Exemple de ecuații exponențiale și inegalități. inegalități exponențiale

Universitatea de Stat din Belgorod

SCAUN algebră, teoria numerelor și geometrie

Tema de lucru: Ecuații și inegalități exponențiale-putere.

Munca de absolvent student al Facultății de Fizică și Matematică

supraveghetor:

______________________________

Revizor: ________________________________

________________________

Belgorod. 2006

Introducere			3
Subiect eu.	Analiza literaturii de specialitate pe tema de cercetare.
Subiect II.	Funcțiile și proprietățile lor utilizate în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților de putere exponențială.
	I.1.	Funcția de putereși proprietățile sale.
	I.2.	Functie exponentialași proprietățile sale.
Subiect III.	Rezolvarea ecuațiilor de putere exponențială, algoritm și exemple.
Subiect IV.	Rezolvarea inegalităților exponențiale-putere, plan de soluții și exemple.
Subiect v.	Experiență în conducerea cursurilor cu școlari pe tema: „Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților exponențiale-putere”.
v. 1.	Material didactic.
v. 2.	Sarcini pentru soluție independentă.
Concluzie.	Concluzii si oferte.
Bibliografie.
Aplicații

Introducere.

„... bucuria de a vedea și înțelege...”

A. Einstein.

În această lucrare, am încercat să transmit experiența mea de profesor de matematică, să transmit, cel puțin într-o oarecare măsură, atitudinea mea față de predarea ei - o chestiune umană în care știința matematică, pedagogia, didactica, psihologia și chiar filosofia sunt surprinzător. împletite.

Am avut ocazia să lucrez cu copii și absolvenți, cu copii care stau la polii dezvoltării intelectuale: cei care erau înscriși la psihiatru și care erau cu adevărat interesați de matematică.

A trebuit să rezolv multe probleme metodologice. Voi încerca să vorbesc despre cele pe care am reușit să le rezolv. Dar și mai mult - nu a fost posibil, iar în cele care par a fi rezolvate apar noi întrebări.

Dar și mai importante decât experiența în sine sunt reflecțiile și îndoielile profesorului: de ce este exact așa, această experiență?

Iar vara este diferită acum, iar rândul educației a devenit mai interesant. „Sub Jupiteri” astăzi nu este căutarea unui sistem optim mitic de predare „toată lumea și totul”, ci copilul însuși. Dar apoi – cu necesitate – și profesorul.

La cursul școlar de algebră și a început analiza, clasele 10 - 11, cu promovarea examenului pe curs liceu iar la examenele de admitere la universități există ecuații și inegalități care conțin necunoscutul la bază și exponenți - sunt ecuații și inegalități exponențiale-putere.

Li se acordă puțină atenție la școală, practic nu există sarcini pe această temă în manuale. Totuși, stăpânirea tehnicii de rezolvare a acestora, mi se pare, este foarte utilă: crește mentalul și Abilități creative studenților, în fața noastră se deschid orizonturi complet noi. La rezolvarea problemelor, elevii dobândesc primele deprinderi muncă de cercetare, cultura lor matematică este îmbogățită, capacitatea lor de a gandire logica. Elevii dezvoltă astfel de trăsături de personalitate precum intenția, stabilirea de obiective, independența, care le vor fi utile în viața ulterioară. Și, de asemenea, există o repetare, extindere și asimilare profundă a materialului educațional.

Am început să lucrez la acest subiect din cercetarea tezei mele cu scrierea unei lucrări de termen. În cursul căreia am studiat și analizat mai aprofundat literatura de specialitate pe această temă, am identificat cea mai potrivită metodă de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților exponențiale-putere.

Constă în faptul că, pe lângă abordarea general acceptată la rezolvarea ecuațiilor de putere exponențială (baza se ia mai mare decât 0) și la rezolvarea acelorași inegalități (baza se consideră mai mare decât 1 sau mai mare decât 0, dar mai mică decât 1), sunt luate în considerare și cazurile când bazele sunt negative, sunt 0 și 1.

Analiza scrisa lucrări de examen elevii arată că lipsa de acoperire a problemei valorii negative a argumentului funcţiei exponenţial-putere din manualele şcolare le provoacă o serie de dificultăţi şi duce la erori. Și, de asemenea, au probleme la etapa de sistematizare a rezultatelor obținute, unde, din cauza trecerii la ecuație - o consecință sau inegalitate - o consecință, pot apărea rădăcini străine. Pentru a elimina erorile, folosim o verificare a ecuației sau inegalității inițiale și un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor de putere exponențială sau un plan pentru rezolvarea inegalităților de putere exponențială.

Pentru ca studenții să promoveze cu succes examenele finale și de admitere, cred că este necesar să se acorde mai multă atenție rezolvării ecuațiilor și inegalităților exponențiale-putere în clasă, sau suplimentar la opțiuni și cercuri.

Prin urmare subiect , Ale mele teza se definește astfel: „Ecuații și inegalități exponențiale-putere”.

Goluri din această lucrare sunt:

1. Analizați literatura pe această temă.

2. Dă analiză completă soluții ale ecuațiilor și inegalităților exponențiale-putere.

3. Dați un număr suficient de exemple pe această temă de diferite tipuri.

4. Verificați la lecție, orele opționale și în cerc modul în care vor fi percepute metodele propuse pentru rezolvarea ecuațiilor și inegalităților exponențiale-putere. Oferiți recomandări adecvate pentru studiul acestui subiect.

Subiect cercetarea noastră este de a dezvolta o tehnică de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților exponențiale de putere.

