Kvadratinės lygties pirmaujantis koeficientas. Nebaigtos kvadratinės lygtys

Kvadratinė lygtis – lengva išspręsti! *Toliau tekste „KU“. Draugai, atrodytų, kad matematikoje tai gali būti lengviau nei išspręsti tokią lygtį. Tačiau kažkas man pasakė, kad daugelis žmonių turi problemų su juo. Nusprendžiau pažiūrėti, kiek parodymų „Yandex“ suteikia užklausai per mėnesį. Štai kas atsitiko, pažiūrėkite:

Ką tai reiškia? Tai reiškia, kad per mėnesį ieško apie 70 tūkst Ši informacija, ką su tuo turi bendra ši vasara ir kas nutiks tarp mokslo metai– prašymai bus dvigubai didesni. Tai nenuostabu, nes šios informacijos ieško seniai mokyklą baigę ir egzaminui besiruošiantys vaikinai ir merginos, atgaivinti atmintį stengiasi ir moksleiviai.

Nepaisant to, kad yra daug svetainių, kuriose pasakojama, kaip išspręsti šią lygtį, aš nusprendžiau taip pat prisidėti ir paskelbti medžiagą. Pirma, noriu, kad lankytojai apsilankytų mano svetainėje pagal šį prašymą; antra, kituose straipsniuose, kai pasirodys kalba „KU“, duosiu nuorodą į šį straipsnį; trečia, aš jums papasakosiu šiek tiek daugiau apie jo sprendimą, nei paprastai rašoma kitose svetainėse. Pradėkime! Straipsnio turinys:

Kvadratinė lygtis yra tokios formos lygtis:

kur koeficientai a,bir su savavališkais skaičiais su a≠0.

Mokyklos kurse medžiaga pateikiama tokia forma - lygčių padalijimas į tris klases atliekamas sąlygiškai:

1. Turėkite dvi šaknis.

2. * Turėti tik vieną šaknį.

3. Neturi šaknų. Čia verta paminėti, kad jie neturi tikrų šaknų

Kaip apskaičiuojamos šaknys? Tiesiog!

Apskaičiuojame diskriminantą. Po šiuo „siaubingu“ žodžiu slypi labai paprasta formulė:

Šaknies formulės yra tokios:

*Šias formules reikia žinoti mintinai.

Galite iš karto užsirašyti ir išspręsti:

Pavyzdys:

1. Jei D > 0, tai lygtis turi dvi šaknis.

2. Jei D = 0, tai lygtis turi vieną šaknį.

3. Jei D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Pažiūrėkime į lygtį:

Autorius šia proga kai diskriminantas nulis, mokyklos kursas sako, kad gaunama viena šaknis, čia ji lygi devynioms. Teisingai, taip, bet...

Šis vaizdas yra šiek tiek neteisingas. Tiesą sakant, yra dvi šaknys. Taip, taip, nenustebkite, pasirodo, du lygi šaknis, o kad būtų matematiškai tikslūs, atsakyme reikėtų parašyti dvi šaknis:

x 1 = 3 x 2 = 3

Bet taip yra – mažas nukrypimas. Mokykloje gali užsirašyti ir pasakyti, kad yra tik viena šaknis.

Dabar toks pavyzdys:

Kaip žinome, neigiamo skaičiaus šaknis nėra išgaunama, todėl šiuo atveju sprendimo nėra.

Tai yra visas sprendimų priėmimo procesas.

Kvadratinė funkcija.

Štai kaip sprendimas atrodo geometriškai. Tai nepaprastai svarbu suprasti (ateityje viename iš straipsnių išsamiai išanalizuosime kvadratinės nelygybės sprendimą).

Tai yra formos funkcija:

kur x ir y yra kintamieji

a, b, c - duotus skaičius, kur a ≠ 0

Grafikas yra parabolė:

Tai yra, paaiškėja, kad išsprendę kvadratinę lygtį, kurioje "y" lygi nuliui, randame parabolės susikirtimo taškus su x ašimi. Šių taškų gali būti du (diskriminantas yra teigiamas), vienas (diskriminantas yra nulis) arba nė vieno (diskriminantas yra neigiamas). Išsami informacija apie kvadratinė funkcija Galite peržiūrėti Innos Feldman straipsnis.

