Taip pat nagrinėjamos kvadratinės lygties problemos mokyklos mokymo programa ir universitetuose. Jie suprantami kaip a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 formos lygtys, kur x- kintamasis, a,b,c – konstantos; a<>0 . Problema yra rasti lygties šaknis.

Kvadratinės lygties geometrinė reikšmė

Funkcijos, pavaizduotos kvadratine lygtimi, grafikas yra parabolė. Kvadratinės lygties sprendiniai (šaknys) yra parabolės susikirtimo su x ašimi taškai. Iš to išplaukia, kad galimi trys atvejai:
1) parabolė neturi susikirtimo su x ašimi taškų. Tai reiškia, kad jis yra viršutinėje plokštumoje šakomis į viršų arba apatinėje šakomis žemyn. Tokiais atvejais kvadratinė lygtis neturi realių šaknų (turi dvi sudėtingas šaknis).

2) parabolė turi vieną susikirtimo tašką su ašimi Ox. Toks taškas vadinamas parabolės viršūne, o kvadratinė lygtis jame įgyja mažiausią arba didžiausią reikšmę. Šiuo atveju kvadratinė lygtis turi vieną tikrąją šaknį (arba dvi identiškas šaknis).

3) Paskutinis atvejis praktikoje įdomesnis – yra du parabolės susikirtimo su abscisių ašimi taškai. Tai reiškia, kad yra dvi tikrosios lygties šaknys.

Remiantis kintamųjų laipsnių koeficientų analize, galima padaryti įdomių išvadų apie parabolės išdėstymą.

1) Jei koeficientas a didesnis už nulį, tai parabolė nukreipta aukštyn, jei neigiama, parabolės šakos nukreiptos žemyn.

2) Jei koeficientas b didesnis už nulį, tai parabolės viršūnė yra kairėje pusplokštumoje, jei įgauna neigiamą reikšmę, tada dešinėje.

Kvadratinės lygties sprendimo formulės išvedimas

Perkelkime konstantą iš kvadratinės lygties

lygybės ženklui gauname išraišką

Abi puses padauginkite iš 4a

Norėdami gauti visą kvadratą kairėje, pridėkite b ^ 2 abiejose dalyse ir atlikite transformaciją

Iš čia randame

Kvadratinės lygties diskriminanto formulė ir šaknys

Diskriminantas yra radikalios išraiškos reikšmė.Jei ji teigiama, tai lygtis turi dvi realias šaknis, apskaičiuojamas pagal formulę Kai diskriminantas lygus nuliui, kvadratinė lygtis turi vieną sprendinį (dvi sutampančios šaknys), kuriuos lengva gauti iš aukščiau pateiktos formulės, kai D = 0. Kai diskriminantas yra neigiamas, tikrų šaknų nėra. Tačiau norint ištirti kvadratinės lygties sprendinius kompleksinėje plokštumoje, o jų reikšmė apskaičiuojama pagal formulę

Vietos teorema

Apsvarstykite dvi kvadratinės lygties šaknis ir jų pagrindu sukurkite kvadratinę lygtį.Iš žymėjimo nesunkiai išplaukia pati Vietos teorema: jei turime formos kvadratinę lygtį tada jos šaknų suma lygi koeficientui p, paimtam su priešingu ženklu, o lygties šaknų sandauga lygi laisvajam nariui q. Aukščiau pateiktos formulės atrodys taip. Jei klasikinėje lygtyje konstanta a yra ne lygi nuliui, tuomet reikia iš jos padalyti visą lygtį ir taikyti Vieta teoremą.

Kvadratinės lygties pagal veiksnius grafikas

Užduotis: išskaidyti kvadratinę lygtį į veiksnius. Norėdami tai atlikti, pirmiausia išsprendžiame lygtį (surandame šaknis). Toliau rastąsias šaknis pakeisime kvadratinės lygties išplėtimo formule.Ši problema bus išspręsta.

Kvadratinės lygties užduotys

1 užduotis. Raskite kvadratinės lygties šaknis

x^2-26x+120=0 .

Sprendimas: Užrašykite koeficientus ir pakeiskite diskriminanto formulę

šaknis iš duota vertė lygus 14, jį lengva rasti skaičiuotuvu arba prisiminti dažnai naudojant, tačiau patogumo dėlei straipsnio pabaigoje pateiksiu skaičių kvadratų, kuriuos dažnai galima rasti atliekant tokias užduotis, sąrašą. .
Rasta reikšmė pakeičiama šaknies formule

ir gauname

2 užduotis. išspręsti lygtį

2x2+x-3=0.

Sprendimas: turime pilną kvadratinę lygtį, išrašykite koeficientus ir raskite diskriminantą


Autorius žinomos formulės Raskite kvadratinės lygties šaknis

3 užduotis. išspręsti lygtį

9x2 -12x+4=0.

Sprendimas: turime pilną kvadratinę lygtį. Nustatykite diskriminantą

Gavome atvejį, kai šaknys sutampa. Šaknų reikšmes randame pagal formulę

4 užduotis. išspręsti lygtį

x^2+x-6=0 .

Sprendimas: Tais atvejais, kai yra maži x koeficientai, patartina taikyti Vietos teoremą. Pagal jos sąlygą gauname dvi lygtis

Iš antrosios sąlygos gauname, kad sandauga turi būti lygi -6. Tai reiškia, kad viena iš šaknų yra neigiama. Turime tokią galimą sprendinių porą (-3;2), (3;-2) . Atsižvelgdami į pirmąją sąlygą, atmetame antrąją sprendimų porą.
Lygties šaknys yra

5 užduotis. Raskite stačiakampio kraštinių ilgius, jei jo perimetras yra 18 cm, o plotas 77 cm 2.

Sprendimas: Pusė stačiakampio perimetro yra lygi gretimų kraštinių sumai. Pažymėkime x - didžioji pusė, tada 18-x yra mažesnė jo pusė. Stačiakampio plotas lygus šių ilgių sandaugai:
x(18x)=77;
arba
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Raskite lygties diskriminantą

Apskaičiuojame lygties šaknis

Jeigu x=11, tada 18x=7, ir atvirkščiai (jei x=7, tai 21-x=9).

