Rezolvarea inegalităților prin metoda intervalelor. Rezolvarea inegalităților pătratice prin metoda intervalului

Metoda intervalului este considerată universală pentru rezolvarea inegalităților. Uneori, această metodă este numită și metoda gap. Poate fi folosit atât pentru rezolvarea inegalităților raționale cu o variabilă, cât și pentru inegalitățile de alte tipuri. În materialul nostru, am încercat să acordăm atenție tuturor aspectelor problemei.

Ce te așteaptă în această secțiune? Vom analiza metoda gap și vom lua în considerare algoritmi de rezolvare a inegalităților folosind ea. Să atingem aspecte teoretice pe care se bazează aplicarea metodei.

Acordăm o atenție deosebită nuanțelor subiectului, care de obicei nu sunt acoperite în curiculumul scolar. De exemplu, luați în considerare regulile de plasare a semnelor pe intervale și metoda intervalelor în vedere generala fără a-l lega de inegalităţile raţionale.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Algoritm

Cine își amintește cum este introdusă metoda gap în cursul de algebră școlară? De obicei totul începe cu rezolvarea inegalităților de forma f (x)< 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , >sau ≥). Aici f(x) poate fi un polinom sau un raport de polinoame. Polinomul, la rândul său, poate fi reprezentat astfel:

produsul binoamelor liniare cu coeficientul 1 pentru variabila x;
produsul trinoamelor pătrate cu coeficientul conducător 1 și cu discriminantul negativ al rădăcinilor lor.

Iată câteva exemple de astfel de inegalități:

(x + 3) (x 2 − x + 1) (x + 2) 3 ≥ 0,

(x - 2) (x + 5) x + 3 > 0 ,

(x − 5) (x + 5) ≤ 0 ,

(x 2 + 2 x + 7) (x - 1) 2 (x 2 - 7) 5 (x - 1) (x - 3) 7 ≤ 0 .

Scriem un algoritm de rezolvare a inegalităților de acest fel, așa cum am dat în exemple, folosind metoda intervalului:

găsim zerourile numărătorului și numitorului, pentru aceasta echivalăm numărătorul și numitorul expresiei din partea stângă a inegalității cu zero și rezolvăm ecuațiile rezultate;
determinați punctele care corespund zerourilor găsite și marcați-le cu liniuțe pe axa de coordonate;
definiți semnele de expresie f(x) din partea stângă a inegalității rezolvate pe fiecare interval și puneți-le pe grafic;
aplicați hașura peste secțiunile dorite ale graficului, ghidat de următoarea regulă: în cazul în care inegalitatea are semne< или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки >sau ≥ , apoi selectăm cu umbrire zonele marcate cu semnul „+”.

Desenul cu care vom lucra poate avea o vedere schematică. Detaliile excesive pot supraîncărca desenul și pot face dificilă decizia. Vom fi puțin interesați de scară. Va fi suficient să se lipească locația corectă puncte pe măsură ce valorile coordonatelor lor cresc.

Când lucrăm cu inegalități stricte, vom folosi notația unui punct sub forma unui cerc cu un centru neumplut (gol). În cazul inegalităților nestricte, punctele care corespund zerourilor numitorului vor fi afișate ca goale, iar restul ca negre obișnuite.

Punctele marcate împart linia de coordonate în mai multe intervale numerice. Acest lucru ne permite să obținem o reprezentare geometrică a mulțimii de numere, care este de fapt soluția inegalității date.

Baza științifică a metodei decalajului

Abordarea care stă la baza metodei intervalului se bazează pe următoarea proprietate a unei funcții continue: funcția păstrează un semn constant pe intervalul (a, b) pe care această funcție este continuă și nu dispare. Aceeași proprietate este tipică pentru raze numerice(−∞ , a) și (a , +∞).

Proprietatea de mai sus a funcției este confirmată de teorema Bolzano-Cauchy, care este dată în multe manuale pentru pregătirea examenelor de admitere.

De asemenea, este posibil să se justifice constanța semnului pe intervale pe baza proprietăților inegalităților numerice. De exemplu, luăm inegalitatea x - 5 x + 1 > 0 . Dacă găsim zerourile numărătorului și numitorului și le punem pe linia numerică, obținem o serie de goluri: (− ∞ , − 1) , (− 1 , 5) și (5 , + ∞) .

