Pamokos tema: Aritmetiniai veiksmai padėties skaičių sistemose.

9 klasė

Pamokos tikslai:

Didaktika: supažindinti studentus su sudėjimo, atimties, daugybos ir dalybos dvejetainėje sistemoje ir atlikti pirminę šių veiksmų atlikimo įgūdžių praktiką.

Švietimas: ugdyti mokinių susidomėjimą mokytis naujų dalykų, parodyti nestandartinio požiūrio į skaičiavimus galimybę.

Kuriama: ugdyti dėmesį, mąstymo griežtumą, gebėjimą mąstyti.

Pamokos struktūra.

Orgmoment -1 minutė.

Namų darbų tikrinimas su testu žodžiu -15 minučių.

Namų darbai -2 minutės.

Problemų sprendimas vienu metu analizuojant ir savarankiškai plėtojant medžiagą -25 min.

Apibendrinant pamoką -2 minutės.

UŽSIĖMIMŲ LAIKOTARPIU

Organizacinis momentas.

Namų darbų tikrinimas (testas žodžiu) .

Mokytojas skaito klausimus iš eilės. Mokiniai atidžiai klauso klausimo, jo neužsirašinėdami. Tik atsakymas įrašomas, ir labai trumpai. (Jei galima atsakyti vienu žodžiu, tai įrašomas tik šis žodis).

Kas yra skaičių sistema? (-tai ženklų sistema, kurioje skaičiai rašomi pagal tam tikras taisykles, naudojant tam tikros abėcėlės, vadinamos skaičiais, simbolius )

Kokias skaičių sistemas žinote?( nepozicinis ir pozicinis )

Kokia sistema vadinama nepozicine? (SCH vadinamas nepoziciniu, jei skaičiaus skaitmens kiekybinis ekvivalentas (kiekybinė reikšmė) nepriklauso nuo jo padėties skaičiaus žymėjime ).

Kas yra pozicinio SSC pagrindas. (lygus skaitmenų, sudarančių jo abėcėlę, skaičiui )

Kokia matematinė operacija turėtų būti naudojama norint konvertuoti sveikąjį skaičių iš dešimtainio NSC į bet kurį kitą? (padalinys )

Ką reikia padaryti norint konvertuoti skaičių iš dešimtainio į dvejetainį? (Nuosekliai padalinkite iš 2 )

Kiek kartų sumažės skaičius 11,1 2 perkeliant kablelį vienu simboliu į kairę? (2 kartus )

Dabar pasiklausykime eilėraščio apie nepaprastą merginą ir atsakykime į klausimus. (Skamba kaip eilėraštis )

YPATINGA MERGAINA

Jai buvo tūkstantis ir šimtas metų
Ji ėjo į šimtą pirmą klasę,
Savo portfelyje nešiojau šimtą knygų.
Visa tai tiesa, o ne nesąmonė.

Kai tuzinu pėdų šluostydamas dulkes,
Ji ėjo keliu.
Jai visada sekdavo šuniukas
Su viena uodega, bet šimtakojais.

Ji pagavo kiekvieną garsą
Su dešimčia ausų
Ir dešimt įdegusių rankų
Jie laikė portfelį ir pavadėlį.

Ir dešimt tamsiai mėlynų akių
Įprastai žvelgiant į pasaulį,
Bet viskas taps normaliai,
Kai supranti mano istoriją.

/ N. Starikovas /

Ir kiek mergaitei buvo metų? (12 metų ) Į kokią klasę ji lankė? (5 klasė ) Kiek rankų ir kojų ji turėjo? (2 rankos, 2 kojos ) Kaip šuniukas turi 100 kojų? (4 letenos )

Atlikę testą patys mokiniai garsiai ištaria atsakymus, atliekama savikontrolė ir mokiniai save įvertina.

Kriterijus:

10 teisingų atsakymų (gal mažas trūkumas) - „5“;

9 arba 8 – „4“;

7, 6 – “3”;

likusi dalis yra „2“.

II. Namų darbai (2 minutės)

10111 2 - 1011 2 = ? ( 1100 2 )
10111 2 + 1011 2 = ? ( 100010 2 )
10111 2 * 1011 2 = ? ( 11111101 2 ))

III. Darbas su nauja medžiaga

Aritmetiniai veiksmai dvejetainėje sistemoje.

Dvejetainės skaičių sistemos aritmetika pagrįsta skaitmenų sudėties, atimties ir daugybos lentelių naudojimu. Aritmetiniai operandai yra viršutinėje lentelių eilutėje ir pirmajame stulpelyje, o rezultatai yra stulpelių ir eilučių sankirtoje:

0

1

1

1

Papildymas.

Dvejetainė pridėjimo lentelė yra labai paprasta. Tik vienu atveju, kai atliekamas sudėjimas 1 + 1, įvyksta perkėlimas į reikšmingiausią bitą.

1001 + 1010 = 10011

1101 + 1011 = 11000

11111 + 1 = 100000

1010011,111 + 11001,11 = 1101101,101

10111 2 + 1001 2 = ? (100000 2 )

Atimtis.

Atliekant atimties operaciją, iš didesnio skaičiaus absoliučia verte visada atimamas mažesnis skaičius ir dedamas atitinkamas ženklas. Atimties lentelėje 1 su juostele reiškia didelės eilės paskolą. 10111001,1 – 10001101,1 = 101100,0

101011111 – 110101101 = – 1001110

100000 2 - 10111 2 = ? (1001 2 )

Daugyba

Daugybos operacija atliekama naudojant daugybos lentelę pagal įprastą schemą, naudojamą dešimtainėje skaičių sistemoje, nuosekliai dauginant daugiklį iš kito daugiklio skaitmens. 11001 * 1101 = 101000101

11001,01 * 11,01 = 1010010,0001

Daugyba sumažinama iki daugiklio ir pridėjimo poslinkių.

111 2 * 11 2 = ? (10101 2 )

V. Apibendrinant pamoką

Kortelė už papildomus mokinių darbus.

Atlikite aritmetines operacijas:

A) 1110 2 + 1001 2 = ? (10111 2 ); 1101 2 + 110 2 = ? (10011 2 );

10101 2 + 1101 2 = ? (100010 2 ); 1011 2 + 101 2 = ? (10000 2 );

101 2 + 11 2 = ? (1000 2 ); 1101 2 + 111 2 = ? (10100 2 );

B) 1110 2 - 1001 2 = ? (101); 10011 2 - 101 2 = ? (1110 2 );

Papildymas. Skaičių sudėjimas dvejetainėje skaičių sistemoje pagrįstas vienaženklių dvejetainių skaičių sudėjimo lentele (6 lentelė).

Svarbu atkreipti dėmesį į tai, kad sudėjus du vienetus pervedama į aukščiausią skaitmenį. Taip atsitinka, kai skaičiaus reikšmė tampa lygi arba didesnė už skaičių sistemos bazę.

Daugiaženklių dvejetainių skaičių sudėjimas atliekamas pagal aukščiau pateiktą sudėjimo lentelę, atsižvelgiant į galimus perkėlimus iš mažesnių skaitmenų į didesnius skaitmenis. Pavyzdžiui, stulpelyje pridėkime dvejetainius skaičius:

Patikrinkime skaičiavimų teisingumą sudėjus dešimtainėje skaičių sistemoje. Paverskime dvejetainius skaičius į dešimtainę skaičių sistemą ir sudėkite juos:

Atimtis. Dvejetainių skaičių atėmimas pagrįstas vienaženklių dvejetainių skaičių atėmimo lentele (7 lentelė).

Iš mažesnio skaičiaus (0) atimant didesnį (1), paskola suteikiama iš didžiausios eilės. Lentelėje paskola žymima 1 su juostele.

Daugiaženklių dvejetainių skaičių atėmimas įgyvendinamas pagal šią lentelę, atsižvelgiant į galimas paskolas didelės eilės skaitmenimis.

Pavyzdžiui, atimkime dvejetainius skaičius:

Daugyba. Daugyba remiasi vienaženklių dvejetainių skaičių daugybos lentele (8 lentelė).

