Kaip parašyti kvadratinę lygtį žinant šaknis. Kvadratinės lygtys – pavyzdžiai su sprendiniais, požymiais ir formulėmis

Mes ir toliau nagrinėjame temą lygčių sprendimas“. Mes jau susipažinome su tiesinėmis lygtimis, o dabar susipažinsime kvadratines lygtis.

Pirmiausia aptarsime, kas yra kvadratinė lygtis, kaip ji rašoma bendra forma ir pateiksime susijusius apibrėžimus. Po to, naudodamiesi pavyzdžiais, detaliai išanalizuosime, kaip sprendžiamos nepilnos kvadratinės lygtys. Toliau pereiname prie pilnųjų lygčių sprendimo, gauname šaknų formulę, susipažįstame su kvadratinės lygties diskriminantu ir svarstome tipinių pavyzdžių sprendimus. Galiausiai atsekame ryšius tarp šaknų ir koeficientų.

Puslapio naršymas.

Kas yra kvadratinė lygtis? Jų rūšys

Pirmiausia turite aiškiai suprasti, kas yra kvadratinė lygtis. Todėl logiška pradėti kalbėti apie kvadratines lygtis su kvadratinės lygties apibrėžimu, taip pat su ja susijusiais apibrėžimais. Po to galite apsvarstyti pagrindinius kvadratinių lygčių tipus: redukuotas ir nesumažintas, taip pat pilnas ir nepilnas lygtis.

Kvadratinių lygčių apibrėžimas ir pavyzdžiai

Apibrėžimas.

Kvadratinė lygtis yra formos lygtis a x 2 +b x+c=0, kur x yra kintamasis, a , b ir c yra kai kurie skaičiai, o a skiriasi nuo nulio.

Iš karto pasakykime, kad kvadratinės lygtys dažnai vadinamos antrojo laipsnio lygtimis. Taip yra todėl, kad kvadratinė lygtis yra algebrinė lygtis antrasis laipsnis.

Įgarsintas apibrėžimas leidžia pateikti kvadratinių lygčių pavyzdžių. Taigi 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0 ir t.t. yra kvadratinės lygtys.

Apibrėžimas.

Skaičiai vadinami a , b ir c kvadratinės lygties koeficientai a x 2 + b x + c \u003d 0, o koeficientas a vadinamas pirmuoju, arba vyresniuoju, arba koeficientu x 2, b yra antrasis koeficientas arba koeficientas x, o c yra laisvasis narys.

Pavyzdžiui, paimkime kvadratinę lygtį, kurios forma yra 5 x 2 −2 x−3=0, čia pirmaujantis koeficientas yra 5, antrasis koeficientas yra −2, o laisvasis narys −3. Atkreipkite dėmesį, kad kai koeficientai b ir (arba) c yra neigiami, kaip ką tik pateiktame pavyzdyje, naudojama trumpoji kvadratinės lygties forma 5 x 2 −2 x−3=0, o ne 5 x 2 +(− 2 )x+(−3)=0 .

Verta pažymėti, kad kai koeficientai a ir (arba) b yra lygūs 1 arba –1, tada kvadratinės lygties žymėjime jie paprastai nėra aiškiai išreikšti, o tai yra dėl tokių žymėjimo ypatumų. Pavyzdžiui, kvadratinėje lygtyje y 2 −y+3=0 pirmaujantis koeficientas yra vienas, o koeficientas ties y yra −1.

Sumažintos ir neredukuotos kvadratinės lygtys

Priklausomai nuo pirmaujančio koeficiento reikšmės, skiriamos redukuotos ir neredukuotos kvadratinės lygtys. Pateiksime atitinkamus apibrėžimus.

Apibrėžimas.

Vadinama kvadratinė lygtis, kurios pirmaujantis koeficientas yra 1 redukuota kvadratinė lygtis. Priešingu atveju kvadratinė lygtis yra nesumažintas.

Pagal šį apibrėžimą kvadratinės lygtys x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 ir kt. - sumažintas, kiekviename iš jų pirmasis koeficientas yra lygus vienetui. Ir 5 x 2 −x−1=0 ir t.t. - neredukuotos kvadratinės lygtys, jų pirmaujantys koeficientai skiriasi nuo 1 .

Iš bet kurios neredukuotos kvadratinės lygties, padalijus abi jos dalis iš pirmaujančio koeficiento, galite pereiti prie redukuotos. Šis veiksmas yra lygiavertė transformacija, tai yra, tokiu būdu gauta sumažinta kvadratinė lygtis turi tas pačias šaknis kaip ir pradinė neredukuota kvadratinė lygtis arba, kaip ji, neturi šaknų.

Paimkime pavyzdį, kaip atliekamas perėjimas iš neredukuotos kvadratinės lygties į redukuotą.

Pavyzdys.

Iš lygties 3 x 2 +12 x−7=0 pereikite prie atitinkamos sumažintos kvadratinės lygties.

Sprendimas.

Mums pakanka atlikti abiejų pradinės lygties dalių padalijimą iš pirmaujančio koeficiento 3, jis yra ne nulis, todėl galime atlikti šį veiksmą. Turime (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, tai yra tas pats kaip (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 ir t.t. (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , iš kur . Taigi mes gavome sumažintą kvadratinę lygtį, kuri yra lygiavertė pradinei.

Atsakymas:

Pilnos ir nepilnos kvadratinės lygtys

Kvadratinės lygties apibrėžime yra sąlyga a≠0. Ši sąlyga būtina, kad lygtis a x 2 +b x+c=0 būtų tiksliai kvadratinė, nes esant a=0 ji iš tikrųjų tampa b x+c=0 formos tiesine lygtimi.

Kalbant apie koeficientus b ir c, jie gali būti lygūs nuliui tiek atskirai, tiek kartu. Tokiais atvejais kvadratinė lygtis vadinama nepilna.

Apibrėžimas.

Vadinama kvadratine lygtimi a x 2 +b x+c=0 Nebaigtas, jei bent vienas iš koeficientų b , c lygus nuliui.

Savo ruožtu

Apibrėžimas.

Pilna kvadratinė lygtis yra lygtis, kurioje visi koeficientai skiriasi nuo nulio.

Šie vardai pateikti neatsitiktinai. Tai paaiškės iš tolesnės diskusijos.

Jei koeficientas b lygus nuliui, tai kvadratinė lygtis įgauna formą a x 2 +0 x+c=0 ir yra lygiavertė lygčiai a x 2 +c=0 . Jei c=0, tai yra, kvadratinė lygtis yra a x 2 +b x+0=0, tada ją galima perrašyti į x 2 +b x=0. O su b=0 ir c=0 gauname kvadratinę lygtį a·x 2 =0. Gautos lygtys skiriasi nuo pilnos kvadratinės lygties tuo, kad jų kairėje pusėje nėra nei termino su kintamuoju x, nei laisvojo nario, nei abiejų. Iš čia ir kilo jų pavadinimas – nepilnos kvadratinės lygtys.

Taigi lygtys x 2 +x+1=0 ir −2 x 2 −5 x+0,2=0 yra pilnų kvadratinių lygčių pavyzdžiai, o x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 yra nepilnos kvadratinės lygtys.

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas

Iš ankstesnėje pastraipoje pateiktos informacijos matyti, kad yra trijų rūšių nepilnos kvadratinės lygtys:

a x 2 =0 , jį atitinka koeficientai b=0 ir c=0;
ax2 +c=0, kai b=0;
ir a x 2 +b x=0, kai c=0 .

Išanalizuokime eilės tvarka, kaip sprendžiamos kiekvieno iš šių tipų nepilnos kvadratinės lygtys.

a x 2 \u003d 0

Pradėkime spręsdami nepilnas kvadratines lygtis, kuriose koeficientai b ir c lygūs nuliui, tai yra a x 2 =0 formos lygtimis. Lygtis a·x 2 =0 yra lygiavertė lygčiai x 2 =0, kuri gaunama iš originalo, padalijus abi jos dalis iš ne nulinio skaičiaus a. Akivaizdu, kad lygties x 2 \u003d 0 šaknis yra lygi nuliui, nes 0 2 \u003d 0. Ši lygtis neturi kitų šaknų, o tai paaiškinama, iš tiesų, bet kuriam nuliui nepriklausančiam skaičiui p įvyksta nelygybė p 2 >0, o tai reiškia, kad esant p≠0 lygybė p 2 =0 niekada nepasiekiama.

Taigi, nepilna kvadratinė lygtis a x 2 \u003d 0 turi vieną šaknį x \u003d 0.

Kaip pavyzdį pateikiame nepilnos kvadratinės lygties −4·x 2 =0 sprendinį. Ji atitinka lygtį x 2 \u003d 0, jos vienintelė šaknis yra x \u003d 0, todėl pradinė lygtis turi vieną šaknies nulį.

Trumpas sprendimas šiuo atveju gali būti pateiktas taip:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Dabar apsvarstykite, kaip sprendžiamos nepilnos kvadratinės lygtys, kuriose koeficientas b lygus nuliui, o c≠0, tai yra a x 2 +c=0 formos lygtys. Žinome, kad termino perkėlimas iš vienos lygties pusės į kitą su priešingu ženklu, taip pat abiejų lygties pusių padalijimas ne nuliu skaičiumi, duoda lygiavertę lygtį. Todėl galima atlikti šias lygiavertes nepilnos kvadratinės lygties a x 2 +c=0 transformacijas:

perkelkite c į dešinę pusę, taip gaunama lygtis a x 2 =-c,
ir padalyti abi jo dalis iš a , gauname .

Gauta lygtis leidžia daryti išvadas apie jos šaknis. Priklausomai nuo a ir c reikšmių, išraiškos reikšmė gali būti neigiama (pavyzdžiui, jei a=1 ir c=2 , tada ) arba teigiama (pavyzdžiui, jei a=-2 ir c=6 , tada ), jis nėra lygus nuliui , nes pagal sąlygą c≠0 . Atskirai analizuosime atvejus ir .

Jei , tai lygtis neturi šaknų. Šis teiginys išplaukia iš to, kad bet kurio skaičiaus kvadratas yra neneigiamas skaičius. Iš to išplaukia, kad kai , tada bet kuriam skaičiui p lygybė negali būti teisinga.

Jei , tada situacija su lygties šaknimis yra kitokia. Šiuo atveju, jei prisiminsime apie, tada lygties šaknis iš karto tampa akivaizdi, tai yra skaičius, nes. Nesunku atspėti, kad skaičius taip pat yra lygties šaknis, iš tikrųjų . Ši lygtis neturi kitų šaknų, kurias galima parodyti, pavyzdžiui, prieštaravimu. Padarykime tai.