Să luăm oricare dintre intervale și să arătăm pe el că pe întregul interval expresia din partea stângă a inegalității va avea un semn constant. Fie acesta intervalul (− ∞ , − 1) . Să luăm orice număr t din acest interval. Va îndeplini condițiile t< − 1 , и так как − 1 < 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t < 5 .

Folosind atât inegalitățile obținute, cât și proprietatea inegalităților numerice, putem presupune că t + 1< 0 и t − 5 < 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения t pe intervalul (− ∞ , − 1) .

Folosind regula de împărțire a numerelor negative, putem afirma că valoarea expresiei t - 5 t + 1 va fi pozitivă. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei x - 5 x + 1 va fi pozitivă pentru orice valoare X din gol (− ∞ , − 1) . Toate acestea ne permit să afirmăm că pe intervalul luat ca exemplu, expresia are semn constant. În cazul nostru, acesta este semnul „+”.

Găsirea zerourilor numărătorului și numitorului

Algoritmul pentru găsirea zerourilor este simplu: echivalăm expresiile de la numărător și numitor la zero și rezolvăm ecuațiile rezultate. Dacă aveți dificultăți, vă puteți referi la subiectul „Rezolvarea ecuațiilor prin factorizare”. În această secțiune, ne limităm la un exemplu.

Se consideră fracția x · (x - 0, 6) x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3 . Pentru a găsi zerourile numărătorului și numitorului, le echivalăm cu zero pentru a obține și rezolva ecuațiile: x (x − 0, 6) = 0 și x 7 (x 2 + 2 x + 7) 2 (x + 5) 3 = 0.

În primul caz, putem merge la mulțimea a două ecuații x = 0 și x − 0 , 6 = 0 , care ne dă două rădăcini 0 și 0 , 6 . Acestea sunt zerourile numărătorului.

A doua ecuație este echivalentă cu setul de trei ecuații x7 = 0, (x 2 + 2 x + 7) 2 = 0, (x + 5) 3 = 0 . Efectuăm o serie de transformări și obținem x \u003d 0, x 2 + 2 x + 7 \u003d 0, x + 5 \u003d 0. Rădăcina primei ecuații este 0, a doua ecuație nu are rădăcini, deoarece are un discriminant negativ, rădăcina celei de-a treia ecuații este 5. Acestea sunt zerourile numitorului.

0 în acest caz este atât zero al numărătorului, cât și zero al numitorului.

În general, când există o fracție în partea stângă a inegalității, care nu este neapărat rațională, numărătorul și numitorul sunt, de asemenea, egalați cu zero pentru a obține ecuații. Rezolvarea ecuațiilor vă permite să găsiți zerourile numărătorului și numitorului.

Determinarea semnului intervalului este simplă. Pentru a face acest lucru, puteți găsi valoarea expresiei din partea stângă a inegalității pentru orice punct ales arbitrar din intervalul dat. Semnul rezultat al valorii expresiei într-un punct al intervalului ales arbitrar va coincide cu semnul întregului interval.

Să ne uităm la această afirmație cu un exemplu.

Luați inegalitatea x 2 - x + 4 x + 3 ≥ 0 . Expresia situată în partea stângă a inegalității nu are zerouri în numărător. Numitorul zero va fi numărul - 3 . Avem două lacune pe linia numerică (− ∞ , − 3) și (− 3 , + ∞) .

Pentru a determina semnele intervalelor, se calculează valoarea expresiei x 2 - x + 4 x + 3 pentru punctele luate arbitrar pe fiecare dintre intervale.

Din primul interval (− ∞ , − 3) ia - 4 . La x = -4 avem (- 4) 2 - (- 4) + 4 (- 4) + 3 = - 24 . Avem sens negativ, deci întregul interval va fi cu semnul „-”.

Pentru span (− 3 , + ∞) să facem calcule cu un punct având coordonată zero. Pentru x = 0 avem 0 2 - 0 + 4 0 + 3 = 4 3 . Am primit o valoare pozitivă, ceea ce înseamnă că întregul interval va avea semnul „+”.