6 uždavinys. Padalinkite kvadratinę 10x 2 -11x+3=0 lygtį.

Sprendimas: Apskaičiuokite lygties šaknis, tam randame diskriminantą

Rastą reikšmę pakeičiame į šaknų formulę ir apskaičiuojame

Taikome kvadratinės lygties išplėtimo pagal šaknis formulę

Išplėsdami skliaustus, gauname tapatybę.

Kvadratinė lygtis su parametru

1 pavyzdys. Kokioms parametro reikšmėms bet, ar lygtis (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 turi vieną šaknį?

Sprendimas: Tiesiogiai pakeitę reikšmę a=3, matome, kad ji neturi sprendimo. Be to, naudosime faktą, kad esant nuliniam diskriminantui, lygtis turi vieną daugybos 2 šaknį. Išrašykime diskriminantą

supaprastinkite ir prilyginkite nuliui

Gavome kvadratinę lygtį parametro a atžvilgiu, kurios sprendimą lengva gauti naudojant Vieta teoremą. Šaknų suma yra 7, o jų sandauga yra 12. Paprastu surašymu nustatome, kad skaičiai 3.4 bus lygties šaknys. Kadangi skaičiavimų pradžioje jau atmetėme sprendimą a=3, vienintelis teisingas bus - a=4. Taigi, jei a = 4, lygtis turi vieną šaknį.

2 pavyzdys. Kokioms parametro reikšmėms bet, lygtis a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 turi daugiau nei vieną šaknį?

Sprendimas: Pirmiausia apsvarstykite vienaskaitos taškus, jie bus reikšmės a=0 ir a=-3. Kai a=0, lygtis bus supaprastinta iki formos 6x-9=0; x=3/2 ir bus viena šaknis. Jei a= -3 gauname tapatybę 0=0 .
Apskaičiuokite diskriminantą

ir suraskite a reikšmes, kurioms ji yra teigiama

Iš pirmosios sąlygos gauname a>3. Antruoju atveju randame diskriminantą ir lygties šaknis


Apibrėžkime intervalus, kuriuose funkcija įgauna teigiamas reikšmes. Pakeitę tašką a=0 gauname 3>0 . Taigi, už intervalo (-3; 1/3) funkcija yra neigiama. Nepamirškite taško a=0 kurios turėtų būti neįtrauktos, nes pradinėje lygtyje yra viena šaknis.
Dėl to gauname du intervalus, atitinkančius problemos sąlygą

Praktikoje bus daug panašių užduočių, stenkitės su užduotimis susidoroti patys ir nepamirškite atsižvelgti į vienas kitą paneigiančias sąlygas. Gerai išstudijuokite kvadratinių lygčių sprendimo formules, jų gana dažnai prireikia skaičiuojant įvairiuose uždaviniuose ir moksluose.

IN šiuolaikinė visuomenė galimybė atlikti operacijas su lygtimis, turinčiomis kvadratinį kintamąjį, gali būti naudinga daugelyje veiklos sričių ir yra plačiai naudojama praktikoje mokslo ir techninius pokyčius. Tai liudija jūrų ir upių laivų, orlaivių ir raketų konstrukcija. Tokių skaičiavimų pagalba nustatomos įvairių kūnų, tarp jų ir kosminių objektų, judėjimo trajektorijos. Kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžiai naudojami ne tik ekonominiam prognozavimui, pastatų projektavimui ir statybai, bet ir įprastomis kasdienėmis aplinkybėmis. Jų gali prireikti žygiai pėsčiomis, sporto metu, parduotuvėse perkant ir kitose labai įprastose situacijose.

Išskaidykime išraišką į komponentinius veiksnius

Lygties laipsnis nustatomas pagal didžiausią kintamojo laipsnio reikšmę, kurią sudaro pateikta išraiška. Jei ji lygi 2, tai tokia lygtis vadinama kvadratine lygtimi.

Jei kalbėtume formulių kalba, tai šie posakiai, kad ir kaip jie atrodytų, visada gali būti perkeliami į formą, kai kairėje išraiškos pusėje yra trys terminai. Tarp jų: ​​ax 2 (ty kintamasis kvadratas su jo koeficientu), bx (nežinomasis be kvadrato su jo koeficientu) ir c (laisvasis komponentas, tai yra įprastas skaičius). Visa tai dešinėje yra lygi 0. Tuo atveju, kai toks daugianario nėra vieno iš jo sudedamųjų dalių, išskyrus ax 2, jis vadinamas nepilna kvadratine lygtimi. Pirmiausia reikėtų apsvarstyti tokių problemų sprendimo pavyzdžius, kuriuose kintamųjų reikšmę nesunku rasti.

Jei išraiška atrodo taip, kad dešinėje išraiškos pusėje yra du terminai, tiksliau ax 2 ir bx, lengviausia x rasti kintamąjį skliausteliuose. Dabar mūsų lygtis atrodys taip: x(ax+b). Be to, tampa akivaizdu, kad arba x=0, arba problema redukuojama iki kintamojo suradimo iš šios išraiškos: ax+b=0. Tai lemia viena iš daugybos savybių. Taisyklė sako, kad dviejų veiksnių sandauga yra 0 tik tada, kai vienas iš jų nulis.

Pavyzdys

x = 0 arba 8x - 3 = 0

Dėl to gauname dvi lygties šaknis: 0 ir 0,375.

Tokios lygtys gali apibūdinti kūnų judėjimą veikiant gravitacijai, kurie pradėjo judėti iš tam tikro taško, laikomo pradžia. čia matematinis žymėjimasįgauna tokią formą: y = v 0 t + gt 2 /2. Pakeitę reikiamas reikšmes, prilygindami dešinę pusę su 0 ir suradę galimus nežinomus dalykus, galite sužinoti laiką, prabėgusį nuo kūno pakilimo iki kritimo, taip pat daugybę kitų dydžių. Bet apie tai pakalbėsime vėliau.