Scopul și subiectul studiului au necesitat rezolvarea următoarelor sarcini:

1. Studiați literatura de specialitate pe tema: „Ecuații și inegalități exponențiale-putere”.

2. Stăpânește metodele de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților exponențiale-putere.

3. Selectați materialul de instruire și dezvoltați un sistem de exerciții la diferite niveluri pe tema: „Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților exponențiale-putere”.

Pe parcursul cercetării tezei, mai mult de 20 de lucrări dedicate aplicării diverse metode soluții ale ecuațiilor și inegalităților exponențiale-putere. De aici ajungem.

Planul tezei:

Introducere.

Capitolul I. Analiza literaturii de specialitate pe tema de cercetare.

Capitolul II. Funcțiile și proprietățile lor utilizate în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților de putere exponențială.

II.1. Funcția de putere și proprietățile acesteia.

II.2. Funcția exponențială și proprietățile ei.

Capitolul III. Rezolvarea ecuațiilor de putere exponențială, algoritm și exemple.

Capitolul IV. Rezolvarea inegalităților exponențiale-putere, plan de soluții și exemple.

Capitolul V. Experiență în conducerea cursurilor cu școlari pe această temă.

1. Material educativ.

2. Sarcini pentru soluție independentă.

Concluzie. Concluzii si oferte.

Lista literaturii folosite.

Literatura analizată în capitolul I

În această lecție, vom lua în considerare diverse inegalități exponențiale și vom învăța cum să le rezolvăm pe baza metodei de rezolvare a celor mai simple inegalități exponențiale

1. Definiția și proprietățile funcției exponențiale

Amintiți-vă definiția și principalele proprietăți ale unei funcții exponențiale. Soluția tuturor ecuațiilor și inegalităților exponențiale se bazează pe proprietăți.

Functie exponentiala este o funcție de forma , unde baza este gradul și Aici x este o variabilă independentă, un argument; y - variabilă dependentă, funcție.

Orez. 1. Graficul funcției exponențiale

Graficul prezintă un exponent crescător și descrescător, ilustrând funcția exponențială la o bază mai mare decât unu și mai mică decât unu, dar mai mare decât zero, respectiv.

Ambele curbe trec prin punctul (0;1)

Proprietățile funcției exponențiale:

Domeniu: ;

Interval de valori: ;

Funcția este monotonă, crește cu , scade cu .

O funcție monotonă ia fiecare dintre valorile sale cu o singură valoare a argumentului.

Când , când argumentul crește de la minus la plus infinit, funcția crește de la zero, neinclusiv, la plus infinit, adică pentru valori date ale argumentului, avem o funcție crescătoare monotonă (). Când, dimpotrivă, atunci când argumentul crește de la minus la plus infinit, funcția scade de la infinit la zero, inclusiv, adică pentru valori date ale argumentului, avem o funcție monotonă descrescătoare ().

2. Cele mai simple inegalități exponențiale, tehnica soluției, exemplu

Pe baza celor de mai sus, prezentăm o metodă de rezolvare a celor mai simple inegalități exponențiale:

Metoda de rezolvare a inegalităților:

Echivalează bazele gradelor;

Comparați indicatorii, păstrând sau schimbând semnul opus al inegalității.

Soluția inegalităților exponențiale complexe constă, de regulă, în reducerea lor la cele mai simple inegalități exponențiale.

Baza gradului este mai mare decât unu, ceea ce înseamnă că semnul inegalității este păstrat:

Să transformăm partea dreaptă în funcție de proprietățile gradului:

Baza gradului este mai mică de unu, semnul inegalității trebuie inversat:

Pentru a rezolva o inegalitate pătratică, rezolvăm ecuația pătratică corespunzătoare:

După teorema lui Vieta, găsim rădăcinile:

Ramurile parabolei sunt îndreptate în sus.

Astfel, avem o soluție la inegalitate:

Este ușor de ghicit că partea dreaptă poate fi reprezentată ca o putere cu exponent zero:

Baza gradului este mai mare decât unu, semnul inegalității nu se schimbă, obținem:

Amintiți-vă procedura de rezolvare a unor astfel de inegalități.

Luați în considerare o funcție rațională fracțională:

Găsirea domeniului definiției:

Găsim rădăcinile funcției:

Funcția are o singură rădăcină,

Selectăm intervale de constanță a semnului și determinăm semnele funcției pe fiecare interval:

Orez. 2. Intervale de constanță a semnelor

Deci am primit răspunsul.

Răspuns:

3. Rezolvarea inegalităților exponențiale tipice

Luați în considerare inegalitățile cu aceiași exponenți, dar baze diferite.

Una dintre proprietățile unei funcții exponențiale este că ia valori strict pozitive pentru orice valoare a argumentului, ceea ce înseamnă că poate fi împărțită într-o funcție exponențială. Să împărțim inegalitatea dată la partea sa dreaptă:

Baza gradului este mai mare decât unu, se păstrează semnul inegalității.

Să ilustrăm soluția:

Figura 6.3 prezintă graficele funcţiilor şi . Evident, când argumentul este mai mare decât zero, graficul funcției este situat mai sus, această funcție este mai mare. Când valorile argumentului sunt negative, funcția trece mai jos, este mai mică. Dacă valoarea argumentului este egală, atunci punctul dat este și o soluție a inegalității date.

Orez. 3. Ilustrație de exemplu 4

Transformăm inegalitatea dată în funcție de proprietățile gradului:

Iată membri similari:

Să împărțim ambele părți în:

Acum continuăm să rezolvăm în mod similar cu exemplul 4, împărțim ambele părți la:

Baza gradului este mai mare decât unu, se păstrează semnul inegalității:

4. Rezolvarea grafică a inegalităților exponențiale

Exemplul 6 - rezolvați grafic inegalitatea:

Luați în considerare funcțiile din partea stângă și dreaptă și reprezentați grafic fiecare dintre ele.

