C 14 aritmetinė kvadratinė šaknis. Kaip rankiniu būdu rasti skaičiaus kvadratinę šaknį

Matematika gimė tada, kai žmogus suvokė save ir pradėjo save pozicionuoti kaip savarankišką pasaulio vienetą. Noras matuoti, lyginti, apskaičiuoti tai, kas tave supa, yra vienas iš pagrindinių mūsų dienų mokslų. Iš pradžių tai buvo elementarios matematikos gabalai, kurie leido susieti skaičius su jų fizinėmis išraiškomis, vėliau išvados pradėtos pateikti tik teoriškai (dėl abstraktumo), tačiau po kurio laiko, kaip teigė vienas mokslininkas, „ matematika pasiekė sudėtingumo lubas, kai visi skaičiai. koncepcija " Kvadratinė šaknis"pasirodė tuo metu, kai jį buvo galima lengvai paremti empiriniais duomenimis, peržengiančiais skaičiavimų plokštumą.

Kaip viskas prasidėjo

Pirmasis paminėjimas apie šaknį, kuri ant Šis momentasžymimas √, buvo užfiksuotas Babilono matematikų, padėjusių šiuolaikinės aritmetikos pamatus, raštuose. Žinoma, jos atrodė šiek tiek panašios į dabartinę formą – tų metų mokslininkai pirmą kartą panaudojo stambias tabletes. Tačiau antrajame tūkstantmetyje pr. e. jie sugalvojo apytikslę skaičiavimo formulę, kuri parodė, kaip imti kvadratinę šaknį. Žemiau esančioje nuotraukoje pavaizduotas akmuo, ant kurio Babilono mokslininkai išraižė išvesties procesą √2, ir jis pasirodė toks teisingas, kad neatitikimas atsakyme buvo rastas tik dešimtosiose dešimtosiose.

Be to, šaknis buvo naudojama, jei reikėjo rasti trikampio kraštinę, jei žinomos kitos dvi. Na, o sprendžiant kvadratines lygtis nepabėgsi nuo šaknies ištraukimo.

Kartu su babiloniečių darbais straipsnio objektas buvo tiriamas ir kinų veikale „Matematika devyniose knygose“, o senovės graikai priėjo prie išvados, kad bet koks skaičius, iš kurio šaknis neišgaunama be liekanos, duoda neracionalų rezultatą. .

Šio termino kilmė siejama su arabišku skaičiaus vaizdu: senovės mokslininkai tikėjo, kad savavališko skaičiaus kvadratas išauga iš šaknies, kaip augalas. Lotyniškai šis žodis skamba kaip radix (galima atsekti šabloną – viskas, kas turi „šaknies“ semantinę apkrovą, yra priebalsė, ar tai ridikas, ar išialgija).

Vėlesnių kartų mokslininkai pasirinko šią idėją ir pavadino ją Rx. Pavyzdžiui, XV amžiuje, norėdami nurodyti, kad kvadratinė šaknis paimta iš savavališko skaičiaus a, jie parašė R 2 a. Įprasta moderni išvaizda„erkė“ √ atsirado tik XVII amžiuje Rene Descartes'o dėka.

Mūsų dienos

Matematiškai y kvadratinė šaknis yra skaičius z, kurio kvadratas yra y. Kitaip tariant, z 2 =y yra lygiavertis √y=z. Tačiau šis apibrėžimas svarbus tik aritmetinei šaknei, nes jis reiškia neneigiamą išraiškos reikšmę. Kitaip tariant, √y=z, kur z yra didesnis arba lygus 0.

Apskritai, kuri galioja nustatant algebrinę šaknį, išraiškos reikšmė gali būti teigiama arba neigiama. Taigi, dėl to, kad z 2 =y ir (-z) 2 =y, gauname: √y=±z arba √y=|z|.

Dėl to, kad meilė matematikai tik stiprėjo tobulėjant mokslui, atsiranda įvairių meilės jai apraiškų, neišreikštų sausais skaičiavimais. Pavyzdžiui, kartu su tokiais įdomiais renginiais kaip Pi diena, švenčiamos ir kvadratinės šaknies šventės. Jos švenčiamos devynis kartus per šimtą metų ir nustatomos pagal tokį principą: dieną ir mėnesį eilės tvarka žymintys skaičiai turi būti metų kvadratinė šaknis. Taip, viduje Kitą kartąŠi šventė bus švenčiama 2016 m. balandžio 4 d.

Kvadratinės šaknies savybės lauke R

Beveik visos matematinės išraiškos turi geometrinį pagrindą, šis likimas nepraėjo ir √y, kuris apibrėžiamas kaip kvadrato, kurio plotas y, kraštinė.

Kaip rasti skaičiaus šaknį?

Yra keli skaičiavimo algoritmai. Paprasčiausias, bet tuo pat metu gana sudėtingas yra įprastas aritmetinis skaičiavimas, kuris yra toks:

1) iš skaičiaus, kurio šaknies mums reikia, paeiliui atimami nelyginiai skaičiai - kol išvesties likutis bus mažesnis už atimtą arba lyginis nulis. Judėjimų skaičius ilgainiui taps norimu skaičiumi. Pavyzdžiui, apskaičiuojant kvadratinę šaknį iš 25:

Sekant nelyginis skaičius yra 11, turime tokią likutį: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Tokiais atvejais yra Taylor serijos išplėtimas:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , kur n įgauna reikšmes nuo 0 iki

+∞ ir |y|≤1.