Išraiškos faktorius

Aukščiau aprašyta taisyklė leidžia išspręsti šias problemas ir dar daugiau sunkių atvejų. Apsvarstykite tokio tipo kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžius.

X2 – 33x + 200 = 0

Tai kvadratinis trinaris yra baigtas. Pirmiausia transformuojame išraišką ir išskaidome ją į veiksnius. Jų yra dvi: (x-8) ir (x-25) = 0. Dėl to turime dvi šaknis 8 ir 25.

Pavyzdžiai su kvadratinių lygčių sprendimu 9 klasėje leidžia šiuo metodu rasti kintamąjį ne tik antros, bet net ir trečios bei ketvirtos eilės išraiškose.

Pavyzdžiui: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Skaičiuojant dešinę pusę į veiksnius su kintamuoju, yra trys iš jų, tai yra (x + 1), (x-3) ir (x + 3).

Dėl to tampa akivaizdu, kad duota lygtis turi tris šaknis: -3; - vienas; 3.

Kvadratinės šaknies ištraukimas

Kitas nepilnos antrosios eilės lygties atvejis yra išraiška, parašyta raidžių kalba taip, kad dešinė pusė yra pastatyta iš komponentų ax 2 ir c. Čia, norint gauti kintamojo reikšmę, laisvasis terminas perkeliamas į dešinioji pusė, o po to iš abiejų lygybės dalių, Kvadratinė šaknis. Reikia pažymėti, kad šiuo atveju dažniausiai yra dvi lygties šaknys. Vienintelės išimtys yra lygybės, kuriose visiškai nėra termino c, kur kintamasis lygus nuliui, taip pat reiškinių variantai, kai dešinioji pusė pasirodo esanti neigiama. Pastaruoju atveju iš viso nėra sprendimų, nes pirmiau minėtų veiksmų negalima atlikti su šaknimis. Reikėtų apsvarstyti tokio tipo kvadratinių lygčių sprendimų pavyzdžius.

Šiuo atveju lygties šaknys bus skaičiai -4 ir 4.

Žemės ploto apskaičiavimas

Tokių skaičiavimų poreikis atsirado senovėje, nes matematikos raida daugiausia yra būtent tuose tolimi laikai lėmė būtinybė kuo tiksliau nustatyti žemės sklypų plotus ir perimetrus.

Taip pat turėtume apsvarstyti kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžius, sudarytus remiantis tokio pobūdžio problemomis.

Taigi, tarkime, yra stačiakampio plotožemė, kurios ilgis 16 metrų didesnis už plotį. Turėtumėte sužinoti sklypo ilgį, plotį ir perimetrą, jei žinoma, kad jos plotas yra 612 m 2.

Pradėdami verslą, iš pradžių sudarysime reikiamą lygtį. Atkarpos plotį pažymėkime x, tada jos ilgis bus (x + 16). Iš to, kas parašyta, išplaukia, kad plotas nustatomas pagal išraišką x (x + 16), kuri pagal mūsų uždavinio sąlygą yra 612. Tai reiškia, kad x (x + 16) \u003d 612.

Išsamių kvadratinių lygčių sprendimas, o ši išraiška yra būtent tokia, negali būti atliktas tokiu pačiu būdu. Kodėl? Nors kairėje jo pusėje vis dar yra du faktoriai, tačiau jų sandauga visai nėra 0, todėl čia naudojami kiti metodai.

Diskriminuojantis

Pirmiausia atliekame reikiamas transformacijas, tada išvaizdaši išraiška atrodys taip: x 2 + 16x - 612 = 0. Tai reiškia, kad gavome išraišką, atitinkančią anksčiau nurodytą standartą, kur a=1, b=16, c=-612.

Tai gali būti kvadratinių lygčių sprendimo naudojant diskriminantą pavyzdys. čia būtini skaičiavimai gaminamas pagal schemą: D = b 2 - 4ac. Ši pagalbinė vertė ne tik leidžia rasti norimas reikšmes antros eilės lygtyje, bet ir nustato skaičių galimybės. D>0 atveju jų yra du; D=0 yra viena šaknis. Tuo atveju, kai D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Apie šaknis ir jų formulę

Mūsų atveju diskriminantas yra: 256 - 4(-612) = 2704. Tai rodo, kad mūsų problema turi atsakymą. Jei žinote, kvadratinių lygčių sprendimas turi būti tęsiamas naudojant toliau pateiktą formulę. Tai leidžia apskaičiuoti šaknis.

Tai reiškia, kad pateiktu atveju: x 1 =18, x 2 =-34. Antrasis variantas šioje dilemoje negali būti sprendimas, nes žemės sklypo dydis negali būti matuojamas neigiamomis reikšmėmis, o tai reiškia, kad x (tai yra sklypo plotis) yra 18 m. Iš čia skaičiuojame ilgį: 18+16=34, o perimetras 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Pavyzdžiai ir užduotys

Tęsiame kvadratinių lygčių tyrimą. Toliau bus pateikti pavyzdžiai ir išsamus kelių iš jų sprendimas.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Viską perkelkime į kairę lygybės pusę, atliksime transformaciją, tai yra gausime lygties formą, kuri paprastai vadinama standartine, ir prilyginkime nuliui.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Pridėję panašius, nustatome diskriminantą: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Taigi mūsų lygtis turės dvi šaknis. Apskaičiuojame juos pagal aukščiau pateiktą formulę, o tai reiškia, kad pirmasis iš jų bus lygus 4/3, o antrasis - 1.

2) Dabar mes atskleisime kitokio pobūdžio mįsles.

