„teoria probabilității în sarcinile examenului și oge”. Probleme simple în teoria probabilității

Prezentat până în prezent în banca deschisă a problemelor USE în matematică (mathege.ru), a căror soluție se bazează pe o singură formulă, care este o definiție clasică a probabilității.

Cel mai simplu mod de a înțelege formula este cu exemple.
Exemplul 1În coș sunt 9 bile roșii și 3 albastre. Bilele diferă doar prin culoare. La întâmplare (fără să ne uităm) primim unul dintre ei. Care este probabilitatea ca mingea aleasă în acest fel să fie albastră?

Cometariu.În problemele de probabilitate, se întâmplă ceva (în acest caz, acțiunea noastră de a trage mingea) care poate avea rezultat diferit- rezultatul. Trebuie remarcat faptul că rezultatul poate fi vizualizat în moduri diferite. „Am scos o minge” este și un rezultat. „Am scos mingea albastră” este rezultatul. „Am extras această minge specială din toate mingile posibile” - această vedere cel mai puțin generalizată a rezultatului se numește rezultatul elementar. Rezultatele elementare sunt menite în formula de calcul a probabilității.

Decizie. Acum calculăm probabilitatea de a alege o minge albastră.
Evenimentul A: „Mingea aleasă s-a dovedit a fi albastră”
Numărul total al tuturor rezultatelor posibile: 9+3=12 (numărul tuturor bilelor pe care le-am putea extrage)
Numărul de rezultate favorabile pentru evenimentul A: 3 (numărul de astfel de rezultate în care a avut loc evenimentul A - adică numărul de bile albastre)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Răspuns: 0,25

Să calculăm pentru aceeași problemă probabilitatea de a alege o minge roșie.
Numărul total de rezultate posibile va rămâne același, 12. Numărul de rezultate favorabile: 9. Probabilitatea dorită: 9/12=3/4=0,75

Probabilitatea oricărui eveniment se află întotdeauna între 0 și 1.
Uneori, în vorbirea de zi cu zi (dar nu în teoria probabilității!) Probabilitatea evenimentelor este estimată ca procent. Tranziția între evaluarea matematică și cea conversațională se face prin înmulțirea (sau împărțirea) cu 100%.
Asa de,
În acest caz, probabilitatea este zero pentru evenimente care nu se pot întâmpla - improbabile. De exemplu, în exemplul nostru, aceasta ar fi probabilitatea de a extrage o minge verde din coș. (Numărul de rezultate favorabile este 0, P(A)=0/12=0 dacă sunt numărate conform formulei)
Probabilitatea 1 are evenimente care se vor întâmpla cu siguranță, fără opțiuni. De exemplu, probabilitatea ca „bila aleasă să fie fie roșie, fie albastră” este pentru problema noastră. (Număr de rezultate favorabile: 12, P(A)=12/12=1)

Ne-am uitat la un exemplu clasic care ilustrează definiția probabilității. Toate similare UTILIZAȚI sarcini conform teoriei probabilităților se rezolvă prin aplicarea acestei formule.
În loc de bile roșii și albastre, pot fi mere și pere, băieți și fete, bilete învățate și neînvățate, bilete care conțin sau nu o întrebare pe o anumită temă (prototipuri , ), genți defecte și de înaltă calitate sau pompe de grădină (prototipuri). , ) - principiul rămâne același.

Ele diferă ușor în formularea problemei teoriei probabilității USE, în care trebuie să calculați probabilitatea ca un eveniment să aibă loc într-o anumită zi. ( , ) Ca și în sarcinile anterioare, trebuie să determinați care este un rezultat elementar și apoi să aplicați aceeași formulă.

Exemplul 2 Conferința durează trei zile. În prima și a doua zi, câte 15 vorbitori, în a treia zi - 20. Care este probabilitatea ca raportul profesorului M. să cadă în a treia zi, dacă ordinea rapoartelor se stabilește prin tragere la sorți?

Care este rezultatul elementar aici? - Atribuirea unui raport al profesorului unuia dintre toate numerele de serie posibile pentru un discurs. La extragere participă 15+15+20=50 de persoane. Astfel, raportul profesorului M. poate primi unul din 50 de numere. Aceasta înseamnă că există doar 50 de rezultate elementare.
Care sunt rezultatele favorabile? - Cele în care se dovedește că profesorul va vorbi a treia zi. Adică ultimele 20 de numere.
Conform formulei, probabilitatea P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Răspuns: 0,4

Tragerea la sorți aici este stabilirea unei corespondențe aleatorii între oameni și locuri ordonate. În Exemplul 2, potrivirea a fost luată în considerare în ceea ce privește locurile pe care le-ar putea ocupa o anumită persoană. Poți aborda aceeași situație din cealaltă parte: care dintre persoanele cu ce probabilitate ar putea ajunge într-un anumit loc (prototipuri , , , ):

Exemplul 3 La tragere la sorți participă 5 germani, 8 francezi și 3 estonieni. Care este probabilitatea ca primul (/al doilea/al șaptelea/ultimul - nu contează) să fie un francez.

