda för GIA.

Kontrollerar d.z.

Ett av siffrorna nedan är markerat på koordinatlinjen med en punkt MEN. Ange detta nummer.

Vad är konceptet för de tre sista uppgifterna?

Vad är kvadratroten av ett tal a ?

Vad är den aritmetiska kvadratroten av ett tal a ?

Vilka värderingar kan Roten ur?

Kan rotuttrycket vara ett negativt tal?

Nämn en kub bland dessa geometriska kroppar

Vilka egenskaper har en kub?

Hur hittar man volymen av en kub?

Hitta volymen av en kub om dess sidor är lika:

Låt oss lösa problemet

Kubens volym är 125 cm³. Hitta sidan av kuben.

Låt kanten på kuben vara X cm, då är kubens volym X³ cm³. Efter tillstånd X³ = 125.

Följaktligen, X= 5 cm.

siffra X= 5 är roten till ekvationen X³ = 125. Detta nummer kallas kubikroten eller tredje roten av 125.

Definition.

Tredje roten av tal a detta nummer kallas b, vars tredje potens är lika med a .

Beteckning.

Ett annat tillvägagångssätt för att introducera konceptet med en kubrot

Givet värdet av den kubiska funktionen a, kan du hitta värdet på argumentet kubisk funktion vid den punkten. Det kommer att vara lika, eftersom att extrahera en rot är motsatsen till att höja till en makt.

kvadratrötter.

Definition. Kvadratroten ur a namnge talet vars kvadrat är lika med a .

Definition. Aritmetisk kvadratrot ur a är ett icke-negativt tal vars kvadrat är lika med a .

Notationen används:

På a

kubrötter.

Definition. kubikroten från en namnge talet vars kub är lika med a .

Notationen används:

"kubrot av a", eller

"3:e roten av a »

Uttrycket är vettigt för alla a .

Starta programmet MyTestStudent.

Öppna provet "Åk 9 lektion".

Minute av vila

Vilka lektioner eller

du träffade i ditt liv

med begreppet rot?

"Ekvationen"

När du löser ekvationen, min vän,

Du måste hitta honom ryggrad.

Innebörden av brevet är lätt att kontrollera,

Lägg det försiktigt in i ekvationen.

Om du får rätt jämställdhet,

Den där rot ring värdet omedelbart.

Hur förstår du ordspråket av Kozma Prutkov "Titta på roten."

När används detta uttryck?

Inom litteratur och filosofi finns begreppet "Ondskans rot".

Hur förstår du detta uttryck?

I vilken mening används detta uttryck?

Fundera på om kubroten alltid är lätt och exakt extraherad?

Vad kan användas för att hitta ungefärliga värden på kubroten?

Använda funktionsdiagrammet på = X³, kan du grovt räkna ut kubrötter för vissa tal.

Använda funktionsdiagrammet

på = X³ finn det ungefärliga värdet av rötterna verbalt.

Tillhör funktionerna grafen

poäng: A(8;2); I (216;–6)?

Kan det subradikala uttrycket av en kubrot vara negativt?

Vad är skillnaden mellan en kubrot och en kvadratrot?

Kan kubroten vara negativ?

Definiera en tredje rot.

Huvudegenskaperna anges kraftfunktion, inklusive formler och egenskaper hos rötter. Derivatan, integralen, potensseriens expansion och representation med hjälp av komplexa tal av potensfunktionen presenteras.

Definition

Definition
Effektfunktion med exponent sidär funktionen f (x) = xp, vars värde i punkten x är lika med värdet av exponentialfunktionen med basen x i punkten p .
Dessutom, f (0) = 0 p = 0 för p > 0 .

För naturvärden för exponenten är potensfunktionen produkten av n tal lika med x:
.
Det är definierat för alla verkliga.

För positiva rationella värden för exponenten är potensfunktionen produkten av n rötter av grad m från talet x:
.
För udda m definieras den för alla reella x . För jämn m är effektfunktionen definierad för icke-negativ .

För negativ definieras potensfunktionen av formeln:
.
Därför är det inte definierat vid punkten .

För irrationella värden för exponenten p bestäms exponentialfunktionen av formeln:
,
där a är ett godtyckligt positivt tal, inte lika med ett: .
För är det definierat för .
För är effektfunktionen definierad för .

Kontinuitet. En maktfunktion är kontinuerlig på sin definitionsdomän.

