Kvadratinės lygtys nėra lygios nuliui. Kvadratinės lygtys

Tiesiog. Pagal formules ir aiškias paprastas taisykles. Pirmajame etape

reikia duotą lygtį perkelti į standartinę formą, t.y. į vaizdą:

Jei lygtis jums jau pateikta tokia forma, jums nereikia atlikti pirmojo etapo. Svarbiausia yra teisinga

nustatyti visus koeficientus a, b ir c.

Kvadratinės lygties šaknų radimo formulė.

Išraiška po šaknies ženklu vadinama diskriminuojantis . Kaip matote, norėdami rasti x, mes

naudoti tik a, b ir c. Tie. šansai iš kvadratinė lygtis. Tiesiog atsargiai įdėkite

vertybes a, b ir cį šią formulę ir suskaičiuokite. Pakeiskite su jųženklai!

pavyzdžiui, lygtyje:

a =1; b = 3; c = -4.

Pakeiskite reikšmes ir parašykite:

Pavyzdys beveik išspręstas:

Tai yra atsakymas.

Dažniausios klaidos – supainiojimas su vertybių ženklais a, b ir su. Atvirkščiai, su pakeitimu

neigiamas vertes į šaknų skaičiavimo formulę. Čia išsaugo detali formulė

su konkrečiais skaičiais. Jei kyla problemų su skaičiavimais, padarykite tai!

Tarkime, kad turime išspręsti šį pavyzdį:

čia a = -6; b = -5; c = -1

Viską dažome detaliai, kruopščiai, nieko nepraleisdami su visais ženklais ir skliausteliais:

Dažnai kvadratinės lygtys atrodo šiek tiek kitaip. Pavyzdžiui, taip:

Dabar atkreipkite dėmesį į praktinius metodus, kurie žymiai sumažina klaidų skaičių.

Pirmas priėmimas. Nebūk tingus anksčiau sprendžiant kvadratinę lygtį suteikite jį į standartinę formą.

Ką tai reiškia?

Tarkime, po bet kokių transformacijų gausite tokią lygtį:

Neskubėkite rašyti šaknų formulės! Beveik neabejotinai sumaišysite šansus a, b ir c.

Teisingai sukurkite pavyzdį. Pirma, x kvadratas, tada be kvadrato, tada laisvasis narys. Kaip šitas:

Atsikratykite minuso. Kaip? Turime padauginti visą lygtį iš -1. Mes gauname:

O dabar galite drąsiai užsirašyti šaknų formulę, apskaičiuoti diskriminantą ir užbaigti pavyzdį.

Spręskite patys. Turėtumėte gauti šaknis 2 ir -1.

Antrasis priėmimas. Patikrinkite savo šaknis! Autorius Vietos teorema.

Išspręsti pateiktas kvadratines lygtis, t.y. jei koeficientas

x2+bx+c=0,

tadax 1 x 2 =c

x1 +x2 =−b

Pilnai kvadratinei lygčiai, kurioje a≠1:

x 2+bx+c=0,

padalykite visą lygtį iš a:

→ →

kur x 1 ir x 2 – lygties šaknys.

Trečias priėmimas. Jei jūsų lygtis turi trupmenų koeficientus, atsikratykite trupmenų! Padauginti

bendro vardiklio lygtis.

Išvada. Praktiniai patarimai:

1. Prieš spręsdami kvadratinę lygtį perkeliame į standartinę formą, pastatome teisingai.

2. Jei kvadrate prieš x yra neigiamas koeficientas, jį pašaliname viską padaugindami

lygtys -1.

3. Jei koeficientai yra trupmeniniai, pašaliname trupmenas, padauginę visą lygtį iš atitinkamos

veiksnys.

4. Jei x kvadratas yra grynas, jo koeficientas lygus vienetui, sprendimą galima nesunkiai patikrinti pagal

Kvadratinės lygties šaknų formulės. Nagrinėjami realių, daugialypių ir sudėtingų šaknų atvejai. Kvadratinio trinalio faktorizavimas. Geometrinė interpretacija. Šaknų nustatymo ir faktorizavimo pavyzdžiai.

Pagrindinės formulės

Apsvarstykite kvadratinę lygtį:
(1) .
Kvadratinės lygties šaknys(1) nustatomi pagal formules:
; .
Šias formules galima derinti taip:
.
Kai žinomos kvadratinės lygties šaknys, antrojo laipsnio polinomas gali būti pavaizduotas kaip faktorių sandauga (faktorizuota):
.

Be to, manome, kad tai yra tikrieji skaičiai.
Apsvarstykite kvadratinės lygties diskriminantas:
.
Jei diskriminantas yra teigiamas, kvadratinė lygtis (1) turi dvi skirtingas realias šaknis:
; .
Tada kvadratinio trinalio faktorizacija turi tokią formą:
.
Jei diskriminantas lygus nuliui, tai kvadratinė lygtis (1) turi dvi daugkartines (lygias) realiąsias šaknis:
.
faktorizavimas:
.
Jei diskriminantas yra neigiamas, kvadratinė lygtis (1) turi dvi sudėtingas konjuguotas šaknis:
;
.
Čia yra įsivaizduojamas vienetas ;
ir yra tikrosios ir įsivaizduojamos šaknų dalys:
; .
Tada

.