Apsvarstykite pavyzdžius:

1 pavyzdys: nuspręskite 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Atsakymas: x 1 = 8 x 2 = -12

* Galite iš karto padalyti kairę ir dešinę lygties puses iš 2, tai yra, supaprastinti. Skaičiavimai bus lengvesni.

2 pavyzdys: Išspręsti x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac = (–22) 2 –4, 1, 121 = 484–484 = 0

Gavome x 1 \u003d 11 ir x 2 \u003d 11

Atsakyme leidžiama rašyti x = 11.

Atsakymas: x = 11

3 pavyzdys: Išspręsti x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 -4ac = (-8) 2 -4, 1, 72 = 64 - 288 = -224

Diskriminantas yra neigiamas, realiaisiais skaičiais sprendimo nėra.

Atsakymas: nėra sprendimo

Diskriminantas yra neigiamas. Yra sprendimas!

Čia kalbėsime apie lygties sprendimą tuo atveju, kai gaunamas neigiamas diskriminantas. Ar žinote ką nors apie kompleksinius skaičius? Čia nenagrinėsiu, kodėl ir kur jie atsirado ir koks jų konkretus vaidmuo ir būtinybė matematikoje, tai yra didelio atskiro straipsnio tema.

Kompleksinio skaičiaus samprata.

Šiek tiek teorijos.

Kompleksinis skaičius z yra formos skaičius

z = a + bi

kur yra a ir b realūs skaičiai, i yra vadinamasis įsivaizduojamas vienetas.

a+bi yra VIENAS SKAIČIUS, o ne priedas.

Įsivaizduojamas vienetas yra lygus minus vieneto šaknei:

Dabar apsvarstykite lygtį:

Gaukite dvi konjuguotas šaknis.

Nebaigta kvadratinė lygtis.

Apsvarstykite specialius atvejus, kai koeficientas "b" arba "c" yra lygus nuliui (arba abu yra lygūs nuliui). Jie lengvai išsprendžiami be jokių diskriminavimo priemonių.

1 atvejis. Koeficientas b = 0.

Lygtis įgauna tokią formą:

Transformuokime:

Pavyzdys:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

2 atvejis. Koeficientas c = 0.

Lygtis įgauna tokią formą:

Transformuoti, koeficientuoti:

* Produktas yra lygus nuliui, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui.

Pavyzdys:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x-5) =0 => x = 0 arba x-5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

3 atvejis. Koeficientai b = 0 ir c = 0.

Čia aišku, kad lygties sprendimas visada bus x = 0.

Naudingos koeficientų savybės ir modeliai.

Yra savybių, kurios leidžia išspręsti lygtis su dideliais koeficientais.

betx 2 + bx+ c=0 lygybė

a + b+ c = 0, tada

— jei lygties koeficientams betx 2 + bx+ c=0 lygybė

a+ su =b, tada

Šios savybės padeda išspręsti tam tikros rūšies lygtį.

1 pavyzdys: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Koeficientų suma yra 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, taigi

2 pavyzdys: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Lygybė a+ su =b, reiškia

Koeficientų dėsningumai.

1. Jei lygtyje ax 2 + bx + c \u003d 0 koeficientas "b" yra (a 2 +1), o koeficientas "c" yra skaitine prasme lygus koeficientui "a", tada jo šaknys yra

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Jei lygtyje ax 2 - bx + c \u003d 0, koeficientas "b" yra (a 2 +1), o koeficientas "c" yra skaitine prasme lygus koeficientui "a", tada jo šaknys yra

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Jei lygtyje ax 2 + bx - c = 0 koeficientas "b" lygus (a 2 – 1), o koeficientas „c“ skaičiais lygus koeficientui "a", tada jo šaknys lygios

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Jei lygtyje ax 2 - bx - c \u003d 0, koeficientas "b" yra lygus (a 2 - 1), o koeficientas c yra skaitine prasme lygus koeficientui "a", tada jo šaknys yra

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Vietos teorema.

