Kas vadinama kvadratine šaknimi. Kaip rankiniu būdu rasti skaičiaus kvadratinę šaknį

Matematika gimė tada, kai žmogus suvokė save ir pradėjo save pozicionuoti kaip savarankišką pasaulio vienetą. Noras matuoti, lyginti, skaičiuoti tai, kas tave supa – tai yra vienas iš pagrindinių mūsų dienų mokslų. Iš pradžių tai buvo elementarios matematikos gabalai, kurie leido susieti skaičius su jų fizinėmis išraiškomis, vėliau išvados pradėtos pateikti tik teoriškai (dėl abstraktumo), tačiau po kurio laiko, kaip teigė vienas mokslininkas, „ matematika pasiekė sudėtingumo lubas, kai visi skaičiai. „Kvadratinės šaknies“ sąvoka atsirado tuo metu, kai ją buvo galima lengvai paremti empiriniais duomenimis, peržengiančiais skaičiavimų plokštumą.

Kaip viskas prasidėjo

Pirmasis paminėjimas apie šaknį, kuri ant Šis momentasžymimas √, buvo užfiksuotas Babilono matematikų, padėjusių šiuolaikinės aritmetikos pamatus, raštuose. Žinoma, jos atrodė šiek tiek panašios į dabartinę formą – tų metų mokslininkai pirmą kartą panaudojo stambias tabletes. Tačiau antrajame tūkstantmetyje pr. e. jie sugalvojo apytikslę skaičiavimo formulę, kuri parodė, kaip imti kvadratinę šaknį. Žemiau esančioje nuotraukoje pavaizduotas akmuo, ant kurio Babilono mokslininkai išraižė išvesties procesą √2, ir jis pasirodė toks teisingas, kad neatitikimas atsakyme buvo rastas tik dešimtosiose dešimtosiose.

Be to, šaknis buvo naudojama, jei reikėjo rasti trikampio kraštinę, jei žinomos kitos dvi. Na, o sprendžiant kvadratines lygtis nepabėgsi nuo šaknies ištraukimo.

Kartu su babiloniečių darbais straipsnio tema buvo nagrinėjama ir kinų veikale „Matematika devyniose knygose“, o senovės graikai priėjo prie išvados, kad bet koks skaičius, iš kurio šaknis neišgaunama be liekanos, duoda neracionalų rezultatą. .

Šio termino kilmė siejama su arabišku skaičiaus vaizdu: senovės mokslininkai tikėjo, kad savavališko skaičiaus kvadratas išauga iš šaknies, kaip augalas. Lotyniškai šis žodis skamba kaip radix (galima atsekti šabloną – viskas, kas turi „šaknies“ semantinę apkrovą, yra priebalsė, ar tai ridikas, ar išialgija).

Vėlesnių kartų mokslininkai pasirinko šią idėją ir pavadino ją Rx. Pavyzdžiui, XV amžiuje, norėdami nurodyti, kad kvadratinė šaknis paimta iš savavališko skaičiaus a, jie parašė R 2 a. Įprasta moderni išvaizda„erkė“ √ atsirado tik XVII amžiuje Rene Descartes'o dėka.

Mūsų dienos

Matematiškai y kvadratinė šaknis yra skaičius z, kurio kvadratas yra y. Kitaip tariant, z 2 =y yra lygiavertis √y=z. Tačiau šis apibrėžimas aktualus tik aritmetinei šaknei, nes reiškia neneigiamą išraiškos reikšmę. Kitaip tariant, √y=z, kur z yra didesnis arba lygus 0.

Apskritai, kuri galioja nustatant algebrinę šaknį, išraiškos reikšmė gali būti teigiama arba neigiama. Taigi, dėl to, kad z 2 =y ir (-z) 2 =y, gauname: √y=±z arba √y=|z|.