Grafinis interpretavimas

Jei nubraižysime funkciją
,
kuri yra parabolė, tada grafiko susikirtimo su ašimi taškai bus lygties šaknys
.
Kai , grafikas kerta abscisių ašį (ašį) dviejuose taškuose.
Kai , grafikas paliečia x ašį viename taške.
Kai , grafikas nekerta x ašies.

Žemiau pateikiami tokių grafikų pavyzdžiai.

Naudingos formulės, susijusios su kvadratine lygtimi

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas

Atliekame transformacijas ir taikome formules (f.1) ir (f.3):




,
kur
; .

Taigi antrojo laipsnio daugianario formulę gavome tokia forma:
.
Iš to matyti, kad lygtis

atliktas
ir .
Tai yra ir yra kvadratinės lygties šaknys
.

Kvadratinės lygties šaknų nustatymo pavyzdžiai

1 pavyzdys

(1.1) .

Sprendimas

.
Palyginus su mūsų lygtimi (1.1), randame koeficientų reikšmes:
.
Raskite diskriminantą:
.
Kadangi diskriminantas yra teigiamas, lygtis turi dvi realias šaknis:
;
;
.

Iš čia gauname kvadratinio trinalio skaidymą į veiksnius:

.

Funkcijos y = grafikas 2 x 2 + 7 x + 3 kerta x ašį dviejuose taškuose.

Nubraižykime funkciją
.
Šios funkcijos grafikas yra parabolė. Jis kerta x ašį (ašį) dviejuose taškuose:
ir .
Šie taškai yra pradinės lygties (1.1) šaknys.

Atsakymas

;
;
.

2 pavyzdys

Raskite kvadratinės lygties šaknis:
(2.1) .

Sprendimas

Kvadratinę lygtį rašome bendra forma:
.
Palyginus su pradine lygtimi (2.1), randame koeficientų reikšmes:
.
Raskite diskriminantą:
.
Kadangi diskriminantas yra nulis, lygtis turi dvi daugkartines (lygias) šaknis:
;
.

Tada trinario faktorizacija turi tokią formą:
.

Funkcijos y = x grafikas 2–4 x + 4 paliečia x ašį viename taške.

Nubraižykime funkciją
.
Šios funkcijos grafikas yra parabolė. Jis paliečia x ašį (ašį) viename taške:
.
Šis taškas yra pradinės lygties (2.1) šaknis. Kadangi ši šaknis koeficientas du kartus:
,
tada tokia šaknis vadinama kartotiniu. Tai yra, jie mano, kad yra dvi vienodos šaknys:
.

Atsakymas

;
.

3 pavyzdys

Raskite kvadratinės lygties šaknis:
(3.1) .

Sprendimas

Kvadratinę lygtį rašome bendra forma:
(1) .
Perrašykime pradinę lygtį (3.1):
.
Palyginus su (1), randame koeficientų reikšmes:
.
Raskite diskriminantą:
.
Diskriminantas yra neigiamas, . Todėl tikrų šaknų nėra.

Galite rasti sudėtingų šaknų:
;
;
.

Tada


.

Funkcijos grafikas nekerta x ašies. Tikrų šaknų nėra.

Nubraižykime funkciją
.
Šios funkcijos grafikas yra parabolė. Jis nekerta abscisės (ašies). Todėl tikrų šaknų nėra.

Atsakymas

Tikrų šaknų nėra. Sudėtingos šaknys:
;
;
.

Kvadratinė lygtis – lengva išspręsti! *Toliau tekste „KU“. Draugai, atrodytų, kad matematikoje tai gali būti lengviau nei išspręsti tokią lygtį. Tačiau kažkas man pasakė, kad daugelis žmonių turi problemų su juo. Nusprendžiau pažiūrėti, kiek parodymų „Yandex“ suteikia užklausai per mėnesį. Štai kas atsitiko, pažiūrėkite:

Ką tai reiškia? Tai reiškia, kad per mėnesį šios informacijos ieško apie 70 000 žmonių, o štai vasara, o kas bus per mokslo metus – prašymų bus dvigubai daugiau. Tai nenuostabu, nes šios informacijos ieško seniai mokyklą baigę ir egzaminui besiruošiantys vaikinai ir merginos, atgaivinti atmintį stengiasi ir moksleiviai.

Nepaisant to, kad yra daug svetainių, kuriose pasakojama, kaip išspręsti šią lygtį, aš nusprendžiau taip pat prisidėti ir paskelbti medžiagą. Pirma, noriu, kad lankytojai apsilankytų mano svetainėje pagal šį prašymą; antra, kituose straipsniuose, kai pasirodys kalba „KU“, duosiu nuorodą į šį straipsnį; trečia, aš jums papasakosiu šiek tiek daugiau apie jo sprendimą, nei paprastai rašoma kitose svetainėse. Pradėkime! Straipsnio turinys:

Kvadratinė lygtis yra tokios formos lygtis:

kur koeficientai a,bir su savavališkais skaičiais su a≠0.

Mokyklos kurse medžiaga pateikiama tokia forma - lygčių padalijimas į tris klases atliekamas sąlygiškai:

1. Turėkite dvi šaknis.

2. * Turėti tik vieną šaknį.

3. Neturi šaknų. Čia verta paminėti, kad jie neturi tikrų šaknų

Kaip apskaičiuojamos šaknys? Tiesiog!