Vietos teorema pavadinta garsaus prancūzų matematiko Francois Vieta vardu. Naudojant Vietos teoremą, galima išreikšti savavališko KU šaknų sumą ir sandaugą jo koeficientais.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Apibendrinant, skaičius 14 duoda tik 5 ir 9. Tai yra šaknys. Turėdami tam tikrų įgūdžių, naudodami pateiktą teoremą, galite iškart žodžiu išspręsti daugybę kvadratinių lygčių.

Vietos teorema, be to. patogu, nes įprastu būdu (per diskriminantą) išsprendus kvadratinę lygtį galima patikrinti gautas šaknis. Aš rekomenduoju tai daryti visą laiką.

PERDAVIMO METODAS

Šiuo metodu koeficientas "a" dauginamas iš laisvojo termino, tarsi "perkeliamas" į jį, todėl jis vadinamas perdavimo būdas.Šis metodas naudojamas, kai lengva rasti lygties šaknis naudojant Vietos teoremą ir, svarbiausia, kai diskriminantas yra tikslus kvadratas.

Jeigu bet± b+c≠ 0, tada naudojama perdavimo technika, pavyzdžiui:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Pagal Vieta teoremą (2) lygtyje nesunku nustatyti, kad x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Gautas lygties šaknis reikia padalyti iš 2 (kadangi du buvo „išmesti“ iš x 2), gauname

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Koks yra loginis pagrindas? Pažiūrėkite, kas vyksta.

(1) ir (2) lygčių diskriminantai yra šie:

Jei pažvelgsite į lygčių šaknis, gaunami tik skirtingi vardikliai, o rezultatas tiksliai priklauso nuo koeficiento x 2:

Antrosios (modifikuotos) šaknys yra 2 kartus didesnės.

Todėl rezultatą padalijame iš 2.

*Jei ridename tris vienodus, tai rezultatą dalijame iš 3 ir t.t.

Atsakymas: x 1 = 5 x 2 = 0,5

kv. ur-ie ir egzaminas.

Apie jo svarbą pasakysiu trumpai - TURĖKITE GEBĖTI SPRENDIMS greitai ir negalvodami, reikia mintinai žinoti šaknų ir diskriminanto formules. Daugelis užduočių, kurios yra USE užduočių dalis, yra susijusios su kvadratinės lygties (įskaitant geometrines) sprendimu.

Į ką verta atkreipti dėmesį!

1. Lygties forma gali būti „numanoma“. Pavyzdžiui, galimas toks įrašas:

15+ 9x 2 - 45x = 0 arba 15x + 42 + 9x 2 - 45x = 0 arba 15 -5x + 10x 2 = 0.

Turite jį pateikti į standartinę formą (kad nesusipainiotumėte sprendžiant).

2. Atsiminkite, kad x yra nežinoma reikšmė ir ji gali būti žymima bet kuria kita raide – t, q, p, h ir kt.

Nepilna kvadratinė lygtis skiriasi nuo klasikinių (visiškų) lygčių tuo, kad jos faktoriai arba laisvasis narys yra lygus nuliui. Tokių funkcijų grafikas yra parabolės. Pagal bendrą išvaizdą jie skirstomi į 3 grupes. Visų tipų lygčių sprendimo principai yra vienodi.

Nėra nieko sudėtingo nustatyti nepilno daugianario tipą. Geriausia atsižvelgti į pagrindinius iliustruojančių pavyzdžių skirtumus:

Jei b = 0, tada lygtis yra ax 2 + c = 0.
Jei c = 0, tuomet reikia išspręsti išraišką ax 2 + bx = 0.
Jei b = 0 ir c = 0, tai polinomas tampa ax 2 = 0 tipo lygybe.