Dėl to, kad tobulėjant mokslui meilė matematikai tik didėjo, atsiranda įvairių prisirišimo prie jos apraiškų, neišreikštų sausais skaičiavimais. Pavyzdžiui, kartu su tokiais įdomiais renginiais kaip Pi diena, švenčiamos ir kvadratinės šaknies šventės. Jos švenčiamos devynis kartus per šimtą metų ir nustatomos pagal tokį principą: dieną ir mėnesį eilės tvarka žymintys skaičiai turi būti metų kvadratinė šaknis. Taip, viduje Kitą kartąŠi šventė bus švenčiama 2016 m. balandžio 4 d.

Kvadratinės šaknies savybės lauke R

Beveik visos matematinės išraiškos turi geometrinį pagrindą, šis likimas nepraėjo ir √y, kuris apibrėžiamas kaip kvadrato, kurio plotas y, kraštinė.

Kaip rasti skaičiaus šaknį?

Yra keli skaičiavimo algoritmai. Paprasčiausias, bet tuo pat metu gana sudėtingas yra įprastas aritmetinis skaičiavimas, kuris yra toks:

1) iš skaičiaus, kurio šaknies mums reikia, paeiliui atimami nelyginiai skaičiai - kol išvesties likutis bus mažesnis už atimtą arba lyginis nulis. Judėjimų skaičius ilgainiui taps norimu skaičiumi. Pavyzdžiui, skaičiavimas kvadratinė šaknis iš 25:

Kitas nelyginis skaičius yra 11, likusioji dalis yra: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Tokiais atvejais yra Taylor serijos išplėtimas:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , kur n įgauna reikšmes nuo 0 iki

+∞ ir |y|≤1.

Grafinis funkcijos z=√y pavaizdavimas

Apsvarstykite elementariąją funkciją z=√y realiųjų skaičių R lauke, kur y yra didesnis arba lygus nuliui. Jos diagrama atrodo taip:

Kreivė auga nuo pradžios ir būtinai kerta tašką (1; 1).

Funkcijos z=√y savybės realiųjų skaičių R lauke

1. Nagrinėjamos funkcijos apibrėžimo sritis yra intervalas nuo nulio iki plius begalybės (nulis įtraukiamas).

2. Nagrinėjamos funkcijos reikšmių diapazonas yra intervalas nuo nulio iki plius begalybės (vėl įtraukiamas nulis).

3. Funkcija įgauna mažiausią reikšmę (0) tik taške (0; 0). Maksimalios vertės nėra.

4. Funkcija z=√y nėra nei lyginė, nei nelyginė.

5. Funkcija z=√y nėra periodinė.

6. Yra tik vienas funkcijos z=√y grafiko susikirtimo taškas su koordinačių ašimis: (0; 0).

7. Funkcijos z=√y grafiko susikirtimo taškas yra ir šios funkcijos nulis.

8. Funkcija z=√y nuolat auga.

9. Funkcija z=√y turi tik teigiamas reikšmes, todėl jos grafikas užima pirmąjį koordinačių kampą.

Funkcijos z=√y rodymo parinktys

Matematikoje, siekiant palengvinti sudėtingų išraiškų skaičiavimą, kartais naudojama kvadratinės šaknies rašymo galios forma: √y=y 1/2. Ši parinktis yra patogi, pavyzdžiui, pakeliant funkciją į laipsnį: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Šis metodas taip pat yra geras diferencijavimo su integravimu vaizdavimas, nes jo dėka kvadratinė šaknis yra pavaizduota įprasta galios funkcija.

O programuojant simbolio √ pakaitalas yra raidžių derinys sqrt.

Verta paminėti, kad šioje srityje kvadratinė šaknis yra labai paklausi, nes ji yra daugelio skaičiavimams reikalingų geometrinių formulių dalis. Pats skaičiavimo algoritmas yra gana sudėtingas ir pagrįstas rekursija (funkcija, kuri iškviečia save).