Puteți folosi o altă modalitate de a defini semnele. Pentru a face acest lucru, putem găsi semnul pe unul dintre intervale și îl putem salva sau schimba la trecerea prin zero. Pentru a face totul corect, este necesar să respectați regula: la trecerea prin zero a numitorului, dar nu a numărătorului, sau a numărătorului, dar nu a numitorului, putem schimba semnul la opus dacă gradul expresia care dă acest zero este impară și nu putem schimba semnul dacă gradul este par. Dacă obținem un punct care este atât zero al numărătorului, cât și al numitorului, atunci este posibil să schimbăm semnul în opus doar dacă suma puterilor expresiilor care dau acest zero este impară.

Dacă ne amintim de inegalitatea pe care am luat-o în considerare la începutul primului paragraf al acestui material, atunci în intervalul din dreapta putem pune semnul „+”.

Acum să ne întoarcem la exemple.

Luați inegalitatea (x - 2) (x - 3) 3 (x - 4) 2 (x - 1) 4 (x - 3) 5 (x - 4) ≥ 0 și rezolvați-o folosind metoda intervalului. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsim zerourile numărătorului și numitorului și să le marcam pe linia de coordonate. Zerourile numărătorului vor fi puncte 2 , 3 , 4 , numitorul punctului 1 , 3 , 4 . Le marcam pe axa de coordonate cu liniuțe.

Zerourile numitorului sunt marcate cu puncte goale.

Deoarece avem de-a face cu o inegalitate nestrictă, înlocuim liniuțele rămase cu puncte obișnuite.

Acum să plasăm punctele pe intervale. Spațiul din dreapta (4, +∞) va fi semnul +.

Deplasându-ne de la dreapta la stânga, vom marca golurile rămase. Trecem prin punctul cu coordonata 4 . Este atât zero al numărătorului, cât și al numitorului. În concluzie, aceste zerouri dau expresiile (x − 4) 2și x − 4. Adunăm puterile lor 2 + 1 = 3 și obținem numar impar. Aceasta înseamnă că semnul în tranziție în acest caz se schimbă la opus. Pe intervalul (3, 4) va fi semnul minus.

Trecem la intervalul (2, 3) prin punctul cu coordonata 3. Acesta este, de asemenea, zero atât pentru numărător, cât și pentru numitor. L-am obținut datorită a două expresii (x − 3) 3 și (x − 3) 5, a cărui sumă de puteri este 3 + 5 = 8 . Obținerea unui număr par ne permite să lăsăm semnul intervalului neschimbat.

Punctul cu coordonata 2 este zero al numărătorului. Gradul de expresie x - 2 este egal cu 1 (impar). Aceasta înseamnă că la trecerea prin acest punct, semnul trebuie inversat.

Ne rămâne cu ultimul interval (− ∞ , 1) . Punctul cu coordonata 1 este numitorul zero. A fost derivat din expresia (x − 1) 4, cu grad egal 4 . Prin urmare, semnul rămâne același. Desenul final va arăta astfel:

Utilizarea metodei intervalului este deosebit de eficientă în cazurile în care calculul valorii unei expresii este asociat cu o cantitate mare de muncă. Un exemplu ar fi necesitatea de a evalua valoarea unei expresii

x + 3 - 3 4 3 x 2 + 6 x + 11 2 x + 2 - 3 4 (x - 1) 2 x - 2 3 5 (x - 12)

în orice punct al intervalului 3 - 3 4 , 3 - 2 4 .

Acum să aplicăm în practică cunoștințele și abilitățile dobândite.

Exemplul 1

Rezolvați inegalitatea (x - 1) (x + 5) 2 (x - 7) (x - 1) 3 ≤ 0 .

Decizie

Este recomandabil să se aplice metoda intervalelor pentru a rezolva inegalitatea. Aflați zerourile numărătorului și numitorului. Zerourile numeratorului sunt 1 și - 5 , zerourile numitorului sunt 7 și 1 . Să le notăm pe linia numerică. Avem de-a face cu o inegalitate nestrictă, așa că vom marca zerourile numitorului cu puncte goale, zeroul numărătorului - 5 va fi marcat cu un punct umplut obișnuit.