Apskaičiuojame diskriminantą. Po šiuo „siaubingu“ žodžiu slypi labai paprasta formulė:

Šaknies formulės yra tokios:

*Šias formules reikia žinoti mintinai.

Galite iš karto užsirašyti ir nuspręsti:

Pavyzdys:

1. Jei D > 0, tai lygtis turi dvi šaknis.

2. Jei D = 0, tai lygtis turi vieną šaknį.

3. Jei D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Pažiūrėkime į lygtį:

Šia proga, kai diskriminantas yra nulis, mokyklos kursas sako, kad gaunama viena šaknis, čia ji lygi devynioms. Teisingai, taip, bet...

Šis vaizdas yra šiek tiek neteisingas. Tiesą sakant, yra dvi šaknys. Taip, taip, nenustebkite, pasirodo dvi lygios šaknys, o kad būtų matematiškai tikslūs, atsakyme turėtų būti parašytos dvi šaknys:

x 1 = 3 x 2 = 3

Bet taip yra – mažas nukrypimas. Mokykloje gali užsirašyti ir pasakyti, kad yra tik viena šaknis.

Dabar toks pavyzdys:

Kaip žinome, neigiamo skaičiaus šaknis nėra išgaunama, todėl šiuo atveju sprendimo nėra.

Tai yra visas sprendimų priėmimo procesas.

Kvadratinė funkcija.

Štai kaip sprendimas atrodo geometriškai. Tai nepaprastai svarbu suprasti (ateityje viename iš straipsnių išsamiai išanalizuosime kvadratinės nelygybės sprendimą).

Tai yra formos funkcija:

kur x ir y yra kintamieji

a, b, c yra pateikti skaičiai, kur a ≠ 0

Grafikas yra parabolė:

Tai yra, paaiškėja, kad išsprendę kvadratinę lygtį, kurioje "y" lygi nuliui, randame parabolės susikirtimo taškus su x ašimi. Šių taškų gali būti du (diskriminantas yra teigiamas), vienas (diskriminantas yra nulis) arba nė vieno (diskriminantas yra neigiamas). Daugiau apie kvadratinę funkciją Galite peržiūrėti Innos Feldman straipsnis.

Apsvarstykite pavyzdžius:

1 pavyzdys: nuspręskite 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Atsakymas: x 1 = 8 x 2 = -12

* Galite iš karto padalyti kairę ir dešinę lygties puses iš 2, tai yra, supaprastinti. Skaičiavimai bus lengvesni.

2 pavyzdys: Nuspręsk x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac = (–22) 2 –4, 1, 121 = 484–484 = 0

Gavome x 1 \u003d 11 ir x 2 \u003d 11

Atsakyme leidžiama rašyti x = 11.

Atsakymas: x = 11

3 pavyzdys: Nuspręsk x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 -4ac = (-8) 2 -4, 1, 72 = 64 - 288 = -224

Diskriminantas yra neigiamas, realiaisiais skaičiais sprendimo nėra.

Atsakymas: nėra sprendimo

Diskriminantas yra neigiamas. Yra sprendimas!

Čia kalbėsime apie lygties sprendimą tuo atveju, kai gaunamas neigiamas diskriminantas. Ar žinote ką nors apie kompleksinius skaičius? Čia nenagrinėsiu, kodėl ir kur jie atsirado ir koks jų specifinis vaidmuo ir būtinybė matematikoje, tai yra didelio atskiro straipsnio tema.

Kompleksinio skaičiaus samprata.

Šiek tiek teorijos.

Kompleksinis skaičius z yra formos skaičius

z = a + bi

kur a ir b yra realieji skaičiai, i yra vadinamasis įsivaizduojamas vienetas.

a+bi yra VIENAS SKAIČIUS, o ne priedas.

Įsivaizduojamas vienetas yra lygus minus vieneto šaknei:

Dabar apsvarstykite lygtį:

Gaukite dvi konjuguotas šaknis.

Nebaigta kvadratinė lygtis.

Apsvarstykite specialius atvejus, kai koeficientas "b" arba "c" yra lygus nuliui (arba abu yra lygūs nuliui). Jie lengvai išsprendžiami be jokių diskriminavimo priemonių.

1 atvejis. Koeficientas b = 0.

Lygtis įgauna tokią formą:

Transformuokime:

Pavyzdys:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

2 atvejis. Koeficientas c = 0.

Lygtis įgauna tokią formą:

Transformuoti, koeficientuoti:

* Produktas yra lygus nuliui, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui.

Pavyzdys:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x-5) =0 => x = 0 arba x-5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

3 atvejis. Koeficientai b = 0 ir c = 0.

Čia aišku, kad lygties sprendimas visada bus x = 0.

Naudingos koeficientų savybės ir modeliai.

Yra savybių, kurios leidžia išspręsti lygtis su dideliais koeficientais.

ax 2 + bx+ c=0 lygybė

a + b+ c = 0, tada

— jei lygties koeficientams ax 2 + bx+ c=0 lygybė

a+ su =b, tada

Šios savybės padeda išspręsti tam tikros rūšies lygtį.

1 pavyzdys: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Koeficientų suma yra 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, taigi

2 pavyzdys: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Lygybė a+ su =b, reiškia

Koeficientų dėsningumai.