Paskutinis atvejis yra labiau teorinė galimybė ir niekada nepasitaiko žinių testuose, nes vienintelė tikroji kintamojo x reikšmė išraiškoje yra nulis. Ateityje bus svarstomi nebaigtų uždavinių sprendimo būdai ir pavyzdžiai. kvadratines lygtis 1) ir 2) rūšys.

Bendras kintamųjų ir sprendimų paieškos algoritmas

Nepriklausomai nuo lygties tipo, sprendimo algoritmas sumažinamas iki šių žingsnių:

Perkelkite išraišką į formą, patogią rasti šaknis.
Atlikite skaičiavimus.
Užsirašykite atsakymą.

Neišsamias lygtis lengviausia išspręsti kairėje pusėje, o dešinėje paliekant nulį. Taigi, neišsamios kvadratinės lygties, skirtos šaknims rasti, formulė sumažinama iki x vertės apskaičiavimo kiekvienam veiksniui.

Galite išmokti išspręsti problemą tik praktiškai, todėl apsvarstykite konkretus pavyzdys nebaigtos lygties šaknų radimas:

Kaip matote, šiuo atveju b = 0. Kairiąją pusę suskaidome faktoriais ir gauname išraišką:

4 (x – 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.

Akivaizdu, kad sandauga yra lygi nuliui, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Panašius reikalavimus atitinka kintamojo x1 = 0,5 ir (arba) x2 = -0,5 reikšmės.

Norint lengvai ir greitai susidoroti su skilimo užduotimi kvadratinis trinaris daugikliai, turėtumėte atsiminti šią formulę:

Jei posakyje nėra laisvo termino, užduotis labai supaprastinama. Užteks tik surasti ir išimti bendrą vardiklį. Aiškumo dėlei apsvarstykite pavyzdį, kaip išspręsti nepilnas kvadratines lygtis, kurių forma yra ax2 + bx = 0.

Išimkime kintamąjį x iš skliaustų ir gaukime tokią išraišką:

x ⋅ (x + 3) = 0.

Remdamiesi logika, darome išvadą, kad x1 = 0 ir x2 = -3.

Tradicinis ir nepilnų kvadratinių lygčių sprendimo būdas

Kas atsitiks, jei pritaikysime diskriminantinę formulę ir bandysime rasti daugianario šaknis, kurių koeficientai lygūs nuliui? Paimkime pavyzdį iš 2017 m. Vieningo valstybinio matematikos egzamino tipinių užduočių rinkinio, jį spręsime naudodami standartines formules ir faktorizavimo metodą.

7x 2 - 3x = 0.

Apskaičiuokite diskriminanto reikšmę: D = (-3)2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Pasirodo, daugianaris turi dvi šaknis:

Dabar išspręskite lygtį faktoringo pagalba ir palyginkite rezultatus.

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x=-3,
x = -.

Kaip matote, abu metodai duoda tą patį rezultatą, tačiau antrasis būdas išspręsti lygtį pasirodė esąs daug lengvesnis ir greitesnis.

Vietos teorema

Bet ką daryti su mylima Vieta teorema? Ar šis metodas gali būti taikomas su nepilnu trinaliu? Pabandykime suprasti nepilnų lygčių redukavimo į klasikinę formą ax2 + bx + c = 0 aspektus.

Tiesą sakant, šiuo atveju galima pritaikyti Vietos teoremą. Tereikia išraišką perkelti į bendrą formą, trūkstamus terminus pakeičiant nuliu.

Pavyzdžiui, kai b = 0 ir a = 1, siekiant išvengti painiavos, užduotį reikia parašyti tokia forma: ax2 + 0 + c = 0. Tada šaknų sumos ir sandaugos santykis ir daugianario veiksnius galima išreikšti taip:

Teoriniai skaičiavimai padeda susipažinti su klausimo esme, o sprendžiant visada reikalauja įgūdžių tobulinimo konkrečias užduotis. Dar kartą atsiverskime tipiškų egzamino užduočių žinyną ir raskime tinkamą pavyzdį:

Rašome išraišką tokia forma, kuri patogi Vieta teoremai taikyti:

x2 + 0 - 16 = 0.

