Acasă > Inginerie Mecanică

Diferența de logaritmi cu aceeași bază. Proprietățile logaritmilor și exemple de soluții ale acestora

După cum știți, atunci când înmulțiți expresii cu puteri, exponenții lor se adună întotdeauna (a b * a c = a b + c). Această lege matematică a fost derivată de Arhimede, iar mai târziu, în secolul al VIII-lea, matematicianul Virasen a creat un tabel de indicatori întregi. Ei au fost cei care au servit pentru descoperirea ulterioară a logaritmilor. Exemple de utilizare a acestei funcții pot fi găsite aproape peste tot acolo unde este necesară simplificarea înmulțirii greoaie la adunare simplă. Dacă petreceți 10 minute citind acest articol, vă vom explica ce sunt logaritmii și cum să lucrați cu ei. Limbaj simplu și accesibil.

Definiție în matematică

Logaritmul este o expresie de următoarea formă: log ab=c, adică logaritmul oricărui număr nenegativ (adică orice pozitiv) „b” prin baza sa „a” este considerat puterea lui „c” , la care trebuie ridicată baza „a”, pentru ca în final să capete valoarea „b”. Să analizăm logaritmul folosind exemple, să presupunem că există o expresie log 2 8. Cum să găsim răspunsul? Este foarte simplu, trebuie să găsești un astfel de grad încât de la 2 la gradul necesar să obții 8. După ce ai făcut niște calcule în minte, obținem numărul 3! Și pe bună dreptate, pentru că 2 la puterea lui 3 dă numărul 8 în răspuns.

Varietăți de logaritmi

Pentru mulți elevi și studenți, acest subiect pare complicat și de neînțeles, dar, de fapt, logaritmii nu sunt atât de înfricoșători, principalul lucru este să le înțelegeți sensul general și să vă amintiți proprietățile și unele reguli. Există trei tipuri distincte de expresii logaritmice:

  1. Logaritmul natural ln a, unde baza este numărul Euler (e = 2,7).
  2. Decimală a, unde baza este 10.
  3. Logaritmul oricărui număr b la baza a>1.

Fiecare dintre ele este rezolvată într-un mod standard, incluzând simplificarea, reducerea și reducerea ulterioară la un logaritm folosind teoreme logaritmice. Pentru a obține valorile corecte ale logaritmilor, ar trebui să vă amintiți proprietățile lor și ordinea acțiunilor în deciziile lor.

Reguli și unele restricții

În matematică, există mai multe reguli-limitări care sunt acceptate ca axiomă, adică nu sunt supuse discuției și sunt adevărate. De exemplu, este imposibil să împărțiți numerele la zero și, de asemenea, este imposibil să extrageți rădăcina unui grad par din numerele negative. Logaritmii au, de asemenea, propriile reguli, după care puteți învăța cu ușurință cum să lucrați chiar și cu expresii logaritmice lungi și încăpătoare:

  • baza „a” trebuie să fie întotdeauna mai mare decât zero și, în același timp, să nu fie egală cu 1, altfel expresia își va pierde sensul, deoarece „1” și „0” în orice grad sunt întotdeauna egale cu valorile lor;
  • dacă a > 0, atunci a b > 0, se dovedește că „c” trebuie să fie mai mare decât zero.

Cum se rezolvă logaritmii?

De exemplu, având în vedere sarcina de a găsi răspunsul la ecuația 10 x \u003d 100. Este foarte ușor, trebuie să alegeți o astfel de putere prin ridicarea numărului zece la care obținem 100. Acesta, desigur, este 10 2 \u003d 100.

Acum să reprezentăm această expresie ca una logaritmică. Obținem log 10 100 = 2. La rezolvarea logaritmilor, toate acțiunile converg practic către găsirea gradului în care trebuie introdusă baza logaritmului pentru a obține un număr dat.

Pentru a determina cu exactitate valoarea unui grad necunoscut, trebuie să înveți cum să lucrezi cu un tabel de grade. Arata cam asa:

După cum puteți vedea, unii exponenți pot fi ghiciți intuitiv dacă aveți o mentalitate tehnică și cunoștințe despre tabla înmulțirii. Cu toate acestea, valorile mai mari vor necesita o masă de putere. Poate fi folosit chiar și de cei care nu înțeleg absolut nimic în subiecte matematice complexe. Numerele sunt date în coloana din stânga (baza a), rândul de sus de numere este valoarea puterii c la care este ridicat numărul a. La intersecția din celule se determină valorile numerelor, care sunt răspunsul (a c =b). Să luăm, de exemplu, prima celulă cu numărul 10 și să o pătratăm, obținem valoarea 100, care este indicată la intersecția celor două celule ale noastre. Totul este atât de simplu și ușor încât până și cel mai adevărat umanist va înțelege!