Punem jos semnele golurilor folosind regulile de schimbare a semnului la trecerea prin zero. Să începem cu intervalul din dreapta, pentru care calculăm valoarea expresiei din partea stângă a inegalității într-un punct luat în mod arbitrar din interval. Primim semnul „+”. Să trecem secvențial prin toate punctele de pe linia de coordonate, plasând semne și obținem:

Lucrăm cu o inegalitate nestrictă având semnul ≤ . Aceasta înseamnă că trebuie să marchem golurile marcate cu semnul „-” cu umbrire.

Răspuns: (- ∞ , 1) ∪ (1 , 7) .

Rezolvarea inegalităților raționale necesită în majoritatea cazurilor transformarea lor preliminară în genul potrivit. Abia atunci devine posibilă utilizarea metodei intervalului. Algoritmii pentru realizarea unor astfel de transformări sunt considerați în materialul „Rezolvarea inegalităților raționale”.

Luați în considerare un exemplu de conversie a trinoamelor pătrate în inegalități.

Exemplul 2

Găsiți o soluție la inegalitatea (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) x 2 + 2 x - 8 > 0 .

Decizie

Să vedem dacă discriminanții trinoamelor pătrate din înregistrarea inegalității sunt cu adevărat negativi. Acest lucru ne va permite să stabilim dacă forma acestei inegalități ne permite să aplicăm metoda intervalului la soluție.

Calculați discriminantul pentru trinom x 2 + 3 x + 3: D = 3 2 − 4 1 3 = − 3< 0 . Acum să calculăm discriminantul pentru trinomul x 2 + 2 x - 8: D ' = 1 2 - 1 (- 8) = 9 > 0 . După cum puteți vedea, inegalitatea necesită o transformare preliminară. Pentru a face acest lucru, reprezentăm trinomul x 2 + 2 x − 8 ca (x + 4) (x − 2), iar apoi aplicați metoda intervalului pentru a rezolva inegalitatea (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) (x + 4) (x - 2) > 0 .

Răspuns: (- 4 , - 3) ∪ (2 , + ∞) .

Metoda decalajului generalizat este utilizată pentru a rezolva inegalitățile de forma f (x)< 0 (≤ , >, ≥) , unde f (x) este o expresie arbitrară cu o variabilă X.

Toate acțiunile sunt efectuate conform unui anumit algoritm. În acest caz, algoritmul de rezolvare a inegalităților prin metoda intervalului generalizat va diferi oarecum de ceea ce am analizat mai devreme:

găsiți domeniul funcției f și zerourile acestei funcție;
marcați punctele de limită pe axa de coordonate;
trasează zerourile funcției pe linia numerică;
determinați semnele intervalelor;
aplicăm hașurare;
notează răspunsul.

Pe linia numerică, este de asemenea necesar să se marcheze puncte individuale ale domeniului de definiție. De exemplu, domeniul unei funcții este mulțimea (− 5 , 1 ] ∪ ( 3 ) ∪ [ 4 , 7) ∪ ( 10 ) . Aceasta înseamnă că trebuie să marchem punctele cu coordonatele − 5 , 1 , 3 , 4 , 7 și 10 . puncte − 5 și 7 sunt afișate ca goale, restul pot fi evidențiate cu un creion colorat pentru a le distinge de zerourile funcției.

Zerourile funcției în cazul inegalităților nestricte sunt marcate cu puncte obișnuite (umbrite), iar pentru inegalitățile stricte, cu puncte goale. Dacă zerourile coincid cu punctele de limită sau cu punctele individuale ale domeniului de definiție, atunci pot fi recolorate în negru, făcându-le goale sau umplute, în funcție de tipul de inegalitate.

Înregistrarea răspunsului este set de numere care include:

goluri hașurate;
puncte individuale ale domeniului cu semnul plus dacă avem de-a face cu o inegalitate al cărei semn este > sau ≥ sau cu semnul minus dacă există semne în inegalitate< или ≤ .

Acum a devenit clar că algoritmul pe care l-am prezentat chiar la începutul subiectului este un caz special al algoritmului de aplicare a metodei intervalului generalizat.

Luați în considerare un exemplu de aplicare a metodei intervalului generalizat.

Exemplul 3

Rezolvați inegalitatea x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7< 0 .

