Cum să găsiți intersecția și uniunea. Găsirea intersecției și unirii mulțimilor numerice

trecere Două seturi se numeste multimea tuturor elemente comune aceste seturi.

Exemplu:
Să luăm numerele 12 și 18. Aflați divizorii lor, notând întregul set al acestor divizori, respectiv, cu literele A și B:
A \u003d (1, 2, 3, 4, 6, 12),
B = (1, 2, 3, 6, 9, 18).

Vedem că numerele 12 și 18 au divizori comuni: 1, 2, 3, 6. Să le notăm cu litera C:
C = (1, 2, 3, 6).

Mulțimea C este intersecția mulțimilor A și B. Ei o scriu astfel:
A ∩B=C.

Dacă două mulțimi nu au elemente comune, atunci intersecția acestor mulțimi este gol Multe.
Mulțimea goală este notată prin semnul Ø și se folosește următoarea notație:

X ∩Y = Ø.

Uniune doua seturi este multimea formata din toate elementele acestor multimi.

De exemplu, să revenim la numerele 12 și 18 și la mulțimea elementelor lor A și B. Mai întâi scriem elementele mulțimii A, apoi le adăugăm acele elemente ale mulțimii B care nu sunt în mulțime. A. Obținem mulțimea de elemente pe care A și B le au în comun. Să o notăm cu litera D:

D = (1, 2, 3, 4, 6, 12, 9, 18).

Mulțimea D este uniunea mulțimilor A și B. Se scrie astfel:

D=A U b.

Principalele operatii efectuate pe platouri sunt plus (Uniune), multiplicare (intersecție) și scădere . Aceste operații, așa cum vom vedea mai târziu, nu sunt identice cu operațiunile cu același nume efectuate pe numere.

Definiție : Asociere(sau suma) a două mulțimi A și B este o mulțime care conține toate aceste și numai astfel de elemente care sunt elemente ale cel puțin uneia dintre aceste mulțimi. Unirea mulțimilor A și B se notează cu A  B.

Această definiție înseamnă că adăugarea mulțimilor A și B este unirea tuturor elementelor lor într-o singură mulțime A  B. Dacă aceleași elemente sunt conținute în ambele mulțimi, atunci aceste elemente intră în unire o singură dată.

Unirea a trei sau mai multe seturi este definită în mod similar.

Definiție : trecere(sau inmultirea) a doua multimi A si B este o multime formata din acele si numai acele elemente care apartin multimii A si multimii B in acelasi timp. Intersecția mulțimilor A și B se notează cu A  B.

Intersecția a trei sau mai multe mulțimi este definită în mod similar.

Definiție : Diferența mulțimilor A și B este mulțimea formată din acele și numai acele elemente ale mulțimii A care nu aparțin mulțimii B. Diferența mulțimilor A și B se notează A \ B. Operația prin care diferența de mulțimi se găsește se numește scădere.

Dacă B  A, atunci diferența A \ B se numește complement al mulțimii B la mulțimea A. Dacă mulțimea B este o submulțime a mulțimii universale U, atunci se notează complementul lui B la U, adică = U\B.

Exerciții :

Luați în considerare trei seturi N={0,2,4,5,6,7}, M=(1,3,5,7,9) și P=(1,3,9,11). A găsi

A= N  M
B=N M
C=N P

Răspundeți care dintre operațiile pe seturile date ar trebui folosite pentru a obține seturile descrise mai jos.

Dat: DAR- multe dintre toate studenți ai facultății, ÎN– mulți studenți cu datorii academice. Defini DIN- o mulțime de studenți de succes ai facultății.
Dat: DAR- un set de toți studenții excelenți ai facultății, ÎN- o mulțime de studenți care nu au datorii academice, DIN este ansamblul elevilor de succes cu cel puțin un triplu. Defini D- o mulțime de studenți ai facultății care au timp fără triple.
Dat: U este ansamblul tuturor elevilor grupei de studiu, DAR- o mulțime de studenți din acest grup care au primit un credit în educație fizică, ÎN- mulți elevi din aceeași grupă care au trecut cu succes proba în istoria Patriei. Defini DIN este ansamblul studenților din aceeași grupă de studiu care excelează la ambele discipline, D– un ansamblu de elevi din aceeași grupă care „au picat” la cel puțin una dintre teste.

Proprietățile de unire și intersecție ale mulțimilor

Din definițiile unirii și intersecției mulțimilor urmează proprietățile acestor operații, care sunt prezentate sub formă de egalități care sunt valabile pentru orice mulțimi. A , B Și DIN .