Egenskaper och formler för potensfunktionen för x ≥ 0

Här betraktar vi egenskaperna hos effektfunktionen för inte negativa värden argument x . Som nämnts ovan, för vissa värden av exponenten p, är exponentialfunktionen också definierad för negativa värden på x . I det här fallet kan dess egenskaper erhållas från egenskaperna vid , med jämn eller udda paritet. Dessa fall diskuteras och illustreras i detalj på sidan "".

En potensfunktion, y = x p , med exponent p har följande egenskaper:
(1.1) definierad och kontinuerlig på uppsättningen
vid ,
vid ;
(1.2) har många betydelser
vid ,
vid ;
(1.3) ökar strikt vid ,
minskar strikt vid ;
(1.4) vid ;
vid ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Beviset på egenskaperna ges på sidan Power Function (Bevis på kontinuitet och egenskaper).

Rötter - definition, formler, egenskaper

Definition
Roten av x i n potensär talet vars höjning till potensen n ger x:
.
Här n = 2, 3, 4, ... - naturligt nummer, större än en.

Du kan också säga att roten av talet x av grad n är roten (det vill säga lösningen) av ekvationen
.
Observera att funktionen är inversen av funktionen.

Kvadratroten ur xär en rot av grad 2: .

Kubroten av xär en rot av grad 3: .

Jämn grad

För jämna potenser n = 2 m, roten definieras för x ≥ 0 . En ofta använd formel är giltig för både positiva och negativa x :
.
För kvadratrot:
.

Ordningen i vilken operationerna utförs är viktig här - det vill säga kvadrering utförs först, vilket resulterar i ett icke-negativt tal, och sedan extraheras roten från det (från ett icke-negativt tal kan du extrahera kvadratroten ). Om vi ​​ändrade ordningen: , då för negativt x skulle roten vara odefinierad, och med den skulle hela uttrycket vara odefinierat.

udda grad

För udda potenser definieras roten för alla x:
;
.

Egenskaper och formler för rötter

Roten till x är en potensfunktion:
.
För x ≥ 0 följande formler gäller:
;
;
, ;
.

Dessa formler kan också användas för negativa värden på variablerna. Det är bara nödvändigt att se till att det radikala uttrycket av jämna makter inte är negativt.

Privata värderingar

Roten av 0 är 0: .
Roten till 1 är 1: .
Kvadratroten ur 0 är 0: .
Kvadratroten ur 1 är 1: .

Exempel. Rot från rötter

Betrakta exemplet med kvadratroten av rötter:
.
Konvertera den interna kvadratroten med formlerna ovan:
.
Låt oss nu omvandla den ursprungliga roten:
.
Så,
.

y = x p för olika värden på exponenten p .

Här är graferna för funktionen för icke-negativa värden för x-argumentet. Grafer för potensfunktionen definierad för negativa värden på x ges på sidan "Power funktion, dess egenskaper och grafer"

Omvänd funktion

Inversen av en potensfunktion med exponent p är en potensfunktion med exponent 1/p .

Om då .

Effektfunktionsderivata

Derivata av n:e ordningen:
;

Härledning av formler > > >

Integral av en kraftfunktion

P≠- 1 ;
.

Power serie expansion

vid - 1 < x < 1 följande nedbrytning sker:

Uttryck i termer av komplexa tal

Betrakta en funktion av en komplex variabel z :
f (z) = zt.
Vi uttrycker den komplexa variabeln z i termer av modulen r och argumentet φ (r = |z| ):
z = r e i φ .
Vi representerar det komplexa talet t som reella och imaginära delar:
t = p + iq.
Vi har:

Vidare tar vi hänsyn till att argumentet φ inte är unikt definierat:
,

Tänk på fallet när q = 0 , dvs exponenten är ett reellt tal, t = p. Sedan
.

Om p är ett heltal, så är kp också ett heltal. Sedan, på grund av periodiciteten för trigonometriska funktioner:
.
Det är exponentiell funktion med en heltalsexponent, för ett givet z, har endast ett värde och är därför enkelvärdigt.

Om p är irrationell, så ger produkterna av kp inte ett heltal för någon k. Eftersom k löper genom en oändlig serie av värden k = 0, 1, 2, 3, ..., då har funktionen z p oändligt många värden. Närhelst argumentet z inkrementeras 2 pi(ett varv), flyttar vi till en ny gren av funktionen.

