Rezolvarea celor mai simple inegalități logaritmice. Pregătirea pentru examen

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica o anumită persoană sau pentru a o contacta.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
Dacă participați la o tragere la sorți, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Dintre întreaga varietate de inegalități logaritmice, inegalitățile cu bază variabilă sunt studiate separat. Ele sunt rezolvate după o formulă specială, care din anumite motive este rareori predată la școală:

log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0

În loc de un corocan „∨”, puteți pune orice semn de inegalitate: mai mult sau mai puțin. Principalul lucru este că în ambele inegalități semnele sunt aceleași.

Deci scăpăm de logaritmi și reducem problema la o inegalitate rațională. Acesta din urmă este mult mai ușor de rezolvat, dar atunci când se aruncă logaritmi, pot apărea rădăcini suplimentare. Pentru a le tăia, este suficient să găsiți intervalul de valori admisibile. Dacă ați uitat ODZ al logaritmului, vă recomand insistent să îl repetați - vedeți „Ce este un logaritm”.

Tot ceea ce are legătură cu intervalul de valori acceptabile trebuie scris și rezolvat separat:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Aceste patru inegalități constituie un sistem și trebuie îndeplinite simultan. Când se găsește intervalul de valori acceptabile, rămâne să îl traversați cu soluția unei inegalități raționale - și răspunsul este gata.

O sarcină. Rezolvați inegalitatea:

Mai întâi, să scriem ODZ al logaritmului:

Primele două inegalități sunt efectuate automat, iar ultima va trebui scrisă. Deoarece pătratul unui număr este zero dacă și numai dacă numărul însuși este zero, avem:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Rezultă că ODZ a logaritmului este toate numerele cu excepția zero: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Acum rezolvăm inegalitatea principală:

Efectuăm trecerea de la inegalitatea logaritmică la cea rațională. În inegalitatea originală există un semn „mai puțin decât”, astfel încât inegalitatea rezultată ar trebui să fie și cu un semn „mai puțin decât”. Avem:

(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.

Zerourile acestei expresii: x = 3; x = -3; x = 0. Mai mult, x = 0 este rădăcina celei de-a doua multiplicități, ceea ce înseamnă că la trecerea prin aceasta, semnul funcției nu se modifică. Avem:

Se obține x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Acest set este complet conținut în ODZ al logaritmului, ceea ce înseamnă că acesta este răspunsul.

Transformarea inegalităților logaritmice

Adesea inegalitatea originală diferă de cea de mai sus. Acest lucru este ușor de remediat conform regulilor standard pentru lucrul cu logaritmi - vezi „Proprietățile de bază ale logaritmilor”. Și anume:

Orice număr poate fi reprezentat ca un logaritm cu o bază dată;
Suma și diferența logaritmilor cu aceeași bază pot fi înlocuite cu un singur logaritm.

Separat, vreau să vă reamintesc intervalul de valori acceptabile. Deoarece pot exista mai mulți logaritmi în inegalitatea originală, este necesar să se găsească DPV-ul fiecăruia dintre ei. Astfel, schema generală de rezolvare a inegalităților logaritmice este următoarea:

Aflați ODZ a fiecărui logaritm inclus în inegalitate;
Reduceți inegalitatea la cea standard folosind formulele de adunare și scădere a logaritmilor;
Rezolvați inegalitatea rezultată conform schemei de mai sus.

O sarcină. Rezolvați inegalitatea:

Găsiți domeniul de definiție (ODZ) al primului logaritm:

Rezolvăm prin metoda intervalului. Aflarea zerourilor numărătorului:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Apoi - zerourile numitorului:

x − 1 = 0;
x = 1.

Marcam zerouri și semne pe săgeata de coordonate:

Se obține x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Al doilea logaritm al ODZ va fi același. Dacă nu mă credeți, puteți verifica. Acum transformăm al doilea logaritm astfel încât baza să fie două:

După cum puteți vedea, triplele de la bază și înainte de logaritm s-au micșorat. Obțineți doi logaritmi cu aceeași bază. Să le punem împreună:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Am obținut inegalitatea logaritmică standard. Scăpăm de logaritmi prin formulă. Deoarece există un semn mai mic decât în inegalitatea originală, expresia rațională rezultată trebuie, de asemenea, să fie mai mică decât zero. Avem:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Avem două seturi:

ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
Răspuns candidat: x ∈ (−1; 3).

Rămâne să traversăm aceste seturi - obținem răspunsul real:

Ne interesează intersecția mulțimilor, așa că alegem intervalele umbrite pe ambele săgeți. Se obține x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - toate punctele sunt perforate.

