Minsta gemensamma multipel av tre siffror exempel. Att hitta den minsta gemensamma multipeln: metoder, exempel på att hitta LCM

För att förstå hur man beräknar LCM bör du först bestämma innebörden av termen "multipel".

En multipel av A är ett naturligt tal som är delbart med A utan rest. Således kan 15, 20, 25 och så vidare betraktas som multiplar av 5.

Det kan finnas ett begränsat antal divisorer av ett visst tal, men det finns ett oändligt antal multiplar.

En gemensam multipel av naturliga tal är ett tal som är delbart med dem utan rest.

Hur man hittar den minsta gemensamma multipeln av tal

Den minsta gemensamma multipeln (LCM) av tal (två, tre eller fler) är det minsta naturliga talet som är jämnt delbart med alla dessa tal.

För att hitta NOC kan du använda flera metoder.

För små tal är det bekvämt att skriva ut alla multipler av dessa tal på en rad tills en gemensam finns bland dem. Multipler betecknas i posten med stor bokstav K.

Till exempel kan multiplar av 4 skrivas så här:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Så du kan se att den minsta gemensamma multipeln av siffrorna 4 och 6 är talet 24. Denna inmatning utförs enligt följande:

LCM(4, 6) = 24

Om talen är stora, hitta den gemensamma multipeln av tre eller fler tal, då är det bättre att använda ett annat sätt att beräkna LCM.

För att slutföra uppgiften är det nödvändigt att dekomponera de föreslagna talen i primtalsfaktorer.

Först måste du skriva ut expansionen av det största av siffrorna på en rad, och under det - resten.

I expansionen av varje nummer kan det finnas ett annat antal faktorer.

Låt oss till exempel faktorisera talen 50 och 20 till primtalsfaktorer.

Vid sönderdelningen av det mindre talet bör man understryka de faktorer som saknas vid sönderdelningen av det första största talet och sedan lägga till dem till det. I det presenterade exemplet saknas en tvåa.

Nu kan vi beräkna den minsta gemensamma multipeln av 20 och 50.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Således kommer produkten av primfaktorerna för det större talet och faktorerna för det andra talet, som inte ingår i sönderdelningen av det större talet, att vara den minsta gemensamma multipeln.

För att hitta LCM för tre eller fler tal bör alla delas upp i primtalsfaktorer, som i föregående fall.

Som ett exempel kan du hitta den minsta gemensamma multipeln av talen 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Så bara två tvåor från sönderdelningen av sexton (en är i sönderdelningen av tjugofyra) gick inte in i faktoriseringen av ett större antal.

Således måste de läggas till nedbrytningen av ett större antal.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Det finns speciella fall för att bestämma den minsta gemensamma multipeln. Så, om ett av talen kan delas utan en rest med ett annat, kommer det största av dessa tal att vara den minsta gemensamma multipeln.

Till exempel skulle NOC på tolv och tjugofyra vara tjugofyra.

Om det är nödvändigt att hitta den minsta gemensamma multipeln av samprimtal som inte har samma divisorer, kommer deras LCM att vara lika med deras produkt.

Till exempel, LCM(10, 11) = 110.

Överväg tre sätt att hitta den minsta gemensamma multipeln.

Hitta genom faktorisering

Det första sättet är att hitta den minsta gemensamma multipeln genom att faktorisera de givna talen i primtalsfaktorer.

Anta att vi behöver hitta LCM för siffror: 99, 30 och 28. För att göra detta delar vi upp vart och ett av dessa tal i primtalsfaktorer:

För att det önskade talet ska vara delbart med 99, 30 och 28 är det nödvändigt och tillräckligt att det inkluderar alla primtalsfaktorerna för dessa divisorer. För att göra detta måste vi ta alla primfaktorer för dessa tal till den högsta förekommande potensen och multiplicera dem tillsammans:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Så LCM (99, 30, 28) = 13 860. Inget annat tal mindre än 13 860 är jämnt delbart med 99, 30 eller 28.

