Acasă > Inginerie Mecanică

Proprietățile funcției y x n. Funcție exponențială - proprietăți, grafice, formule

Funcția unde X – variabil, A – număr dat, se numește functie de putere .

Dacă atunci este o funcție liniară, graficul acesteia este o linie dreaptă (vezi Secțiunea 4.3, Figura 4.7).

Daca atunci- funcţie pătratică, graficul său este o parabolă (vezi paragraful 4.3, Fig. 4.8).

Dacă atunci graficul său este o parabolă cubică (vezi Secțiunea 4.3, Figura 4.9).

Funcția de putere

Acest funcție inversă pentru

1. Domeniu:

2. Valori multiple:

3. Par si impar: funcţie impară.

4. Periodicitatea funcției: neperiodică.

5. Nule de funcție: X= 0 este singurul zero.

6. Funcția nu are o valoare maximă sau minimă.

7.

8. Graficul funcției Simetric față de graficul unei parabole cubice în raport cu o dreaptă Y=Xși prezentată în fig. 5.1.

Funcția de putere

1. Domeniu:

2. Valori multiple:

3. Par si impar: funcția este egală.

4. Periodicitatea funcției: neperiodică.

5. Nule de funcție: un singur zero X = 0.

6. Cele mai mari și mai mici valori ale funcției: ia cea mai mică valoare pentru X= 0, este egal cu 0.

7. Intervalele crescătoare și descrescătoare: funcția este descrescătoare pe interval și crește pe interval

8. Graficul funcției(pentru fiecare N Î N) „arata” ca un grafic parabolă pătratică(graficele de funcții sunt prezentate în Fig. 5.2).

Funcția de putere

1. Domeniu:

2. Valori multiple:

3. Par si impar: funcţie impară.

4. Periodicitatea funcției: neperiodică.

5. Nule de funcție: X= 0 este singurul zero.

6. Valori maxime și minime:

7. Intervalele crescătoare și descrescătoare: funcția este în creștere pe întregul domeniu de definiție.

8. Graficul funcției(pentru fiecare ) „arata” ca un grafic al unei parabole cubice (graficele functiilor sunt prezentate in Fig. 5.3).

Funcția de putere

1. Domeniu:

2. Valori multiple:

3. Par si impar: funcţie impară.

4. Periodicitatea funcției: neperiodică.

5. Nule de funcție: nu are zerouri.

6. Cele mai mari și mai mici valori ale funcției: funcția nu are cele mai mari și cele mai mici valori pentru niciuna

7. Intervalele crescătoare și descrescătoare: funcția este în scădere în domeniul definiției.

8. Asimptote:(axă OU) este asimptota verticală;

(axă Oh) este asimptota orizontală.

9. Graficul funcției(pentru oricine N) „arata” ca un grafic al unei hiperbole (graficele functiilor sunt prezentate in Fig. 5.4).

Funcția de putere

1. Domeniu:

2. Valori multiple:

3. Par si impar: funcția este egală.

4. Periodicitatea funcției: neperiodică.

5. Cele mai mari și mai mici valori ale funcției: funcția nu are cele mai mari și cele mai mici valori pentru niciuna

6. Intervalele crescătoare și descrescătoare: funcția crește și descrește

7. Asimptote: X= 0 (axa OU) este asimptota verticală;

Y= 0 (axa Oh) este asimptota orizontală.

8. Grafice de funcții Sunt hiperbole pătratice (Fig. 5.5).

Funcția de putere

1. Domeniu:

2. Valori multiple:

3. Par si impar: funcția nu are proprietatea par și impar.

4. Periodicitatea funcției: neperiodică.

5. Nule de funcție: X= 0 este singurul zero.

6. Cele mai mari și mai mici valori ale funcției: cea mai mică valoare egală cu 0, funcția o ia în punct X= 0; cea mai mare valoare nu are.

7. Intervalele crescătoare și descrescătoare: funcția este în creștere pe întregul domeniu de definiție.

8. Fiecare astfel de funcție cu un anumit indicator este inversă pentru funcție, prevăzută

9. Graficul funcției„arata” ca un grafic al unei funcții pentru oricare Nși prezentată în fig. 5.6.

Funcția de putere

1. Domeniu:

2. Valori multiple:

3. Par si impar: funcţie impară.

4. Periodicitatea funcției: neperiodică.

5. Nule de funcție: X= 0 este singurul zero.

6. Cele mai mari și mai mici valori ale funcției: funcția nu are cele mai mari și cele mai mici valori pentru niciuna

7. Intervalele crescătoare și descrescătoare: funcția este în creștere pe întregul domeniu de definiție.

8. Graficul funcției Prezentat în fig. 5.7.

Amintiți-vă proprietățile și graficele funcțiilor de putere cu un exponent întreg negativ.

Pentru n chiar:

Exemplu de funcție:

Toate graficele unor astfel de funcții trec prin două puncte fixe: (1;1), (-1;1). O caracteristică a funcțiilor de acest tip este paritatea lor, graficele sunt simetrice față de axa op-y.