Kitas žingsnis yra sukurti sąlygų sistemą:

Akivaizdu, kad kvadratinio daugianario šaknys bus x 1 \u003d 4 ir x 2 \u003d -4.

Dabar pabandykime pateikti lygtį į bendrą formą. Paimkite tokį pavyzdį: 1/4× x 2 – 1 = 0

Norint pritaikyti Vieta teoremą išraiškai, reikia atsikratyti trupmenos. Padauginkite kairę ir dešinę puses iš 4 ir pažiūrėkite į rezultatą: x2 - 4 = 0. Gauta lygybė yra paruošta išspręsti Vietos teorema, tačiau daug lengviau ir greičiau gauti atsakymą tiesiog perkeliant c = 4 dešinėje lygties pusėje: x2 = 4.

Apibendrinant reikėtų pasakyti, kad geriausias būdas nepilnų lygčių sprendimas yra faktorizavimas, yra paprasčiausias ir greitas metodas. Jei kyla sunkumų ieškant šaknų, galite kreiptis į tradicinį šaknų paieškos metodą per diskriminantą.

Kvadratinė lygtis yra a*x^2 +b*x+c=0 formos lygtis, kur a,b,c yra kai kurie savavališki tikrieji (realieji) skaičiai, o x yra kintamasis. Ir skaičius a nėra lygus 0.

Skaičiai a,b,c vadinami koeficientais. Skaičius a - vadinamas pirmaujančiu koeficientu, skaičius b yra koeficientas ties x, o skaičius c vadinamas laisvuoju nariu. Kai kuriose literatūrose aptinkami ir kiti pavadinimai. Skaičius a vadinamas pirmuoju koeficientu, o skaičius b vadinamas antruoju.

Kvadratinių lygčių klasifikacija

Kvadratinės lygtys turi savo klasifikaciją.

Pagal koeficientų buvimą:

1. Pilnas

2. Nebaigta

Pagal aukščiausio laipsnio nežinomybės koeficiento vertę(pagal pirmaujančio koeficiento vertę):

1. Duota

2. Nesumažintas

Kvadratinė lygtis vadinamas užbaigtu jei jame yra visi trys koeficientai ir jie nėra lygūs nuliui. Bendra forma visa kvadratinė lygtis: a*x^2 +b*x+c=0;

Kvadratinė lygtis vadinamas nepilnu jei lygtyje a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 vienas iš koeficientų b arba c yra lygus nuliui (b \u003d 0 arba c \u003d 0), tačiau neišsami kvadratinė lygtis taip pat bus lygtis, kurioje ir koeficientas b, ir koeficientas c vienu metu yra lygūs nuliui (ir b=0, ir c=0).

Verta paminėti, kad čia nieko nesakoma apie pagrindinį koeficientą, nes pagal kvadratinės lygties apibrėžimą jis turi skirtis nuo nulio.

duota jei jo pirmaujantis koeficientas lygus vienam(a=1). Bendras duotosios kvadratinės lygties vaizdas: x^2 +d*x+e=0.

Kvadratinė lygtis vadinama nesumažintas, jei pirmaujantis lygties koeficientas yra ne nulis. Bendras neredukuotos kvadratinės lygties vaizdas: a*x^2 +b*x+c=0.

Reikėtų pažymėti, kad bet kuri nesumažinta kvadratinė lygtis gali būti sumažinta iki redukuotos. Norėdami tai padaryti, kvadratinės lygties koeficientus reikia padalyti iš pirmaujančio koeficiento.

Kvadratiniai pavyzdžiai

Apsvarstykite pavyzdį: turime lygtį 2*x^2 - 6*x+7 =0;

Paverskime jį į aukščiau pateiktą lygtį. Pirmaujantis koeficientas yra 2. Iš jo padalinkime savo lygties koeficientus ir užrašykime atsakymą.

x^2 – 3*x+3,5 =0;

Kaip pastebėjote, dešinėje kvadratinės lygties pusėje yra antrojo laipsnio a * x ^ 2 + b * x + c daugianomas. Jis taip pat vadinamas kvadratiniu trinamiu.