Decizie

Introducem o funcție f astfel încât f (x) = x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7 . Găsiți domeniul funcției f:

x 2 + 2 x - 24 ≥ 0 x ≠ 7 D (f) = (- ∞ , - 6 ] ∪ [ 4 , 7) ∪ (7 , + ∞) .

Acum să găsim zerourile funcției. Pentru a face acest lucru, vom rezolva ecuația irațională:

x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 = 0

Obținem rădăcina x = 12 .

Pentru a desemna puncte de limită pe axa de coordonate, folosim culoarea portocalie. Punctele - 6, 4 vor fi completate, iar 7 vor fi lăsate goale. Primim:

Marcam zeroul funcției cu un punct negru gol, deoarece lucrăm cu inegalitate strictă.

Determinăm semnele pe intervale separate. Pentru a face acest lucru, luați un punct din fiecare interval, de exemplu, 16 , 8 , 6 și − 8 , și calculați valoarea funcției din ele f:

f (16) = 16 2 + 2 16 - 24 - 3 4 16 - 3 16 - 7 = 264 - 15 9 > 0 f (8) = 8 2 + 2 8 - 24 - 3 4 8 - 3 8 - 7 = 56 - 9< 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 >0 f (- 8) \u003d - 8 2 + 2 (- 8) - 24 - 3 4 (- 8) - 3 - 8 - 7 \u003d 24 + 3 - 15< 0

Așezăm semnele pe care tocmai le-am definit și aplicăm hașura peste goluri cu semnul minus:

Răspunsul va fi unirea a două intervale cu semnul „-”: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

Ca răspuns, am inclus un punct cu coordonata - 6 . Acesta nu este zeroul funcției, pe care nu l-am include în răspuns atunci când rezolvăm o inegalitate strictă, ci punctul limită al domeniului de definiție, care este inclus în domeniul definiției. Valoarea funcției în acest moment este negativă, ceea ce înseamnă că satisface inegalitatea.

Nu am inclus punctul 4 în răspuns, la fel cum nu am inclus întreg intervalul [4, 7) . În acest moment, la fel ca pe întregul interval specificat, valoarea funcției este pozitivă, ceea ce nu satisface inegalitatea care se rezolvă.

Să o scriem din nou pentru o înțelegere mai clară: punctele colorate trebuie incluse în răspuns în următoarele cazuri:

aceste puncte fac parte dintr-un gol hașurat,
aceste puncte sunt puncte separate ale domeniului funcției, fiind rezolvate valorile funcției în care satisfac inegalitatea.

Răspuns: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Metoda de spațiere este o modalitate simplă de a rezolva inegalitățile raționale fracționale. Acesta este numele inegalităților care conțin expresii raționale (sau fracționale-rationale) care depind de o variabilă.

1. Luați în considerare, de exemplu, următoarea inegalitate

Metoda intervalului vă permite să o rezolvați în câteva minute.

În partea stângă a acestei inegalități se află o funcție rațională fracțională. Rațional, pentru că nu conține nici rădăcini, nici sinusuri, nici logaritmi - doar expresii raționale. În dreapta este zero.

Metoda intervalului se bazează pe următoarea proprietate a unei funcții raționale fracționale.

O funcție rațională fracțională poate schimba semnul numai în acele puncte în care este egală cu zero sau nu există.

Amintiți-vă cum să factorizați trinom pătrat, adică o expresie a formei .

Unde și sunt rădăcinile ecuație pătratică.

Desenăm o axă și aranjam punctele în care numărătorul și numitorul dispar.

Zerourile numitorului și sunt puncte perforate, deoarece în aceste puncte funcția din partea stângă a inegalității nu este definită (nu puteți împărți la zero). Zerourile numărătorului și - sunt umbrite deoarece inegalitatea nu este strictă. Căci și inegalitatea noastră este satisfăcută, deoarece ambele părți ale sale sunt egale cu zero.

Aceste puncte despart axa în intervale.

Să determinăm semnul funcției fracționale-raționale din partea stângă a inegalității noastre pe fiecare dintre aceste intervale. Ne amintim că o funcție rațională fracțională poate schimba semnul numai în acele puncte în care este egală cu zero sau nu există. Aceasta înseamnă că pe fiecare dintre intervalele dintre punctele în care numărătorul sau numitorul dispare, semnul expresiei din partea stângă a inegalității va fi constant - fie „plus” fie „minus”.