Kvadratinė šaknis kompleksiniame lauke C

Apskritai, šio straipsnio tema paskatino atrasti kompleksinių skaičių C lauką, nes matematikus persekiojo klausimas, kaip iš neigiamo skaičiaus gauti lyginę laipsnio šaknį. Taip atsirado įsivaizduojamas vienetas i, kuriam būdinga labai įdomi savybė: jo kvadratas yra -1. Dėl to kvadratinės lygtys ir su neigiamu diskriminantu gavo sprendimą. C kalbant apie kvadratinę šaknį, svarbios tos pačios savybės kaip ir R, vienintelis dalykas yra tai, kad pašalinami šaknies išraiškos apribojimai.

Kvadratinio žemės sklypo plotas 81 dm². Surask jo pusę. Tarkime, kvadrato kraštinės ilgis yra X decimetrų. Tada sklypo plotas yra X² kvadratinių decimetrų. Kadangi pagal būklę šis plotas yra 81 dm², tai X² = 81. Kvadrato kraštinės ilgis yra teigiamas skaičius. Teigiamas skaičius, kurio kvadratas lygus 81, yra skaičius 9. Sprendžiant uždavinį reikėjo rasti skaičių x, kurio kvadratas lygus 81, t.y išspręsti lygtį X² = 81. Ši lygtis turi dvi šaknis: x 1 = 9 ir x 2 \u003d - 9, nes 9² \u003d 81 ir (- 9)² \u003d 81. Abu skaičiai 9 ir - 9 vadinami skaičiaus 81 kvadratinėmis šaknimis.

Atkreipkite dėmesį, kad viena iš kvadratinių šaknų X= 9 yra teigiamas skaičius. Jis vadinamas aritmetine kvadratine šaknimi iš 81 ir žymima √81, taigi √81 = 9.

Aritmetinė skaičiaus kvadratinė šaknis bet yra neneigiamas skaičius, kurio kvadratas lygus bet.

Pavyzdžiui, skaičiai 6 ir - 6 yra skaičiaus 36 kvadratinės šaknys. Šiuo atveju skaičius 6 yra aritmetinė kvadratinė šaknis iš 36, nes 6 yra neneigiamas skaičius, o 6² \u003d 36. Skaičius - 6 nėra aritmetinė šaknis.

Aritmetinė skaičiaus kvadratinė šaknis betžymimas taip: √ bet.

Ženklas vadinamas aritmetiniu kvadratinės šaknies ženklu; bet vadinama šaknine išraiška. Išraiška √ bet skaityti kaip ši: skaičiaus aritmetinė kvadratinė šaknis bet. Pavyzdžiui, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Tais atvejais, kai aišku, kad kalbame apie aritmetinę šaknį, jie trumpai sako: „kvadratinė šaknis bet«.

Skaičiaus kvadratinės šaknies radimas vadinamas kvadratinės šaknies paėmimu. Šis veiksmas yra atvirkštinis kvadratūrai.

Bet koks skaičius gali būti kvadratas, bet ne kiekvienas skaičius gali būti kvadratinė šaknis. Pavyzdžiui, neįmanoma išgauti kvadratinės šaknies iš skaičiaus - 4. Jei tokia šaknis egzistavo, tai pažymint ją raide X, gautume neteisingą lygybę x² \u003d - 4, nes kairėje yra neneigiamas skaičius, o dešinėje - neigiamas skaičius.

Išraiška √ bet prasminga tik tada, kai a ≥ 0. Kvadratinės šaknies apibrėžimą galima trumpai parašyti taip: √ a ≥ 0, (√bet)² = bet. Lygybė (√ bet)² = bet galioja iki a ≥ 0. Taigi, norint įsitikinti, kad neneigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis bet lygus b, t.y., kad √ bet =b, turite patikrinti, ar tenkinamos šios dvi sąlygos: b ≥ 0, b² = bet.

Trupmenos kvadratinė šaknis

Paskaičiuokime. Atkreipkite dėmesį, kad √25 = 5, √36 = 6, ir patikrinkite, ar galioja lygybė.

Nes ir , tada lygybė yra tiesa. Taigi, .

Teorema: Jeigu bet≥ 0 ir b> 0, tai yra trupmenos šaknis lygus šaknims iš skaitiklio, padalyto iš vardiklio šaknies. Būtina įrodyti, kad: ir .

