„Plăcerea lui X. O călătorie fascinantă în lumea matematicii de la unul dintre cei mai buni profesori din lume” Steven Strogatz

Matematica este limbajul cel mai precis și universal al științei, dar este posibil să explici sentimentele umane cu ajutorul numerelor? Formule de dragoste, semințe de haos și ecuații diferențiale romantice - T&P publică un capitol din cartea „Plăcerea lui X” a unuia dintre cei mai buni profesori de matematică din lume, Steven Strogatz, publicată de Mann, Ivanov și Ferber.

În primăvară, a scris Tennyson, imaginație tânăr se îndreaptă cu ușurință la gânduri de dragoste. Din păcate, un potențial partener al unui tânăr poate avea propriile sale idei despre dragoste, iar atunci relația lor va fi plină de suișuri și coborâșuri turbulente care fac dragostea atât de interesantă și atât de dureroasă. Unii suferinzi de neîmpărtășiți caută o explicație pentru aceste leagăne de dragoste în vin, alții - în poezie. Și ne vom consulta cu calculele.

Analiza de mai jos va fi derizoriu de ironică, dar atinge teme serioase. Mai mult, dacă înțelegerea legilor iubirii ne poate scăpa, atunci legile lumii neînsuflețite sunt acum bine studiate. Ele iau forma unor ecuații diferențiale care descriu modul în care variabilele interdependente se schimbă de la un moment la altul, în funcție de valorile lor curente. Asemenea ecuații s-ar putea să nu aibă prea mult de-a face cu romantismul, dar cel puțin pot face lumină de ce, în cuvintele unui alt poet, „calea iubirii adevărate nu a fost niciodată netedă”. Pentru a ilustra metoda ecuațiilor diferențiale, să presupunem că Romeo o iubește pe Julieta, dar în versiunea noastră a poveștii, Julieta este o iubită cu vânt. Cu cât Romeo o iubește mai mult, cu atât mai mult vrea să se ascundă de el. Dar când Romeo se răcește față de ea, începe să pară neobișnuit de atractiv pentru ea. Cu toate acestea, tânăra iubită tinde să reflecte sentimentele ei: el strălucește când ea îl iubește și se răcește când ea îl urăște.

Ce se întâmplă cu nefericiții noștri iubiți? Cum le absoarbe dragostea și le părăsește în timp? Acesta este locul în care calculul diferențial vine în ajutor. Făcând ecuații care rezumă ascensiunea și căderea sentimentelor lui Romeo și Julieta și apoi rezolvându-le, putem prezice cursul relației de cuplu. Prognoza finală pentru ea va fi un ciclu tragic de nesfârșit de dragoste și ură. Cel puțin un sfert din acest timp vor avea dragoste reciprocă.

Pentru a ajunge la această concluzie, am presupus că comportamentul lui Romeo ar putea fi modelat cu o ecuație diferențială,

care descrie modul în care dragostea lui ® se schimbă în clipa următoare (dt). Conform acestei ecuații, numărul de modificări (dR) este direct proporțional (cu un factor de proporționalitate a) cu dragostea Julietei (J). Această relație reflectă ceea ce știm deja: dragostea lui Romeo crește atunci când Julieta îl iubește, dar sugerează și că dragostea lui Romeo crește direct proporțional cu cât de mult îl iubește Julieta. Această ipoteză a unei relații liniare este neplauzibilă din punct de vedere emoțional, dar face posibilă simplificarea considerabilă a soluției ecuației.

În schimb, comportamentul Julietei poate fi modelat folosind ecuația

Semnul negativ dinaintea constantei b reflectă că dragostea ei se răcește pe măsură ce dragostea lui Romeo se intensifică.

Singurul lucru care rămâne de determinat sunt sentimentele lor inițiale (adică valorile lui R și J la momentul t = 0). După aceea, vor fi setați toți parametrii necesari. Putem folosi computerul pentru a avansa încet, pas cu pas, schimbând valorile lui R și J conform ecuațiilor diferențiale descrise mai sus. De fapt, cu ajutorul teoremei fundamentale a calculului integral, putem găsi soluția analitic. Deoarece modelul este simplu, calculul integral produce câteva formule exhaustive care ne spun cât de mult se vor iubi (sau se vor ura) Romeo și Julieta la un moment dat în viitor.