A  B = B  A - comutativitatea unirii;

A  B = B  A - comutativitatea intersectiei;

A  (B  DIN ) = (A  B )  DIN - asociatie asociatie;

A  (B  DIN ) = (A  B )  DIN - asociativitatea intersectiei;

A  (B  DIN ) = (A  B )  (A  DIN) - distributivitatea intersectiei fata de unire;

A  (B  DIN ) = (A  B )  (A  DIN) - distributivitatea unirii fata de intersectie;

Legile de absorbție:

A  A = A

A  A = A

A  Ø = A

A  Ø = Ø

A  U = U

A  U = A

Trebuie remarcat faptul că diferența nu are proprietățile comutativității și asociativității, adică A \ B ≠ B \ A Și A \ (B \ DIN ) ≠ (A \ B ) \ DIN . Acest lucru poate fi ușor verificat prin construirea diagramelor Euler-Venn.

seturi. Operații pe platouri.
Setați afișajul. Setați puterea

Vă urez bun venit la prima lecție de algebră superioară, care a apărut... în ajunul celei de-a cincea aniversări a site-ului, după ce deja creasem peste 150 de articole la matematică, iar materialele mele au început să prindă contur într-un curs finalizat. . Cu toate acestea, voi spera că nu am întârziat - la urma urmei, mulți studenți încep să se aprofundeze în prelegeri doar pentru examenele de stat =)

Cursul universitar de vyshmat se bazează în mod tradițional pe trei piloni:

– analiză matematică (limite, derivate etc.)

– și în sfârșit sezonul 2015/16 an scolar se deschide cu lecții Algebră pentru manechine, Elemente de logică matematică, pe care vom analiza elementele de bază ale secțiunii, precum și ne vom familiariza cu conceptele matematice de bază și cu notația comună. Trebuie să spun că în alte articole nu abuzez de „squiggles” , cu toate acestea, acesta este doar un stil și, desigur, trebuie să fie recunoscute în orice stat =). Îi informez pe noii cititori că lecțiile mele sunt orientate spre practică, iar următorul material va fi prezentat în acest sens. Pentru informații mai complete și academice, vă rugăm să consultați manualele. Merge:

Multe. Dați exemple

Un set este un concept fundamental nu numai al matematicii, ci și al întregii lumi din jur. Luați orice obiect în mână chiar acum. Aici aveți un set format dintr-un element.

ÎN în sens larg, un set este o colecție de obiecte (elemente) care sunt înțelese ca un întreg(după anumite semne, criterii sau împrejurări). Mai mult, acestea nu sunt doar obiecte materiale, ci și litere, cifre, teoreme, gânduri, emoții etc.

Seturile sunt de obicei notate cu mari cu litere latine (ca opțiune, cu indice: etc.), iar elementele sale sunt scrise între acolade, de exemplu:

- un set de litere ale alfabetului rus;
- Multe numere naturale;

Ei bine, este timpul să ne cunoaștem puțin:
– mulți elevi în rândul 1

… Mă bucur să vă văd fețele serioase și concentrate =)

Se setează și sunt final(constând dintr-un număr finit de elemente), iar o mulțime este un exemplu fără sfârşit seturi. În plus, în teorie și practică, așa-numitul set gol:

este o mulțime care nu conține niciun element.

Exemplul vă este bine cunoscut - setul din examen este adesea gol =)

Apartenența unui element într-o mulțime este indicată de simbolul , de exemplu:

- litera „fi” aparține setului de litere ale alfabetului rus;
- litera „beta” nu aparține setului de litere ale alfabetului rus;
– numărul 5 aparține mulțimii numerelor naturale;
- dar cifra 5,5 nu mai este acolo;
- Voldemar nu stă în primul rând (și cu atât mai mult, nu aparține setului sau =)).

În abstract și nu atât de algebră, elementele unei mulțimi sunt notate cu litere mici latine și, în consecință, faptul de apartenență este întocmit în următorul stil:

– elementul aparține mulțimii .

Seturile de mai sus sunt scrise transfer direct elemente, dar aceasta nu este singura cale. Multe seturi sunt definite convenabil folosind unele semn (e), care este inerent la toate elementele sale. De exemplu:

este mulțimea tuturor numerelor naturale mai mici de 100.

Tine minte: un băţ vertical lung exprimă turnover-ul verbal „care”, „astfel încât”. Destul de des, se folosește în schimb două puncte: - să citim intrarea mai formal: „mulțimea elementelor aparținând mulțimii numerelor naturale, astfel încât » . Bine făcut!

Acest set poate fi scris și prin enumerare directă:

Mai multe exemple:
- și dacă sunt destul de mulți studenți în primul rând, atunci o astfel de înregistrare este mult mai convenabilă decât listarea lor directă.

este mulţimea numerelor aparţinând intervalului . Rețineți că aceasta se referă la set valabil numerele (despre ei mai târziu), care nu mai pot fi listate separate prin virgule.

Trebuie remarcat faptul că elementele unei mulțimi nu trebuie să fie „omogene” sau legate logic. Luați o geantă mare și începeți să o îndesați aleatoriu în ea. diverse articole. Nu există o regularitate în asta, dar, cu toate acestea, vorbim despre o varietate de subiecte. Figurat vorbind, un set este un „pachet” separat în care un anumit set de obiecte s-a dovedit a fi „prin voința sorții”.

Subseturi

Aproape totul este clar din numele în sine: setul este subset set dacă fiecare element al mulțimii aparține mulțimii . Cu alte cuvinte, o mulțime este conținută într-o mulțime:

O icoană se numește icoană includere.

Să revenim la exemplul în care se află setul de litere ale alfabetului rus. Notează prin - mulțimea vocalelor sale. Apoi:

De asemenea, este posibil să se evidențieze un subset de litere consoane și, în general, un subset arbitrar constând din orice număr de litere chirilice luate aleatoriu (sau non-aleatoriu). În special, orice literă chirilică este un subset al setului .