Nuo √ bet≥0 ir √ b> 0, tada .

Pagal savybę pakelti trupmeną iki laipsnio ir nustatyti kvadratinę šaknį teorema įrodyta. Pažvelkime į kelis pavyzdžius.

Apskaičiuokite pagal įrodytą teoremą .

Antras pavyzdys: įrodykite tai , jei bet ≤ 0, b < 0. .

Kitas pavyzdys: Apskaičiuokite .

.

Kvadratinės šaknies transformacija

Daugiklio išėmimas iš po šaknies ženklo. Tegu pateikiama išraiška. Jeigu bet≥ 0 ir b≥ 0, tada pagal gaminio šaknies teoremą galime parašyti:

Tokia transformacija vadinama šaknies ženklo faktoriniavimu. Apsvarstykite pavyzdį;

Apskaičiuokite ties X= 2. Tiesioginis pakeitimas X= 2 radikalioje išraiškoje lemia sudėtingus skaičiavimus. Šiuos skaičiavimus galima supaprastinti, jei pirmiausia pašalinsime veiksnius iš po šaknies ženklo: . Dabar pakeitę x = 2, gauname:.

Taigi, išimant faktorių iš po šaknies ženklo, radikalų išraiška vaizduojama kaip sandauga, kurioje vienas ar keli faktoriai yra neneigiamų skaičių kvadratai. Tada taikoma šaknies sandaugos teorema ir imama kiekvieno veiksnio šaknis. Apsvarstykite pavyzdį: Supaprastinkite išraišką A = √8 + √18 - 4√2, išimdami veiksnius iš po šaknies ženklo pirmuosiuose dviejuose terminuose, gauname:. Pabrėžiame, kad lygybė galioja tik tada, kai bet≥ 0 ir b≥ 0. jeigu bet < 0, то .

Eksponentiškumas reiškia, kad tam tikras skaičius turi būti padaugintas iš savęs tam tikrą skaičių kartų. Pavyzdžiui, skaičiaus 2 padidinimas iki penktos laipsnio atrodytų taip:

Skaičius, kurį reikia padauginti iš savęs, vadinamas laipsnio pagrindu, o padauginimų skaičius yra jo eksponentas. Pakėlimas į laipsnį atitinka du priešingus veiksmus: laipsnio radimą ir bazės radimą.

šaknų ištraukimas

Rodiklio bazės radimas vadinamas šaknies ištraukimu. Tai reiškia, kad reikia rasti skaičių, kurį reikia padidinti iki n laipsnio, kad gautumėte nurodytą skaičių.

Pavyzdžiui, reikia išgauti 4-ąją skaičiaus 16 šaknį, t.y. Norėdami nustatyti, turite padauginti iš savęs 4 kartus, kad galų gale gautumėte 16. Šis skaičius yra 2.

Toks aritmetinis veiksmas rašomas naudojant specialų ženklą – radikalą: √, virš kurio kairėje nurodomas rodiklis.

aritmetinė šaknis

Jei eksponentas yra lyginis skaičius, tada šaknis gali būti du skaičiai su tuo pačiu moduliu, bet su - teigiamas ir neigiamas. Taigi pateiktame pavyzdyje tai gali būti skaičiai 2 ir -2.

Išraiška turi būti nedviprasmiška, t.y. turėti vieną rezultatą. Tam buvo įvesta aritmetinės šaknies sąvoka, kuri gali būti tik teigiamas skaičius. Aritmetinė šaknis negali būti mažesnė už nulį.

Taigi, aukščiau pateiktame pavyzdyje tik skaičius 2 bus aritmetinė šaknis, o antrasis atsakymas - -2 - pagal apibrėžimą neįtrauktas.

Kvadratinė šaknis

Kai kuriems laipsniams, kurie naudojami dažniau nei kitiems, yra specialūs pavadinimai, kurie iš pradžių siejami su geometrija. Tai apie apie pakėlimą į antrąją ir trečiąją galias.