Ką tik išsakytas lygties šaknis pažymėkime x 1 ir −x 1 . Tarkime, kad lygtis turi kitą šaknį x 2, kuri skiriasi nuo nurodytų šaknų x 1 ir −x 1 . Yra žinoma, kad pakeitimas į lygtį vietoj jos šaknų x paverčia lygtį tikra skaitine lygybe. Jei x 1 ir −x 1 turime , o x 2 turime . Skaitinių lygybių savybės leidžia atlikti tikrąsias skaitines lygybes po termino atimtį, todėl atėmus atitinkamas lygybių dalis gaunama x 1 2 − x 2 2 =0. Veiksmų su skaičiais savybės leidžia gautą lygybę perrašyti į (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Žinome, kad dviejų skaičių sandauga lygi nuliui tada ir tik tada, kai bent vienas iš jų yra lygus nuliui. Todėl iš gautos lygybės išplaukia, kad x 1 −x 2 =0 ir/arba x 1 +x 2 =0 , kuri yra vienoda, x 2 =x 1 ir/arba x 2 = −x 1 . Taigi mes priėjome prie prieštaravimo, nes pradžioje sakėme, kad lygties x 2 šaknis skiriasi nuo x 1 ir −x 1 . Tai įrodo, kad lygtis neturi kitų šaknų, išskyrus ir .

Apibendrinkime šioje pastraipoje pateiktą informaciją. Nebaigta kvadratinė lygtis a x 2 +c=0 yra lygi lygčiai, kuri

neturi šaknų, jei
turi dvi šaknis ir jei .

Apsvarstykite a·x 2 +c=0 formos nepilnų kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžius.

Pradėkime nuo kvadratinės lygties 9 x 2 +7=0 . Perkėlus laisvąjį terminą į dešinę lygties pusę, jis įgaus formą 9·x 2 =−7. Padalinę abi gautos lygties puses iš 9 , gauname . Kadangi dešinėje pusėje gaunamas neigiamas skaičius, ši lygtis neturi šaknų, todėl pradinė nepilna kvadratinė lygtis 9 x 2 +7=0 neturi šaknų.

Išspręskime dar vieną nepilną kvadratinę lygtį −x 2 +9=0. Devyniuką perkeliame į dešinę pusę: -x 2 \u003d -9. Dabar abi dalis padaliname iš −1, gauname x 2 =9. Dešinėje pusėje yra teigiamas skaičius, iš kurio darome išvadą, kad arba . Užrašę galutinį atsakymą: nepilna kvadratinė lygtis −x 2 +9=0 turi dvi šaknis x=3 arba x=−3.

a x 2 +b x=0

Belieka išspręsti paskutinio tipo nepilnų kvadratinių lygčių, kai c=0 , sprendimą. Neišsamios kvadratinės lygtys formos a x 2 +b x=0 leidžia išspręsti faktorizavimo metodas. Akivaizdu, kad galime, esantys kairėje lygties pusėje, kuriai pakanka iš skliaustų išimti bendrą koeficientą x. Tai leidžia pereiti nuo pradinės nepilnos kvadratinės lygties prie lygiavertės x·(a·x+b)=0 formos lygties. Ir ši lygtis yra lygiavertė aibei dviejų lygčių x=0 ir a x+b=0 , iš kurių paskutinė yra tiesinė ir turi šaknį x=-b/a .

Taigi nepilna kvadratinė lygtis a x 2 +b x=0 turi dvi šaknis x=0 ir x=−b/a.

Norėdami konsoliduoti medžiagą, analizuosime konkretaus pavyzdžio sprendimą.

Pavyzdys.

Išspręskite lygtį.

Sprendimas.

Iš skliaustų išimame x ir gauname lygtį. Tai lygi dviem lygtims x=0 ir . Išsprendžiame gautą tiesinę lygtį: , ir mišrųjį skaičių padalijus iš paprastosios trupmenos, randame . Todėl pradinės lygties šaknys yra x=0 ir .

Įgijus reikiamą praktiką, tokių lygčių sprendinius galima parašyti trumpai:

Atsakymas:

x=0 , .

Diskriminantas, kvadratinės lygties šaknų formulė

Norėdami išspręsti kvadratines lygtis, yra šaknies formulė. Užsirašykime kvadratinės lygties šaknų formulė: , kur D=b 2 −4 a c- vadinamasis kvadratinės lygties diskriminantas. Žymėjimas iš esmės reiškia, kad .

Naudinga žinoti, kaip buvo gauta šaknies formulė ir kaip ji taikoma ieškant kvadratinių lygčių šaknų. Spręskime tai.

Kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas

Išspręskime kvadratinę lygtį a·x 2 +b·x+c=0 . Atlikime keletą lygiaverčių transformacijų:

Abi šios lygties dalis galime padalyti iš ne nulinio skaičiaus a, todėl gauname sumažintą kvadratinę lygtį.
Dabar pasirinkite visą kvadratą jo kairėje pusėje: . Po to lygtis įgis formą .
Šiame etape galima atlikti paskutinių dviejų terminų perkėlimą į dešinę su priešingu ženklu, mes turime .
Taip pat pakeiskime išraišką dešinėje pusėje: .

Dėl to gauname lygtį , kuri yra lygiavertė pradinei kvadratinei lygčiai a·x 2 +b·x+c=0 .

Analizuodami , jau išsprendėme panašios formos lygtis ankstesnėse pastraipose. Tai leidžia padaryti tokias išvadas apie lygties šaknis:

jei , tai lygtis neturi realių sprendinių;
jei , tada lygtis turi formą , todėl , Iš kurios matoma tik jos šaknis;
Jei , Tada arba , kuris yra tas pats kaip arba , Tai yra, lygtis turi dvi šaknis.

Taigi, lygties šaknų, taigi ir pradinės kvadratinės lygties, buvimas ar nebuvimas priklauso nuo išraiškos ženklo dešinėje. Savo ruožtu šios išraiškos ženklą lemia skaitiklio ženklas, nes vardiklis 4 a 2 visada yra teigiamas, tai yra išraiškos b 2 −4 a c ženklas. Ši išraiška b 2 −4 a c vadinama kvadratinės lygties diskriminantas ir pažymėtas raide D. Iš čia aiški diskriminanto esmė – pagal jo reikšmę ir ženklą daroma išvada, ar kvadratinė lygtis turi realias šaknis, o jei taip, tai koks jų skaičius – vienas ar du.

Grįžtame prie lygties , perrašome ją naudodami diskriminanto žymėjimą: . Ir darome išvadą:

jei D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
jei D=0, tai ši lygtis turi vieną šaknį;
galiausiai, jei D>0, tai lygtis turi dvi šaknis arba , kurią galima perrašyti į formą arba , o išplėtus ir sumažinus trupmenas iki bendro vardiklio, gauname .

Taigi išvedėme kvadratinės lygties šaknų formules, jos atrodo kaip , kur diskriminantas D apskaičiuojamas pagal formulę D=b 2 −4 a c .

Su jų pagalba, naudodami teigiamą diskriminantą, galite apskaičiuoti abi realiąsias kvadratinės lygties šaknis. Kai diskriminantas yra lygus nuliui, abi formulės suteikia tą pačią šaknies reikšmę, atitinkančią vienintelį kvadratinės lygties sprendinį. O naudojant neigiamą diskriminantą, bandydami panaudoti kvadratinės lygties šaknų formulę, susiduriame su kvadratinės šaknies ištraukimu iš neigiamo skaičiaus, o tai perkelia mus už mokyklos mokymo programos ribų. Naudojant neigiamą diskriminantą, kvadratinė lygtis neturi tikrų šaknų, bet turi porą kompleksinis konjugatasšaknis, kurias galima rasti naudojant tas pačias šaknų formules, kurias gavome.

Kvadratinių lygčių sprendimo, naudojant šaknų formules, algoritmas

Praktiškai spręsdami kvadratinę lygtį galite iš karto naudoti šaknies formulę, pagal kurią apskaičiuoti jų reikšmes. Bet tai daugiau apie sudėtingų šaknų paiešką.

Tačiau mokykliniame algebros kurse paprastai kalbame ne apie sudėtingas, o apie realias kvadratinės lygties šaknis. Tokiu atveju, prieš naudojant kvadratinės lygties šaknų formules, patartina pirmiausia surasti diskriminantą, įsitikinti, kad jis yra neneigiamas (kitaip galime daryti išvadą, kad lygtis neturi realių šaknų), o po to apskaičiuokite šaknų reikšmes.

Aukščiau pateiktas samprotavimas leidžia mums rašyti kvadratinės lygties sprendimo algoritmas. Norėdami išspręsti kvadratinę lygtį a x 2 + b x + c \u003d 0, jums reikia:

naudojant diskriminanto formulę D=b 2 −4 a c apskaičiuokite jo reikšmę;
daryti išvadą, kad kvadratinė lygtis neturi realių šaknų, jei diskriminantas yra neigiamas;
apskaičiuokite vienintelę lygties šaknį naudodami formulę, jei D=0 ;
Raskite dvi realias kvadratinės lygties šaknis naudodami šaknies formulę, jei diskriminantas yra teigiamas.

Čia tik pažymime, kad jei diskriminantas yra lygus nuliui, formulė taip pat gali būti naudojama, ji duos tokią pat reikšmę kaip .

Galite pereiti prie kvadratinių lygčių sprendimo algoritmo taikymo pavyzdžių.

Kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžiai

Apsvarstykite trijų kvadratinių lygčių su teigiamu, neigiamu ir nuliniu diskriminantu sprendinius. Išnagrinėjus jų sprendimą, pagal analogiją bus galima išspręsti bet kurią kitą kvadratinę lygtį. Pradėkime.

Pavyzdys.

Raskite lygties x 2 +2 x−6=0 šaknis.

Sprendimas.

Šiuo atveju turime tokius kvadratinės lygties koeficientus: a=1 , b=2 ir c=−6 . Pagal algoritmą pirmiausia reikia apskaičiuoti diskriminantą, tam mes pakeisime nurodytus a, b ir c į diskriminanto formulę, turime D=b 2 –4 a c=2 2 –4 1 (-6)=4+24=28. Kadangi 28>0, tai yra, diskriminantas yra didesnis už nulį, kvadratinė lygtis turi dvi realias šaknis. Raskime juos pagal šaknų formulę, gausime , čia galime supaprastinti išraiškas, gautas darant išskiriant šaknies ženklą po to frakcijos sumažinimas:

Atsakymas:

Pereikime prie kito tipinio pavyzdžio.

Pavyzdys.

Išspręskite kvadratinę lygtį −4 x 2 +28 x−49=0 .

Sprendimas.

Pradedame rasdami diskriminantą: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Todėl ši kvadratinė lygtis turi vieną šaknį, kurią randame kaip , tai yra,

Atsakymas:

x = 3,5 .

Belieka apsvarstyti kvadratinių lygčių sprendimą su neigiamu diskriminantu.