Și, prin urmare, pentru a determina semnul funcției pe fiecare astfel de interval, luăm orice punct aparținând acestui interval. Cea care ni se potrivește.
. Luați, de exemplu, și verificați semnul expresiei din partea stângă a inegalității. Fiecare dintre „paranteze” este negativ. Partea stângă are un semn.

Următorul interval: . Să verificăm semnul pentru . Înțelegem că partea stângă s-a schimbat în semnul .

Hai sa luam . Când expresia este pozitivă - prin urmare, este pozitivă pe întreg intervalul de la până la .

Pentru , partea stângă a inegalității este negativă.

Și în sfârșit class="tex" alt="(!LANG:x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Am aflat la ce intervale expresia este pozitivă. Rămâne de scris răspunsul:

Răspuns: .

Vă rugăm să rețineți: semnele de pe intervale se alternează. Acest lucru s-a întâmplat pentru că la trecerea prin fiecare punct, exact unul dintre factorii liniari și-a schimbat semnul, iar restul l-a păstrat neschimbat.

Vedem că metoda intervalului este foarte simplă. Pentru a rezolva o inegalitate fracționară-rațională prin metoda intervalelor, o aducem la forma:

Sau class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\left(x\right))(\displaystyle Q\left(x\right)) > 0"> !}, sau sau .

(în partea stângă - o funcție fracțională-rațională, în partea dreaptă - zero).

Apoi - marcam pe linia numerica punctele in care numaratorul sau numitorul dispare.
Aceste puncte împart întreaga dreaptă numerică în intervale, pe fiecare dintre care funcția fracțional-rațională își păstrează semnul.
Rămâne doar să-i aflăm semnul pe fiecare interval.
Facem acest lucru verificând semnul expresiei în orice punct din intervalul dat. După aceea, scriem răspunsul. Asta e tot.

Dar se pune întrebarea: semnele alternează întotdeauna? Nu, nu întotdeauna! Trebuie să avem grijă să nu plasăm semne mecanic și necugetat.

2. Să ne uităm la o altă inegalitate.

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \left(x-3\right))>0"> !}

Punem din nou puncte pe axă. Punctele și sunt perforate pentru că sunt zerourile numitorului. Punctul este, de asemenea, perforat, deoarece inegalitatea este strictă.

Când numărătorul este pozitiv, ambii factori din numitor sunt negativi. Acest lucru este ușor de verificat luând orice număr dintr-un interval dat, de exemplu, . Partea stângă are semnul:

Când numărătorul este pozitiv; primul factor din numitor este pozitiv, al doilea factor este negativ. Partea stângă are semnul:

Când situația este aceeași! Numătorul este pozitiv, primul factor din numitor este pozitiv, al doilea este negativ. Partea stângă are semnul:

În cele din urmă, cu class="tex" alt="(!LANG:x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Răspuns: .

De ce s-a întrerupt alternanța personajelor? Pentru că la trecerea prin punct, multiplicatorul „responsabil” de acesta nu a schimbat semnul. În consecință, nici toată partea stângă a inegalității noastre nu și-a schimbat semnul.

Concluzie: dacă factorul liniar este într-o putere pară (de exemplu, într-un pătrat), atunci când trece printr-un punct, semnul expresiei din partea stângă nu se schimbă. În cazul unui grad impar, semnul, desigur, se schimbă.

3. Luați în considerare mai mult caz dificil. Diferă de precedentul prin faptul că inegalitatea nu este strictă:

Partea stângă este aceeași ca în problema anterioară. Imaginea semnelor va fi aceeași:

Poate răspunsul va fi același? Nu! Soluția este adăugată Acest lucru se datorează faptului că la , ambele părți din stânga și dreapta ale inegalității sunt egale cu zero - prin urmare, acest punct este o soluție.

Răspuns: .

În problema de la examenul de matematică, această situație este des întâlnită. Aici, solicitanții cad într-o capcană și pierd puncte. Ai grija!