Išsiaiškinkime, ar čia iš viso yra šaknų x 2 - 4x + 5 = 1? Norėdami gauti išsamų atsakymą, daugianarį perkeliame į atitinkamą pažįstamą formą ir apskaičiuojame diskriminantą. Šiame pavyzdyje nebūtina spręsti kvadratinės lygties, nes problemos esmė visai ne tame. Šiuo atveju D \u003d 16 - 20 \u003d -4, o tai reiškia, kad šaknų tikrai nėra.

Vietos teorema

Kvadratines lygtis patogu spręsti naudojant aukščiau pateiktas formules ir diskriminantą, kai iš pastarojo reikšmės išimama kvadratinė šaknis. Tačiau taip nutinka ne visada. Tačiau šiuo atveju yra daug būdų, kaip gauti kintamųjų reikšmes. Pavyzdys: kvadratinių lygčių sprendimas naudojant Vietos teoremą. Jis pavadintas žmogaus, gyvenusio XVI a. Prancūzijoje ir dėl savo matematinio talento ir ryšių dvaro dėka, padariusio puikią karjerą. Jo portretą galima pamatyti straipsnyje.

Modelis, kurį pastebėjo garsus prancūzas, buvo toks. Jis įrodė, kad lygties šaknų suma lygi -p=b/a, o jų sandauga atitinka q=c/a.

Dabar pažvelkime į konkrečias užduotis.

3x2 + 21x - 54 = 0

Kad būtų paprasčiau, pakeiskime išraišką:

x 2 + 7x - 18 = 0

Naudojant Vieta teoremą, tai duos mums taip: šaknų suma yra -7, o jų sandauga yra -18. Iš čia gauname, kad lygties šaknys yra skaičiai -9 ir 2. Patikrinę įsitikinsime, kad šios kintamųjų reikšmės tikrai telpa į išraišką.

Parabolės grafikas ir lygtis

Kvadratinės funkcijos sąvokos ir kvadratines lygtis glaudžiai susiję. To pavyzdžiai jau buvo pateikti anksčiau. Dabar pažvelkime į kai kuriuos matematinius galvosūkius šiek tiek išsamiau. Bet kuri aprašyto tipo lygtis gali būti pavaizduota vizualiai. Tokia priklausomybė, nubrėžta grafiko pavidalu, vadinama parabole. Įvairūs jo tipai parodyti paveikslėlyje žemiau.

Bet kuri parabolė turi viršūnę, tai yra tašką, iš kurio išeina jos šakos. Jei a>0, jie kyla aukštai iki begalybės, o kai a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizualus funkcijų atvaizdavimas padeda išspręsti bet kokias lygtis, įskaitant kvadratines. Šis metodas vadinamas grafiniu. O kintamojo x reikšmė yra abscisių koordinatė taškuose, kur grafiko linija susikerta su 0x. Viršūnės koordinates galima rasti pagal ką tik pateiktą formulę x 0 = -b / 2a. Ir pakeisdami gautą reikšmę į pradinę funkcijos lygtį, galite sužinoti y 0, tai yra, antrąją parabolės viršūnės koordinatę, priklausančią y ašiai.

Parabolės šakų susikirtimas su abscisių ašimi

Yra daug kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžių, tačiau yra ir bendrų modelių. Apsvarstykime juos. Akivaizdu, kad grafiko susikirtimas su 0x ašimi, kai a>0 yra įmanomas tik tuo atveju, jei y 0 įgyja neigiamas reikšmes. Ir už a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Priešingu atveju D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Iš parabolės grafiko taip pat galite nustatyti šaknis. Ir atvirkščiai. Tai yra, jei nėra lengva gauti vaizdinį kvadratinės funkcijos vaizdą, dešinę išraiškos pusę galite prilyginti 0 ir išspręsti gautą lygtį. O žinant susikirtimo taškus su 0x ašimi, braižyti lengviau.

Iš istorijos

Naudojant lygtis, turinčias kvadratinį kintamąjį, senais laikais buvo ne tik matematiniai skaičiavimai, bet ir geometrinių formų plotas. Tokių skaičiavimų senovės žmonėms prireikė grandioziniams fizikos ir astronomijos atradimams, taip pat astrologinėms prognozėms daryti.

Kaip teigia šiuolaikiniai mokslininkai, Babilono gyventojai vieni pirmųjų išsprendė kvadratines lygtis. Tai įvyko keturis šimtmečius iki mūsų eros atsiradimo. Žinoma, jų skaičiavimai iš esmės skyrėsi nuo šiuo metu priimtų ir pasirodė esą daug primityvesni. Pavyzdžiui, Mesopotamijos matematikai neturėjo supratimo apie neigiamų skaičių egzistavimą. Jiems nebuvo pažįstamos ir kitos subtilybės, kurias žinojo bet kuris mūsų laikų studentas.

Galbūt net anksčiau nei Babilono mokslininkai išminčius iš Indijos Baudhayama ėmėsi kvadratinių lygčių sprendimo. Tai atsitiko maždaug aštuonis šimtmečius prieš Kristaus eros atėjimą. Tiesa, antros eilės lygtys, jo pateikti sprendimo būdai buvo patys paprasčiausi. Be jo, senais laikais panašiais klausimais domėjosi ir kinų matematikai. Europoje kvadratinės lygtys pradėtos spręsti tik XIII amžiaus pradžioje, tačiau vėliau jas savo darbuose panaudojo tokie puikūs mokslininkai kaip Niutonas, Dekartas ir daugelis kitų.

Kvadratinės lygtys tiriamos 8 klasėje, todėl čia nėra nieko sudėtingo. Gebėjimas juos išspręsti yra būtinas.

Kvadratinė lygtis yra ax 2 + bx + c = 0 formos lygtis, kur koeficientai a , b ir c yra savavališki skaičiai, o a ≠ 0.

Prieš tyrinėdami konkrečius sprendimo būdus, pažymime, kad visas kvadratines lygtis galima suskirstyti į tris klases:

1. Neturi šaknų;
2. Jie turi tiksliai vieną šaknį;
3. Jie turi dvi skirtingas šaknis.

Tai yra svarbus skirtumas tarp kvadratinių ir tiesinių lygčių, kur šaknis visada egzistuoja ir yra unikali. Kaip nustatyti, kiek šaknų turi lygtis? Tam yra nuostabus dalykas - diskriminuojantis.