Numărul rezultatelor elementare este numărul tuturor oameni posibili care ar putea, prin tragere la sorți, să intre loc dat. 5+8+3=16 persoane.
Rezultate favorabile - francezi. 8 persoane.
Probabilitate dorită: 8/16=1/2=0,5
Răspuns: 0,5

Prototipul este puțin diferit. Există sarcini despre monede () și zaruri () care sunt oarecum mai creative. Soluțiile la aceste probleme pot fi găsite pe paginile prototip.

Iată câteva exemple de aruncare a monedelor sau a zarurilor.

Exemplul 4 Când aruncăm o monedă, care este probabilitatea de a obține cozi?
Rezultatele 2 - capete sau cozi. (se crede că moneda nu cade niciodată pe margine) Rezultat favorabil - cozi, 1.
Probabilitate 1/2=0,5
Răspuns: 0,5.

Exemplul 5 Dacă aruncăm o monedă de două ori? Care este probabilitatea ca acesta să iasă în cap de ambele ori?
Principalul lucru este să stabilim ce rezultate elementare vom lua în considerare atunci când aruncăm două monede. După aruncarea a două monede, poate apărea unul dintre următoarele rezultate:
1) PP - de ambele ori a venit cozi
2) PO - prima dată cozi, a doua oară capete
3) OP - prima dată cap, a doua oară cozi
4) OO - heads-up de ambele ori
Nu există alte opțiuni. Aceasta înseamnă că există 4 rezultate elementare. Doar primul este favorabil, 1.
Probabilitate: 1/4=0,25
Răspuns: 0,25

Care este probabilitatea ca două aruncări ale unei monede să cadă pe cozi?
Numărul de rezultate elementare este același, 4. Rezultatele favorabile sunt al doilea și al treilea, 2.
Probabilitatea de a obține o coadă: 2/4=0,5

În astfel de probleme, o altă formulă poate fi utilă.
Dacă cu o singură aruncare a unei monede Opțiuni avem 2 rezultate, atunci pentru două aruncări rezultatele vor fi 2 2=2 2 =4 (ca în exemplul 5), pentru trei aruncări 2 2 2=2 3 =8, pentru patru: 2 2 2 2 =2 4 = 16, … pentru N aruncări există 2·2·...·2=2 N rezultate posibile.

Deci, puteți găsi probabilitatea de a obține 5 cozi din 5 aruncări de monede.
Numărul total de rezultate elementare: 2 5 =32.
Rezultate favorabile: 1. (RRRRRR - toate cele 5 ori cozi)
Probabilitate: 1/32=0,03125

Același lucru este valabil și pentru zaruri. Cu o singură aruncare, sunt 6 rezultate posibile.Deci, pentru două aruncări: 6 6=36, pentru trei 6 6 6=216 etc.

Exemplul 6 Aruncăm un zar. Care este probabilitatea de a obține un număr par?

Rezultate totale: 6, în funcție de numărul de fețe.
Favorabil: 3 rezultate. (2, 4, 6)
Probabilitate: 3/6=0,5

Exemplul 7 Aruncă două zaruri. Care este probabilitatea ca totalul să fie 10? (rotunjit la sutimi)

Există 6 rezultate posibile pentru un zar. Prin urmare, pentru doi, conform regulii de mai sus, 6·6=36.
Ce rezultate vor fi favorabile ca un total de 10 să cadă?
10 trebuie descompus în suma a două numere de la 1 la 6. Acest lucru se poate face în două moduri: 10=6+4 și 10=5+5. Deci, pentru cuburi, sunt posibile opțiuni:
(6 pe primul și 4 pe al doilea)
(4 pe primul și 6 pe al doilea)
(5 pe primul și 5 pe al doilea)
În total, 3 opțiuni. Probabilitate dorită: 3/36=1/12=0,08
Răspuns: 0,08

Alte tipuri de probleme B6 vor fi discutate în unul dintre următoarele articole „Cum se rezolvă”.

Descrierea prezentării pe diapozitive individuale:

1 tobogan

Descrierea diapozitivului:

Sarcini cheie în teoria probabilității Pregătirea pentru OGE Nr. 9 MBOU „Gimnaziul Nr. 4 numit după. LA FEL DE. Pușkin” Alcătuit de: Sofina N.Yu.

2 tobogan

Descrierea diapozitivului:

Cerințe de bază verificabile pentru pregătirea matematică Nr. 9 OGE în matematică Rezolvarea problemelor practice care necesită o enumerare sistematică a opțiunilor; compara șansele de apariție a evenimentelor aleatoare, evaluează probabilitățile unui eveniment aleatoriu, compară și explorează modele ale unei situații reale folosind aparatul de probabilitate și statistică. Nr. 9 - sarcina de bază. Punctajul maxim pentru îndeplinirea sarcinii este 1.