Relațiile dintre submulțimi sunt descrise convenabil folosind condițional schema geometrica, Care e numit Cercuri Euler.

Să fie un set de studenți în primul rând, să fie un set de studenți de grup și să fie un set de studenți. Atunci relația incluziunilor poate fi reprezentată după cum urmează:

Setul de studenți ai unei alte universități ar trebui să fie reprezentat ca un cerc care nu intersectează cercul exterior; multitudinea de studenți ai țării într-un cerc care conține ambele aceste cercuri și așa mai departe.

Exemplu tipic observăm incluziuni atunci când considerăm mulţimi numerice. Să repetăm materialul școlar, care este important de reținut atunci când studiem matematica superioară:

Seturi numerice

După cum știți, din punct de vedere istoric, au apărut primele numere naturale, concepute pentru a număra obiectele materiale (oameni, găini, oi, monede etc.). Acest set a fost deja întâlnit în articol, singurul lucru este că acum îi modificăm ușor denumirea. Faptul este că seturile numerice sunt de obicei notate cu litere aldine, stilizate sau îngroșate. Prefer să folosesc bold:

Uneori, zero este inclus în mulțimea numerelor naturale.

Dacă adunăm aceleași numere cu semnul opus și zero la mulțime, obținem mulţime de numere întregi:

Raționalizatorii și leneșii își notează elementele cu icoane "plus minus":))

Este destul de clar că mulțimea numerelor naturale este o submulțime a mulțimii numerelor întregi:
- deoarece fiecare element al multimii apartine multimii . Astfel, orice număr natural poate fi numit în siguranță număr întreg.

Numele setului este, de asemenea, „vorbind”: numere întregi - aceasta înseamnă că nu există fracții.

Și, de îndată ce sunt numere întregi, ne amintim imediat semnele importante ale divizibilității lor cu 2, 3, 4, 5 și 10, care vor fi necesare în calculele practice aproape în fiecare zi:

Un număr întreg este divizibil cu 2 fără rest dacă se termină cu 0, 2, 4, 6 sau 8 (adică orice cifră pară). De exemplu, numere:
400, -1502, -24, 66996, 818 - împărțit la 2 fără rest.

Și să analizăm imediat semnul „înrudit”: întregul este divizibil cu 4 dacă numărul format din ultimele sale două cifre (in ordinea lor) este divizibil cu 4.

400 este divizibil cu 4 (pentru că 00 (zero) este divizibil cu 4);
-1502 - nu este divizibil cu 4 (pentru că 02 (doi) nu este divizibil cu 4);
-24, desigur, este divizibil cu 4;
66996 - divizibil cu 4 (pentru că 96 este divizibil cu 4);
818 - nu este divizibil cu 4 (deoarece 18 nu este divizibil cu 4).

Faceți-vă propria justificare simplă pentru acest fapt.

Divizibilitatea cu 3 este puțin mai dificilă: un număr întreg este divizibil cu 3 fără rest dacă suma cifrelor sale este divizibil cu 3.

Să verificăm dacă numărul 27901 este divizibil cu 3. Pentru a face acest lucru, însumăm numerele sale:
2 + 7 + 9 + 0 + 1 = 19 - nu este divizibil cu 3
Concluzie: 27901 nu este divizibil cu 3.

Să însumăm cifrele numărului -825432:
8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 = 24 - divizibil cu 3
Concluzie: numărul -825432 este divizibil cu 3

Numărul întreg este divizibil cu 5, dacă se termină cu cinci sau cu zero:
775, -2390 - divizibil cu 5

Numărul întreg este divizibil cu 10 dacă se termină cu zero:
798400 - divizibil cu 10 (si evident la 100). Ei bine, probabil că toată lumea își amintește - pentru a împărți la 10, trebuie doar să eliminați un zero: 79840

Există, de asemenea, semne de divizibilitate cu 6, 8, 9, 11 etc., dar practic nu există niciun sens practic din ele =)

Trebuie remarcat faptul că criteriile enumerate (aparent atât de simple) sunt riguros dovedite în teoria numerelor. Această secțiune a algebrei este în general destul de interesantă, totuși, teoremele ei ... doar o execuție chineză modernă =) Și Voldemar la ultimul birou a fost suficient ... dar asta e în regulă, în curând ne vom ocupa de dătătoare de viață exercițiu =)

Următorul set de numere este Multe numere rationale :
- adică orice număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție cu un număr întreg numărător si naturala numitor.

În mod evident, mulțimea numerelor întregi este subset seturi de numere raționale:

Într-adevăr, orice număr întreg poate fi reprezentat ca fracție rațională, de exemplu: etc. Astfel, un număr întreg poate fi numit în mod destul de legitim număr rațional.

Un semn „identificator” caracteristic al unui număr rațional este faptul că, la împărțirea numărătorului la numitor, se obține fie
este un număr întreg,

sau
– final zecimal,

sau
- fără sfârșit periodic zecimal (reluarea poate să nu înceapă imediat).

Admirați diviziunea și încercați să efectuați această acțiune cât mai puțin posibil! În articolul organizatoric Matematică superioară pentru manechini iar în alte lecții am repetat în mod repetat, repetat și voi repeta această mantră:

ÎN matematica superioara ne străduim să efectuăm toate acțiunile în fracții obișnuite (corecte și improprii).