Į antrą laipsnį – kvadrato kraštinės ilgis, kai reikia apskaičiuoti jos plotą. Jei reikia rasti kubo tūrį, jo briaunos ilgis pakeliamas iki trečios laipsnio. Todėl jis vadinamas skaičiaus kvadratu, o trečiasis – kubu.

Atitinkamai, antrojo laipsnio šaknis vadinama kvadratu, o trečiojo laipsnio šaknis vadinama kubiniu. Kvadratinė šaknis yra vienintelė iš šaknų, kuri rašant neturi eksponento virš radikalo:

Taigi nurodyto skaičiaus aritmetinė kvadratinė šaknis yra teigiamas skaičius, kuris turi būti padidintas iki antrojo laipsnio, kad gautumėte nurodytą skaičių.

Atėjo laikas išardyti šaknų ištraukimo metodai. Jie pagrįsti šaknų savybėmis, visų pirma lygybe, kuri galioja bet kuriam neneigiamam skaičiui b.

Žemiau mes savo ruožtu apsvarstysime pagrindinius šaknų išgavimo būdus.

Pradėkime nuo paprasčiausio atvejo – šaknų ištraukimas iš natūraliųjų skaičių naudojant kvadratų lentelę, kubelių lentelę ir kt.

Jei lentelės iš kvadratų, kubelių ir kt. nėra po ranka, logiška naudoti šaknies išskyrimo metodą, kuris apima šaknies skaičiaus skaidymą į paprastus veiksnius.

Atskirai verta pasilikti ties tuo, kas įmanoma šaknims su nelyginiais rodikliais.

Galiausiai apsvarstykite metodą, leidžiantį nuosekliai rasti šaknies vertės skaitmenis.

Pradėkime.

Naudojant kvadratų lentelę, kubelių lentelę ir kt.

Daugumoje paprasti atvejai kvadratų, kubelių ir tt lentelės leidžia išgauti šaknis. Kas yra šios lentelės?

Sveikųjų skaičių nuo 0 iki 99 imtinai kvadratų lentelė (parodyta toliau) susideda iš dviejų zonų. Pirmoji lentelės zona yra pilkame fone, joje naudojamas pasirinkimas tam tikra eilutė o konkretus stulpelis leidžia sudaryti skaičių nuo 0 iki 99 . Pavyzdžiui, pasirinkime 8 dešimčių eilutę ir 3 vienetų stulpelį, taip pataisydami skaičių 83. Antroji zona užima likusią stalo dalį. Kiekvienas jo langelis yra tam tikros eilutės ir tam tikro stulpelio sankirtoje ir yra atitinkamo skaičiaus kvadratas nuo 0 iki 99. Mūsų pasirinktos 8 dešimčių eilutės ir 3 stulpelio vieneto sankirtoje yra langelis su skaičiumi 6889, kuris yra skaičiaus 83 kvadratas.

Kubų lentelės, skaičių nuo 0 iki 99 ketvirtųjų laipsnių lentelės ir panašios į kvadratų lentelę, tik jose antroje zonoje yra kubai, ketvirtosios laipsniai ir pan. atitinkamus skaičius.

Kvadratų, kubelių, ketvirtųjų laipsnių lentelės ir kt. leidžia išgauti kvadratines šaknis, kubo šaknys, ketvirtosios šaknys ir kt. atitinkamai iš skaičių šiose lentelėse. Paaiškinkime jų taikymo principą išgaunant šaknis.

Tarkime, kad iš skaičiaus a reikia išskirti n-ojo laipsnio šaknį, o skaičius a yra n-ųjų laipsnių lentelėje. Pagal šią lentelę skaičių b randame tokį, kad a=b n . Tada , todėl skaičius b bus norima n-ojo laipsnio šaknis.

Kaip pavyzdį parodykime, kaip naudojant kubo lentelę išgaunama 19683 kubo šaknis. Kubų lentelėje randame skaičių 19 683, iš jos nustatome, kad šis skaičius yra skaičiaus 27 kubas, todėl .