Om p är rationell kan det representeras som:
, var m,när heltal utan gemensamma delare. Sedan
.
Första n värden, för k = k O = 0, 1, 2, ... n-1, ge n olika betydelser kp:
.
Däremot ger efterföljande värden värden som skiljer sig från de tidigare med ett heltal. Till exempel, för k = k 0+n vi har:
.
Trigonometriska funktioner, vars argument skiljer sig åt med multiplar av 2 pi, har lika värden. Därför, med en ytterligare ökning av k, får vi samma värden på z p som för k = k O = 0, 1, 2, ... n-1.

Således exponentialfunktionen med rationell indikator grad är flervärdig och har n värden (grenar). Närhelst argumentet z inkrementeras 2 pi(ett varv), flyttar vi till en ny gren av funktionen. Efter n sådana svängar återvänder vi till den första grenen från vilken nedräkningen började.

I synnerhet har en rot av grad n n värden. Som ett exempel, betrakta den n:te roten av ett reellt positivt tal z = x. I detta fall φ 0 = 0, z = r = |z| = x, .
.
Så, för kvadratroten, n = 2 ,
.
För även k, (-1) k = 1. För udda k, (-1) k = -1.
Det vill säga att kvadratroten har två betydelser: + och -.

Referenser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbok i matematik för ingenjörer och studenter vid högre utbildningsinstitutioner, Lan, 2009.

Istället för en introduktion

Användningen av modern teknologi (CSE) och läromedel (multimediatavla) i lektionerna hjälper läraren att planera och genomföra effektiva lektioner, skapa förutsättningar för eleverna att förstå, memorera och öva färdigheter.

Lektionen visar sig vara dynamisk och intressant om man kombinerar olika former av lärande under lektionen.

I modern didaktik finns fyra allmänna organisationsformer inlärning:

• individuellt förmedlad;
• ångbastu;
• grupp;

kollektiv (i par av utbytbar sammansättning). (Dyachenko V.K. Modern didaktik. - M .: Nationell utbildning, 2005).

I en traditionell lektion används i regel endast de tre första organisatoriska utbildningsformerna som anges ovan. kollektiv form undervisning (arbete i parskift) används praktiskt taget inte av läraren. Men denna organisatoriska form av lärande gör det möjligt för teamet att träna var och en att aktivt delta i utbildningen av andra. Den kollektiva utbildningsformen är den ledande inom CSR-teknik.

En av de vanligaste metoderna för tekniken för det kollektiva sättet att lära är metoden för "Ömsesidig träning".

Denna "magiska" teknik är bra i alla ämnen och i alla lektioner. Syftet är träning.

Träning är efterföljaren till självkontroll, den hjälper studenten att etablera sin kontakt med studieämnet, vilket gör det lättare att hitta rätt steg-åtgärder. Genom träning i förvärv, konsolidering, omgruppering, revision, tillämpning av kunskap sker utvecklingen av mänskliga kognitiva förmågor. (Yanovitskaya E.V. Hur man undervisar och lär i klassrummet så att du vill lära dig. Uppslagsbok. - St. Petersburg: Utbildningsprojekt, M.: Utgivare A.M. Kushnir, 2009.-s.14;131)

Det kommer att hjälpa till att snabbt upprepa vilken regel som helst, komma ihåg svaren på de studerade frågorna, konsolidera den nödvändiga skickligheten. Den optimala tiden för att arbeta enligt metoden är 5-10 minuter. Som regel utförs arbetet med träningskort under muntlig räkning, det vill säga i början av lektionen, men efter lärarens gottfinnande kan det utföras i vilket skede som helst av lektionen, beroende på dess mål och strukturera. I träningskortet kan det finnas från 5 till 10 enkla exempel (frågor, uppgifter). Varje elev i klassen får ett kort. Korten är olika för alla eller olika för alla i den "konsoliderade truppen" (barn som sitter på samma rad). En konsoliderad detachement (grupp) är ett tillfälligt samarbete mellan studenter som bildas för att utföra en specifik utbildningsuppgift. (Yalovets T.V. Tekniken för en kollektiv metod för undervisning i avancerad utbildning av en lärare: Educational and methodological manual. - Novokuznetsk: IPC Publishing House, 2005. - S. 122)

Lektionsprojekt om ämnet "Funktion y=, dess egenskaper och graf"

I lektionens projekt, vars ämne är: " Funktion y=, dess egenskaper och graf” Användningen av tekniken för ömsesidig träning i kombination med användning av traditionella och multimediala läromedel presenteras.