De acord că a face față unei fracții este mult mai convenabil decât cu numar decimal 0,375 (ca să nu mai vorbim de fracții infinite).

Să mergem mai departe. Pe lângă cele raționale, sunt multe numere irationale, dintre care fiecare poate fi reprezentat ca un infinit neperiodică fracție zecimală. Cu alte cuvinte, nu există o regularitate în „cozile infinite” ale numerelor iraționale:
("Anul nașterii lui Lev Tolstoi" de două ori)
etc.

Există o mulțime de informații despre celebrele constante „pi” și „e”, așa că nu mă opresc asupra lor.

Unirea numerelor raționale și iraționale forme set de numere reale (reale).:

- icoană asociațiile seturi.

Interpretarea geometrică a mulțimii vă este familiară - este o linie numerică:

Fiecare număr real corespunde unui anumit punct al dreptei numerice și invers - fiecare punct al dreptei numerice corespunde în mod necesar unui număr real. În esență, acum am formulat proprietate de continuitate numere reale, care, deși pare evident, este riguros dovedit în cursul analizei matematice.

Linia numerică se notează și cu un interval infinit, iar notația sau notația echivalentă simbolizează faptul că aparține mulțimii numerelor reale (sau pur și simplu "x" - un număr real).

Cu înglobări, totul este transparent: mulțimea numerelor raționale este subset seturi de numere reale:
, astfel, orice număr rațional poate fi numit în siguranță număr real.

Mulțimea numerelor iraționale este de asemenea subset numere reale:

În același timp, submulțile și nu se intersectează- adică niciun număr irațional nu poate fi reprezentat ca o fracție rațională.

Există și alte sisteme de numere? Exista! Aceasta, de exemplu, numere complexe, cu care vă recomand să citiți la propriu în următoarele zile sau chiar ore.

Între timp, ne întoarcem la studiul operațiilor de set, al căror spirit s-a materializat deja la sfârșitul acestei secțiuni:

Acțiuni pe platouri. Diagramele Venn

Diagramele Venn (asemănătoare cu cercurile Euler) sunt o reprezentare schematică a acțiunilor cu mulțimi. Din nou, vă avertizez că nu voi acoperi toate operațiunile:

1) intersecție ȘI si este marcat cu

Intersecția mulțimilor se numește mulțime, căreia îi aparține fiecare element Și a stabilit , Și a stabilit . În linii mari, o intersecție este o parte comună a mulțimilor:

Deci, de exemplu, pentru seturi:

Dacă mulțimile nu au elemente identice, atunci intersecția lor este goală. Tocmai am dat peste un astfel de exemplu când luăm în considerare seturile numerice:

Mulțimile numerelor raționale și iraționale pot fi reprezentate schematic prin două cercuri care nu se suprapun.

Operațiunea de intersecție este de asemenea aplicabilă Mai mult seturi, în special, Wikipedia are un bun un exemplu de intersecție a unor seturi de litere din trei alfabete.

2) Uniune multimi se caracterizeaza printr-o legatura logica SAU si este marcat cu

O uniune de mulțimi este o mulțime, fiecare element aparținând mulțimii sau a stabilit :

Să scriem uniunea mulțimilor:
- aproximativ vorbind, aici trebuie să enumerați toate elementele mulțimilor și , și aceleași elemente (în acest caz, unitatea de la intersecția mulțimilor) trebuie specificat o dată.

Dar mulțimile, desigur, s-ar putea să nu se intersecteze, așa cum este cazul numerelor raționale și iraționale:

În acest caz, puteți desena două cercuri umbrite care nu se intersectează.

Operația de unire este aplicabilă pentru mai multe seturi, de exemplu, dacă , atunci:

Numerele nu trebuie să fie în ordine crescătoare. (Am făcut asta doar din motive estetice). Fără alte prelungiri, rezultatul poate fi scris astfel:

3) diferență Și nu aparține setului:

Diferența se citește după cum urmează: „a fără să fie”. Și puteți argumenta exact în același mod: luați în considerare seturile. Pentru a nota diferența, trebuie să „arunci” toate elementele care se află în set din set:

Exemplu cu seturi numerice:
- aici toate numerele naturale sunt excluse din mulțimea numerelor întregi, iar notația în sine se citește astfel: „mulțimea numerelor întregi fără mulțimea naturalelor”.

Oglindă: diferență multimi si apeleaza multimea, fiecare element apartinand multimii Și nu aparține setului:

Pentru aceleasi seturi
- din setul „aruncat afară” ce este în platou.

Dar această diferență se dovedește a fi goală: . Și de fapt - dacă numerele întregi sunt excluse din mulțimea numerelor naturale, atunci, de fapt, nimic nu va rămâne :)

În plus, luați în considerare uneori simetric diferența care combină ambele „semilune”:
- cu alte cuvinte, este „totul în afară de intersecția mulțimilor”.