Daugiaženkliai dvejetainiai skaičiai dauginami pagal šią daugybos lentelę pagal įprastą dešimtainių skaičių sistemoje naudojamą schemą, nuosekliai dauginant daugiklį iš kito daugiklio skaitmens. Apsvarstykite dvejetainio daugybos pavyzdį

Pastaba: Sudėjus du skaičius, lygius 1, šiame skaitmenyje gaunamas 0, o 1-asis perkeliamas į reikšmingiausią skaitmenį.

Pavyzdys_21: Pateikiami skaičiai 101 (2) ir 11 (2). Raskite šių skaičių sumą.

kur 101 (2) = 5 (10) , 11 (2) = 3 (10) , 1000 (2) = 8 (10) .

Patikrinkite: 5+3=8.

Atimant vienetą iš 0, vienetas imamas iš didžiausio artimiausio skaitmens, kuris skiriasi nuo 0. Tuo pačiu metu vienetas, užimantis didžiausią skaitmenį, duoda 2 vienetus mažiausiai reikšmingame skaitmenyje ir vieną iš visų skaitmenų tarp didžiausių ir žemiausia.

Pavyzdys_22: Pateikiami skaičiai 101 (2) ir 11 (2). Raskite skirtumą tarp šių skaičių.

kur 101 (2) =5 (10) , 11 (2) =3 (10) , 10 (2) =2 (10) .

Patikrinkite: 5-3=2.

Daugybos operacija sumažinama iki pakartotinio poslinkio ir pridėjimo.

Pavyzdys_23: Pateikiami skaičiai 11 (2) ir 10 (2). Raskite šių skaičių sandaugą.

kur 11 (2) = 3 (10) , 10 (2) = 2 (10) , 110 (2) =6 (10) .

Patikrinkite: 3*2=6.

Aritmetiniai veiksmai aštuntainių skaičių sistemoje

Sudėjus du skaičius, kurių suma lygi 8, šioje kategorijoje gaunamas 0, o 1-asis perkeliamas į aukščiausią eilę.

Pavyzdys_24: Pateikti numeriai 165 (8) ir 13 (8). Raskite šių skaičių sumą.

kur 165 (8) = 117 (10) , 13 (8) = 11 (10), 200 (8) = 128 (10) .

Atimant didesnį skaičių iš mažesnio skaičiaus, vienetas imamas iš didžiausio artimiausio skaitmens, kuris skiriasi nuo 0. Tuo pačiu metu vienetas, užimantis didžiausią skaitmenį, duoda 8 mažiausiai reikšmingame skaitmenyje.

Pavyzdys_25: Pateikti numeriai 114 (8) ir 15 (8). Raskite skirtumą tarp šių skaičių.

kur 114 (8) =76 (10) , 15 (8) =13 (10), 77 (8) =63 (10) .

Aritmetiniai veiksmai šešioliktainėje skaičių sistemoje

Sudėjus du skaičius, iš viso 16, šioje kategorijoje įrašomas 0, o 1 perkeliamas į aukščiausią eilę.

Pavyzdys_26: Pateikti numeriai 1B5 (16) ir 53 (16). Raskite šių skaičių sumą.

kur 1B5 (16) = 437 (10) , 53 (16) = 83 (10), 208 (16) = 520 (10) .

Atimant didesnį skaičių iš mažesnio skaičiaus, vienetas imamas iš didžiausio artimiausio skaitmens, kuris nėra 0. Tuo pačiu metu vienetas, užimantis didžiausią skaitmenį, duoda 16 mažiausiai reikšmingame skaitmenyje.

Pavyzdys_27: Pateikti numeriai 11A (16) ir 2C (16). Raskite skirtumą tarp šių skaičių.

kur 11A (16) = 282 (10) , 2C (16) = 44 (10), EE (16) = 238 (10) .

Kompiuterinis duomenų kodavimas

Duomenys kompiuteryje pateikiami kaip kodas, susidedantis iš vienetų ir nulių skirtingomis sekomis.

Kodas– informacijos pateikimo simbolių rinkinys. Kodavimas yra informacijos pateikimo kodo forma procesas.

Skaičių kodai

Atlikdami aritmetinius veiksmus kompiuteriu, jie naudoja tiesioginis, atvirkštinis ir papildomas skaičių kodai.

Tiesioginis kodas

Tiesiai dvejetainio skaičiaus kodas (vaizdas absoliučios reikšmės pavidalu su ženklu) yra pats dvejetainis skaičius, kuriame visi jo reikšmę žymintys skaitmenys įrašyti kaip matematiniu žymėjimu, o skaičiaus ženklas – kaip dvejetainis skaitmuo.

Sveikieji skaičiai gali būti pavaizduoti kompiuteryje su ženklu arba be jo.

Nepaženklinti sveikieji skaičiai paprastai užima vieną ar du baitus atminties. Ženkliniams sveikiesiems skaičiams saugoti skiriamas vienas, du arba keturi baitai, o reikšmingiausias (kairysis) bitas – po skaičiaus ženklu. Jei skaičius yra teigiamas, į šį bitą įrašomas 0, jei neigiamas, tada 1.

Pavyzdys_28:

1 (10) =0 000 0001 (2) , -1 (10) =1 000 0001 (2)

Teigiami skaičiai kompiuteryje visada pateikiami naudojant tiesioginį kodą. Tiesioginis numerio kodas visiškai sutampa su paties numerio įvedimu į mašinos langelį. Tiesioginis neigiamo skaičiaus kodas nuo atitinkamo teigiamo skaičiaus tiesioginio kodo skiriasi tik ženklo bito turiniu.

Tiesioginis kodas naudojamas saugant skaičius kompiuterio atmintyje, taip pat atliekant daugybos ir dalybos operacijas, tačiau skaičių vaizdavimo tiesioginiame kode formatas yra nepatogus naudoti skaičiavimuose, nes atliekamas teigiamų ir neigiamų skaičių sudėjimas ir atėmimas. skirtingai, todėl būtina analizuoti ženklų operandų bitus. Todėl tiesioginis kodas praktiškai nenaudojamas įgyvendinant aritmetines operacijas su sveikaisiais skaičiais ALU. Tačiau neigiami sveikieji skaičiai kompiuteryje neatvaizduojami tiesioginiu kodu. Vietoj šio formato paplito atvirkštinio skaičių vaizdavimo formatai ir papildomi kodai.

Atvirkštinis kodas

Atvirkštinis kodas teigiamo skaičiaus sutampa su tiesioginiu, o rašant neigiamą skaičių visi jo skaitmenys, išskyrus skaitmenį, žymintį skaičiaus ženklą, pakeičiami priešingaisiais (0 pakeičiamas 1, o 1 pakeičiamas 0 ).

Pavyzdys_29:

Pavyzdys_30:

Norint atkurti tiesioginį neigiamo skaičiaus kodą iš atvirkštinio kodo, visi skaitmenys, išskyrus skaitmenį, reiškiantį skaičiaus ženklą, turi būti pakeisti priešingais.

Papildomas kodas

Papildomas kodas teigiamo skaičiaus sutampa su tiesioginiu, o neigiamo skaičiaus kodas susidaro prie atvirkštinio kodo pridedant 1.

Pavyzdys_31:

Pavyzdys_32:

Pavyzdys_33:

Sveikajam skaičiui -32 (10) parašykite papildomą kodą.

1. Pavertę skaičių 32 (10) į dvejetainę skaičių sistemą, gauname:

32 (10) =100000 (2) .

2. Tiesioginis teigiamo skaičiaus 32 (10) kodas yra 0010 0000.

3. Neigiamojo skaičiaus -32 (10) tiesioginis kodas yra 1010 0000.

4. Skaičiaus -32 (10) atvirkštinis kodas yra 1101 1111.

5. Skaičiaus -32 (10) papildomas kodas yra 1110 0000.

Pavyzdys_34:

Papildomas skaičiaus kodas yra 0011 1011. Raskite skaičiaus reikšmę dešimtainiu būdu.