Ši tema iš pradžių gali pasirodyti sudėtinga dėl daugybės ne tokių paprastų formulių. Ne tik pačios kvadratinės lygtys turi ilgus įrašus, bet ir šaknys randamos per diskriminantą. Iš viso yra trys naujos formulės. Nelabai lengva prisiminti. Tai įmanoma tik dažnai sprendžiant tokias lygtis. Tada visos formulės įsimins pačios.

Bendras kvadratinės lygties vaizdas

Čia siūlomas jų aiškus žymėjimas, kai pirmiausia rašomas didžiausias laipsnis, o po to - mažėjančia tvarka. Dažnai pasitaiko situacijų, kai terminai skiriasi. Tada geriau perrašyti lygtį kintamojo laipsnio mažėjimo tvarka.

Pristatykime žymėjimą. Jie pateikiami toliau esančioje lentelėje.

Jei priimsime šiuos žymėjimus, visos kvadratinės lygtys bus sumažintos iki tokio žymėjimo.

Be to, koeficientas a ≠ 0. Ši formulė žymima skaičiumi vienu.

Pateikus lygtį neaišku, kiek šaknų bus atsakyme. Kadangi visada galimas vienas iš trijų variantų:

tirpalas turės dvi šaknis;
atsakymas bus vienas skaičius;
Lygtis iš viso neturi šaknų.

Ir nors sprendimas neprieinamas iki galo, sunku suprasti, kuris iš variantų konkrečiu atveju iškris.

Kvadratinių lygčių įrašų tipai

Užduotys gali turėti skirtingus įrašus. Jie ne visada atrodo kaip bendroji formulė kvadratinė lygtis. Kartais pritrūks kai kurių terminų. Tai, kas buvo parašyta aukščiau, yra pilna lygtis. Jei pašalinsite antrą ar trečią terminą, gausite kažką kito. Šie įrašai dar vadinami kvadratinėmis lygtimis, tik nepilnais.

Be to, gali išnykti tik tie terminai, kurių koeficientai „b“ ir „c“. Skaičius „a“ jokiomis aplinkybėmis negali būti lygus nuliui. Nes tokiu atveju formulė virsta tiesine lygtimi. Neišsamios lygčių formos formulės bus tokios:

Taigi, yra tik dviejų tipų, be pilnųjų, yra ir nepilnų kvadratinių lygčių. Tegul pirmoji formulė yra numeris du, o antroji - trys.

Diskriminantas ir šaknų skaičiaus priklausomybė nuo jo vertės

Šis skaičius turi būti žinomas, kad būtų galima apskaičiuoti lygties šaknis. Jį visada galima apskaičiuoti, nesvarbu, kokia būtų kvadratinės lygties formulė. Norėdami apskaičiuoti diskriminantą, turite naudoti žemiau parašytą lygybę, kuri turės skaičių keturi.

Pakeitę koeficientų reikšmes į šią formulę, galite gauti skaičius skirtingi ženklai. Jei atsakymas yra taip, tada lygties atsakymas bus dvi skirtingos šaknys. Esant neigiamam skaičiui, kvadratinės lygties šaknų nebus. Jei jis lygus nuliui, atsakymas bus vienas.

Kaip išsprendžiama visa kvadratinė lygtis?

Tiesą sakant, šis klausimas jau pradėtas svarstyti. Nes pirmiausia reikia rasti diskriminantą. Išaiškinus, kad yra kvadratinės lygties šaknys ir žinomas jų skaičius, reikia naudoti kintamųjų formules. Jei yra dvi šaknys, tuomet reikia taikyti tokią formulę.

Kadangi jame yra ženklas „±“, bus dvi reikšmės. Pasirašyta išraiška kvadratinė šaknis yra diskriminantas. Todėl formulę galima perrašyti kitaip.

