De ce depind proprietățile unei funcții de putere? Funcția de putere

În această lecție, vom continua studiul funcțiilor de putere cu indicator rațional, luați în considerare funcțiile cu un exponent rațional negativ.

1. Concepte de bază și definiții

Amintiți-vă proprietățile și graficele funcțiilor de putere cu un exponent întreg negativ.

Pentru n chiar:

Exemplu de funcție:

Toate graficele unor astfel de funcții trec prin două puncte fixe: (1;1), (-1;1). O caracteristică a funcțiilor de acest tip este paritatea lor, graficele sunt simetrice față de axa op-y.

Orez. 1. Graficul unei funcții

Pentru n impar, :

Exemplu de funcție:

Toate graficele unor astfel de funcții trec prin două puncte fixe: (1;1), (-1;-1). O caracteristică a funcțiilor de acest tip este ciudățenia lor, graficele sunt simetrice față de origine.

Orez. 2. Graficul funcției

2. Funcție cu exponent rațional negativ, grafice, proprietăți

Să ne amintim definiția principală.

Gradul unui număr nenegativ a cu exponent rațional pozitiv se numește număr.

Gradul unui număr pozitiv a cu exponent rațional negativ se numește număr.

Pentru următoarea egalitate este valabilă:

De exemplu: ; - expresia nu există prin definiţie a unui grad cu exponent raţional negativ; există, deoarece exponentul este un număr întreg,

Să ne întoarcem la considerarea funcțiilor de putere cu un exponent rațional negativ.

De exemplu:

Pentru a reprezenta grafic această funcție, puteți face un tabel. Vom proceda altfel: în primul rând, vom construi și studiem graficul numitorului - îl știm (Figura 3).

Orez. 3. Graficul unei funcții

Graficul funcției numitorului trece printr-un punct fix (1;1). Când se construiește un grafic al funcției inițiale, acest punct rămâne, când rădăcina tinde și ea spre zero, funcția tinde spre infinit. Și, invers, pe măsură ce x tinde spre infinit, funcția tinde spre zero (Figura 4).

Orez. 4. Graficul funcției

Luați în considerare încă o funcție din familia de funcții studiată.

Este important ca prin definitie

Se consideră graficul funcției la numitor: , cunoaștem graficul acestei funcții, ea crește în domeniul ei de definiție și trece prin punctul (1; 1) (Figura 5).

Orez. 5. Graficul funcției

Când se construiește un grafic al funcției inițiale, punctul (1; 1) rămâne, când rădăcina tinde și ea spre zero, funcția tinde către infinit. Și, invers, pe măsură ce x tinde spre infinit, funcția tinde spre zero (Figura 6).

Orez. 6. Graficul funcției

Exemplele luate în considerare ajută la înțelegerea modului în care merge graficul și care sunt proprietățile funcției studiate - o funcție cu un exponent rațional negativ.

Graficele funcțiilor acestei familii trec prin punctul (1;1), funcția scade pe întregul domeniu de definiție.

Domeniul de aplicare:

Funcția nu este mărginită de sus, ci mărginită de jos. Funcția nu are nici maxim, nici cea mai mică valoare.

Funcția este continuă, ia toate valorile pozitive de la zero la plus infinit.

Funcția convexă în jos (Figura 15.7)

Punctele A și B sunt luate pe curbă, un segment este trasat prin ele, întreaga curbă este sub segment, această condiție este îndeplinită pentru două puncte arbitrare de pe curbă, prin urmare funcția este convexă în jos. Orez. 7.

Orez. 7. Convexitatea unei funcții

3. Rezolvarea problemelor tipice

Este important de înțeles că funcțiile acestei familii sunt mărginite de jos de zero, dar nu au cea mai mică valoare.

Exemplul 1 - găsiți maximul și minimul unei funcții pe intervalul \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]

Grafic (Fig. 2).

Figura 2. Graficul funcției $f\left(x\right)=x^(2n)$

Proprietățile unei funcții de putere cu exponent natural impar

Domeniul definiției sunt toate numerele reale.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ este o funcție impară.

$f(x)$ este continuu pe întregul domeniu al definiției.

Gama sunt toate numere reale.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Funcția crește pe întregul domeniu de definiție.