För att hitta den minsta gemensamma multipeln av givna tal måste du faktorisera dem till primtalsfaktorer, sedan ta varje primtal med den största exponenten som den förekommer och multiplicera dessa faktorer tillsammans.

Eftersom samprimtal inte har några gemensamma primtalsfaktorer är deras minsta gemensamma multipel lika med produkten av dessa tal. Till exempel är tre tal: 20, 49 och 33 coprime. Så

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

Detsamma bör göras när man letar efter den minsta gemensamma multipeln av olika primtal. Till exempel, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Hitta genom urval

Det andra sättet är att hitta den minsta gemensamma multipeln genom att passa.

Exempel 1. När det största av de givna talen är jämnt delbart med andra givna tal, då är LCM för dessa tal lika med det största av dem. Till exempel med fyra siffror: 60, 30, 10 och 6. Var och en av dem är delbar med 60, därför:

NOC(60; 30; 10; 6) = 60

I andra fall, för att hitta den minsta gemensamma multipeln, används följande procedur:

Bestäm det största antalet från de givna talen.
Därefter hittar vi tal som är multipler av det största talet, multiplicerar det med naturliga tal i stigande ordning och kontrollerar om de återstående givna talen är delbara med den resulterande produkten.

Exempel 2. Givet tre siffror 24, 3 och 18. Bestäm det största av dem - det här är talet 24. Hitta sedan talen som är multiplar av 24, kontrollera om vart och ett av dem är delbart med 18 och med 3:

24 1 = 24 är delbart med 3 men inte delbart med 18.

24 2 = 48 - delbart med 3 men inte delbart med 18.

24 3 \u003d 72 - delbart med 3 och 18.

Så LCM(24, 3, 18) = 72.

Sökning genom sekventiell sökning LCM

Det tredje sättet är att hitta den minsta gemensamma multipeln genom att successivt hitta LCM.

LCM för två givna tal är lika med produkten av dessa tal dividerat med deras största gemensamma delare.

Exempel 1. Hitta LCM för två givna tal: 12 och 8. Bestäm deras största gemensamma delare: GCD (12, 8) = 4. Multiplicera dessa tal:

Vi delar upp produkten i deras GCD:

Så LCM(12, 8) = 24.

För att hitta LCM för tre eller fler nummer, används följande procedur:

Först hittas LCM för två av de givna talen.
Sedan, LCM för den hittade minsta gemensamma multipeln och det tredje givna talet.
Sedan, LCM för den resulterande minsta gemensamma multipeln och det fjärde talet, och så vidare.
LCM-sökningen fortsätter alltså så länge det finns siffror.

Exempel 2. Låt oss hitta LCM för tre givna siffror: 12, 8 och 9. Vi har redan hittat LCM för talen 12 och 8 i föregående exempel (detta är talet 24). Det återstår att hitta den minsta gemensamma multipeln av 24 och det tredje givna talet - 9. Bestäm deras största gemensamma divisor: gcd (24, 9) = 3. Multiplicera LCM med talet 9:

Vi delar upp produkten i deras GCD:

Så LCM(12, 8, 9) = 72.

Överväg lösningen på följande problem. Pojkens steg är 75 cm, och flickans steg är 60 cm. Det är nödvändigt att hitta det minsta avståndet där båda kommer att ta ett helt antal steg.

Beslut. Hela vägen som killarna kommer att gå igenom måste vara delbar med 60 och 70 utan en rest, eftersom de var och en måste ta ett helt antal steg. Med andra ord måste svaret vara en multipel av både 75 och 60.

Först kommer vi att skriva ut alla multipler, för talet 75. Vi får:

75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Låt oss nu skriva ut talen som blir en multipel av 60. Vi får:

60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Nu hittar vi siffrorna som finns i båda raderna.

Gemensamma multipler av tal kommer att vara tal, 300, 600, etc.

Den minsta av dem är talet 300. I det här fallet kommer det att kallas den minsta gemensamma multipeln av talen 75 och 60.

