Teoria funcțiilor unei variabile. Analiza matematică

Lasă variabila X n ia o succesiune infinită de valori

X 1 , X 2 , ..., X n , ..., (1)

iar legea schimbării variabilei este cunoscută X n, adică pentru fiecare număr natural n puteți specifica valoarea corespunzătoare X n. Astfel se presupune că variabila X n este o functie a n:

X n = f(n)

Să definim unul dintre cele mai importante concepte ale analizei matematice - limita unei secvențe sau, ceea ce este același, limita unei variabile X n secvență de rulare X 1 , X 2 , ..., X n , ... . .

Definiție. număr constant A numit limită de secvență X 1 , X 2 , ..., X n , ... . sau limita unei variabile X n, dacă pentru un număr pozitiv arbitrar mic e există un astfel de număr natural N(adică numărul N) că toate valorile variabilei X n, incepand cu X N, diferă de la A mai puțin în valoare absolută decât e. Această definiție este scrisă pe scurt după cum urmează:

| X n -A |< (2)

pentru toți n  N, sau, care este același,

Definiția limitei Cauchy. Un număr A se numește limita unei funcții f (x) într-un punct a dacă această funcție este definită într-o vecinătate a punctului a, cu excepția, poate, a punctului a însuși, și pentru fiecare ε > 0 există δ > 0 astfel încât pentru toate x satisface condiția |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Definiția limitei Heine. Un număr A se numește limita unei funcții f (x) într-un punct a dacă această funcție este definită într-o vecinătate a punctului a, cu excepția, probabil, a punctului a însuși și pentru orice succesiune astfel încât convergând către numărul a, succesiunea corespunzătoare de valori a funcției converge către numărul A.

Dacă funcția f(x) are o limită în punctul a, atunci această limită este unică.

Numărul A 1 se numește limita din stânga a funcției f (x) în punctul a dacă pentru fiecare ε > 0 există δ >

Numărul A 2 se numește limita dreaptă a funcției f (x) în punctul a dacă pentru fiecare ε > 0 există δ > 0 astfel încât inegalitatea

Limita din stânga este desemnată ca limită din dreapta - Aceste limite caracterizează comportamentul funcției la stânga și la dreapta punctului a. Ele sunt adesea denumite limite unidirecționale. În notarea limitelor unilaterale ca x → 0, primul zero este de obicei omis: și . Deci, pentru funcție

Dacă pentru fiecare ε > 0 există o δ-vecinătate a unui punct a astfel încât pentru tot x care îndeplinește condiția |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, atunci spunem că funcția f (x) are o limită infinită în punctul a:

Astfel, funcția are o limită infinită în punctul x = 0. Limitele egale cu +∞ și –∞ se disting adesea. Asa de,

Dacă pentru fiecare ε > 0 există δ > 0 astfel încât pentru orice x > δ inegalitatea |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Teorema existenței pentru cea mai mică limită superioară

Definiție: AR mR, m - fața superioară (inferioară) a lui A, dacă аА аm (аm).

Definiție: Mulțimea A este mărginită de sus (de jos), dacă există m astfel încât аА, atunci аm (аm) este satisfăcută.

Definiție: SupA=m, dacă 1) m - limita superioară a lui A

2) m’: m’ m' nu este o față superioară a lui A

InfA = n dacă 1) n este infimul lui A

2) n’: n’>n => n’ nu este un infim al lui A

Definiție: SupA=m este un număr astfel încât: 1)  aA am

2) >0 a  A, astfel încât a  a-

InfA = n se numește un număr astfel încât:

2) >0 a  A, astfel încât a E a+

Teorema: Orice mulțime nevidă АR mărginită de sus are cea mai bună limită superioară și una unică.

Dovada:

Construim un număr m pe dreapta reală și demonstrăm că aceasta este cea mai mică limită superioară a lui A.

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - fața superioară a lui A

Segmentul [[m],[m]+1] - împărțit în 10 părți

m 1 =max:aA)]

m 2 =max,m 1:aA)]

m la =max,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - fața superioară A

Să demonstrăm că m=[m],m 1 ...m K este cea mai mică limită superioară și că este unică:

la: .

Orez. 11. Graficul funcției y arcsin x.

Să introducem acum conceptul de funcție complexă ( compoziții afișate). Să fie date trei mulțimi D, E, M și să fie f: D→E, g: E→M. În mod evident, este posibil să se construiască o nouă mapare h: D→M, numită o compoziție de mapări f și g sau o funcție complexă (Fig. 12).

O funcție complexă se notează astfel: z =h(x)=g(f(x)) sau h = f o g.

Orez. 12. Ilustrație pentru conceptul de funcție complexă.

Se numește funcția f (x). funcție internă, iar funcția g ( y ) - functie externa.

1. Funcția internă f (x) = x², extern g (y) sin y. Funcția complexă z= g(f(x))=sin(x²)

2. Acum invers. Funcția interioară f (x)= sinx, exterioară g (y) y 2 . u=f(g(x))=sin²(x)