Ecuațiile diferențiale prezentate mai sus ar trebui să fie familiare studenților la fizică: Romeo și Julieta se comportă ca simple oscilatoare armonice. Astfel, modelul prezice că funcțiile R (t) și J (t), care descriu schimbarea relației lor în timp, vor fi sinusoide, fiecare dintre ele crescând și descrescând, dar valorile lor maxime nu coincid.

„Idee stupidă de descris relatie de iubire cu ajutorul ecuațiilor diferențiale mi-a venit în minte când m-am îndrăgostit pentru prima dată și am încercat să înțeleg comportamentul de neînțeles al iubitei mele "

Modelul poate fi făcut mai realist în multe feluri. De exemplu, Romeo poate răspunde nu numai la sentimentele Julietei, ci și la ale sale. Dacă el este unul dintre acei tipi cărora le este atât de frică să nu fie abandonați încât își va răcori sentimentele. Sau se referă la un alt tip de băieți cărora le place să sufere - de aceea o iubește.

Adăugați la aceste scenarii încă două comportamente ale lui Romeo - el răspunde afecțiunii Julietei fie prin întărirea, fie prin slăbirea propriei afecțiuni - și veți vedea că într-o relație de dragoste sunt patru stil diferit comportament. Elevii mei și studenții grupului lui Peter Christopher de la Institutul Politehnic din Worcester au sugerat denumirea acestor tipuri după cum urmează: Pustnicul sau Mizantropul Rău pentru Romeo care își răcorește sentimentele și se retrage de Julieta și Narcisist Fool și Flirtatious Fink pentru cel care se încălzește ardoarea lui, dar respinsă de Juliet. (Poți veni cu nume proprii pentru toate aceste tipuri).

Deși exemplele date sunt fantastice, tipurile de ecuații care le descriu sunt foarte informative. Sunt cele mai puternice instrumente create vreodată de omenire pentru înțelegere Lumea materială. Sir Isaac Newton a folosit ecuații diferențiale pentru a descoperi secretele mișcării planetare. Cu ajutorul acestor ecuații a combinat cele terestre și sfere cerești, arătând că la ambele se aplică aceleași legi ale mișcării.

La aproape 350 de ani după Newton, omenirea a ajuns să înțeleagă că legile fizicii sunt întotdeauna exprimate în limbajul ecuațiilor diferențiale. Acest lucru este valabil pentru ecuațiile care descriu fluxurile de căldură, aer și apă, pentru legile electricității și magnetismului, chiar și pentru atom, unde domnește mecanica cuantică.

În toate cazurile, fizica teoretică trebuie să găsească ecuațiile diferențiale corecte și să le rezolve. Când Newton a descoperit această cheie a misterelor universului și și-a dat seama de marea ei semnificație, a publicat-o ca anagramă latină. Într-o traducere liberă, sună așa: „Este util să rezolvi ecuații diferențiale”.

Ideea stupidă de a descrie relațiile amoroase folosind ecuații diferențiale mi-a venit în minte când eram îndrăgostit pentru prima dată și încercam să înțeleg comportamentul de neînțeles al iubitei mele. A fost o dragoste de vară la sfârșitul anului doi la facultate. Îmi aminteam foarte mult atunci de primul Romeo, iar ea a fost prima Julieta. Ciclicitatea relației noastre m-a înnebunit până mi-am dat seama că amândoi am acționat prin inerție, în conformitate cu regula simpla„împinge-trage”. Dar până la sfârșitul verii, ecuația mea a început să se destrame și am fost și mai nedumerit. S-a dovedit că s-a întâmplat un eveniment important, de care nu am ținut cont: ea fost iubit a vrut să-l returneze.

În matematică, numim o astfel de problemă problema cu trei corpuri. Este evident de nerezolvat, mai ales în contextul astronomiei, unde a apărut pentru prima dată. După ce Newton a rezolvat ecuațiile diferențiale pentru problema celor două corpuri (ceea ce explică de ce planetele se mișcă pe orbite eliptice în jurul Soarelui), și-a îndreptat atenția către problema celor trei corpuri pentru Soare, Pământ și Lună. Nici el, nici alți oameni de știință nu au reușit să o rezolve. Mai târziu s-a dovedit că problema celor trei corpuri conține semințele haosului, adică, pe termen lung, comportamentul lor este imprevizibil.