Formulė penkta. Iš to paties įrašo matyti, kad jei diskriminantas yra nulis, tada abi šaknys įgis tokias pačias reikšmes.

Jei kvadratinių lygčių sprendimas dar nėra parengtas, tada prieš taikant diskriminacines ir kintamąsias formules geriau užsirašyti visų koeficientų reikšmes. Vėliau šis momentas nesukels sunkumų. Tačiau pačioje pradžioje kyla painiava.

Kaip sprendžiama nepilna kvadratinė lygtis?

Čia viskas daug paprasčiau. Net nereikia papildomų formulių. Ir nereikės tų, kurie jau parašyti diskriminantui ir nežinomam.

Pirmiausia apsvarstykite nepilna lygtis antroje vietoje. Šioje lygybėje iš skliaustų išimama nežinoma reikšmė ir išspręsta tiesinė lygtis, kuri liks skliausteliuose. Atsakymas turės dvi šaknis. Pirmasis būtinai lygus nuliui, nes yra faktorius, susidedantis iš paties kintamojo. Antrasis gaunamas sprendžiant tiesinę lygtį.

Nebaigta lygtis, esanti skaičiumi trys, išspręsta perkeliant skaičių iš kairės lygties pusės į dešinę. Tada reikia padalyti iš koeficiento prieš nežinomąjį. Belieka tik ištraukti kvadratinę šaknį ir nepamiršti jos užsirašyti du kartus priešingais ženklais.

Toliau pateikiami keli veiksmai, padedantys išmokti išspręsti visų rūšių lygybes, kurios virsta kvadratinėmis lygtimis. Jie padės mokiniui išvengti klaidų dėl neatidumo. Šie trūkumai yra prastų pažymių priežastis studijuojant plačią temą „Kvadratinės lygtys (8 klasė)“. Vėliau šių veiksmų nereikės nuolat atlikti. Nes bus stabilus įprotis.

Pirmiausia turite parašyti lygtį standartine forma. Tai yra, pirmiausia terminas su didžiausiu kintamojo laipsniu, o tada - be laipsnio, o paskutinis - tik skaičius.

Jei prieš koeficientą „a“ atsiranda minusas, tai gali apsunkinti pradedančiajam studijuoti kvadratines lygtis. Geriau jo atsikratyti. Šiuo tikslu visa lygybė turi būti padauginta iš „-1“. Tai reiškia, kad visi terminai pakeis ženklą į priešingą.

Lygiai taip pat rekomenduojama atsikratyti frakcijų. Tiesiog padauginkite lygtį iš atitinkamo koeficiento, kad vardikliai panaikintų.

Pavyzdžiai

Būtina išspręsti šias kvadratines lygtis:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

Pirmoji lygtis: x 2 - 7x \u003d 0. Ji neišsami, todėl išspręsta taip, kaip aprašyta formulėje numeris antroji.

Po skliaustų pasirodo: x (x - 7) \u003d 0.

Pirmoji šaknis įgauna reikšmę: x 1 = 0. Antroji bus rasta iš tiesinė lygtis: x - 7 = 0. Nesunku pastebėti, kad x 2 = 7.

Antroji lygtis: 5x2 + 30 = 0. Vėlgi nepilna. Tik ji išspręsta taip, kaip aprašyta trečiojoje formulėje.

Perkėlus 30 į dešinę lygties pusę: 5x 2 = 30. Dabar reikia padalyti iš 5. Pasirodo: x 2 = 6. Atsakymai bus skaičiai: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Trečioji lygtis: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Čia ir žemiau kvadratinių lygčių sprendimas prasidės jas perrašant standartinis vaizdas: - x 2 - 2x + 15 = 0. Dabar laikas naudoti antrą naudingų patarimų ir viską padauginkite iš minus vieno. Pasirodo x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Pagal ketvirtąją formulę reikia apskaičiuoti diskriminantą: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Tai yra teigiamas skaičius. Iš to, kas pasakyta aukščiau, paaiškėja, kad lygtis turi dvi šaknis. Juos reikia skaičiuoti pagal penktąją formulę. Pagal jį paaiškėja, kad x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Tada x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Ketvirtoji lygtis x 2 + 8 + 3x \u003d 0 paverčiama taip: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Jos diskriminantas yra lygus šiai reikšmei: -23. Kadangi šis skaičius yra neigiamas, atsakymas į šią užduotį bus toks: „Šaknų nėra“.