3 slide

Descrierea diapozitivului:

Probabilitatea unui eveniment A este raportul dintre numărul m de rezultate favorabile acestui eveniment la numărul total n dintre toate evenimentele incompatibile la fel de posibile care pot apărea ca rezultat al unei încercări sau al unei observații Definiția clasică a probabilității Amintiți-vă formula pentru calcularea probabilității clasice a unui eveniment aleatoriu Р = n m

4 slide

Descrierea diapozitivului:

Definiția clasică a probabilității Exemplu: Comitetul de părinți a cumpărat 40 de pagini de colorat pentru cadouri de absolvire pentru copii an scolar. Dintre acestea, 14 se bazează pe basmele lui A.S. Pușkin și 26 bazat pe basmele lui G.Kh. Andersen. Cadourile sunt distribuite aleatoriu. Găsiți probabilitatea ca Nastya să primească o carte de colorat bazată pe basmele lui A.S. Pușkin. Rezolvare: m= 14; n= 14 +26=40 Р= 14/40= 0,35 Răspuns: 0,35.

5 slide

Descrierea diapozitivului:

Exemplu: au fost 60 de întrebări pentru examen. Ivan nu a învățat 3 dintre ele. Găsiți probabilitatea ca acesta să dea peste întrebarea învățată. Rezolvare: Aici n=60. Ivan nu a învățat 3, așa că a învățat tot restul, adică. m=60-3=57. P=57/60=0,95. Definiția clasică a probabilității Răspuns: 0,95.

6 slide

Descrierea diapozitivului:

„Ordinea este stabilită prin tragere la sorți” Exemplu: 20 de sportivi participă la campionatul de gimnastică: 8 din Rusia, 7 din SUA, restul din China. Ordinea în care performanțele gimnastelor se stabilește prin tragere la sorți. Găsiți probabilitatea ca al cincilea sportiv să fie din China. Soluție: În starea problemei există un cuvânt „magic” „lot”, ceea ce înseamnă că uităm de ordinea vorbirii. Astfel, m= 20-8-7=5 (din China); n=20. P \u003d 5/20 \u003d 0,25. Răspuns: 0,25.

7 slide

Descrierea diapozitivului:

Exemplu: O conferință științifică are loc în 5 zile. Sunt planificate în total 75 de rapoarte - primele 3 zile, câte 17 rapoarte, restul sunt distribuite în mod egal între a 4-a și a 5-a zi. Ordinea rapoartelor este stabilită prin tragere la sorți. Care este probabilitatea ca raportul profesorului Ivanov să fie programat pentru ultima zi a conferinței? Soluție: Să punem datele în tabel. Am obtinut ca m=12; n=75. P=12/75=0,16. Răspuns: 0,16. „Ordine determinată prin tragere la sorți” Ziua I II III IV V Număr total de prezentări 17 17 17 12 12 75

8 slide

Descrierea diapozitivului:

Frecvența evenimentului La fel ca și probabilitatea, se găsește frecvența evenimentului, sarcinile pentru care se află și în prototipuri. Care este diferența? Probabilitatea este o valoare previzibilă, iar frecvența este o declarație de fapt. Exemplu: probabilitatea ca o tabletă nouă să fie reparată într-un an este de 0,045. Într-un anume oraș, din 1000 de tablete vândute în cursul anului, la atelierul de garanție au ajuns 51 de bucăți. Cât de diferită este frecvența evenimentului „reparație în garanție” de probabilitatea acestuia în acest oraș? Soluție: Aflați frecvența evenimentului: 51/1000=0,051. Și probabilitatea este egală cu 0,045 (în funcție de condiție), ceea ce înseamnă că în acest oraș evenimentul „reparație în garanție” are loc mai des decât se aștepta. Să aflăm diferența ∆= 0,051- 0,045= 0,006. Totodata, trebuie sa tinem cont ca semnul diferentei NU este important pentru noi, ci doar valoarea lui absoluta. Răspuns: 0,006.

9 slide

Descrierea diapozitivului:

Probleme cu enumerarea opțiunilor ("monede", "potriviri") Fie k numărul de aruncări de monede, apoi numărul de rezultate posibile: n = 2k. Exemplu: Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea ca capetele să apară exact o dată. Soluție: Opțiuni de aruncare a monedelor: OO; SAU; RR; RO. Astfel, n=4. Rezultate favorabile: RR și RR. Adică m = 2. P = 2/4 = 1/2 = 0,5. Răspuns: 0,5.

10 diapozitive

Descrierea diapozitivului:

Exemplu: Înainte de a începe meci de fotbal Arbitrul aruncă o monedă pentru a determina care echipă va avea prima mingea. Echipa „Mercur” joacă pe rând cu echipele „Marte”, „Jupiter”, „Uranus”. Găsiți probabilitatea ca în toate meciurile dreptul de a deține mingea să fie câștigat de echipa „Mercur”? Probleme cu enumerarea opțiunilor („monede”, „meciuri”) Soluție: Să desemnăm drept „Cozi” dreptul de posesie a primei mingi a echipei „Mercur” în meciul cu una dintre celelalte trei echipe. Apoi dreptul de posesie al celei de-a doua mingi a acestei echipe este „Vultur”. Deci, să notăm toate rezultatele posibile ale aruncării unei monede de trei ori. "O" - capete, "P" - cozi. ; adică n=8; m=1. P=1/8=0,125. Răspuns: 0,125 n = 23 „Marte” „Jupiter” „Uranus”

11 diapozitiv

Descrierea diapozitivului:

Probleme pe „zaruri” (zaruri) Fie k numărul de aruncări ale zarurilor, apoi numărul de rezultate posibile: n = 6k. Exemplu: Dasha aruncă un zar de două ori. Găsiți probabilitatea ca totalul ei să fie 8. Rotunjiți rezultatul la cea mai apropiată sutime. Răspuns: 0,14. Soluție: suma celor două zaruri trebuie să fie de 8 puncte. Acest lucru este posibil dacă există următoarele combinații: 2 și 6 6 și 2 3 și 5 5 și 3 4 și 4 m= 5 (5 combinatii potrivite) n \u003d 36 P \u003d 5/36 \u003d 0,13 (8)

12 slide

Descrierea diapozitivului:

Evenimente independente și legea înmulțirii Probabilitatea de a găsi atât primul, cât și al 2-lea și al n-lea eveniment se găsește prin formula: Р= Р1*Р2*…*Рn Exemplu: un biatlet trage în ținte de cinci ori. Probabilitatea de a lovi ținta cu o lovitură este de 0,8. Găsiți probabilitatea ca biatletul să lovească ținta primele trei ori și să rateze ultimele două. Rotunjiți rezultatul la cea mai apropiată sutime. Răspuns: 0,02. Soluție: Rezultatul fiecărei lovituri următoare nu depinde de cele anterioare. Prin urmare, evenimentele „lovin la prima lovitură”, „lovin la a doua lovitură”, etc. independent. Probabilitatea fiecărei lovituri este de 0,8. Deci probabilitatea unei rateuri este 1 - 0,8 = 0,2. 1 lovitura: 0.8 2 lovitura: 0.8 3 lovitura: 0.8 4 lovitura: 0.2 5 lovitura: 0.2 .8 ∙ 0.2 ∙ 0.2 = 0.02048 ≈ 0.02.

13 diapozitiv

Descrierea diapozitivului:

Combinații de legi „și” și legi „sau” Exemplu: Un birou cumpără articole de papetărie pentru angajații a 3 firme diferite. Mai mult, produsele primei companii reprezintă 40% din toate livrările, iar restul companiei a 2-a este împărțită în mod egal. S-a dovedit că 2% din pixurile celei de-a 2-a companii sunt defecte. Procentul de căsătorie în firma 1 și respectiv 3 este de 1% și 3%. Angajatul A a luat un stilou dintr-o nouă livrare. Găsiți probabilitatea ca acesta să fie corect. Soluție: Produsele firmelor a 2-a și a 3-a sunt (100%-40%):2=30% din provizii. P(căsătorie) \u003d 0,4 0,01 + 0,3 0,02 + 0,3 0,03 \u003d 0,019. P (pixuri care pot fi reparate) \u003d 1 - 0,019 \u003d 0,981. Răspuns: 0,981.

Sarcini ușoare

Pe masă sunt 25 de plăcinte: 7 - cu dulceață, 9 - cu cartofi, restul cu varză. Care este probabilitatea ca o plăcintă aleasă aleatoriu să fie cu varză?

0,36

Taxiul are 40 de mașini: 14 sunt mărci Lada, 8 sunt mărci Renault, 2 sunt mărci Mercedes, iar restul sunt mărci Skoda. Care este probabilitatea ca un Mercedes să vină la apelul tău?

0,05

Determinați probabilitatea ca un număr de cel puțin trei să apară atunci când este aruncat un zar.

Ira, Dima, Vasya, Natasha și Andrey trec standardul în 60 de metri. Care este probabilitatea ca fata să aleargă cel mai repede?

Probabilitatea ca un telefon cumpărat într-un pasaj subteran să fie fals este de 0,83. Care este probabilitatea ca telefonul cumpărat în tranziție să nu fie fals?

0,17

La turneul de baschet participă 20 de echipe, inclusiv echipa „Băieți”. Toate echipele sunt împărțite în 4 grupe: A, B, C, D. Care este probabilitatea ca echipa „Băieți” să fie în grupa A?

0,25

Geanta de loterie conține butoaie numerotate de la 5 la 94 inclusiv. Care este probabilitatea ca butoiul scos din pungă să conţină un număr din două cifre? Rotunjiți răspunsul la cea mai apropiată sutime.

0,94

Înainte de examen, Igor a rezistat până la ultimul și a reușit să învețe doar 5 bilete din 80. Stabiliți probabilitatea ca acesta să dea peste un bilet învățat.

0,0625

Anya pornește radioul și selectează aleatoriu o undă radio. În total, receptorul ei radio captează 20 de unde radio și doar 7 dintre ele acest moment se aude muzica. Găsiți probabilitatea ca Anya să cadă pe un val muzical.

0,35

În fiecare a douăzecea sticlă de sifon, sub capac este ascuns un cod cu un câștig. Determinați probabilitatea ca sticla achiziționată să aibă un cod câștigător sub capac.

0,05

Sarcinile sunt mai dificile

Care este probabilitatea ca un număr de 3 cifre ales aleatoriu să fie divizibil cu 5?

0,2

Se înregistrează înălțimea (în cm) a cinci elevi: 166, 158, 132, 136, 170. Cât de mult diferă media aritmetică a acestui set de numere de mediana sa?