Crezi că mai este timp înainte de examen și vei avea timp să te pregătești? Poate că așa este. Dar, în orice caz, cu cât studentul începe mai devreme antrenamentul, cu atât trece cu mai mult succes examenele. Astăzi am decis să dedicăm un articol inegalităților logaritmice. Aceasta este una dintre sarcini, ceea ce înseamnă o oportunitate de a obține un punct în plus.

Știți deja ce este un logaritm (log)? Chiar sperăm. Dar chiar dacă nu ai un răspuns la această întrebare, nu este o problemă. Este foarte ușor de înțeles ce este un logaritm.

De ce exact 4? Trebuie să ridicați numărul 3 la o astfel de putere pentru a obține 81. Când înțelegeți principiul, puteți trece la calcule mai complexe.

Ai trecut prin inegalități în urmă cu câțiva ani. Și de atunci, îi întâlnești constant la matematică. Dacă întâmpinați probleme la rezolvarea inegalităților, consultați secțiunea corespunzătoare.
Acum, când ne-am familiarizat cu conceptele separat, vom trece la analiza lor în general.

Cea mai simplă inegalitate logaritmică.

Cele mai simple inegalități logaritmice nu se limitează la acest exemplu, mai sunt trei, doar cu semne diferite. De ce este nevoie de asta? Pentru a înțelege mai bine cum se rezolvă inegalitatea cu logaritmi. Acum dăm un exemplu mai aplicabil, încă destul de simplu, lăsăm inegalități logaritmice complexe pentru mai târziu.

Cum să o rezolv? Totul începe cu ODZ. Ar trebui să știți mai multe despre asta dacă doriți să rezolvați întotdeauna cu ușurință orice inegalitate.

Ce este ODZ? DPV pentru inegalitățile logaritmice

Abrevierea reprezintă intervalul de valori valide. În temele pentru examen, această formulare apare adesea. DPV vă este util nu numai în cazul inegalităților logaritmice.

Privește din nou exemplul de mai sus. Vom lua în considerare ODZ pe baza acestuia, astfel încât să înțelegeți principiul, iar soluția inegalităților logaritmice nu ridică întrebări. Din definiția logaritmului rezultă că 2x+4 trebuie să fie mai mare decât zero. În cazul nostru, aceasta înseamnă următoarele.

Acest număr trebuie să fie pozitiv prin definiție. Rezolvați inegalitatea prezentată mai sus. Acest lucru se poate face chiar și oral, aici este clar că X nu poate fi mai mic de 2. Soluția inegalității va fi definirea intervalului de valori acceptabile.
Acum să trecem la rezolvarea celei mai simple inegalități logaritmice.

Aruncăm logaritmii înșiși din ambele părți ale inegalității. Ce ne mai rămâne ca rezultat? inegalitatea simplă.

Este ușor de rezolvat. X trebuie să fie mai mare de -0,5. Acum combinăm cele două valori obținute în sistem. În acest fel,

Aceasta va fi regiunea valorilor admisibile pentru inegalitatea logaritmică considerată.

De ce este nevoie de ODZ? Aceasta este o oportunitate de a elimina răspunsurile incorecte și imposibile. Dacă răspunsul nu se află în intervalul de valori acceptabile, atunci răspunsul pur și simplu nu are sens. Acest lucru merită să ne amintim mult timp, deoarece la examen este adesea nevoie să căutați ODZ și nu se referă numai la inegalitățile logaritmice.

Algoritm pentru rezolvarea inegalității logaritmice

Soluția constă din mai mulți pași. În primul rând, este necesar să găsiți intervalul de valori acceptabile. Vor fi două valori în ODZ, am considerat acest lucru mai sus. Următorul pas este rezolvarea inegalității în sine. Metodele de rezolvare sunt următoarele:

metoda de înlocuire a multiplicatorului;
descompunere;
metoda de raționalizare.

În funcție de situație, ar trebui utilizată una dintre metodele de mai sus. Să trecem direct la soluție. Vom dezvălui cea mai populară metodă care este potrivită pentru rezolvarea sarcinilor USE în aproape toate cazurile. În continuare, vom lua în considerare metoda de descompunere. Vă poate ajuta dacă întâlniți o inegalitate deosebit de „delicată”. Deci, algoritmul pentru rezolvarea inegalității logaritmice.

Exemple de soluții :

Nu degeaba am luat tocmai o asemenea inegalitate! Atenție la bază. Amintiți-vă: dacă este mai mare decât unu, semnul rămâne același la găsirea intervalului de valori valide; în caz contrar, semnul de inegalitate trebuie schimbat.