Funcția este un exponent, crește pe întregul său domeniu de definiție, adică pentru toate valorile reale ale argumentului.

Funcția este liniară, descrescând pe întregul său domeniu de definiție, adică pentru toate valorile reale ale argumentului.

Dacă aceste funcții se intersectează, adică sistemul are o soluție, atunci o astfel de soluție este unică și poate fi ușor de ghicit. Pentru a face acest lucru, repetați peste numere întregi ()

Este ușor de observat că rădăcina acestui sistem este:

Astfel, graficele funcțiilor se intersectează într-un punct cu un argument egal cu unu.

Acum trebuie să obținem un răspuns. Sensul inegalității date este că exponentul trebuie să fie mai mare sau egal cu funcția liniară, adică trebuie să fie mai mare sau egal cu aceasta. Răspunsul este evident: (Figura 6.4)

Orez. 4. Ilustrație de exemplu 6

Deci, am luat în considerare soluția diferitelor inegalități exponențiale tipice. În continuare, ne întoarcem la considerarea inegalităților exponențiale mai complexe.

Bibliografie

Mordkovich A. G. Algebră și începuturi analiză matematică. - M.: Mnemosyne. Muravin G. K., Muravina O. V. Algebra și începuturile analizei matematice. - M.: Gutarda. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. et al. Algebra și începuturile analizei matematice. - M.: Iluminismul.

Matematică. md . Matematica-repetitie. com. Diffur. kemsu. ru.

Teme pentru acasă

1. Algebra și începuturile analizei, clasele 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, nr. 472, 473;

2. Rezolvați inegalitatea:

3. Rezolvați inegalitatea.

Mulți oameni cred că inegalitățile exponențiale sunt ceva atât de complicat și de neînțeles. Și că a învăța să le rezolvi este aproape o mare artă, pe care numai Aleșii sunt capabili să o înțeleagă...

Prostii complete! Inegalitățile exponențiale sunt ușoare. Și sunt întotdeauna ușor de rezolvat. Ei bine, aproape întotdeauna. :)

Astăzi vom analiza acest subiect pe larg. Această lecție va fi foarte utilă pentru cei care abia încep să înțeleagă această secțiune a matematicii școlare. Sa incepem cu sarcini simpleși să trecem la mai multe întrebări dificile. Astăzi nu va fi nimic, dar ceea ce veți citi acum va fi suficient pentru a rezolva majoritatea inegalităților pe toate tipurile de control și muncă independentă. Și la acest examen, de asemenea.

Ca întotdeauna, să începem cu o definiție. O inegalitate exponențială este orice inegalitate care conține o funcție exponențială. Cu alte cuvinte, poate fi întotdeauna redusă la o inegalitate a formei

\[((a)^(x)) \gt b\]

Unde rolul lui $b$ poate fi un număr obișnuit, sau poate ceva mai dur. Exemple? Da, te rog:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(X))). \\\end(align)\]

Cred că sensul este clar: există o funcție exponențială $((a)^(x))$, este comparată cu ceva și apoi i se cere să găsească $x$. În cazuri mai ales clinice, în locul variabilei $x$, pot pune o funcție $f\left(x \right)$ și astfel pot complica puțin inegalitatea. :)

Desigur, în unele cazuri, inegalitatea poate părea mai gravă. De exemplu:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Sau chiar asta:

În general, complexitatea unor astfel de inegalități poate fi foarte diferită, dar până la urmă ele se rezumă totuși la o construcție simplă $((a)^(x)) \gt b$. Și ne vom ocupa cumva de un astfel de design (în special în cazuri clinice, când nu ne vine nimic în minte, logaritmii ne vor ajuta). Prin urmare, acum vom învăța cum să rezolvăm astfel de construcții simple.

Rezolvarea celor mai simple inegalități exponențiale

Să ne uităm la ceva foarte simplu. De exemplu, aici este:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Evident, numărul din dreapta poate fi rescris ca o putere a doi: $4=((2)^(2))$. Astfel, inegalitatea originală este rescrisă într-o formă foarte convenabilă:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

Iar acum mâinile sunt mâncărime să „trisească” zeii, stând în bazele gradelor, pentru a obține răspunsul $x \gt 2$. Dar înainte de a tăia ceva, să ne amintim puterile a doi:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

După cum vedem ce Mai mult stă în exponent, cu atât numărul de ieșire este mai mare. — Mulțumesc, Cap! va exclama unul dintre elevi. Se întâmplă altfel? Din păcate, se întâmplă. De exemplu:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ dreapta))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Și aici totul este logic: cu cât gradul este mai mare, cu atât numărul 0,5 este înmulțit cu el însuși (adică se împarte la jumătate). Astfel, succesiunea de numere rezultată este în scădere, iar diferența dintre prima și a doua secvență este doar în bază:

• Dacă baza gradului $a \gt 1$, atunci pe măsură ce exponentul $n$ crește, va crește și numărul $((a)^(n))$;
• În schimb, dacă $0 \lt a \lt 1$, atunci pe măsură ce exponentul $n$ crește, numărul $((a)^(n))$ va scădea.

Rezumând aceste fapte, obținem cea mai importantă afirmație, pe care se bazează întreaga soluție a inegalităților exponențiale:

Dacă $a \gt 1$, atunci inegalitatea $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ este echivalentă cu inegalitatea $x \gt n$. Dacă $0 \lt a \lt 1$, atunci inegalitatea $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ este echivalentă cu inegalitatea $x \lt n$.

Cu alte cuvinte, dacă baza este mai mare decât unu, o puteți elimina pur și simplu - semnul inegalității nu se va schimba. Și dacă baza este mai mică de unu, atunci poate fi, de asemenea, eliminată, dar și semnul inegalității va trebui schimbat.