Ecuații și inegalități

Se dovedește că în anumite condiții, exponentul este logaritmul. Prin urmare, orice expresii numerice matematice pot fi scrise ca o ecuație logaritmică. De exemplu, 3 4 =81 poate fi scris ca logaritmul lui 81 la baza 3, care este patru (log 3 81 = 4). Pentru puterile negative, regulile sunt aceleași: 2 -5 = 1/32 scriem ca logaritm, obținem log 2 (1/32) = -5. Una dintre cele mai fascinante secțiuni ale matematicii este subiectul „logaritmilor”. Vom lua în considerare exemple și soluții de ecuații puțin mai jos, imediat după studierea proprietăților acestora. Acum să ne uităm la cum arată inegalitățile și cum să le distingem de ecuații.

Se dă o expresie de următoarea formă: log 2 (x-1) > 3 - este o inegalitate logaritmică, deoarece valoarea necunoscută „x” se află sub semnul logaritmului. Și, de asemenea, în expresie sunt comparate două mărimi: logaritmul numărului dorit în baza doi este mai mare decât numărul trei.

Cea mai importantă diferență dintre ecuațiile logaritmice și inegalități este că ecuațiile cu logaritmi (de exemplu, logaritmul lui 2 x = √9) implică una sau mai multe valori numerice specifice în răspuns, în timp ce la rezolvarea inegalității, atât domeniul de valorile acceptabile și punctele care depășesc această funcție. În consecință, răspunsul nu este un simplu set de numere individuale, ca în răspunsul ecuației, ci o serie continuă sau un set de numere.

Teoreme de bază despre logaritmi

La rezolvarea sarcinilor primitive privind găsirea valorilor logaritmului, este posibil ca proprietățile acestuia să nu fie cunoscute. Cu toate acestea, când vine vorba de ecuații sau inegalități logaritmice, în primul rând, este necesar să înțelegem clar și să aplici în practică toate proprietățile de bază ale logaritmilor. Ne vom familiariza cu exemple de ecuații mai târziu, să analizăm mai întâi fiecare proprietate mai detaliat.

  1. Identitatea de bază arată astfel: a logaB =B. Se aplică numai dacă a este mai mare decât 0, nu este egal cu unu și B este mai mare decât zero.
  2. Logaritmul produsului poate fi reprezentat în următoarea formulă: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. În acest caz, condiția este: d, s 1 și s 2 > 0; a≠1. Puteți da o demonstrație pentru această formulă de logaritmi, cu exemple și o soluție. Fie log ca 1 = f 1 și log ca 2 = f 2 , apoi a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Obținem că s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (proprietăți de grade) ), și mai departe prin definiție: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log ca 2, ceea ce urma să fie demonstrat.
  3. Logaritmul coeficientului arată astfel: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
  4. Teorema sub forma unei formule ia următoarea formă: log a q b n = n/q log a b.

Această formulă se numește „proprietatea gradului logaritmului”. Seamănă cu proprietățile gradelor obișnuite și nu este surprinzător, deoarece toată matematica se bazează pe postulate obișnuite. Să ne uităm la dovadă.

Să log a b \u003d t, se dovedește a t \u003d b. Dacă ridici ambele părți la puterea m: a tn = b n ;

dar deoarece a tn = (a q) nt/q = b n , prin urmare log a q b n = (n*t)/t, atunci log a q b n = n/q log a b. Teorema a fost demonstrată.

Exemple de probleme și inegalități

Cele mai comune tipuri de probleme de logaritm sunt exemple de ecuații și inegalități. Ele se găsesc în aproape toate cărțile de probleme și sunt incluse și în partea obligatorie a examenelor de matematică. Pentru a intra la universitate sau pentru a trece testele de admitere la matematică, trebuie să știi să rezolvi corect astfel de sarcini.

Din păcate, nu există un plan sau o schemă unică pentru rezolvarea și determinarea valorii necunoscute a logaritmului, totuși, anumite reguli pot fi aplicate fiecărei inegalități matematice sau ecuații logaritmice. În primul rând, ar trebui să aflați dacă expresia poate fi simplificată sau redusă la o formă generală. Puteți simplifica expresiile logaritmice lungi dacă le folosiți corect proprietățile. Să-i cunoaștem în curând.

Când rezolvăm ecuații logaritmice, este necesar să stabilim ce tip de logaritm avem în fața noastră: un exemplu de expresie poate conține un logaritm natural sau unul zecimal.