Diskriminuojantis

Tegu duota kvadratinė lygtis ax 2 + bx + c = 0. Tada diskriminantas yra tiesiog skaičius D = b 2 − 4ac .

Šią formulę reikia žinoti mintinai. Iš kur jis ateina, dabar nesvarbu. Kitas dalykas yra svarbus: pagal diskriminanto ženklą galite nustatyti, kiek šaknų turi kvadratinė lygtis. Būtent:

1. Jeigu D< 0, корней нет;
2. Jei D = 0, yra lygiai viena šaknis;
3. Jei D > 0, bus dvi šaknys.

Atkreipkite dėmesį: diskriminantas nurodo šaknų skaičių, o ne jų ženklus, kaip dėl kokių nors priežasčių daugelis galvoja. Pažvelkite į pavyzdžius ir patys viską suprasite:

Užduotis. Kiek šaknų turi kvadratinės lygtys:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Rašome pirmosios lygties koeficientus ir randame diskriminantą:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Taigi, diskriminantas yra teigiamas, todėl lygtis turi dvi skirtingas šaknis. Antrąją lygtį analizuojame taip pat:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminantas yra neigiamas, nėra šaknų. Paskutinė lygtis išlieka:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminantas lygus nuliui – šaknis bus viena.

Atkreipkite dėmesį, kad kiekvienai lygčiai buvo parašyti koeficientai. Taip, jis ilgas, taip, nuobodus – bet nesumaišysite šansų ir nepadarysite kvailų klaidų. Pasirinkite patys: greitis ar kokybė.

Beje, jei „užpildysi ranką“, po kurio laiko nebereikės išrašyti visų koeficientų. Tokias operacijas atliksite savo galva. Dauguma žmonių tai pradeda daryti kažkur po 50–70 išspręstų lygčių – apskritai ne tiek daug.

Kvadratinės lygties šaknys

Dabar pereikime prie sprendimo. Jei diskriminantas D > 0, šaknis galima rasti naudojant formules:

Pagrindinė kvadratinės lygties šaknų formulė

Kai D = 0, galite naudoti bet kurią iš šių formulių – gausite tą patį skaičių, kuris bus atsakymas. Galiausiai, jei D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Pirmoji lygtis:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = –2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ lygtis turi dvi šaknis. Suraskime juos:

Antroji lygtis:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = –2; c = 15;
D = (-2) 2 - 4 (-1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ lygtis vėl turi dvi šaknis. Suraskime juos

\[\begin(lygiuoti) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(lygiuoti)\]

Galiausiai trečioji lygtis:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ lygtis turi vieną šaknį. Galima naudoti bet kokią formulę. Pavyzdžiui, pirmasis:

Kaip matote iš pavyzdžių, viskas labai paprasta. Jei žinai formules ir moki skaičiuoti, problemų nekils. Dažniausiai klaidos atsiranda, kai į formulę pakeičiami neigiami koeficientai. Čia vėlgi padės aukščiau aprašyta technika: pažvelkite į formulę pažodžiui, nupieškite kiekvieną žingsnį - ir labai greitai atsikratykite klaidų.

Nebaigtos kvadratinės lygtys

Taip atsitinka, kad kvadratinė lygtis šiek tiek skiriasi nuo pateiktos apibrėžime. Pavyzdžiui:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 – 16 = 0.

Nesunku pastebėti, kad šiose lygtyse trūksta vieno iš terminų. Tokias kvadratines lygtis dar lengviau išspręsti nei standartines: joms net nereikia skaičiuoti diskriminanto. Taigi pristatykime naują koncepciją:

Lygtis ax 2 + bx + c = 0 vadinama nepilna kvadratine lygtimi, jei b = 0 arba c = 0, t.y. kintamojo x arba laisvojo elemento koeficientas lygus nuliui.

Žinoma, įmanomas labai sunkus atvejis, kai abu šie koeficientai yra lygūs nuliui: b \u003d c \u003d 0. Šiuo atveju lygtis yra ax 2 \u003d 0. Akivaizdu, kad tokia lygtis turi vieną šaknis: x \u003d 0.

Panagrinėkime kitus atvejus. Tegu b \u003d 0, tada gauname nepilną kvadratinę lygtį, kurios forma yra ax 2 + c \u003d 0. Šiek tiek transformuokime ją:

Kadangi aritmetinė kvadratinė šaknis egzistuoja tik iš neneigiamo skaičiaus, paskutinė lygybė turi prasmę tik tada, kai (−c / a ) ≥ 0. Išvada:

1. Jei nepilna kvadratinė lygtis formos ax 2 + c = 0 tenkina nelygybę (−c / a ) ≥ 0, bus dvi šaknys. Formulė pateikta aukščiau;
2. Jei (-c / a )< 0, корней нет.

Kaip matote, diskriminanto neprireikė - neišsamiose kvadratinėse lygtyse nėra sudėtingų skaičiavimų. Tiesą sakant, net nebūtina prisiminti nelygybės (−c / a ) ≥ 0. Pakanka išreikšti x 2 reikšmę ir pamatyti, kas yra kitoje lygybės ženklo pusėje. Jei yra teigiamas skaičius, bus dvi šaknys. Jei neigiamas, šaknų iš viso nebus.

Dabar panagrinėkime ax 2 + bx = 0 formos lygtis, kuriose laisvasis elementas lygus nuliui. Čia viskas paprasta: visada bus dvi šaknys. Pakanka daugianarį koeficientuoti:

Bendrojo faktoriaus išėmimas iš skliaustų

Produktas yra lygus nuliui, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Štai iš kur kyla šaknys. Apibendrinant, mes išanalizuosime kelias iš šių lygčių:

Užduotis. Išspręskite kvadratines lygtis:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Nėra šaknų, nes kvadratas negali būti lygus neigiamam skaičiui.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Kvadratinės lygtys. Diskriminuojantis. Sprendimas, pavyzdžiai.

