Raskite kampą tarp tiesioginių lygčių. Kampas tarp eilučių

Apibrėžimas. Jei dvi tiesės pateiktos y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , smailusis kampas tarp šių linijų bus apibrėžtas kaip

Dvi tiesės lygiagrečios, jei k 1 = k 2 . Dvi tiesės yra statmenos, jei k 1 = -1/ k 2 .

Teorema. Tiesės Ax + Vy + C \u003d 0 ir A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 yra lygiagrečios, kai koeficientai A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB yra proporcingi. Jei taip pat С 1 = λС, tai linijos sutampa. Dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės randamos kaip šių tiesių lygčių sistemos sprendimas.

Tiesės, einančios per nurodytą tašką, lygtis

Statmenai šiai linijai

Apibrėžimas. Tiesė, einanti per tašką M 1 (x 1, y 1) ir statmena tiesei y \u003d kx + b, pavaizduota lygtimi:

Atstumas nuo taško iki linijos

Teorema. Jei nurodytas taškas M(x 0, y 0), tada atstumas iki linijos Ax + Vy + C \u003d 0 apibrėžiamas kaip

Įrodymas. Tegul taškas M 1 (x 1, y 1) yra statmens, nuleistos iš taško M į duotąją tiesę, pagrindas. Tada atstumas tarp taškų M ir M 1:

(1)

Koordinates x 1 ir y 1 galima rasti kaip lygčių sistemos sprendimą:

Antroji sistemos lygtis yra tiesės, einančios per tam tikrą tašką M 0, statmeną tam tikrai tiesei, lygtis. Jei paversime pirmąją sistemos lygtį į formą:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + pagal 0 + C = 0,

tada išspręsdami gauname:

Pakeitę šias išraiškas į (1) lygtį, randame:

Teorema įrodyta.

Pavyzdys. Nustatykite kampą tarp tiesių: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Pavyzdys. Parodykite, kad tiesės 3x - 5y + 7 = 0 ir 10x + 6y - 3 = 0 yra statmenos.

Sprendimas. Randame: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, todėl linijos yra statmenos.

Pavyzdys. Pateikiamos trikampio A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) viršūnės. Raskite aukščio lygtį, nubrėžtą iš viršūnės C.

Sprendimas. Randame kraštinės AB lygtį: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3m + 3 = 0;

Norima aukščio lygtis yra tokia: Ax + By + C = 0 arba y = kx + b. k = . Tada y = . Nes aukštis eina per tašką C, tada jo koordinatės tenkina šią lygtį: iš kur b = 17. Iš viso: .

Atsakymas: 3x + 2m - 34 = 0.

Tiesės, einančios per tam tikrą tašką tam tikra kryptimi, lygtis. Tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtis. Kampas tarp dviejų linijų. Dviejų tiesių lygiagretumo ir statmenumo sąlyga. Dviejų tiesių susikirtimo taško nustatymas

1. Tiesės, einančios per nurodytą tašką, lygtis A(x 1 , y 1) tam tikra kryptimi, nulemta nuolydžio k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ši lygtis apibrėžia linijų, einančių per tašką, pieštuką A(x 1 , y 1), kuris vadinamas spindulio centru.

2. Tiesios linijos, einančios per du taškus, lygtis: A(x 1 , y 1) ir B(x 2 , y 2) parašyta taip:

Tiesės, einančios per du duotus taškus, nuolydis nustatomas pagal formulę

3. Kampas tarp tiesių linijų A ir B yra kampas, kuriuo turi būti pasukta pirmoji tiesi linija A aplink šių linijų susikirtimo tašką prieš laikrodžio rodyklę, kol jis sutampa su antrąja linija B. Jei dvi tiesės pateiktos nuolydžio lygtimis

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

tada kampas tarp jų nustatomas pagal formulę

Reikia pažymėti, kad trupmenos skaitiklyje pirmosios tiesės nuolydis atimamas iš antrosios tiesės nuolydžio.

Jei tiesės lygtys pateiktos bendras vaizdas

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

kampas tarp jų nustatomas pagal formulę

4. Dviejų linijų lygiagretumo sąlygos:

a) Jei tiesės pateiktos lygtimis (4) su nuolydžiu, tai būtina ir pakankama jų lygiagretumo sąlyga yra jų nuolydžių lygybė:

k 1 = k 2 . (8)

b) Tuo atveju, kai tiesės pateiktos bendrosios formos (6) lygtimis, būtina ir pakankama jų lygiagretumo sąlyga yra ta, kad koeficientai atitinkamose srovės koordinatėse jų lygtyse yra proporcingi, t.y.