1. Jei lygtyje ax 2 + bx + c \u003d 0 koeficientas "b" yra (a 2 +1), o koeficientas "c" yra skaitine prasme lygus koeficientui "a", tada jo šaknys yra

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Jei lygtyje ax 2 - bx + c \u003d 0, koeficientas "b" yra (a 2 +1), o koeficientas "c" yra skaitine prasme lygus koeficientui "a", tada jo šaknys yra

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Jei lygtyje ax 2 + bx - c = 0 koeficientas "b" lygus (a 2 – 1), o koeficientas „c“ skaičiais lygus koeficientui "a", tada jo šaknys lygios

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Jei lygtyje ax 2 - bx - c \u003d 0, koeficientas "b" yra lygus (a 2 - 1), o koeficientas c yra skaitiniu būdu lygus koeficientui "a", tada jo šaknys yra

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Vietos teorema.

Vietos teorema pavadinta garsaus prancūzų matematiko Francois Vieta vardu. Naudojant Vietos teoremą, galima išreikšti savavališko KU šaknų sumą ir sandaugą jo koeficientais.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Apibendrinant, skaičius 14 duoda tik 5 ir 9. Tai yra šaknys. Turėdami tam tikrų įgūdžių, naudodami pateiktą teoremą, galite iškart žodžiu išspręsti daugybę kvadratinių lygčių.

Vietos teorema, be to. patogu, nes įprastu būdu (per diskriminantą) išsprendus kvadratinę lygtį galima patikrinti gautas šaknis. Aš rekomenduoju tai daryti visą laiką.

PERDAVIMO METODAS

Šiuo metodu koeficientas "a" dauginamas iš laisvojo termino, tarsi "perkeliamas" į jį, todėl jis vadinamas perdavimo būdas.Šis metodas naudojamas, kai lengva rasti lygties šaknis naudojant Vietos teoremą ir, svarbiausia, kai diskriminantas yra tikslus kvadratas.

Jeigu a± b+c≠ 0, tada naudojama perdavimo technika, pavyzdžiui:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Pagal Vieta teoremą (2) lygtyje nesunku nustatyti, kad x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Gautas lygties šaknis reikia padalyti iš 2 (kadangi du buvo „išmesti“ iš x 2), gauname

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Koks yra loginis pagrindas? Pažiūrėkite, kas vyksta.

(1) ir (2) lygčių diskriminantai yra šie:

Jei pažvelgsite į lygčių šaknis, gaunami tik skirtingi vardikliai, o rezultatas tiksliai priklauso nuo koeficiento x 2:

Antrosios (modifikuotos) šaknys yra 2 kartus didesnės.

Todėl rezultatą padalijame iš 2.

*Jei ridename tris vienodus, tai rezultatą dalijame iš 3 ir t.t.

Atsakymas: x 1 = 5 x 2 = 0,5

kv. ur-ie ir egzaminas.

Apie jo svarbą pasakysiu trumpai - TURĖKITE MESTI greitai ir negalvodami, reikia mintinai žinoti šaknų ir diskriminanto formules. Daugelis užduočių, kurios yra USE užduočių dalis, yra susijusios su kvadratinės lygties (įskaitant geometrines) sprendimu.

Į ką verta atkreipti dėmesį!

1. Lygties forma gali būti „numanoma“. Pavyzdžiui, galimas toks įrašas:

15+ 9x 2 - 45x = 0 arba 15x + 42 + 9x 2 - 45x = 0 arba 15 -5x + 10x 2 = 0.

Turite jį pateikti į standartinę formą (kad nesusipainiotumėte sprendžiant).

2. Atsiminkite, kad x yra nežinoma reikšmė ir ji gali būti žymima bet kuria kita raide – t, q, p, h ir kt.

Ši tema iš pradžių gali pasirodyti sudėtinga dėl daugybės ne tokių paprastų formulių. Ne tik pačios kvadratinės lygtys turi ilgus įrašus, bet ir šaknys randamos per diskriminantą. Iš viso yra trys naujos formulės. Nelabai lengva prisiminti. Tai įmanoma tik dažnai sprendžiant tokias lygtis. Tada visos formulės įsimins pačios.

Bendras kvadratinės lygties vaizdas

Čia siūlomas jų aiškus žymėjimas, kai pirmiausia rašomas didžiausias laipsnis, o po to - mažėjančia tvarka. Dažnai pasitaiko situacijų, kai terminai skiriasi. Tada geriau perrašyti lygtį kintamojo laipsnio mažėjimo tvarka.

Pristatykime žymėjimą. Jie pateikiami toliau esančioje lentelėje.

Jei priimsime šiuos žymėjimus, visos kvadratinės lygtys bus sumažintos iki tokio žymėjimo.

Be to, koeficientas a ≠ 0. Ši formulė žymima skaičiumi vienu.

Pateikus lygtį neaišku, kiek šaknų bus atsakyme. Kadangi visada galimas vienas iš trijų variantų:

• tirpalas turės dvi šaknis;
• atsakymas bus vienas skaičius;
• Lygtis iš viso neturi šaknų.

Ir nors sprendimas neprieinamas iki galo, sunku suprasti, kuris iš variantų konkrečiu atveju iškris.

Kvadratinių lygčių įrašų tipai

Užduotys gali turėti skirtingus įrašus. Jie ne visada atrodys kaip bendra kvadratinės lygties formulė. Kartais pritrūks kai kurių terminų. Tai, kas buvo parašyta aukščiau, yra visa lygtis. Jei pašalinsite antrą ar trečią terminą, gausite ką nors kita. Šie įrašai dar vadinami kvadratinėmis lygtimis, tik nepilnais.