Conform statisticilor unei țări mici, se știe că probabilitatea ca copilul născut să fie băiat este de 0,507. În 2017, în această țară erau în medie 486 de fete la 1.000 de copii născuți. Cât de diferită este frecvența nașterilor feminine în 2017 în această țară de probabilitatea acestui eveniment?

0,007

Un zar este aruncat de două ori. Aflați probabilitatea ca suma celor două numere extrase să fie 3 sau 7. Rotunjiți răspunsul la cea mai apropiată sutime.

0,22

Care este probabilitatea ca un număr de trei cifre ales aleatoriu să fie divizibil cu 2?

0,5

Găsiți probabilitatea ca două aruncări de monede să apară exact o dată.

0,5

Un zar este aruncat de două ori, găsiți probabilitatea ca un număr mai mare de trei să apară de ambele ori. Rotunjiți răspunsul la cea mai apropiată sutime.

0,31

Conform statisticilor unei țări mici, se știe că probabilitatea ca un copil născut să fie băiat este de 0,594. În 2017, în această țară erau în medie 513 fete la 1.000 de copii născuți. Cât de diferită este frecvența nașterilor feminine în 2017 în această țară de probabilitatea acestui eveniment?

0,107

Se înregistrează înălțimea (în cm) a cinci elevi: 184, 145, 176, 192, 174. Cât de mult diferă media aritmetică a acestui set de numere de mediana sa?

1,8

Înălțimea medie a locuitorilor satului „Giants” este de 194 cm. Înălțimea lui Nikolai Petrovici este de 195 cm. Care dintre următoarele afirmații este corectă?

1) Înălțimea unuia dintre săteni trebuie să fie de 194 cm.

2) Nikolai Petrovici este cel mai înalt locuitor al satului.

3) Cu siguranță va fi cel puțin un bărbat din acest sat de sub Nikolai Petrovici.

4) Cu siguranță va fi cel puțin un locuitor din acest sat de sub Nikolai Petrovici.

4

Sarcini dificile

Tragatorul trage de 4 ori cu pistolul in tinte. Probabilitatea de a lovi exact ținta cu o singură lovitură este de 0,5. Găsiți probabilitatea ca trăgătorul să lovească ținta primele două ori și să rateze ultimele două.

0,0625

Probabilitatea ca bateria să fie defectă este de 0,05. Clientul din magazin alege un pachet la întâmplare cu două baterii. Găsiți probabilitatea ca ambele baterii să fie bune.

0,9025

Tragatorul trage in tinte de 5 ori la rand. Probabilitatea de a lovi ținta atunci când este tras este de 0,7. Găsiți probabilitatea ca trăgătorul să lovească ținta primele patru ori și să rateze ultima dată. Rotunjiți rezultatul la cea mai apropiată sutime.

Evenimentele care au loc în realitate sau în imaginația noastră pot fi împărțite în 3 grupe. Acestea sunt anumite evenimente care trebuie să se întâmple, evenimente imposibile și evenimente aleatorii. Teoria probabilității studiază evenimente aleatoare, de ex. evenimente care pot să apară sau nu. Acest articol va fi prezentat în rezumat formule de teoria probabilității și exemple de rezolvare a problemelor din teoria probabilității, care vor fi în sarcina a 4-a a examenului la matematică (nivel de profil).

De ce avem nevoie de teoria probabilității

Din punct de vedere istoric, necesitatea studierii acestor probleme a apărut în secolul al XVII-lea în legătură cu dezvoltarea și profesionalizarea jocuri de norocși apariția cazinoului. A fost un fenomen real care a necesitat studiul și cercetarea lui.

Jocul de cărți, zaruri, ruletă a creat situații în care ar putea avea loc oricare dintr-un număr finit de evenimente la fel de probabile. Era nevoie să se dea estimări numerice ale posibilității de apariție a unui eveniment.

În secolul al XX-lea, a devenit clar că această știință aparent frivolă joacă un rol important în înțelegerea proceselor fundamentale care au loc în microcosmos. A fost creat teoria modernă probabilități.

Concepte de bază ale teoriei probabilităților

Obiectul de studiu al teoriei probabilităților îl reprezintă evenimentele și probabilitățile lor. Dacă evenimentul este complex, atunci poate fi împărțit în componente simple, ale căror probabilități sunt ușor de găsit.

Suma evenimentelor A și B se numește eveniment C, care constă în faptul că fie evenimentul A, fie evenimentul B, fie evenimentele A și B s-au petrecut în același timp.

Produsul evenimentelor A și B este evenimentul C, care constă în faptul că atât evenimentul A cât și evenimentul B s-au petrecut.

Se spune că evenimentele A și B sunt incompatibile dacă nu pot avea loc în același timp.

Se spune că un eveniment A este imposibil dacă nu se poate întâmpla. Un astfel de eveniment este notat cu simbolul .

Un eveniment A se numește sigur dacă va avea loc cu siguranță. Un astfel de eveniment este notat cu simbolul .

Fiecărui eveniment A i se atribuie un număr P(A). Acest număr P(A) se numește probabilitatea evenimentului A dacă sunt îndeplinite următoarele condiții cu o astfel de corespondență.