5. Dviejų linijų statmenumo sąlygos:

a) Tuo atveju, kai tiesės pateiktos lygtimis (4) su nuolydžiu, būtina ir pakankama jų statmenumo sąlyga yra ta, kad jos nuolydžio veiksniai yra abipusio dydžio ir priešingos ženklo, t.y.

Šią sąlygą taip pat galima įrašyti formoje

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Jei tiesių lygtys pateiktos bendra forma (6), tai jų statmenumo sąlyga (būtina ir pakankama) yra įvykdyti lygybę

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės randamos sprendžiant (6) lygčių sistemą. Linijos (6) susikerta tada ir tik tada

1. Parašykite lygtis tiesių, einančių per tašką M, kurių viena lygiagreti, o kita statmena duotajai tiesei l.

kampas tarp tiesių erdvėje vadinsime bet kurį iš gretimų kampų, sudarytų iš dviejų tiesių, nubrėžtų per savavališką tašką, lygiagrečią duomenims.

Tegu erdvėje nurodytos dvi tiesės:

Akivaizdu, kad kampas φ tarp linijų gali būti laikomas kampu tarp jų krypties vektorių ir . Kadangi , tada pagal kampo tarp vektorių kosinuso formulę gauname

Dviejų tiesių lygiagretumo ir statmenumo sąlygos yra lygiavertės jų krypties vektorių lygiagretumo ir statmenumo sąlygoms ir:

Du tiesiai yra lygiagrečios tada ir tik tada, kai atitinkami jų koeficientai yra proporcingi, t.y. l 1 paralelė l 2 tada ir tik lygiagrečiai .

Du tiesiai statmenai tada ir tik tada, kai atitinkamų koeficientų sandaugų suma lygi nuliui: .

At tikslas tarp linijos ir plokštumos

Tegul linija d- nestatmena plokštumai θ;
d′− tiesės projekcija dį plokštumą θ;
Mažiausias iš kampų tarp tiesių d ir d“, mes paskambinsime kampas tarp linijos ir plokštumos.
Pažymėkime kaip φ=( d,θ)
Jeigu d⊥θ , tada ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→− stačiakampė koordinačių sistema.
Plokštumos lygtis:

θ: Ax+Autorius+cz+D=0

Manome, kad tiesė yra nurodyta tašku ir krypties vektoriumi: d[M 0,p→]
Vektorius n→(A,B,C)⊥θ
Tada belieka išsiaiškinti kampą tarp vektorių n→ ir p→ pažymėkite kaip γ=( n→,p→).

Jei kampas γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Jei kampas γ>π/2 , tai reikalingas kampas φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Tada kampas tarp linijos ir plokštumos galima apskaičiuoti pagal formulę:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+bp 2+cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23

29 klausimas. Kvadratinės formos samprata. Kvadratinių formų ženklas-apibrėžtumas.

Kvadratinė forma j (x 1, x 2, ..., x n) n realių kintamųjų x 1, x 2, ..., x n vadinama formos suma
, (1)

kur aij Kai kurie skaičiai vadinami koeficientais. Neprarasdami bendrumo galime manyti, kad aij = a ji.

Kvadratinė forma vadinama galiojantis, jeigu aij О GR. Kvadratinės formos matrica vadinama matrica, sudaryta iš jos koeficientų. Kvadratinė forma (1) atitinka unikalią simetrinę matricą
t.y. A T = A. Todėl kvadratinė forma (1) gali būti įrašyta matricos forma j ( X) = x T Ah, kur x T = (X 1 X 2 … x n). (2)

Ir atvirkščiai, bet kuri simetrinė matrica (2) atitinka unikalią kvadratinę formą iki kintamųjų žymėjimo.

Kvadratinės formos rangas vadinamas jos matricos rangu. Kvadratinė forma vadinama neišsigimęs, jei jo matrica yra ne vienaskaita BET. (prisiminkime, kad matrica BET vadinamas neišsigimusiu, jei jo determinantas nėra nulis). Priešingu atveju kvadratinė forma yra išsigimusi.

teigiamas apibrėžtas(arba griežtai teigiamas), jei

j ( X) > 0 , bet kam X = (X 1 , X 2 , …, x n), Be to X = (0, 0, …, 0).

Matrica BET teigiama apibrėžtoji kvadratinė forma j ( X) taip pat vadinamas teigiamu apibrėžtuoju. Todėl teigiama apibrėžtoji kvadratinė forma atitinka unikalią teigiamą apibrėžtąją matricą ir atvirkščiai.