1. Skaičiaus pirmasis (ženklas) skaitmuo 0 011 1011 yra 0, taigi skaičius yra teigiamas.

2. Teigiamo skaičiaus papildomi, atvirkštiniai ir tiesioginiai kodai yra vienodi.

3. Skaičius dvejetainėje sistemoje gaunamas iš tiesioginio kodo įrašo - 111011 (2) (nulius iš didžiausių skaičių atmetame).

4. Skaičius 111011 (2), pavertus dešimtainę skaičių sistemą, yra 59 (10).

Pavyzdys_35:

Papildomas skaičiaus kodas yra 1011 1011. Raskite skaičiaus reikšmę dešimtainiu būdu.

1. Pažymėkite skaičiaus skaitmenį 1 011 1011 yra 1, todėl skaičius yra neigiamas.

2. Norėdami nustatyti atvirkštinį skaičiaus kodą, atimkite vieną iš papildomo kodo. Atvirkštinis kodas yra 1 011 1010.

3. Tiesioginis kodas gaunamas iš atvirkštinės pusės, visus dvejetainius skaičiaus skaitmenis pakeičiant priešingais (1 – 0, 0 – 1). Tiesioginis numerio kodas yra 1 100 0101 (ženklo bite rašome 1).

4. Skaičius dvejetainėje sistemoje gaunamas iš tiesioginio kodo įrašo -100 0101 (2).

4. Skaičius -1000101 (2) po konvertavimo į dešimtainę yra lygus -69 (10).

Panaši informacija.

namai \ Dokumentacija \ Informatikos mokytojui

Naudojant medžiagą iš šios svetainės - o banerio talpinimas PRIVALOMAS!!!

Dvejetainė aritmetika

Skaičiai, kuriuos esame įpratę naudoti, vadinami dešimtainiais, o mūsų naudojama aritmetika dar vadinama dešimtainiais. Taip yra todėl, kad kiekvienas skaičius gali būti sudarytas iš skaitmenų rinkinio, kurį sudaro 10 simbolių – skaitmenys – „0123456789“.

Matematika išsivystė taip, kad būtent ši aibė tapo pagrindine, tačiau dešimtainė aritmetika nėra vienintelė. Jei paimsime tik penkis skaitmenis, tada jų pagrindu galime sudaryti penkių kartų aritmetiką, iš septynių skaitmenų - septynis kartus. Su kompiuterinėmis technologijomis susijusių žinių srityse dažnai naudojama aritmetika, kurioje skaičiai sudaromi atitinkamai iš šešiolikos skaitmenų, ši aritmetika vadinama šešioliktaine. Norėdami suprasti, kas yra skaičius ne dešimtainėje aritmetikoje, pirmiausia išsiaiškiname, kas yra skaičius dešimtainėje aritmetikoje.

Paimkite, pavyzdžiui, skaičių 246. Šis įrašas reiškia, kad skaičiuje yra du šimtai, keturios dešimtys ir šeši vienetai. Todėl galime parašyti tokią lygybę:

246 = 200 + 40 + 6 = 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0

Čia lygybės ženklai atskiria tris to paties skaičiaus rašymo būdus. Mums dabar įdomiausia yra trečioji rašymo forma: 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0. Jis organizuojamas taip:

Turime tris skaičius. Aukščiausias skaitmuo „2“ turi skaičių 3. Taigi jis padauginamas iš 10 iki antrosios laipsnio. Kitas skaitmuo „4“ turi serijos numerį 2 ir pirmajame padauginamas iš 10. Jau dabar matyti, kad skaitmenys dauginami iš dešimties iki vieneto mažiau nei skaitmens eilės skaičius. Supratę, kas buvo pasakyta, galime užrašyti bendrą dešimtainio skaičiaus vaizdavimo formulę. Tegul yra skaičius su N skaitmenimis. i-ąjį skaitmenį pažymėsime i. Tada skaičius gali būti parašytas tokia forma: a n a n-1 ….a 2 a 1 . Tai pirmoji forma, o trečioji įėjimo forma atrodys taip:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 10 n-1 + a n-1 * 10 n-2 + …. + a 2 * 10 1 + a 1 * 10 0

kur i yra simbolis iš rinkinio "0123456789"

Šiame įraše labai aiškiai matomas dešimties vaidmuo. Dešimt yra skaičiaus susidarymo pagrindas. Ir, beje, ji vadinama „skaičių sistemos pagrindu“, o pati skaičių sistema, todėl ir vadinama „dešimtainiu“. Žinoma, skaičius dešimt neturi jokių ypatingų savybių. Dešimtuką nesunkiai galime pakeisti bet kokiu kitu skaičiumi. Pavyzdžiui, skaičius penkiaženklėje skaičių sistemoje gali būti parašytas taip:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 5 n-1 + a n-1 * 5 n-2 + …. + a 2 * 5 1 + a 1 * 5 0

kur i yra simbolis iš rinkinio "01234"

Apskritai 10 pakeičiame bet kokiu kitu skaičiumi ir gauname visiškai kitokią skaičių sistemą bei skirtingą aritmetiką. Paprasčiausia aritmetika gaunama, jei 10 pakeičiama 2. Gauta skaičių sistema vadinama dvejetaine ir skaičius joje apibrėžiamas taip:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 2 n-1 + a n-1 * 2 n-2 + …. + a 2 * 2 1 + a 1 * 2 0

kur i yra simbolis iš rinkinio "01"

Ši sistema yra pati paprasčiausia iš visų galimų, nes joje bet koks skaičius susidaro tik iš dviejų skaitmenų 0 ir 1. Aišku, kad niekur nėra paprastesnio. Dvejetainių skaičių pavyzdžiai: 10, 111, 101.

Labai svarbus klausimas. Ar galima dvejetainį skaičių pavaizduoti kaip dešimtainį skaičių ir atvirkščiai, ar dešimtainį skaičių galima pavaizduoti kaip dvejetainį skaičių.

Dvejetainis iki dešimtainės dalies. Tai labai paprasta. Tokio vertimo metodas suteikia mums būdą rašyti skaičius. Paimkime, pavyzdžiui, šį dvejetainį skaičių 1011. Išplėskime jį į dviejų laipsnius. Gauname šiuos dalykus:

1011 = 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0

Atliekame visus įrašytus veiksmus ir gauname:

1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0 = 8 + 0+ 2 + 1 = 11. Taigi gauname, kad 1011 (dvejetainis) = 11 (dešimtainis). Iš karto galite pastebėti nedidelį dvejetainės sistemos nepatogumą. Tam pačiam skaičiui, kuris dešimtainėje sistemoje rašomas vienu simboliu dvejetainėje sistemoje, reikia įrašyti keturis simbolius. Bet tai kaina už paprastumą (nieko nevyksta nemokamai). Tačiau dvejetainė sistema suteikia didžiulį pelną atliekant aritmetinius veiksmus. Ir tada mes tai pamatysime.

Išreikškite šiuos dvejetainius skaičius kaip dešimtainį skaičių.

a) 10010 b) 11101 c) 1010 c) 1110 d) 100011 e) 1100111 f) 1001110

Dvejetainių skaičių sudėjimas.

Stulpelio sudėjimo metodas paprastai yra toks pat kaip ir dešimtainio skaičiaus. Tai yra, sudėjimas atliekamas po bitų, pradedant nuo mažiausiai reikšmingo skaitmens. Jei sudėjus du skaitmenis, SUM yra didesnė nei devyni, tada rašomas skaičius = SUM-10, o VISA DALIS (SUM / 10) pridedama prie aukščiausio skaitmens. (Pridėkite keletą skaičių į stulpelį, prisiminkite, kaip tai daroma.) Taip yra su dvejetainiu skaičiumi. Sudėkite po truputį, pradedant nuo mažiausio skaitmens. Jei pasirodo daugiau nei 1, tada rašomas 1, o prie reikšmingiausio skaitmens pridedamas 1 (sakoma „tai beprotiška“).

Pateikiame pavyzdį: 10011 + 10001.

Pirmas rangas: 1+1 = 2. Užsirašome 0 ir į galvą atėjo 1.

Antras rangas: 1+0+1 (įsimintas vienetas) =2. Užsirašome 0 ir 1 atėjo į galvą.