4) Produs cartezian (direct). multimi si se numeste multime toate ordonat perechi în care elementul și elementul

Scriem produsul cartezian al multimilor:
- este convenabil să enumerăm perechile după următorul algoritm: „în primul rând, atașăm succesiv fiecare element al mulțimii la primul element al mulțimii, apoi atașăm fiecare element al mulțimii celui de-al doilea element al mulțimii, apoi atașați fiecare element al setului la al 3-lea element al setului»:

Oglindă: produs cartezian multimi si se numeste multimea tuturor ordonat perechi în care . În exemplul nostru:
- aici schema de înregistrare este similară: mai întâi, atașăm secvențial toate elementele setului la „minus unu”, apoi la „de” - aceleași elemente:

Dar acest lucru este doar pentru comoditate - în ambele cazuri, perechile pot fi listate în orice ordine - este important să scrieți aici toate posibile cupluri.

Și acum punctul culminant al programului: produsul cartezian nu este altceva decât un set de puncte în nativul nostru Sistemul de coordonate carteziene .

Sarcina pentru material cu auto-fixare:

Efectuați operațiuni dacă:

Multe este convenabil să o descriem prin enumerarea elementelor sale.

Și un moft cu intervale de numere reale:

Amintiți-vă că paranteza pătrată înseamnă includere numerele în interval și rotunjiți-l excludere, adică „minus unu” aparține setului, iar „trei” nu aparține setului. Încercați să vă dați seama care este produsul cartezian al acestor mulțimi. Dacă aveți dificultăți, urmați desenul ;)

Soluție rapidă sarcinile de la sfârșitul lecției.

Setați afișajul

Afişa set to set is regulă, conform căreia fiecare element al mulțimii este asociat cu un element (sau elemente) din mulțime . În cazul în care se potrivește singurul element, această regulă se numește clar definit funcție sau doar funcţie.

Funcția, după cum mulți oameni știu, este cel mai adesea denotată printr-o literă - se asociază Pentru fiecare elementul este singura valoare care aparține mulțimii .

Ei bine, acum voi deranja din nou o mulțime de studenți din primul rând și le voi oferi 6 subiecte pentru rezumate (set):

Instalat (voluntar sau involuntar =)) regula asociază fiecare elev al mulţimii cu o singură temă a rezumatului setului.

… și probabil că nici nu ți-ai putea imagina că ai juca rolul unui argument de funcție =) =)

Elementele setului formează domeniu funcții (notate cu ), și elementele mulțimii - gamă funcții (notate cu ).

Maparea construită a mulțimilor are o caracteristică foarte importantă: este unu la unu sau bijectiv(bijectie). ÎN acest exempluînseamnă că Pentru fiecare elevul este aliniat unul unic subiectul eseului și invers - pentru fiecare un singur elev este fixat de tema rezumatului.

Cu toate acestea, nu ar trebui să credem că fiecare mapare este bijectivă. Dacă al 7-lea elev este adăugat la primul rând (la set), atunci corespondența unu-la-unu va dispărea - sau unul dintre elevi va rămâne fără subiect (fără afișare), sau un subiect va ajunge la doi studenți simultan. Situația inversă: dacă un al șaptelea subiect este adăugat la set, atunci maparea unu-la-unu va fi și ea pierdută - unul dintre subiecte va rămâne nerevendicat.

Dragi studenți, pe primul rând, nu vă supărați - restul de 20 de persoane după oră vor merge să curețe teritoriul universității de frunzișul de toamnă. Managerul de aprovizionare va da douăzeci de golik, după care se va stabili o corespondență unu-la-unu între partea principală a grupului și mături ..., iar Voldemar va avea și el timp să fugă la magazin =)). unic„y” și invers - pentru orice valoare a lui „y” putem restabili fără ambiguitate „x”. Astfel, este o funcție bijectivă.

! Pentru orice eventualitate, elimin o posibilă neînțelegere: rezerva mea constantă cu privire la domeniul de aplicare nu este întâmplătoare! Funcția poate să nu fie definită pentru toți „x” și, în plus, poate fi unul la unu și în acest caz. Exemplu tipic:

Dar la funcţie pătratică nu se observă nimic de genul acesta, în primul rând:
- adică, diverse sensuri„x” a apărut în la felînsemnând „y”; și în al doilea rând: dacă cineva a calculat valoarea funcției și ne-a spus că , atunci nu este clar - acest „y” a fost obținut la sau la ? Inutil să spun că aici nu există nici măcar un miros de neambiguitate reciprocă.

Sarcina 2: vedere grafice ale funcţiilor elementare de bazăși scrieți funcțiile bijective pe o foaie de hârtie. Lista de verificare la sfârșitul acestei lecții.

Setați puterea

Intuiția sugerează că termenul caracterizează dimensiunea mulțimii, și anume numărul elementelor sale. Și intuiția nu ne înșală!

Cardinalitatea mulțimii goale este zero.

Cardinalitatea setului este de șase.

Puterea setului de litere ale alfabetului rus este de treizeci și trei.

În general, puterea oricărui final multimea este egala cu numarul de elemente ale acestei multimi.

... poate că nu toată lumea înțelege pe deplin ce este final set - dacă începeți să numărați elementele acestui set, atunci mai devreme sau mai târziu numărătoarea se va termina. Ce se numește, și chinezii vor rămâne într-o zi.