Un caz particular important este situația în care există rezultate elementare la fel de probabile, iar arbitrare dintre aceste rezultate formează evenimentele A. În acest caz, probabilitatea poate fi introdusă prin formula . Probabilitatea introdusă în acest fel se numește probabilitate clasică. Se poate dovedi că proprietățile 1-4 sunt valabile în acest caz.

Problemele din teoria probabilității, care se găsesc la examenul de matematică, sunt legate în principal de probabilitatea clasică. Astfel de sarcini pot fi foarte simple. Deosebit de simple sunt problemele din teoria probabilității în versiuni demo. Este ușor de calculat numărul de rezultate favorabile, numărul tuturor rezultatelor este scris direct în condiție.

Primim răspunsul conform formulei.

Un exemplu de sarcină de la examenul de matematică pentru a determina probabilitatea

Pe masă sunt 20 de plăcinte - 5 cu varză, 7 cu mere și 8 cu orez. Marina vrea să ia o plăcintă. Care este probabilitatea ca ea să ia prăjitura de orez?

Decizie.

Există 20 de rezultate elementare equiprobabile în total, adică Marina poate lua oricare dintre cele 20 de plăcinte. Dar trebuie să estimăm probabilitatea ca Marina să ia chiflă de orez, adică unde A este alegerea chiflă de orez. Aceasta înseamnă că avem un total de 8 rezultate favorabile (alegerea plăcintelor cu orez), apoi probabilitatea va fi determinată de formula:

Evenimente independente, opuse și arbitrare

Cu toate acestea, în banca deschisă de sarcini, mai mult decât sarcini dificile. Prin urmare, să atragem atenția cititorului asupra altor întrebări studiate în teoria probabilității.

Evenimentele A și B sunt numite independente dacă probabilitatea fiecăruia dintre ele nu depinde de faptul dacă celălalt eveniment a avut loc.

Evenimentul B constă în faptul că evenimentul A nu a avut loc, adică. evenimentul B este opus evenimentului A. Probabilitatea evenimentului opus este egală cu unu minus probabilitatea evenimentului direct, adică. .

Teoreme de adunare și înmulțire, formule

Pentru evenimentele arbitrare A și B, probabilitatea sumei acestor evenimente este egală cu suma probabilităților lor fără probabilitatea evenimentului lor comun, i.e. .

Pentru evenimentele independente A și B, probabilitatea produsului acestor evenimente este egală cu produsul probabilităților lor, i.e. în acest caz .

Ultimele 2 afirmatii se numesc teoreme ale adunarii si inmultirii probabilitatilor.

Nu întotdeauna numărarea numărului de rezultate este atât de simplă. În unele cazuri, este necesar să se utilizeze formule combinatorice. Cel mai important este să numărați numărul de evenimente care îndeplinesc anumite condiții. Uneori, astfel de calcule pot deveni sarcini independente.

În câte moduri pot fi așezați 6 studenți pe 6 locuri goale? Primul elev va ocupa oricare dintre cele 6 locuri. Fiecare dintre aceste opțiuni corespunde a 5 moduri de plasare a celui de-al doilea student. Pentru al treilea elev sunt 4 locuri libere, pentru al patrulea - 3, pentru al cincilea - 2, al şaselea va ocupa singurul loc rămas. Pentru a găsi numărul tuturor opțiunilor, trebuie să găsiți produsul, care este notat cu simbolul 6! și citiți „factorial șase”.

În cazul general, răspunsul la această întrebare este dat de formula pentru numărul de permutări ale n elemente.În cazul nostru, .

Luați în considerare un alt caz cu studenții noștri. În câte moduri pot fi așezați 2 elevi în 6 locuri goale? Primul elev va ocupa oricare dintre cele 6 locuri. Fiecare dintre aceste opțiuni corespunde a 5 moduri de plasare a celui de-al doilea student. Pentru a găsi numărul tuturor opțiunilor, trebuie să găsiți produsul.

În cazul general, răspunsul la această întrebare este dat de formula pentru numărul de plasări a n elemente de către k elemente

În cazul nostru .

Și ultimul din această serie. Câte moduri există de a alege 3 elevi din 6? Primul elev poate fi ales în 6 moduri, al doilea în 5 moduri, iar al treilea în 4 moduri. Dar dintre aceste opțiuni, aceiași trei elevi apar de 6 ori. Pentru a găsi numărul tuturor opțiunilor, trebuie să calculați valoarea: . În cazul general, răspunsul la această întrebare este dat de formula pentru numărul de combinații de elemente pe elemente:

În cazul nostru .

Exemple de rezolvare a problemelor de la examenul la matematică pentru determinarea probabilității

Sarcina 1. Din colecție, ed. Iascenko.

Pe farfurie sunt 30 de plăcinte: 3 cu carne, 18 cu varză și 9 cu cireșe. Sasha alege la întâmplare o plăcintă. Găsiți probabilitatea ca el să ajungă cu o cireșă.

.

Răspuns: 0,3.

Problema 2. Din culegere, ed. Iascenko.

În fiecare lot de 1000 de becuri, în medie 20 de becuri defecte. Găsiți probabilitatea ca un bec ales la întâmplare dintr-un lot să fie bun.