Dėmesio!
Yra papildomų
medžiaga specialiajame 555 skyriuje.
Tiems, kurie stipriai "nelabai..."
Ir tiems, kurie „labai...“)

Kvadratinių lygčių tipai

Kas yra kvadratinė lygtis? Kaip tai atrodo? Per terminą kvadratinė lygtis raktinis žodis yra "kvadratas". Tai reiškia, kad lygtyje būtinai turi būti x kvadratas. Be jo, lygtyje gali būti (arba gali nebūti!) Tik x (iki pirmojo laipsnio) ir tik skaičius (laisvas narys). Ir neturėtų būti x laipsniu, didesniu nei du.

Matematine prasme kvadratinė lygtis yra tokios formos lygtis:

čia a, b ir c- kai kurie skaičiai. b ir c- Visiškai bet koks, bet bet- nieko, išskyrus nulį. Pavyzdžiui:

čia bet =1; b = 3; c = -4

čia bet =2; b = -0,5; c = 2,2

čia bet =-3; b = 6; c = -18

Na, supranti...

Šiose kvadratinėse lygtyse kairėje yra pilna komplektacija nariai. x kvadratu su koeficientu bet, x iki pirmojo laipsnio su koeficientu b Ir laisvas narys

Tokios kvadratinės lygtys vadinamos užbaigti.

Ir jeigu b= 0, ką mes gausime? Mes turime X išnyks pirmame laipsnyje. Taip atsitinka padauginus iš nulio.) Pasirodo, pavyzdžiui:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x = 0,

-x 2 +4x=0

ir kt. Ir jei abu koeficientai b Ir c yra lygūs nuliui, tada dar paprasčiau:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Tokios lygtys, kur kažko trūksta, vadinamos nepilnos kvadratinės lygtys. Tai gana logiška.) Atkreipkite dėmesį, kad x kvadratas yra visose lygtyse.

Beje, kodėl bet negali būti nulis? Ir jūs vietoj to pakeičiate bet nulis.) X kvadrate išnyks! Lygtis taps tiesinė. Ir daroma kitaip...

Tai visi pagrindiniai kvadratinių lygčių tipai. Pilnas ir neišsamus.

Kvadratinių lygčių sprendimas.

Piltinių kvadratinių lygčių sprendimas.

Kvadratines lygtis nesunku išspręsti. Pagal formules ir aišku paprastos taisyklės. Pirmajame etape jums reikia duota lygtis Vesti į standartinis vaizdas, t.y. į vaizdą:

Jei lygtis jums jau pateikta šioje formoje, jums nereikia atlikti pirmojo etapo.) Svarbiausia yra teisingai nustatyti visus koeficientus, bet, b Ir c.

Kvadratinės lygties šaknų radimo formulė atrodo taip:

Išraiška po šaknies ženklu vadinama diskriminuojantis. Bet daugiau apie jį žemiau. Kaip matote, norėdami rasti x, naudojame tik a, b ir c. Tie. koeficientai iš kvadratinės lygties. Tiesiog atsargiai pakeiskite vertybes a, b ir cį šią formulę ir suskaičiuokite. Pakaitalas su savo ženklais! Pavyzdžiui, lygtyje:

bet =1; b = 3; c= -4. Čia rašome:

Pavyzdys beveik išspręstas:

Tai yra atsakymas.

Viskas labai paprasta. O kaip tu manai, negali suklysti? Na taip, kaip...

Dažniausios klaidos – supainiojimas su vertybių ženklais a, b ir c. Tiksliau, ne su jų ženklais (kur čia susipainioti?), Bet su pakeitimu neigiamos reikšmėsį šaknų skaičiavimo formulę. Čia išsaugomas išsamus formulės įrašas su konkrečiais skaičiais. Jei kyla problemų su skaičiavimais, tai padaryk tai!

Tarkime, kad turime išspręsti šį pavyzdį:

čia a = -6; b = -5; c = -1

Tarkime, žinote, kad pirmą kartą retai sulaukiate atsakymų.

Na, netingėk. Papildomai eilutei parašyti prireiks 30 sekundžių.Ir klaidų skaičius smarkiai sumažės. Taigi mes rašome išsamiai, su visais skliaustais ir ženklais:

Atrodo neįtikėtinai sunku taip kruopščiai dažyti. Bet tik atrodo. Pabandyk tai. Na, arba pasirinkti. Kas geriau, greitas ar teisingas? Be to, aš tave pradžiuginsiu. Po kurio laiko nebereikės visko taip kruopščiai dažyti. Tai tiesiog pasirodys teisinga. Ypač jei taikote praktinius metodus, kurie aprašyti toliau. Šis piktas pavyzdys su daugybe minusų bus išspręstas lengvai ir be klaidų!

Tačiau dažnai kvadratinės lygtys atrodo šiek tiek kitaip. Pavyzdžiui, taip:

Ar žinojai?) Taip! Tai nepilnos kvadratinės lygtys.

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas.

Jas taip pat galima išspręsti pagal bendrą formulę. Jums tiesiog reikia teisingai išsiaiškinti, kas čia yra lygus a, b ir c.

Supratau? Pirmame pavyzdyje a = 1; b = -4; bet c? Jo visai nėra! Na, taip, tai tiesa. Matematikoje tai reiškia c = 0 ! Tai viskas. Vietoj to, formulėje pakeiskite nulį c, ir viskas mums susitvarkys. Panašiai ir su antruoju pavyzdžiu. Tik nulio mes čia neturime iš, bet b !

Tačiau neišsamias kvadratines lygtis galima išspręsti daug lengviau. Be jokių formulių. Apsvarstykite pirmąjį nepilna lygtis. Ką galima padaryti kairėje pusėje? Galite išimti X iš skliaustų! Išimkime.