Trečias rangas: 0+0+1(įsimintas vienetas) = ​​1. Parašykite 1.

Ketvirtas rangas 0+0=0. Užrašome 0.

Penktas rangas 1+1=2. Rašome 0 ir pridedame 1 prie šeštojo bito.

Paverskime visus tris skaičius į dešimtainę sistemą ir patikrinkime sudėjimo teisingumą.

10011 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 16 + 2 + 1 =19

10001 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 16 + 1 = 17

100100 = 1*2 5 + 0*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 0*2 0 =32+4=36

17 + 19 = 36 teisinga lygybė

Nepriklausomo sprendimo pavyzdžiai:

a) 11001 +101 =

b) 11001 +11001 =

c) 1001 + 111 =

e) 10011 + 101 =

f) 11011 + 1111 =

e) 11111 + 10011 =

Kaip dešimtainį skaičių konvertuoti į dvejetainį. Kita operacija yra atimtis. Tačiau šią operaciją nagrinėsime šiek tiek vėliau, o dabar apsvarstysime dešimtainio skaičiaus konvertavimo į dvejetainį metodą.

Norint konvertuoti dešimtainį skaičių į dvejetainį, jis turi būti išplėstas dviejų laipsniais. Bet jei dešimčių galių plėtimas gaunamas iš karto, tai kaip išplėsti dviejų laipsnius, reikia šiek tiek pagalvoti. Pirmiausia pažiūrėkime, kaip tai padaryti pasirinkimo metodu. Paimkime dešimtainį skaičių 12.

Pirmas žingsnis. 2 2 \u003d 4, to nepakanka. Jis taip pat mažas ir 2 3 \u003d 8, o 2 4 \u003d 16 jau yra daug. Taigi palikime 2 3 =8. 12 – 8 = 4. Dabar 4 reikia pavaizduoti kaip dviejų laipsnį.

Antras žingsnis. 4 = 2 2 .

Tada mūsų skaičius 12 = 2 3 + 2 2 . Aukščiausias skaitmuo turi skaičių 4, aukščiausias laipsnis = 3, todėl turėtų būti terminai, kurių laipsniai yra 1 ir 0. Bet mums jų nereikia, todėl norint atsikratyti nereikalingų laipsnių ir palikti reikiamus vienetus, skaičių rašome taip: 1 * 2 3 + 1 * 2 2 +0*2 1 + 0*2 0 = 1100 – tai yra dvejetainis skaičiaus 12 atvaizdas. Nesunku pastebėti, kad kiekviena sekanti galia yra didžiausia dviejų galių, kuri yra mažesnė už skaičių, kurį reikia išplėsti. Norėdami pataisyti metodą, pažvelkime į kitą pavyzdį. 23 numeris.

1 veiksmas. Artimiausias dviejų laipsnis yra 2 4 = 16. 23 -16 = 7.

2 veiksmas. Artimiausias dviejų laipsnis yra 2 2 = 4. 7 - 4 = 3

3 veiksmas. Artimiausias dviejų laipsnis yra 2 1 = 2. 3 - 2 = 1

Žingsnis 4. Artimiausias dviejų laipsnis 2 0 =1 1 - 1 =0

Gauname tokį skaidymą: 1*2 4 + 0*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +1*2 0

Ir mūsų norimas dvejetainis skaičius yra 10111

Aukščiau aptartas metodas gerai išsprendžia prieš tai iškeltą problemą, tačiau yra metodas, kurio algoritmas yra daug geriau. Šio metodo algoritmas parašytas žemiau:

Kol SKAIČIUS didesnis už nulį, darykite

KITAS SKAITMENIS \u003d SKAIČIŲ dalijimo iš 2 liekana

SKAIČIUS = sveikoji SKAIČIO dalis, padalyta iš 2

Kai šis algoritmas baigs savo darbą, apskaičiuotų NUOLATINIŲ SKAITMENŲ seka bus dvejetainis skaičius. Pavyzdžiui, dirbkime su skaičiumi 19.

Algoritmo pradžios SKAIČIUS = 19

KITAS SKAITMENYS = 1

KITAS SKAITMENYS = 1

KITAS SKAITMENYS = 0

KITAS SKAITMENYS = 0

KITAS SKAITMENYS = 1

Taigi, gauname tokį skaičių 10011. Atkreipkite dėmesį, kad du nagrinėjami metodai skiriasi sekančių skaitmenų gavimo tvarka. Taikant pirmąjį metodą, pirmasis gautas skaitmuo yra didžiausias dvejetainio skaičiaus skaitmuo, o antruoju būdu pirmasis gautas skaitmuo, atvirkščiai, yra mažiausias.

Paversti dešimtainę į dvejetainę dviem būdais

a) 14 b) 29 c) 134 d) 158 f) 1190 g) 2019 m.

Kaip paversti trupmeninę dalį į dešimtainę.

Yra žinoma, kad bet kurį racionalųjį skaičių galima pavaizduoti kaip dešimtainę ir paprastąją trupmeną. Paprastoji trupmena, tai yra, A / B formos trupmena, gali būti taisyklinga ir netinkama. Trupmena vadinama tinkama, jei A<В и неправильной если А>AT.

Jei racionalusis skaičius pavaizduotas neteisinga trupmena, o tuo pačiu trupmenos skaitiklis padalytas iš vardiklio visiškai, tai šis racionalusis skaičius yra sveikasis skaičius, visais kitais atvejais atsiranda trupmeninė dalis. Trupmeninė dalis dažnai yra labai ilgas skaičius ir netgi begalinis (begalinė periodinė trupmena, pavyzdžiui, 20/6), todėl trupmeninės dalies atveju turime ne tik vieną vaizdinį išversti į kitą, bet ir išversti. su tam tikru tikslumu.

Tikslumo taisyklė. Tarkime, kad jums duotas dešimtainis skaičius, kurį galima pavaizduoti kaip dešimtainę trupmeną iki N skaitmenų. Kad atitinkamas dvejetainis skaičius būtų vienodo tikslumo, jame reikia rašyti M - simbolius, kad

O dabar pabandykime gauti vertimo taisyklę ir pirmiausia apsvarstykime 5 401 pavyzdį

Sprendimas:

Sveikąją dalį gausime pagal mums jau žinomas taisykles, ir ji lygi dvejetainiam skaičiui 101. O trupmeninę dalį išplečiame laipsniais 2.

1 žingsnis: 2 -2 = 0,25; 0,401 - 0,25 = 0,151. yra likusi dalis.

2 žingsnis: Dabar turime pavaizduoti 0,151 kaip dviejų laipsnį. Padarykime taip: 2 -3 = 0,125; 0,151 - 0,125 = 0,026

Taigi pradinė trupmeninė dalis gali būti pavaizduota kaip 2 -2 +2 -3 . Tą patį galima parašyti tokiu dvejetainiu skaičiumi: 0,011. Pirmasis trupmeninis skaitmuo yra nulis, nes mūsų plėtinyje nėra laipsnio 2 -1.

Iš pirmojo ir antrojo žingsnių aišku, kad šis vaizdas nėra tikslus ir gali būti pageidautina tęsti plėtrą. Grįžkime prie taisyklės. Sakoma, kad mums reikia tiek daug M ženklų, kad 10 3 būtų mažesnis nei 2 M. Tai yra, 1000<2 M . То есть в двоичном разложении у нас должно быть не менее десяти знаков, так как 2 9 = 512 и только 2 10 = 1024. Продолжим процесс.

3 veiksmas: Dabar dirbame su skaičiumi 0,026. Artimiausia šio skaičiaus dviejų laipsnis yra 2 -6 \u003d 0,015625; 0,026 - 0,015625 = 0,010375 dabar mūsų tikslesnis dvejetainis skaičius yra 0,011001. Po kablelio jau yra šeši skaičiai po kablelio, bet to dar neužtenka, todėl atliekame dar vieną žingsnį.