Be to, gali išnykti tik tie terminai, kurių koeficientai „b“ ir „c“. Skaičius „a“ jokiomis aplinkybėmis negali būti lygus nuliui. Nes tokiu atveju formulė virsta tiesine lygtimi. Neišsamios lygčių formos formulės bus tokios:

Taigi, yra tik dviejų tipų, be pilnųjų, yra ir nepilnų kvadratinių lygčių. Tegul pirmoji formulė yra numeris du, o antroji - trys.

Diskriminantas ir šaknų skaičiaus priklausomybė nuo jo vertės

Šis skaičius turi būti žinomas, kad būtų galima apskaičiuoti lygties šaknis. Jį visada galima apskaičiuoti, nesvarbu, kokia būtų kvadratinės lygties formulė. Norėdami apskaičiuoti diskriminantą, turite naudoti žemiau parašytą lygybę, kuri turės skaičių keturi.

Pakeitę koeficientų reikšmes į šią formulę, galite gauti skaičius su skirtingais ženklais. Jei atsakymas yra taip, tada lygties atsakymas bus dvi skirtingos šaknys. Esant neigiamam skaičiui, kvadratinės lygties šaknų nebus. Jei jis lygus nuliui, atsakymas bus vienas.

Kaip išsprendžiama visa kvadratinė lygtis?

Tiesą sakant, šis klausimas jau pradėtas svarstyti. Nes pirmiausia reikia rasti diskriminantą. Išaiškinus, kad yra kvadratinės lygties šaknys ir žinomas jų skaičius, reikia naudoti kintamųjų formules. Jei yra dvi šaknys, tuomet reikia taikyti tokią formulę.

Kadangi jame yra ženklas „±“, bus dvi reikšmės. Po kvadratinės šaknies ženklu esanti išraiška yra diskriminantas. Todėl formulę galima perrašyti kitaip.

Formulė penkta. Iš to paties įrašo matyti, kad jei diskriminantas yra nulis, tada abi šaknys įgis tokias pačias reikšmes.

Jei kvadratinių lygčių sprendimas dar nebuvo parengtas, tada prieš taikant diskriminacines ir kintamąsias formules geriau užsirašyti visų koeficientų reikšmes. Vėliau šis momentas nesukels sunkumų. Tačiau pačioje pradžioje kyla painiava.

Kaip sprendžiama nepilna kvadratinė lygtis?

Čia viskas daug paprasčiau. Net nereikia papildomų formulių. Ir nereikės tų, kurie jau parašyti diskriminantui ir nežinomam.

Pirma, apsvarstykite nepilną lygtį numeris du. Šioje lygybėje iš skliaustų išimama nežinoma reikšmė ir išspręsta tiesinė lygtis, kuri liks skliausteliuose. Atsakymas turės dvi šaknis. Pirmasis būtinai lygus nuliui, nes yra faktorius, susidedantis iš paties kintamojo. Antrasis gaunamas sprendžiant tiesinę lygtį.

Nebaigta lygtis, esanti skaičiumi trys, išspręsta perkeliant skaičių iš kairės lygties pusės į dešinę. Tada reikia padalyti iš koeficiento prieš nežinomąjį. Belieka tik ištraukti kvadratinę šaknį ir nepamiršti jos užsirašyti du kartus priešingais ženklais.

Toliau pateikiami keli veiksmai, padedantys išmokti išspręsti visų rūšių lygybes, kurios virsta kvadratinėmis lygtimis. Jie padės mokiniui išvengti klaidų dėl neatidumo. Šie trūkumai yra prastų pažymių priežastis studijuojant plačią temą „Kvadratinės lygtys (8 klasė)“. Vėliau šių veiksmų nereikės nuolat atlikti. Nes bus stabilus įprotis.

• Pirmiausia turite parašyti lygtį standartine forma. Tai yra, pirmiausia terminas su didžiausiu kintamojo laipsniu, o tada - be laipsnio, o paskutinis - tik skaičius.

• Jei prieš koeficientą „a“ atsiranda minusas, tai gali apsunkinti pradedančiajam studijuoti kvadratines lygtis. Geriau jo atsikratyti. Šiuo tikslu visa lygybė turi būti padauginta iš „-1“. Tai reiškia, kad visi terminai pakeis ženklą į priešingą.

• Lygiai taip pat rekomenduojama atsikratyti frakcijų. Tiesiog padauginkite lygtį iš atitinkamo koeficiento, kad vardikliai panaikintų.

Pavyzdžiai

Būtina išspręsti šias kvadratines lygtis:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

Pirmoji lygtis: x 2 - 7x \u003d 0. Ji neišsami, todėl išspręsta taip, kaip aprašyta formulėje numeris antroji.

Po skliaustų pasirodo: x (x - 7) \u003d 0.

Pirmoji šaknis įgauna reikšmę: x 1 \u003d 0. Antroji bus rasta iš tiesinės lygties: x - 7 \u003d 0. Nesunku pastebėti, kad x 2 \u003d 7.

Antroji lygtis: 5x2 + 30 = 0. Vėlgi nepilna. Tik ji išspręsta taip, kaip aprašyta trečiojoje formulėje.