Pavyzdys.

Išspręskite lygtį 5 y 2 +6 y+2=0 .

Sprendimas.

Štai kvadratinės lygties koeficientai: a=5 , b=6 ir c=2 . Pakeitę šias reikšmes į diskriminacinę formulę, turime D=b 2 –4 a c=6 2 –4 5 2=36-40=-4. Diskriminantas yra neigiamas, todėl ši kvadratinė lygtis neturi realių šaknų.

Jei reikia nurodyti sudėtingas šaknis, tada naudojame gerai žinomą kvadratinės lygties šaknų formulę ir atliekame operacijos su kompleksiniais skaičiais:

Atsakymas:

nėra tikrų šaknų, sudėtingos šaknys yra: .

Dar kartą pažymime, kad jei kvadratinės lygties diskriminantas yra neigiamas, tada mokykla dažniausiai iš karto užrašo atsakymą, kuriame nurodo, kad nėra tikrų šaknų, o sudėtingų šaknų neranda.

Net antrojo koeficiento šaknies formulė

Kvadratinės lygties šaknų formulė , kur D=b 2 −4 ac leidžia gauti kompaktiškesnę formulę, leidžiančią išspręsti kvadratines lygtis su lyginiu koeficientu x (arba tiesiog su koeficientu, kuris atrodo kaip 2 n , pavyzdžiui, arba 14 ln5=2 7 ln5 ). Išveskime ją.

Tarkime, reikia išspręsti kvadratinę lygtį, kurios formos a x 2 +2 n x + c=0 . Raskime jo šaknis pagal mums žinomą formulę. Norėdami tai padaryti, apskaičiuojame diskriminantą D = (2 n) 2 -4 a c = 4 n 2 -4 a c = 4 (n 2 -a c), tada naudojame šaknies formulę:

Išraišką n 2 −a c pažymėkite kaip D 1 (kartais ji žymima D "). Tada nagrinėjamos kvadratinės lygties su antruoju koeficientu 2 n šaknų formulė įgauna formą , kur D 1 =n 2 −a c .

Nesunku pastebėti, kad D=4·D 1 , arba D 1 =D/4 . Kitaip tariant, D 1 yra ketvirtoji diskriminanto dalis. Aišku, kad D 1 ženklas yra toks pat kaip D ženklas. Tai yra, ženklas D 1 taip pat yra kvadratinės lygties šaknų buvimo ar nebuvimo rodiklis.

Taigi, norint išspręsti kvadratinę lygtį su antruoju koeficientu 2 n, jums reikia

Apskaičiuokite D 1 =n 2 −a·c ;
Jei D1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Jei D 1 =0, tada formule apskaičiuokite vienintelę lygties šaknį;
Jei D 1 >0, tada pagal formulę raskite dvi realias šaknis.

Apsvarstykite pavyzdžio sprendimą naudodami šioje pastraipoje gautą šaknies formulę.

Pavyzdys.

Išspręskite kvadratinę lygtį 5 x 2 −6 x−32=0 .

Sprendimas.

Antrasis šios lygties koeficientas gali būti pavaizduotas kaip 2·(−3) . Tai yra, galite perrašyti pradinę kvadratinę lygtį į formą 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, čia a=5 , n=−3 ir c=−32, ir apskaičiuoti ketvirtąją kvadratinės lygties dalį. diskriminuojantis: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Kadangi jos reikšmė yra teigiama, lygtis turi dvi realias šaknis. Juos randame naudodami atitinkamą šaknies formulę:

Atkreipkite dėmesį, kad kvadratinės lygties šaknims buvo galima naudoti įprastą formulę, tačiau šiuo atveju tektų atlikti daugiau skaičiavimo darbų.

Atsakymas:

Kvadratinių lygčių formos supaprastinimas

Kartais, prieš pradedant skaičiuoti kvadratinės lygties šaknis naudojant formules, nepakenks užduoti klausimą: „Ar galima supaprastinti šios lygties formą“? Sutikite, kad skaičiavimų požiūriu kvadratinę lygtį 11 x 2 −4 x −6=0 išspręsti bus lengviau nei 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Paprastai kvadratinės lygties formos supaprastinimas pasiekiamas padauginus arba padalijus abi jos puses iš kokio nors skaičiaus. Pavyzdžiui, ankstesnėje pastraipoje mums pavyko pasiekti lygties 1100 x 2 −400 x −600=0 supaprastinimą, padalijus abi puses iš 100.

Panaši transformacija atliekama su kvadratinėmis lygtimis, kurių koeficientai nėra . Šiuo atveju abi lygties dalys paprastai dalijamos iš absoliučių jo koeficientų verčių. Pavyzdžiui, paimkime kvadratinę lygtį 12 x 2 −42 x+48=0. absoliučios jo koeficientų reikšmės: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Abi pradinės kvadratinės lygties dalis padalijus iš 6, gauname lygiavertę kvadratinę lygtį 2 x 2 −7 x+8=0 .

Ir abiejų kvadratinės lygties dalių dauginimas paprastai atliekamas norint atsikratyti trupmeninių koeficientų. Šiuo atveju dauginimas atliekamas pagal jo koeficientų vardiklius. Pavyzdžiui, jei abi kvadratinės lygties dalys padaugintos iš LCM(6, 3, 1)=6 , tada ji įgis paprastesnę formą x 2 +4 x−18=0 .

Baigdami šią pastraipą pažymime, kad beveik visada atsikratykite minuso esant didžiausiam kvadratinės lygties koeficientui, pakeisdami visų terminų ženklus, o tai atitinka abiejų dalių padauginimą (arba padalijimą) iš −1. Pavyzdžiui, paprastai iš kvadratinės lygties −2·x 2 −3·x+7=0 pereinama prie sprendinio 2·x 2 +3·x−7=0 .

Kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų ryšys

Kvadratinės lygties šaknų formulė išreiškia lygties šaknis jos koeficientais. Remdamiesi šaknų formule, galite gauti kitus ryšius tarp šaknų ir koeficientų.

Labiausiai žinomos ir taikomos formulės iš Vieta teoremos formos ir . Visų pirma, duotoje kvadratinėje lygtyje šaknų suma yra lygi antrajam koeficientui su priešingu ženklu, o šaknų sandauga yra laisvasis narys. Pavyzdžiui, kvadratinės lygties 3 x 2 −7 x+22=0 forma galime iš karto pasakyti, kad jos šaknų suma yra 7/3, o šaknų sandauga yra 22/3.

Naudodami jau parašytas formules, galite gauti daugybę kitų kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų ryšių. Pavyzdžiui, kvadratinės lygties šaknų kvadratų sumą galite išreikšti jos koeficientais: .

Bibliografija.

Algebra: vadovėlis 8 ląstelėms. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; red. S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M. : Švietimas, 2008. - 271 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovičius A. G. Algebra. 8 klasė. 14 val. 1 dalis. Vadovėlis ugdymo įstaigų studentams / A. G. Mordkovich. - 11 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01155-2.

Tęsiant temą „Lygčių sprendimas“, šio straipsnio medžiaga supažindins su kvadratinėmis lygtimis.

Išsamiai apsvarstykime viską: kvadratinės lygties esmę ir žymėjimą, nustatykime lydinčius terminus, išanalizuokime nepilnų ir pilnųjų lygčių sprendimo schemą, susipažinkime su šaknų ir diskriminanto formule, nustatysime šaknų ir koeficientų ryšius ir kursą pateiksime vaizdinį praktinių pavyzdžių sprendimą.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratinė lygtis, jos rūšys

1 apibrėžimas

Kvadratinė lygtis lygtis parašyta kaip a x 2 + b x + c = 0, kur x– kintamasis, a , b ir c yra keletas skaičių, o a nėra nulis.

Dažnai kvadratinės lygtys taip pat vadinamos antrojo laipsnio lygtimis, nes iš tikrųjų kvadratinė lygtis yra antrojo laipsnio algebrinė lygtis.

Pateikiame pavyzdį, iliustruojantį pateiktą apibrėžimą: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 ir kt. yra kvadratinės lygtys.

2 apibrėžimas

Skaičiai a , b ir c yra kvadratinės lygties koeficientai a x 2 + b x + c = 0, o koeficientas a vadinamas pirmuoju, arba vyresniuoju, arba koeficientu x 2, b – antruoju koeficientu, arba koeficientu at x, bet c vadinamas laisvuoju nariu.

Pavyzdžiui, kvadratinėje lygtyje 6 x 2 – 2 x – 11 = 0 didžiausias koeficientas yra 6 , antrasis koeficientas yra − 2 , o laisvasis terminas lygus − 11 . Atkreipkime dėmesį į tai, kad kai koeficientai b ir (arba) c yra neigiami, tada naudojama trumpoji forma 6 x 2 – 2 x – 11 = 0, bet ne 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Išsiaiškinkime ir šį aspektą: jeigu koeficientai a ir/arba b lygus 1 arba − 1 , tada jie negali aiškiai dalyvauti rašant kvadratinę lygtį, o tai paaiškinama nurodytų skaitinių koeficientų rašymo ypatumais. Pavyzdžiui, kvadratinėje lygtyje y 2 − y + 7 = 0 senjorų koeficientas yra 1, o antrasis koeficientas yra − 1 .

Sumažintos ir neredukuotos kvadratinės lygtys

Pagal pirmojo koeficiento reikšmę kvadratinės lygtys skirstomos į redukuotas ir neredukuotas.

3 apibrėžimas

Sumažinta kvadratinė lygtis yra kvadratinė lygtis, kurios pagrindinis koeficientas yra 1. Kitoms pirmaujančio koeficiento reikšmėms kvadratinė lygtis nesumažinama.

Štai keli pavyzdžiai: kvadratinės lygtys x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 sumažinamos, kiekvienoje iš jų pirmaujantis koeficientas yra 1 .

9 x 2 – x – 2 = 0- neredukuota kvadratinė lygtis, kur pirmasis koeficientas skiriasi nuo 1 .

Bet kurią neredukuotą kvadratinę lygtį galima paversti redukuota lygtimi, padalijus abi jos dalis iš pirmojo koeficiento (ekvivalentinė transformacija). Transformuota lygtis turės tokias pačias šaknis kaip ir duota neredukuota lygtis arba neturės šaknų.

Konkretaus pavyzdžio svarstymas leis aiškiai parodyti perėjimą nuo neredukuotos kvadratinės lygties prie redukuotos.

1 pavyzdys

Duota lygtis 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Būtina paversti pradinę lygtį į sumažintą formą.

Sprendimas

Pagal aukščiau pateiktą schemą abi pradinės lygties dalis padalijame iš pirmaujančio koeficiento 6 . Tada gauname: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0:3, ir tai yra tas pats, kas: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 - 7: 3 = 0 ir toliau: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0 . Iš čia: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Taigi gaunama lygtis, lygiavertė duotajai.