Grafinis funkcijos z=√y pavaizdavimas

Apsvarstykite elementariąją funkciją z=√y realiųjų skaičių R lauke, kur y yra didesnis arba lygus nuliui. Jos diagrama atrodo taip:

Kreivė auga nuo pradžios ir būtinai kerta tašką (1; 1).

Funkcijos z=√y savybės realiųjų skaičių R lauke

1. Nagrinėjamos funkcijos apibrėžimo sritis yra intervalas nuo nulio iki plius begalybės (nulis įtraukiamas).

2. Nagrinėjamos funkcijos reikšmių diapazonas yra intervalas nuo nulio iki plius begalybės (vėl įtraukiamas nulis).

3. Funkcija įgauna mažiausią reikšmę (0) tik taške (0; 0). Maksimalios vertės nėra.

4. Funkcija z=√y nėra nei lyginė, nei nelyginė.

5. Funkcija z=√y nėra periodinė.

6. Yra tik vienas funkcijos z=√y grafiko susikirtimo taškas su koordinačių ašimis: (0; 0).

7. Funkcijos z=√y grafiko susikirtimo taškas yra ir šios funkcijos nulis.

8. Funkcija z=√y nuolat auga.

9. Funkcija z=√y turi tik teigiamas reikšmes, todėl jos grafikas užima pirmąjį koordinačių kampą.

Funkcijos z=√y rodymo parinktys

Matematikoje, kad būtų lengviau skaičiuoti sudėtingas išraiškas, kartais naudojama kvadratinės šaknies rašymo galios forma: √y=y 1/2. Ši parinktis yra patogi, pavyzdžiui, pakeliant funkciją į laipsnį: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Šis metodas taip pat yra geras diferencijavimo su integravimu vaizdavimas, nes jo dėka kvadratinė šaknis yra pavaizduota įprasta galios funkcija.

O programuojant simbolio √ pakaitalas yra raidžių derinys sqrt.

Verta paminėti, kad šioje srityje kvadratinė šaknis yra labai paklausi, nes ji yra daugelio skaičiavimams reikalingų geometrinių formulių dalis. Pats skaičiavimo algoritmas yra gana sudėtingas ir pagrįstas rekursija (funkcija, kuri iškviečia save).

Kvadratinė šaknis kompleksiniame lauke C

Apskritai, šio straipsnio tema paskatino atrasti kompleksinių skaičių C lauką, nes matematikus persekiojo klausimas, kaip iš neigiamo skaičiaus gauti lyginę laipsnio šaknį. Taip atsirado įsivaizduojamas vienetas i, kuriam būdinga labai įdomi savybė: jo kvadratas yra -1. Dėl to kvadratinės lygtys ir su neigiamu diskriminantu gavo sprendimą. C, kvadratinei šakniai, svarbios tos pačios savybės kaip ir R, vienintelis dalykas yra tai, kad pašalinami šaknies išraiškos apribojimai.

Šiame straipsnyje mes supažindinsime skaičiaus šaknies samprata. Veiksime nuosekliai: pradėsime nuo kvadratinės šaknies, nuo jos pereisime prie aprašymo kubo šaknis, po to apibendriname šaknies sąvoką, apibrėždami n-ojo laipsnio šaknį. Kartu supažindinsime su apibrėžimais, žymėjimu, pateiksime šaknų pavyzdžių ir pateiksime reikiamus paaiškinimus bei komentarus.

Kvadratinė šaknis, aritmetinė kvadratinė šaknis

Norint suprasti skaičiaus šaknies, o ypač kvadratinės šaknies, apibrėžimą, reikia turėti . Šiuo metu dažnai susidursime su antrąja skaičiaus laipsniu – skaičiaus kvadratu.

Pradėkime nuo kvadratinių šaknų apibrėžimai.

Apibrėžimas

Kvadratinė šaknis iš a yra skaičius, kurio kvadratas yra .

Norint atnešti pavyzdžių kvadratinės šaknys , paimkite kelis skaičius, pavyzdžiui, 5 , -0,3 , 0,3 , 0 ir padėkite juos kvadratu, gausime atitinkamai skaičius 25 , 0,09 , 0,09 ir 0 (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25, (-0,3) 2 = (-0,3) (-0,3) = 0,09, (0,3) 2 = 0,3 0,3 = 0,09 ir 0 2 =0 0 = 0). Tada pagal aukščiau pateiktą apibrėžimą 5 yra kvadratinė šaknis iš 25, −0,3 ir 0,3 yra kvadratinė šaknis iš 0,09, o 0 yra nulio kvadratinė šaknis.

Reikia pažymėti, kad neegzistuoja joks skaičius a , kurio kvadratas lygus a . Būtent, bet kuriam neigiamam skaičiui a nėra tikras numeris b , kurio kvadratas būtų lygus a . Iš tiesų, lygybė a=b 2 neįmanoma bet kuriam neigiamam a , nes b 2 yra neneigiamas bet kurio b skaičius. Taigi, realiųjų skaičių aibėje nėra neigiamo skaičiaus kvadratinės šaknies. Kitaip tariant, realiųjų skaičių aibėje neigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis nėra apibrėžta ir neturi reikšmės.