Newton nu știa nimic despre dinamica haosului, dar, potrivit prietenului său Edmund Halley, el s-a plâns că problema celor trei corpuri a cauzat durere de capși îl ține treaz atât de des încât nu se va mai gândi la asta.

Iată-mă cu tine, Sir Isaac.

Această carte vă poate schimba radical atitudinea față de matematică. Este format din capitole scurte, în fiecare dintre ele vei descoperi ceva nou. Veți învăța cât de utile sunt numerele pentru a studia lumea din jurul vostru, veți înțelege frumusețea geometriei, vă veți familiariza cu eleganța calculului integral, veți vedea importanța statisticii și veți intra în contact cu infinitul. Autorul explică ideile matematice fundamentale simplu și elegant, dând exemple geniale pe care oricine le poate înțelege.

• Nume: Plăcerea lui X. O călătorie incitantă în lumea matematicii de la unul dintre cei mai buni profesori din lume
• Autor:
• An:
• Gen:

• Descarca
• extras

Plăcerea lui X. O călătorie incitantă în lumea matematicii de la unul dintre cei mai buni profesori din lume
Stephen Strogatz

Această carte vă poate schimba radical atitudinea față de matematică. Este format din capitole scurte, în fiecare dintre ele vei descoperi ceva nou. Veți învăța cât de utile sunt numerele pentru a studia lumea din jurul vostru, veți înțelege frumusețea geometriei, vă veți familiariza cu eleganța calculului integral, veți vedea importanța statisticii și veți intra în contact cu infinitul. Autorul explică ideile matematice fundamentale simplu și elegant, dând exemple geniale pe care oricine le poate înțelege.

Publicat pentru prima dată în limba rusă.

Stephen Strogatz

Plăcerea lui X. O călătorie incitantă în lumea matematicii de la unul dintre cei mai buni profesori din lume

Steven Strogatz

Un tur ghidat al matematicii, de la unu la infinit

Publicat cu permisiunea lui Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

© Steven Strogatz, 2012 Toate drepturile rezervate

© Traducere în rusă, ediție în rusă, design. SRL „Mann, Ivanov și Ferber”, 2014

Toate drepturile rezervate. Nicio parte a versiunii electronice a acestei cărți nu poate fi reprodusă sub nicio formă sau prin orice mijloc, inclusiv postarea pe Internet sau într-o companie...

În 2010, Stephen Strogatz a scris o serie de articole despre bazele matematicii pentru The New York Times. Articolele au stârnit scandal. Fiecare coloană a devenit cel mai popular articol din ziar și a adunat sute de comentarii. Cititorii au cerut mai multe, iar Stephen nu a dezamăgit - a apărut această carte, care a inclus atât părți deja publicate, cât și capitole complet noi.

Matematica pătrunde totul în această lume, inclusiv pe noi înșine, dar, din păcate, puțini oameni înțeleg acest limbaj universal suficient de bine pentru a-i aprecia înțelepciunea și frumusețea. Steven Strogatz este profesorul de matematică la care ai visat în liceu. Un profesor care este capabil să aprindă o scânteie de interes și să insufle o dragoste pe tot parcursul vieții pentru materia sa. În această carte incredibil de ușoară și distractivă, el ne oferă tuturor o a doua șansă de a ne familiariza cu matematica. În fiecare scurt capitol, descoperi ceva nou, de la motivele pentru care sunt necesare numere, până la subiecte precum geometria, calculul integral, statistica și infinitul. Autorul explică idei matematice grozave simplu și elegant, dând exemple geniale pe care oricine le poate înțelege. Această carte este pentru toată lumea. Cei care nu sunt familiarizați cu matematica o vor cunoaște îndeaproape, iar cei care iubesc matematica vor citi cu plăcere despre „regina științelor”.

cuvânt înainte

Am un prieten care, în ciuda meserii (este artist), este pasionat de știință. De câte ori ne întâlnim, el vorbește cu entuziasm despre realizările recenteîn psihologie sau mecanica cuantică. Dar de îndată ce vorbim despre matematică, simte un tremur în genunchi, care îl supără foarte tare. Se plânge că aceste simboluri matematice ciudate nu numai că îl sfidează, dar uneori nici nu știe să le pronunțe.