Atsakymas: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Pilnos ir nepilnos kvadratinės lygtys

Pereikime prie kvadratinės lygties apibrėžimo. Jame mes tai nurodėme a ≠ 0. Panaši sąlyga yra būtina lygčiai a x 2 + b x + c = 0 buvo tiksliai kvadratinis, nes a = 0 ji iš esmės virsta tiesine lygtimi b x + c = 0.

Tuo atveju, kai koeficientai b Ir c yra lygūs nuliui (tai įmanoma tiek atskirai, tiek kartu), kvadratinė lygtis vadinama nepilna.

4 apibrėžimas

Nebaigta kvadratinė lygtis yra kvadratinė lygtis a x 2 + b x + c \u003d 0, kur bent vienas iš koeficientų b Ir c(arba abu) yra nulis.

Pilna kvadratinė lygtis yra kvadratinė lygtis, kurioje visi skaitiniai koeficientai nėra lygūs nuliui.

Aptarkime, kodėl kvadratinių lygčių tipams suteikiami būtent tokie pavadinimai.

Jei b = 0, kvadratinė lygtis įgauna formą a x 2 + 0 x + c = 0, kuri yra tokia pati kaip a x 2 + c = 0. At c = 0 kvadratinė lygtis parašyta kaip a x 2 + b x + 0 = 0, kuris yra lygiavertis a x 2 + b x = 0. At b = 0 Ir c = 0 lygtis įgaus formą a x 2 = 0. Mūsų gautos lygtys skiriasi nuo pilnos kvadratinės lygties tuo, kad jų kairėje pusėje nėra nei termino su kintamuoju x, nei laisvojo, nei abiejų iš karto. Tiesą sakant, šis faktas davė pavadinimą tokio tipo lygtims - neišsamios.

Pavyzdžiui, x 2 + 3 x + 4 = 0 ir − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 yra pilnos kvadratinės lygtys; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 yra nepilnos kvadratinės lygtys.

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas

Aukščiau pateiktas apibrėžimas leidžia atskirti šiuos nepilnų kvadratinių lygčių tipus:

a x 2 = 0, koeficientai atitinka tokią lygtį b = 0 ir c = 0;
a x 2 + c \u003d 0 b \u003d 0;
a x 2 + b x = 0, kai c = 0.

Paeiliui apsvarstykite kiekvieno tipo nepilnos kvadratinės lygties sprendimą.

Lygties a x 2 \u003d 0 sprendimas

Kaip jau minėta aukščiau, tokia lygtis atitinka koeficientus b Ir c, lygus nuliui. Lygtis a x 2 = 0 galima konvertuoti į lygiavertę lygtį x2 = 0, kurį gauname padalydami abi pradinės lygties puses iš skaičiaus a, nelygu nuliui. Akivaizdu, kad lygties šaknis x2 = 0 yra nulis, nes 0 2 = 0 . Ši lygtis neturi kitų šaknų, o tai paaiškinama laipsnio savybėmis: bet kuriam skaičiui p , nelygus nuliui, nelygybė yra teisinga p2 > 0, iš ko išplaukia, kad kada p ≠ 0 lygybė p2 = 0 niekada nepasieks.

5 apibrėžimas

Taigi nepilnai kvadratinei lygčiai a x 2 = 0 yra unikali šaknis x=0.

2 pavyzdys

Pavyzdžiui, išspręskime nepilną kvadratinę lygtį − 3 x 2 = 0. Tai yra lygiavertė lygčiai x2 = 0, vienintelė jo šaknis yra x=0, tada pradinė lygtis turi vieną šaknį – nulį.

Sprendimas apibendrinamas taip:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 = 0, x \u003d 0.

Lygties a x 2 + c \u003d 0 sprendimas

Toliau eilėje yra nepilnų kvadratinių lygčių sprendimas, kur b \u003d 0, c ≠ 0, tai yra, formos lygtys a x 2 + c = 0. Transformuokime šią lygtį, perkeldami terminą iš vienos lygties pusės į kitą, pakeisdami ženklą į priešingą ir padalydami abi lygties puses iš skaičiaus, kuris nėra lygus nuliui:

ištverti cį dešinę pusę, kuri suteikia lygtį a x 2 = − c;
padalykite abi lygties puses iš a, gauname kaip rezultatas x = - c a .

Mūsų transformacijos yra lygiavertės, atitinkamai gauta lygtis taip pat yra lygiavertė pradinei, ir šis faktas leidžia padaryti išvadą apie lygties šaknis. Iš kokių vertybių a Ir c priklauso nuo išraiškos reikšmės - c a: ji gali turėti minuso ženklą (pavyzdžiui, jei a = 1 Ir c = 2, tada - c a = - 2 1 = - 2) arba pliuso ženklas (pavyzdžiui, jei a = -2 Ir c=6, tada - c a = - 6 - 2 = 3); jis nelygus nuliui, nes c ≠ 0. Išsamiau pakalbėkime apie situacijas, kai - c a< 0 и - c a > 0 .

Tuo atveju, kai - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p lygybė p 2 = - c a negali būti teisinga.

Viskas yra kitaip, kai - c a > 0: prisiminkite kvadratinę šaknį ir taps akivaizdu, kad lygties x 2 \u003d - c a šaknis bus skaičius - c a, nes - c a 2 \u003d - c a. Nesunku suprasti, kad skaičius - - c a - taip pat yra lygties x 2 = - c a šaknis: iš tikrųjų - - c a 2 = - c a .

Lygtis neturės kitų šaknų. Tai galime parodyti naudodami priešingą metodą. Pirmiausia nustatykime aukščiau rastų šaknų žymėjimą kaip x 1 Ir − x 1. Tarkime, kad lygtis x 2 = - c a taip pat turi šaknį x2, kuris skiriasi nuo šaknų x 1 Ir − x 1. Mes tai žinome pakeisdami į lygtį, o ne x jos šaknis, lygtį paverčiame teisinga skaitine lygybe.

Dėl x 1 Ir − x 1 parašykite: x 1 2 = - c a , ir už x2- x 2 2 \u003d - c a. Remdamiesi skaitinių lygybių savybėmis, vieną tikrąją lygybę atimame iš kitos kadencijos, kuri duos mums: x 1 2 − x 2 2 = 0. Naudokite skaičių operacijų savybes, kad perrašytumėte paskutinę lygybę kaip (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Yra žinoma, kad dviejų skaičių sandauga lygi nuliui tada ir tik tada, kai bent vienas iš skaičių lygus nuliui. Iš to, kas pasakyta, išplaukia x1 − x2 = 0 ir/arba x1 + x2 = 0, kuris yra tas pats x2 = x1 ir/arba x 2 = − x 1. Iškilo akivaizdus prieštaravimas, nes iš pradžių buvo sutarta, kad lygties šaknis x2 skiriasi nuo x 1 Ir − x 1. Taigi, mes įrodėme, kad lygtis neturi kitų šaknų, išskyrus x = - c a ir x = - - c a .

Mes apibendriname visus aukščiau pateiktus argumentus.

6 apibrėžimas

Nebaigta kvadratinė lygtis a x 2 + c = 0 yra lygiavertis lygčiai x 2 = - c a , kuri:

neturės šaknų ties - c a< 0 ;
turės dvi šaknis x = - c a ir x = - - c a , kai - c a > 0 .

Pateiksime lygčių sprendimo pavyzdžius a x 2 + c = 0.

3 pavyzdys

Duota kvadratinė lygtis 9 x 2 + 7 = 0 . Būtina rasti jos sprendimą.

Sprendimas

Laisvąjį terminą perkeliame į dešinę lygties pusę, tada lygtis įgaus formą 9 x 2 \u003d - 7.
Abi gautos lygties puses padalijame iš 9 , gauname x 2 = - 7 9 . Dešinėje pusėje matome skaičių su minuso ženklu, o tai reiškia: duotoji lygtis neturi šaknų. Tada pradinė nepilna kvadratinė lygtis 9 x 2 + 7 = 0 neturės šaknų.

Atsakymas: lygtis 9 x 2 + 7 = 0 neturi šaknų.

4 pavyzdys

Būtina išspręsti lygtį − x2 + 36 = 0.

Sprendimas

Perkelkime 36 į dešinę pusę: − x 2 = − 36.
Padalinkime abi dalis į − 1 , mes gauname x2 = 36. Dešinėje pusėje yra teigiamas skaičius, iš kurio galime tai padaryti x = 36 arba x = - 36 .
Ištraukiame šaknį ir užrašome galutinį rezultatą: nepilną kvadratinę lygtį − x2 + 36 = 0 turi dvi šaknis x=6 arba x = -6.

Atsakymas: x=6 arba x = -6.

Lygties a x 2 +b x=0 sprendimas

Išanalizuokime trečiosios rūšies nepilnas kvadratines lygtis, kai c = 0. Rasti nepilnos kvadratinės lygties sprendimą a x 2 + b x = 0, naudojame faktorizavimo metodą. Paskaičiuokime daugianarį, esantį kairėje lygties pusėje, iš skliaustų išimdami bendrą koeficientą x. Šis žingsnis leis originalią nepilną kvadratinę lygtį paversti jos ekvivalentu x (a x + b) = 0. Ir ši lygtis, savo ruožtu, yra lygiavertė lygčių rinkiniui x=0 Ir a x + b = 0. Lygtis a x + b = 0 linijinis, o jo šaknis: x = − b a.

7 apibrėžimas

Taigi nepilna kvadratinė lygtis a x 2 + b x = 0 turės dvi šaknis x=0 Ir x = − b a.

Sutvirtinkime medžiagą pavyzdžiu.

5 pavyzdys

Reikia rasti lygties 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 sprendinį.

Sprendimas

Išimkime x už skliaustų ir gaukite lygtį x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Ši lygtis yra lygiavertė lygtims x=0 ir 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Dabar turėtumėte išspręsti gautą tiesinę lygtį: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Trumpai parašome lygties sprendimą taip:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 arba 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 arba x = 3 3 7

Atsakymas: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminantas, kvadratinės lygties šaknų formulė

Norėdami rasti kvadratinių lygčių sprendimą, yra pagrindinė formulė:

8 apibrėžimas

x = - b ± D 2 a, kur D = b 2 − 4 a c yra vadinamasis kvadratinės lygties diskriminantas.

Rašymas x \u003d - b ± D 2 a iš esmės reiškia, kad x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Bus naudinga suprasti, kaip buvo gauta nurodyta formulė ir kaip ją pritaikyti.

Kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas

Tarkime, kad mes susiduriame su užduotimi išspręsti kvadratinę lygtį a x 2 + b x + c = 0. Atlikime keletą lygiaverčių transformacijų:

padalykite abi lygties puses iš skaičiaus a, skiriasi nuo nulio, gauname sumažintą kvadratinę lygtį: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
pasirinkite visą kvadratą gautos lygties kairėje pusėje:
x 2 + ba x + ca = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca
Po to lygtis bus tokia: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
dabar galima perkelti paskutinius du narius į dešinę pusę, keičiant ženklą į priešingą, po kurio gauname: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
galiausiai transformuojame paskutinės lygybės dešinėje parašytą išraišką:
b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Taigi mes priėjome prie lygties x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , kuri yra lygiavertė pradinei lygčiai a x 2 + b x + c = 0.

Tokių lygčių sprendimą aptarėme ankstesnėse pastraipose (neišsamių kvadratinių lygčių sprendimas). Jau įgyta patirtis leidžia padaryti išvadą apie lygties x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 šaknis:

b 2 – 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, lygtis yra x + b 2 · a 2 = 0, tada x + b 2 · a = 0.

Iš čia vienintelė šaknis x = - b 2 · a yra akivaizdi;

b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0 teisingas yra: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 arba x = b 2 a - b 2 - 4 ac 4 a 2 , kuris yra toks pat kaip x + - b 2 a = b 2 - 4 ac 4 a 2 arba x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , t.y. lygtis turi dvi šaknis.

Galima daryti išvadą, kad lygties x + b 2 a 2 = b 2 - 4 ac 4 a 2 (taigi ir pradinės lygties) šaknų buvimas ar nebuvimas priklauso nuo išraiškos b 2 - 4 ac ženklo. 4 · 2 parašytas dešinėje pusėje. Ir šios išraiškos ženklą suteikia skaitiklio ženklas (vardiklis 4 ir 2 visada bus teigiamas), tai yra išraiškos ženklas b 2 − 4 a c. Ši išraiška b 2 − 4 a c pateikiamas pavadinimas - kvadratinės lygties diskriminantas ir raidė D apibrėžiama kaip jo žymėjimas. Čia galite užrašyti diskriminanto esmę – pagal jo reikšmę ir ženklą jie daro išvadą, ar kvadratinė lygtis turės realias šaknis, o jei taip, tai kiek šaknų – vieną ar dvi.

Grįžkime prie lygties x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Perrašykime jį diskriminantiniu žymėjimu: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Pakartokime išvadas:

9 apibrėžimas

adresu D< 0 lygtis neturi realių šaknų;
adresu D=0 lygtis turi vieną šaknį x = - b 2 · a ;
adresu D > 0 lygtis turi dvi šaknis: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 arba x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Remiantis radikalų savybėmis, šias šaknis galima užrašyti taip: x \u003d - b 2 a + D 2 a arba - b 2 a - D 2 a. O kai atidarome modulius ir sumažiname trupmenas iki bendro vardiklio, gauname: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Taigi, mūsų samprotavimų rezultatas buvo kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminantas D apskaičiuojamas pagal formulę D = b 2 − 4 a c.

Šios formulės leidžia, kai diskriminantas yra didesnis už nulį, nustatyti abi tikrąsias šaknis. Kai diskriminantas lygus nuliui, taikant abi formules bus gauta ta pati šaknis kaip vienintelis kvadratinės lygties sprendimas. Tuo atveju, kai diskriminantas yra neigiamas, bandydami naudoti kvadratinės šaknies formulę, susidursime su būtinybe išgauti neigiamo skaičiaus kvadratinę šaknį, o tai nuves mus už realiųjų skaičių. Naudojant neigiamą diskriminantą, kvadratinė lygtis neturės realių šaknų, tačiau yra įmanoma sudėtingų konjuguotų šaknų pora, kurią nustato tos pačios šaknies formulės, kurias gavome.

Kvadratinių lygčių sprendimo, naudojant šaknų formules, algoritmas

Kvadratinę lygtį galima išspręsti iš karto naudojant šaknies formulę, tačiau iš esmės tai daroma tada, kai reikia rasti sudėtingas šaknis.

Daugeliu atvejų paieška paprastai skirta ne sudėtingoms, o realioms kvadratinės lygties šaknims. Tada optimalu, prieš naudojant kvadratinės lygties šaknų formules, pirmiausia nustatyti diskriminantą ir įsitikinti, kad jis nėra neigiamas (kitaip padarysime išvadą, kad lygtis neturi realių šaknų), o tada pradėti skaičiuoti šaknų vertė.

Aukščiau pateiktas samprotavimas leidžia suformuluoti kvadratinės lygties sprendimo algoritmą.

10 apibrėžimas

Norėdami išspręsti kvadratinę lygtį a x 2 + b x + c = 0, būtinas:

pagal formulę D = b 2 − 4 a c rasti diskriminanto vertę;
pas D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
jei D = 0, raskite vienintelę lygties šaknį pagal formulę x = - b 2 · a ;
jei D > 0, nustatykite dvi realiąsias kvadratinės lygties šaknis pagal formulę x = - b ± D 2 · a.

Atkreipkite dėmesį, kad kai diskriminantas lygus nuliui, galite naudoti formulę x = - b ± D 2 · a , ji duos tokį patį rezultatą kaip ir formulė x = - b 2 · a .

Apsvarstykite pavyzdžius.

Kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžiai

Pateikiame įvairių diskriminanto vertybių pavyzdžių sprendimą.

6 pavyzdys

Būtina rasti lygties šaknis x 2 + 2 x - 6 = 0.

Sprendimas

Rašome kvadratinės lygties skaitinius koeficientus: a \u003d 1, b \u003d 2 ir c = – 6. Toliau veikiame pagal algoritmą, t.y. Pradėkime skaičiuoti diskriminantą, kurį pakeisime koeficientais a , b Ir cį diskriminanto formulę: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Taigi, mes gavome D > 0, o tai reiškia, kad pradinė lygtis turės dvi realias šaknis.
Norėdami juos rasti, naudojame šaknies formulę x \u003d - b ± D 2 · a ir, pakeisdami atitinkamas reikšmes, gauname: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Supaprastiname gautą išraišką, išimdami koeficientą iš šaknies ženklo, o po to sumažindami trupmeną:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 arba x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 arba x = - 1 - 7

Atsakymas: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

7 pavyzdys

Būtina išspręsti kvadratinę lygtį − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Sprendimas

Apibrėžkime diskriminantą: D = 28 2 - 4 (- 4) (- 49) = 784 - 784 = 0. Esant šiai diskriminanto reikšmei, pradinė lygtis turės tik vieną šaknį, kuri nustatoma pagal formulę x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Atsakymas: x = 3, 5.

8 pavyzdys

Būtina išspręsti lygtį 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Sprendimas

Šios lygties skaitiniai koeficientai bus tokie: a = 5 , b = 6 ir c = 2 . Diskriminantui rasti naudojame šias reikšmes: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Apskaičiuotas diskriminantas yra neigiamas, todėl pradinė kvadratinė lygtis neturi realių šaknų.

Tuo atveju, kai užduotis yra nurodyti sudėtingas šaknis, taikome šaknies formulę atlikdami operacijas su kompleksiniais skaičiais:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 arba x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i arba x = - 3 5 - 1 5 i .

Atsakymas: nėra tikrų šaknų; kompleksinės šaknys yra: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

Mokyklos programoje, kaip standartas, nėra reikalavimo ieškoti kompleksinių šaknų, todėl, sprendžiant diskriminantą kaip neigiamą, iškart įrašomas atsakymas, kad tikrų šaknų nėra.

Net antrojo koeficiento šaknies formulė

Šakninė formulė x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 ac) leidžia gauti kitą formulę, kompaktiškesnę, leidžiančią rasti kvadratinių lygčių sprendinius su lyginiu koeficientu x (arba su koeficientu 2 a n formos, pavyzdžiui, 2 3 arba 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Parodykime, kaip gaunama ši formulė.

Tarkime, kad mes susiduriame su užduotimi rasti kvadratinės lygties a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 sprendimą. Veikiame pagal algoritmą: nustatome diskriminantą D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , tada naudojame šaknies formulę:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - ac 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x \u003d - n ± n 2 - a · apytiksliai.

Tegul išraiška n 2 − a c žymima D 1 (kartais žymima D "). Tada nagrinėjamos kvadratinės lygties su antruoju koeficientu 2 n šaknų formulė įgis tokią formą:

x \u003d - n ± D 1 a, kur D 1 \u003d n 2 - a c.

Nesunku pastebėti, kad D = 4 · D 1 arba D 1 = D 4 . Kitaip tariant, D 1 yra ketvirtadalis diskriminanto. Akivaizdu, kad D 1 ženklas yra toks pat kaip D ženklas, o tai reiškia, kad D 1 ženklas taip pat gali būti kvadratinės lygties šaknų buvimo ar nebuvimo rodiklis.

11 apibrėžimas

Taigi, norint rasti kvadratinės lygties su antruoju 2 n koeficientu sprendimą, būtina:

rasti D 1 = n 2 − a c ;
ties D1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
jei D 1 = 0, nustatykite vienintelę lygties šaknį pagal formulę x = - n a ;
jei D 1 > 0, nustatykite dvi realiąsias šaknis naudodami formulę x = - n ± D 1 a.

9 pavyzdys

Būtina išspręsti kvadratinę lygtį 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Sprendimas

Antrasis duotosios lygties koeficientas gali būti pavaizduotas kaip 2 · (− 3) . Tada duotą kvadratinę lygtį perrašome į 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , kur a = 5, n = −3 ir c = −32.

Apskaičiuokime ketvirtąją diskriminanto dalį: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Gauta reikšmė yra teigiama, o tai reiškia, kad lygtis turi dvi realias šaknis. Mes juos apibrėžiame pagal atitinkamą šaknų formulę:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 arba x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 arba x = - 2

Galima būtų atlikti skaičiavimus naudojant įprastą kvadratinės lygties šaknų formulę, tačiau tokiu atveju sprendimas būtų sudėtingesnis.

Atsakymas: x = 3 1 5 arba x = - 2 .

Kvadratinių lygčių formos supaprastinimas

Kartais galima optimizuoti pradinės lygties formą, o tai supaprastins šaknų skaičiavimo procesą.

Pavyzdžiui, kvadratinė lygtis 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 yra aiškiai patogesnė sprendžiant nei 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Dažniau kvadratinės lygties formos supaprastinimas atliekamas abi jos dalis dauginant arba dalijant iš tam tikro skaičiaus. Pavyzdžiui, aukščiau parodėme supaprastintą lygties 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 vaizdavimą, gautą padalijus abi jos dalis iš 100.

Tokia transformacija galima, kai kvadratinės lygties koeficientai nėra santykinai pirminiai skaičiai. Tada paprastai abi lygties dalys dalijamos iš didžiausio bendro jo koeficientų absoliučių dydžių daliklio.