Ir kas iš to? Ir tai, kad sandauga yra lygi nuliui, jei ir tik kuris nors iš veiksnių yra lygus nuliui! Netiki? Na, tada sugalvokite du ne nulius skaičius, kuriuos padauginus bus gautas nulis!
Neveikia? Kažkas...
Todėl drąsiai galime rašyti: x 1 = 0, x 2 = 4.

Viskas. Tai bus mūsų lygties šaknys. Abu tinka. Pakeitus bet kurį iš jų į pradinę lygtį, gauname teisingą tapatybę 0 = 0. Kaip matote, sprendimas yra daug paprastesnis nei bendroji formulė. Beje, pažymiu, kuris X bus pirmasis, o kuris antras – tai visiškai abejinga. Lengva rašyti eilės tvarka x 1- kuris yra mažesnis x 2- kas daugiau.

Antroji lygtis taip pat gali būti lengvai išspręsta. Perkeliame 9 į dešinę pusę. Mes gauname:

Belieka ištraukti šaknį iš 9, ir viskas. Gaukite:

taip pat dvi šaknys . x 1 = -3, x 2 = 3.

Taip išsprendžiamos visos nepilnos kvadratinės lygtys. Arba išimdami x iš skliaustų, arba paprastas perkėlimas skaičiai į dešinę, po to šaknies ištraukimas.
Šiuos metodus labai sunku supainioti. Tiesiog todėl, kad pirmuoju atveju turėsite ištraukti šaknį iš X, o tai kažkaip nesuprantama, o antruoju atveju nėra ko išimti iš skliaustų ...

Diskriminuojantis. Diskriminacinė formulė.

Magiškas žodis diskriminuojantis ! Retas gimnazistas nėra girdėjęs šio žodžio! Frazė „spręsk per diskriminantą“ ramina ir ramina. Nes nereikia laukti gudrybių iš diskriminanto! Tai paprasta ir be rūpesčių.) Primenu jums labiausiai bendroji formulė už sprendimus bet koks kvadratinės lygtys:

Išraiška po šaknies ženklu vadinama diskriminantu. Diskriminantas dažniausiai žymimas raide D. Diskriminacinė formulė:

D = b 2 - 4ac

Ir kuo ši išraiška ypatinga? Kodėl jis nusipelno ypatingo pavadinimo? Ką diskriminanto prasmė? Po visko -b, arba 2ašioje formulėje jie konkrečiai neįvardija ... Raidės ir raidės.

Esmė tokia. Sprendžiant kvadratinę lygtį naudojant šią formulę, tai įmanoma tik trys atvejai.

1. Diskriminantas yra teigiamas. Tai reiškia, kad iš jo galite išgauti šaknį. Kitas klausimas, ar šaknis išgauta gerai, ar blogai. Svarbu, kas išgaunama iš esmės. Tada jūsų kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. Du skirtingi sprendimai.

2. Diskriminantas lygus nuliui. Tada turite vieną sprendimą. Kadangi nulio pridėjimas ar atėmimas skaitiklyje nieko nekeičia. Griežtai kalbant, tai ne viena šaknis, bet du vienodi. Tačiau supaprastintoje versijoje įprasta kalbėti apie vienas sprendimas.

3. Diskriminantas yra neigiamas. Neigiamas skaičius neįima kvadratinės šaknies. Na, gerai. Tai reiškia, kad sprendimų nėra.

Jei atvirai, pas paprastas sprendimas kvadratines lygtis, diskriminanto sąvoka nėra ypač reikalinga. Formulėje pakeičiame koeficientų reikšmes ir svarstome. Ten viskas pasirodo savaime, ir dvi šaknys, ir viena, ir ne viena. Tačiau sprendžiant daugiau sunkių užduočių, nežinant prasmė ir diskriminacinė formulė nepakankamai. Ypač – lygtyse su parametrais. Tokios lygtys yra akrobatinis skraidis GIA ir vieningam valstybiniam egzaminui!)

Taigi, kaip išspręsti kvadratines lygtis per diskriminantą, kurį prisiminėte. Arba išmoko, kas irgi nėra blogai.) Mokate teisingai identifikuoti a, b ir c. Ar žinai kaip atsargiai pakeiskite juos šaknies formule ir atsargiai suskaičiuok rezultatą. Ar supratote, kad pagrindinis žodis čia yra - atsargiai?

Dabar atkreipkite dėmesį į praktinius metodus, kurie žymiai sumažina klaidų skaičių. Tie, kurie atsiranda dėl neatidumo... Už ką tada skaudu ir įžeidžiau...

Pirmas priėmimas . Nebūkite tingus prieš išspręsdami kvadratinę lygtį, kad ji būtų standartinė. Ką tai reiškia?
Tarkime, po bet kokių transformacijų gausite tokią lygtį:

Neskubėkite rašyti šaknų formulės! Beveik neabejotinai sumaišysite šansus a, b ir c. Teisingai sukurkite pavyzdį. Pirma, x kvadratas, tada be kvadrato, tada laisvasis narys. Kaip šitas:

Ir vėl, neskubėkite! Minusas prieš x kvadratą gali jus labai nuliūdinti. Pamiršti lengva... Atsikratykite minuso. Kaip? Taip, kaip mokyta ankstesnėje temoje! Turime padauginti visą lygtį iš -1. Mes gauname:

O dabar galite drąsiai užsirašyti šaknų formulę, apskaičiuoti diskriminantą ir užbaigti pavyzdį. Spręskite patys. Turėtumėte gauti šaknis 2 ir -1.

Antrasis priėmimas. Patikrinkite savo šaknis! Pagal Vietos teoremą. Nesijaudink, aš viską paaiškinsiu! Tikrinama paskutinis dalykas lygtis. Tie. ta, kuria užrašėme šaknų formulę. Jei (kaip šiame pavyzdyje) koeficientas a = 1, lengvai patikrinkite šaknis. Užtenka juos padauginti. Turėtumėte gauti nemokamą terminą, t.y. mūsų atveju -2. Atkreipkite dėmesį, ne 2, o -2! nemokamas narys su savo ženklu . Jei nepavyko, vadinasi, jie jau kažkur susipainiojo. Ieškokite klaidos.