Kvadratinė forma (1) vadinama neigiamas apibrėžtas(arba griežtai neigiamas), jei

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), be to X = (0, 0, …, 0).

Panašiai kaip ir aukščiau, neigiama apibrėžtoji kvadratinė matrica taip pat vadinama neigiama apibrėžta.

Todėl teigiamai (neigiamai) apibrėžta kvadratinė forma j ( X) pasiekia mažiausią (maksimalų) reikšmę j ( X*) = 0 už X* = (0, 0, …, 0).

Atkreipkite dėmesį, kad dauguma kvadratinių formų nėra apibrėžtos, tai yra, jos nėra nei teigiamos, nei neigiamos. Tokios kvadratinės formos išnyksta ne tik koordinačių sistemos pradžioje, bet ir kituose taškuose.

Kada n> 2, kvadratinės formos ženklo apibrėžtumui patikrinti reikalingi specialūs kriterijai. Apsvarstykime juos.

Didieji nepilnamečiai kvadratinės formos vadinamos nepilnamečiais:

tai yra 1, 2, … nepilnamečiai, n matricos BET esantis kairėje viršutiniame kampe, paskutinis iš jų sutampa su matricos determinantu BET.

Teigiamo apibrėžtumo kriterijus (Sylvesterio kriterijus)

X) = x T Ah yra teigiamas apibrėžtas, būtina ir pakanka, kad visi pagrindiniai matricos nepilnamečiai BET buvo teigiami, tai yra: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Neigiamo tikrumo kriterijus Kad kvadratinė forma j ( X) = x T Ah yra neigiamas apibrėžtis, būtina ir pakanka, kad jo pagrindiniai porinės eilės nepilnamečiai būtų teigiami, o nelyginės – neigiami, t. M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

KAMPAS TARP PLOKTUMU

Panagrinėkime dvi plokštumas α 1 ir α 2, atitinkamai gautas pagal lygtis:

Pagal kampas tarp dviejų plokštumų suprasime vieną iš dvikampiai kampai kurias sudaro šios plokštumos. Akivaizdu, kad kampas tarp normaliųjų vektorių ir plokštumų α 1 ir α 2 yra lygus vienam iš nurodytų gretimų dvikampių kampų arba . Taigi . Nes ir , tada

Pavyzdys. Nustatykite kampą tarp plokštumų x+2y-3z+4 = 0 ir 2 x+3y+z+8=0.

Dviejų plokštumų lygiagretumo sąlyga.

Dvi plokštumos α 1 ir α 2 yra lygiagrečios tada ir tik tada, kai jų normalieji vektoriai ir yra lygiagrečios, taigi .

Taigi, dvi plokštumos yra lygiagrečios viena kitai tada ir tik tada, kai koeficientai atitinkamose koordinatėse yra proporcingi:

arba

Plokštumų statmenumo sąlyga.

Akivaizdu, kad dvi plokštumos yra statmenos tada ir tik tada, kai jų normalūs vektoriai yra statmeni, taigi, arba .

Taigi,.

Pavyzdžiai.

TIESIOGIAI ERDVĖJE.

VEKTORINĖ LYGTIS TIESIOGIAI.

PARAMETRINĖS LYGTYBĖS TIESIOGINĖS

Tiesios linijos padėtis erdvėje visiškai nustatoma nurodant bet kurį iš fiksuotų jos taškų M 1 ir vektorius, lygiagretus šiai tiesei.

Vadinamas vektorius, lygiagretus tiesei vadovaujantisšios linijos vektorius.

Taigi leiskite tiesiai l eina per tašką M 1 (x 1 , y 1 , z 1) gulėti ant tiesės, lygiagrečios vektoriui .

Apsvarstykite savavališką tašką M(x,y,z) tiesioje linijoje. Iš paveikslo matyti, kad .

Vektoriai ir yra kolineariniai, todėl yra toks skaičius t, kas , kur yra daugiklis t gali įgauti bet kokią skaitinę reikšmę, priklausomai nuo taško padėties M tiesioje linijoje. faktorius t vadinamas parametru. Žymintys taškų spindulio vektorius M 1 ir M atitinkamai per ir , gauname . Ši lygtis vadinama vektorius tiesios linijos lygtis. Tai rodo, kad kiekvieno parametro reikšmė t atitinka kurio nors taško spindulio vektorių M guli ant tiesios linijos.

Šią lygtį užrašome koordinačių forma. Pastebėti, kad , ir iš čia

Gautos lygtys vadinamos parametrinis tiesiosios lygtys.

Keičiant parametrą t keičiasi koordinatės x, y ir z ir taškas M juda tiesia linija.