Lektionens ämne: " Funktion y=, dess egenskaper och graf”

Mål:

• förberedelse för kontrollarbete;
• kontrollera kunskapen om alla egenskaper hos en funktion och förmågan att rita funktionsgrafer och läsa deras egenskaper.

Uppgifter: ämnesnivå:

överämnesnivå:

• lära sig att analysera grafisk information;
• utveckla förmågan att föra en dialog;
• utveckla förmågan och skickligheten att arbeta med en interaktiv whiteboard med hjälp av exemplet att arbeta med grafer.

Lektionens struktur	Tid
1. Informationsinmatning från läraren (ITI)	5 minuter.
2. Förverkligande av grundläggande kunskaper: arbeta i parskift enligt metodiken “Ömsesidig träning”	8 min.
3. Bekantskap med ämnet "Funktion y=, dess egenskaper och graf": lärarens presentation	8 min.
4. Konsolidering av det nyligen studerade och redan godkända materialet om ämnet "Funktion": med hjälp av en interaktiv whiteboard	15 minuter.
5. Självkontroll : i form av ett test	7 min.
6. Sammanfattning, spela in läxor.	2 minuter.

Låt oss ta en närmare titt på innehållet i varje steg.

1. Lärarinformationsinmatning (ITI) inkluderar Att organisera tid; uttrycka ämnet, syftet och lektionsplanen; visar ett urval av arbete i par enligt metoden för ömsesidig träning.

Demonstration av ett urval av arbete i par av elever i detta skede av lektionen är tillrådligt att upprepa algoritmen för arbetet med den teknik vi behöver, eftersom. i nästa skede av lektionen planeras hela klassteamets arbete på det. Samtidigt kan du namnge felen i arbetet enligt algoritmen (om några), samt utvärdera dessa elevers arbete.

2. Aktualisering av referenskunskaper utförs i par av skiftsammansättning enligt metoden för ömsesidig träning.

Metodikens algoritm inkluderar individuella, par (statiska par) och kollektiva (par av skiftsammansättning) organisatoriska träningsformer.

Individuell: alla som får kortet bekantar sig med dess innehåll (läser frågorna och svaren på kortets baksida).

• den första(i rollen som "praktikant") läser uppgiften och svarar på frågorna på partnerns kort;
• andra(i rollen som "coach") - kontrollerar korrektheten av svaren på baksidan av kortet;
• på liknande sätt arbeta på ett annat kort, byta roller;
• gör ett märke i ett individuellt ark och byt kort;
• gå vidare till ett nytt par.

Kollektiv:

• i det nya paret fungerar de som i det första; övergång till ett nytt par osv.

Antalet övergångar beror på den tid läraren avsatt för detta stadium lektion, från varje elevs flit och snabbhet i förståelsen och från partners i samarbete.

Efter att ha arbetat i par sätter eleverna märken på journalbladen, läraren gör en kvantitativ och kvalitativ analys av arbetet.

Listan kan se ut så här:

Ivanov Petya 7 "b" klass

datumet	Kortnummer	Antal misstag	Vem arbetade du med
20.12.09	№7	0	Sidorov K.
	№3	2	Petrova M.
	№2	1	Samoilova Z.

3. Bekantskap med ämnet ”Funktionen y =, dess egenskaper och graf” utförs av läraren i form av en presentation med hjälp av multimediala lärandeverktyg (bilaga 4). Å ena sidan är detta ett visualiseringsalternativ som är förståeligt för moderna elever, å andra sidan sparar det tid på att förklara nytt material.

4. Konsolidering av det nyligen studerade och redan godkända materialet på ämnet "Funktion ” organiserad i två versioner, med traditionella läromedel (tavla, lärobok) och innovativ (interaktiv skrivtavla).

Först erbjuds flera uppgifter från läroboken för att konsolidera det nystuderade materialet. Den lärobok som används för undervisningen används. Arbetet utförs samtidigt med hela klassen. I det här fallet utför en elev uppgiften "a" - på en traditionell tavla; den andra är uppgift "b" på den interaktiva skrivtavlan, resten av eleverna skriver ner lösningarna för samma uppgifter i en anteckningsbok och jämför sin lösning med lösningen som presenteras på tavlor. Därefter utvärderar läraren elevernas arbete vid svarta tavlan.

