Subiectul lecției: Operații aritmetice în sisteme numerice poziționale.

Clasa a 9-a

Obiectivele lecției:

Didactic: introduceți elevii în adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea în sistemul binar și efectuați o practică primară a abilității de a efectua aceste acțiuni.

Educational: să dezvolte interesul elevilor pentru a învăța lucruri noi, să arate posibilitatea unei abordări non-standard a calculelor.

În curs de dezvoltare: dezvoltă atenția, rigoarea gândirii, capacitatea de a raționa.

Structura lecției.

Orgmoment -1 minut.

Verificarea temelor cu un test oral -15 minute.

Teme pentru acasă -2 minute.

Rezolvarea problemelor cu analiza simultană și dezvoltarea independentă a materialului -25 min.

Rezumând lecția -2 minute.

ÎN CURILE CURĂRILOR

Moment organizatoric.

Verificarea temelor (test oral) .

Profesorul citește întrebările în ordine. Elevii ascultă cu atenție întrebarea fără să o noteze. Doar răspunsul este înregistrat, și foarte pe scurt. (Dacă este posibil să răspundeți cu un singur cuvânt, atunci este înregistrat doar acest cuvânt).

Ce este un sistem numeric? (-acesta este un sistem de semne în care numerele sunt scrise după anumite reguli folosind caracterele unui alfabet numit numere )

Ce sisteme numerice cunoașteți?( non-pozițional și pozițional )

Ce sistem se numește nonpozițional? (SCH se numește nepozițional dacă echivalentul cantitativ (valoarea cantitativă) al unei cifre dintr-un număr nu depinde de poziția sa în notația numărului ).

Care este baza SSC pozițional. (egal cu numărul de cifre care alcătuiesc alfabetul său )

Ce operație matematică ar trebui folosită pentru a converti un întreg dintr-un NSC zecimal în oricare altul? (Divizia )

Ce trebuie făcut pentru a converti un număr din zecimal în binar? (Împărțiți în mod constant la 2 )

De câte ori va scădea numărul 11,1 2 când mutați virgula cu un caracter la stânga? (de 2 ori )

Acum să ascultăm un vers despre o fată extraordinară și să răspundem la întrebări. (Sună ca un vers )

FATA EXTRAORDINARĂ

Avea o mie și o sută de ani
A mers la clasa o sută întâi,
Aveam o sută de cărți în portofoliu.
Toate acestea sunt adevărate, nu prostii.

Când, făcând praf cu o duzină de picioare,
Ea a mers de-a lungul drumului.
Ea a fost mereu urmată de un cățeluș
Cu o coadă, dar cu o sută de picioare.

Ea a captat fiecare sunet
Cu zece urechi
Și zece mâini bronzate
Țineau o servietă și o lesă.

Și zece ochi albaștri închis
Considerată lumea în mod obișnuit,
Dar totul va deveni destul de normal,
Când înțelegi povestea mea.

/ N. Starikov /

Și câți ani avea fata? (în vârstă de 12 ani ) La ce clasă a mers? (clasa a 5-a ) Câte braţe şi picioare avea? (2 brate, 2 picioare ) Cum are un cățel 100 de picioare? (4 labe )

După finalizarea testului, răspunsurile sunt pronunțate cu voce tare de către elevii înșiși, se efectuează un autoexaminare și elevii își acordă note.

Criteriu:

10 răspunsuri corecte (poate un mic defect) - „5”;

9 sau 8 - „4”;

7, 6 – “3”;

restul sunt „2”.

II. Teme pentru acasă (2 minute)

10111 2 - 1011 2 = ? ( 1100 2 )
10111 2 + 1011 2 = ? ( 100010 2 )
10111 2 * 1011 2 = ? ( 11111101 2 ))

III. Lucrul cu material nou

Operații aritmetice în sistemul binar.

Aritmetica sistemului de numere binare se bazează pe utilizarea tabelelor de adunare, scădere și înmulțire a cifrelor. Operanzii aritmetici sunt localizați în rândul de sus și în prima coloană a tabelelor, iar rezultatele sunt la intersecția coloanelor și rândurilor:

0

1

1

1

Plus.

Tabelul de adunare binară este extrem de simplu. Numai într-un caz, când se realizează adăugarea 1 + 1, are loc un transfer la bitul cel mai semnificativ.

1001 + 1010 = 10011

1101 + 1011 = 11000

11111 + 1 = 100000

1010011,111 + 11001,11 = 1101101,101

10111 2 + 1001 2 = ? (100000 2 )

Scădere.

La efectuarea unei operații de scădere, un număr mai mic este întotdeauna scăzut dintr-un număr mai mare în valoare absolută și se pune semnul corespunzător. În tabelul de scădere, un 1 cu o bară înseamnă un împrumut de ordin mare. 10111001,1 – 10001101,1 = 101100,0

101011111 – 110101101 = – 1001110

100000 2 - 10111 2 = ? (1001 2 )

Multiplicare

Operația de înmulțire se efectuează folosind tabelul înmulțirii după schema uzuală folosită în sistemul numeric zecimal cu înmulțirea succesivă a multiplicatorului cu următoarea cifră a multiplicatorului. 11001 * 1101 = 101000101

11001,01 * 11,01 = 1010010,0001

Înmulțirea se reduce la deplasări ale multiplicandului și adunări.

111 2 * 11 2 = ? (10101 2 )

V. Rezumând lecția

Card pentru munca suplimentară a studenților.

Efectuați operații aritmetice:

A) 1110 2 + 1001 2 = ? (10111 2 ); 1101 2 + 110 2 = ? (10011 2 );

10101 2 + 1101 2 = ? (100010 2 ); 1011 2 + 101 2 = ? (10000 2 );

101 2 + 11 2 = ? (1000 2 ); 1101 2 + 111 2 = ? (10100 2 );

B) 1110 2 - 1001 2 = ? (101); 10011 2 - 101 2 = ? (1110 2 );

Plus. Adunarea numerelor în sistemul de numere binar se bazează pe tabelul de adăugare a numerelor binare cu o singură cifră (Tabelul 6).

Este important să acordați atenție faptului că, atunci când adăugați două unități, se face un transfer către cea mai mare cifră. Acest lucru se întâmplă atunci când valoarea unui număr devine egală sau mai mare decât baza sistemului numeric.

Adăugarea numerelor binare cu mai multe cifre se realizează în conformitate cu tabelul de adăugare de mai sus, ținând cont de posibilele transferuri de la cifrele inferioare la cifrele superioare. De exemplu, să adăugăm numere binare într-o coloană:

Să verificăm corectitudinea calculelor prin adăugare în sistemul numeric zecimal. Să convertim numerele binare în sistemul numeric zecimal și să le adăugăm:

Scădere. Scăderea numerelor binare se bazează pe tabelul de scădere a numerelor binare cu o singură cifră (Tabelul 7).

Când se scade dintr-un număr mai mic (0) unul mai mare (1), se face un împrumut din ordinul cel mai înalt. În tabel, împrumutul este indicat cu 1 cu bară.