KANONINĖS LYGTYS TIESIOGIAI

Leisti būti M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - taškas, esantis tiesioje linijoje l, ir yra jo krypties vektorius. Vėlgi, paimkite savavališką tašką tiesioje linijoje M(x,y,z) ir apsvarstykite vektorių .

Akivaizdu, kad vektoriai ir yra kolinearūs, todėl jų atitinkamos koordinatės turi būti proporcingos

– kanoninis tiesiosios lygtys.

1 pastaba. Atkreipkite dėmesį, kad kanonines linijos lygtis galima gauti iš parametrinių lygčių pašalinus parametrą t. Iš tikrųjų iš parametrinių lygčių gauname arba .

Pavyzdys. Parašykite tiesės lygtį parametriniu būdu.

Pažymėti , vadinasi x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

2 pastaba. Tegul linija yra statmena vienai iš koordinačių ašių, pavyzdžiui, ašiai Jautis. Tada tiesės krypties vektorius yra statmenas Jautis, vadinasi, m=0. Vadinasi, parametrinės tiesės lygtys įgauna formą

Parametro pašalinimas iš lygčių t, gauname formos tiesės lygtis

Tačiau ir šiuo atveju sutinkame formaliai rašyti kanonines tiesės lygtis formoje . Taigi, jei vienos iš trupmenų vardiklis yra lygus nuliui, tai reiškia, kad linija yra statmena atitinkamai koordinačių ašiai.

Panašiai ir kanoninės lygtys atitinka ašims statmeną tiesę Jautis ir Oy arba lygiagreti ašis Ozas.

Pavyzdžiai.

BENDROSIOS LYGTYBĖS TIESIOGINĖ LINIJA KAIP Dviejų PLOKTUČIŲ SUVEŽIMO LINIJA

Per kiekvieną tiesę erdvėje eina begalinis skaičius plokštumų. Bet kurie du iš jų, susikertantys, apibrėžia jį erdvėje. Todėl bet kurių dviejų tokių plokštumų lygtys, nagrinėtos kartu, yra šios linijos lygtys.

Apskritai, bet kurios dvi nelygiagrečios plokštumos, pateiktos pagal bendrąsias lygtis

nustatyti jų susikirtimo liniją. Šios lygtys vadinamos bendrosios lygtys tiesiai.

Pavyzdžiai.

Sukurkite tiesę, nurodytą lygtimis

Norint sukurti tiesę, pakanka rasti bet kuriuos du jos taškus. Lengviausias būdas yra pasirinkti tiesės susikirtimo taškus su koordinačių plokštumomis. Pavyzdžiui, susikirtimo su plokštuma taškas xOy gauname iš tiesės lygčių, darydami prielaidą z= 0:

Išspręsdami šią sistemą, randame esmę M 1 (1;2;0).

Panašiai, darant prielaidą y= 0, gauname tiesės susikirtimo su plokštuma tašką xOz:

Iš bendrųjų tiesės lygčių galima pereiti prie jos kanoninių arba parametrinių lygčių. Norėdami tai padaryti, turite rasti tam tikrą tašką M 1 ant linijos ir linijos krypties vektorius.

Taško koordinatės M 1 gauname iš šios lygčių sistemos, suteikdami vienai iš koordinačių savavališką reikšmę. Norėdami rasti krypties vektorių, atkreipkite dėmesį, kad šis vektorius turi būti statmenas abiem normaliesiems vektoriams ir . Todėl tiesės krypties vektoriui l galite paimti normaliųjų vektorių kryžminę sandaugą:

Pavyzdys. Pateikite bendrąsias tiesės lygtis į kanoninę formą.

Raskite tašką tiesioje linijoje. Norėdami tai padaryti, savavališkai pasirenkame vieną iš koordinačių, pavyzdžiui, y= 0 ir išspręskite lygčių sistemą:

Tiesę apibrėžiančių plokštumų normalieji vektoriai turi koordinates Todėl krypties vektorius bus tiesus

. Vadinasi, l: .

KAMPAS TARP TEISIŲ

kampas tarp tiesių erdvėje vadinsime bet kurį iš gretimų kampų, sudarytų iš dviejų tiesių, nubrėžtų per savavališką tašką, lygiagrečią duomenims.