Iată exemple ln100, ln1026. Soluția lor se rezumă la faptul că trebuie să determinați gradul în care baza 10 va fi egală cu 100, respectiv 1026. Pentru soluțiile logaritmilor naturali, trebuie aplicate identitățile logaritmice sau proprietățile acestora. Să ne uităm la exemple de rezolvare a problemelor logaritmice de diferite tipuri.

Cum să utilizați formulele logaritmice: cu exemple și soluții

Deci, să ne uităm la exemple de utilizare a teoremelor principale pe logaritmi.

  1. Proprietatea logaritmului produsului poate fi utilizată în sarcini în care este necesară descompunerea unei valori mari a numărului b în factori mai simpli. De exemplu, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Răspunsul este 9.
  2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - după cum puteți vedea, folosind a patra proprietate a gradului logaritmului, am reușit să rezolvăm la prima vedere o expresie complexă și de nerezolvat. Este necesar doar să factorizați baza și apoi să scoateți valorile exponentului din semnul logaritmului.

Sarcini de la examen

Logaritmii se găsesc adesea la examenele de admitere, în special o mulțime de probleme logaritmice la examenul de stat unificat (examen de stat pentru toți absolvenții de școală). De obicei, aceste sarcini sunt prezente nu numai în partea A (cea mai ușoară parte a testului a examenului), ci și în partea C (cele mai dificile și mai voluminoase sarcini). Examenul presupune o cunoaștere exactă și perfectă a temei „Logaritmi naturali”.

Exemplele și rezolvarea problemelor sunt preluate din versiunile oficiale ale examenului. Să vedem cum se rezolvă astfel de sarcini.

Dat log 2 (2x-1) = 4. Rezolvare:
să rescriem expresia, simplificând-o puțin log 2 (2x-1) = 2 2 , prin definiția logaritmului obținem că 2x-1 = 2 4 , deci 2x = 17; x = 8,5.

  • Toți logaritmii se reduc cel mai bine la aceeași bază, astfel încât soluția să nu fie greoaie și confuză.
  • Toate expresiile sub semnul logaritmului sunt indicate ca pozitive, prin urmare, la scoaterea exponentului exponentului expresiei, care se află sub semnul logaritmului și ca bază, expresia rămasă sub logaritm trebuie să fie pozitivă.

Astăzi vom vorbi despre formule logaritmiceși dați o demonstrație exemple de solutie.

Prin ele însele, ele implică modele de soluție conform proprietăților de bază ale logaritmilor. Înainte de a aplica formulele logaritmice la soluție, reamintim pentru dvs., mai întâi toate proprietățile:

Acum, pe baza acestor formule (proprietăți), arătăm exemple de rezolvare a logaritmilor.

Exemple de rezolvare a logaritmilor pe bază de formule.

Logaritm un număr pozitiv b în baza a (notat log a b) este exponentul la care trebuie ridicat a pentru a obține b, cu b > 0, a > 0 și 1.

Conform definiției log a b = x, care este echivalent cu a x = b, deci log a a x = x.

Logaritmi, exemple:

log 2 8 = 3, deoarece 2 3 = 8

log 7 49 = 2 deoarece 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, deoarece 5 -1 = 1/5

Logaritm zecimal este un logaritm obișnuit, a cărui bază este 10. Notat cu lg.

log 10 100 = 2 deoarece 10 2 = 100

logaritmul natural- și logaritmul obișnuit, dar cu baza e (e \u003d 2,71828 ... - un număr irațional). Denumită ln.

Este de dorit să ne amintim formulele sau proprietățile logaritmilor, deoarece vom avea nevoie de ele mai târziu când rezolvăm logaritmi, ecuații logaritmice și inegalități. Să lucrăm din nou prin fiecare formulă cu exemple.

  • Identitatea logaritmică de bază
    un log a b = b

    8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

  • Logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor
    log a (bc) = log a b + log a c

    log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

  • Logaritmul coeficientului este egal cu diferența logaritmilor
    log a (b/c) = log a b - log a c

    9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

  • Proprietățile gradului unui număr logaritmabil și ale bazei logaritmului

    Exponentul unui număr logaritmic log a b m = mlog a b

    Exponent al bazei logaritmului log a n b =1/n*log a b

    log a n b m = m/n*log a b,

    dacă m = n, obținem log a n b n = log a b

    log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

  • Trecerea la o nouă fundație
    log a b = log c b / log c a,

    dacă c = b, obținem log b b = 1

    atunci log a b = 1/log b a

    log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

După cum puteți vedea, formulele logaritmului nu sunt atât de complicate pe cât par. Acum, având în vedere exemple de rezolvare a logaritmilor, putem trece la ecuații logaritmice. Vom lua în considerare exemple de rezolvare a ecuațiilor logaritmice mai detaliat în articolul: „”. Nu ratați!