Desigur, mulțimile pot fi comparate în cardinalitate, iar egalitatea lor în acest sens se numește putere egală. Echivalența este definită după cum urmează:

Două seturi sunt echivalente dacă se poate stabili o corespondență unu-la-unu între ele..

Setul de elevi este echivalent cu setul de subiecte abstracte, setul de litere ale alfabetului rus este echivalent cu orice set de 33 de elemente etc. Observați exact ce oricine un set de 33 de elemente - în acest caz contează doar numărul lor. Literele alfabetului rus pot fi comparate nu numai cu multe numere
1, 2, 3, ..., 32, 33, dar și în general cu un efectiv de 33 de vaci.

Lucrurile sunt mult mai interesante cu seturi infinite. Infiniturile sunt și ele diferite! ...verde și roșu Cele mai „mici” seturi infinite sunt socoteală seturi. Dacă este destul de simplu, elementele unui astfel de set pot fi numerotate. Exemplul de referință este mulțimea numerelor naturale . Da - este infinit, dar fiecare dintre elementele sale din PRINCIPIUL are un număr.

Există o mulțime de exemple. În special, mulțimea tuturor numerelor naturale pare este numărabilă. Cum să demonstrezi? Este necesar să se stabilească corespondența sa unu-la-unu cu mulțimea numerelor naturale sau pur și simplu numerotarea elementelor:

Se stabilește o corespondență unu-la-unu, prin urmare, seturile sunt echivalente și setul este numărabil. Este paradoxal, dar din punct de vedere al puterii – sunt tot atâtea numere naturale pare cât și naturale!

Mulțimea numerelor întregi este de asemenea numărabilă. Elementele sale pot fi numerotate, de exemplu, astfel:

Mai mult decât atât, mulțimea numerelor raționale este de asemenea numărabilă. . Deoarece numărătorul este un număr întreg (și, așa cum tocmai am arătat, pot fi numerotate), iar numitorul este un număr natural, apoi mai devreme sau mai târziu vom „ajunge” la orice fracție rațională și îi vom atribui un număr.

Dar setul de numere reale este deja nenumărat, adică elementele sale nu pot fi numerotate. Acest lucru deși evident, este riguros dovedit în teoria mulțimilor. Cardinalitatea mulțimii numerelor reale se mai numește continuum, iar în comparație cu seturile numărabile, acesta este un set „mai infinit”.

Întrucât există o corespondență unu-la-unu între mulțime și linia numerică (Vezi deasupra), atunci și mulțimea de puncte a dreptei reale este de asemenea nenumărat. Și mai mult, există același număr de puncte pe un kilometru și un segment milimetric! Exemplu clasic:

Prin rotirea fasciculului în sens invers acelor de ceasornic până când coincide cu fasciculul, vom stabili o corespondență unu-la-unu între punctele segmentelor albastre. Astfel, există atâtea puncte pe segment câte sunt pe segment și !

Acest paradox, aparent, este legat de misterul infinitului... dar acum nu ne vom deranja cu problemele universului, pentru că următorul pas este

Sarcina 2 Funcții unu-la-unu în ilustrațiile lecției

Obiectivele lecției:

educațional: formarea deprinderilor de identificare a mulțimilor, submulților; formarea abilităților de a găsi zona de intersecție și unire a mulțimilor în imagini și de a numi elementele din această zonă, de a rezolva probleme;
în curs de dezvoltare: dezvoltare interes cognitiv elevi; dezvoltarea sferei intelectuale a individului, dezvoltarea abilităților de comparare și generalizare.
educațional: să cultive acuratețea și atenția în luarea deciziilor.

În timpul orelor.

1. Moment organizatoric.

2. Profesorul raportează tema lecției, împreună cu elevii formulează scopuri și obiective.

3. Profesorul, împreună cu elevii, reamintește materialul studiat la tema „Seturi” în clasa a VII-a, introduce concepte și definiții noi, formule de rezolvare a problemelor.

„Mulți sunt mulți, gândiți de noi ca unul” (fondatorul teoriei multimilor - Georg Cantor). KANTOR (Cantor) Georg (1845-1918) - matematician, logician, teolog german, creator al teoriei mulțimilor transfinite (infinite), care a avut o influență decisivă asupra dezvoltării științelor matematice la începutul secolelor XIX și XX.

Un set este unul dintre conceptele de bază ale matematicii moderne, folosit în aproape toate secțiunile sale.

Din păcate, conceptului de bază al teoriei - conceptul de mulțime - nu i se poate da o definiție riguroasă. Desigur, se poate spune că un set este o „colecție”, „colecție”, „ansamblu”, „colecție”, „familie”, „sistem”, „clasă”, etc., totuși, toate acestea nu ar fi un definiție matematică, ci mai degrabă abuzul de vocabular al limbii ruse.

Pentru a defini orice concept, este necesar, în primul rând, să se indice, ca caz particular din care mai multe concept general, este, este imposibil să se facă acest lucru pentru conceptul de mulțime, deoarece nu există un concept mai general decât o mulțime în matematică.

De multe ori trebuie să vorbești despre mai multe lucruri, unite printr-un semn. Deci, putem vorbi despre setul tuturor scaunelor din cameră, despre setul tuturor celulelor corpul uman, setul tuturor cartofilor dintr-o pungă dată, setul tuturor peștilor din ocean, setul tuturor pătratelor dintr-un plan, setul tuturor punctelor dintr-un cerc dat etc.