Rețineți că nu am luat în considerare opțiunile $a=1$ și $a\le 0$. Pentru că în aceste cazuri există incertitudine. Să presupunem cum se rezolvă o inegalitate de forma $((1)^(x)) \gt 3$? Un unu oricărei puteri va da din nou unul - nu vom primi niciodată un trei sau mai mult. Acestea. nu exista solutii.

Cu baze negative, este și mai interesant. Luați în considerare, de exemplu, următoarea inegalitate:

\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]

La prima vedere, totul este simplu:

Corect? Dar nu! Este suficient să înlocuiți în loc de $x$ o pereche de numere pare și un cuplu numere impare pentru a te asigura că soluția este greșită. Aruncă o privire:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

După cum puteți vedea, semnele se alternează. Dar există încă grade fracționale și alte staniu. Cum, de exemplu, ați comanda să numărați $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus doi ridicați la rădăcina lui șapte)? În nici un caz!

Prin urmare, pentru certitudine, presupunem că în toate inegalitățile exponențiale (și ecuațiile, de altfel, de asemenea) $1\ne a \gt 0$. Și apoi totul este rezolvat foarte simplu:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(aliniere) \dreapta.\]

În general, amintiți-vă încă o dată regula principală: dacă baza din ecuația exponențială este mai mare decât unu, o puteți elimina pur și simplu; iar dacă baza este mai mică de unu, poate fi, de asemenea, eliminată, dar acest lucru va schimba semnul inegalității.

Exemple de soluții

Deci, luați în considerare câteva inegalități exponențiale simple:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(align)\]

Sarcina principală este aceeași în toate cazurile: reducerea inegalităților la cea mai simplă formă $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Aceasta este ceea ce vom face acum cu fiecare inegalitate și, în același timp, vom repeta proprietățile puterilor și funcția exponențială. Deci să mergem!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Ce se poate face aici? Ei bine, în stânga avem deja o expresie demonstrativă - nimic nu trebuie schimbat. Dar în dreapta este un fel de porcărie: o fracție și chiar o rădăcină în numitor!

Cu toate acestea, amintiți-vă regulile de lucru cu fracții și puteri:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(align)\]

Ce înseamnă? În primul rând, putem scăpa cu ușurință de fracție transformând-o într-un exponent negativ. Și în al doilea rând, deoarece numitorul este rădăcina, ar fi bine să-l transformăm într-un grad - de data aceasta cu un exponent fracționar.

Să aplicăm secvențial aceste acțiuni în partea dreaptă a inegalității și să vedem ce se întâmplă:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac() 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Nu uitați că atunci când ridicați un grad la o putere, se adaugă exponenții acestor grade. Și, în general, atunci când lucrați cu ecuații și inegalități exponențiale, este absolut necesar să cunoașteți cel puțin cele mai simple reguli pentru lucrul cu puteri:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(align)\]

De fapt, ultima regula tocmai am aplicat. Prin urmare, inegalitatea noastră originală va fi rescrisă după cum urmează:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Acum scăpăm de zeul de la bază. Deoarece 2 > 1, semnul inegalității rămâne același:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

Asta e toata solutia! Principala dificultate nu este deloc în funcția exponențială, ci în transformarea competentă a expresiei originale: trebuie să o aduceți cu atenție și cât mai repede posibil la forma sa cea mai simplă.

Luați în considerare a doua inegalitate:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Asa si asa. Aici așteptăm fracțiile zecimale. După cum am spus de multe ori, în orice expresii cu puteri, ar trebui să scapi de fracțiile zecimale - adesea aceasta este singura modalitate de a vedea o soluție rapidă și ușoară. Iată de ce vom scăpa:

\[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ dreapta))^(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\end(align)\]

În fața noastră este din nou cea mai simplă inegalitate, și chiar și cu baza 1/10, i.e. mai putin de unul. Ei bine, eliminăm bazele, schimbând simultan semnul de la „mai puțin” la „mai mare”, și obținem:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(align)\]

Am primit răspunsul final: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Vă rugăm să rețineți că răspunsul este exact mulțimea și în niciun caz nu este construcția formei $x \lt -1$. Pentru că formal o astfel de construcție nu este deloc o mulțime, ci o inegalitate față de variabila $x$. Da, este foarte simplu, dar nu este răspunsul!

Notă importantă. Această inegalitate ar putea fi rezolvată într-un alt mod - prin reducerea ambelor părți la o putere cu o bază mai mare de unu. Aruncă o privire:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

După această transformare, primim din nou inegalitatea exponenţială, dar cu baza 10 > 1. Și asta înseamnă că puteți tăia pur și simplu zece - semnul inegalității nu se va schimba. Primim:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(align)\]

După cum puteți vedea, răspunsul este exact același. În același timp, ne-am salvat de nevoia de a schimba semnul și, în general, ne-am amintit câteva reguli de acolo. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Totuși, nu lăsa asta să te sperie. Indiferent ce se află în indicatori, tehnologia de rezolvare a inegalității în sine rămâne aceeași. Prin urmare, observăm mai întâi că 16 = 2 4 . Să rescriem inegalitatea inițială ținând cont de acest fapt:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Ura! Avem de obicei inegalitatea pătratului! Semnul nu s-a schimbat nicăieri, deoarece baza este un doi - un număr mai mare decât unu.

Funcția zerouri pe linia numerică

Aranjam semnele functiei $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - evident, graficul acesteia va fi o parabolă cu ramuri în sus, deci vor fi „plusuri” ” pe laterale. Ne interesează regiunea în care funcția este mai mică decât zero, adică. $x\in \left(2;5 \right)$ este răspunsul la problema inițială.