4 veiksmas: Dabar dirbame su numeriu 0.010375. Artimiausia šio skaičiaus dviejų laipsnis yra 2 -7 \u003d 0,0078125;

0,010375 - 0,0078125 = 0,0025625

5 veiksmas: Dabar mes dirbame su numeriu 0.0025625. Artimiausia šio skaičiaus dviejų laipsnis yra 2 -9 \u003d 0,001953125;

0,0025625 - 0,001953125 = 0,000609375

Paskutinė gauta liekana yra mažesnė nei 2 -10 ir jei norėtume ir toliau artėti prie pradinio skaičiaus, mums reikėtų 2 -11 , tačiau tai jau viršija reikiamą tikslumą, todėl skaičiavimus galima sustabdyti ir pateikti galutinį dvejetainį skaičių. trupmeninę dalį galima užrašyti.

0,401 = 0,011001101

Kaip matote, trupmeninę dešimtainio skaičiaus dalį konvertuoti į dvejetainį vaizdą yra šiek tiek sudėtingiau nei konvertuoti sveikąjį skaičių. Dviejų galių lentelė paskaitos pabaigoje.

O dabar rašome transformacijos algoritmą:

Pradiniai algoritmo duomenys: Per A pažymėsime originalią tinkamą dešimtainę trupmeną, parašytą dešimtaine forma. Tegul šioje trupmenoje yra N ženklų.

Algoritmas

Veiksmas 1. Iš nelygybės 10 N nustatykite reikalingų dvejetainių simbolių skaičių M< 2 M

2 veiksmas: apskaičiuokite dvejetainio vaizdavimo skaitmenis (skaitmenys po nulio). Skaičiaus skaičius bus pažymėtas simboliu K.

1. Skaitmenų skaičius = 1
2. Jei 2 -K > A

Tada prie dvejetainio skaičiaus žymėjimo pridedame nulį

• pridėti 1 prie dvejetainio skaičiaus
• A \u003d A - 2 -K

1. K = K + 1
2. Jei K > M

• tada algoritmas baigtas.
• Kitu atveju pereikite prie 2 veiksmo.

Konvertuoti dešimtainę į dvejetainę

a) 3,6 b) 12,0112 c) 0,231 d) 0,121 e) 23,0091

Dvejetainių skaičių atėmimas. Taip pat atimsime skaičius, taip pat naudosime stulpelį ir bendra taisyklė tokia pati kaip dešimtainiams skaičiams, atimtis atliekama po bitą ir jei bite neužtenka vieneto, tai įjungiamas senesnis. Išspręskime šį pavyzdį:

Pirmas rangas. 1 - 0 =1. Užrašome 1.

Antras rangas 0-1. Trūksta vieneto. Mes priimame jį į vyresniąją kategoriją. Vienas iš didžiausio skaitmens pereina prie mažiausio, kaip du vienetai (nes aukščiausias skaitmuo žymimas didesnio laipsnio du) 2-1 \u003d 1. Užrašome 1.

Trečias rangas. Užėmėme šio skaitmens vienetą, todėl dabar skaitmenyje 0 reikia užimti reikšmingiausio skaitmens vienetą. 2-1=1. Užrašome 1.

Patikrinkime rezultatą dešimtaine sistema

1101 - 110 = 13 - 6 = 7 (111) Tikroji lygybė.

Kitas įdomus atimties būdas yra susijęs su dviejų komplemento sąvoka, kuri leidžia sumažinti atimtį iki sudėjimo. Pasirodo, skaičius papildomame kode yra itin paprastas, paimame skaičių, nulius pakeičiame vienetais, atvirkščiai, vienetus pakeičiame nuliais ir pridedame vieną prie mažiausiai reikšmingo skaitmens. Pavyzdžiui, 10010 būtų 011011 dviejų komplemento kode.

Dviejų komplemento atimties taisyklė teigia, kad atimtis gali būti pakeista pridėjimu, jei atimtis pakeičiama skaičiumi dviejų komplemento kode.

Pavyzdys: 34–22 = 12

Parašykime šį pavyzdį dvejetaine forma. 100010–10110 = 1100

Papildomas numerio 10110 kodas bus toks

01001 + 00001 = 01010. Tada pradinį pavyzdį galima pakeisti papildymu, kaip šis 100010 + 01010 = 101100 Toliau reikia išmesti vieną vienetą aukščiausia tvarka. Jei tai padarysime, gausime 001100. Išmetame nereikšmingus nulius ir gauname 1100, tai yra, pavyzdys išspręstas teisingai

Atlikite atimtį. Įprastu būdu ir papildomu kodu, prieš tai konvertavus dešimtainius skaičius į dvejetainius:

Patikrinkite dvejetainį rezultatą konvertuodami į dešimtainį skaičių.

Daugyba dvejetainėje skaičių sistemoje.

Pradėkime nuo šio įdomaus fakto. Norint dvejetainį skaičių padauginti iš 2 (dvejetainis dešimtainis du yra 10), užtenka prie padauginto skaičiaus kairėje pridėti vieną nulį.

Pavyzdys. 10101 * 10 = 101010

Apžiūra.

10101 = 1*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 +1*2 0 = 16 + 4 + 1 = 21

101010 =1*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 32 + 8 + 2 = 42

Jei prisiminsime, kad bet kurį dvejetainį skaičių galima išplėsti dviejų laipsniais, tada paaiškėja, kad daugyba dvejetainėje skaičių sistemoje sumažinama iki daugybos iš 10 (ty iš dešimtainio skaičiaus 2), todėl daugyba yra nuosekliųjų eilė. pamainomis. Bendra taisyklė yra ta, kad, kaip ir su dešimtainiais skaičiais, dvejetainis daugyba atliekamas po bitų. Ir kiekvienam antrojo daugiklio skaitmeniui pridedamas vienas nulis pirmojo daugiklio dešinėje. Pavyzdys (dar ne stulpelis):

1011 * 101 Šis dauginimas gali būti sumažintas iki trijų bitų daugybos kartų sumos:

1011 * 1 + 1011 * 0 + 1011 * 100 \u003d 1011 + 101100 \u003d 110111 Tą patį galima parašyti tokiame stulpelyje:

Egzaminas:

101 = 5 (dešimtainis)

1011 = 11 (dešimtainis)

110111 = 55 (dešimtainis)

5*11 = 55 teisinga lygybė

Spręskite patys

a) 1101 * 1110 =

b) 1010 * 110 =

e) 101011 * 1101 =

f) 10010 * 1001 =

Pastaba: beje, daugybos lentelę dvejetainėje sistemoje sudaro tik vienas elementas 1 * 1 = 1

Padalijimas dvejetainėje sistemoje.

Mes jau svarstėme tris veiksmus ir, manau, jau aišku, kad apskritai veiksmai su dvejetainiais skaičiais mažai skiriasi nuo veiksmų su dešimtainiais skaičiais. Skirtumas atsiranda tik tame, kad yra du skaitmenys, o ne dešimt, tačiau tai tik supaprastina aritmetines operacijas. Panaši situacija ir su padalijimu, tačiau, kad geriau suprastume, skirstymo algoritmą panagrinėsime plačiau. Tarkime, reikia padalyti du dešimtainius skaičius, pavyzdžiui, 234 padalyti iš 7. Kaip tai padaryti.

Dešinėje (nuo reikšmingiausio skaitmens) skiriame tokį skaičių skaitmenų, kad gautas skaičius būtų kuo mažesnis ir tuo pačiu didesnis už daliklį. 2 yra mažesnis už daliklį, todėl mums reikalingas skaičius yra 23. Tada gautą skaičių padalijame iš daliklio su liekana. Gauname tokį rezultatą:

Aprašyta operacija kartojama tol, kol gauta liekana bus mažesnė už daliklį. Kai taip atsitinka, skaičius, gautas po juosta, yra koeficientas, o paskutinė liekana yra likusi operacijos dalis. Taigi dvejetainio skaičiaus padalijimo operacija atliekama lygiai taip pat. Pabandykime

Pavyzdys: 10010111 / 101

Mes ieškome skaičiaus, kurio iš aukščiausios eilės pirmasis būtų didesnis už daliklį. Tai keturių skaitmenų skaičius 1001. Jis paryškintas. Dabar reikia rasti pasirinkto skaičiaus daliklį. Ir čia vėl laimime lyginant dešimtainėje sistemoje. Faktas yra tas, kad pasirinktas daliklis būtinai yra skaitmuo, o mes turime tik du skaitmenis. Kadangi 1001 yra aiškiai didesnis nei 101, tai su dalikliu viskas aišku, tai yra 1. Atlikime operacijos žingsnį.