Scăderea numerelor binare cu mai multe cifre este implementată în conformitate cu acest tabel, ținând cont de posibilele împrumuturi în cifre de ordin înalt.

De exemplu, să scădem numere binare:

Multiplicare. Înmulțirea se bazează pe tabelul de înmulțire a numerelor binare cu o singură cifră (Tabelul 8).

Înmulțirea numerelor binare cu mai multe cifre se efectuează în conformitate cu această tabelă de înmulțire conform schemei uzuale utilizate în sistemul numeric zecimal, cu înmulțirea succesivă a multiplicatorului cu următoarea cifră a multiplicatorului. Luați în considerare un exemplu de înmulțire binară

Notă: Când se adună două numere egale cu 1, se obține 0 în această cifră, iar prima este transferată la cea mai semnificativă cifră.

Exemplul_21: sunt date numerele 101 (2) și 11 (2). Aflați suma acestor numere.

unde 101 (2) = 5 (10) , 11 (2) = 3 (10) , 1000 (2) = 8 (10) .

Verificați: 5+3=8.

La scaderea uneia din 0, se ia o unitate din cifra cea mai mare cea mai apropiata, care este diferita de 0. In acelasi timp, o unitate ocupata in cifra cea mai mare da 2 unitati in cifra cea mai putin semnificativa si una in toate cifrele dintre cifra cea mai mare. și cel mai jos.

Exemplul_22: sunt date numerele 101 (2) și 11 (2). Găsiți diferența dintre aceste numere.

unde 101 (2) =5 (10) , 11 (2) =3 (10) , 10 (2) =2 (10) .

Verificați: 5-3=2.

Operația de înmulțire se reduce la schimbare și adunare repetată.

Exemplul_23: Sunt date numerele 11 (2) și 10 (2). Găsiți produsul acestor numere.

unde 11 (2) =3 (10) , 10 (2) =2 (10) , 110 (2) =6 (10) .

Verificați: 3*2=6.

Operații aritmetice în sistemul de numere octale

Când se adună două numere, a căror sumă este egală cu 8, în această categorie se obține 0, iar primul este transferat în ordinea cea mai înaltă.

Exemplul_24: Sunt date numerele 165 (8) și 13 (8). Aflați suma acestor numere.

unde 165 (8) = 117 (10) , 13 (8) = 11 (10) , 200 (8) = 128 (10) .

La scăderea unui număr mai mare dintr-un număr mai mic, se ia o unitate din cifra cea mai mare cea mai apropiată care este diferită de 0. În același timp, o unitate ocupată în cifra cea mai mare dă 8 în cifra cea mai puțin semnificativă.

Exemplul_25: Sunt date numerele 114 (8) și 15 (8). Găsiți diferența dintre aceste numere.

unde 114 (8) =76 (10) , 15 (8) =13 (10) , 77 (8) =63 (10) .

Operații aritmetice în sistem numeric hexazecimal

Când se adună două numere, însumând 16, în această categorie se scrie 0, iar 1 este transferat în ordinea cea mai înaltă.

Exemplul_26: sunt date numerele 1B5 (16) și 53 (16). Aflați suma acestor numere.

unde 1B5 (16) = 437 (10) , 53 (16) = 83 (10) , 208 (16) = 520 (10) .

La scăderea unui număr mai mare dintr-un număr mai mic, se ia o unitate din cifra cea mai mare cea mai apropiată, alta decât 0. În același timp, o unitate ocupată în cifra cea mai mare dă 16 în cifra cea mai puțin semnificativă.

Exemplul_27: sunt date numerele 11A (16) și 2C (16). Găsiți diferența dintre aceste numere.

unde 11A (16) =282 (10) , 2C (16) =44 (10) , EE (16) =238 (10) .

Codificarea datelor computerizate

Datele dintr-un computer sunt reprezentate ca un cod, care constă din unu și zerouri în secvențe diferite.

Codul– un set de simboluri pentru prezentarea informațiilor. Codificarea este procesul de prezentare a informațiilor sub forma unui cod.

Codurile numerice

Atunci când efectuează operații aritmetice într-un computer, ei folosesc direct, invers Și adiţional coduri numerice.

Cod direct

Drept codul (reprezentarea sub forma unei valori absolute cu semn) a unui număr binar este numărul binar însuși, în care toate cifrele care reprezintă valoarea acestuia sunt scrise ca în notație matematică, iar semnul numărului este scris ca un Cifră binară.

Numerele întregi pot fi reprezentate într-un computer cu sau fără semn.

Numerele întregi fără semn ocupă de obicei unul sau doi octeți de memorie. Pentru a stoca numere întregi cu semn, sunt alocați unul, doi sau patru octeți, în timp ce bitul cel mai semnificativ (cel mai din stânga) este alocat sub semnul numărului. Dacă numărul este pozitiv, atunci 0 este scris în acest bit, dacă este negativ, atunci 1.

Exemplul_28:

1 (10) =0 000 0001 (2) , -1 (10) =1 000 0001 (2)

Numerele pozitive din computer sunt întotdeauna reprezentate folosind un cod direct. Codul direct al numărului coincide complet cu introducerea numărului în sine în celula mașinii. Codul direct al unui număr negativ diferă de codul direct al numărului pozitiv corespunzător numai în conținutul bitului de semn.

Codul direct este utilizat la stocarea numerelor în memoria computerului, precum și la efectuarea operațiilor de înmulțire și împărțire, dar formatul de reprezentare a numerelor într-un cod direct este incomod pentru utilizare în calcule, deoarece se efectuează adunarea și scăderea numerelor pozitive și negative. diferit și, prin urmare, este necesar să se analizeze biții de operand de semn. Prin urmare, codul direct nu este practic utilizat la implementarea operațiilor aritmetice pe numere întregi în ALU. Dar numerele întregi negative nu sunt reprezentate în computer cu un cod direct. În locul acestui format, formatele de reprezentare inversă a numerelor și coduri suplimentare au devenit larg răspândite.

Cod invers

Cod invers a unui număr pozitiv coincide cu unul direct, iar la scrierea unui număr negativ, toate cifrele acestuia, cu excepția cifrei care reprezintă semnul numărului, sunt înlocuite cu unele opuse (0 este înlocuit cu 1, iar 1 este înlocuit cu 0 ).

Exemplul_29:

Exemplul_30:

Pentru a restabili codul direct al unui număr negativ din codul invers, toate cifrele, cu excepția cifrei care reprezintă semnul numărului, trebuie înlocuite cu unele opuse.

Cod suplimentar

Cod suplimentar a unui număr pozitiv coincide cu cel direct, iar codul unui număr negativ se formează adunând 1 la codul invers.

Exemplul_31:

Exemplul_32:

Exemplul_33:

Pentru un întreg -32 (10) scrieți un cod suplimentar.

1. După convertirea numărului 32 (10) în sistemul numeric binar, obținem:

32 (10) =100000 (2) .

2. Codul direct pentru numărul pozitiv 32 (10) este 0010 0000.

3. Pentru un număr negativ -32 (10), codul direct este 1010 0000.

4. Codul invers al numărului -32 (10) este 1101 1111.

5. Codul suplimentar al numărului -32 (10) este 1110 0000.

Exemplul_34:

Codul suplimentar al numărului este 0011 1011. Găsiți valoarea numărului în notație zecimală.