În cele din urmă, luați în considerare o altă inegalitate:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Din nou vedem o funcție exponențială cu o fracție zecimală în bază. Să transformăm această fracție într-o fracție comună:

\[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2)^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

În acest caz, am profitat de observația făcută mai devreme - am redus baza la numărul 5\u003e 1 pentru a simplifica decizia noastră ulterioară. Să facem același lucru cu partea dreaptă:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ dreapta))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Să rescriem inegalitatea inițială, ținând cont de ambele transformări:

\[(((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \dreapta)))\ge ((5)^(-2))\]

Bazele de pe ambele părți sunt aceleași și mai mari decât una. Nu există alți termeni la dreapta și la stânga, așa că pur și simplu „tașăm” cei cinci și obținem o expresie foarte simplă:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

Aici trebuie să fii atent. Mulți studenți le place să extragă pur și simplu Rădăcină pătrată ambele părți ale inegalității și scrieți ceva de genul $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Nu ar trebui să faceți niciodată acest lucru, deoarece rădăcina unui pătrat exact este modul și în niciun caz variabila originală:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\dreapta|\]

Cu toate acestea, lucrul cu module nu este cea mai plăcută experiență, nu? Deci nu vom lucra. În schimb, pur și simplu mutăm toți termenii la stânga și rezolvăm inegalitatea obișnuită folosind metoda intervalului:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$

Din nou, notăm punctele obținute pe linia numerică și ne uităm la semnele:

Vă rugăm să rețineți: punctele sunt umbrite.

Deoarece rezolvăm o inegalitate nestrictă, toate punctele din grafic sunt umbrite. Prin urmare, răspunsul va fi: $x\in \left[ -1;1 \right]$ nu este un interval, ci un segment.

În general, aș dori să observ că nu este nimic complicat în inegalitățile exponențiale. Semnificația tuturor transformărilor pe care le-am efectuat astăzi se rezumă la un simplu algoritm:

• Găsiți baza la care vom reduce toate gradele;
• Efectuați cu atenție transformări pentru a obține o inegalitate de forma $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Desigur, în locul variabilelor $x$ și $n$ pot exista funcții mult mai complexe, dar asta nu schimbă sensul;
• Tăiați bazele gradelor. În acest caz, semnul de inegalitate se poate schimba dacă baza $a \lt 1$.

De fapt, acesta este un algoritm universal pentru rezolvarea tuturor acestor inegalități. Și tot ceea ce vi se va spune pe acest subiect este doar trucuri și trucuri specifice pentru a simplifica și accelera transformarea. Iată unul dintre acele trucuri despre care vom vorbi acum. :)

metoda de raționalizare

Luați în considerare un alt lot de inegalități:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right)))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9)) \dreapta))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Ei bine, ce este atât de special la ei? De asemenea, sunt ușoare. Deși, oprește-te! Este pi ridicat la putere? Ce fel de prostii?

Și cum să ridici numărul $2\sqrt(3)-3$ la o putere? Sau $3-2\sqrt(2)$? Compilatorii problemelor au băut, evident, prea mult „păducel” înainte de a se așeza la muncă. :)

De fapt, nu este nimic în neregulă cu aceste sarcini. Permiteți-mi să vă reamintesc: o funcție exponențială este o expresie de forma $((a)^(x))$, unde baza $a$ este orice număr pozitiv, cu excepția unuia. Numărul π este pozitiv - știm deja acest lucru. Numerele $2\sqrt(3)-3$ și $3-2\sqrt(2)$ sunt de asemenea pozitive - acest lucru este ușor de văzut dacă le comparăm cu zero.

Se dovedește că toate aceste inegalități „terifiante” nu sunt diferite de cele simple discutate mai sus? Și ei o fac la fel? Da, absolut corect. Cu toate acestea, folosind exemplul lor, aș dori să iau în considerare un truc care economisește mult timp pentru munca independentă și examene. Vom vorbi despre metoda raționalizării. Deci atentie:

Orice inegalitate exponențială de forma $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ este echivalentă cu inegalitatea $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ dreapta) \gt 0 $.

Asta e toată metoda. :) Te-ai gândit că va exista un fel de următor joc? Nimic de genul asta! Dar acest simplu fapt, scris literalmente într-o singură linie, ne va simplifica foarte mult munca. Aruncă o privire:

\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]

Aici nu mai există funcții exponențiale! Și nu trebuie să vă amintiți dacă semnul se schimbă sau nu. Dar apare o nouă problemă: ce să faci cu multiplicatorul nenorocit \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Nu știm cum este valoare exacta numerele π. Cu toate acestea, căpitanul pare să sugereze ceea ce este evident:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\approx 3,14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\]

În general, valoarea exactă a lui π nu ne deranjează prea mult - este important doar pentru noi să înțelegem că în orice caz $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t .e. este o constantă pozitivă și putem împărți ambele părți ale inegalității cu aceasta:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

După cum puteți vedea, la un moment dat, a trebuit să împărțim cu minus unu, iar semnul inegalității s-a schimbat. La final, am extins trinomul pătrat conform teoremei Vieta - este evident că rădăcinile sunt egale cu $((x)_(1))=5$ și $((x)_(2))=- 1 $. Apoi totul este rezolvat prin metoda clasică a intervalelor:

Rezolvăm inegalitatea prin metoda intervalelor

Toate punctele sunt perforate deoarece inegalitatea originală este strictă. Ne interesează zona cu valori negative, deci răspunsul este $x\in \left(-1;5 \right)$. asta e solutia. :)

Să trecem la următoarea sarcină:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Totul este simplu aici, pentru că în dreapta este o unitate. Și ne amintim că o unitate este orice număr ridicat la puterea lui zero. Chiar dacă acest număr este o expresie irațională, stând la baza din stânga:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3\right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \dreapta))^(0)); \\\end(align)\]