Taigi, likusi operacijos dalis yra 100. Tai yra mažiau nei 101, taigi, norint atlikti antrojo padalijimo veiksmą, prie 100 reikia pridėti kitą skaitmenį, tai yra skaičius 0. Dabar turime tokį skaičių:

1000 yra didesnis nei 101, todėl antrajame žingsnyje prie privataus skaitmens vėl pridedame 1 ir gauname tokį rezultatą (taupydami vietos, kitą skaitmenį iškart praleidžiame).

Trečias žingsnis. Gautas skaičius 110 yra didesnis nei 101, todėl šiame žingsnyje mes jį įrašysime į koeficientą 1. Tai pasirodys taip:

Gautas skaičius 11 yra mažesnis nei 101, todėl įrašome jį privačiu skaitmeniu 0 ir nuleidžiame kitą skaitmenį žemyn. Pasirodo taip:

Gautas skaičius didesnis nei 101, todėl skaičių 1 įrašome į koeficientą ir veiksmus atliekame dar kartą. Pasirodo šis paveikslas:

1

0

Gauta liekana 10 yra mažesnė nei 101, bet mums pritrūko skaitmenų dividende, todėl 10 yra paskutinė liekana, o 1110 yra norimas koeficientas.

Patikrinti dešimtaine

Tai užbaigia paprasčiausių aritmetinių operacijų, kurias reikia žinoti norint naudoti dvejetainę aritmetiką, aprašymą, o dabar pabandysime atsakyti į klausimą „Kodėl mums reikalinga dvejetainė aritmetika“. Žinoma, aukščiau jau buvo parodyta, kad skaičiaus rašymas dvejetainėje sistemoje labai supaprastina aritmetines operacijas, tačiau tuo pačiu ir pats įrašas tampa daug ilgesnis, o tai sumažina gauto supaprastinimo reikšmę, todėl reikia žiūrėti tokiems uždaviniams, kurių sprendimas dvejetainiais skaičiais yra daug paprastesnis.

1 užduotis: visų pavyzdžių gavimas

Labai dažnai yra užduočių, kurias atliekant reikia sugebėti sukurti visus įmanomus derinius iš tam tikro daiktų rinkinio. Pavyzdžiui, tokia užduotis:

Atsižvelgdami į didelę akmenų krūvą, sudėkite akmenis į dvi krūvas taip, kad šių dviejų krūvų masė būtų kiek įmanoma vienoda.

Šią užduotį galima suformuluoti taip:

Iš didelės krūvos suraskite tokį akmenų pavyzdį, kad jo bendra masė kuo mažiau skirtųsi nuo pusės didelės krūvos masės.

Tokio pobūdžio užduočių yra nemažai. Ir visi jie, kaip jau minėta, susiveda į galimybę iš tam tikro elementų rinkinio gauti visus įmanomus derinius (toliau juos vadinsime pasirinkimais). Ir dabar mes apsvarstysime bendrą visų galimų pavyzdžių gavimo metodą naudojant dvejetainio sudėjimo operaciją. Pradėkime nuo pavyzdžio. Tegul būna trijų daiktų rinkinys. Gaminame visus galimus pavyzdžius. Prekės bus pažymėtos serijos numeriais. Tai yra, yra šie elementai: 1, 2, 3.

Pavyzdžiai: (0, 0, 1); (0, 1, 0); (0, 1, 1); (100); (1, 0, 1); (1, 1, 0); (1, 1, 1);

Jei pozicijoje su kitu numeriu yra vienas, tai reiškia, kad elementas, kurio skaičius lygus šiai pozicijai, yra pasirinkime, o jei yra nulis, elemento nėra. Pavyzdžiui, sample(0, 1, 0); susideda iš vieno elemento, kurio skaičius yra 2, o pavyzdys yra (1, 1, 0); susideda iš dviejų elementų su skaičiais 1 ir 2.

Šis pavyzdys aiškiai parodo, kad imtį galima pavaizduoti kaip dvejetainį skaičių. Be to, nesunku pastebėti, kad aukščiau užrašyti visi galimi vieno, dviejų ir trijų skaitmenų dvejetainiai skaičiai. Perrašykime juos taip:

001; 010; 011; 100; 101; 110; 111

1; 10; 11; 100; 101; 110; 111

Gavome iš eilės einančių dvejetainių skaičių, kurių kiekvienas gaunamas iš ankstesnio, pridedant po vieną. Galite tai patikrinti. Naudodamiesi šiuo stebimu dėsningumu, galime sukurti tokį pavyzdžių gavimo algoritmą.

Pradiniai algoritmo duomenys

Duotas daiktų rinkinys N - vienetai. Toliau šį rinkinį vadinsime pradinių elementų rinkiniu. Sunumeruokime visus pradinės aibės elementus nuo 1 iki N. Padarykime dvejetainį skaičių iš N nereikšmingų nulių. 0000… 0 N Šis nulinis dvejetainis skaičius žymės nulinę imtį, nuo kurios prasidės atrankos procesas. Skaičiaus skaitmenys skaičiuojami iš dešinės į kairę, tai yra, kairysis skaitmuo yra reikšmingiausias.

Sutikime šį dvejetainį skaičių žymėti didžiosiomis raidėmis DVEJETAIS

Algoritmas

Jei dvejetainis skaičius susideda tik iš vienetų

Tada sustabdome algoritmą

• Prie dvejetainio skaičiaus pridedame vieną pagal dvejetainės aritmetikos taisykles.
• Iš gauto dvejetainio skaičiaus sudarome kitą pavyzdį, kaip aprašyta aukščiau.

2 užduotis: didelių pradmenų paieška

Pirmiausia atminkite, kad pirminis skaičius yra natūralusis skaičius, kuris dalijasi tik iš 1 ir savęs. Pirminių skaičių pavyzdžiai: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31

Didelių pirminių skaičių paieška yra labai svarbi matematinė problema. Norint saugiai užšifruoti pranešimus naudojant kai kuriuos šifravimo algoritmus, reikalingi dideli pirminiai skaičiai. Ir reikia ne tik didelių skaičių, bet ir labai didelių. Kuo didesnis skaičius, tuo saugesnis šifras pagal šį skaičių.

Pastaba. Stiprus šifras – tai šifras, kurio iššifravimas užtrunka labai ilgai.

Kodėl? Pirminis skaičius atlieka rakto vaidmenį šifruojant ir iššifruojant. Be to, žinome, kad pirminiai skaičiai natūraliųjų skaičių eilutėje pasitaiko ne itin dažnai. Tarp pirmojo tūkstančio jų yra gana daug, tada jų skaičius pradeda sparčiai mažėti. Todėl jei kaip raktą imsime ne itin didelį skaičių, iššifruotojas, naudodamas net ir nelabai greitą kompiuterį, galės prie jo prieiti (rūšiuodamas visus pirminius vienus po kito kaip raktą) per ribotą laiką.

Gana patikimą kodą galima gauti, jei paimsite paprastą kodą, kuriame, pavyzdžiui, yra 150 simbolių. Tačiau rasti tokį paprastą nėra taip paprasta. Tarkime, kad reikia patikrinti kurio nors skaičiaus A (labai didelio) pirmumą. Tai tas pats, kas ieškoti jo daliklių. Jei galime rasti daliklius tarp 2 ir A kvadratinės šaknies, tai nėra pirminis. Įvertinkime skaičių, kuriuos reikia patikrinti, norint padalyti skaičių A.

Tarkime, kad skaičių A sudaro 150 skaitmenų. Jo kvadratinėje šaknyje bus mažiausiai 75 simboliai. Norint surūšiuoti tokį skaičių galimų daliklių, mums reikia labai galingo kompiuterio ir daug laiko, o tai reiškia, kad problema praktiškai neišsprendžiama.

Kaip su tuo susitvarkyti.