$f\left(x\right)0$, pentru $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Funcția este concavă pentru $x\in (-\infty ,0)$ și convexă pentru $x\in (0,+\infty)$.

Grafic (Fig. 3).

Figura 3. Graficul funcției $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Funcția de putere cu exponent întreg

Pentru început, introducem conceptul de grad cu un exponent întreg.

Definiția 3

grad numar real$a$ cu indice întreg $n$ este determinat de formula:

Figura 4

Luați în considerare acum o funcție de putere cu un exponent întreg, proprietățile și graficul acesteia.

Definiția 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ se numește o funcție de putere cu exponent întreg.

Dacă gradul este mai mare decât zero, atunci ajungem la cazul unei funcții de putere cu exponent natural. Ne-am gândit deja mai sus. Pentru $n=0$ obținem o funcție liniară $y=1$. Lăsăm considerația sa în seama cititorului. Rămâne de luat în considerare proprietățile unei funcții de putere cu un exponent întreg negativ

Proprietățile unei funcții de putere cu un exponent întreg negativ

Domeniul de aplicare este $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Dacă exponentul este par, atunci funcția este pară; dacă este impar, atunci funcția este impară.

$f(x)$ este continuu pe întregul domeniu al definiției.

Interval de valori:

Dacă exponentul este par, atunci $(0,+\infty)$, dacă este impar, atunci $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Dacă exponentul este impar, funcția scade cu $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Pentru un exponent par, funcția scade cu $x\in (0,+\infty)$. și crește cu $x\în \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ pe întregul domeniu

Lecție și prezentare pe tema: „Funcții de putere. Proprietăți. Grafice”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre! Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online „Integral” pentru clasa a 11-a
Manual interactiv pentru clasele 9-11 „Trigonometrie”
Manual interactiv pentru clasele 10-11 „Logaritmi”

Funcții de putere, domeniu de definiție.

Băieți, în ultima lecție am învățat cum să lucrăm cu numere cu exponent rațional. În această lecție, vom lua în considerare funcțiile de putere și ne vom limita la cazul în care exponentul este rațional.
Vom considera funcții de forma: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Să considerăm mai întâi funcțiile al căror exponent este $\frac(m)(n)>1$.
Să ni se dea o funcție specifică $y=x^2*5$.
Conform definiției pe care am dat-o în ultima lecție: dacă $x≥0$, atunci domeniul funcției noastre este raza $(x)$. Să descriem schematic graficul funcției noastre.

Proprietățile funcției $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 2. Nu este nici par, nici impar.
3. Crește cu $$,
b) $(2,10)$,
c) pe raza $$.
Decizie.
Băieți, vă amintiți cum am găsit cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții pe un segment în clasa a 10-a?
Așa e, am folosit derivatul. Să rezolvăm exemplul nostru și să repetăm ​​algoritmul pentru găsirea celei mai mici și mai mari valori.
1. Găsiți derivata funcției date:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Derivata există pe întregul domeniu al funcției originale, atunci nu există puncte critice. Să găsim puncte staționare:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
8 $*\sqrt(x^3)=x^3$.
64$x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ și $x_2=\sqrt(64)=4$.
O singură soluție $x_2=4$ aparține segmentului dat.
Să construim un tabel de valori ale funcției noastre la capetele segmentului și la punctul extrem:
Răspuns: $y_(nume)=-862,65$ cu $x=9$; $y_(max)=38,4$ pentru $x=4$.

Exemplu. Rezolvați ecuația: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Decizie. Graficul funcției $y=x^(\frac(4)(3))$ este în creștere, în timp ce graficul funcției $y=24-x$ este descrescător. Băieți, voi și eu știm: dacă o funcție crește și cealaltă scade, atunci se intersectează doar într-un punct, adică avem o singură soluție.
Notă:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Adică, pentru $х=8$ am obținut egalitatea corectă $16=16$, aceasta este soluția ecuației noastre.
Răspuns: $x=8$.

Exemplu.
Trasează funcția: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Decizie.
Graficul funcției noastre se obține din graficul funcției $y=x^(\frac(3)(4))$, deplasându-l cu 3 unități la dreapta și 2 unități în sus.