Deci hai sa rationalizam:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Rămâne doar să ne ocupăm de semne. Multiplicatorul $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ nu conține variabila $x$ - este doar o constantă și trebuie să aflăm semnul acesteia. Pentru a face acest lucru, rețineți următoarele:

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(matrice)\]

Se pare că al doilea factor nu este doar o constantă, ci o constantă negativă! Și la împărțirea cu acesta, semnul inegalității originale se va schimba în opus:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]

Acum totul devine destul de evident. Rădăcini trinom pătratîn dreapta: $((x)_(1))=0$ și $((x)_(2))=2$. Le marchem pe linia numerică și ne uităm la semnele funcției $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Cazul când ne interesează intervalele laterale

Ne interesează intervalele marcate cu semnul plus. Rămâne doar să scrieți răspunsul:

Să trecem la următorul exemplu:

\[((\left(\frac(1)(3) \right)))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ dreapta))^(16-x))\]

Ei bine, totul este destul de evident aici: bazele sunt puteri de același număr. Prin urmare, voi scrie totul pe scurt:

\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \În jos \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matrice)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ stânga(16-x\dreapta))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

După cum puteți vedea, în procesul transformărilor, a trebuit să înmulțim cu un număr negativ, așa că semnul inegalității s-a schimbat. La final, am aplicat din nou teorema lui Vieta pentru a factoriza un trinom pătrat. Ca urmare, răspunsul va fi următorul: $x\in \left(-8;4 \right)$ - cei care doresc pot verifica acest lucru prin trasarea unei linii numerice, marcarea punctelor și numărarea semnelor. Între timp, vom trece la ultima inegalitate din „setul” nostru:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

După cum puteți vedea, la bază este din nou număr irațional, iar unitatea este din nou în dreapta. Prin urmare, rescriem inegalitatea noastră exponențială după cum urmează:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2)) \ dreapta))^(0))\]

Să raționalizăm:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Cu toate acestea, este destul de evident că $1-\sqrt(2) \lt 0$, deoarece $\sqrt(2)\aproximativ 1,4... \gt 1$. Prin urmare, al doilea factor este din nou o constantă negativă, prin care ambele părți ale inegalității pot fi împărțite:

\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(matrice)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Schimbați-vă la altă bază

O problemă separată în rezolvarea inegalităților exponențiale este căutarea bazei „corecte”. Din păcate, la prima vedere asupra sarcinii, este departe de a fi întotdeauna evident ce să ia ca bază și ce să faci ca grad de bază.

Dar nu vă faceți griji: aici nu există magie și tehnologii „secrete”. În matematică, orice abilitate care nu poate fi algoritmizată poate fi dezvoltată cu ușurință prin practică. Dar pentru asta trebuie să rezolvi probleme diferite niveluri dificultăți. De exemplu, acestea sunt:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ sfârşitul (alinierea)\]

Complicat? Infricosator? Da, e mai ușor decât un pui pe asfalt! Sa incercam. Prima inegalitate:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Ei bine, cred că totul este clar aici:

Rescriem inegalitatea originală, reducând totul la baza „două”:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Da, da, ați înțeles bine: tocmai am aplicat metoda de raționalizare descrisă mai sus. Acum trebuie să lucrăm cu atenție: avem o inegalitate fracțională-rațională (aceasta este una care are o variabilă la numitor), așa că înainte de a echivala ceva cu zero, trebuie să reduceți totul la un numitor comun și să scăpați de factorul constant .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Acum folosim metoda intervalului standard. Zerourile numeratorului: $x=\pm 4$. Numitorul ajunge la zero numai atunci când $x=0$. În total, sunt trei puncte care ar trebui marcate pe linia numerică (toate punctele sunt scoase, deoarece semnul inegalității este strict). Primim:

Mai mult caz dificil: trei rădăcini

După cum ați putea ghici, hașura marchează intervalele la care ia expresia din stânga valori negative. Prin urmare, două intervale vor intra în răspunsul final simultan:

Capetele intervalelor nu sunt incluse în răspuns deoarece inegalitatea inițială a fost strictă. Nu este necesară nicio validare suplimentară a acestui răspuns. În acest sens, inegalitățile exponențiale sunt mult mai simple decât cele logaritmice: fără DPV, fără restricții etc.

Să trecem la următoarea sarcină:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Nici aici nu există probleme, deoarece știm deja că $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, deci întreaga inegalitate poate fi rescrisă astfel:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\stânga(-2\dreapta)\dreapta. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Vă rugăm să rețineți: în a treia linie, am decis să nu pierd timpul cu fleacuri și să împart imediat totul la (−2). Minul a intrat în prima paranteză (acum sunt plusuri peste tot), iar deuce a fost redus cu un multiplicator constant. Este exact ceea ce ar trebui să faceți atunci când faceți calcule reale pe independent și munca de control- nu este nevoie să pictezi direct fiecare acțiune și transformare.