Tai veda prie logiško klausimo: „Ar yra bet kurio neneigiamo a kvadratinė šaknis“? Atsakymas yra taip. Šio fakto pagrindimu galima laikyti konstruktyvų metodą, naudojamą kvadratinės šaknies vertei nustatyti.

Tada kyla toks logiškas klausimas: „Kiek yra duoto neneigiamo skaičiaus a visų kvadratinių šaknų skaičius – vienas, du, trys ar net daugiau“? Štai atsakymas į jį: jei a yra nulis, tai vienintelė nulio kvadratinė šaknis yra nulis; jei a yra teigiamas skaičius, tai kvadratinių šaknų skaičius iš skaičiaus a yra lygus dviem, o šaknys yra . Pagrįskime tai.

Pradėkime nuo atvejo a=0 . Pirmiausia parodykime, kad nulis iš tikrųjų yra nulio kvadratinė šaknis. Tai išplaukia iš akivaizdžios lygybės 0 2 =0·0=0 ir kvadratinės šaknies apibrėžimo.

Dabar įrodykime, kad 0 yra vienintelė kvadratinė šaknis iš nulio. Naudokime priešingą metodą. Tarkime, kad yra koks nors nulinis skaičius b, kuris yra kvadratinė šaknis iš nulio. Tada turi būti įvykdyta sąlyga b 2 =0, o tai neįmanoma, nes bet kokiam nuliui b reiškinio b 2 reikšmė yra teigiama. Priėjome prieštaravimą. Tai įrodo, kad 0 yra vienintelė kvadratinė šaknis iš nulio.

Pereikime prie atvejų, kai a yra teigiamas skaičius. Aukščiau sakėme, kad visada yra bet kurio neneigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis, tegul b yra a kvadratinė šaknis. Tarkime, kad yra skaičius c , kuris taip pat yra a kvadratinė šaknis. Tada pagal kvadratinės šaknies apibrėžimą galioja lygybės b 2 =a ir c 2 =a, iš ko išplaukia, kad b 2 −c 2 =a−a=0, bet kadangi b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , tada (b−c) (b+c)=0 . Galioja gauta lygybė veiksmų su realiaisiais skaičiais savybės galima tik tada, kai b-c=0 arba b+c=0 . Taigi skaičiai b ir c yra lygūs arba priešingi.

Jei darysime prielaidą, kad yra skaičius d, kuris yra dar viena kvadratinė šaknis iš skaičiaus a, tada samprotaujant panašiai kaip jau pateiktos, įrodoma, kad d yra lygus skaičiui b arba skaičiui c. Taigi teigiamo skaičiaus kvadratinių šaknų skaičius yra du, o kvadratinės šaknys yra priešingi skaičiai.

Kad būtų patogiau dirbti su kvadratinėmis šaknimis, neigiama šaknis „atskiriama“ nuo teigiamos. Šiuo tikslu ji pristato aritmetinės kvadratinės šaknies apibrėžimas.

Apibrėžimas

Aritmetinė kvadratinė šaknis iš neneigiamo skaičiaus a yra neneigiamas skaičius, kurio kvadratas yra lygus .

Skaičiaus a aritmetinės kvadratinės šaknies žymėjimas priimamas. Ženklas vadinamas aritmetiniu kvadratinės šaknies ženklu. Jis taip pat vadinamas radikalo ženklu. Todėl iš dalies galite išgirsti ir „root“, ir „radical“, o tai reiškia tą patį objektą.

Skaičius po aritmetiniu kvadratinės šaknies ženklu vadinamas šaknies numeris, o išraiška po šaknies ženklu - radikali išraiška, o terminas „radikalus skaičius“ dažnai pakeičiamas terminu „radikalioji išraiška“. Pavyzdžiui, žymėjime skaičius 151 yra radikalusis skaičius, o užraše išraiška a yra radikalioji išraiška.

Skaitant žodis „aritmetika“ dažnai praleidžiamas, pavyzdžiui, įrašas skaitomas kaip „kvadratinė šaknis iš septynių taškų dvidešimt devynių šimtųjų dalių“. Žodis „aritmetika“ tariamas tik tada, kai norima pabrėžti, kad kalbame apie teigiamą skaičiaus kvadratinę šaknį.

Atsižvelgiant į įvestą žymėjimą, iš aritmetinės kvadratinės šaknies apibrėžimo matyti, kad bet kuriam neneigiamam skaičiui a .

Teigiamo skaičiaus a kvadratinės šaknys rašomos naudojant aritmetinį kvadratinės šaknies ženklą kaip ir . Pavyzdžiui, 13 kvadratinės šaknys yra ir . Aritmetinė nulio kvadratinė šaknis yra lygi nuliui, tai yra, . Neigiamų skaičių a įrašams reikšmės nesuteiksime tol, kol neištirsime kompleksiniai skaičiai. Pavyzdžiui, posakiai ir yra beprasmiai.

Remiantis kvadratinės šaknies apibrėžimu, įrodytos kvadratinių šaknų savybės, kurios dažnai naudojamos praktikoje.

Baigdami šį poskyrį pažymime, kad skaičiaus kvadratinės šaknys yra x 2 =a formos sprendiniai kintamojo x atžvilgiu.

kubo šaknis

Kubo šaknies apibrėžimas skaičius a pateikiamas panašiai kaip kvadratinės šaknies apibrėžimas. Tik jis remiasi ne kvadrato, o skaičiaus kubo koncepcija.