De fapt, motivul antipatiei lui față de matematică este mult mai profund. El nu va înțelege niciodată ce fac în general matematicienii și ce înseamnă aceștia când spun că această dovadă este elegantă. Uneori glumim că ar trebui să mă așez și să încep să-l învăț chiar de la elementele de bază, literalmente de la 1 + 1 = 2, și să intru în matematică cât de mult poate.

Și deși această idee pare o nebunie, este ceea ce voi încerca să pun în aplicare în această carte. Vă voi ghida prin toate ramurile majore ale științei, de la aritmetică până la matematica superioara pentru ca cei care și-au dorit o a doua șansă să poată profita în sfârșit de ea. Și de data aceasta nu trebuie să te așezi la birou. Această carte nu te va face un expert în matematică. Dar va ajuta să înțelegeți ce studiază această disciplină și de ce este atât de interesantă pentru cei care o înțeleg.

Vom afla cum slam dunk-urile lui Michael Jordan pot ajuta la explicarea elementelor de bază ale calculului. Vă voi arăta o modalitate simplă și uimitoare de a înțelege teorema fundamentală a geometriei euclidiene - teorema lui Pitagora. Vom încerca să ajungem la fundul unora dintre misterele vieții, mari și mici: și-a ucis Jay Simpson soția? cum să mutați salteaua astfel încât să reziste cât mai mult posibil; câți parteneri trebuie să fie schimbați înainte de a se juca o nuntă - și vom vedea de ce unele infinite sunt mai mari decât altele.

Matematica este peste tot, trebuie doar să înveți să o recunoști. Puteți vedea sinusoidul de pe spatele unei zebre, puteți auzi ecouri ale teoremelor lui Euclid din Declarația de Independență; ce să spun, chiar și în rapoartele seci care au precedat Primul Război Mondial, sunt cifre negative. De asemenea, puteți vedea cum noile domenii ale matematicii ne afectează viața astăzi, de exemplu, când căutăm restaurante folosind un computer sau încercăm măcar să înțelegem, sau mai bine zis, să supraviețuim fluctuațiilor înspăimântătoare de pe bursa.

— Citiți online cartea Plăcerea lui X de Stephen Strogatz —

O serie de 15 articole sub denumirea comună Fundamentals of Mathematics a apărut online la sfârșitul lunii ianuarie 2010. Ca răspuns la publicarea lor, au venit scrisori și comentarii de la cititori de toate vârstele, printre care s-au numărat mulți studenți și profesori. Au existat și oameni pur și simplu curioși care, dintr-un motiv sau altul, „și-au pierdut drumul” în înțelegerea științei matematice; acum simt că au ratat ceva care merită și ar dori să încerce din nou. Am fost deosebit de mulțumit de recunoștința părinților mei pentru faptul că cu ajutorul meu au putut să explice matematica copiilor lor, iar ei înșiși au început să o înțeleagă mai bine. Se părea că până și colegii și tovarășii mei, admiratori înfocați ai acestei științe, le-a făcut plăcere să citească articolele, cu excepția acelor momente în care se întreceau pentru a oferi tot felul de recomandări pentru a-mi îmbunătăți urmașii.

În ciuda credinței populare, există un interes clar pentru matematică în societate, deși se acordă puțină atenție acestui fenomen. Auzim doar despre frica de matematică și, totuși, mulți ar încerca bucuroși să o înțeleagă mai bine. Și odată ce se întâmplă acest lucru, va fi dificil să le rupeți.

Această carte vă va introduce în cele mai complexe și avansate idei din lumea matematicii. Capitolele sunt scurte, ușor de citit și nu depind cu adevărat unul de celălalt. Printre acestea se numără și cele incluse în acea primă serie de articole din New York Times. Așa că, de îndată ce simți o ușoară foame de matematică, nu ezita să te ocupi de următorul capitol. Dacă doriți să înțelegeți problema care vă interesează mai în detaliu, atunci la sfârșitul cărții există note cu Informații suplimentareși sugestii despre ce altceva să citiți despre el.