Kaip pavyzdį naudojame kvadratinę lygtį 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Apibrėžkime jo koeficientų absoliučių verčių gcd: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . Abi pradinės kvadratinės lygties dalis padalinkime iš 6 ir gausime ekvivalentinę kvadratinę lygtį 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Padauginus abi kvadratinės lygties puses, trupmeniniai koeficientai paprastai pašalinami. Šiuo atveju padauginkite iš mažiausio bendro jo koeficientų vardiklių kartotinio. Pavyzdžiui, jei kiekviena kvadratinės lygties dalis 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 padauginama iš LCM (6, 3, 1) \u003d 6, tada ji bus parašyta paprastesne forma x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Galiausiai pastebime, kad beveik visada atsikratykite minuso ties pirmuoju kvadratinės lygties koeficientu, keisdami kiekvieno lygties nario ženklus, o tai pasiekiama padauginus (arba padalijus) abi dalis iš −1. Pavyzdžiui, iš kvadratinės lygties - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, galite pereiti prie jos supaprastintos versijos 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Ryšys tarp šaknų ir koeficientų

Jau žinoma kvadratinių lygčių šaknų formulė x = - b ± D 2 · a lygties šaknis išreiškia jos skaitiniais koeficientais. Remdamiesi šia formule, turime galimybę nustatyti kitas priklausomybes tarp šaknų ir koeficientų.

Garsiausios ir taikomos yra Vietos teoremos formulės:

x 1 + x 2 \u003d - b a ir x 2 \u003d c a.

Visų pirma, duotoje kvadratinėje lygtyje šaknų suma yra antrasis koeficientas su priešingu ženklu, o šaknų sandauga yra lygi laisvajam nariui. Pavyzdžiui, pagal kvadratinės lygties 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0 formą galima iš karto nustatyti, kad jos šaknų suma yra 7 3, o šaknų sandauga yra 22 3.

Taip pat galite rasti daugybę kitų kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų ryšių. Pavyzdžiui, kvadratinės lygties šaknų kvadratų suma gali būti išreikšta koeficientais:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - ba 2 - 2 ca = b 2 a 2 - 2 ca = b 2 - 2 a ca 2.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Šiuolaikinėje visuomenėje galimybė dirbti su lygtimis, turinčiomis kvadratinį kintamąjį, gali būti naudinga daugelyje veiklos sričių ir yra plačiai naudojama praktikoje mokslo ir technikos raidoje. Tai liudija jūrų ir upių laivų, orlaivių ir raketų konstrukcija. Tokių skaičiavimų pagalba nustatomos įvairių kūnų, tarp jų ir kosminių objektų, judėjimo trajektorijos. Kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžiai naudojami ne tik ekonominiam prognozavimui, pastatų projektavimui ir statybai, bet ir įprastomis kasdienėmis aplinkybėmis. Jų gali prireikti stovyklaujant, sporto renginiuose, parduotuvėse perkant ir kitose labai įprastose situacijose.

Išskaidykime išraišką į komponentinius veiksnius

Lygties laipsnis nustatomas pagal didžiausią kintamojo laipsnio reikšmę, kurią sudaro pateikta išraiška. Jei ji lygi 2, tai tokia lygtis vadinama kvadratine lygtimi.

Jei kalbėtume formulių kalba, tai šie posakiai, kad ir kaip jie atrodytų, visada gali būti perkeliami į formą, kai kairiąją išraiškos pusę sudaro trys terminai. Tarp jų: ax 2 (ty kintamasis kvadratas su jo koeficientu), bx (nežinomasis be kvadrato su jo koeficientu) ir c (laisvasis komponentas, tai yra įprastas skaičius). Visa tai dešinėje yra lygi 0. Tuo atveju, kai toks daugianario nėra vieno iš jo sudedamųjų dalių, išskyrus ax 2, jis vadinamas nepilna kvadratine lygtimi. Pirmiausia reikėtų apsvarstyti tokių problemų sprendimo pavyzdžius, kuriuose kintamųjų reikšmę nesunku rasti.

Jei išraiška atrodo taip, kad dešinėje išraiškos pusėje yra du terminai, tiksliau ax 2 ir bx, lengviausia x rasti kintamąjį skliausteliuose. Dabar mūsų lygtis atrodys taip: x(ax+b). Be to, tampa akivaizdu, kad arba x=0, arba problema redukuojama iki kintamojo suradimo iš šios išraiškos: ax+b=0. Tai lemia viena iš daugybos savybių. Taisyklė sako, kad dviejų veiksnių sandauga yra 0 tik tada, kai vienas iš jų yra lygus nuliui.

Pavyzdys

x = 0 arba 8x - 3 = 0

Dėl to gauname dvi lygties šaknis: 0 ir 0,375.

Tokios lygtys gali apibūdinti kūnų judėjimą veikiant gravitacijai, kurie pradėjo judėti iš tam tikro taško, laikomo pradžia. Čia matematinis žymėjimas įgauna tokią formą: y = v 0 t + gt 2 /2. Pakeitę reikiamas reikšmes, prilygindami dešinę pusę su 0 ir suradę galimus nežinomus dalykus, galite sužinoti laiką, prabėgusį nuo kūno pakilimo iki kritimo, taip pat daugybę kitų dydžių. Bet apie tai pakalbėsime vėliau.

Išraiškos faktorius

Aukščiau aprašyta taisyklė leidžia išspręsti šias problemas sudėtingesniais atvejais. Apsvarstykite tokio tipo kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžius.

X2 – 33x + 200 = 0

Šis kvadratinis trinomas baigtas. Pirmiausia transformuojame išraišką ir išskaidome ją į veiksnius. Jų yra dvi: (x-8) ir (x-25) = 0. Dėl to turime dvi šaknis 8 ir 25.

Pavyzdžiai su kvadratinių lygčių sprendimu 9 klasėje leidžia šiuo metodu rasti kintamąjį ne tik antros, bet net ir trečios bei ketvirtos eilės išraiškose.

Pavyzdžiui: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Skaičiuojant dešinę pusę į veiksnius su kintamuoju, yra trys iš jų, tai yra (x + 1), (x-3) ir (x + 3).

Dėl to tampa akivaizdu, kad ši lygtis turi tris šaknis: -3; - vienas; 3.

Kvadratinės šaknies ištraukimas

Kitas nepilnos antros eilės lygties atvejis – tai raidžių kalba parašyta išraiška taip, kad dešinioji pusė yra pastatyta iš komponentų ax 2 ir c. Čia, norint gauti kintamojo reikšmę, laisvasis narys perkeliamas į dešinę pusę, o po to iš abiejų lygybės pusių ištraukiama kvadratinė šaknis. Reikia pažymėti, kad šiuo atveju dažniausiai yra dvi lygties šaknys. Vienintelės išimtys yra lygybės, kuriose visiškai nėra termino c, kur kintamasis lygus nuliui, taip pat reiškinių variantai, kai dešinioji pusė pasirodo esanti neigiama. Pastaruoju atveju iš viso nėra sprendimų, nes pirmiau minėtų veiksmų negalima atlikti su šaknimis. Reikėtų apsvarstyti tokio tipo kvadratinių lygčių sprendimų pavyzdžius.

Šiuo atveju lygties šaknys bus skaičiai -4 ir 4.

Žemės ploto apskaičiavimas

Tokio pobūdžio skaičiavimų poreikis atsirado senovėje, nes tais tolimais laikais matematikos raidą daugiausia lėmė būtinybė kuo tiksliau nustatyti žemės sklypų plotus ir perimetrus.

Taip pat turėtume apsvarstyti kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžius, sudarytus remiantis tokio pobūdžio problemomis.

Taigi, tarkime, yra stačiakampis žemės sklypas, kurio ilgis yra 16 metrų didesnis nei plotis. Turėtumėte sužinoti sklypo ilgį, plotį ir perimetrą, jei žinoma, kad jos plotas yra 612 m 2.

Pradėdami verslą, iš pradžių sudarysime reikiamą lygtį. Atkarpos plotį pažymėkime x, tada jos ilgis bus (x + 16). Iš to, kas parašyta, išplaukia, kad plotas nustatomas pagal išraišką x (x + 16), kuri pagal mūsų uždavinio sąlygą yra 612. Tai reiškia, kad x (x + 16) \u003d 612.

Išsamių kvadratinių lygčių sprendimas, o ši išraiška yra būtent tokia, negali būti atliktas tokiu pačiu būdu. Kodėl? Nors kairėje jo pusėje vis dar yra du faktoriai, tačiau jų sandauga visai nėra 0, todėl čia naudojami kiti metodai.

Diskriminuojantis

Pirmiausia atliksime reikiamas transformacijas, tada šios išraiškos išvaizda atrodys taip: x 2 + 16x - 612 = 0. Tai reiškia, kad gavome anksčiau nurodytą standartą atitinkančios formos išraišką, kur a = 1, b = 16, c = -612.

Tai gali būti kvadratinių lygčių sprendimo naudojant diskriminantą pavyzdys. Čia reikalingi skaičiavimai atliekami pagal schemą: D = b 2 - 4ac. Ši pagalbinė vertė ne tik leidžia rasti norimas reikšmes antros eilės lygtyje, bet ir nustato galimų variantų skaičių. D>0 atveju jų yra du; D=0 yra viena šaknis. Tuo atveju, kai D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Apie šaknis ir jų formulę

Mūsų atveju diskriminantas yra: 256 - 4(-612) = 2704. Tai rodo, kad mūsų problema turi atsakymą. Jei žinote, kvadratinių lygčių sprendimas turi būti tęsiamas naudojant toliau pateiktą formulę. Tai leidžia apskaičiuoti šaknis.

Tai reiškia, kad pateiktu atveju: x 1 =18, x 2 =-34. Antrasis variantas šioje dilemoje negali būti sprendimas, nes žemės sklypo dydis negali būti matuojamas neigiamomis reikšmėmis, o tai reiškia, kad x (tai yra sklypo plotis) yra 18 m. Iš čia skaičiuojame ilgį: 18+16=34, o perimetras 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Pavyzdžiai ir užduotys

Tęsiame kvadratinių lygčių tyrimą. Toliau bus pateikti pavyzdžiai ir išsamus kelių iš jų sprendimas.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Viską perkelkime į kairę lygybės pusę, atliksime transformaciją, tai yra gausime lygties formą, kuri paprastai vadinama standartine, ir prilyginkime nuliui.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Pridėję panašius, nustatome diskriminantą: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Taigi mūsų lygtis turės dvi šaknis. Apskaičiuojame juos pagal aukščiau pateiktą formulę, o tai reiškia, kad pirmasis iš jų bus lygus 4/3, o antrasis - 1.