Perkėlus 30 į dešinę lygties pusę: 5x 2 = 30. Dabar reikia padalyti iš 5. Pasirodo: x 2 = 6. Atsakymai bus skaičiai: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Trečioji lygtis: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Čia ir žemiau kvadratinių lygčių sprendimas prasidės perrašant jas į standartinę formą: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Dabar atėjo laikas naudoti antrąją naudingas patarimas ir viską padauginkite iš minus vieno . Pasirodo x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Pagal ketvirtąją formulę reikia apskaičiuoti diskriminantą: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Tai yra teigiamas skaičius. Iš to, kas pasakyta aukščiau, paaiškėja, kad lygtis turi dvi šaknis. Juos reikia skaičiuoti pagal penktąją formulę. Pagal jį paaiškėja, kad x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Tada x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Ketvirtoji lygtis x 2 + 8 + 3x \u003d 0 paverčiama taip: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Jos diskriminantas yra lygus šiai reikšmei: -23. Kadangi šis skaičius yra neigiamas, atsakymas į šią užduotį bus toks: „Šaknų nėra“.

Penktąją lygtį 12x + x 2 + 36 = 0 reikia perrašyti taip: x 2 + 12x + 36 = 0. Pritaikius diskriminanto formulę, gaunamas skaičius nulis. Tai reiškia, kad jis turės vieną šaknį, būtent: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Šeštoji lygtis (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) reikalauja transformacijų, kurios susideda iš to, kad prieš atidarant skliaustus reikia pateikti panašius terminus. Vietoj pirmojo bus tokia išraiška: x 2 + 2x + 1. Po lygybės pasirodys šis įrašas: x 2 + 3x + 2. Suskaičiavus panašius narius, lygtis bus tokia forma: x 2 - x \u003d 0. Jis tapo neužbaigtas . Panašus į jį jau buvo laikomas šiek tiek didesnis. To šaknys bus skaičiai 0 ir 1.

Šiuolaikinėje visuomenėje galimybė dirbti su lygtimis, turinčiomis kvadratinį kintamąjį, gali būti naudinga daugelyje veiklos sričių ir yra plačiai naudojama praktikoje mokslo ir technikos raidoje. Tai liudija jūrų ir upių laivų, orlaivių ir raketų konstrukcija. Tokių skaičiavimų pagalba nustatomos įvairių kūnų, tarp jų ir kosminių objektų, judėjimo trajektorijos. Kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžiai naudojami ne tik ekonominiam prognozavimui, pastatų projektavimui ir statybai, bet ir įprastomis kasdienėmis aplinkybėmis. Jų gali prireikti stovyklaujant, sporto renginiuose, parduotuvėse perkant ir kitose labai įprastose situacijose.

Išskaidykime išraišką į komponentinius veiksnius

Lygties laipsnis nustatomas pagal didžiausią kintamojo laipsnio reikšmę, kurią sudaro pateikta išraiška. Jei ji lygi 2, tai tokia lygtis vadinama kvadratine lygtimi.

Jei kalbėtume formulių kalba, tai šie posakiai, kad ir kaip jie atrodytų, visada gali būti perkeliami į formą, kai kairėje išraiškos pusėje yra trys terminai. Tarp jų: ​​ax 2 (ty kintamasis kvadratas su jo koeficientu), bx (nežinomasis be kvadrato su jo koeficientu) ir c (laisvasis komponentas, tai yra įprastas skaičius). Visa tai dešinėje yra lygi 0. Tuo atveju, kai toks daugianario nėra vieno iš jo sudedamųjų dalių, išskyrus ax 2, jis vadinamas nepilna kvadratine lygtimi. Pirmiausia reikėtų apsvarstyti tokių uždavinių sprendimo pavyzdžius, kuriuose kintamųjų reikšmę nesunku rasti.

Jei išraiška atrodo taip, kad dešinėje išraiškos pusėje yra du terminai, tiksliau ax 2 ir bx, lengviausia x rasti kintamąjį skliausteliuose. Dabar mūsų lygtis atrodys taip: x(ax+b). Be to, tampa akivaizdu, kad arba x=0, arba problema redukuojama iki kintamojo suradimo iš šios išraiškos: ax+b=0. Tai lemia viena iš daugybos savybių. Taisyklė sako, kad dviejų veiksnių sandauga yra 0 tik tada, kai vienas iš jų yra lygus nuliui.

Pavyzdys

x = 0 arba 8x - 3 = 0

Dėl to gauname dvi lygties šaknis: 0 ir 0,375.

Tokios lygtys gali apibūdinti kūnų judėjimą veikiant gravitacijai, kurie pradėjo judėti iš tam tikro taško, laikomo pradžia. Čia matematinis žymėjimas įgauna tokią formą: y = v 0 t + gt 2 /2. Pakeitę reikiamas reikšmes, prilygindami dešinę pusę su 0 ir suradę galimus nežinomus dalykus, galite sužinoti laiką, prabėgusį nuo kūno pakilimo iki kritimo, taip pat daugybę kitų dydžių. Bet apie tai pakalbėsime vėliau.

Išraiškos faktorius

Aukščiau aprašyta taisyklė leidžia išspręsti šias problemas sudėtingesniais atvejais. Apsvarstykite tokio tipo kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžius.

X2 – 33x + 200 = 0

Šis kvadratinis trinomas baigtas. Pirmiausia transformuojame išraišką ir išskaidome ją į veiksnius. Jų yra dvi: (x-8) ir (x-25) = 0. Dėl to turime dvi šaknis 8 ir 25.