Apibrėžimas

Kubo šaknis a vadinamas skaičius, kurio kubas lygus a.

Atnešam kubo šaknų pavyzdžiai. Norėdami tai padaryti, paimkite kelis skaičius, pavyzdžiui, 7 , 0 , −2/3 , ir supjaustykite juos kubeliu: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Tada, remiantis kubo šaknies apibrėžimu, galime pasakyti, kad skaičius 7 yra 343 kubinė šaknis, 0 yra nulio kubinė šaknis, o −2/3 yra −8/27 kubinė šaknis.

Galima parodyti, kad skaičiaus a kubinė šaknis, skirtingai nei kvadratinė šaknis, egzistuoja visada ir ne tik neneigiamam a, bet ir bet kuriam realiajam skaičiui a. Norėdami tai padaryti, galite naudoti tą patį metodą, kurį minėjome studijuodami kvadratinę šaknį.

Be to, tam tikro skaičiaus a yra tik viena kubinė šaknis. Įrodykime paskutinį teiginį. Norėdami tai padaryti, apsvarstykite tris atvejus atskirai: a yra teigiamas skaičius, a = 0 ir a yra neigiamas skaičius.

Nesunku parodyti, kad teigiamo a kubinė šaknis negali būti nei neigiama, nei nulis. Iš tiesų, tegul b yra a kubinė šaknis, tada pagal apibrėžimą galime parašyti lygybę b 3 =a . Akivaizdu, kad ši lygybė negali būti teisinga neigiamam b ir b=0, nes šiais atvejais b 3 =b·b·b bus atitinkamai neigiamas skaičius arba nulis. Taigi teigiamo skaičiaus a kubinė šaknis yra teigiamas skaičius.

Tarkime, kad be skaičiaus b yra dar viena kubinė šaknis iš skaičiaus a, pažymėkime ją c. Tada c 3 =a. Todėl b 3 −c 3 =a−a=0 , bet b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(tai yra sutrumpinta daugybos formulė kubelių skirtumas), iš kur (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Gauta lygybė įmanoma tik tada, kai b−c=0 arba b 2 +b c+c 2 =0 . Iš pirmosios lygybės turime b=c , o antroji lygybė neturi sprendinių, nes jos kairioji pusė yra teigiamas skaičius bet kokiems teigiamiems skaičiams b ir c kaip trijų teigiamų narių b 2 , b c ir c 2 suma. Tai įrodo teigiamo skaičiaus a kubinės šaknies unikalumą.

Jei a=0, vienintelė a kubinė šaknis yra nulis. Iš tiesų, jei darysime prielaidą, kad yra skaičius b , kuris yra ne nulinė nulio kubinė šaknis, tada turi galioti lygybė b 3 =0, o tai įmanoma tik tada, kai b=0 .

Dėl neigiamo a galima ginčytis panašiai kaip dėl teigiamo a . Pirma, parodome, kad neigiamo skaičiaus kubinė šaknis negali būti lygi nei teigiamam skaičiui, nei nuliui. Antra, darome prielaidą, kad yra antroji neigiamo skaičiaus kubinė šaknis, ir parodome, kad ji būtinai sutaps su pirmuoju.

Taigi, bet kurio tikrojo skaičiaus a visada yra kubinė šaknis ir tik vienas.

Duokim aritmetinės kubo šaknies apibrėžimas.

Apibrėžimas

Neneigiamo skaičiaus aritmetinė kubo šaknis a vadinamas neneigiamas skaičius, kurio kubas lygus a.

Neneigiamo skaičiaus a aritmetinė kubo šaknis žymima kaip , ženklas vadinamas aritmetinio kubo šaknies ženklu, skaičius 3 šioje žymėjime vadinamas šaknies indikatorius. Skaičius po šaknies ženklu yra šaknies numeris, išraiška po šaknies ženklu yra radikali išraiška.

Nors aritmetinė kubo šaknis apibrėžiama tik neneigiamiems skaičiams a, patogu naudoti ir įrašus, kuriuose neigiami skaičiai yra po aritmetinio kubo šaknies ženklu. Juos suprasime taip: , kur a yra teigiamas skaičius. Pavyzdžiui, .

Apie kubinių šaknų savybes kalbėsime bendrame straipsnyje šaknų savybės.

Kubo šaknies reikšmės apskaičiavimas vadinamas kubo šaknies ištraukimu, šis veiksmas aptariamas straipsnyje šaknų ištraukimas: metodai, pavyzdžiai, sprendimai.

Baigdami šį poskyrį sakome, kad a kubinė šaknis yra x 3 =a formos sprendinys.

N-oji šaknis, aritmetinė n šaknis

Šaknies sąvoką apibendriname iš skaičiaus – pristatome n-osios šaknies nustatymas už n.

Apibrėžimas

n-oji a šaknis yra skaičius, kurio n-oji laipsnis yra lygus a.

Iš šio apibrėžimo aišku, kad pirmojo laipsnio šaknis iš skaičiaus a yra pats skaičius a, nes tirdami laipsnį su natūraliuoju rodikliu, mes paėmėme 1 = a.