Akivaizdu, kad n-ųjų laipsnių lentelės labai patogios išgaunant šaknis. Tačiau jų dažnai nėra po ranka, o jų sudarymas reikalauja tam tikro laiko. Be to, dažnai reikia ištraukti šaknis iš skaičių, kurių nėra atitinkamose lentelėse. Tokiais atvejais tenka griebtis kitų šaknų išgavimo būdų.

Šakninio skaičiaus išskaidymas į pirminius veiksnius

Užteks patogus būdas, leidžiantis ištraukti šaknį iš natūraliojo skaičiaus (jei, žinoma, šaknis išskirta), yra šaknies skaičiaus išskaidymas į pirminius veiksnius. Jo esmė tokia: po to gana paprasta jį pavaizduoti kaip laipsnį su norimu rodikliu, kuris leidžia gauti šaknies reikšmę. Paaiškinkime šį dalyką.

Tegu iš natūraliojo skaičiaus a išskiriama n-ojo laipsnio šaknis, o jo reikšmė lygi b. Šiuo atveju lygybė a=b n yra teisinga. Skaičius b kaip bet kuris natūralusis skaičius gali būti pavaizduotas kaip visų jo pirminių faktorių p 1 , p 2 , …, pm sandauga forma p 1 p 2 pm , o šaknies skaičius a šiuo atveju pavaizduotas kaip (p 1 p 2 pm) n. Kadangi skaičiaus išskaidymas į pirminius veiksnius yra unikalus, šakninio skaičiaus a išskaidymas į pirminius veiksnius atrodys taip (p 1 ·p 2 ·…·pm) n , o tai leidžia apskaičiuoti šaknies reikšmę kaip .

Atkreipkite dėmesį, kad jei šaknies skaičiaus a faktorizacija negali būti pavaizduota forma (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , tai n-ojo laipsnio šaknis iš tokio skaičiaus a nėra visiškai išskirta.

Spręskime tai spręsdami pavyzdžius.

Pavyzdys.

Paimkite kvadratinę šaknį iš 144 .

Sprendimas.

Jei pažvelgtume į ankstesnėje pastraipoje pateiktą kvadratų lentelę, aiškiai matyti, kad 144=12 2 , iš kurios aišku, kad 144 kvadratinė šaknis yra 12 .

Tačiau atsižvelgiant į tai, mus domina, kaip šaknis išgaunama išskaidžius šaknies skaičių 144 į pirminius veiksnius. Pažvelkime į šį sprendimą.

Išskaidykime 144 prie pagrindinių veiksnių:

Tai yra, 144=2 2 2 2 3 3 . Remiantis gautu skaidymu, gali būti atliekamos šios transformacijos: 144 = 2 2 2 2 3 3 = (2 2) 2 3 2 = (2 2 3) 2 = 12 2. Vadinasi, .

Naudojant šaknų laipsnio ir savybių savybes, tirpalą būtų galima suformuluoti kiek kitaip: .

Atsakymas:

Norėdami konsoliduoti medžiagą, apsvarstykite dar dviejų pavyzdžių sprendimus.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite šaknies vertę.

Sprendimas.

Šakninio skaičiaus 243 pirminis faktorius yra 243=3 5 . Šiuo būdu, .

Atsakymas:

Pavyzdys.

Ar šaknies reikšmė yra sveikas skaičius?

Sprendimas.

Norėdami atsakyti į šį klausimą, išskaidykime šakninį skaičių į pirminius veiksnius ir pažiūrėkime, ar jį galima pavaizduoti kaip sveikojo skaičiaus kubą.

Turime 285 768=2 3 3 6 7 2 . Gautas skilimas nevaizduojamas kaip sveikojo skaičiaus kubas, nes pirminio koeficiento 7 laipsnis nėra trijų kartotinis. Todėl 285 768 kubo šaknis nėra visiškai paimta.

Atsakymas:

Nr.

Šaknų ištraukimas iš trupmeninių skaičių

Atėjo laikas išsiaiškinti, kaip išgaunama šaknis trupmeninis skaičius. Tegul trupmeninės šaknies skaičius užrašomas kaip p/q . Pagal koeficiento šaknies savybę teisinga tokia lygybė. Iš šios lygybės išplaukia trupmenos šaknies taisyklė: trupmenos šaknis yra lygi skaitiklio šaknies dalijimo iš vardiklio šaknies koeficientui.