Soluție: Numărul de becuri reparabile este 1000-20=980. Atunci probabilitatea ca un bec luat la întâmplare din lot să fie util este:

Răspuns: 0,98.

Probabilitatea ca elevul U. să rezolve corect mai mult de 9 probleme la un test de matematică este de 0,67. Probabilitatea ca U. să rezolve corect mai mult de 8 probleme este de 0,73. Aflați probabilitatea ca U. să rezolve corect exact 9 probleme.

Dacă ne imaginăm o dreaptă numerică și marchem punctele 8 și 9 pe ea, atunci vom vedea că condiția „U. rezolva corect exact 9 probleme” este inclusă în condiția „U. rezolva corect mai mult de 8 probleme”, dar nu se aplică condiției „W. rezolva corect mai mult de 9 probleme.

Cu toate acestea, condiția „U. rezolva corect mai mult de 9 probleme” este cuprinsă în condiția „U. rezolva corect mai mult de 8 probleme. Astfel, dacă desemnăm evenimente: „W. rezolva corect exact 9 probleme" - prin A, "U. rezolva corect mai mult de 8 probleme" - prin B, "U. rezolvați corect mai mult de 9 probleme ”prin C. Apoi soluția va arăta astfel:

Răspuns: 0,06.

La examenul de geometrie, studentul răspunde la o întrebare din lista de întrebări de examen. Probabilitatea ca aceasta să fie o întrebare de trigonometrie este de 0,2. Probabilitatea ca aceasta să fie o întrebare Outer Corners este de 0,15. Nu există întrebări legate de aceste două subiecte în același timp. Găsiți probabilitatea ca studentul să primească o întrebare pe unul dintre aceste două subiecte la examen.

Să ne gândim la ce evenimente avem. Ni se dau două evenimente incompatibile. Adică, fie întrebarea se va referi la subiectul „Trigonometrie”, fie la subiectul „Unghiuri externe”. Conform teoremei probabilității, probabilitatea evenimentelor incompatibile este egală cu suma probabilităților fiecărui eveniment, trebuie să găsim suma probabilităților acestor evenimente, adică:

Răspuns: 0,35.

Camera este iluminată de un felinar cu trei lămpi. Probabilitatea ca o lampă să se ardă într-un an este de 0,29. Găsiți probabilitatea ca cel puțin o lampă să nu se ardă într-un an.

Să luăm în considerare posibilele evenimente. Avem trei becuri, fiecare dintre ele se poate arde sau nu independent de orice alt bec. Acestea sunt evenimente independente.

Apoi vom indica variantele unor astfel de evenimente. Acceptăm notația: - becul este aprins, - becul este ars. Și imediat după aceea calculăm probabilitatea unui eveniment. De exemplu, probabilitatea unui eveniment în care au avut loc trei evenimente independente „becul ars”, „becul este aprins”, „becul este aprins”: .

Rețineți că există doar 7 evenimente incompatibile favorabile nouă.Probabilitatea unor astfel de evenimente este egală cu suma probabilităților fiecăruia dintre evenimente: .

Răspuns: 0,975608.

Puteți vedea o altă problemă în imagine:

Astfel, tu și cu mine am înțeles care este teoria probabilității, formule și exemple de rezolvare a problemelor pe care le poți întâlni în varianta examenului.

Această prezentare prezintă sarcinile cele mai frecvent întâlnite la examenul de teoria probabilităților. Sarcini de nivel de bază. Prezentarea îi va ajuta atât pe profesori la lecțiile de generalizare a repetiției, cât și pe elevi în autoinstruire la examen.

Descarca:

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizarea prezentărilor, creați-vă un cont ( cont) Google și conectați-vă: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

SARCINI CHEIE TEORIA PROBABILITĂȚII Pregătirea pentru OGE

Aruncare de monede

1. O monedă este aruncată de două ori. Care este probabilitatea de a obține un cap și o coadă? Decizie: Când aruncați o monedă, sunt posibile două rezultate - „capete” sau „cozi”. Când aruncați două monede - 4 rezultate (2 * 2 = 4): "vultur" - "cozi" "cozi" - "cozi" "cozi" - "vulturi" "vulturi" - "vulturi" Un "vultur" și unul " cozile” vor cădea în două cazuri din patru. P(A)=2:4=0,5. Răspuns: 0,5.

2. O monedă este aruncată de trei ori. Care este probabilitatea de a obține două capete și o coadă? Soluție: Când este aruncat trei monede Sunt posibile 8 rezultate (2*2*2=8): "vultur" - "cozi" - "cozi" "cozi" - "cozi" - "cozi" "cozi" - "capete" - "cozi" "capete" - "vultur" - "cozi" "cozi" - "cozi" - "capete" "cozi" - "vulturi" - "vulturi" "vulturi" - "cozi" - "vulturi" "vulturi" - "vulturi" - " vulturi” » Vor cădea doi „vulturi” și una „cozi”. trei cazuri din opt. P(A)=3:8=0,375. Răspuns: 0,375.

3. Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de patru ori. Găsiți probabilitatea ca capetele să nu apară niciodată. Soluție: Când aruncați patru monede, sunt posibile 16 rezultate: (2*2*2*2=16): Rezultate favorabile - 1 (vor cădea patru cozi). P(A)=1:16=0,0625. Răspuns: 0,0625.