1. Prima (semn) cifră a numărului 0 011 1011 este 0, deci numărul este pozitiv.

2. Pentru un număr pozitiv, codurile suplimentare, inverse și directe sunt aceleași.

3. Numărul din sistemul binar se obține din înregistrarea codului direct - 111011 (2) (aruncăm zerourile din cifrele cele mai mari).

4. Numărul 111011 (2) după ce a fost convertit în sistemul numeric zecimal este 59 (10).

Exemplul_35:

Codul suplimentar al numărului este 1011 1011. Găsiți valoarea numărului în notație zecimală.

1. Cifra semnului unui număr 1 011 1011 este 1, deci numărul este negativ.

2. Pentru a determina codul invers al numărului, scădeți unul din codul suplimentar. Codul invers este 1 011 1010.

3. Codul direct se obține din revers prin înlocuirea tuturor cifrelor binare ale numărului cu cele opuse (1 pentru 0, 0 pentru 1). Codul direct al numărului este 1 100 0101 (în bitul semn scriem 1).

4. Numărul din sistemul binar se obține din înregistrarea codului direct - -100 0101 (2).

4. Numărul -1000101 (2) după conversia în zecimală este egal cu -69 (10).

Informații similare.

Acasă \ Documentele \ Pentru profesor de informatică

Când utilizați materiale de pe acest site - iar plasarea bannerului este OBLIGATORIE!!!

Aritmetică binară

Numerele pe care suntem obișnuiți să le folosim se numesc zecimal, iar aritmetica pe care o folosim se numește și zecimală. Acest lucru se datorează faptului că fiecare număr poate fi format dintr-un set de cifre care conține 10 caractere - cifre - „0123456789”.

Matematica s-a dezvoltat în așa fel încât această mulțime a devenit cea principală, dar aritmetica zecimală nu este singura. Dacă luăm doar cinci cifre, atunci pe baza lor putem construi aritmetică de cinci ori, din șapte cifre - de șapte ori. În domeniile de cunoștințe legate de tehnologia computerelor, aritmetica este adesea folosită în care numerele sunt formate din șaisprezece cifre, respectiv, această aritmetică se numește hexazecimal. Pentru a înțelege ce este un număr în aritmetică non-zecimală, mai întâi aflăm ce este un număr în aritmetică zecimală.

Luați, de exemplu, numărul 246. Această intrare înseamnă că există două sute, patru zeci și șase unități în număr. Prin urmare, putem scrie următoarea egalitate:

246 = 200 + 40 + 6 = 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0

Aici, semnele egale separă trei moduri de a scrie același număr. Cea mai interesantă pentru noi acum este a treia formă de scriere: 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0. Este organizat astfel:

Avem trei numere. Cea mai mare cifră „2” are numărul 3. Deci se înmulțește cu 10 la a doua putere. Următoarea cifră „4” are numărul de serie 2 și se înmulțește cu 10 în prima. Se poate observa deja că cifrele sunt înmulțite cu zece până la puterea cu unu mai mică decât numărul ordinal al cifrei. După ce am înțeles cele spuse, putem scrie formula generală pentru reprezentarea unui număr zecimal. Să fie un număr cu N cifre. Vom nota i-a cifră cu un i. Atunci numărul poate fi scris sub următoarea formă: a n a n-1 ….a 2 a 1 . Acesta este primul formular, iar al treilea formular de intrare va arăta astfel:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 10 n-1 + a n-1 * 10 n-2 + …. + a 2 * 10 1 + a 1 * 10 0

unde un i este un caracter din setul „0123456789”

În această intrare, rolul lui zece este foarte clar vizibil. Zece este baza pentru formarea numărului. Și apropo, se numește „baza sistemului de numere”, și sistemul de numere în sine, motiv pentru care se numește „zecimal”. Desigur, numărul zece nu are proprietăți speciale. Putem înlocui cu ușurință zece cu orice alt număr. De exemplu, un număr din sistemul numeric din cinci cifre poate fi scris astfel:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 5 n-1 + a n-1 * 5 n-2 + …. + a 2 * 5 1 + a 1 * 5 0

unde un i este un caracter din setul „01234”

În general, înlocuim 10 cu orice alt număr și obținem un sistem de numere complet diferit și o aritmetică diferită. Cea mai simplă aritmetică se obține dacă 10 este înlocuit cu 2. Sistemul de numere rezultat se numește binar și numărul din acesta este definit după cum urmează:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 2 n-1 + a n-1 * 2 n-2 + …. + a 2 * 2 1 + a 1 * 2 0

unde un i este un caracter din setul „01”

Acest sistem este cel mai simplu dintre toate posibil, deoarece în el orice număr este format doar din două cifre 0 și 1. Este clar că nu există nicăieri mai simplu. Exemple de numere binare: 10, 111, 101.

Întrebare foarte importantă. Poate fi reprezentat un număr binar ca număr zecimal și invers, poate fi reprezentat un număr zecimal ca număr binar?

Binar până la zecimal. E foarte simplu. Metoda unei astfel de traduceri ne oferă modul nostru de a scrie numerele. Luați, de exemplu, următorul număr binar 1011. Să-l extindem în puteri de doi. Obținem următoarele:

1011 = 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0

Efectuăm toate acțiunile înregistrate și obținem:

1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0 = 8 + 0+ 2 + 1 = 11. Astfel, obținem că 1011 (binar) = 11 (zecimal). Puteți observa imediat un mic inconvenient al sistemului binar. Același număr, care, în sistemul zecimal, este scris cu un caracter în sistemul binar, necesită patru caractere pentru înregistrarea sa. Dar acesta este un preț pentru simplitate (nimic nu se întâmplă gratuit). Dar sistemul binar oferă un câștig uriaș în operațiile aritmetice. Și atunci vom vedea.

Exprimați următoarele numere binare ca număr zecimal.

a) 10010 b) 11101 c) 1010 c) 1110 d) 100011 e) 1100111 f) 1001110

Adunarea numerelor binare.

Metoda de adunare printr-o coloană este, în general, aceeași ca și pentru un număr zecimal. Adică, adăugarea se realizează bit cu bit, începând cu cifra cea mai puțin semnificativă. Dacă adăugarea a două cifre are ca rezultat o SUMA mai mare de nouă, atunci se scrie numărul = SUM-10 și se adaugă TOTUL PARTEA (SUMA / 10) la cea mai mare cifră. (Adăugați câteva numere într-o coloană, amintiți-vă cum se face acest lucru.) Așa este cu un număr binar. Adunați bit cu bit, începând cu cea mai mică cifră. Dacă rezultă mai mult de 1, atunci se scrie 1 și se adaugă 1 la cifra cea mai semnificativă (se spune „e nebun”).

Să rulăm un exemplu: 10011 + 10001.

Primul rang: 1+1 = 2. Notăm 0 și ne-a venit în minte 1.