Dacă mai aveți întrebări despre soluție, scrieți-le în comentariile articolului.

Notă: am decis să obțin o educație dintr-o altă clasă de studii în străinătate ca opțiune.

Logaritmul unui număr N prin rațiune dar se numeste exponent X , la care trebuie să ridici dar pentru a obține numărul N

Cu conditia ca
,
,

Din definiţia logaritmului rezultă că
, adică
- această egalitate este identitatea logaritmică de bază.

Logaritmii la baza 10 se numesc logaritmi zecimali. În loc de
scrie
.

logaritmi de bază e sunt numite naturale și notate
.

Proprietățile de bază ale logaritmilor.

    Logaritmul unității pentru orice bază este zero

    Logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor factorilor.

3) Logaritmul coeficientului este egal cu diferența logaritmilor


Factor
se numește modulul de tranziție de la logaritmi la bază A la logaritmi la bază b .

Folosind proprietățile 2-5, este adesea posibil să se reducă logaritmul unei expresii complexe la rezultatul operațiilor aritmetice simple pe logaritmi.

De exemplu,

Astfel de transformări ale logaritmului se numesc logaritmi. Transformările reciproce ale logaritmilor se numesc potențare.

Capitolul 2. Elemente de matematică superioară.

1. Limite

limita functiei
este un număr finit A dacă, când se străduiește xx 0 pentru fiecare prestabilit
, există un număr
că de îndată ce
, apoi
.

O funcție care are o limită diferă de aceasta printr-o sumă infinitezimală:
, unde - b.m.w., i.e.
.

Exemplu. Luați în considerare funcția
.

Când te străduiești
, funcție y merge la zero:

1.1. Teoreme de bază despre limite.

    Limita unei valori constante este egală cu această valoare constantă

.

    Limita sumei (diferenței) unui număr finit de funcții este egală cu suma (diferenței) limitelor acestor funcții.

    Limita unui produs al unui număr finit de funcții este egală cu produsul limitelor acestor funcții.

    Limita câtului a două funcții este egală cu câtul limitelor acestor funcții dacă limita numitorului nu este egală cu zero.

Limite remarcabile

,
, Unde

1.2. Exemple de calcul al limitelor

Cu toate acestea, nu toate limitele sunt calculate atât de ușor. Mai des, calculul limitei se reduce la dezvăluirea incertitudinii de tip: sau .

.

2. Derivata unei functii

Să avem o funcție
, continuu pe segment
.

Argument am primit un impuls
. Apoi funcția va fi incrementată
.

Valoarea argumentului corespunde valorii funcției
.

Valoarea argumentului
corespunde valorii funcției .

Prin urmare, .

Să găsim limita acestei relații la
. Dacă această limită există, atunci se numește derivată a funcției date.

Definiția derivatei 3 a unei funcții date
prin argumentare numită limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului, când incrementul argumentului tinde în mod arbitrar la zero.

Derivată de funcție
poate fi notat astfel:

; ; ; .

Definiția 4 Operația de găsire a derivatei unei funcții se numește diferenţiere.

2.1. Sensul mecanic al derivatului.

Luați în considerare mișcarea rectilinie a unui corp rigid sau punct material.

Lasă la un moment dat punct de mișcare
era la distanta din pozitia de start
.

După o perioadă de timp
ea sa deplasat o distanta
. Atitudine =- viteza medie a unui punct material
. Să găsim limita acestui raport, ținând cont de faptul că
.

În consecință, determinarea vitezei instantanee a unui punct material se reduce la găsirea derivatei traseului în raport cu timpul.

2.2. Valoarea geometrică a derivatei

Să presupunem că avem o anumită funcție definită grafic
.

Orez. 1. Sensul geometric al derivatului

Dacă
, apoi punctul
, se va deplasa de-a lungul curbei, apropiindu-se de punct
.

prin urmare
, adică valoarea derivatei având în vedere valoarea argumentului este egal numeric cu tangentei unghiului format de tangenta intr-un punct dat cu directia pozitiva a axei
.

2.3. Tabelul formulelor de diferențiere de bază.

Funcția de putere

Functie exponentiala

funcţie logaritmică

functie trigonometrica

Funcția trigonometrică inversă

2.4. Reguli de diferențiere.

Derivat din

Derivată a sumei (diferenței) funcțiilor


Derivată a produsului a două funcții


Derivata coeficientului a doua functii


2.5. Derivată a unei funcții complexe.

Lasă funcția
astfel încât să poată fi reprezentat ca

Și
, unde variabila este un argument intermediar, atunci

Derivata unei functii complexe este egala cu produsul derivatei functiei date fata de argumentul intermediar cu derivata argumentului intermediar fata de x.