För att återgå till problemets tillstånd kommer det minsta avståndet där killarna tar ett helt antal steg att vara 300 cm. Pojken kommer att gå så här i 4 steg, och flickan måste ta 5 steg.

Hitta den minsta gemensamma multipeln

Den minsta gemensamma multipeln av två naturliga tal a och b är det minsta naturliga talet som är en multipel av både a och b.

För att hitta den minsta gemensamma multipeln av två tal är det inte nödvändigt att skriva ner alla multipler för dessa tal i rad.

Du kan använda följande metod.

Hur man hittar den minsta gemensamma multipeln

Först måste du dekomponera dessa tal i primtalsfaktorer.

60 = 2*2*3*5,
75=3*5*5.

Låt oss nu skriva ner alla faktorer som finns i expansionen av det första talet (2,2,3,5) och addera till det alla de saknade faktorerna från expansionen av det andra talet (5).

Som ett resultat får vi en serie primtal: 2,2,3,5,5. Produkten av dessa siffror kommer att vara den minst gemensamma faktorn för dessa siffror. 2*2*3*5*5 = 300.

Allmänt schema för att hitta den minsta gemensamma multipeln

1. Bryt upp tal i primtalsfaktorer.
2. Skriv ner de primtalsfaktorer som ingår i en av dem.
3. Lägg till dessa faktorer alla de som är i nedbrytningen av resten, men inte i den valda.
4. Hitta produkten av alla faktorer som skrivits ut.

Denna metod är universell. Den kan användas för att hitta den minsta gemensamma multipeln av ett valfritt antal naturliga tal.

Definition. Det största naturliga talet med vilket talen a och b är delbara utan rest kallas största gemensamma divisor (gcd) dessa siffror.

Låt oss hitta den största gemensamma delaren av talen 24 och 35.
Divisorerna för 24 kommer att vara talen 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, och divisorerna för 35 kommer att vara talen 1, 5, 7, 35.
Vi ser att talen 24 och 35 bara har en gemensam divisor - talet 1. Sådana tal kallas coprime.

Definition. De naturliga talen kallas coprime om deras största gemensamma delare (gcd) är 1.

Största gemensamma delare (GCD) kan hittas utan att skriva ut alla divisorer för de givna talen.

Om vi tar hänsyn till siffrorna 48 och 36 får vi:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Från faktorerna som ingår i expansionen av det första av dessa nummer tar vi bort de som inte ingår i expansionen av det andra numret (dvs två tvåor).
Faktorerna 2 * 2 * 3 kvarstår. Deras produkt är 12. Detta tal är den största gemensamma delaren av talen 48 och 36. Den största gemensamma delaren av tre eller flera tal finns också.

Att hitta största gemensamma delaren

2) från de faktorer som ingår i expansionen av ett av dessa nummer, stryk över de som inte ingår i expansionen av andra nummer;
3) hitta produkten av de återstående faktorerna.

Om alla givna tal är delbara med ett av dem, så är detta tal största gemensamma delaren givna siffror.
Till exempel är den största gemensamma delaren för 15, 45, 75 och 180 15, eftersom den delar alla andra tal: 45, 75 och 180.

Minsta gemensamma multipel (LCM)

Definition. Minsta gemensamma multipel (LCM) naturliga tal a och b är det minsta naturliga talet som är en multipel av både a och b. Den minsta gemensamma multipeln (LCM) av talen 75 och 60 kan hittas utan att skriva ut multiplar av dessa tal i rad. För att göra detta delar vi upp 75 och 60 i enkla faktorer: 75 \u003d 3 * 5 * 5 och 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Låt oss skriva ut faktorerna som ingår i expansionen av det första av dessa siffror och lägg till dem de saknade faktorerna 2 och 2 från expansionen av det andra talet (dvs vi kombinerar faktorerna).
Vi får fem faktorer 2 * 2 * 3 * 5 * 5, vars produkt är 300. Detta tal är den minsta gemensamma multipeln av talen 75 och 60.