Obiectele care alcătuiesc o mulțime dată se numesc elemente ale acesteia.

De exemplu, setul de zile ale săptămânii este format din elementele: luni, marți, miercuri, joi, vineri, sâmbătă, duminică.

Multe luni - din elemente: ianuarie, februarie, martie, aprilie, mai, iunie, iulie, august, septembrie, octombrie, noiembrie, decembrie.

Multe operatii aritmetice- din elemente: adunare, scădere, înmulțire, împărțire.

De exemplu, dacă A înseamnă mulțimea tuturor numerelor naturale, atunci 6 aparține lui A, dar 3 nu aparține lui A.

Dacă A este setul tuturor lunilor dintr-un an, atunci mai aparține lui A, dar miercuri nu aparține lui A.

Dacă o mulțime conține un număr finit de elemente, atunci se numește finit, iar dacă are un număr infinit de elemente, atunci se numește infinit. Deci setul de copaci din pădure este finit, dar setul de puncte de pe cerc este infinit.

Paradox în logică- aceasta este o contradicție care are statutul de concluzie logic corectă și, în același timp, este un raționament care duce la concluzii care se exclud reciproc.

După cum am menționat deja, conceptul de mulțime este în centrul matematicii. Folosind cele mai simple mulțimi și diverse construcții matematice, se poate construi aproape orice obiect matematic. Ideea de a construi întreaga matematică pe baza teoriei mulțimilor a fost promovată activ de G. Kantor. Cu toate acestea, cu toată simplitatea sa, conceptul de set este plin de pericolul contradicțiilor sau, după cum se spune, al paradoxurilor. Apariția paradoxurilor se datorează faptului că nu toate construcțiile și nu toate seturile pot fi luate în considerare.

Cel mai simplu dintre paradoxuri este " paradoxul frizerului".

Un soldat a primit ordin să-i radă pe aceia și numai pe acei soldați din plutonul său care nu s-au bărbierit. Nerespectarea unui ordin din armată, după cum știți, este cea mai gravă crimă. Cu toate acestea, a apărut întrebarea dacă acest soldat ar trebui să se radă. Dacă se rade, atunci el ar trebui să fie atribuit multor soldați care se bărbieresc și nu are dreptul să se radă astfel. Dacă nu se rade, atunci va cădea în mulți soldați care nu se rad singuri și, conform ordinului, este obligat să radă astfel de soldați. Paradox.

Pe mulțimi, precum și pe multe alte obiecte matematice, puteți efectua diverse operații, care sunt uneori numite operații teoretice sau operații multime. Ca rezultat al operațiunilor, se obțin seturi noi din seturile originale. Seturile sunt notate cu litere mari latine, iar elementele lor prin litere mici. Înregistrare A Rînseamnă că elementul dar aparține setului R, adică dar R. Altfel, când dar nu aparține setului R, scrie A R .

Doua seturi DARȘi ÎN numit egal (DAR =ÎN) dacă sunt formate din aceleași elemente, adică fiecare element al mulțimii DAR este un element al ansamblului ÎNși invers, fiecare element al setului ÎN este un element al ansamblului DAR .

Setați comparația.

Mulțimea A este conținută în mulțimea B (mulțimea B include mulțimea A) dacă fiecare element al lui A este un element al lui B:

Ei spun că mulți DAR cuprinse în multe ÎN sau set DAR este o subset seturi ÎN(în acest caz scrieți DAR ÎN) dacă fiecare element al mulţimii DAR este, de asemenea, un element al setului ÎN. Această relație între mulțimi se numește includere . Pentru orice set DAR sunt incluziuni: Ø DARȘi DAR DAR

În acest caz A numit subset B, B - superset A. Dacă , atunci A numit propriul subset ÎN. observa asta ,

Prin definitie ,

Cele două seturi sunt numite egal dacă sunt subseturi unul de altul

Operații pe platouri

intersecție.

Uniune.

Proprietăți.

1. Operația de unire a mulțimilor este comutativă

2. Operația de unire a mulțimilor este tranzitivă

3. Mulțimea goală X este un element neutru al operației de unire a mulțimilor

1. Fie A = (1,2,3,4),B = (3,4,5,6,7). Apoi

2. A \u003d (2,4,6,8,10), B \u003d (3,6,9,12). Să găsim uniunea și intersecția acestor mulțimi:

{2,4,6,8, 10,3,6,9,12}, = {6}.

3. Setul de copii este un subset al populației totale

4. Intersecția mulțimii numerelor întregi cu mulțimea numerelor pozitive este mulțimea numerelor naturale.

5. Unirea mulțimii numerelor raționale cu mulțimea numerelor iraționale este mulțimea numerelor pozitive.

6. Zero este complementul mulțimii numerelor naturale față de mulțimea numerelor întregi nenegative.

Diagramele Venn(Diagramele Venn) - denumirea comună o serie de metode de vizualizare și metode de ilustrare grafică, utilizate pe scară largă în diverse domenii ale științei și matematicii: teoria mulțimilor, de fapt "diagrama Venn" arata tot posibilă relațieîntre seturi sau evenimente de la o familie; soiuri diagrame Venn sunt: diagramele Euler,

Diagrama Venn a patru seturi.