Al doilea rang: 1+0+1(unitate memorată) =2. Notăm 0 și ne-a venit în minte 1.

Rangul trei: 0+0+1(unitatea reținută) = 1. Scrieți 1.

Al patrulea rang 0+0=0. Notam 0.

Rangul al cincilea 1+1=2. Scriem 0 și adăugăm 1 la al șaselea bit.

Să convertim toate cele trei numere în sistemul zecimal și să verificăm corectitudinea adunării.

10011 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 16 + 2 + 1 =19

10001 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 16 + 1 = 17

100100 = 1*2 5 + 0*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 0*2 0 =32+4=36

17 + 19 = 36 egalitate corectă

Exemple pentru o soluție independentă:

a) 11001 +101 =

b) 11001 +11001 =

c) 1001 + 111 =

e) 10011 + 101 =

f) 11011 + 1111 =

e) 11111 + 10011 =

Cum se transformă zecimal în binar. Următoarea operație este scăderea. Dar ne vom ocupa de această operație puțin mai târziu, iar acum vom lua în considerare o metodă de conversie a unui număr zecimal în binar.

Pentru a converti un număr zecimal în binar, acesta trebuie extins în puteri de doi. Dar dacă extinderea în puteri de zeci este obținută imediat, atunci cum să se extindă în puteri de două necesită puțină gândire. În primul rând, să vedem cum să faceți acest lucru prin metoda de selecție. Să luăm numărul zecimal 12.

Primul pas. 2 2 \u003d 4, acest lucru nu este suficient. De asemenea, este mic și 2 3 \u003d 8, iar 2 4 \u003d 16 este deja mult. Deci, să lăsăm 2 3 =8. 12 - 8 = 4. Acum trebuie să reprezentați 4 ca o putere a doi.

Pasul doi. 4 = 2 2 .

Atunci numărul nostru 12 = 2 3 + 2 2 . Cea mai mare cifră are numărul 4, cel mai mare grad = 3, prin urmare, ar trebui să existe termeni cu puteri de doi 1 și 0. Dar nu avem nevoie de ei, așa că pentru a scăpa de grade inutile și lăsați necesarul cele, scriem numărul astfel: 1 * 2 3 + 1 * 2 2 +0*2 1 + 0*2 0 = 1100 - aceasta este reprezentarea binară a numărului 12. Este ușor de observat că fiecare putere următoare este cea mai mare putere a doi, care este mai mică decât numărul care trebuie extins. Pentru a remedia metoda, să ne uităm la un alt exemplu. Numărul 23.

Pasul 1. Cea mai apropiată putere a doi este 2 4 = 16. 23 -16 = 7.

Pasul 2. Cea mai apropiată putere a doi este 2 2 = 4. 7 - 4 = 3

Pasul 3. Cea mai apropiată putere a doi este 2 1 = 2. 3 - 2 = 1

Pasul 4. Cea mai apropiată putere a două 2 0 =1 1 - 1 =0

Obținem următoarea descompunere: 1*2 4 + 0*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +1*2 0

Și numărul nostru binar dorit este 10111

Metoda considerată mai sus rezolvă bine problema pusă înainte, dar există o metodă care este algoritmizată mult mai bine. Algoritmul pentru această metodă este scris mai jos:

Atâta timp cât NUMĂR este mai mare decât zero

CIFRA URMĂTORĂ \u003d restul împărțirii NUMĂRULUI la 2

NUMĂR = parte întreagă a NUMĂRULUI împărțit la 2

Când acest algoritm își finalizează activitatea, secvența de CIFRE REGULARE calculate va reprezenta un număr binar. De exemplu, să lucrăm cu numărul 19.

Începutul algoritmului NUMĂR = 19

CIFRA URMĂTOARE = ​​1

CIFRA URMĂTOARE = ​​1

URMĂTOAREA CIFRE = 0

URMĂTOAREA CIFRE = 0

CIFRA URMĂTOARE = ​​1

Deci, ca urmare, avem următorul număr 10011. Rețineți că cele două metode luate în considerare diferă în ordinea în care sunt obținute următoarele cifre. În prima metodă, prima cifră primită este cea mai mare cifră a numărului binar, iar în a doua metodă, prima cifră primită, dimpotrivă, este cea mai mică.

Convertiți zecimal în binar în două moduri

a) 14 b) 29 c) 134 d) 158 f) 1190 g) 2019

Cum se transformă partea fracțională în zecimală.

Se știe că orice număr rațional poate fi reprezentat ca fracție zecimală și obișnuită. O fracție obișnuită, adică o fracție de forma A / B, poate fi regulată și improprie. O fracție se numește proprie dacă A<В и неправильной если А>ÎN.

Dacă un număr rațional este reprezentat de o fracție improprie și, în același timp, numărătorul fracției este împărțit complet la numitor, atunci acest număr rațional este un număr întreg, în toate celelalte cazuri apare o parte fracțională. Partea fracțională este adesea un număr foarte lung și chiar infinit (o fracție periodică infinită, de exemplu, 20/6), așa că în cazul părții fracționale, nu avem doar sarcina de a traduce o reprezentare în alta, ci de a traduce cu o anumită precizie.

Regula de precizie. Să presupunem că vi se oferă un număr zecimal care poate fi reprezentat ca o fracție zecimală de până la N cifre. Pentru ca numărul binar corespunzător să fie de aceeași precizie, este necesar să scrieți M - caractere în el, astfel încât

Și acum să încercăm să obținem regula de traducere și să luăm mai întâi în considerare exemplul 5.401

Soluţie:

Vom obține partea întreagă conform regulilor deja cunoscute de noi și este egală cu numărul binar 101. Și extindem partea fracțională în puteri de 2.

Pasul 1: 2-2 = 0,25; 0,401 - 0,25 = 0,151. este restul.

Pasul 2: Acum trebuie să reprezentăm 0,151 ca putere a doi. Să facem asta: 2 -3 = 0,125; 0,151 - 0,125 = 0,026

Astfel, partea fracțională inițială poate fi reprezentată ca 2 -2 +2 -3 . La fel se poate scrie într-un astfel de număr binar: 0,011. Prima cifră fracțională este zero, aceasta deoarece gradul 2 -1 este absent în descompunerea noastră.

Este clar din primul și al doilea pas că această reprezentare nu este exactă și poate fi de dorit să se continue descompunerea. Să revenim la regulă. Se spune că avem nevoie de atâtea semne ale lui M încât 10 3 este mai mic de 2 M. Adică 1000<2 M . То есть в двоичном разложении у нас должно быть не менее десяти знаков, так как 2 9 = 512 и только 2 10 = 1024. Продолжим процесс.

Pasul 3: Acum lucrăm cu numărul 0.026. Cea mai apropiată putere a doi de acest număr este 2 -6 \u003d 0,015625; 0,026 - 0,015625 = 0,010375 acum numărul nostru binar mai precis este 0,011001. Există deja șase zecimale după virgulă, dar acest lucru nu este încă suficient, așa că mai facem un pas.