Hitta även den minsta gemensamma multipeln av tre eller fler tal.

Till hitta den minsta gemensamma multipeln flera naturliga tal, du behöver:
1) sönderdela dem i primära faktorer;
2) skriv ut faktorerna som ingår i expansionen av ett av talen;
3) lägg till de saknade faktorerna från expansionerna av de återstående siffrorna;
4) hitta produkten av de resulterande faktorerna.

Observera att om ett av dessa tal är delbart med alla andra tal, så är detta tal den minsta gemensamma multipeln av dessa tal.
Till exempel skulle den minsta gemensamma multipeln av 12, 15, 20 och 60 vara 60, eftersom den är delbar med alla givna tal.

Pythagoras (VI-talet f.Kr.) och hans elever studerade frågan om delbarhet av tal. Ett tal lika med summan av alla dess divisorer (utan själva talet), kallade de det perfekta talet. Till exempel är siffrorna 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) perfekta. De nästa perfekta talen är 496, 8128, 33 550 336. Pytagoreerna kände bara till de tre första perfekta talen. Den fjärde - 8128 - blev känd på 1:a århundradet. n. e. Den femte - 33 550 336 - hittades på 1400-talet. 1983 var 27 perfekta siffror redan kända. Men hittills vet forskarna inte om det finns udda perfekta tal, om det finns det största perfekta talet.
Forntida matematikers intresse för primtal beror på att vilket tal som helst är antingen primtal eller kan representeras som en produkt av primtal, det vill säga primtal är som tegelstenar från vilka resten av de naturliga talen är byggda.
Du har säkert märkt att primtal i serien av naturliga tal förekommer ojämnt - i vissa delar av serien finns det fler av dem, i andra - färre. Men ju längre vi rör oss längs talserien, desto sällsyntare blir primtalen. Frågan uppstår: finns det sista (största) primtalet? Den antika grekiske matematikern Euklid (3:e århundradet f.Kr.) bevisade i sin bok "Begynnelser", som under två tusen år var den huvudsakliga läroboken i matematik, att det finns oändligt många primtal, det vill säga bakom varje primtal finns det ett jämnt tal. större primtal.
För att hitta primtal kom en annan grekisk matematiker från samma tid, Eratosthenes, på en sådan metod. Han skrev ner alla siffror från 1 till något tal, och strök sedan över enheten, som varken är ett primtal eller ett sammansatt tal, och strök sedan över alla talen efter 2 (tal som är multiplar av 2, dvs. 4, 6, 8, etc.). Det första återstående talet efter 2 var 3. Sedan, efter två, ströks alla siffror efter 3 över (tal som är multiplar av 3, dvs. 6, 9, 12, etc.). i slutändan förblev bara primtalen oöverstrukna.

Eleverna får många matteuppgifter. Bland dem finns det mycket ofta uppgifter med följande formulering: det finns två värden. Hur hittar man den minsta gemensamma multipeln av givna tal? Det är nödvändigt att kunna utföra sådana uppgifter, eftersom de förvärvade färdigheterna används för att arbeta med bråk med olika nämnare. I artikeln kommer vi att analysera hur man hittar LCM och de grundläggande begreppen.

Innan du hittar svaret på frågan om hur man hittar LCM måste du definiera termen multipel. Oftast är ordalydelsen av detta begrepp följande: en multipel av något värde A är ett naturligt tal som kommer att vara delbart med A utan rest. Så för 4, 8, 12, 16, 20 och så vidare, upp till den nödvändiga gränsen.

I det här fallet kan antalet divisorer för ett visst värde begränsas, och det finns oändligt många multiplar. Det finns också samma värde för naturvärden. Detta är en indikator som delas av dem utan en rest. Efter att ha behandlat konceptet med det minsta värdet för vissa indikatorer, låt oss gå vidare till hur man hittar det.