2) Dabar mes atskleisime kitokio pobūdžio mįsles.

Išsiaiškinkime, ar čia iš viso yra šaknų x 2 - 4x + 5 = 1? Norėdami gauti išsamų atsakymą, daugianarį perkeliame į atitinkamą pažįstamą formą ir apskaičiuojame diskriminantą. Šiame pavyzdyje nebūtina spręsti kvadratinės lygties, nes problemos esmė visai ne tame. Šiuo atveju D \u003d 16 - 20 \u003d -4, o tai reiškia, kad šaknų tikrai nėra.

Vietos teorema

Kvadratines lygtis patogu spręsti naudojant aukščiau pateiktas formules ir diskriminantą, kai iš pastarojo reikšmės išimama kvadratinė šaknis. Tačiau taip nutinka ne visada. Tačiau šiuo atveju yra daug būdų, kaip gauti kintamųjų reikšmes. Pavyzdys: kvadratinių lygčių sprendimas naudojant Vietos teoremą. Jis pavadintas žmogaus, gyvenusio XVI a. Prancūzijoje ir dėl savo matematinio talento ir ryšių dvaro dėka, padariusio puikią karjerą. Jo portretą galima pamatyti straipsnyje.

Modelis, kurį pastebėjo garsus prancūzas, buvo toks. Jis įrodė, kad lygties šaknų suma lygi -p=b/a, o jų sandauga atitinka q=c/a.

Dabar pažvelkime į konkrečias užduotis.

3x2 + 21x - 54 = 0

Kad būtų paprasčiau, pakeiskime išraišką:

x 2 + 7x - 18 = 0

Naudojant Vieta teoremą, tai duos mums taip: šaknų suma yra -7, o jų sandauga yra -18. Iš čia gauname, kad lygties šaknys yra skaičiai -9 ir 2. Patikrinę įsitikinsime, kad šios kintamųjų reikšmės tikrai telpa į išraišką.

Parabolės grafikas ir lygtis

Kvadratinės funkcijos ir kvadratinių lygčių sąvokos yra glaudžiai susijusios. To pavyzdžiai jau buvo pateikti anksčiau. Dabar pažvelkime į kai kuriuos matematinius galvosūkius šiek tiek išsamiau. Bet kuri aprašyto tipo lygtis gali būti pavaizduota vizualiai. Tokia priklausomybė, nubrėžta grafiko pavidalu, vadinama parabole. Įvairūs jo tipai parodyti paveikslėlyje žemiau.

Bet kuri parabolė turi viršūnę, tai yra tašką, iš kurio išeina jos šakos. Jei a>0, jie kyla aukštai iki begalybės, o kai a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizualus funkcijų atvaizdavimas padeda išspręsti bet kokias lygtis, įskaitant kvadratines. Šis metodas vadinamas grafiniu. O kintamojo x reikšmė yra abscisių koordinatė taškuose, kur grafiko linija susikerta su 0x. Viršūnės koordinates galima rasti pagal ką tik pateiktą formulę x 0 = -b / 2a. Ir pakeisdami gautą reikšmę į pradinę funkcijos lygtį, galite sužinoti y 0, tai yra, antrąją parabolės viršūnės koordinatę, priklausančią y ašiai.

Parabolės šakų susikirtimas su abscisių ašimi

Yra daug kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžių, tačiau yra ir bendrų modelių. Apsvarstykime juos. Akivaizdu, kad grafiko susikirtimas su 0x ašimi, kai a>0 yra įmanomas tik tuo atveju, jei y 0 įgyja neigiamas reikšmes. Ir už a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Priešingu atveju D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Iš parabolės grafiko taip pat galite nustatyti šaknis. Ir atvirkščiai. Tai yra, jei nėra lengva gauti vaizdinį kvadratinės funkcijos vaizdą, dešinę išraiškos pusę galite prilyginti 0 ir išspręsti gautą lygtį. O žinant susikirtimo taškus su 0x ašimi, braižyti lengviau.

Iš istorijos

Naudojant lygtis, turinčias kvadratinį kintamąjį, senais laikais buvo ne tik matematiniai skaičiavimai, bet ir geometrinių formų plotas. Tokių skaičiavimų senovės žmonėms prireikė grandioziniams fizikos ir astronomijos atradimams, taip pat astrologinėms prognozėms daryti.

Kaip teigia šiuolaikiniai mokslininkai, Babilono gyventojai vieni pirmųjų išsprendė kvadratines lygtis. Tai įvyko keturis šimtmečius iki mūsų eros atsiradimo. Žinoma, jų skaičiavimai iš esmės skyrėsi nuo šiuo metu priimtų ir pasirodė esą daug primityvesni. Pavyzdžiui, Mesopotamijos matematikai neturėjo supratimo apie neigiamų skaičių egzistavimą. Jiems nebuvo pažįstamos ir kitos subtilybės, kurias žinojo bet kuris mūsų laikų studentas.

Galbūt net anksčiau nei Babilono mokslininkai išminčius iš Indijos Baudhayama ėmėsi kvadratinių lygčių sprendimo. Tai atsitiko maždaug aštuonis šimtmečius prieš Kristaus eros atėjimą. Tiesa, antros eilės lygtys, jo pateikti sprendimo būdai buvo patys paprasčiausi. Be jo, senais laikais panašiais klausimais domėjosi ir kinų matematikai. Europoje kvadratinės lygtys pradėtos spręsti tik XIII amžiaus pradžioje, tačiau vėliau jas savo darbuose naudojo tokie puikūs mokslininkai kaip Niutonas, Dekartas ir daugelis kitų.

Kvadratinė lygtis – lengva išspręsti! *Toliau tekste „KU“. Draugai, atrodytų, kad matematikoje tai gali būti lengviau nei išspręsti tokią lygtį. Tačiau kažkas man pasakė, kad daugelis žmonių turi problemų su juo. Nusprendžiau pažiūrėti, kiek parodymų „Yandex“ suteikia užklausai per mėnesį. Štai kas atsitiko, pažiūrėkite:

Ką tai reiškia? Tai reiškia, kad per mėnesį šios informacijos ieško apie 70 000 žmonių, o štai vasara, o kas bus per mokslo metus – prašymų bus dvigubai daugiau. Tai nenuostabu, nes šios informacijos ieško seniai mokyklą baigę ir egzaminui besiruošiantys vaikinai ir merginos, atgaivinti atmintį stengiasi ir moksleiviai.

Nepaisant to, kad yra daug svetainių, kuriose pasakojama, kaip išspręsti šią lygtį, aš nusprendžiau taip pat prisidėti ir paskelbti medžiagą. Pirma, noriu, kad lankytojai apsilankytų mano svetainėje pagal šį prašymą; antra, kituose straipsniuose, kai pasirodys kalba „KU“, duosiu nuorodą į šį straipsnį; trečia, aš jums papasakosiu šiek tiek daugiau apie jo sprendimą, nei paprastai rašoma kitose svetainėse. Pradėkime! Straipsnio turinys:

Kvadratinė lygtis yra tokios formos lygtis:

kur koeficientai a,bir su savavališkais skaičiais su a≠0.

Mokyklos kurse medžiaga pateikiama tokia forma - lygčių padalijimas į tris klases atliekamas sąlygiškai:

1. Turėkite dvi šaknis.

2. * Turėti tik vieną šaknį.

3. Neturi šaknų. Čia verta paminėti, kad jie neturi tikrų šaknų

Kaip apskaičiuojamos šaknys? Tiesiog!

Apskaičiuojame diskriminantą. Po šiuo „siaubingu“ žodžiu slypi labai paprasta formulė:

Šaknies formulės yra tokios:

*Šias formules reikia žinoti mintinai.

Galite iš karto užsirašyti ir nuspręsti:

Pavyzdys:

1. Jei D > 0, tai lygtis turi dvi šaknis.

2. Jei D = 0, tai lygtis turi vieną šaknį.

3. Jei D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Pažiūrėkime į lygtį:

Šia proga, kai diskriminantas yra nulis, mokyklos kursas sako, kad gaunama viena šaknis, čia ji lygi devynioms. Teisingai, taip, bet...

Šis vaizdas yra šiek tiek neteisingas. Tiesą sakant, yra dvi šaknys. Taip, taip, nenustebkite, pasirodo dvi lygios šaknys, o kad būtų matematiškai tikslūs, atsakyme turėtų būti parašytos dvi šaknys:

x 1 = 3 x 2 = 3

Bet taip yra – mažas nukrypimas. Mokykloje gali užsirašyti ir pasakyti, kad yra tik viena šaknis.

Dabar toks pavyzdys:

Kaip žinome, neigiamo skaičiaus šaknis nėra išgaunama, todėl šiuo atveju sprendimo nėra.

Tai yra visas sprendimų priėmimo procesas.

Kvadratinė funkcija.

Štai kaip sprendimas atrodo geometriškai. Tai nepaprastai svarbu suprasti (ateityje viename iš straipsnių išsamiai išanalizuosime kvadratinės nelygybės sprendimą).

Tai yra formos funkcija:

kur x ir y yra kintamieji

a, b, c yra pateikti skaičiai, kur a ≠ 0

Grafikas yra parabolė:

Tai yra, paaiškėja, kad išsprendę kvadratinę lygtį, kurioje "y" lygi nuliui, randame parabolės susikirtimo taškus su x ašimi. Šių taškų gali būti du (diskriminantas yra teigiamas), vienas (diskriminantas yra nulis) arba nė vieno (diskriminantas yra neigiamas). Daugiau apie kvadratinę funkciją Galite peržiūrėti Innos Feldman straipsnis.

Apsvarstykite pavyzdžius:

1 pavyzdys: nuspręskite 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Atsakymas: x 1 = 8 x 2 = -12

* Galite iš karto padalyti kairę ir dešinę lygties puses iš 2, tai yra, supaprastinti. Skaičiavimai bus lengvesni.

2 pavyzdys: Išspręsti x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac = (–22) 2 –4, 1, 121 = 484–484 = 0

Gavome x 1 \u003d 11 ir x 2 \u003d 11

Atsakyme leidžiama rašyti x = 11.

Atsakymas: x = 11

3 pavyzdys: Išspręsti x 2 – 8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 -4ac = (-8) 2 -4, 1, 72 = 64 - 288 = -224

Diskriminantas yra neigiamas, realiaisiais skaičiais sprendimo nėra.

Atsakymas: nėra sprendimo

Diskriminantas yra neigiamas. Yra sprendimas!

Čia kalbėsime apie lygties sprendimą tuo atveju, kai gaunamas neigiamas diskriminantas. Ar žinote ką nors apie kompleksinius skaičius? Čia nenagrinėsiu, kodėl ir kur jie atsirado ir koks jų konkretus vaidmuo ir būtinybė matematikoje, tai yra didelio atskiro straipsnio tema.