Pasul 4: Acum lucrăm cu numărul 0.010375. Cea mai apropiată putere a doi de acest număr este 2 -7 \u003d 0,0078125;

0,010375 - 0,0078125 = 0,0025625

Pasul 5: Acum lucrăm cu numărul 0.0025625. Cea mai apropiată putere a doi de acest număr este 2 -9 \u003d 0,001953125;

0,0025625 - 0,001953125 = 0,000609375

Ultimul rest rezultat este mai mic de 2 -10 și dacă am dori să continuăm să ne apropiem de numărul inițial, atunci am avea nevoie de 2 -11 , dar aceasta depășește deja acuratețea necesară și, prin urmare, calculele pot fi oprite și reprezentarea binară finală a partea fracționată poate fi scrisă.

0,401 = 0,011001101

După cum puteți vedea, conversia părții fracționale a unui număr zecimal în reprezentare binară este puțin mai complicată decât conversia părții întregi. Tabelul puterilor a doi la sfârșitul prelegerii.

Și acum scriem algoritmul de transformare:

Datele inițiale ale algoritmului: Prin A vom nota fracția zecimală proprie originală scrisă sub formă zecimală. Fie ca această fracție să conțină N semne.

Algoritm

Acțiunea 1. Determinați numărul de caractere binare necesare M din inegalitatea 10 N< 2 M

Pasul 2: Calculați cifrele reprezentării binare (cifre după zero). Numărul cifrei va fi notat cu simbolul K.

1. Numărul cifrei = 1
2. Dacă 2 -K > A

Apoi adăugăm zero la notația numărului binar

• adăugați 1 la numărul binar
• A \u003d A - 2 -K

1. K = K + 1
2. Dacă K > M

• atunci algoritmul este terminat.
• În caz contrar, treceți la pasul 2.

Convertiți zecimal în binar

a) 3,6 b) 12,0112 c) 0,231 d) 0,121 e) 23,0091

Scăderea numerelor binare. Vom scădea și numere, vom folosi și o coloană și regula generală este aceeași ca pentru numerele zecimale, scăderea se face bit cu bit și dacă nu este suficientă unitate în bit, atunci se angajează în cea mai veche. Să rezolvăm următorul exemplu:

Primul rang. 1 - 0 =1. Notam 1.

Al doilea rang 0-1. Unitatea lipsește. O luăm la categoria seniori. Una de la cea mai mare cifră merge la cea mai mică, ca două unități (deoarece cea mai mare cifră este reprezentată de două de un grad mai mare) 2-1 \u003d 1. Notam 1.

Rangul trei. Am ocupat unitatea acestei cifre, așa că acum în cifra 0 este nevoie să ocupăm unitatea celei mai semnificative cifre. 2-1=1. Notam 1.

Să verificăm rezultatul în sistem zecimal

1101 - 110 = 13 - 6 = 7 (111) Egalitatea adevărată.

Un alt mod interesant de a efectua scăderea este legat de conceptul de complement a doi, care vă permite să reduceți scăderea la adunare. Se pare că un număr dintr-un cod suplimentar este extrem de simplu, luăm un număr, înlocuim zerourile cu unu, invers, înlocuim cele cu zerouri și adăugăm unul la cifra cea mai puțin semnificativă. De exemplu, 10010 ar fi 011011 în codul complementului a doi.

Regula de scădere a complementului a doi afirmă că scăderea poate fi înlocuită cu adunarea dacă scăderea este înlocuită cu un număr din codul complementului a doi.

Exemplu: 34 - 22 = 12

Să scriem acest exemplu în formă binară. 100010 - 10110 = 1100

Codul suplimentar pentru numărul 10110 va fi așa

01001 + 00001 = 01010. Apoi, exemplul inițial poate fi înlocuit cu adăugarea astfel 100010 + 01010 = 101100 Apoi, trebuie să aruncați o unitate în ordinea cea mai mare. Dacă facem asta, obținem 001100. Aruncăm zerourile nesemnificative și obținem 1100, adică exemplul a fost rezolvat corect

Fă-ți scăderile. În mod obișnuit și în cod suplimentar, având convertit anterior numere zecimale în binare:

Verificați prin conversia rezultatului binar în zecimal.

Înmulțirea în sistemul de numere binar.

Să începem cu următorul fapt interesant. Pentru a înmulți un număr binar cu 2 (zecimalul doi este 10 în binar), este suficient să adăugați un zero la numărul înmulțit din stânga.

Exemplu. 10101 * 10 = 101010

Examinare.

10101 = 1*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 +1*2 0 = 16 + 4 + 1 = 21

101010 =1*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 32 + 8 + 2 = 42

Dacă ne amintim că orice număr binar poate fi extins în puteri de doi, atunci devine clar că înmulțirea în sistemul numeric binar se reduce la înmulțirea cu 10 (adică cu zecimala 2) și, prin urmare, înmulțirea este o serie de succesive. schimburi. Regula generală este că, ca și în cazul numerelor zecimale, înmulțirea binară se realizează bit cu bit. Și pentru fiecare cifră a celui de-al doilea multiplicator, se adaugă un zero la dreapta primului multiplicator. Exemplu (nu este încă o coloană):

1011 * 101 Această înmulțire poate fi redusă la suma a trei înmulțiri pe biți:

1011 * 1 + 1011 * 0 + 1011 * 100 \u003d 1011 + 101100 \u003d 110111 Același lucru poate fi scris într-o coloană ca aceasta:

Examinare:

101 = 5 (zecimală)

1011 = 11 (zecimală)

110111 = 55 (zecimală)

5*11 = 55 egalitate corectă

Decide pentru tine

a) 1101 * 1110 =

b) 1010 * 110 =

e) 101011 * 1101 =

f) 10010 * 1001 =

Notă: Apropo, tabelul înmulțirii din sistemul binar constă dintr-un singur element 1 * 1 = 1

Diviziunea în sistemul binar.

Am luat în considerare deja trei acțiuni și cred că este deja clar că, în general, acțiunile asupra numerelor binare diferă puțin de acțiunile asupra numerelor zecimale. Diferența apare doar în faptul că sunt două cifre și nu zece, dar asta doar simplifică operațiile aritmetice. Același lucru este valabil și cu diviziunea, dar pentru o mai bună înțelegere a algoritmului de divizare, vom analiza mai detaliat. Să presupunem că trebuie să împărțim două numere zecimale, de exemplu 234 împărțit la 7. Cum facem asta.

Alocam la dreapta (din cea mai semnificativa cifra) un astfel de numar de cifre incat numarul rezultat sa fie cat mai mic si in acelasi timp mai mare decat divizorul. 2 este mai mic decât divizorul, prin urmare, numărul de care avem nevoie este 23. Apoi împărțim numărul rezultat la divizorul cu rest. Obtinem urmatorul rezultat:

Operația descrisă se repetă până când restul rezultat este mai mic decât divizorul. Când se întâmplă acest lucru, numărul obținut sub bară este coeficientul, iar ultimul rest este restul operației. Deci operația de împărțire a unui număr binar se realizează exact în același mod. Sa incercam

Exemplu: 10010111 / 101

Căutăm un număr, din cel mai mare ordin al căruia primul ar fi mai mare decât divizorul. Acesta este numărul din patru cifre 1001. Este afișat cu caractere aldine. Acum trebuie să găsiți un divizor pentru numărul selectat. Și aici câștigăm din nou în comparație în sistemul zecimal. Faptul este că divizorul selectat este în mod necesar o cifră și avem doar două cifre. Deoarece 1001 este clar mai mare decât 101, totul este clar cu divizorul, acesta este 1. Să efectuăm pasul de operație.