Ca rezultat, obținem inegalitatea:

Acum aducem partea stângă la forma ecuației egale cu zero. În loc de semnul „mai puțin decât”, punem „egal”, rezolvăm ecuația. Astfel, vom găsi ODZ. Sperăm că nu veți avea probleme cu rezolvarea unei astfel de ecuații simple. Răspunsurile sunt -4 și -2. Asta nu e tot. Trebuie să afișați aceste puncte pe diagramă, plasați „+” și „-”. Ce trebuie făcut pentru asta? Înlocuiți numerele din intervale în expresie. Acolo unde valorile sunt pozitive, punem „+” acolo.

Răspuns: x nu poate fi mai mare de -4 și mai mic de -2.

Am găsit intervalul de valori valide doar pentru partea stângă, acum trebuie să găsim intervalul de valori valide pentru partea dreaptă. Acest lucru nu este deloc mai ușor. Raspuns: -2. Intersectăm ambele zone primite.

Și abia acum începem să rezolvăm inegalitatea în sine.

Să simplificăm cât mai mult posibil pentru a fi mai ușor de decis.

Folosim din nou metoda intervalului în soluție. Să sărim peste calcule, cu el totul este deja clar din exemplul anterior. Răspuns.

Dar această metodă este potrivită dacă inegalitatea logaritmică are aceleași baze.

Rezolvarea ecuațiilor logaritmice și a inegalităților cu baze diferite implică reducerea inițială la o bază. Apoi utilizați metoda de mai sus. Dar există și un caz mai complicat. Luați în considerare unul dintre cele mai complexe tipuri de inegalități logaritmice.

Inegalități logaritmice cu bază variabilă

Cum se rezolvă inegalitățile cu astfel de caracteristici? Da, și așa ceva se găsește în examen. Rezolvarea inegalităților în felul următor va avea, de asemenea, un efect benefic asupra procesului tău educațional. Să ne uităm la problema în detaliu. Să lăsăm teoria deoparte și să trecem direct la practică. Pentru a rezolva inegalitățile logaritmice, este suficient să vă familiarizați o dată cu exemplul.

Pentru a rezolva inegalitatea logaritmică a formei prezentate, este necesar să se reducă partea dreaptă la logaritmul cu aceeași bază. Principiul seamănă cu tranzițiile echivalente. Ca urmare, inegalitatea va arăta astfel.

De fapt, rămâne să creăm un sistem de inegalități fără logaritmi. Folosind metoda raționalizării, trecem la un sistem echivalent de inegalități. Veți înțelege regula în sine atunci când înlocuiți valorile corespunzătoare și urmați modificările acestora. Sistemul va avea următoarele inegalități.

Folosind metoda raționalizării atunci când rezolvați inegalitățile, trebuie să vă amintiți următoarele: trebuie să scădeți una din bază, x, prin definiția logaritmului, este scăzut din ambele părți ale inegalității (dreapta din stânga), cele două expresiile sunt înmulțite și stabilite sub semnul original relativ la zero.

Soluția ulterioară se realizează prin metoda intervalului, totul este simplu aici. Este important să înțelegeți diferențele dintre metodele de soluție, apoi totul va începe să funcționeze ușor.

Există multe nuanțe în inegalitățile logaritmice. Cele mai simple dintre ele sunt destul de ușor de rezolvat. Cum să faci astfel încât să rezolvi fiecare dintre ele fără probleme? Ați primit deja toate răspunsurile din acest articol. Acum ai un antrenament lung în față. Exersați constant rezolvarea diferitelor probleme din cadrul examenului și veți putea obține cel mai mare punctaj. Mult succes in munca ta grea!

O inegalitate se numește logaritmică dacă conține o funcție logaritmică.

Metodele de rezolvare a inegalităților logaritmice nu diferă cu excepția a două lucruri.

În primul rând, când se trece de la inegalitatea logaritmică la inegalitatea funcțiilor sublogaritmice, rezultă urmați semnul inegalității rezultate. Se supune următoarei reguli.

Dacă baza funcției logaritmice este mai mare de $1$, atunci când se trece de la inegalitatea logaritmică la inegalitatea funcțiilor sublogaritmice, semnul de inegalitate se păstrează, iar dacă este mai mic de $1$, atunci se inversează.

În al doilea rând, soluția oricărei inegalități este un interval și, prin urmare, la sfârșitul soluției inegalității funcțiilor sublogaritmice, este necesar să se compună un sistem de două inegalități: prima inegalitate a acestui sistem va fi inegalitatea de funcții sublogaritmice, iar al doilea va fi intervalul domeniului de definire a funcțiilor logaritmice incluse în inegalitatea logaritmică.