Jei pavyko, šaknis reikia sulankstyti. Paskutinis ir paskutinis patikrinimas. Turėtų būti santykis b iš priešingas ženklas. Mūsų atveju -1+2 = +1. Koeficientas b, kuris yra prieš x, yra lygus -1. Taigi, viskas teisinga!
Gaila, kad taip paprasta tik pavyzdžiams, kur x kvadratas yra grynas, su koeficientu a = 1. Bet bent jau patikrinkite tokias lygtis! Viskas mažiau klaidų valios.

Trečias priėmimas . Jei jūsų lygtis turi trupmenų koeficientus, atsikratykite trupmenų! Padauginkite lygtį iš bendro vardiklio, kaip aprašyta pamokoje "Kaip išspręsti lygtis? Tapatybės transformacijos". Kai dirbate su trupmenomis, klaidos dėl tam tikrų priežasčių kyla ...

Beje, žadėjau supaprastinti blogą pavyzdį su krūva minusų. Prašau! Štai jis.

Kad nesusipainiotume minusuose, lygtį padauginame iš -1. Mes gauname:

Tai viskas! Spręsti yra smagu!

Taigi, pakartokime temą.

Praktiniai patarimai:

1. Prieš spręsdami kvadratinę lygtį perkeliame į standartinę formą, pastatome teisingai.

2. Jei kvadrate prieš x yra neigiamas koeficientas, jį pašaliname visą lygtį padauginę iš -1.

3. Jei koeficientai trupmeniniai, tai trupmenas eliminuojame padauginę visą lygtį iš atitinkamo koeficiento.

4. Jei x kvadratas yra švarus, jo koeficientas lygus vienam, sprendimas gali būti lengvai patikrintas Vietos teorema. Daryk!

Dabar galite nuspręsti.)

Išspręskite lygtis:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)

Atsakymai (netvarkingai):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x – bet koks skaičius

x 1 = -3
x 2 = 3

jokių sprendimų

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Ar viskas tinka? gerai! Kvadratinės lygtys nėra jūsų galvos skausmas. Pirmieji trys pasirodė, o likusieji ne? Tada problema yra ne kvadratinėse lygtyse. Problema yra identiškose lygčių transformacijose. Pažiūrėk nuorodą, tai naudinga.

Ne visai veikia? O gal visai neveikia? Tada jums padės skyrius 555. Ten visi šie pavyzdžiai surūšiuoti pagal kaulus. Rodoma pagrindinis klaidos sprendime. Žinoma, kalbama ir apie naudojimą identiškos transformacijos sprendžiant įvairias lygtis. Labai padeda!

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokymasis – su susidomėjimu!)

galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

“, tai yra pirmojo laipsnio lygtys. Šioje pamokoje mes tyrinėsime kas yra kvadratinė lygtis ir kaip tai išspręsti.

Kas yra kvadratinė lygtis

Svarbu!

Lygties laipsnis nustatomas pagal didžiausią nežinomybės laipsnį.

Jei didžiausias nežinomo laipsnis yra „2“, tada jūs turite kvadratinę lygtį.

Kvadratinių lygčių pavyzdžiai

• 5x2 – 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Svarbu! Bendra kvadratinės lygties forma atrodo taip:

A x 2 + b x + c = 0

„a“, „b“ ir „c“ – pateikti skaičiai.

• „a“ – pirmasis arba vyresnysis koeficientas;
• „b“ – antrasis koeficientas;
• "c" yra nemokama narys.

Norėdami rasti „a“, „b“ ir „c“, turite palyginti savo lygtį su bendrąja kvadratinės lygties „ax 2 + bx + c \u003d 0“ forma.

Pabandykime nustatyti koeficientus „a“, „b“ ir „c“ kvadratinėse lygtyse.

5x2 – 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Lygtis	Šansai
a=5 b = −14 c = 17
a = –7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = –8

Kaip išspręsti kvadratines lygtis

Skirtingai nei tiesines lygtis kvadratinėms lygtims išspręsti, specialus šaknų paieškos formulė.

Prisiminti!

Norėdami išspręsti kvadratinę lygtį, jums reikia:

• atveskite kvadratinę lygtį į bendras vaizdas"ax 2 + bx + c = 0". Tai yra, tik „0“ turėtų likti dešinėje pusėje;
• naudokite formulę šaknims:

Naudokime pavyzdį, kad išsiaiškintume, kaip pritaikyti kvadratinės lygties šaknų formulę. Išspręskime kvadratinę lygtį.

X 2 - 3x - 4 = 0

Lygtis „x 2 – 3x – 4 = 0“ jau redukuota iki bendros formos „ax 2 + bx + c = 0“ ir nereikalauja papildomų supaprastinimų. Norėdami tai išspręsti, tereikia kreiptis kvadratinės lygties šaknų radimo formulė.

Apibrėžkime šios lygties koeficientus „a“, „b“ ir „c“.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Su jo pagalba išsprendžiama bet kokia kvadratinė lygtis.

Formulėje "x 1; 2 \u003d" šakninė išraiška dažnai pakeičiama
"b 2 − 4ac" raidė "D" ir vadinamas diskriminantu. Diskriminanto sąvoka plačiau aptariama pamokoje „Kas yra diskriminantas“.

Apsvarstykite kitą kvadratinės lygties pavyzdį.

x 2 + 9 + x = 7x

Šioje formoje gana sunku nustatyti koeficientus „a“, „b“ ir „c“. Pirmiausia perkelkime lygtį į bendrą formą „ax 2 + bx + c \u003d 0“.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Dabar galite naudoti šaknų formulę.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

6

2

x=3
Atsakymas: x = 3

Būna atvejų, kai kvadratinėse lygtyse nėra šaknų. Ši situacija atsiranda, kai formulėje po šaknimi atsiranda neigiamas skaičius.