De fapt "diagrama Venn" arată toate relațiile posibile între decoruri sau evenimente dintr-o familie. Diagrama Venn obișnuită are trei seturi. Venn însuși a încercat să găsească mod grațios cu forme simetrice reprezentând pe diagramă Mai mult seturi, dar el a putut face acest lucru doar pentru patru seturi (vezi figura din dreapta) folosind elipse.

Diagramele Euler

Diagramele Euler sunt similare cu diagramele Venn Diagramele Euler pot fi folosite pentru a evalua probabilitatea identităților teoretice de mulțimi.

Sarcina 1.În clasă sunt 30 de persoane, fiecare cântă sau dansează. Se știe că 17 oameni cântă, iar 19 oameni știu să danseze. Câți oameni cântă și dansează în același timp?

Soluţie:În primul rând, observăm că din 30 de persoane, 30 - 17 = 13 persoane nu pot cânta.

Toți știu să danseze, pentru că dupa conditie, fiecare elev al clasei canta sau danseaza. În total, 19 persoane pot dansa, 13 dintre ei nu pot cânta, ceea ce înseamnă că 19-13 = 6 persoane pot dansa și cânta în același timp.

Probleme privind intersecția și unirea mulțimilor.

Sunt date seturile A = (3,5, 0, 11, 12, 19), B = (2,4, 8, 12, 18,0).
Găsiți mulțimile AU B,
Alcătuiește cel puțin șapte cuvinte ale căror litere formează subseturi ale mulțimii
A - (k, a, p, y, s, e, l, b).
Fie A mulțimea numerelor naturale divizibile cu 2 și B mulțimea numerelor naturale divizibile cu 4. Ce concluzie se poate trage despre aceste mulțimi?
Compania are 67 de angajați. Dintre aceștia, 47 știu limba engleza, 35 sunt germane și 23 sunt ambele limbi. Câte persoane din companie nu vorbesc engleza sau limba germana?
Din cei 40 de elevi din clasa noastră, la 32 le place laptele, la 21 le place limonada și la 15 le place atât laptele, cât și limonada. Câți copii din clasa noastră nu le place laptele sau limonada?
12 dintre colegii mei de clasă le place să citească povești polițiste, 18 le place să citească science fiction, trei dintre ei citesc amândoi cu plăcere, iar unul nu citește absolut nimic. Câți elevi sunt în clasa noastră?
Dintre acei 18 colegi de clasă cărora le place să se uite la thrillere, doar 12 nu sunt contrarii să se uite la desene animate. Câți dintre colegii mei urmăresc doar „desene animate” dacă în clasa noastră sunt 25 de elevi, fiecăruia cărora le place să se uite fie la thrillere, fie la desene animate, sau ambele?
Din cei 29 de băieți din curtea noastră, doar doi nu merg la sport, iar restul frecventează secțiile de fotbal sau tenis, sau chiar ambele. Sunt 17 băieți care joacă fotbal și 19 joacă tenis. Câți fotbaliști joacă tenis? Câți jucători de tenis joacă fotbal?
65% dintre iepurii bunicii iubesc morcovii, 10% iubesc atât morcovii, cât și varza. Câte procente dintre iepuri nu sunt contrarii să mănânce varză?
Sunt 25 de elevi într-o clasă. Dintre acestea, 7 iubesc perele, 11 iubesc cireșele. Două ca perele și cireșele; 6 - pere și mere; 5 - mere și cireșe. Dar sunt doi elevi în clasă cărora le place totul și patru cărora nu le plac fructele deloc. Câți elevi din această clasă le plac merele?
La concursul de frumusețe au participat 22 de fete. Dintre aceștia, 10 erau frumoși, 12 deștepți și 9 amabili. Doar 2 fete erau și frumoase și deștepte; 6 fete au fost inteligente și amabile în același timp. Stabiliți câte fete frumoase și în același timp amabile au fost, dacă vă spun că printre participanți nu a existat nici măcar o singură deșteaptă, bună și în același timp fată frumoasă?
Sunt 35 de elevi în clasa noastră. Pentru primul trimestru din cei cinci în limba rusă, 14 elevi au avut; la matematică - 12; la istorie - 23, la rusă și matematică - 4; la matematică și istorie - 9; la limba și istorie rusă - 5. Câți elevi au cinci la toate cele trei materii, dacă nu există un singur elev în clasă care să nu aibă cinci la cel puțin una dintre aceste materii?
Din 100 de persoane, 85 vorbesc engleza, 80 vorbesc spaniola, iar 75 vorbesc germana. Toți vorbesc cel puțin o limbă străină. Printre ei nu sunt cei care cunosc două limbi străine, ci sunt cei care vorbesc trei limbi. Câți dintre acești 100 de oameni știu trei limbi?
Dintre angajații companiei, 16 au vizitat Franța, 10 - Italia, 6 - Anglia; în Anglia și Italia - 5; în Anglia și Franța - 6; în toate cele trei țări - 5 angajați. Câte persoane au vizitat atât Italia, cât și Franța, dacă sunt 19 persoane în companie și fiecare dintre ei a vizitat cel puțin una dintre aceste țări?