Pavyzdžiai su kvadratinių lygčių sprendimu 9 klasėje leidžia šiuo metodu rasti kintamąjį ne tik antros, bet net ir trečios bei ketvirtos eilės išraiškose.

Pavyzdžiui: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Skaičiuojant dešinę pusę į veiksnius su kintamuoju, yra trys iš jų, tai yra (x + 1), (x-3) ir (x + 3).

Dėl to tampa akivaizdu, kad ši lygtis turi tris šaknis: -3; - vienas; 3.

Kvadratinės šaknies ištraukimas

Kitas nepilnos antros eilės lygties atvejis – tai raidžių kalba parašyta išraiška taip, kad dešinioji pusė yra pastatyta iš komponentų ax 2 ir c. Čia, norint gauti kintamojo reikšmę, laisvasis narys perkeliamas į dešinę pusę, o po to iš abiejų lygybės pusių ištraukiama kvadratinė šaknis. Reikia pažymėti, kad šiuo atveju dažniausiai yra dvi lygties šaknys. Vienintelės išimtys yra lygybės, kuriose visiškai nėra termino c, kur kintamasis lygus nuliui, taip pat reiškinių variantai, kai dešinioji pusė pasirodo esanti neigiama. Pastaruoju atveju iš viso nėra sprendimų, nes pirmiau minėtų veiksmų negalima atlikti su šaknimis. Reikėtų apsvarstyti tokio tipo kvadratinių lygčių sprendimų pavyzdžius.

Šiuo atveju lygties šaknys bus skaičiai -4 ir 4.

Žemės ploto apskaičiavimas

Tokio pobūdžio skaičiavimų poreikis atsirado senovėje, nes tais tolimais laikais matematikos raidą daugiausia lėmė būtinybė kuo tiksliau nustatyti žemės sklypų plotus ir perimetrus.

Taip pat turėtume apsvarstyti kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžius, sudarytus remiantis tokio pobūdžio problemomis.

Taigi, tarkime, yra stačiakampis žemės sklypas, kurio ilgis yra 16 metrų didesnis nei plotis. Turėtumėte sužinoti sklypo ilgį, plotį ir perimetrą, jei žinoma, kad jos plotas yra 612 m 2.

Pradėdami verslą, iš pradžių sudarysime reikiamą lygtį. Atkarpos plotį pažymėkime x, tada jos ilgis bus (x + 16). Iš to, kas parašyta, išplaukia, kad plotas nustatomas pagal išraišką x (x + 16), kuri pagal mūsų uždavinio sąlygą yra 612. Tai reiškia, kad x (x + 16) \u003d 612.

Išsamių kvadratinių lygčių sprendimas, o ši išraiška yra būtent tokia, negali būti atliktas tokiu pačiu būdu. Kodėl? Nors kairėje jo pusėje vis dar yra du faktoriai, tačiau jų sandauga visai nelygi 0, todėl čia naudojami kiti metodai.

Diskriminuojantis

Pirmiausia atliksime reikiamas transformacijas, tada šios išraiškos išvaizda atrodys taip: x 2 + 16x - 612 = 0. Tai reiškia, kad gavome anksčiau nurodytą standartą atitinkančios formos išraišką, kur a = 1, b = 16, c = -612.

Tai gali būti kvadratinių lygčių sprendimo naudojant diskriminantą pavyzdys. Čia reikalingi skaičiavimai atliekami pagal schemą: D = b 2 - 4ac. Ši pagalbinė vertė ne tik leidžia rasti norimas reikšmes antros eilės lygtyje, bet ir nustato galimų variantų skaičių. D>0 atveju jų yra du; D=0 yra viena šaknis. Tuo atveju, kai D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Apie šaknis ir jų formulę

Mūsų atveju diskriminantas yra: 256 - 4(-612) = 2704. Tai rodo, kad mūsų problema turi atsakymą. Jei žinote, kvadratinių lygčių sprendimas turi būti tęsiamas naudojant toliau pateiktą formulę. Tai leidžia apskaičiuoti šaknis.

Tai reiškia, kad pateiktu atveju: x 1 =18, x 2 =-34. Antrasis variantas šioje dilemoje negali būti sprendimas, nes žemės sklypo dydis negali būti matuojamas neigiamomis reikšmėmis, o tai reiškia, kad x (tai yra sklypo plotis) yra 18 m. Iš čia skaičiuojame ilgį: 18+16=34, o perimetras 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Pavyzdžiai ir užduotys

Tęsiame kvadratinių lygčių tyrimą. Toliau bus pateikti pavyzdžiai ir išsamus kelių iš jų sprendimas.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Viską perkelkime į kairę lygybės pusę, atliksime transformaciją, tai yra gausime lygties formą, kuri paprastai vadinama standartine, ir prilyginkime nuliui.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Pridėję panašius, nustatome diskriminantą: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Taigi mūsų lygtis turės dvi šaknis. Apskaičiuojame juos pagal aukščiau pateiktą formulę, o tai reiškia, kad pirmasis iš jų bus lygus 4/3, o antrasis - 1.

2) Dabar mes atskleisime kitokio pobūdžio mįsles.