Pirma, galite išmokti greitai patikrinti, ar vienas skaičius dalijasi iš kito, ir, antra, galite pabandyti pasirinkti skaičių A taip, kad jis būtų paprastas su didele tikimybe. Pasirodo, tai įmanoma. Matematikas Mersenas atrado šios formos skaičius

Yra paprasti su didele tikimybe.

Kad suprastume aukščiau parašytą frazę, suskaičiuokime, kiek pirminių skaičių yra pirmame tūkstantyje ir kiek Mersenne skaičių tame pačiame tūkstantyje yra pirminiai. Taigi Merseno skaičiai pirmajame tūkstantyje yra tokie:

2 1 - 1 = 1 ; 2 2 -1 = 3 ; 2 3 - 1 = 7 ; 2 4 - 1 = 15; 2 5 - 1 = 31 ; 2 6 -1 = 63;

2 7 - 1 =127 ; 2 8 -1 = 255; 2 9 - 1 = 511;

Pirminiai skaičiai pažymėti paryškintu šriftu. Iš viso yra 5 pirminiai skaičiai 9 Mersenne skaičiams. Procentais tai yra 5/9 * 100 \u003d 55,6%. Tuo pačiu metu pirmųjų 1000 natūraliųjų skaičių yra tik 169 pirminiai skaičiai. Procentais tai yra 169/1000 * 100 = 16,9%. Tai yra, pirmajame tūkstantme, procentine išraiška, pirminiai skaičiai tarp Mersenne skaičių randami beveik 4 kartus dažniau nei tarp tiesiog natūraliųjų skaičių.

___________________________________________________________

O dabar paimkime konkretų Merseno skaičių, pavyzdžiui, 2 4 - 1. Parašykime kaip dvejetainį skaičių.

2 4 - 1 = 10000 - 1 = 1111

Paimkime kitą Merseno skaičių 2 5 -1 ir parašykime kaip dvejetainį skaičių. Gauname šiuos dalykus:

2 5 -1 = 100000 - 1 = 11111

Jau dabar aišku, kad visi Merseno skaičiai yra vienetų seka, ir vien šis faktas duoda didelę naudą. Pirma, dvejetainėje sistemoje labai lengva gauti kitą Mersenne skaičių, užtenka prie kito skaičiaus pridėti vieną, antra, daug lengviau ieškoti daliklių dvejetainėje sistemoje nei dešimtainėje.

Greitas dešimtainis konvertavimas į dvejetainį

Viena iš pagrindinių problemų naudojant dvejetainę skaičių sistemą yra sunkumas konvertuojant dešimtainį skaičių į dvejetainį. Tai gana sunkus darbas. Žinoma, išversti nedidelius trijų ar keturių skaitmenų skaičius nėra labai sunku, tačiau dešimtainiams skaičiams, kuriuose yra 5 ar daugiau skaitmenų, tai jau sunku. Tai reiškia, kad mums reikia būdo greitai konvertuoti didelius dešimtainius skaičius į dvejetainį vaizdavimą.

Šį metodą išrado prancūzų matematikas Legendre. Pavyzdžiui, duotas skaičius 11183445. Padalijame jį iš 64, gauname likutį 21 ir dalinį 174741. Šį skaičių vėl padalijame iš 64, gauname likutį 21 ir dalinį 2730. Galiausiai 2730 padalijame iš 64 suteikia likusią dalį 42 ir koeficientą 42. Tačiau 64 dvejetainėje yra 1000000, 21 dvejetainėje yra 10101, o 42 yra 101010, todėl pradinis skaičius bus parašytas dvejetainiu būdu taip:

101010 101010 010101 010101

Kad būtų aiškiau, kitas pavyzdys su mažesniu skaičiumi. Išverskime dvejetainį skaičių 235. Padalinkite 235 iš 64 su likusia dalimi. Mes gauname:

PRIVATUS = 3, dvejetainis 11 arba 000011

RAIŠKA = 43, dvejetainis 101011

Tada 235 = 11101011, patikrinkite šį rezultatą:

11101011 = 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 3 + 2 1 + 2 0 = 128+64+32+8+2+1 = 235

Pastabos:

1. Nesunku pastebėti, kad galutinis dvejetainis skaičius apima visas liekanas, o paskutiniame žingsnyje – ir likutį, ir koeficientą.
2. Dalinys rašomas prieš likutį.
3. Jei gautas koeficientas arba liekana turi mažiau nei 6 skaitmenis dvejetainiu pavidalu (6 nuliai yra dvejetainis skaičiaus 64 = 1000000 atvaizdas), tada prie jo pridedami nereikšmingi nuliai.

Ir dar vienas sunkus pavyzdys. Numeris 25678425.

1 veiksmas: 25678425 padalytas iš 64

Asmeninis = 401225

Likutis = 25 = 011001

2 veiksmas: 401225 padalytas iš 64

Privatus = 6269

Likutis = 9 = 001001

3 veiksmas: 6269 padalytas iš 64

Privatus = 97

Likutis = 61 = 111101

4 veiksmas: 97 padalytas iš 64

Privatus = 1 = 000001

Likutis = 33 = 100001

Skaičių rezultatas = 1.100001.111101.001001.011001

Šiame skaičiuje taškas atskiria į jį įtrauktus tarpinius rezultatus.

Konvertuoti į dvejetainį skaičiaus atvaizdavimą:

PRIEDAS: 1 LENTELĖ

		0,015625
		0,0078125
		0,00390625
		0,001953125
		0,0009765625
		0,00048828125
		0,000244140625
		0,0001220703125
		0,00006103515625
		0,000030517578125
		0,0000152587890625
		0,00000762939453125
		0,000003814697265625
		0,0000019073486328125
		0,00000095367431640625
		0,000000476837158203125

1. Pamokos vieta: 9 klasė-3 studijuojamo skyriaus pamoka
2. Pamokos tema: Aritmetiniai veiksmai dvejetainėje sistemoje.

Klasės tipas: paskaita, pokalbis, savarankiškas darbas.

Pamokos tikslai:

Didaktika: supažindinti su aritmetinių operacijų (sudėties, daugybos, atimties) atlikimo dvejetainėje skaičių sistemoje taisyklėmis.

Švietimas: savarankiškumo darbe įgūdžių ugdymas, tikslumo, drausmės ugdymas.

Kuriama: mokinių dėmesio, atminties ugdymas, gebėjimo lyginti gautą informaciją ugdymas.

Tarpdisciplininiai ryšiai: Matematika:

Mokomosios įrangos (įrangos) klasės:projektorius, stalas, užduočių kortelės.

Pamokos metodinė pagalba:pristatymas PowerPoint.

Pamokos planas

1. Organizacinis momentas (2 min.).
2. Pakartojimas (10)
3. Naujos medžiagos paaiškinimas (15 min.)
4. Dengtos medžiagos sutvirtinimas (10 min.)
5. namų darbų užduotis
6. Atspindys (2 min.)
7. Apibendrinimas (2 min.)

Per užsiėmimus

1. Laiko organizavimas
2. Žinių atnaujinimas.Mes ir toliau studijuojame skaičių sistemos temą, o mūsų šiandieninės pamokos tikslas bus išmokti atlikti aritmetines operacijas dvejetainėje skaičių sistemoje, būtent, kartu su jumis apsvarstysime taisyklę, kaip atlikti tokias operacijas kaip sudėtis, atimtis, daugyba, dalyba.
3. Žinių patikrinimas (priekinė apklausa).

Prisiminkime:

1. Kas yra skaičių sistema?
2. Kas yra skaičių sistemos pagrindas?
3. Kas yra dvejetainių skaičių sistemos pagrindas?
4. Nurodykite, kurie skaičiai parašyti su klaidomis ir pagrįskite atsakymą:
   123 8, 3006 2, 12ААС09 20, 13476 10,
5. Kokią minimalią bazę turi turėti skaičių sistema, jei joje galima įrašyti skaičius: 10, 21, 201, 1201
6. Kokia yra lyginio dvejetainio skaičiaus pabaiga?
   Koks skaitmuo baigiasi nelyginiu dvejetainiu skaičiumi?