Exemplu. Scrieți ecuația tangentei la dreapta $y=x^(-\frac(4)(5))$ în punctul $x=1$.
Decizie. Ecuația tangentei este determinată de formula cunoscută nouă:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
În cazul nostru $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Să găsim derivata:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Să calculăm:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Găsiți ecuația tangentei:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Răspuns: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

Sarcini pentru soluție independentă

1. Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției: $y=x^\frac(4)(3)$ pe segment:
a) $$.
b) $(4,50)$.
c) pe raza $$.
3. Rezolvați ecuația: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Reprezentați grafic funcția: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. Scrieți ecuația tangentei la dreapta $y=x^(-\frac(3)(7))$ în punctul $x=1$.

Amintiți-vă proprietățile și graficele funcțiilor de putere cu un exponent întreg negativ.

Pentru n chiar:

Exemplu de funcție:

Toate graficele unor astfel de funcții trec prin două puncte fixe: (1;1), (-1;1). O caracteristică a funcțiilor de acest tip este paritatea lor, graficele sunt simetrice față de axa op-y.

Orez. 1. Graficul unei funcții

Pentru n impar, :

Exemplu de funcție:

Toate graficele unor astfel de funcții trec prin două puncte fixe: (1;1), (-1;-1). O caracteristică a funcțiilor de acest tip este ciudățenia lor, graficele sunt simetrice față de origine.

Orez. 2. Graficul funcției

Să ne amintim definiția principală.

Gradul unui număr nenegativ a cu exponent rațional pozitiv se numește număr.

Gradul unui număr pozitiv a cu exponent rațional negativ se numește număr.

Pentru următoarea egalitate este valabilă:

De exemplu: ; - expresia nu există prin definiţie a unui grad cu exponent raţional negativ; există, deoarece exponentul este un număr întreg,

Să ne întoarcem la considerarea funcțiilor de putere cu un exponent rațional negativ.

De exemplu:

Pentru a reprezenta grafic această funcție, puteți face un tabel. Vom proceda altfel: în primul rând, vom construi și studiem graficul numitorului - îl știm (Figura 3).

Orez. 3. Graficul unei funcții

Graficul funcției numitorului trece printr-un punct fix (1;1). Când se construiește un grafic al funcției inițiale, acest punct rămâne, când rădăcina tinde și ea spre zero, funcția tinde spre infinit. Și, invers, pe măsură ce x tinde spre infinit, funcția tinde spre zero (Figura 4).

Orez. 4. Graficul funcției

Luați în considerare încă o funcție din familia de funcții studiată.

Este important ca prin definitie

Se consideră graficul funcției la numitor: , cunoaștem graficul acestei funcții, ea crește în domeniul ei de definiție și trece prin punctul (1; 1) (Figura 5).

Orez. 5. Graficul funcției

Când se construiește un grafic al funcției inițiale, punctul (1; 1) rămâne, când rădăcina tinde și ea spre zero, funcția tinde către infinit. Și, invers, pe măsură ce x tinde spre infinit, funcția tinde spre zero (Figura 6).

Orez. 6. Graficul funcției

Exemplele luate în considerare ajută la înțelegerea modului în care merge graficul și care sunt proprietățile funcției studiate - o funcție cu un exponent rațional negativ.

Graficele funcțiilor acestei familii trec prin punctul (1;1), funcția scade pe întregul domeniu de definiție.

Domeniul de aplicare:

Funcția nu este mărginită de sus, ci mărginită de jos. Funcția nu are nici o valoare maximă, nici o valoare minimă.

Funcția este continuă, ia toate valorile pozitive de la zero la plus infinit.

Funcția convexă în jos (Figura 15.7)

Punctele A și B sunt luate pe curbă, un segment este trasat prin ele, întreaga curbă este sub segment, această condiție este îndeplinită pentru două puncte arbitrare de pe curbă, prin urmare funcția este convexă în jos. Orez. 7.

Orez. 7. Convexitatea unei funcții

Este important de înțeles că funcțiile acestei familii sunt mărginite de jos de zero, dar nu au cea mai mică valoare.

Exemplul 1 - găsiți maximul și minimul funcției pe interval)