Aukščiau nagrinėjome specialius n-ojo laipsnio šaknies atvejus, kai n=2 ir n=3 – kvadratinė ir kubo šaknis. Tai yra, kvadratinė šaknis yra antrojo laipsnio šaknis, o kubo šaknis yra trečiojo laipsnio šaknis. Norint ištirti n-ojo laipsnio šaknis, kai n=4, 5, 6, ..., patogu jas suskirstyti į dvi grupes: pirmoji grupė - lyginių laipsnių šaknis (tai yra, kai n=4, 6 , 8, ...), antroji grupė – šaknų nelyginės galios (tai yra, kai n=5, 7, 9, ... ). Taip yra dėl to, kad lyginių laipsnių šaknys yra panašios į kvadratinę, o nelyginių – į kubinę. Susitvarkykime su jais paeiliui.

Pradėkime nuo šaknų, kurių laipsniai yra lyginiai skaičiai 4, 6, 8, ... Kaip jau minėjome, jos panašios į skaičiaus a kvadratinę šaknį. Tai yra, bet kurio lyginio laipsnio šaknis iš skaičiaus a egzistuoja tik neneigiamam a. Be to, jei a=0, tai a šaknis yra unikali ir lygi nuliui, o jei a>0, tai yra dvi lyginio laipsnio šaknys nuo skaičiaus a, ir jos yra priešingi skaičiai.

Pagrįskime paskutinį teiginį. Tegu b lyginio laipsnio šaknis (žymime 2 m, kur m yra kai kurie natūralusis skaičius) nuo a numerio. Tarkime, kad yra skaičius c – dar 2 m šaknis iš a . Tada b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Bet mes žinome formą b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), tada (b–c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Iš šios lygybės išplaukia, kad b−c=0 , arba b+c=0 , arba b 2 m-2 +b 2 m-4 c 2 +b 2 m-6 c 4 +…+c 2 m-2 =0. Pirmosios dvi lygybės reiškia, kad skaičiai b ir c yra lygūs arba b ir c yra priešingi. Ir paskutinė lygybė galioja tik b=c=0 , nes jos kairėje pusėje yra išraiška, kuri yra neneigiama bet kuriam b ir c kaip neneigiamų skaičių suma.

Kalbant apie nelyginio n laipsnio n-ojo laipsnio šaknis, jos yra panašios į kubo šaknį. Tai yra, bet kurio nelyginio skaičiaus a laipsnio šaknis egzistuoja bet kuriam realiajam skaičiui a, o tam tikram skaičiui a ji yra unikali.

Nelyginio laipsnio 2·m+1 šaknies unikalumas iš skaičiaus a įrodytas pagal analogiją su kubinės šaknies unikalumo įrodymu iš a . Tik čia vietoj lygybės a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) b 2 m+1 −c 2 m+1 = lygybė (b–c) (b 2 m +b 2 m–1 c+b 2 m–2 c 2 +… +c 2 m). Išraiška paskutiniame skliaustelyje gali būti perrašyta kaip b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Pavyzdžiui, m=2 turime b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b–c) (b 4 + c 4 + b c (b 2 + c 2 + b c)). Kai a ir b yra teigiami arba abu neigiami, jų sandauga yra teigiamas skaičius, tada reiškinys b 2 +c 2 +b·c , kuris yra aukščiausio įdėjimo laipsnio skliausteliuose, yra teigiamas kaip teigiamų suma numeriai. Dabar, paeiliui pereinant prie ankstesnių įdėjimo laipsnių skliausteliuose esančių išraiškų, įsitikiname, kad jos taip pat yra teigiamos kaip teigiamų skaičių sumos. Dėl to gauname lygybę b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b–c) (b 2 m +b 2 m–1 c+b 2 m–2 c 2 +… +c 2 m)=0 galima tik tada, kai b−c=0 , tai yra, kai skaičius b lygus skaičiui c .

Atėjo laikas susitvarkyti su n-ojo laipsnio šaknų žymėjimu. Už tai duodama n-ojo laipsnio aritmetinės šaknies nustatymas.

Apibrėžimas

aritmetinė šaknis n-asis laipsnis neneigiamo skaičiaus a vadinamas neneigiamas skaičius, kurio n laipsnis lygus a.

Kas yra kvadratinė šaknis?

Dėmesio!
Yra papildomų
medžiaga specialiajame 555 skyriuje.
Tiems, kurie stipriai "nelabai..."
Ir tiems, kurie „labai...“)

Ši koncepcija yra labai paprasta. Natūralu, sakyčiau. Matematikai stengiasi rasti reakciją į kiekvieną veiksmą. Yra sudėjimas ir yra atėmimas. Yra dauginimas ir dalijimas. Yra kvadratas... Taigi taip pat yra išgaunant kvadratinę šaknį! Tai viskas. Šis veiksmas ( imant kvadratinę šaknį) matematikoje žymimas šia piktograma:

Pati piktograma vadinama gražus žodis "radikalus".

Kaip išgauti šaknį? Geriau apsvarstyti pavyzdžių.

Kas yra kvadratinė šaknis iš 9? O koks skaičius kvadratu duos mums 9? 3 kvadratai mums duoda 9! Tie:

Kas yra kvadratinė šaknis iš nulio? Jokiu problemu! Kokį skaičių duoda nulis kvadratu? Taip, jis pats duoda nulį! Priemonės:

Pagautas kas yra kvadratinė šaknis? Tada svarstome pavyzdžių:

Atsakymai (netvarkingai): 6; vienas; 4; devyni; 5.