Plăcerea lui X - Steven Strogatz (descărcare)

(versiune introductivă)

Și, în sfârșit, vă oferim să vizionați un videoclip interesant

Această carte este bine completată de:

Quanta

Scott Patterson

creier

Ken Jennings

minge de bani

Michael Lewis

Minte flexibilă

Carol Dweck

Fizica Bursei de Valori

James Weatherall

Bucuria de X

Un tur ghidat al matematicii, de la unu la infinit

Stephen Strogatz

placere de la X

O călătorie captivantă în lumea matematicii de la unul dintre cei mai buni profesori din lume

Informații de la editor

Publicat pentru prima dată în limba rusă

Publicat cu permisiunea lui Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Strogats, P.

placere de la X. O călătorie incitantă în lumea matematicii de la unul dintre cei mai buni profesori din lume / Stephen Strogatz; pe. din engleza. - M. : Mann, Ivanov și Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Această carte vă poate schimba radical atitudinea față de matematică. Este format din capitole scurte, în fiecare dintre ele vei descoperi ceva nou. Veți învăța cât de utile sunt numerele pentru a studia lumea din jurul vostru, veți înțelege frumusețea geometriei, vă veți familiariza cu eleganța calculului integral, veți vedea importanța statisticii și veți intra în contact cu infinitul. Autorul explică ideile matematice fundamentale simplu și elegant, dând exemple geniale pe care oricine le poate înțelege.

Toate drepturile rezervate.

Nicio parte a acestei cărți nu poate fi reprodusă sub nicio formă fără permisiunea scrisă a deținătorilor drepturilor de autor.

Suportul juridic al editurii este asigurat de firmă de avocatură"Vegas Lex"

© Steven Strogatz, 2012 Toate drepturile rezervate

© Traducere în rusă, ediție în rusă, design. SRL „Mann, Ivanov și Ferber”, 2014

cuvânt înainte

Am un prieten care, în ciuda meserii (este artist), este pasionat de știință. Ori de câte ori ne întâlnim, el vorbește cu entuziasm despre cele mai recente evoluții în psihologie sau mecanică cuantică. Dar de îndată ce vorbim despre matematică, simte un tremur în genunchi, care îl supără foarte tare. Se plânge că aceste simboluri matematice ciudate nu numai că îl sfidează, dar uneori nici nu știe să le pronunțe.

De fapt, motivul antipatiei lui față de matematică este mult mai profund. El nu va înțelege niciodată ce fac în general matematicienii și ce înseamnă aceștia când spun că această dovadă este elegantă. Uneori glumim că ar trebui să mă așez și să încep să-l învăț chiar de la elementele de bază, literalmente de la 1 + 1 = 2, și să intru în matematică cât de mult poate.

Și deși această idee pare o nebunie, este ceea ce voi încerca să pun în aplicare în această carte. Vă voi ghida prin toate ramurile majore ale științei, de la aritmetică la matematică avansată, pentru ca cei care și-au dorit o a doua șansă să o poată profita în sfârșit. Și de data aceasta nu trebuie să te așezi la birou. Această carte nu te va face un expert în matematică. Dar va ajuta să înțelegeți ce studiază această disciplină și de ce este atât de interesantă pentru cei care o înțeleg.

Vom afla cum slam dunk-urile lui Michael Jordan pot ajuta la explicarea elementelor de bază ale calculului. Vă voi arăta o modalitate simplă și uimitoare de a înțelege teorema fundamentală a geometriei euclidiene - teorema lui Pitagora. Vom încerca să ajungem la fundul unora dintre misterele vieții, mari și mici: și-a ucis Jay Simpson soția? cum să mutați salteaua astfel încât să reziste cât mai mult posibil; câți parteneri trebuie să fie schimbați înainte de a se juca o nuntă - și vom vedea de ce unele infinite sunt mai mari decât altele.

Matematica este peste tot, trebuie doar să înveți să o recunoști. Puteți vedea sinusoidul de pe spatele unei zebre, puteți auzi ecouri ale teoremelor lui Euclid din Declarația de Independență; ce să spun, chiar și în rapoartele seci care au precedat Primul Război Mondial, sunt cifre negative. De asemenea, puteți vedea cum noile domenii ale matematicii ne afectează viața astăzi, de exemplu, când căutăm restaurante folosind un computer sau încercăm măcar să înțelegem, sau mai bine zis, să supraviețuim fluctuațiilor înspăimântătoare de pe bursa.