Išsiaiškinkime, ar čia iš viso yra šaknų x 2 - 4x + 5 = 1? Norėdami gauti išsamų atsakymą, daugianarį perkeliame į atitinkamą pažįstamą formą ir apskaičiuojame diskriminantą. Šiame pavyzdyje nebūtina spręsti kvadratinės lygties, nes problemos esmė visai ne tame. Šiuo atveju D \u003d 16 - 20 \u003d -4, o tai reiškia, kad šaknų tikrai nėra.

Vietos teorema

Kvadratines lygtis patogu spręsti naudojant aukščiau pateiktas formules ir diskriminantą, kai iš pastarojo reikšmės išimama kvadratinė šaknis. Tačiau taip nutinka ne visada. Tačiau šiuo atveju yra daug būdų, kaip gauti kintamųjų reikšmes. Pavyzdys: kvadratinių lygčių sprendimas naudojant Vietos teoremą. Jis pavadintas žmogaus, gyvenusio XVI a. Prancūzijoje ir dėl savo matematinio talento ir ryšių dvaro dėka, padariusio puikią karjerą. Jo portretą galima pamatyti straipsnyje.

Modelis, kurį pastebėjo garsus prancūzas, buvo toks. Jis įrodė, kad lygties šaknų suma lygi -p=b/a, o jų sandauga atitinka q=c/a.

Dabar pažvelkime į konkrečias užduotis.

3x2 + 21x - 54 = 0

Kad būtų paprasčiau, pakeiskime išraišką:

x 2 + 7x - 18 = 0

Naudojant Vieta teoremą, tai duos mums taip: šaknų suma yra -7, o jų sandauga yra -18. Iš čia gauname, kad lygties šaknys yra skaičiai -9 ir 2. Patikrinę įsitikinsime, kad šios kintamųjų reikšmės tikrai telpa į išraišką.

Parabolės grafikas ir lygtis

Kvadratinės funkcijos ir kvadratinių lygčių sąvokos yra glaudžiai susijusios. To pavyzdžiai jau buvo pateikti anksčiau. Dabar pažvelkime į kai kuriuos matematinius galvosūkius šiek tiek išsamiau. Bet kuri aprašyto tipo lygtis gali būti pavaizduota vizualiai. Tokia priklausomybė, nubrėžta grafiko pavidalu, vadinama parabole. Įvairūs jo tipai parodyti paveikslėlyje žemiau.

Bet kuri parabolė turi viršūnę, tai yra tašką, iš kurio išeina jos šakos. Jei a>0, jie kyla aukštai iki begalybės, o kai a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizualus funkcijų atvaizdavimas padeda išspręsti bet kokias lygtis, įskaitant kvadratines. Šis metodas vadinamas grafiniu. O kintamojo x reikšmė yra abscisių koordinatė taškuose, kur grafiko linija susikerta su 0x. Viršūnės koordinates galima rasti pagal ką tik pateiktą formulę x 0 = -b / 2a. Ir pakeisdami gautą reikšmę į pradinę funkcijos lygtį, galite sužinoti y 0, tai yra, antrąją parabolės viršūnės koordinatę, priklausančią y ašiai.

Parabolės šakų susikirtimas su abscisių ašimi

Yra daug kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžių, tačiau yra ir bendrų modelių. Apsvarstykime juos. Akivaizdu, kad grafiko susikirtimas su 0x ašimi, kai a>0 yra įmanomas tik tuo atveju, jei y 0 įgyja neigiamas reikšmes. Ir už a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Priešingu atveju D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Iš parabolės grafiko taip pat galite nustatyti šaknis. Ir atvirkščiai. Tai yra, jei nėra lengva gauti vaizdinį kvadratinės funkcijos vaizdą, dešinę išraiškos pusę galite prilyginti 0 ir išspręsti gautą lygtį. O žinant susikirtimo taškus su 0x ašimi, braižyti lengviau.

Iš istorijos

Naudojant lygtis, turinčias kvadratinį kintamąjį, senais laikais buvo ne tik matematiniai skaičiavimai, bet ir geometrinių formų plotas. Tokių skaičiavimų senovės žmonėms prireikė grandioziniams fizikos ir astronomijos atradimams, taip pat astrologinėms prognozėms daryti.

Kaip teigia šiuolaikiniai mokslininkai, Babilono gyventojai vieni pirmųjų išsprendė kvadratines lygtis. Tai įvyko keturis šimtmečius iki mūsų eros atsiradimo. Žinoma, jų skaičiavimai iš esmės skyrėsi nuo šiuo metu priimtų ir pasirodė esą daug primityvesni. Pavyzdžiui, Mesopotamijos matematikai neturėjo supratimo apie neigiamų skaičių egzistavimą. Jiems nebuvo pažįstamos ir kitos subtilybės, kurias žinojo bet kuris mūsų laikų studentas.

Galbūt net anksčiau nei Babilono mokslininkai išminčius iš Indijos Baudhayama ėmėsi kvadratinių lygčių sprendimo. Tai atsitiko maždaug aštuonis šimtmečius prieš Kristaus eros atėjimą. Tiesa, antros eilės lygtys, jo pateikti sprendimo būdai buvo patys paprasčiausi. Be jo, senais laikais panašiais klausimais domėjosi ir kinų matematikai. Europoje kvadratinės lygtys pradėtos spręsti tik XIII amžiaus pradžioje, tačiau vėliau jas savo darbuose naudojo tokie puikūs mokslininkai kaip Niutonas, Dekartas ir daugelis kitų.