Nusprendėte? Tikrai, tai daug lengviau!

Bet... Ką daro žmogus, pamatęs kokią nors užduotį su šaknimis?

Žmogus pradeda ilgėtis... Jis netiki šaknų paprastumu ir lengvumu. Nors atrodo, kad žino kas yra kvadratinė šaknis...

Taip yra todėl, kad žmogus, tyrinėdamas šaknis, ignoravo keletą svarbių dalykų. Tada šios mados žiauriai atkeršija už testus ir egzaminus ...

Taškas vienas. Šaknis reikia atpažinti iš matymo!

Kas yra kvadratinė šaknis iš 49? Septynios? Teisingai! Iš kur žinojai, kad yra septyni? Sudarė septynis kvadratus ir gavo 49? Teisingai! Prašau Pasižymėk tai ištraukti šaknį iš 49 turėjome atlikti atvirkštinę operaciją – 7 kvadratas! Ir įsitikinkite, kad nepraleisime. Arba jie gali praleisti...

Čia ir slypi sunkumai šaknų ištraukimas. Kvadratavimas bet koks skaičius galimas be jokių problemų. Stulpelyje padauginkite skaičių iš savęs – ir viskas. Bet už šaknų ištraukimas nėra tokios paprastos ir be problemų technologijos. sąskaita paimti atsakykite ir patikrinkite, ar nukentėjo kvadratas.

Šis sudėtingas kūrybinis procesas – atsakymo pasirinkimas – labai supaprastėja, jei Prisiminti populiarių skaičių kvadratai. Kaip daugybos lentelė. Jei, tarkime, jums reikia padauginti 4 iš 6 - jūs nepridedate keturių 6 kartus, ar ne? Iš karto pasirodo atsakymas 24. Nors ne visi tai turi, taip...

Norint nemokamai ir sėkmingai dirbti su šaknimis, pakanka žinoti skaičių kvadratus nuo 1 iki 20. Be to, ten ir atgal. Tie. turėtumėte lengvai įvardyti ir, tarkime, 11 kvadratą, ir kvadratinę šaknį iš 121. Norėdami tai įsiminti, yra du būdai. Pirmasis yra išmokti kvadratų lentelę. Tai labai padės pavyzdžiai. Antra, nuspręsk daugiau pavyzdžių. Puiku prisiminti kvadratų lentelę.

Ir jokių skaičiuoklių! Tik patikrinimui. Priešingu atveju per egzaminą negailestingai sulėtėsite ...

Taigi, kas yra kvadratinė šaknis Ir kaip ekstraktas šaknis– Manau, kad tai suprantama. Dabar išsiaiškinkime, IŠ KO galite juos išgauti.

Antras taškas. Root, aš tavęs nepažįstu!

Iš kokių skaičių galima paimti kvadratines šaknis? Taip, beveik bet koks. Lengviau suprasti ką tai uždrausta juos išgauti.

Pabandykime apskaičiuoti šią šaknį:

Norėdami tai padaryti, turite pasiimti skaičių, kuris kvadratu duos mums -4. Mes pasirenkame.

Kas nepasirinkta? 2 2 suteikia +4. (-2) 2 vėl suteikia +4! Štai ir viskas... Nėra skaičių, kuriuos patraukus kvadratu gautume neigiamą skaičių! Nors skaičius žinau. Bet aš tau nesakysiu.) Eikite į koledžą ir sužinokite patys.

Ta pati istorija bus su bet kokiu neigiamu skaičiumi. Taigi išvada:

Išraiška, kurioje neigiamas skaičius yra po kvadratinės šaknies ženklu - neturi prasmės! Tai draudžiama operacija. Draudžiama kaip dalyti iš nulio. Turėkite omenyje šį faktą! Arba, kitaip tariant:

Negalite išskirti kvadratinių šaknų iš neigiamų skaičių!

Bet iš visų kitų – galite. Pavyzdžiui, galima apskaičiuoti

Iš pirmo žvilgsnio tai labai sunku. Paimkite trupmenas, bet padidinkite kvadratą ... Nesijaudinkite. Kai nagrinėsime šaknų savybes, tokie pavyzdžiai bus sumažinti iki tos pačios kvadratų lentelės. Gyvenimas taps lengvesnis!

Gerai trupmenos. Tačiau vis tiek susiduriame su tokiais posakiais kaip:

Viskas gerai. Visi vienodi. Kvadratinė šaknis iš dviejų yra skaičius, kurį pateikus kvadratu gausime dvikovą. Tik skaičius visiškai nelygus... Štai jis:

Įdomu tai, kad ši trupmena niekada nesibaigia... Tokie skaičiai vadinami neracionaliais. Kvadratinėse šaknyse tai yra labiausiai paplitęs dalykas. Beje, dėl to ir vadinami posakiai su šaknimis neracionalus. Aišku, kad visą laiką rašyti tokią begalinę trupmeną yra nepatogu. Todėl vietoj begalinės trupmenos jie palieka taip:

Jei spręsdami pavyzdį gausite tai, ko negalima išgauti, pvz.:

tada paliekame taip. Tai bus atsakymas.

Turite aiškiai suprasti, kas yra po piktogramomis

Žinoma, jei paimta skaičiaus šaknis sklandžiai, privalai tai padaryti. Pavyzdžiui, užduoties atsakymas formoje

gana išsamus atsakymas.