Att hitta NOC

Den minsta multipeln av två eller flera exponenter är det minsta naturliga talet som är helt delbart med alla givna tal.

Det finns flera sätt att hitta ett sådant värde. Låt oss överväga följande metoder:

Om siffrorna är små, skriv sedan på raden alla delbara med det. Fortsätt göra detta tills du hittar något gemensamt bland dem. I posten betecknas de med bokstaven K. Till exempel för 4 och 3 är den minsta multipeln 12.
Om dessa är stora eller om du behöver hitta en multipel för 3 eller fler värden, bör du använda en annan teknik här, som innebär att sönderdela tal till primtalsfaktorer. Lägg först ut den största av de angivna, sedan alla resten. Var och en av dem har sitt eget antal multiplikatorer. Som ett exempel, låt oss dekomponera 20 (2*2*5) och 50 (5*5*2). För den mindre av dem, understryka faktorerna och lägg till den största. Resultatet blir 100, vilket kommer att vara den minsta gemensamma multipeln av ovanstående siffror.
När man hittar 3 nummer (16, 24 och 36) är principerna desamma som för de andra två. Låt oss utöka var och en av dem: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Endast två tvåor från expansionen av talet 16 ingick inte i nedbrytningen av de största. Vi adderar dem och får 144, vilket är det minsta resultatet för de tidigare angivna numeriska värdena.

Nu vet vi vad som är den allmänna tekniken för att hitta det minsta värdet för två, tre eller fler värden. Det finns dock även privata metoder, hjälper till att söka efter NOC, om de tidigare inte hjälper.

Hur man hittar GCD och NOC.

Privata sätt att hitta

Som med alla matematiska avsnitt finns det speciella fall av att hitta LCM som hjälper i specifika situationer:

om ett av talen är delbart med de andra utan rest, då är den lägsta multipeln av dessa tal lika med den (NOC 60 och 15 är lika med 15);
Samprimtal har inga gemensamma primtalsdelare. Deras minsta värde är lika med produkten av dessa tal. För siffrorna 7 och 8 blir detta alltså 56;
samma regel fungerar för andra fall, inklusive speciella, som kan läsas om i facklitteratur. Detta bör även omfatta fall av nedbrytning av sammansatta tal, som är föremål för separata artiklar och till och med doktorsavhandlingar.

Specialfall är mindre vanliga än standardexempel. Men tack vare dem kan du lära dig att arbeta med bråkdelar av varierande grad av komplexitet. Detta gäller särskilt för fraktioner., där det finns olika nämnare.

Några exempel

Låt oss titta på några exempel, tack vare vilka du kan förstå principen att hitta den minsta multipeln:

Vi hittar LCM (35; 40). Vi lägger ut först 35 = 5*7, sedan 40 = 5*8. Vi lägger till 8 till det minsta antalet och får NOC 280.
NOC (45; 54). Vi lägger ut var och en av dem: 45 = 3*3*5 och 54 = 3*3*6. Vi lägger till talet 6 till 45. Vi får NOC lika med 270.
Tja, det sista exemplet. Det finns 5 och 4. Det finns inga enkla multiplar för dem, så den minsta gemensamma multipeln i det här fallet kommer att vara deras produkt, lika med 20.

Tack vare exempel kan du förstå hur NOC är belägen, vad är nyanserna och vad är meningen med sådana manipulationer.

Att hitta NOC är mycket lättare än det kan tyckas vid första tillfället. För detta används både en enkel nedbrytning och multiplikation av enkla värden till varandra.. Förmågan att arbeta med den här delen av matematiken hjälper till vid vidare studier av matematiska ämnen, särskilt bråkdelar av varierande grad av komplexitet.

Glöm inte att regelbundet lösa exempel med olika metoder, detta utvecklar den logiska apparaten och låter dig komma ihåg många termer. Lär dig metoder för att hitta en sådan indikator så kommer du att kunna arbeta bra med resten av de matematiska avsnitten. Lycka till med att lära dig matematik!