O serie de 15 articole sub titlul general „Fundamentals of Mathematics” a apărut online la sfârșitul lunii ianuarie 2010. Ca răspuns la publicarea lor, au venit scrisori și comentarii de la cititori de toate vârstele, printre care s-au numărat mulți studenți și profesori. Au existat și oameni pur și simplu curioși care, dintr-un motiv sau altul, „și-au pierdut drumul” în înțelegerea științei matematice; acum simt că le-a ratat ceva. despreși aș vrea să încerc din nou. Am fost deosebit de mulțumit de recunoștința părinților mei pentru faptul că cu ajutorul meu au putut să explice matematica copiilor lor, iar ei înșiși au început să o înțeleagă mai bine. Se părea că până și colegii și tovarășii mei, admiratori înfocați ai acestei științe, le-a făcut plăcere să citească articolele, cu excepția acelor momente în care se întreceau pentru a oferi tot felul de recomandări pentru a-mi îmbunătăți urmașii.

În ciuda credinței populare, există un interes clar pentru matematică în societate, deși se acordă puțină atenție acestui fenomen. Auzim doar despre frica de matematică și, totuși, mulți ar încerca bucuroși să o înțeleagă mai bine. Și odată ce se întâmplă acest lucru, va fi dificil să le rupeți.

Această carte vă va introduce în cele mai complexe și avansate idei din lumea matematicii. Capitolele sunt scurte, ușor de citit și nu depind cu adevărat unul de celălalt. Printre acestea se numără și cele incluse în acea primă serie de articole din New York Times. Așa că, de îndată ce simți o ușoară foame matematică, nu ezita să te ocupi de următorul capitol. Dacă doriți să înțelegeți problema care vă interesează mai detaliat, atunci la sfârșitul cărții există note cu informații suplimentare și recomandări despre ce altceva puteți citi despre ea.

Pentru comoditatea cititorilor care preferă o abordare pas cu pas, am împărțit materialul în șase părți, în conformitate cu ordinea tradițională a subiectelor.

Partea I „Numerele” începe călătoria noastră cu aritmetica în grădiniţăși școală primară. Arată cât de utile pot fi numerele și cât de eficiente sunt magice în descrierea lumii din jurul nostru.

Partea a II-a „Ratorii” mută atenția de la numerele în sine către relațiile dintre ele. Aceste idei se află în centrul algebrei și sunt primele instrumente pentru a descrie modul în care unul îl afectează pe celălalt, arătând relația cauzală dintre o varietate de lucruri: cerere și ofertă, stimul și reacție - pe scurt, tot felul de relații care fac lumea. atât de divers și bogat...

Partea a III-a „Figuri” nu este despre numere și simboluri, ci despre figuri și spațiu - domeniul geometriei și trigonometriei. Aceste subiecte, împreună cu descrierea tuturor obiectelor observabile prin forme, cu ajutorul raționamentului logic și a demonstrației, ridică matematica la nou nivel precizie.

În partea a IV-a „Timpul schimbării”, ne vom uita la calcul - cea mai impresionantă și mai multifațetă arie a matematicii. Calculul face posibilă prezicerea traiectoriei planetelor, ciclurile mareelor ​​și face posibilă înțelegerea și descrierea tuturor proceselor și fenomenelor care se schimbă periodic din Univers și din interiorul nostru. Un loc important în această parte este dedicat studiului infinitului, a cărui pacificare a fost o descoperire care a permis calculelor să funcționeze. Calculul a ajutat la rezolvarea multor probleme care au apărut în lumea antică, iar acest lucru a condus în cele din urmă la o revoluție în știință și în lumea modernă.

Partea a V-a „Multe fețe ale datelor” tratează probabilitatea, statistica, rețelele și prelucrarea datelor - acestea sunt încă domenii relativ tinere, generate de aspectele nu întotdeauna ordonate ale vieții noastre, cum ar fi oportunitatea și norocul, incertitudinea, riscul, volatilitatea, aleatorietatea. , interdependență. Folosind instrumentele de matematică potrivite și tipurile de date potrivite, vom învăța să identificăm tipare într-un flux de aleatoriu.

La sfârșitul călătoriei noastre în partea a VI-a „Limitele posibilului” ne vom apropia de limitele cunoștințelor matematice, zona de graniță dintre ceea ce este deja cunoscut și ceea ce este încă evaziv și necunoscut. Vom parcurge din nou subiectele în ordinea cu care suntem deja familiarizați: numere, rapoarte, forme, modificări și infinit - dar, în același timp, le vom considera pe fiecare dintre ele mai în profunzime, în încarnarea sa modernă.