Kompleksinio skaičiaus samprata.

Šiek tiek teorijos.

Kompleksinis skaičius z yra formos skaičius

z = a + bi

kur a ir b yra realieji skaičiai, i yra vadinamasis įsivaizduojamas vienetas.

a+bi yra VIENAS SKAIČIUS, o ne priedas.

Įsivaizduojamas vienetas yra lygus minus vieneto šaknei:

Dabar apsvarstykite lygtį:

Gaukite dvi konjuguotas šaknis.

Nebaigta kvadratinė lygtis.

Apsvarstykite specialius atvejus, kai koeficientas "b" arba "c" yra lygus nuliui (arba abu yra lygūs nuliui). Jie lengvai išsprendžiami be jokių diskriminavimo priemonių.

1 atvejis. Koeficientas b = 0.

Lygtis įgauna tokią formą:

Transformuokime:

Pavyzdys:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

2 atvejis. Koeficientas c = 0.

Lygtis įgauna tokią formą:

Transformuoti, koeficientuoti:

* Produktas yra lygus nuliui, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui.

Pavyzdys:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x-5) =0 => x = 0 arba x-5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

3 atvejis. Koeficientai b = 0 ir c = 0.

Čia aišku, kad lygties sprendimas visada bus x = 0.

Naudingos koeficientų savybės ir modeliai.

Yra savybių, kurios leidžia išspręsti lygtis su dideliais koeficientais.

betx 2 + bx+ c=0 lygybė

a + b+ c = 0, tada

— jei lygties koeficientams betx 2 + bx+ c=0 lygybė

a+ su =b, tada

Šios savybės padeda išspręsti tam tikros rūšies lygtį.

1 pavyzdys: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Koeficientų suma yra 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, taigi

2 pavyzdys: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Lygybė a+ su =b, reiškia

Koeficientų dėsningumai.

1. Jei lygtyje ax 2 + bx + c \u003d 0 koeficientas "b" yra (a 2 +1), o koeficientas "c" yra skaitine prasme lygus koeficientui "a", tada jo šaknys yra

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Jei lygtyje ax 2 - bx + c \u003d 0, koeficientas "b" yra (a 2 +1), o koeficientas "c" yra skaitine prasme lygus koeficientui "a", tada jo šaknys yra

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Jei lygtyje ax 2 + bx - c = 0 koeficientas "b" lygus (a 2 – 1), o koeficientas „c“ skaičiais lygus koeficientui "a", tada jo šaknys lygios

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Jei lygtyje ax 2 - bx - c \u003d 0, koeficientas "b" yra lygus (a 2 - 1), o koeficientas c yra skaitiniu būdu lygus koeficientui "a", tada jo šaknys yra

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Vietos teorema.

Vietos teorema pavadinta garsaus prancūzų matematiko Francois Vieta vardu. Naudojant Vietos teoremą, galima išreikšti savavališko KU šaknų sumą ir sandaugą jo koeficientais.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Apibendrinant, skaičius 14 duoda tik 5 ir 9. Tai yra šaknys. Turėdami tam tikrų įgūdžių, naudodami pateiktą teoremą, galite iškart žodžiu išspręsti daugybę kvadratinių lygčių.

Vietos teorema, be to. patogu, nes įprastu būdu (per diskriminantą) išsprendus kvadratinę lygtį galima patikrinti gautas šaknis. Aš rekomenduoju tai daryti visą laiką.

PERDAVIMO METODAS

Šiuo metodu koeficientas "a" dauginamas iš laisvojo termino, tarsi "perkeliamas" į jį, todėl jis vadinamas perdavimo būdas.Šis metodas naudojamas, kai lengva rasti lygties šaknis naudojant Vietos teoremą ir, svarbiausia, kai diskriminantas yra tikslus kvadratas.

Jeigu bet± b+c≠ 0, tada naudojama perdavimo technika, pavyzdžiui:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Pagal Vieta teoremą (2) lygtyje nesunku nustatyti, kad x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Gautas lygties šaknis reikia padalyti iš 2 (kadangi du buvo „išmesti“ iš x 2), gauname

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Koks yra loginis pagrindas? Pažiūrėkite, kas vyksta.

(1) ir (2) lygčių diskriminantai yra šie:

Jei pažvelgsite į lygčių šaknis, gaunami tik skirtingi vardikliai, o rezultatas tiksliai priklauso nuo koeficiento x 2:

Antrosios (modifikuotos) šaknys yra 2 kartus didesnės.

Todėl rezultatą padalijame iš 2.

*Jei ridename tris vienodus, tai rezultatą dalijame iš 3 ir t.t.

Atsakymas: x 1 = 5 x 2 = 0,5

kv. ur-ie ir egzaminas.

Apie jo svarbą pasakysiu trumpai - TURĖKITE MESTI greitai ir negalvodami, reikia mintinai žinoti šaknų ir diskriminanto formules. Daugelis užduočių, kurios yra USE užduočių dalis, yra susijusios su kvadratinės lygties (įskaitant geometrines) sprendimu.

Į ką verta atkreipti dėmesį!

1. Lygties forma gali būti „numanoma“. Pavyzdžiui, galimas toks įrašas:

15+ 9x 2 - 45x = 0 arba 15x + 42 + 9x 2 - 45x = 0 arba 15 -5x + 10x 2 = 0.

Turite jį pateikti į standartinę formą (kad nesusipainiotumėte sprendžiant).

2. Atsiminkite, kad x yra nežinoma reikšmė ir ji gali būti žymima bet kuria kita raide – t, q, p, h ir kt.

Diskriminantas, taip pat kvadratinės lygtys pradedamos studijuoti algebros kurse 8 klasėje. Kvadratinę lygtį galite išspręsti naudodami diskriminantą ir naudodami Vieta teoremą. Kvadratinių lygčių tyrimo metodika, kaip ir diskriminacinė formulė, gana nesėkmingai diegiama moksleiviams, kaip ir daugelis kitų realiame ugdyme. Todėl praeina mokslo metai, 9-11 klasėse mokslas pakeičia „aukštąjį mokslą“ ir visi vėl ieško – "Kaip išspręsti kvadratinę lygtį?", "Kaip rasti lygties šaknis?", "Kaip rasti diskriminantą?" Ir...

Diskriminacinė formulė

Kvadratinės lygties a*x^2+bx+c=0 diskriminantas D yra D=b^2–4*a*c.
Kvadratinės lygties šaknys (sprendiniai) priklauso nuo diskriminanto (D) ženklo:
D>0 – lygtis turi 2 skirtingas realiąsias šaknis;
D=0 – lygtis turi 1 šaknį (2 sutampančios šaknys):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Diskriminanto skaičiavimo formulė yra gana paprasta, todėl daugelis svetainių siūlo internetinę diskriminanto skaičiuoklę. Mes dar nesugalvojome tokio pobūdžio scenarijų, todėl kas žino, kaip tai įgyvendinti, rašykite el. Šis el. pašto adresas yra apsaugotas nuo šiukšlių. Jei norite peržiūrėti, turite įjungti „JavaScript“. .

Bendroji kvadratinės lygties šaknų radimo formulė:

Lygties šaknys randamos pagal formulę
Jei kintamojo koeficientas kvadrate yra suporuotas, patartina skaičiuoti ne diskriminantą, o ketvirtąją jo dalį
Tokiais atvejais lygties šaknys randamos pagal formulę

Antrasis būdas rasti šaknis yra Vietos teorema.

Teorema formuluojama ne tik kvadratinėms lygtims, bet ir daugianariams. Tai galite perskaityti Vikipedijoje ar kituose elektroniniuose šaltiniuose. Tačiau, siekiant supaprastinti, apsvarstykite tą jos dalį, kuri yra susijusi su redukuotomis kvadratinėmis lygtimis, ty su (a=1) formos lygtimis.
Vietos formulių esmė ta, kad lygties šaknų suma yra lygi kintamojo koeficientui, paimtam su priešingu ženklu. Lygties šaknų sandauga lygi laisvajam nariui. Vietos teoremos formulės turi žymėjimą.
Vietos formulės išvedimas yra gana paprastas. Parašykime kvadratinę lygtį pirminiais koeficientais
Kaip matote, viskas, kas išradinga, yra paprasta tuo pačiu metu. Vietos formulę efektyvu naudoti, kai šaknų modulių skirtumas arba šaknų modulių skirtumas yra 1, 2. Pavyzdžiui, šios lygtys pagal Vietos teoremą turi šaknis

Iki 4 lygčių analizė turėtų atrodyti taip. Lygties šaknų sandauga yra 6, taigi šaknys gali būti reikšmės (1, 6) ir (2, 3) arba poros su priešingu ženklu. Šaknų suma lygi 7 (kintamojo su priešingu ženklu koeficientas). Iš čia darome išvadą, kad kvadratinės lygties sprendiniai yra lygūs x=2; x=3.
Lengviau parinkti lygties šaknis tarp laisvojo nario daliklių, pataisant jų ženklą, kad būtų įvykdytos Vietos formulės. Iš pradžių tai atrodo sunku padaryti, tačiau praktikuojant daugybę kvadratinių lygčių, ši technika bus veiksmingesnė nei diskriminanto apskaičiavimas ir kvadratinės lygties šaknų radimas klasikiniu būdu.
Kaip matote, mokyklinė diskriminanto tyrimo teorija ir būdai, kaip rasti lygties sprendimus, neturi praktinės prasmės - „Kodėl moksleiviams reikalinga kvadratinė lygtis?“, „Kokia fizinė diskriminanto reikšmė?“.

Pabandykime tai išsiaiškinti ką apibūdina diskriminantas?

Algebros metu jie tiria funkcijas, funkcijų tyrimo schemas ir funkcijų braižymą. Iš visų funkcijų svarbią vietą užima parabolė, kurios lygtis gali būti įrašyta forma
Taigi kvadratinės lygties fizinė reikšmė yra parabolės nuliai, tai yra funkcijos grafiko susikirtimo taškai su abscisių ašimi Ox
Prašau prisiminti toliau aprašytas parabolių savybes. Ateis laikas laikyti egzaminus, testus ar stojamuosius ir būsite dėkingi už informacinę medžiagą. Kintamojo ženklas kvadrate atitinka tai, ar parabolės šakos grafike kils aukštyn (a>0),

arba parabolė su šakomis žemyn (a<0) .

Parabolės viršūnė yra viduryje tarp šaknų

Fizinė diskriminanto reikšmė:

Jei diskriminantas yra didesnis už nulį (D>0), parabolė turi du susikirtimo taškus su Ox ašimi.
Jei diskriminantas lygus nuliui (D=0), tada viršuje esanti parabolė liečia x ašį.
Ir paskutinis atvejis, kai diskriminantas yra mažesnis už nulį (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).