Sedan, för att snabbare konsolidera det studerade materialet om ämnet "Funktion", föreslås frontalarbete med en interaktiv whiteboard, som kan organiseras enligt följande:

• uppgiften och schemat visas på den interaktiva skrivtavlan;
• en elev som vill svara går till tavlan, utför nödvändiga konstruktioner och uttalar svaret;
• en ny uppgift och ett nytt schema visas på tavlan;
• En annan elev kommer ut för att svara.

På kort tid är det alltså möjligt att lösa ganska många uppgifter, för att utvärdera elevernas svar. Vissa uppgifter av intresse (liknande uppgifter från kommande kontrollarbete), kan spelas in i en anteckningsbok.

5. På självkontrollstadiet erbjuds eleverna ett prov följt av självgranskning (bilaga 3).

Litteratur

1. Dyachenko, V.K. Modern didaktik [Text] / V.K. Dyachenko - M.: Folkbildning, 2005.
2. Yalovets, T.V. Tekniken för den kollektiva undervisningsmetoden i lärarens professionella utveckling: Pedagogisk och metodisk manual [Text] / T.V. Yalovets. - Novokuznetsk: IPC Publishing House, 2005.
3. Yanovitskaya, E.V. Hur man undervisar och lär sig i klassrummet så att man vill lära sig. Referensbok [Text] / E.V. Yanovitskaya. - St. Petersburg: Educational projects, M.: Utgivare A.M. Kushnir, 2009.

Grundläggande mål:

1) att bilda sig en uppfattning om ändamålsenligheten med en generaliserad studie av de verkliga kvantiteternas beroende av exemplet med kvantiteter, relaterat förhållande y=

2) att bilda förmågan att plotta y= och dess egenskaper;

3) upprepa och konsolidera metoderna för muntliga och skriftliga beräkningar, kvadrera, extrahera kvadratroten.

Utrustning, demonstrationsmaterial: handout.

1. Algoritm:

2. Exempel för att slutföra uppgiften i grupper:

3. Prov för självtest av självständigt arbete:

4. Kort för reflektionsstadiet:

1) Jag kom på hur man ritar funktionen y=.

2) Jag kan lista dess egenskaper enligt schemat.

3) Jag gjorde inga misstag i mitt självständiga arbete.

4) Jag gjorde misstag i självständigt arbete (lista dessa misstag och ange deras orsak).

Under lektionerna

1. Självbestämmande till lärandeaktiviteter

Syftet med scenen:

1) inkludera elever i lärandeaktiviteter;

2) bestämma innehållet i lektionen: vi fortsätter att arbeta med reella tal.

Organisation utbildningsprocess vid steg 1:

Vad studerade vi på förra lektionen? (Vi har studerat många riktiga nummer, åtgärder med dem, byggde en algoritm för att beskriva egenskaperna hos en funktion, upprepade funktionerna som studerades i årskurs 7).

– Idag kommer vi att fortsätta arbeta med uppsättningen av reella tal, en funktion.

2. Uppdatera kunskap och åtgärda svårigheter i aktiviteter

Syftet med scenen:

1) uppdatera det utbildningsinnehåll som är nödvändigt och tillräckligt för uppfattningen av nytt material: funktion, oberoende variabel, beroende variabel, grafer

y \u003d kx + m, y \u003d kx, y \u003d c, y \u003d x 2, y \u003d - x 2,

2) att uppdatera de mentala operationer som är nödvändiga och tillräckliga för uppfattningen av nytt material: jämförelse, analys, generalisering;

3) fixa alla upprepade koncept och algoritmer i form av scheman och symboler;

4) att fixa en individuell svårighet i aktivitet, vilket visar otillräckligheten av befintlig kunskap på en personligt betydande nivå.

Organisation av utbildningsprocessen i steg 2:

1. Låt oss komma ihåg hur du kan ställa in beroenden mellan kvantiteterna? (Via text, formel, tabell, graf)

2. Vad kallas en funktion? (Släktskapet mellan två storheter, där varje värde på en variabel motsvarar ett enda värde på den andra variabeln y = f(x)).

vad heter x? (Oberoende variabel - argument)

vad heter du? (Beroende variabel).

3. Lärde vi oss funktioner i 7:an? (y = kx + m, y = kx, y = c, y = x2, y = - x2, ).

Individuell uppgift:

Vad är grafen för funktionerna y = kx + m, y =x 2 , y = ?