În continuare, intră în joc metoda familiară a intervalelor. Zerurile numărătorului: dar nu există. Pentru că discriminantul va fi negativ. La rândul său, numitorul este setat la zero numai atunci când $x=0$ - la fel ca data trecută. Ei bine, este clar că fracția va lua valori pozitive la dreapta lui $x=0$ și negative la stânga. Deoarece ne interesează doar valorile negative, răspunsul final este $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]

Și ce ar trebui făcut cu fracțiile zecimale în inegalități exponențiale? Așa este: scapă de ele transformându-le în altele obișnuite. Aici traducem:

\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0,16 \right))^(1+2x)) =((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6,25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)(4) \right))^(x)). \\\end(align)\]

Ei bine, ce am obținut în bazele funcțiilor exponențiale? Și avem două numere reciproc reciproce:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ dreapta))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \right))^(x))=((\ stânga(\frac(4)(25) \dreapta))^(-x))\]

Astfel, inegalitatea originală poate fi rescrisă după cum urmează:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \dreapta))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(align)\]

Desigur, la înmulțirea puterilor cu aceeași bază, indicatorii lor se adună, ceea ce s-a întâmplat în a doua linie. In plus, am reprezentat unitatea in dreapta, tot ca putere in baza 4/25. Rămâne doar să raționalizezi:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Rețineți că $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, adică. cel de-al doilea factor este o constantă negativă, iar atunci când este împărțit la acesta, semnul inegalității se va schimba:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

În cele din urmă, ultima inegalitate din „mulțimea” actuală:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

În principiu, ideea unei soluții aici este de asemenea clară: toate funcțiile exponențiale care compun inegalitatea trebuie reduse la baza „3”. Dar pentru asta trebuie să te joci puțin cu rădăcini și grade:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac((((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end(align)\]

Având în vedere aceste fapte, inegalitatea inițială poate fi rescrisă după cum urmează:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2)) \right))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(align)\]

Atenție la rândul 2 și 3 de calcule: înainte de a face ceva cu inegalitatea, asigurați-vă că îl aduceți la forma despre care am vorbit încă de la începutul lecției: $((a)^(x)) \lt ( (a)^(n))$. Atâta timp cât aveți multiplicatori stânga sau dreapta stânga, constante suplimentare etc., nu poate fi efectuată nicio raționalizare și „radiere” a terenurilor! Nenumărate sarcini au fost greșite din cauza unei neînțelegeri a acestui simplu fapt. Eu însumi observ constant această problemă cu studenții mei când abia începem să analizăm inegalitățile exponențiale și logaritmice.

Dar să revenim la sarcina noastră. Să încercăm de data asta să facem fără raționalizare. Ne amintim: baza gradului este mai mare decât unu, astfel încât triplele pot fi pur și simplu tăiate - semnul inegalității nu se va schimba. Primim:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]

Asta e tot. Răspuns final: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Evidențierea unei expresii stabile și înlocuirea unei variabile

În concluzie, îmi propun să rezolvăm încă patru inegalități exponențiale, care sunt deja destul de dificile pentru elevii nepregătiți. Pentru a le face față, trebuie să vă amintiți regulile de lucru cu grade. În special, scoaterea din paranteze a factorilor comuni.

Dar cel mai important lucru este să înveți să înțelegi: ce anume poate fi pus în paranteze. O astfel de expresie se numește stabilă - poate fi notată printr-o nouă variabilă și astfel scăpați de funcția exponențială. Deci, să ne uităm la sarcini:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]

Să începem cu prima linie. Să scriem separat această inegalitate:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Rețineți că $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, astfel încât partea dreaptă poate fi rescris:

Rețineți că nu există alte funcții exponențiale cu excepția $((5)^(x+1))$ în inegalitate. Și, în general, variabila $x$ nu apare în altă parte, așa că să introducem o nouă variabilă: $((5)^(x+1))=t$. Obținem următoarea construcție:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]

Revenim la variabila originală ($t=((5)^(x+1))$), și în același timp ne amintim că 1=5 0 . Noi avem:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ &x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(align)\]

Asta e toata solutia! Răspuns: $x\în \left[ -1;+\infty \right)$. Să trecem la a doua inegalitate:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Totul este la fel aici. Rețineți că $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Apoi partea stângă poate fi rescrisă:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \dreapta. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\end(align)\]

Cam așa trebuie să elaborezi o decizie privind controlul real și munca independentă.

Ei bine, hai să încercăm ceva mai dificil. De exemplu, iată o inegalitate:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Care este problema aici? În primul rând, bazele funcțiilor exponențiale din stânga sunt diferite: 5 și 25. Cu toate acestea, 25 \u003d 5 2, deci primul termen poate fi transformat:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1,5))=((\left((((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align) )\]

După cum puteți vedea, la început am adus totul la aceeași bază, apoi am observat că primul termen este ușor redus la al doilea - este suficient doar să extindeți exponentul. Acum putem introduce în siguranță o nouă variabilă: $((5)^(2x+2))=t$, iar întreaga inegalitate va fi rescrisă astfel:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]

Din nou, nicio problemă! Răspuns final: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Trecând la inegalitatea finală în lecția de astăzi:

\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Primul lucru la care ar trebui să acordați atenție este, desigur, fracția zecimală din baza primului grad. Este necesar să scăpați de el și, în același timp, să aduceți toate funcțiile exponențiale la aceeași bază - numărul „2”:

\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))=((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Rightarrow ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Grozav, am făcut primul pas - totul a dus la aceeași fundație. Acum trebuie să evidențiem expresie stabilită. Rețineți că $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Dacă introducem o nouă variabilă $((2)^(4x+6))=t$, atunci inegalitatea originală poate fi rescrisă după cum urmează:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(align)\]

Desigur, poate apărea întrebarea: cum am aflat că 256 = 2 8? Din păcate, aici trebuie doar să cunoști puterile lui doi (și în același timp puterile lui trei și cinci). Ei bine, sau împărțiți 256 la 2 (puteți împărți, deoarece 256 este un număr par) până când obținem rezultatul. Va arata cam asa:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

La fel este și cu cele trei (numerele 9, 27, 81 și 243 sunt puterile sale), și cu cele șapte (numerele 49 și 343 ar fi, de asemenea, bine de reținut). Ei bine, cei cinci au și grade „frumoase” pe care trebuie să le știi:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(align)\]

Desigur, toate aceste numere, dacă se dorește, pot fi restaurate în minte, pur și simplu înmulțindu-le succesiv unele cu altele. Totuși, atunci când trebuie să rezolvi mai multe inegalități exponențiale, iar fiecare următoare este mai dificilă decât cea anterioară, atunci ultimul lucru la care vrei să te gândești este puterile unor numere de acolo. Și în acest sens, aceste probleme sunt mai complexe decât inegalitățile „clasice”, care se rezolvă prin metoda intervalului.