Orez. 1. Graficul unei funcții

Pentru n impar:

Exemplu de funcție:

Toate graficele unor astfel de funcții trec prin două puncte fixe: (1;1), (-1;-1). O caracteristică a funcțiilor de acest tip este ciudățenia lor, graficele sunt simetrice față de origine.

Orez. 2. Graficul funcției

Să ne amintim definiția principală.

Gradul unui număr nenegativ a cu exponent rațional pozitiv se numește număr.

Gradul unui număr pozitiv a cu exponent rațional negativ se numește număr.

Pentru următoarea egalitate este valabilă:

De exemplu: ; - expresia nu există prin definiţie a unui grad cu exponent raţional negativ; există, deoarece exponentul este un număr întreg,

Să ne întoarcem la considerarea funcțiilor de putere cu un exponent rațional negativ.

De exemplu:

Pentru a reprezenta grafic această funcție, puteți face un tabel. Vom proceda altfel: în primul rând, vom construi și studiem graficul numitorului - îl știm (Figura 3).

Orez. 3. Graficul unei funcții

Graficul funcției numitorului trece printr-un punct fix (1;1). Când se construiește un grafic al funcției inițiale, acest punct rămâne, când rădăcina tinde și ea spre zero, funcția tinde spre infinit. Și, invers, pe măsură ce x tinde spre infinit, funcția tinde spre zero (Figura 4).

Orez. 4. Graficul funcției

Luați în considerare încă o funcție din familia de funcții studiată.

Este important ca prin definitie

Se consideră graficul funcției la numitor: , cunoaștem graficul acestei funcții, ea crește în domeniul ei de definiție și trece prin punctul (1; 1) (Figura 5).

Orez. 5. Graficul funcției

Când se construiește un grafic al funcției inițiale, punctul (1; 1) rămâne, când rădăcina tinde și ea spre zero, funcția tinde spre infinit. Și, invers, pe măsură ce x tinde spre infinit, funcția tinde spre zero (Figura 6).

Orez. 6. Graficul funcției

Exemplele luate în considerare ajută la înțelegerea modului în care merge graficul și care sunt proprietățile funcției studiate - o funcție cu un exponent rațional negativ.

Graficele funcțiilor acestei familii trec prin punctul (1;1), funcția scade pe întregul domeniu de definiție.

Domeniul de aplicare:

Funcția nu este mărginită de sus, ci mărginită de jos. Funcția nu are nici maxim, nici cea mai mică valoare.

Funcția este continuă, ia toate valorile pozitive de la zero la plus infinit.

Funcția convexă în jos (Figura 15.7)

Punctele A și B sunt luate pe curbă, un segment este trasat prin ele, întreaga curbă este sub segment, această condiție este îndeplinită pentru două puncte arbitrare de pe curbă, prin urmare funcția este convexă în jos. Orez. 7.

Orez. 7. Convexitatea unei funcții

Este important de înțeles că funcțiile acestei familii sunt mărginite de jos de zero, dar nu au cea mai mică valoare.

Exemplul 1 - găsiți maximul și minimul unei funcții pe intervalul \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]

Grafic (Fig. 2).

Figura 2. Graficul funcției $f\left(x\right)=x^(2n)$

Proprietățile unei funcții de putere cu exponent natural impar

    Domeniul definiției sunt toate numerele reale.

    $f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ este o funcție impară.

    $f(x)$ este continuu pe întregul domeniu al definiției.

    Gama sunt toate numere reale.

    $f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

    Funcția crește pe întregul domeniu de definiție.

    $f\left(x\right)0$, pentru $x\in (0,+\infty)$.

    $f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

    \ \

    Funcția este concavă pentru $x\in (-\infty ,0)$ și convexă pentru $x\in (0,+\infty)$.

    Grafic (Fig. 3).

Figura 3. Graficul funcției $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Funcția de putere cu exponent întreg

Pentru început, introducem conceptul de grad cu un exponent întreg.

Definiția 3

Gradul unui număr real $a$ cu exponent întreg $n$ este determinat de formula:

Figura 4

Luați în considerare acum o funcție de putere cu un exponent întreg, proprietățile și graficul acesteia.

Definiția 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ se numește o funcție de putere cu exponent întreg.

Dacă gradul este mai mare decât zero, atunci ajungem la cazul unei funcții de putere cu exponent natural. Ne-am gândit deja mai sus. Pentru $n=0$ obținem o funcție liniară $y=1$. Lăsăm considerația sa în seama cititorului. Rămâne de luat în considerare proprietățile unei funcții de putere cu un exponent întreg negativ

Proprietățile unei funcții de putere cu un exponent întreg negativ

    Domeniul de aplicare este $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

    Dacă exponentul este par, atunci funcția este pară; dacă este impar, atunci funcția este impară.

    $f(x)$ este continuu pe întregul domeniu al definiției.

    Interval de valori:

    Dacă exponentul este par, atunci $(0,+\infty)$, dacă este impar, atunci $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

    Dacă exponentul este impar, funcția scade cu $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Pentru un exponent par, funcția scade cu $x\in (0,+\infty)$. și crește cu $x\în \left(-\infty ,0\right)$.