3. Identifiering av orsakerna till svårigheter och sätta upp målet för aktiviteten

Syftet med scenen:

1) organisera kommunikativ interaktion, under vilken utmärkande drag uppgifter som orsakade svårigheter i pedagogisk verksamhet;

2) komma överens om syftet och ämnet för lektionen.

Organisation av utbildningsprocessen i steg 3:

Vad är speciellt med denna uppgift? (Beroendet ges av formeln y = som vi inte har träffat ännu).

- Vad är syftet med lektionen? (Bekanta dig med funktionen y \u003d, dess egenskaper och graf. Funktionen i tabellen bestämmer typen av beroende, bygg en formel och graf.)

- Kan du gissa ämnet för lektionen? (Funktion y=, dess egenskaper och graf).

- Skriv ämnet i din anteckningsbok.

4. Bygga ett projekt för att komma ur en svårighet

Syftet med scenen:

1) organisera kommunikativ interaktion för att bygga ett nytt handlingssätt som eliminerar orsaken till den identifierade svårigheten;

2) fixa nytt sätt handlingar i tecken, verbal form och med hjälp av en standard.

Organisation av utbildningsprocessen i steg 4:

Arbetet på scenen kan organiseras i grupper genom att bjuda in grupperna att plotta y = och sedan analysera resultaten. Även grupper kan erbjudas för att beskriva egenskaperna för denna funktion enligt algoritmen.

5. Primär konsolidering i externt tal

Syftet med scenen: att fixa det studerade utbildningsinnehållet i externt tal.

Organisation av utbildningsprocessen i steg 5:

Bygg en graf y= - och beskriv dess egenskaper.

Egenskaper y= - .

1. Omfattning av funktionsdefinition.

2.Omfattning av funktionsvärden.

3. y=0, y>0, y<0.

y=0 om x=0.

y<0, если х(0;+)

4. Öka, minska funktionen.

Funktionen minskar vid x.

Låt oss plotta y=.

Låt oss välja dess del på segmentet. Låt oss notera det hos Naim. = 1 för x = 1 och y max. \u003d 3 för x \u003d 9.

Svar: naim. = 1, vid max. =3

6. Självständigt arbete med självtest enligt standard

Syftet med etappen: att testa din förmåga att tillämpa nytt utbildningsinnehåll i standardförhållanden baserat på att jämföra din lösning med en standard för självtestning.

Organisation av utbildningsprocessen i steg 6:

Eleverna utför uppgiften på egen hand, genomför ett självtest enligt standarden, analyserar, korrigerar fel.

Låt oss plotta y=.

Använd grafen för att hitta de minsta och största värdena för funktionen på segmentet.

7. Inkludering i kunskapssystemet och upprepning

Syftet med steget: att träna färdigheterna att använda nytt innehåll i samband med tidigare studerat: 2) upprepa det utbildningsinnehåll som kommer att krävas i följande lektioner.

Organisation av utbildningsprocessen i steg 7:

Lös grafiskt ekvationen: \u003d x - 6.

En elev vid tavlan, resten i anteckningsböcker.

8. Reflektion av aktivitet

Syftet med scenen:

1) fixa det nya innehållet i lektionen;

2) utvärdera sina egna aktiviteter i lektionen;

3) tacka klasskamrater som hjälpte till att få resultatet av lektionen;

4) fixa olösta svårigheter som vägledning för framtida lärandeaktiviteter;

5) Diskutera och skriv ner läxor.

Organisation av utbildningsprocessen i steg 8:

– Killar, vad var målet för oss idag? (Studera funktionen y \u003d, dess egenskaper och graf).

– Vilken kunskap hjälpte oss att nå målet? (Förmågan att leta efter mönster, förmågan att läsa grafer.)

- Gå igenom dina aktiviteter i klassen. (Reflektionskort)

Läxa

artikel 13 (upp till exempel 2) № 13.3, 13.4

Lös grafiskt ekvationen:

Rita en funktionsgraf och beskriv dess egenskaper.

Lektion och presentation på ämnet: "Kraftfunktioner. Kubikrot. Egenskaper hos en kubikrot"

Ytterligare material
Kära användare, glöm inte att lämna dina kommentarer, feedback, förslag! Allt material kontrolleras av ett antivirusprogram.