Pažvelkime į šaknies ištraukimo iš trupmenos pavyzdį.

Pavyzdys.

Kas yra kvadratinė šaknis bendroji trupmena 25/169 .

Sprendimas.

Pagal kvadratų lentelę nustatome, kad pradinės trupmenos skaitiklio kvadratinė šaknis yra 5, o vardiklio kvadratinė šaknis yra 13. Tada . Tai užbaigia šaknies ištraukimą iš įprastos frakcijos 25/169.

Atsakymas:

Dešimtainės trupmenos arba mišraus skaičiaus šaknis išgaunama pakeitus šaknies skaičius paprastosiomis trupmenomis.

Pavyzdys.

Paimkite dešimtainio skaičiaus 474.552 kubinę šaknį.

Sprendimas.

Pradinį dešimtainį skaičių pavaizduokime kaip bendrąją trupmeną: 474.552=474552/1000 . Tada . Belieka išskirti kubo šaknis, kurios yra gautos trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje. Nes 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 = 78 3 ir 1 000 = 10 3 , tada Ir . Belieka tik užbaigti skaičiavimus .

Atsakymas:

.

Neigiamojo skaičiaus šaknies ištraukimas

Atskirai verta pasilikti ties šaknų ištraukimu iš neigiamų skaičių. Tyrinėdami šaknis sakėme, kad kai šaknies rodiklis yra nelyginis skaičius, tada neigiamas skaičius gali būti po šaknies ženklu. Tokiems žymenims suteikėme tokią reikšmę: neigiamam skaičiui −a ir nelyginiam šaknies 2 n−1 rodikliui turime . Ši lygybė suteikia nelyginių šaknų ištraukimo iš neigiamų skaičių taisyklė: norėdami išgauti neigiamo skaičiaus šaknį, turite išgauti priešingo teigiamo skaičiaus šaknį ir prieš rezultatą įdėti minuso ženklą.

Panagrinėkime sprendimo pavyzdį.

Pavyzdys.

Raskite šakninę vertę.

Sprendimas.

Transformuokime pradinę išraišką taip, kad po šaknies ženklu atsirastų teigiamas skaičius: . Dabar mišrų skaičių pakeičiame įprasta trupmena: . Taikome šaknies ištraukimo iš paprastosios trupmenos taisyklę: . Belieka apskaičiuoti gautos trupmenos skaitiklio ir vardiklio šaknis: .

Čia yra sprendimo santrauka: .

Atsakymas:

.

Bitiškai šakninės vertės radimas

Paprastai po šaknimi yra skaičius, kuris, naudojant aukščiau aptartus metodus, negali būti vaizduojamas kaip bet kurio skaičiaus n-asis laipsnis. Tačiau tuo pat metu reikia žinoti tam tikros šaknies vertę, bent jau iki tam tikro ženklo. Tokiu atveju, norėdami išgauti šaknį, galite naudoti algoritmą, leidžiantį nuosekliai gauti pakankamą norimo skaičiaus skaitmenų reikšmių skaičių.

Pirmajame žingsnyje šis algoritmas reikia išsiaiškinti, kas yra svarbiausia šaknies vertės dalis. Norėdami tai padaryti, skaičiai 0, 10, 100, ... paeiliui didinami iki laipsnio n, kol gaunamas skaičius, viršijantis šakninį skaičių. Tada skaičius, kurį ankstesniame žingsnyje padidinome iki laipsnio n, parodys atitinkamą aukštą eilę.

Pavyzdžiui, apsvarstykite šį algoritmo veiksmą, kai ištraukite kvadratinę šaknį iš penkių. Paimame skaičius 0, 10, 100, ... ir statome juos kvadratu, kol gauname didesnį už 5 skaičių. Turime 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5 , o tai reiškia, kad reikšmingiausias skaitmuo bus vieneto skaitmuo. Šio bito, kaip ir mažesnių, reikšmė bus rasta kituose šaknies ištraukimo algoritmo žingsniuose.