Exemplul 1.

Exemplul2.

3. Diferenţial de funcţie.

Să fie
, diferentiabil pe un anumit interval
lăsați-l să plece la această funcție are o derivată

,

atunci poti sa scrii

(1),

Unde - o cantitate infinitezimală,

deoarece la

Înmulțirea tuturor termenilor de egalitate (1) cu
avem:

Unde
- b.m.v. de ordin superior.

Valoare
se numește diferența funcției
și notat

.

3.1. Valoarea geometrică a diferenţialului.

Lasă funcția
.

Fig.2. Sensul geometric al diferenţialului.

.

Evident, diferența funcției
este egală cu incrementul ordonatei tangentei în punctul dat.

3.2. Derivate și diferențiale de diverse ordine.

Daca exista
, apoi
se numeste prima derivata.

Derivata primei derivate se numeste derivata de ordinul doi si se scrie
.

Derivată de ordinul al n-lea al funcției
se numește derivată de ordinul (n-1) și se scrie:

.

Diferenţialul diferenţialului unei funcţii se numeşte a doua diferenţială sau diferenţială de ordinul doi.

.

.

3.3 Rezolvarea problemelor biologice folosind diferențierea.

Sarcina 1. Studiile au arătat că creșterea unei colonii de microorganisme respectă legea
, Unde N – numărul de microorganisme (în mii), t – timp (zile).

b) Populația coloniei va crește sau va scădea în această perioadă?

Răspuns. Colonia va crește în dimensiune.

Sarcina 2. Apa din lac este testată periodic pentru a controla conținutul de bacterii patogene. Peste tot t zile după testare, concentrația de bacterii este determinată de raport

.

Când va veni concentrația minimă de bacterii în lac și se va putea înota în el?

Soluție O funcție atinge max sau min atunci când derivata ei este zero.

,

Să stabilim că max sau min va fi în 6 zile. Pentru a face acest lucru, luăm derivata a doua.


Răspuns: După 6 zile va exista o concentrație minimă de bacterii.

    Sa incepem cu proprietățile logaritmului unității. Formularea sa este următoarea: logaritmul unității este egal cu zero, adică log a 1=0 pentru orice a>0, a≠1. Demonstrarea este simplă: deoarece a 0 =1 pentru orice a care îndeplinește condițiile de mai sus a>0 și a≠1 , atunci egalitatea dovedită log a 1=0 urmează imediat din definiția logaritmului.

    Să dăm exemple de aplicare a proprietății considerate: log 3 1=0 , lg1=0 și .

    Să trecem la următoarea proprietate: logaritmul unui număr egal cu baza este egal cu unu, adică log a a=1 pentru a>0, a≠1. Într-adevăr, deoarece a 1 =a pentru orice a , atunci prin definiția logaritmului log a a=1 .

    Exemple de utilizare a acestei proprietăți a logaritmilor sunt log 5 5=1 , log 5.6 5.6 și lne=1 .

    De exemplu, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 și .

    Logaritmul produsului a două numere pozitive x și y este egal cu produsul logaritmilor acestor numere: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Să demonstrăm proprietatea logaritmului produsului. Datorită proprietăților gradului a log a x+log a y =a log a x a log a y, și deoarece prin identitatea logaritmică principală un log a x =x și un log a y =y , atunci un log a x a log a y =x y . Astfel, un log a x+log a y =x y , de unde egalitatea cerută urmează prin definiția logaritmului.

    Să arătăm exemple de utilizare a proprietății logaritmului produsului: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 și .

    Proprietatea logaritmului produsului poate fi generalizată la produsul unui număr finit n de numere pozitive x 1 , x 2 , …, x n ca log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Această egalitate este ușor de demonstrat.

    De exemplu, logaritmul natural al unui produs poate fi înlocuit cu suma a trei logaritmi naturali ai numerelor 4 , e , și .

    Logaritmul câtului a două numere pozitive x și y este egal cu diferența dintre logaritmii acestor numere. Proprietatea logaritmului coeficientului corespunde unei formule de forma , unde a>0 , a≠1 , x și y sunt niște numere pozitive. Valabilitatea acestei formule este dovedită ca formula pentru logaritmul produsului: din moment ce , apoi prin definiția logaritmului .

    Iată un exemplu de utilizare a acestei proprietăți a logaritmului: .