Läromedel och simulatorer i webbutiken "Integral" för årskurs 9
Utbildningskomplex 1C: "Algebraiska problem med parametrar, årskurs 9-11" Mjukvarumiljö "1C: Mathematical constructor 6.0"

Definition av en potensfunktion - kubrot

Killar, vi fortsätter att studera maktfunktioner. Idag ska vi prata om kubroten för x-funktionen.
Vad är en kubrot?
Ett tal y kallas en kubrot av x (tredje gradens rot) om $y^3=x$ är sant.
De betecknas som $\sqrt(x)$, där x är rotnumret, 3 är exponenten.
$\sqrt(27)=3$; $3^3=27$.
$\sqrt((-8))=-2$; $(-2)^3=-8$.
Som vi kan se kan kubroten också extraheras från negativa tal. Det visar sig att vår rot finns för alla tal.
Den tredje roten av ett negativt tal är lika med ett negativt tal. När det höjs till en udda potens bevaras tecknet, den tredje potensen är udda.

Låt oss kontrollera likheten: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
Låt $\sqrt((-x))=a$ och $\sqrt(x)=b$. Låt oss lyfta båda uttrycken till tredje makten. $–x=a^3$ och $x=b^3$. Sedan $a^3=-b^3$ eller $a=-b$. I notationen av rötterna får vi den önskade identiteten.

Egenskaper hos kubrötter

a) $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(6)$.
b) $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$.

Låt oss bevisa den andra egenskapen. $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
Vi fann att talet $\sqrt(\frac(a)(b))$ i kuben är lika med $\frac(a)(b)$ och sedan är det lika med $\sqrt(\frac(a) (b))$, vilket och behövde bevisas.

Killar, låt oss rita upp vår funktionsgraf.
1) Definitionsdomänen är uppsättningen av reella tal.
2) Funktionen är udda eftersom $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. Tänk sedan på vår funktion för $x≥0$ och reflektera sedan grafen i förhållande till ursprunget.
3) Funktionen ökar för $х≥0$. För vår funktion motsvarar ett större värde på argumentet ett större värde på funktionen, vilket betyder ökande.
4) Funktionen är inte begränsad från ovan. I själva verket, från ett godtyckligt stort antal, kan du beräkna roten av tredje graden, och vi kan gå upp till oändligheten och hitta allt större värden på argumentet.
5) För $x≥0$ är det minsta värdet 0. Denna egenskap är uppenbar.
Låt oss bygga en graf av funktionen med punkter för x≥0.

Låt oss bygga vår graf över funktionen på hela definitionsdomänen. Kom ihåg att vår funktion är udda.

Funktionsegenskaper:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Udda funktion.
3) Ökar med (-∞;+∞).
4) Obegränsad.
5) Det finns inget minimi- eller maxvärde.

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) Konvexa nedåt med (-∞;0), konvexa uppåt med (0;+∞).

Exempel på lösningspotensfunktioner

Exempel
1. Lös ekvationen $\sqrt(x)=x$.
Lösning. Låt oss bygga två grafer på samma koordinatplan $y=\sqrt(x)$ och $y=x$.

Som du kan se skär våra grafer varandra vid tre punkter.
Svar: (-1;-1), (0;0), (1;1).

2. Bygg en graf över funktionen. $y=\sqrt((x-2))-3$.
Lösning. Vår graf erhålls från grafen för funktionen $y=\sqrt(x)$, genom att parallellförskjuta två enheter åt höger och tre enheter nedåt.

3. Bygg en funktionsgraf och läs den. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(cases)$.
Lösning. Låt oss bygga två grafer av funktioner på samma koordinatplan, med hänsyn till våra förhållanden. För $х≥-1$ bygger vi en graf av en kubikrot, för $х≤-1$ en graf av en linjär funktion.
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Funktionen är varken jämn eller udda.
3) Minskar med (-∞;-1), ökar med (-1;+∞).
4) Obegränsad från ovan, begränsad underifrån.
5) Det finns inget maxvärde. Det minsta värdet är minus ett.
6) Funktionen är kontinuerlig på hela den verkliga linjen.
7) E(y)= (-1;+∞).

Uppgifter för självständig lösning

1. Lös ekvationen $\sqrt(x)=2-x$.
2. Rita funktionen $y=\sqrt((x+1))+1$.
3. Bygg en graf över funktionen och läs den. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥1\\y=(x-1)^2+1, x≤1 \end(cases)$.