Penktąją lygtį 12x + x 2 + 36 = 0 reikia perrašyti taip: x 2 + 12x + 36 = 0. Pritaikius diskriminanto formulę, gaunamas skaičius nulis. Tai reiškia, kad jis turės vieną šaknį, būtent: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Šeštoji lygtis (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) reikalauja transformacijų, kurios susideda iš to, kad prieš atidarant skliaustus reikia pateikti panašius terminus. Vietoj pirmojo bus tokia išraiška: x 2 + 2x + 1. Po lygybės pasirodys šis įrašas: x 2 + 3x + 2. Suskaičiavus panašius narius, lygtis bus tokia forma: x 2 - x \u003d 0. Jis tapo neužbaigtas . Panašus į jį jau buvo laikomas šiek tiek didesnis. To šaknys bus skaičiai 0 ir 1.

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 arba x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Išmokęs spręsti pirmojo laipsnio lygtis, žinoma, noriu dirbti su kitais, ypač su antrojo laipsnio lygtimis, kurios kitaip vadinamos kvadratinėmis.

Kvadratinės lygtys yra ax² + bx + c = 0 tipo lygtys, kur kintamasis yra x, skaičiai bus - a, b, c, kur a nėra lygus nuliui.

Jei kvadratinėje lygtyje vienas ar kitas koeficientas (c arba b) yra lygus nuliui, tai ši lygtis reiškia nepilną kvadratinę lygtį.

Kaip išspręsti nepilną kvadratinę lygtį, jei studentai iki šiol sugebėjo išspręsti tik pirmojo laipsnio lygtis? Apsvarstykite nepilnas kvadratines lygtis skirtingi tipai Ir paprastus būdus jų sprendimus.

a) Jei koeficientas c lygus 0, o koeficientas b nelygus nuliui, tada ax ² + bx + 0 = 0 redukuojama į ax ² + bx = 0 formos lygtį.

Norint išspręsti tokią lygtį, reikia žinoti nepilnos kvadratinės lygties sprendimo formulę, kurią sudaro kairiosios jos pusės išskaidymas į veiksnius ir vėliau panaudojant sąlygą, kad sandauga lygi nuliui.

Pavyzdžiui, 5x ² - 20x \u003d 0. Kairiąją lygties pusę išskaidome į veiksnius, atlikdami įprastą matematinis veiksmas: bendro koeficiento išėmimas iš skliaustų

5x (x - 4) = 0

Mes naudojame sąlygą, kad produktai yra lygūs nuliui.

5 x = 0 arba x - 4 = 0

Atsakymas bus toks: pirmoji šaknis yra 0; antroji šaknis yra 4.

b) Jei b \u003d 0, o laisvasis narys nėra lygus nuliui, tada lygtis ax ² + 0x + c \u003d 0 redukuojama į lygtį, kurios forma yra ax ² + c \u003d 0. Išspręskite lygtis dviese. būdai: a) kairėje pusėje esančios lygties daugianario išskaidymas į veiksnius ; b) naudojant aritmetinės kvadratinės šaknies savybes. Tokia lygtis išspręsta vienu iš būdų, pavyzdžiui:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Atsakymas yra toks: pirmoji šaknis yra 5/2; antroji šaknis yra - 5/2.

c) Jei b lygus 0, o c lygus 0, tai ax² + 0 + 0 = 0 redukuojasi iki lygties, kurios formos ax² = 0. Tokioje lygtyje x bus lygus 0.

Kaip matote, nepilnos kvadratinės lygtys gali turėti ne daugiau kaip dvi šaknis.