    Să trecem la proprietatea logaritmului gradului. Logaritmul unui grad este egal cu produsul exponentului și logaritmul modulului bazei acestui grad. Scriem această proprietate a logaritmului gradului sub forma unei formule: log a b p =p log a |b|, unde a>0, a≠1, b și p sunt numere astfel încât gradul lui b p are sens și b p >0.

    Mai întâi demonstrăm această proprietate pentru b pozitiv. Identitatea logaritmică de bază ne permite să reprezentăm numărul b ca un log a b , apoi b p =(a log a b) p , iar expresia rezultată, datorită proprietății puterii, este egală cu a p log a b . Ajungem deci la egalitatea b p =a p log a b , din care, prin definiția logaritmului, concluzionăm că log a b p =p log a b .

    Rămâne de demonstrat această proprietate pentru negativul b . Aici observăm că expresia log a b p pentru negativ b are sens doar pentru exponenții pari p (deoarece valoarea gradului b p trebuie să fie mai mare decât zero, altfel logaritmul nu va avea sens), iar în acest caz b p =|b| p . Apoi b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, de unde log a b p =p log a |b| .

    De exemplu, și ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .

    Rezultă din proprietatea anterioară proprietatea logaritmului de la rădăcină: logaritmul rădăcinii de gradul al n-lea este egal cu produsul fracției 1/n și logaritmul expresiei rădăcinii, adică , unde a>0 , a≠1 , n este un număr natural mai mare decât unu, b>0 .

    Dovada se bazează pe egalitatea (vezi ), care este valabilă pentru orice b pozitiv și pe proprietatea logaritmului gradului: .

    Iată un exemplu de utilizare a acestei proprietăți: .

    Acum să demonstrăm formula de conversie la noua bază a logaritmului drăguț . Pentru a face acest lucru, este suficient să dovedim validitatea egalității log c b=log a b log c a . Identitatea logaritmică de bază ne permite să reprezentăm numărul b ca log a b , apoi log c b=log c a log a b . Rămâne să folosim proprietatea logaritmului gradului: log c a log a b = log a b log c a. Astfel, se demonstrează egalitatea log c b=log a b log c a, ceea ce înseamnă că se dovedește și formula pentru trecerea la o nouă bază a logaritmului.

    Să arătăm câteva exemple de aplicare a acestei proprietăți a logaritmilor: și .

    Formula pentru trecerea la o nouă bază vă permite să treceți la lucrul cu logaritmi care au o bază „convenabilă”. De exemplu, poate fi folosit pentru a merge la logaritmi naturali sau zecimali, astfel încât să puteți calcula valoarea logaritmului din tabelul de logaritmi. Formula pentru trecerea la o nouă bază a logaritmului permite, de asemenea, în unele cazuri să se găsească valoarea unui logaritm dat, atunci când sunt cunoscute valorile unor logaritmi cu alte baze.

    Deseori folosit este un caz special al formulei pentru trecerea la o nouă bază a logaritmului pentru c=b de forma . Aceasta arată că log a b și log b a – . De exemplu, .

    De asemenea, este des folosită formula , care este util pentru găsirea valorilor logaritmice. Pentru a ne confirma cuvintele, vom arăta cum se calculează valoarea logaritmului formei folosindu-l. Avem . Pentru a demonstra formula este suficient să folosiți formula de tranziție la noua bază a logaritmului a: .

    Rămâne de demonstrat proprietățile de comparație ale logaritmilor.

    Să demonstrăm că pentru orice numere pozitive b 1 și b 2 , b 1 log a b 2 , iar pentru a>1, inegalitatea log a b 1

    În cele din urmă, rămâne de demonstrat ultima dintre proprietățile enumerate ale logaritmilor. Ne limităm la demonstrarea primei sale părți, adică demonstrăm că dacă a 1 >1 , a 2 >1 și a 1 1 este adevărat log a 1 b>log a 2 b . Enunțurile rămase ale acestei proprietăți a logaritmilor sunt dovedite printr-un principiu similar.

    Să folosim metoda opusă. Să presupunem că pentru a 1 >1 , a 2 >1 și a 1 1 log a 1 b≤log a 2 b este adevărat. Prin proprietățile logaritmilor, aceste inegalități pot fi rescrise ca Și respectiv, iar din acestea rezultă că log b a 1 ≤log b a 2 și, respectiv, log b a 1 ≥log b a 2. Atunci, prin proprietățile puterilor cu aceleași baze, trebuie îndeplinite egalitățile b log b a 1 ≥b log b a 2 și b log b a 1 ≥b log b a 2, adică a 1 ≥a 2 . Astfel, am ajuns la o contradicție cu condiția a 1

Bibliografie.

  • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. şi alţii.Algebra şi începuturile analizei: un manual pentru clasele 10-11 ale instituţiilor de învăţământ general.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice).

În raport cu

sarcina de a găsi oricare dintre cele trei numere din celelalte două, date, poate fi stabilită. Dat a și atunci N se găsește prin exponențiere. Dacă sunt date N și atunci a se găsește prin extragerea rădăcinii puterii x (sau exponentiației). Acum luați în considerare cazul în care, dat fiind a și N, este necesar să găsiți x.

Fie numărul N pozitiv: numărul a este pozitiv și nu egal cu unu: .

Definiție. Logaritmul numărului N la baza a este exponentul la care trebuie să ridicați a pentru a obține numărul N; logaritmul este notat cu

Astfel, în egalitatea (26.1), exponentul se găsește ca logaritmul lui N la baza a. Intrări

au acelasi sens. Egalitatea (26.1) este uneori numită identitatea de bază a teoriei logaritmilor; de fapt, exprimă definiția conceptului de logaritm. Prin această definiție, baza logaritmului a este întotdeauna pozitivă și diferită de unitate; numărul logaritmabil N este pozitiv. Numerele negative și zero nu au logaritmi. Se poate demonstra că orice număr cu o bază dată are un logaritm bine definit. Prin urmare egalitatea presupune . Rețineți că condiția este esențială aici, altfel concluzia nu ar fi justificată, deoarece egalitatea este adevărată pentru orice valori ale lui x și y.

Exemplul 1. Găsiți

Soluţie. Pentru a obține numărul, trebuie să ridicați baza 2 la putere Prin urmare.

Puteți înregistra atunci când rezolvați astfel de exemple în următoarea formă:

Exemplul 2. Găsiți .

Soluţie. Avem

În exemplele 1 și 2, am găsit cu ușurință logaritmul dorit reprezentând numărul logaritmabil ca un grad de bază cu un exponent rațional. În cazul general, de exemplu, pentru etc., acest lucru nu se poate face, deoarece logaritmul are o valoare irațională. Să fim atenți la o întrebare legată de această afirmație. În § 12 am dat conceptul de posibilitate de a determina orice putere reală a unui număr pozitiv dat. Acest lucru a fost necesar pentru introducerea logaritmilor, care, în general, pot fi numere iraționale.

Luați în considerare câteva proprietăți ale logaritmilor.

Proprietatea 1. Dacă numărul și baza sunt egale, atunci logaritmul este egal cu unu și, invers, dacă logaritmul este egal cu unu, atunci numărul și baza sunt egale.

Dovada. Fie După definiția logaritmului, avem și de unde

Dimpotrivă, să fie Atunci prin definiție

Proprietatea 2. Logaritmul unității la orice bază este egal cu zero.

Dovada. După definiția logaritmului (puterea zero a oricărei baze pozitive este egală cu unu, vezi (10.1)). De aici

Q.E.D.

Afirmația inversă este de asemenea adevărată: dacă , atunci N = 1. Într-adevăr, avem .

Înainte de a afirma următoarea proprietate a logaritmilor, să fim de acord să spunem că două numere a și b se află de aceeași parte a unui al treilea număr c dacă ambele sunt fie mai mari decât c, fie mai mici decât c. Dacă unul dintre aceste numere este mai mare decât c și celălalt este mai mic decât c, atunci spunem că ele se află pe laturile opuse ale lui c.

Proprietatea 3. Dacă numărul și baza se află pe aceeași parte a unității, atunci logaritmul este pozitiv; dacă numărul și baza se află pe părți opuse ale unității, atunci logaritmul este negativ.

Dovada proprietății 3 se bazează pe faptul că gradul lui a este mai mare decât unu dacă baza este mai mare decât unu și exponentul este pozitiv, sau baza este mai mică decât unu și exponentul este negativ. Gradul este mai mic decât unu dacă baza este mai mare decât unu și exponentul este negativ sau baza este mai mică decât unu și exponentul este pozitiv.

Există patru cazuri care trebuie luate în considerare:

Ne limităm la analiza primei dintre ele, cititorul le va lua în considerare pe restul singur.

Fie atunci exponentul în egalitate să nu fie nici negativ, nici egal cu zero, prin urmare, este pozitiv, adică ceea ce trebuia să fie demonstrat.

Exemplul 3. Aflați care dintre următorii logaritmi sunt pozitivi și care sunt negativi:

Soluție, a) întrucât numărul 15 și baza 12 sunt situate pe aceeași parte a unității;

b) , întrucât 1000 și 2 sunt situate pe aceeași parte a unității; în același timp, nu este esențial ca baza să fie mai mare decât numărul logaritmic;

c), deoarece 3.1 și 0.8 se află pe părți opuse ale unității;

G) ; De ce?

e) ; De ce?