Deci, restul operației este 100. Acesta este mai mic decât 101, așa că pentru a efectua pasul al doilea de divizare, trebuie să adăugați următoarea cifră la 100, acesta este numărul 0. Acum avem următorul număr:

1000 este mai mare decât 101, așa că în al doilea pas adăugăm din nou 1 la cifra privată și obținem următorul rezultat (pentru a economisi spațiu, omitem imediat următoarea cifră).

Al treilea pas. Numărul rezultat 110 este mai mare decât 101, așa că la acest pas îl vom scrie în coeficientul 1. Se va dovedi astfel:

Numărul rezultat 11 este mai mic decât 101, așa că îl scriem în cifra privată 0 și coborâm următoarea cifră. Se dovedește așa:

Numărul rezultat este mai mare decât 101, așa că scriem numărul 1 în coeficient și efectuăm din nou acțiunile. Rezultă această imagine:

1

0

Restul rezultat 10 este mai mic decât 101, dar am rămas fără cifre în dividend, deci 10 este restul final, iar 1110 este coeficientul dorit.

Verificați în zecimale

Aceasta încheie descrierea celor mai simple operații aritmetice pe care trebuie să le cunoașteți pentru a utiliza aritmetica binară, iar acum vom încerca să răspundem la întrebarea „De ce avem nevoie de aritmetică binară”. Desigur, s-a arătat deja mai sus că scrierea unui număr în sistemul binar simplifică foarte mult operațiile aritmetice, dar, în același timp, înregistrarea în sine devine mult mai lungă, ceea ce reduce valoarea simplificării obținute, așa că este necesar să se uite pentru astfel de probleme, a căror rezolvare este mult mai simplă în numere binare.

Sarcina 1: Obținerea tuturor mostrelor

Foarte des există sarcini în care trebuie să poți construi toate combinațiile posibile dintr-un anumit set de elemente. De exemplu, o astfel de sarcină:

Având în vedere un morman mare de pietre, aranjați pietrele în două grămezi astfel încât masa acestor două grămezi să fie cât mai mult aceeași.

Această sarcină poate fi formulată după cum urmează:

Găsiți o probă de pietre dintr-o grămadă mare, astfel încât masa sa totală să difere cât mai puțin posibil de jumătate din masa grămezii mari.

Există destul de multe sarcini de acest fel. Și toate se reduc, așa cum am menționat deja, la capacitatea de a obține toate combinațiile posibile (le vom numi selecții mai jos) dintr-un anumit set de elemente. Și acum vom lua în considerare o metodă generală pentru obținerea tuturor probelor posibile folosind operația de adăugare binară. Să începem cu un exemplu. Să existe un set de trei articole. Construim toate mostrele posibile. Articolele vor fi notate prin numere de serie. Adică, există următoarele elemente: 1, 2, 3.

Probele: (0, 0, 1); (0, 1, 0); (0, 1, 1); (o sută); (1, 0, 1); (1, 1, 0); (1, 1, 1);

Dacă există unul în poziția cu următorul număr, atunci aceasta înseamnă că elementul cu numărul egal cu această poziție este prezent în selecție, iar dacă există zero, atunci elementul nu este prezent. De exemplu, sample(0, 1, 0); constă dintr-un element cu numărul 2, iar proba este (1, 1, 0); este format din două elemente cu numerele 1 și 2.

Acest exemplu arată clar că eșantionul poate fi reprezentat ca un număr binar. În plus, este ușor de observat că toate numerele binare posibile de una, două și trei cifre sunt scrise mai sus. Să le rescriem după cum urmează:

001; 010; 011; 100; 101; 110; 111

1; 10; 11; 100; 101; 110; 111

Am primit o serie de numere binare consecutive, fiecare dintre ele obținute de la precedentul prin adăugarea unuia. Îl poți verifica. Folosind această regularitate observată, putem construi următorul algoritm pentru obținerea de eșantioane.

Datele inițiale ale algoritmului

Dat un set de articole N - piese. În cele ce urmează, ne vom referi la această mulțime ca la mulțimea elementelor inițiale. Să numerotăm toate elementele mulțimii inițiale de la 1 la N. Să facem un număr binar din N zerouri nesemnificative. 0000… 0 N Acest număr binar zero va indica proba zero de la care va începe procesul de eșantionare. Cifrele unui număr sunt numărate de la dreapta la stânga, adică cifra din stânga este cea mai semnificativă.

Să fim de acord să notăm acest număr binar cu majuscule BINAR

Algoritm

Dacă un număr BINAR este format în întregime din unii

Apoi oprim algoritmul

• Adăugăm unul la numărul BINAR conform regulilor aritmeticii binare.
• Din numărul BINAR primit compunem următorul eșantion, așa cum este descris mai sus.

Sarcina 2: Găsirea primelor mari

În primul rând, amintiți-vă că un număr prim este un număr natural care este divizibil doar cu 1 și cu el însuși. Exemple de numere prime: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31

Găsirea numerelor prime mari este o problemă matematică foarte importantă. Sunt necesare numere prime mari pentru a cripta în siguranță mesajele cu unii algoritmi de criptare. Și nu este nevoie doar de un număr mare, ci de unul foarte mare. Cu cât numărul este mai mare, cu atât este mai sigur cifrul bazat pe acel număr.

Notă. Un cifr puternic este un cifr care durează foarte mult timp pentru a decripta.

De ce? Un număr prim joacă rolul unei chei în criptare și decriptare. În plus, știm că numerele prime nu apar foarte des în seria numerelor naturale. Sunt destul de mulți printre primele mii, apoi numărul lor începe să scadă rapid. Prin urmare, dacă luăm ca cheie un număr nu foarte mare, decriptorul, folosind chiar și un computer nu foarte rapid, va putea ajunge la el (prin sortarea tuturor primelor unul după altul ca cheie) într-un timp limitat.

Un cod destul de fiabil poate fi obținut dacă luați unul simplu în care, de exemplu, 150 de caractere. Cu toate acestea, găsirea unuia atât de simplu nu este atât de ușoară. Să presupunem că un număr A (foarte mare) trebuie testat pentru primă. Este același lucru cu căutarea divizorilor săi. Dacă putem găsi divizori între 2 și rădăcina pătrată a lui A, atunci nu este prim. Să estimăm numărul de numere care trebuie verificate pentru capacitatea de a împărți numărul A.

Să presupunem că numărul A are 150 de cifre. Rădăcina pătrată a acesteia va conține cel puțin 75 de caractere. Pentru a sorta un astfel de număr de posibili divizori, avem nevoie de un computer foarte puternic și de mult timp, ceea ce înseamnă că problema este practic de nerezolvat.