4. Ce se întâmplă dacă numărătorul sau numitorul nu poate fi factorizat în factori liniari? Luați în considerare această inegalitate:

Trinomul pătrat nu poate fi factorizat: discriminantul este negativ, nu există rădăcini. Dar asta e bine! Aceasta înseamnă că semnul expresiei este același pentru toți și, în mod specific, este pozitiv. Puteți citi mai multe despre acest lucru în articolul despre proprietăți. funcţie pătratică.

Și acum putem împărți ambele părți ale inegalității noastre la o valoare care este pozitivă pentru toți. Ajungem la o inegalitate echivalentă:

Ceea ce se rezolvă ușor prin metoda intervalului.

Atenție - am împărțit ambele părți ale inegalității la valoare, despre care știam sigur că este pozitivă. Desigur, în cazul general, nu ar trebui să înmulțiți sau să împărțiți inegalitatea cu variabil, al cărui semn este necunoscut.

5 . Luați în considerare o altă inegalitate, aparent destul de simplă:

Așa că vreau să o înmulțesc cu . Dar suntem deja deștepți și nu vom face asta. La urma urmei, poate fi atât pozitiv, cât și negativ. Și știm că dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite cu o valoare negativă, semnul inegalității se schimbă.

Vom acționa diferit - vom colecta totul într-o singură parte și vom aduce la un numitor comun. Zero va rămâne pe partea dreaptă:

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

Și după aceea - aplicabil metoda intervalului.

1. Luați în considerare, de exemplu, următoarea inegalitate

Metoda intervalului vă permite să o rezolvați în câteva minute.

Metoda intervalului se bazează pe următoarea proprietate a unei funcții raționale fracționale.

O funcție rațională fracțională poate schimba semnul numai în acele puncte în care este egală cu zero sau nu există.

Amintiți-vă cum este factorizat un trinom pătrat, adică o expresie de forma .

Unde și sunt rădăcinile ecuației pătratice.

Desenăm o axă și aranjam punctele în care numărătorul și numitorul dispar.

Aceste puncte despart axa în intervale.

Următorul interval: . Să verificăm semnul pentru . Înțelegem că partea stângă s-a schimbat în semnul .

Hai sa luam . Când expresia este pozitivă - prin urmare, este pozitivă pe întreg intervalul de la până la .

Pentru , partea stângă a inegalității este negativă.

Am aflat la ce intervale expresia este pozitivă. Rămâne de scris răspunsul:

Răspuns: .

Vedem că metoda intervalului este foarte simplă. Pentru a rezolva o inegalitate fracționară-rațională prin metoda intervalelor, o aducem la forma:

Sau class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\left(x\right))(\displaystyle Q\left(x\right)) > 0"> !}, sau sau .

(în partea stângă - o funcție fracțională-rațională, în partea dreaptă - zero).

Dar se pune întrebarea: semnele alternează întotdeauna? Nu, nu întotdeauna! Trebuie să avem grijă să nu plasăm semne mecanic și necugetat.

2. Să ne uităm la o altă inegalitate.

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \left(x-3\right))>0"> !}

Punem din nou puncte pe axă. Punctele și sunt perforate pentru că sunt zerourile numitorului. Punctul este, de asemenea, perforat, deoarece inegalitatea este strictă.

Când numărătorul este pozitiv, ambii factori din numitor sunt negativi. Acest lucru este ușor de verificat luând orice număr dintr-un interval dat, de exemplu, . Partea stângă are semnul:

Când numărătorul este pozitiv; primul factor din numitor este pozitiv, al doilea factor este negativ. Partea stângă are semnul:

Când situația este aceeași! Numătorul este pozitiv, primul factor din numitor este pozitiv, al doilea este negativ. Partea stângă are semnul:

În cele din urmă, cu class="tex" alt="(!LANG:x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Răspuns: .

3. Să luăm în considerare un caz mai complicat. Diferă de precedentul prin faptul că inegalitatea nu este strictă:

Partea stângă este aceeași ca în problema anterioară. Imaginea semnelor va fi aceeași:

Răspuns: .

În problema de la examenul de matematică, această situație este des întâlnită. Aici, solicitanții cad într-o capcană și pierd puncte. Ai grija!