    $f(x)\ge 0$ pe întregul domeniu

Sunt date date de referință privind funcția exponențială - proprietăți de bază, grafice și formule. Sunt luate în considerare următoarele aspecte: domeniul definiției, mulțimea de valori, monotonitatea, funcția inversă, derivata, integrala, extinderea seriei de puteri și reprezentarea prin intermediul numerelor complexe.

Definiție

Functie exponentiala este o generalizare a produsului a n numere egal cu a :
y (n) = a n = a a a a,
la multimea numerelor reale x :
y (x) = x.
Aici a este fix numar real, Care e numit baza functiei exponentiale.
Se mai numește și o funcție exponențială cu baza a exponențial la baza a.

Generalizarea se realizează după cum urmează.
Pentru natural x = 1, 2, 3,... , funcția exponențială este produsul x factori:
.
Mai mult, are proprietățile (1,5-8) (), care decurg din regulile de înmulțire a numerelor. La zero și valori negative numere întregi , funcția exponențială este determinată de formulele (1.9-10). Pentru valorile fracționale x = m/n numere rationale, , se determină prin formula (1.11). Pentru real, funcția exponențială este definită ca limită de secvență:
,
unde este o succesiune arbitrară de numere raționale care converg către x : .
Cu această definiție, funcția exponențială este definită pentru toate , și satisface proprietățile (1.5-8), precum și pentru x natural.

O formulare matematică riguroasă a definiției unei funcții exponențiale și o demonstrație a proprietăților acesteia este dată la pagina „Definiția și demonstrarea proprietăților unei funcții exponențiale”.

Proprietățile funcției exponențiale

Funcția exponențială y = a x are următoarele proprietăți pe mulțimea numerelor reale () :
(1.1) este definită și continuă, pentru , pentru toți ;
(1.2) când a ≠ 1 are multe semnificații;
(1.3) crește strict la , scade strict la ,
este constantă la ;
(1.4) la ;
la ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Alte formule utile
.
Formula pentru conversia într-o funcție exponențială cu o bază de putere diferită:

Pentru b = e , obținem expresia funcției exponențiale în termeni de exponent:

Valori private

, , , , .

Figura prezintă grafice ale funcției exponențiale
y (x) = x
pentru patru valori baze de grad:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 și a = 1/8 . Se vede că pentru un > 1 funcția exponențială crește monoton. Cu cât baza gradului a este mai mare, cu atât creșterea este mai puternică. La 0 < a < 1 funcția exponențială este monoton în scădere. Cum mai puțin indicator gradul a , cu atât scăderea este mai puternică.

Urcând, coborând

Funcția exponențială la este strict monotonă, deci nu are extreme. Principalele sale proprietăți sunt prezentate în tabel.

y = a x , a > 1 y = x, 0 < a < 1
Domeniu - ∞ < x < + ∞ - ∞ < x < + ∞
Gama de valori 0 < y < + ∞ 0 < y < + ∞
Monoton crește monoton scade monoton
Zerouri, y= 0 Nu Nu
Puncte de intersecție cu axa y, x = 0 y= 1 y= 1
+ ∞ 0
0 + ∞

Funcție inversă

Reciproca unei funcții exponențiale cu o bază de gradul a este logaritmul cu baza a.

Daca atunci
.
Daca atunci
.

Diferențierea funcției exponențiale

Pentru a diferenția o funcție exponențială, baza acesteia trebuie redusă la numărul e, aplicați tabelul derivatelor și regula de diferențiere a unei funcții complexe.

Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați proprietatea logaritmilor
și formula din tabelul derivatelor:
.

Să fie dată o funcție exponențială:
.
O aducem la baza e:

Aplicam regula de diferentiere a unei functii complexe. Pentru a face acest lucru, introducem o variabilă

Apoi

Din tabelul derivatelor avem (înlocuiește variabila x cu z ):
.
Deoarece este o constantă, derivata lui z față de x este
.
Conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe:
.

Derivată a funcției exponențiale

.
Derivată de ordinul al n-lea:
.
Derivarea formulelor > > >

Un exemplu de diferențiere a unei funcții exponențiale

Aflați derivata unei funcții
y= 35 x

Soluţie

Exprimăm baza funcției exponențiale în termeni de număr e.
3 = e log 3
Apoi
.
Introducem o variabilă
.
Apoi

Din tabelul derivatelor găsim:
.
În măsura în care 5ln 3 este o constantă, atunci derivata lui z față de x este:
.
Conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe, avem:
.

Răspuns

Integral

Expresii în termeni de numere complexe

Luați în considerare funcția număr complex z:
f (z) = az
unde z = x + iy ; i 2 = - 1 .
Exprimăm constanta complexă a în termeni de modul r și argumentul φ :
a = r e i φ
Apoi


.
Argumentul φ nu este definit în mod unic. ÎN vedere generala
φ = φ 0 + 2 pn,
unde n este un număr întreg. Prin urmare, funcția f (z) este, de asemenea, ambiguu. Adesea considerată importanța sa principală
.

Extindere în serie


.

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior, Lan, 2009.

Recomandăm și noi

Se încarcă...Se încarcă...