JOC DE ZARURI

4. Determinați probabilitatea ca mai mult de trei puncte să cadă când zarul a fost aruncat. Soluție: Există 6 rezultate posibile în total. Numerele mari sunt 3 - 4, 5, 6. P(A)=3:6=0,5. Răspuns: 0,5.

5. Se aruncă un zar. Aflați probabilitatea de a obține un număr par de puncte. Rezolvare: Total rezultate posibile - 6. 1, 3, 5 - numere impare; 2, 4, 6 sunt numere pare. Probabilitatea de a obține un număr par de puncte este 3:6=0,5. Răspuns: 0,5.

6. Într-un experiment aleatoriu, se aruncă două zaruri. Aflați probabilitatea de a obține 8 puncte în total. Rotunjiți rezultatul la cea mai apropiată sutime. Soluție: Această acțiune - aruncarea a două zaruri are un total de 36 de rezultate posibile, deoarece 6² = 36. Rezultate favorabile: 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 Probabilitatea de a obține opt puncte este 5:36 ≈ 0,14. Răspuns: 0,14.

7. Aruncă un zar de două ori. În total, au căzut 6 puncte. Găsiți probabilitatea de a obține 5 la una dintre role. Decizie: Rezultate totale de 6 puncte - 5: 2 și 4; 4 și 2; 3 și 3; 1 și 5; 5 și 1. Rezultate favorabile - 2. P(A)=2:5=0,4. Răspuns: 0,4.

8. Au fost 50 de bilete la examen, Timofey nu a învățat 5 dintre ele. Găsiți probabilitatea ca el să obțină biletul învățat. Soluție: Timofey a învățat 45 de bilete. P(A)=45:50=0,9. Răspuns: 0,9.

CONCURSURI

9. La campionatul de gimnastică participă 20 de sportivi: 8 din Rusia, 7 din SUA, restul din China. Ordinea executării se stabilește prin tragere la sorți. Găsiți probabilitatea ca primul sportiv care concura să fie din China. Rezolvare: Rezultate totale 20. Rezultate favorabile 20-(8+7)=5. P(A)=5:20=0,25. Răspuns: 0,25.

10. La concursul de aruncare a șutului au venit 4 sportivi din Franța, 5 din Anglia și 3 din Italia. Ordinea spectacolelor este stabilită prin tragere la sorți. Găsiți probabilitatea ca al cincilea sportiv să fie din Italia. Rezolvare: Numărul tuturor rezultatelor posibile este 12 (4 + 5 + 3 = 12). Numărul de rezultate favorabile este 3. P(A)=3:12=0,25. Răspuns: 0,25.

11. Înainte de începerea primei runde a campionatului de badminton, participanții sunt împărțiți aleatoriu în perechi de jocuri prin tragere la sorți. În total, 26 de jucători de badminton participă la campionat, inclusiv 12 participanți din Rusia, inclusiv Vladimir Orlov. Găsiți probabilitatea ca în primul tur Vladimir Orlov să joace cu orice jucător de badminton din Rusia? Decizie: Rezultate totale - 25 (Vladimir Orlov cu 25 de badminton). Rezultate favorabile - (12-1) = 11. P(A)=11:25=0,44. Răspuns: 0,44.

12. Concursul interpreților se desfășoară în 5 zile. Au fost anunțate în total 75 de spectacole - câte una din fiecare țară. În prima zi sunt 27 de spectacole, restul sunt împărțite în mod egal între zilele rămase. Ordinea spectacolelor este stabilită prin tragere la sorți. Care este probabilitatea ca prestația reprezentantului Rusiei să aibă loc în a treia zi a competiției? Decizie: Rezultate totale - 75. Interpreți din Rusia evoluează în a treia zi. Rezultate favorabile - (75-27): 4 = 12. P(A)=12: 75=0,16. Răspuns: 0,16.

13. Kolya alege un număr din două cifre. Aflați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 5. Rezolvare: Numere din două cifre: 10;11;12;…;99. Rezultate totale - 90. Numere divizibile cu 5: 10; cincisprezece; 20; 25; …; 90; 95. Rezultate favorabile - 18. P(A)=18:90=0,2. Răspuns: 0,2.

DIFERITE SARCINI PENTRU DETERMINAREA PROBABILITĂȚII

14. Fabrica produce saci. În medie, pentru fiecare 170 de genți de calitate, există șase genți cu defecte ascunse. Găsiți probabilitatea ca geanta achiziționată să fie de înaltă calitate. Rotunjiți rezultatul la cea mai apropiată sutime. Rezolvare: Rezultate totale - 176. Rezultate favorabile - 170. Р(А)=170:176 ≈ 0,97. Răspuns: 0,97.

15. În medie, din 100 de baterii vândute sunt încărcate 94 de baterii. Găsiți probabilitatea ca bateria achiziționată să nu fie încărcată. Rezolvare: Rezultate totale - 100. Rezultate favorabile - 100-94=6. P(A)=6:100=0,06. Răspuns: 0,06.

SURSE http://mathgia.ru http:// www.schoolmathematics.ru