Cum să te descurci cu asta.

În primul rând, puteți învăța să verificați rapid divizibilitatea unui număr cu altul și, în al doilea rând, puteți încerca să selectați numărul A în așa fel încât să fie simplu, cu un grad ridicat de probabilitate. Se pare că acest lucru este posibil. Matematicianul Mersen a descoperit acele numere de forma următoare

Sunt simple, cu un grad ridicat de probabilitate.

Pentru a înțelege expresia scrisă mai sus, să numărăm câte numere prime sunt în prima mie și câte numere Mersenne din aceeași mie sunt prime. Deci numerele Mersen din prima mie sunt după cum urmează:

2 1 - 1 = 1 ; 2 2 -1 = 3 ; 2 3 - 1 = 7 ; 2 4 - 1 = 15; 2 5 - 1 = 31 ; 2 6 -1 = 63;

2 7 - 1 =127 ; 2 8 -1 = 255; 2 9 - 1 = 511;

Numerele prime sunt marcate cu caractere aldine. În total există 5 numere prime pentru 9 numere Mersenne. Ca procent, acesta este 5/9 * 100 \u003d 55,6%. În același timp, există doar 169 de numere prime pentru primele 1000 de numere naturale. Ca procent, acesta este 169/1000 * 100 = 16,9%. Adică, în prima mie, în termeni procentuali, numerele prime dintre numerele Mersenne se găsesc de aproape 4 ori mai des decât printre numerele naturale pur și simplu.

___________________________________________________________

Și acum să luăm un anumit număr Mersen, de exemplu 2 4 - 1. Să-l scriem ca număr binar.

2 4 - 1 = 10000 - 1 = 1111

Să luăm următorul număr Mersen 2 5 -1 și să îl scriem ca număr binar. Obținem următoarele:

2 5 -1 = 100000 - 1 = 11111

Este deja clar că toate numerele Mersenne sunt o succesiune de unități, iar acest fapt singur dă un câștig mare. În primul rând, în sistemul binar este foarte ușor să obțineți următorul număr Mersenne, este suficient să adăugați unul la următorul număr, iar în al doilea rând, este mult mai ușor să căutați divizori în sistemul binar decât în ​​cel zecimal.

Conversie rapidă zecimală în binară

Una dintre principalele probleme legate de utilizarea sistemului de numere binar este dificultatea de a converti un număr zecimal în binar. Aceasta este o sarcină destul de laborioasă. Desigur, nu este prea dificil să traduci numere mici de trei sau patru cifre, dar pentru numerele zecimale în care există 5 sau mai multe cifre, acest lucru este deja dificil. Adică, avem nevoie de o modalitate de a converti rapid numere zecimale mari în reprezentare binară.

Această metodă a fost inventată de matematicianul francez Legendre. Să fie dat, de exemplu, numărul 11183445. Îl împărțim la 64, obținem restul 21 și coeficientul 174741. Împărțim acest număr din nou la 64, obținem restul 21 și coeficientul 2730. În cele din urmă, 2730 împărțim la 64 dă restul 42 și coeficientul 42 Dar 64 în binar este 1000000, 21 în binar este 10101 și 42 este 101010, deci numărul original va fi scris în binar după cum urmează:

101010 101010 010101 010101

Ca să fie mai clar, un alt exemplu cu un număr mai mic. Să traducem reprezentarea binară a numărului 235. Împărțim 235 la 64 cu rest. Primim:

PRIVAT = 3, binar 11 sau 000011

REZOLUȚIE = 43, binar 101011

Atunci 235 = 11101011, verificați acest rezultat:

11101011 = 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 3 + 2 1 + 2 0 = 128+64+32+8+2+1 = 235

Note:

1. Este ușor de observat că numărul binar final include toate resturile și, la ultimul pas, atât restul, cât și câtul.
2. Coeficientul se scrie înaintea restului.
3. Dacă câtul sau restul rezultat are mai puțin de 6 cifre în reprezentare binară (6 zerouri conțin reprezentarea binară a numărului 64 = 1000000), atunci i se adaugă zerouri nesemnificative.

Și încă un exemplu dificil. Numar 25678425.

Pasul 1: 25678425 împărțit la 64

Privat = 401225

Rest = 25 = 011001

Pasul 2: 401225 împărțit la 64

Privat = 6269

Rest = 9 = 001001

Pasul 3: 6269 împărțit la 64

Privat = 97

Restul = 61 = 111101

Pasul 4: 97 împărțit la 64

Privat = 1 = 000001

Rest = 33 = 100001

Rezultat numeric = 1,100001,111101,001001,011001

În acest număr, un punct separă rezultatele intermediare incluse în el.

Convertiți într-o reprezentare binară a unui număr:

ANEXĂ: TABEL 1

		0,015625
		0,0078125
		0,00390625
		0,001953125
		0,0009765625
		0,00048828125
		0,000244140625
		0,0001220703125
		0,00006103515625
		0,000030517578125
		0,0000152587890625
		0,00000762939453125
		0,000003814697265625
		0,0000019073486328125
		0,00000095367431640625
		0,000000476837158203125

1. Locul lecției: lecția clasa a IX-a-3 a secțiunii studiate
2. Tema lecției: Operații aritmetice în sistemul binar.

Tipul clasei: prelegere, conversație, muncă independentă.

Obiectivele lecției:

Didactic: introduceţi regulile de efectuare a operaţiilor aritmetice (adunare, înmulţire, scădere) în sistemul numeric binar.

Educational: inculcarea abilităților de independență în muncă, educație pentru acuratețe, disciplină.

În curs de dezvoltare: dezvoltarea atenției, a memoriei elevilor, dezvoltarea capacității de a compara informațiile primite.

Conexiuni interdisciplinare: Matematica:

Clase de echipamente (echipamente) educaționale:proiector, masă, carduri de sarcini.

Suportul metodologic al lecției:prezentare în PowerPoint.

Planul lecției

1. Moment organizatoric (2 min).
2. Repetiție (10)
3. Explicarea materialului nou (15 min)
4. Consolidarea materialului acoperit (10 min)
5. temă pentru acasă
6. Reflecție (2 min)
7. Rezumat (2 min)

În timpul orelor

1. Organizarea timpului
2. Actualizare de cunoștințe.Continuăm să studiem subiectul sistemului de numere și scopul lecției noastre de astăzi va fi să învățăm cum să efectuați operații aritmetice în sistemul de numere binar, și anume, vom lua în considerare cu dvs. regula pentru efectuarea de operații precum adunarea, scăderea, înmulțire, împărțire.
3. Verificarea cunoștințelor (studiu frontal).

Să ne amintim:

1. Care este sistemul de numere?
2. Care este baza unui sistem numeric?
3. Care este baza sistemului de numere binar?
4. Indicați ce numere sunt scrise cu erori și justificați răspunsul:
   123 8, 3006 2, 12ААС09 20, 13476 10,
5. Care este baza minimă pe care ar trebui să o aibă sistemul numeric dacă numerele pot fi scrise în el: 10, 21, 201, 1201
6. Care este sfârșitul unui număr binar par?
   Ce cifră se termină cu un număr binar impar?