4 . Naujos medžiagos studijavimą lydi pristatymas

/ 1 priedėlis/

Naują temą mokytoja paaiškina pristatymo skaidrėse, mokiniai užsirašo ir atlieka mokytojo pasiūlytas užduotis sąsiuvinyje.

Iš visų padėties sistemų dvejetainė skaičių sistema yra ypač paprasta. Apsvarstykite galimybę atlikti pagrindines aritmetines operacijas su dvejetainiais skaičiais.

Visos pozicinių skaičių sistemos yra „tos pačios“, būtent visose aritmetinės operacijos atliekamos pagal tas pačias taisykles:

vienas . galioja tie patys aritmetikos dėsniai: komutacinis, asociatyvinis, skirstomasis;

2. sudėjimo, atimties ir daugybos iš stulpelio taisyklės yra teisingos;

3. Aritmetinių operacijų atlikimo taisyklės yra pagrįstos sudėjimo ir daugybos lentelėmis.

Papildymas

Apsvarstykite papildymo pavyzdžius.

Pridedant dviejų skaitmenų stulpelį iš dešinės į kairę dvejetainėje skaičių sistemoje, kaip ir bet kurioje pozicinėje sistemoje, prie kito bito galima pereiti tik vienas.

Dviejų teigiamų skaičių pridėjimo rezultatas turi tiek pat skaitmenų, kiek didžiausias iš dviejų terminų, arba vienu skaitmeniu daugiau, tačiau šis skaitmuo gali būti tik vienas.

1011022+111112=?

1110112+110112=?

Atimtis

Savarankiškas studentų darbas sąsiuvinyje medžiagai įtvirtinti

101101 2 -11111 2 =?

110011 2 -10101 2 =?
Daugyba
Apsvarstykite daugybos pavyzdžius.

Daugybos operacija atliekama naudojant daugybos lentelę pagal įprastą schemą (naudojamą dešimtainėje skaičių sistemoje), nuosekliai dauginant daugiklį iš kito daugiklio skaitmens.
Apsvarstykite daugybos pavyzdžius
Atliekant daugybą 2 pavyzdyje, atitinkamame skaitmenyje pridedami trys vienetai 1+1+1=11, rašomas 1, o kitas vienetas perkeliamas į aukščiausią skaitmenį.
Dvejetainėje skaičių sistemoje daugybos veiksmas sumažinamas iki daugiklio poslinkių ir tarpinių rezultatų pridėjimo.
Padalinys

Dalybos operacija atliekama pagal algoritmą, panašų į padalijimo operacijos algoritmą dešimtainėje skaičių sistemoje.

Apsvarstykite padalijimo pavyzdį

Konsolidavimas (savarankiškas mokinių darbas su kortelėmis atliekamas sąsiuvinyje) / 2 priedas /

Studentams, per trumpą laiką atlikusiems savarankišką darbą, siūloma papildoma užduotis.

5. Namų darbai

2. Išmokti aritmetinių veiksmų atlikimo dvejetainėje skaičių sistemoje taisykles, išmokti sudėties, atimties, daugybos lenteles.

3. Atlikite šiuos veiksmus:

110010+111,01

11110000111-110110001

10101,101*111

6 atspindys

Šiandien pamokoje man informatyviausia buvo...

Nustebau, kad…

Galiu pritaikyti tai, ką šiandien išmokau pamokoje...

7. Pamokos santrauka

Šiandien išmokome atlikti aritmetinius veiksmus dvejetainėje skaičių sistemoje (pamokos įvertinimas).

Skaidrių antraštės:

Pamokos tema: „Aritmetiniai veiksmai pozicinėse skaičių sistemose“ Informatikos mokytoja Marina Valentinovna Fedorčenko SM Berezovskajos vidurinės mokyklos su Berezovka Taišeto raj., Irkutsko sritis Prisiminkime: Kas yra skaičių sistema? Kas yra skaičių sistemos pagrindas? Kas yra dvejetainės skaičių sistemos bazė?skaičiai parašyti su klaidomis ir pagrindžia atsakymą: 1238, 30062, 12AAC0920, 1347610, Kokią minimalią bazę turi turėti skaičių sistema, jei joje galima rašyti skaičius: 10, 21, 201 , 1201 Koks skaitmuo baigiasi lyginiu dvejetainiu skaičiumi?Koks skaitmuo baigiasi nelyginiu dvejetainiu skaičiumi?
Laplasas rašė apie savo požiūrį į didžiojo matematiko Leibnizo dvejetainę (dvejetainę) skaičių sistemą: „Savo dvejetainėje aritmetikoje Leibnicas įžvelgė kūrimo prototipą. Jam atrodė, kad vienas reprezentuoja dieviškąjį pradą, o nulis – nebūtį, o aukštesnė būtybė iš nebūties viską kuria lygiai taip pat, kaip jo sistemoje vienas ir nulis išreiškia visus skaičius. Šie žodžiai pabrėžia abėcėlės, kurią sudaro du simboliai, universalumą. Visos pozicinių skaičių sistemos yra „tos pačios“, ty visose atliekamos aritmetinės operacijos pagal tas pačias taisykles:
galioja tie patys aritmetikos dėsniai: --komutacinis (poslinkis) m + n = n + m m n = n m asociatyvinis (kombinatyvinis) (m + n) + k = m + (n + k) = m + n + k (m n) ) k = m (n k) = m n k paskirstymo (paskirstymo) (m + n) k = m k + n k
galioja sudėties, atimties ir daugybos iš stulpelio taisyklės;
aritmetinių operacijų atlikimo taisyklės pagrįstos sudėjimo ir daugybos lentelėmis.
Sudėtis pozicinėse skaičių sistemose Iš visų pozicinių sistemų dvejetainė skaičių sistema yra ypač paprasta. Apsvarstykite galimybę atlikti pagrindines aritmetines operacijas su dvejetainiais skaičiais. Visos pozicinių skaičių sistemos yra „vienodos“, būtent visose aritmetinės operacijos atliekamos pagal tas pačias taisykles: galioja tos pačios: komutacinės, asociatyvinės, skirstomosios, sudėties, atimties ir daugybos iš stulpelio taisyklės. galioja, aritmetinių operacijų atlikimo taisyklės yra pagrįstos sudėjimo ir daugybos lentelėmis.
Pridedant dviejų skaitmenų stulpelį iš dešinės į kairę dvejetainėje skaičių sistemoje, kaip ir bet kurioje pozicinėje sistemoje, prie kito bito galima pereiti tik vienas. Dviejų teigiamų skaičių pridėjimo rezultatas turi tiek pat skaitmenų, kiek didžiausias iš dviejų terminų, arba vienu skaitmeniu daugiau, tačiau šis skaitmuo gali būti tik vienas. Apsvarstykite pavyzdžius Išspręskite pavyzdžius patys:
1011012 + 111112
1110112 + 110112
1001100
1010110
Atliekant atimties operaciją, iš didesnės absoliučios reikšmės visada atimamas mažesnis skaičius ir ant rezultato dedamas atitinkamas ženklas.
Atimtis Apsvarstykite pavyzdžius Pavyzdžiai:
1011012– 111112
1100112– 101012
1110
11110
Daugyba pozicinėse skaičių sistemose Daugybos operacija atliekama naudojant daugybos lentelę pagal įprastą schemą (naudojama dešimtainėje skaičių sistemoje) nuosekliai dauginant daugiklį iš kito daugiklio skaitmens.. Panagrinėkime daugybos pavyzdžius. Pažiūrėkime į pavyzdžius Pažiūrėkime į padalijimo pavyzdį
Išspręskime pavyzdžius:
11012 1112

111102:1102=
1011011
101
Namų darbai 1.&3.1.22.Išmokti aritmetinių veiksmų atlikimo dvejetainėje sistemoje taisykles, išmokti sudėties, atimties, daugybos lenteles.3. Darykite taip: 110010+111.0111110000111-11011000110101.101*111 Refleksija Šiandien pamokoje man informatyviausia buvo... Nustebau, kad... šiandien įgytas žinias galiu pritaikyti pamokoje...