Ir, žinoma, iš atminties turite žinoti apytiksles vertes:

Šios žinios labai padeda įvertinti situaciją atliekant sudėtingas užduotis.

Trečias taškas. Pats gudriausias.

Pagrindinę painiavą darbe su šaknimis įneša kaip tik ši mada. Būtent jis suteikia pasitikėjimo savimi savo jėgomis... Tinkamai susitvarkykime su šia mada!

Pirmiausia ištraukiame kvadratinę šaknį iš jų keturių. Ką, aš jau turiu tave su šia šaknimi?) Nieko, dabar bus įdomu!

Koks skaičius duos kvadrate iš 4? Na, du, du – girdžiu nepatenkintus atsakymus...

Teisingai. Du. Bet taip pat minus du duos 4 kvadratu... Tuo tarpu atsakymas

teisinga ir atsakymas

grubiausia klaida. Kaip šitas.

Taigi koks reikalas?

Iš tiesų, (-2) 2 = 4. Ir pagal kvadratinės šaknies iš keturių apibrėžimą minus du gana tinkamas... Tai taip pat kvadratinė šaknis iš keturių.

Bet! Mokyklos matematikos kurse įprasta atsižvelgti į kvadratines šaknis tik neneigiami skaičiai! Ty nulis ir viskas teigiama. Buvo sugalvotas net specialus terminas: nuo numerio a- Tai neneigiamas skaičius, kurio kvadratas yra a. Neigiami rezultatai išimant aritmetinę kvadratinę šaknį tiesiog atmetami. Mokykloje visos kvadratinės šaknys - aritmetika. Nors tai nėra konkrečiai paminėta.

Gerai, tai suprantama. Dar geriau nesimaišyti su neigiamais rezultatais... Tai dar ne painiava.

Sumišimas prasideda sprendžiant kvadratines lygtis. Pavyzdžiui, jums reikia išspręsti šią lygtį.

Lygtis paprasta, rašome atsakymą (kaip mokoma):

Šis atsakymas (beje, gana teisingas) yra tik sutrumpintas užrašas du atsakymai:

Nustok sustoti! Šiek tiek aukščiau parašiau, kad kvadratinė šaknis yra skaičius visada ne neigiamas! Ir čia yra vienas iš atsakymų - neigiamas! Sutrikimas. Tai pirma (bet ne paskutinė) problema, sukelianti nepasitikėjimą šaknimis... Išspręskime šią problemą. Užrašykime atsakymus (tik supratimui!) taip:

Skliaustai nekeičia atsakymo esmės. Aš ką tik atskyriau skliausteliuose ženklai iš šaknis. Dabar aiškiai matyti, kad pati šaknis (skliausteliuose) vis dar yra neneigiamas skaičius! Ir ženklai yra lygties sprendimo rezultatas. Juk spręsdami bet kurią lygtį privalome rašyti visi x, kuri, pakeitus pradinę lygtį, duos teisingą rezultatą. Penkių šaknis (teigiama!) tinka mūsų lygčiai su pliusu ir minusu.

Kaip šitas. Jei tu tiesiog paimkite kvadratinę šaknį nuo bet ko tu visada gauti vienas neneigiamas rezultatas. Pavyzdžiui:

Nes tai - aritmetinė kvadratinė šaknis.

Bet jei nuspręsite kvadratinė lygtis, tipas:

tada visada paaiškėja du atsakymas (su pliusu ir minusu):

Nes tai yra lygties sprendimas.

viltis, kas yra kvadratinė šaknis teisingai supratote savo taškais. Dabar belieka išsiaiškinti, ką galima padaryti su šaknimis, kokios jų savybės. O kas yra mados ir povandeninės dėžės ... atleiskite, akmenys!)

Visa tai – kitose pamokose.

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokymasis – su susidomėjimu!)

galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Tarp daugybės žinių, kurios yra raštingumo ženklas, pirmoje vietoje yra abėcėlė. Kitas, tas pats „ženklo“ elementas, yra sudėties-daugybos įgūdžiai ir greta jų, bet atvirkščiai, aritmetinės atimties-dalybos operacijos. Tolimoje mokyklinėje vaikystėje išmokti įgūdžiai ištikimai tarnauja dieną ir naktį: TV, laikraštis, SMS ir visur, kur skaitome, rašome, skaičiuojame, sudedame, atimame, dauginame. Ir sakyk, ar tau dažnai tekdavo įleisti šaknis gyvenime, nebent kaime? Pavyzdžiui, tokia linksma problema, kaip kvadratinė šaknis iš skaičiaus 12345... Ar miltelių kolbose vis dar yra parako? Ar galime tai padaryti? Taip, nieko nėra lengviau! Kur mano skaičiuotuvas... O be jo, iš rankų į rankas, silpnas?

Pirmiausia išsiaiškinkime, kas tai yra – skaičiaus kvadratinė šaknis. Paprastai tariant, „ištraukti šaknį iš skaičiaus“ reiškia atlikti aritmetinę operaciją, priešingą pakėlimui į laipsnį – čia jūs turite priešybių vienybę gyvenime. tarkime, kvadratas yra skaičiaus dauginimas iš savęs, t.y., kaip mokė mokykloje, X * X = A arba kitu užrašu X2 = A, o žodžiais - "X kvadratas lygus A". Tada atvirkštinė problema skamba taip: skaičiaus A kvadratinė šaknis yra skaičius X, kuris, patrauktas kvadratu, yra lygus A.