4. Ce se întâmplă dacă numărătorul sau numitorul nu poate fi factorizat în factori liniari? Luați în considerare această inegalitate:

Și acum putem împărți ambele părți ale inegalității noastre la o valoare care este pozitivă pentru toți. Ajungem la o inegalitate echivalentă:

Ceea ce se rezolvă ușor prin metoda intervalului.

Atenție - am împărțit ambele părți ale inegalității la valoare, despre care știam sigur că este pozitivă. Desigur, în cazul general, nu trebuie să înmulțiți sau să împărțiți o inegalitate cu o variabilă al cărei semn este necunoscut.

5 . Luați în considerare o altă inegalitate, aparent destul de simplă:

Vom acționa diferit - vom colecta totul într-o singură parte și vom aduce la un numitor comun. Zero va rămâne pe partea dreaptă:

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

Și după aceea - aplicabil metoda intervalului.

Cum se rezolvă inegalitățile folosind metoda intervalului (algoritm cu exemple)

Exemplu . (sarcina de la OGE) Rezolvați inegalitatea prin metoda intervalului \((x-7)^2< \sqrt{11}(x-7)\)
Decizie:

Răspuns : \((7;7+\sqrt(11))\)

Exemplu . Rezolvați inegalitatea prin metoda intervalului \(≥0\)
Decizie:

\(\frac((4-x)^3 (x+6)(6-x)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Aici, la prima vedere, totul pare normal, iar inegalitatea se reduce inițial la forma dorită. Dar nu este așa - la urma urmei, în prima și a treia paranteză ale numărătorului, x este cu semnul minus. Transformăm parantezele, ținând cont de faptul că al patrulea grad este par (adică va elimina semnul minus), iar al treilea este impar (adică nu îl va elimina). \((4-x)^3=(-x+4)^3=(-(x-4))^3=-(x-4)^3\) \((6-x)^4=(-x+6)^4=(-(x-6))^4=(x-6)^4\) Ca aceasta. Acum întoarcem parantezele „la loc” deja convertite.
\(\frac(-(x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Acum toate parantezele arată așa cum ar trebui (mai întâi vine costumul nesemnat și abia apoi numărul). Dar înaintea numărătorului era un minus. Îl eliminăm prin înmulțirea inegalității cu \(-1\), fără a uita să inversăm semnul de comparație
\(\frac((x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≤0\)		Gata. Acum inegalitatea pare corectă. Puteți folosi metoda intervalului.
\(x=4;\) \(x=-6;\) \(x=6;\) \(x=-7,5\)		Să plasăm puncte pe axă, semne și să pictăm peste golurile necesare.
		În intervalul de la \(4\) la \(6\), semnul nu trebuie schimbat, deoarece paranteza \((x-6)\) este într-un grad egal (a se vedea paragraful 4 al algoritmului) . Steagul va fi un memento că șase este, de asemenea, o soluție la inegalitate. Să scriem răspunsul.

Răspuns : \((-∞;7,5]∪[-6;4]∪\stânga\(6\dreapta\)\)

Exemplu.(Misiunea de la OGE) Rezolvați inegalitatea folosind metoda intervalului \(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)
Decizie:

\(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)		Stânga și dreapta sunt aceleași - acest lucru clar nu este întâmplător. Prima dorință este de a împărți la \(-x^2-64\), dar aceasta este o greșeală, deoarece există șansa de a pierde rădăcina. În schimb, mutați \(64(-x^2-64)\) la partea stanga
\(x^2 (-x^2-64)-64(-x^2-64)≤0\)
\((-x^2-64)(x^2-64)≤0\)		Scoateți minusul din prima paranteză și factorizați pe a doua
\(-(x^2+64)(x-8)(x+8)≤0\)		Rețineți că \(x^2\) este fie zero, fie mai mare decât zero. Aceasta înseamnă că \(x^2+64\) este unic pozitiv pentru orice valoare a lui x, adică această expresie nu afectează în niciun fel semnul părții stângi. Prin urmare, putem împărți în siguranță ambele părți ale inegalității prin această expresie. Să împărțim și inegalitatea la \(-1\) pentru a scăpa de minus.
\((x-8)(x+8)≥0\)		Acum puteți aplica metoda intervalului
\(x=8;\) \(x=-8\)		Să scriem răspunsul