Lecție și prezentare pe tema: „Ecuații exponențiale și inegalități exponențiale”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre! Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online „Integral” pentru clasa a 11-a
Manual interactiv pentru clasele 9-11 „Trigonometrie”
Manual interactiv pentru clasele 10-11 „Logaritmi”

Definiţia ecuaţiilor exponenţiale

Băieți, am studiat funcțiile exponențiale, le-am învățat proprietățile și am construit grafice, am analizat exemple de ecuații în care au fost întâlnite funcții exponențiale. Astăzi vom studia ecuațiile exponențiale și inegalitățile.

Definiție. Ecuațiile de forma: $a^(f(x))=a^(g(x))$, unde $a>0$, $a≠1$ se numesc ecuații exponențiale.

Reamintind teoremele pe care le-am studiat la tema „Funcția exponențială”, putem introduce o nouă teoremă:
Teorema. Ecuația exponențială $a^(f(x))=a^(g(x))$, unde $a>0$, $a≠1$ este echivalentă cu ecuația $f(x)=g(x) $.

Exemple de ecuații exponențiale

Exemplu.
Rezolvarea ecuațiilor:
a) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Decizie.
a) Știm bine că $27=3^3$.
Să ne rescriem ecuația: $3^(3x-3)=3^3$.
Folosind teorema de mai sus, obținem că ecuația noastră se reduce la ecuația $3x-3=3$, rezolvând această ecuație, obținem $x=2$.
Răspuns: $x=2$.

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Atunci ecuația noastră poate fi rescrisă: $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) )=((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2x+0,2=$0,2.
$x=0$.
Răspuns: $x=0$.

C) Ecuația inițială este echivalentă cu ecuația: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ și $x_2=-3$.
Răspuns: $x_1=6$ și $x_2=-3$.

Exemplu.
Rezolvați ecuația: $\frac((((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=16*((0,0625))^(x+1)$.
Decizie:
Vom efectua secvențial o serie de acțiuni și vom aduce ambele părți ale ecuației noastre la aceleași baze.
Să efectuăm o serie de operații în partea stângă:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Să trecem la partea dreaptă:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Ecuația inițială este echivalentă cu ecuația:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Răspuns: $x=0$.

Exemplu.
Rezolvați ecuația: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Decizie:
Să ne rescriem ecuația: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Să facem o schimbare de variabile, fie $a=3^x$.
În noile variabile, ecuația va lua forma: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ și $a_2=3$.
Să efectuăm schimbarea inversă a variabilelor: $3^x=-12$ și $3^x=3$.
În ultima lecție, am învățat că expresiile exponențiale pot lua doar valori pozitive, amintiți-vă graficul. Aceasta înseamnă că prima ecuație nu are soluții, a doua ecuație are o singură soluție: $x=1$.
Răspuns: $x=1$.

Să facem o notă cu moduri de a rezolva ecuațiile exponențiale:
1. Metoda grafică. Reprezentăm ambele părți ale ecuației ca funcții și construim graficele lor, găsim punctele de intersecție ale graficelor. (Am folosit această metodă în ultima lecție).
2. Principiul egalității indicatorilor. Principiul se bazează pe faptul că două expresii cu aceleași temeiuri sunt egale dacă și numai dacă gradele (exponenții) acestor baze sunt egale. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Metoda schimbării variabilelor. Această metodă ar trebui folosită dacă ecuația, la schimbarea variabilelor, își simplifică forma și este mult mai ușor de rezolvat.

Exemplu.
Rezolvați sistemul de ecuații: $\begin (cases) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end(cazuri)$.
Decizie.
Luați în considerare ambele ecuații ale sistemului separat:
27$^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Luați în considerare a doua ecuație:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Să folosim metoda schimbării variabilelor, fie $y=2^(x+y)$.
Atunci ecuația va lua forma:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ și $y_2=-3$.
Să trecem la variabilele inițiale, din prima ecuație obținem $x+y=2$. A doua ecuație nu are soluții. Atunci sistemul nostru inițial de ecuații este echivalent cu sistemul: $\begin (cases) x+3y=0, \\ x+y=2. \end(cazuri)$.
Scădeți a doua ecuație din prima ecuație, obținem: $\begin (cases) 2y=-2, \\ x+y=2. \end(cazuri)$.
$\begin (cazuri) y=-1, \\ x=3. \end(cazuri)$.
Răspuns: $(3;-1)$.

inegalități exponențiale

Să trecem la inegalități. Când rezolvați inegalitățile, este necesar să acordați atenție bazei gradului. Există două scenarii posibile pentru dezvoltarea evenimentelor la rezolvarea inegalităților.

Teorema. Dacă $a>1$, atunci inegalitatea exponențială $a^(f(x))>a^(g(x))$ este echivalentă cu inegalitatea $f(x)>g(x)$.
Dacă 0 USD a^(g(x))$ este echivalent cu $f(x)

Exemplu.
Rezolvarea inegalităților:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Decizie.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Inegalitatea noastră este echivalentă cu inegalitatea:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) În ecuația noastră, baza cu un grad mai mic decât 1, atunci când înlocuiți o inegalitate cu una echivalentă, este necesară schimbarea semnului.
$2x-4>2$.
$x>3$.

C) Inegalitatea noastră este echivalentă cu inegalitatea:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Să folosim metoda intervalului solutii:
Răspuns: $(-∞;-5]U)