Kvadratinės šaknies ištraukimas

Iš mokyklinio aritmetikos kurso žinomi skaičiavimo „stulpelyje“ metodai, padedantys atlikti bet kokius skaičiavimus naudojant pirmuosius keturis aritmetinės operacijos. Deja... Kvadratinės, ir ne tik kvadratinės, tokių algoritmų šaknys neegzistuoja. Ir kaip šiuo atveju išgauti kvadratinę šaknį be skaičiuotuvo? Remiantis kvadratinės šaknies apibrėžimu, daroma tik viena išvada - reikia pasirinkti rezultato reikšmę nuosekliai išvardijant skaičius, kurių kvadratas artėja prie šaknies išraiškos reikšmės. Tik ir viskas! Valandos ar dviejų nebus laiko praeiti, nes galite apskaičiuoti naudodami gerai žinomą metodą, daugindami į „stulpelį“, bet kurią kvadratinę šaknį. Jei turite įgūdžių, tam pakanka kelių minučių. Net ir nelabai pažengęs skaičiuotuvas ar kompiuterio vartotojas tai padaro vienu ypu – progresas.

Bet jei rimtai, kvadratinės šaknies apskaičiavimas dažnai atliekamas naudojant „artilerijos šakės“ techniką: pirmiausia jie paima skaičių, kurio kvadratas maždaug atitinka šaknies išraišką. Geriau, jei „mūsų kvadratas“ yra šiek tiek mažesnis už šią išraišką. Tada jie pataiso skaičių pagal savo įgūdžius-supratimą, pavyzdžiui, padaugina iš dviejų ir ... vėl pakelia kvadratą. Jei rezultatas daugiau numerio po šaknimi, nuosekliai koreguodamas pradinį skaičių, palaipsniui artėdamas prie savo „kolegos“ po šaknimi. Kaip matote – jokios skaičiuoklės, tik galimybė skaičiuoti „stulpelyje“. Žinoma, yra daug moksliškai pagrįstų ir optimizuotų kvadratinės šaknies skaičiavimo algoritmų, tačiau „naudojimui namuose“ aukščiau pateikta technika suteikia 100% pasitikėjimo rezultatu.

Taip, beveik pamiršau, kad patvirtintume mūsų padidėjusį raštingumą, apskaičiuojame kvadratinę šaknį iš anksčiau nurodyto skaičiaus 12345. Tai darome žingsnis po žingsnio:

1. Paimkite, grynai intuityviai, X=100. Paskaičiuokime: X * X = 10000. Intuicija viršuje – rezultatas mažesnis nei 12345.

2. Pabandykime, taip pat grynai intuityviai, X = 120. Tada: X * X = 14400. Ir vėl, su intuicija, tvarka - rezultatas daugiau nei 12345.

3. Aukščiau gaunama „šakė“ 100 ir 120. Parenkame naujus skaičius - 110 ir 115. Gauname atitinkamai 12100 ir 13225 - šakutė susiaurėja.

4. Bandome „galbūt“ X = 111. Gauname X * X = 12321. Šis skaičius jau gana artimas 12345. Esant reikiamam tikslumui, „montavimas“ gali būti tęsiamas arba sustabdytas esant gautam rezultatui. Tai viskas. Kaip ir žadėjau – viskas labai paprasta ir be skaičiuoklės.

Šiek tiek istorijos...

Netgi pitagoriečiai, mokyklos mokiniai ir Pitagoro pasekėjai, galvojo naudoti kvadratines šaknis, 800 m. ir čia pat „atsirado“ naujų atradimų skaičių srityje. Ir iš kur jis atsirado?

1. Uždavinio sprendimas su šaknies ištraukimu duoda rezultatą naujos klasės skaičių pavidalu. Jie buvo vadinami neracionaliais, kitaip tariant, „neprotingais“, nes. jie nerašomi kaip visas skaičius. Klasikiausias tokio pobūdžio pavyzdys yra kvadratinė šaknis iš 2. Šis atvejis atitinka kvadrato, kurio kraštinė lygi 1, įstrižainės apskaičiavimą – štai Pitagoro mokyklos įtaka. Paaiškėjo, kad trikampyje, kurio kraštinių dydis yra labai specifinis, hipotenuzė turi dydį, kuris išreiškiamas skaičiumi, kuris „neturi pabaigos“. Taip atsirado matematikoje

2. Žinoma, kad paaiškėjo, kad š matematinis veiksmas yra dar vienas laimikis - ištraukus šaknį, mes nežinome, kokio skaičiaus kvadratas, teigiamas ar neigiamas, yra šaknies išraiška. Šis neapibrėžtumas, dvigubas vienos operacijos rezultatas, yra užrašomas.

Su šiuo reiškiniu susijusių problemų tyrimas tapo matematikos kryptimi, vadinama kompleksinio kintamojo teorija, kuri turi didelę praktinę reikšmę matematinėje fizikoje.

Įdomu, kad šaknies pavadinimą – radikalus – savo „Visuotinėje aritmetikoje“ naudojo tas pats visur esantis I. Niutonas, bet tiksliai moderni išvaizdaŠakninis įrašas žinomas nuo 1690 m. iš prancūzo Roll knygos „Algebros vadovas“.