Următoarele proprietăți 4-6 sunt numite adesea regulile logaritmului: ele permit, cunoscând logaritmii unor numere, să se găsească logaritmii produsului, câtul, gradul fiecăruia dintre ele.

Proprietatea 4 (regula pentru logaritmul produsului). Logaritmul produsului mai multor numere pozitive dintr-o bază dată este egal cu suma logaritmilor acestor numere din aceeași bază.

Dovada. Să fie date numere pozitive.

Pentru logaritmul produsului lor, scriem egalitatea (26.1) care definește logaritmul:

De aici găsim

Comparând exponenții primei și ultimei expresii, obținem egalitatea necesară:

Rețineți că condiția este esențială; logaritmul produsului a două numere negative are sens, dar în acest caz obținem

În general, dacă produsul mai multor factori este pozitiv, atunci logaritmul său este egal cu suma logaritmilor modulelor acestor factori.

Proprietatea 5 (regula logaritmului coeficientului). Logaritmul unui coeficient de numere pozitive este egal cu diferența dintre logaritmii dividendului și divizorului, luați în aceeași bază. Dovada. Găsește în mod constant

Q.E.D.

Proprietatea 6 (regula logaritmului gradului). Logaritmul puterii oricărui număr pozitiv este egal cu logaritmul acelui număr înmulțit cu exponentul.

Dovada. Scriem din nou identitatea principală (26.1) pentru numărul:

Q.E.D.

Consecinţă. Logaritmul rădăcinii unui număr pozitiv este egal cu logaritmul rădăcinii numărului împărțit la exponentul rădăcinii:

Putem demonstra validitatea acestui corolar prezentând cum și folosind proprietatea 6.

Exemplul 4. Logaritmul la baza a:

a) (se presupune că toate valorile b, c, d, e sunt pozitive);

b) (se presupune că ).

Soluție, a) Este convenabil să trecem în această expresie la puteri fracționale:

Pe baza egalităților (26.5)-(26.7) putem scrie acum:

Observăm că asupra logaritmilor numerelor se efectuează operații mai simple decât asupra numerelor în sine: la înmulțirea numerelor se adună logaritmii acestora, la împărțire se scad etc.

De aceea logaritmii au fost folosiți în practica de calcul (vezi Sec. 29).

Acțiunea inversă logaritmului se numește potențare și anume: potențarea este acțiunea prin care acest număr însuși este găsit de logaritmul dat al unui număr. În esență, potențarea nu este o acțiune specială: se rezumă la ridicarea bazei la o putere (egală cu logaritmul numărului). Termenul de „potenciare” poate fi considerat sinonim cu termenul de „exponentiare”.

La potențare, este necesar să folosiți regulile care sunt inverse regulilor logaritmului: înlocuiți suma logaritmilor cu logaritmul produsului, diferența de logaritmi cu logaritmul coeficientului etc. În special, dacă există orice factor în fața semnului logaritmului, apoi în timpul potențarii trebuie transferat la grade indicatoare sub semnul logaritmului.

Exemplul 5. Aflați N dacă se știe că

Soluţie. În legătură cu regula de potențare tocmai enunțată, factorii 2/3 și 1/3, care se află în fața semnelor logaritmilor din partea dreaptă a acestei egalități, vor fi transferați exponenților sub semnele acestor logaritmi; primim

Acum înlocuim diferența de logaritmi cu logaritmul coeficientului:

pentru a obține ultima fracție din acest lanț de egalități, am eliberat fracția anterioară de iraționalitatea în numitor (secțiunea 25).

Proprietatea 7. Dacă baza este mai mare decât unu, atunci numărul mai mare are un logaritm mai mare (și cel mai mic are unul mai mic), dacă baza este mai mică de unu, atunci numărul mai mare are un logaritm mai mic (și cel mai mic unul are unul mai mare).

Această proprietate este, de asemenea, formulată ca regulă pentru logaritmul inegalităților, ambele părți fiind pozitive:

Când luați logaritmul inegalităților la o bază mai mare decât unu, semnul inegalității este păstrat, iar când luați un logaritm la o bază mai mică de unu, semnul inegalității este inversat (vezi și articolul 80).

Demonstrarea se bazează pe proprietățile 5 și 3. Luați în considerare cazul în care Dacă , atunci și, luând logaritmul, obținem

(a și N/M se află pe aceeași parte a unității). De aici

Urmează cazul, cititorul își va da seama singur.

Recomandăm și noi
Se încarcă...Se încarcă...