4 . Studiul de material nou este însoțit de o prezentare

/ Atasamentul 1/

Profesorul explică noua temă pe diapozitivele prezentării, elevii iau notițe și realizează sarcinile propuse de profesor în caiet.

Dintre toate sistemele poziționale, sistemul numeric binar este deosebit de simplu. Luați în considerare efectuarea de operații aritmetice de bază pe numere binare.

Toate sistemele de numere poziționale sunt „același”, și anume, în toate operațiile aritmetice sunt efectuate după aceleași reguli:

unu . sunt valabile aceleași legi ale aritmeticii: comutativă, asociativă, distributivă;

2. regulile de adunare, scădere și înmulțire cu o coloană sunt corecte;

3. Regulile de efectuare a operaţiilor aritmetice se bazează pe tabele de adunare şi înmulţire.

Plus

Luați în considerare exemple suplimentare.

Când adăugați o coloană de două cifre de la dreapta la stânga în sistemul de numere binar, ca în orice sistem pozițional, doar unul poate trece la următorul bit.

Rezultatul adunării a două numere pozitive are fie același număr de cifre ca maximul celor doi termeni, fie o cifră mai mult, dar această cifră poate fi doar una.

1011022+111112=?

1110112+110112=?

Scădere

Munca independentă a elevilor într-un caiet pentru consolidarea materialului

101101 2 -11111 2 =?

110011 2 -10101 2 =?
Multiplicare
Luați în considerare exemple de înmulțire.

Operația de înmulțire se realizează folosind tabelul înmulțirii conform schemei obișnuite (folosită în sistemul numeric zecimal) cu înmulțirea succesivă a multiplicatorului cu următoarea cifră a multiplicatorului.
Luați în considerare exemple de înmulțire
Când se efectuează înmulțirea din exemplul 2, se adaugă trei unități 1+1+1=11 în cifra corespunzătoare, se scrie 1, iar cealaltă unitate este transferată la cea mai mare cifră.
În sistemul numeric binar, operația de înmulțire se reduce la deplasări ale multiplicandului și la adăugarea rezultatelor intermediare.
Divizia

Operația de împărțire se efectuează conform unui algoritm similar cu algoritmul de divizare în sistemul numeric zecimal.

Luați în considerare exemplul de împărțire

Consolidare (lucrarea independentă a elevilor pe cartonașe se realizează într-un caiet) / Anexa 2 /

Pentru studenții care au finalizat munca independentă într-o perioadă scurtă de timp, este oferită o sarcină suplimentară.

5. Tema pentru acasă

2. Învață regulile de efectuare a operațiilor aritmetice în sistemul de numere binar, învață tabelele de adunare, scădere, înmulțire.

3. Urmați acești pași:

110010+111,01

11110000111-110110001

10101,101*111

6 Reflecție

Astăzi, la lecția cea mai informativă pentru mine a fost...

Am fost surprins că…

Pot aplica ceea ce am învățat în clasă astăzi...

7. Rezumatul lecției

Astăzi am învățat cum să efectuăm operații aritmetice în sistemul de numere binar (notarea pentru lecție).

Subtitrările diapozitivelor:

Tema lecției: „Operații aritmetice în sisteme numerice poziționale” Profesor de informatică Marina Valentinovna Fedorchenko MOU Berezovskaya școala secundară cu districtul Berezovka Taishet, regiunea Irkutsk Să ne amintim: Care este sistemul numeric? Care este baza sistemului numeric? Ce este baza sistemului de numere binare?numerele sunt scrise cu erori și justifică răspunsul: 1238, 30062, 12AAC0920, 1347610, Care este baza minimă pe care ar trebui să o aibă sistemul de numere dacă în el se pot scrie numere: 10, 21, 201 , 1201 Ce cifră se termină cu un număr binar par? Ce cifră se termină cu un număr binar impar?
Laplace a scris despre atitudinea sa față de sistemul de numere binar (binar) al marelui matematician Leibniz: „În aritmetica sa binară, Leibniz a văzut prototipul creației. I s-a părut că unitatea reprezintă principiul divin, iar zero - inexistența și că ființa supremă creează totul din inexistență exact în același mod în care unu și zero în sistemul său exprimă toate numerele. Aceste cuvinte subliniază universalitatea alfabetului, care constă din două caractere. Toate sistemele de numere poziționale sunt „aceleași”, și anume, operațiile aritmetice sunt efectuate în toate după aceleași reguli:
sunt valabile aceleași legi ale aritmeticii: --comutativ (deplasare) m + n = n + mm n = n m asociativ (combinativ) (m + n) + k = m + (n + k) = m + n + k ( mn) k = m (nk) = mnk distributiv (distributiv) (m + n) k = mk + nk
regulile de adunare, scădere și înmulțire cu o coloană sunt valabile;
regulile de efectuare a operaţiilor aritmetice se bazează pe tabele de adunare şi înmulţire.
Adunarea în sistemele de numere poziționale Dintre toate sistemele de poziție, sistemul de numere binar este deosebit de simplu. Luați în considerare efectuarea de operații aritmetice de bază pe numere binare. Toate sistemele de numere poziționale sunt „aceleași”, și anume, operațiile aritmetice se efectuează în toate după aceleași reguli: aceleași sunt valabile: comutativă, asociativă, distributivă; regulile de adunare, scădere și înmulțire cu o coloană sunt valabil; regulile pentru efectuarea operatiilor aritmetice se bazeaza pe tabele de adunare si inmultire.
Când adăugați o coloană de două cifre de la dreapta la stânga în sistemul de numere binar, ca în orice sistem pozițional, doar unul poate trece la următorul bit. Rezultatul adunării a două numere pozitive are fie același număr de cifre ca maximul celor doi termeni, fie o cifră mai mult, dar această cifră poate fi doar una. Luați în considerare exemple Rezolvați singur exemplele:
1011012 + 111112
1110112 + 110112
1001100
1010110
La efectuarea unei operații de scădere, dintr-un număr mai mare se scade întotdeauna un număr mai mic în valoare absolută și se pune semnul corespunzător rezultatului.
Scădere Luați în considerare exemple Exemple:
1011012– 111112
1100112– 101012
1110
11110
Înmulțirea în sistemele de numere poziționale Operația de înmulțire se realizează folosind tabelul de înmulțire după schema uzuală (folosită în sistemul de numere zecimale) cu înmulțirea succesivă a multiplicandului cu următoarea cifră a multiplicatorului.Să luăm în considerare exemple de înmulțire. Să ne uităm la exemple Să ne uităm la exemplul de împărțire
Să rezolvăm exemple:
11012 1112

111102:1102=
1011011
101
Tema 1.&3.1.22.Învățați regulile de efectuare a operațiilor aritmetice în sistem binar, învățați tabelele de adunare, scădere, înmulțire.3. Procedați în felul următor: 110010+111.0111110000111-11011000110101.101*111 Reflecție Astăzi în lecția cea mai informativă pentru mine a fost... Am fost surprins că... Pot aplica cunoștințele acumulate astăzi în lecția...