Visais sekančiais algoritmo žingsniais siekiama paeiliui patikslinti šaknies reikšmę dėl to, kad randamos norimos šaknies reikšmės kitų skaitmenų reikšmės, pradedant nuo didžiausios ir pereinant prie mažiausios. . Pavyzdžiui, šaknies reikšmė pirmame žingsnyje yra 2 , antrajame - 2,2 , trečiame - 2,23 ir tt 2,236067977 ... . Apibūdinkime, kaip randamos bitų reikšmės.

Skaičių paieška atliekama juos surašant galimas vertes 0, 1, 2, ..., 9 . Šiuo atveju lygiagrečiai skaičiuojami atitinkamų skaičių n-ieji laipsniai ir lyginami su šaknies skaičiumi. Jei tam tikru etapu laipsnio reikšmė viršija radikalųjį skaičių, tada skaitmens, atitinkančio ankstesnę reikšmę, reikšmė laikoma rasta ir pereinama prie kito šaknies išskyrimo algoritmo žingsnio, jei tai neįvyksta, tada šio skaitmens reikšmė yra 9 .

Paaiškinkime visus šiuos taškus naudodami tą patį penkių kvadratinės šaknies ištraukimo pavyzdį.

Pirmiausia suraskite vieneto skaitmens reikšmę. Kartosime reikšmes 0, 1, 2, …, 9, atitinkamai apskaičiuodami 0 2, 1 2, …, 9 2, kol gausime reikšmę, didesnę už radikalų skaičių 5. Visi šie skaičiavimai yra patogiai pateikti lentelės pavidalu:

Taigi vienetų skaitmens reikšmė yra 2 (nes 2 2<5 , а 2 3 >penki). Pereikime prie dešimtos vietos vertės nustatymo. Tokiu atveju skaičius 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 padalinsime kvadratu, gautas reikšmes lygindami su šaknies skaičiumi 5:

Nuo 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 , tada dešimtos vietos reikšmė yra 2 . Galite pradėti ieškoti šimtosios vietos vertės:

Taip rasta kitą vertęšaknis iš penkių, ji yra lygi 2,23. Ir taip galite toliau ieškoti vertybių: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Norėdami konsoliduoti medžiagą, mes analizuosime šaknies ištraukimą šimtųjų dalių tikslumu, naudodami nagrinėjamą algoritmą.

Pirmiausia apibrėžiame vyresnįjį skaitmenį. Norėdami tai padaryti, supjaustome skaičius 0, 10, 100 ir kt. kol gausime skaičių didesnį už 2151.186 . Turime 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , todėl reikšmingiausias skaitmuo yra dešimties skaitmuo.

Apibrėžkime jo vertę.

Nuo 103<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186 , tada dešimties skaitmens reikšmė yra 1 . Pereikime prie vienetų.

Taigi vienos vietos vertė yra 2 . Pereikime prie dešimties.

Kadangi net 12,9 3 yra mažesnis už radikalųjį skaičių 2 151,186 , dešimtosios vietos reikšmė yra 9 . Belieka atlikti paskutinį algoritmo žingsnį, jis mums duos šaknies reikšmę reikiamu tikslumu.

Šiame etape šaknies vertė randama iki šimtųjų dalių: .

Baigdamas šį straipsnį norėčiau pasakyti, kad yra daug kitų būdų išgauti šaknis. Tačiau daugeliui užduočių pakanka tų, kurias išnagrinėjome aukščiau.

Bibliografija.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: vadovėlis 8 langeliams. švietimo įstaigos.
• Kolmogorovas A.N., Abramovas A.M., Dudnitsyn Yu.P. ir kt.. Algebra ir analizės užuomazgos: vadovėlis bendrojo lavinimo įstaigų 10-11 klasei.
• Gusevas V.A., Mordkovičius A.G. Matematika (vadovas stojantiesiems į technikos mokyklas).