Tegu erdvėje nurodytos dvi tiesės:

Akivaizdu, kad kampas φ tarp linijų gali būti laikomas kampu tarp jų krypties vektorių ir . Kadangi , tada pagal kampo tarp vektorių kosinuso formulę gauname

papasakosiu trumpai. Kampas tarp dviejų tiesių yra lygus kampui tarp jų krypties vektorių. Taigi, jei pavyksta rasti krypties vektorių a \u003d (x 1; y 1; z 1) ir b \u003d (x 2; y 2; z 2) koordinates, galite rasti kampą. Tiksliau, kampo kosinusas pagal formulę:

Pažiūrėkime, kaip ši formulė veikia konkrečiuose pavyzdžiuose:

Užduotis. Taškai E ir F pažymėti kube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - atitinkamai kraštinių A 1 B 1 ir B 1 C 1 vidurio taškai. Raskite kampą tarp tiesių AE ir BF.

Kadangi kubo kraštas nenurodytas, nustatome AB = 1. Įvedame standartinę koordinačių sistemą: pradžia yra taške A, o x, y, z ašys nukreiptos atitinkamai išilgai AB, AD ir AA 1 . Vieneto atkarpa lygi AB = 1. Dabar suraskime mūsų tiesių krypties vektorių koordinates.

Raskite vektoriaus AE koordinates. Norėdami tai padaryti, mums reikia taškų A = (0; 0; 0) ir E = (0,5; 0; 1). Kadangi taškas E yra atkarpos A 1 B 1 vidurys, jo koordinatės lygios galų koordinačių aritmetiniam vidurkiui. Atkreipkite dėmesį, kad vektoriaus AE pradžia sutampa su pradžia, todėl AE = (0,5; 0; 1).

Dabar panagrinėkime BF vektorių. Panašiai analizuojame taškus B = (1; 0; 0) ir F = (1; 0,5; 1), nes F - atkarpos B 1 C 1 vidurys. Mes turime:
BF = (1–1; 0,5–0; 1–0) = (0; 0,5; 1).

Taigi, krypties vektoriai yra paruošti. Kampo tarp tiesių kosinusas yra kampo tarp krypties vektorių kosinusas, todėl turime:

Užduotis. Taisyklingoje trikampėje prizmėje ABCA 1 B 1 C 1, kurios visos briaunos lygios 1, pažymėti taškai D ir E - atitinkamai briaunų A 1 B 1 ir B 1 C 1 vidurio taškai. Raskite kampą tarp tiesių AD ir BE.

Įveskime standartinę koordinačių sistemą: pradžia yra taške A, x ašis nukreipta išilgai AB, z - išilgai AA 1 . Y ašį nukreipiame taip, kad OXY plokštuma sutaptų su ABC plokštuma. Vieneto atkarpa lygi AB = 1. Raskite norimų tiesių krypties vektorių koordinates.

Pirmiausia suraskime AD vektoriaus koordinates. Apsvarstykite taškus: A = (0; 0; 0) ir D = (0,5; 0; 1), nes D - atkarpos vidurys A 1 B 1 . Kadangi vektoriaus AD pradžia sutampa su pradžia, gauname AD = (0,5; 0; 1).

Dabar suraskime vektoriaus BE koordinates. Tašką B = (1; 0; 0) lengva apskaičiuoti. Su tašku E - atkarpos viduriu C 1 B 1 - šiek tiek sunkiau. Mes turime:

Belieka rasti kampo kosinusą:

Užduotis. Taisyklingoje šešiakampėje prizmėje ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , kurios visos briaunos lygios 1, pažymėti taškai K ir L - kraštinių A 1 B 1 ir B 1 C 1 vidurio taškai, atitinkamai. Raskite kampą tarp tiesių AK ir BL.

Pristatome standartinę prizmės koordinačių sistemą: koordinačių pradžią dedame į apatinio pagrindo centrą, x ašį nukreipiame išilgai FC, y ašį – per atkarpų AB ir DE vidurio taškus, o – z ašį. vertikaliai aukštyn. Vieneto atkarpa vėl lygi AB = 1. Išrašykime mus dominančių taškų koordinates:

Taškai K ir L yra atitinkamai atkarpų A 1 B 1 ir B 1 C 1 vidurio taškai, todėl jų koordinatės randamos per aritmetinį vidurkį. Žinodami taškus, randame krypties vektorių AK ir BL koordinates:

Dabar suraskime kampo kosinusą:

Užduotis. Dešinėje keturkampė piramidė SABCD, kurio visos briaunos lygios 1, pažymėti taškai E ir F - atitinkamai kraštinių SB ir SC vidurio taškai. Raskite kampą tarp tiesių AE ir BF.

Pristatome standartinę koordinačių sistemą: pradžia yra taške A, x ir y ašys nukreiptos atitinkamai išilgai AB ir AD, o ašis z nukreipta vertikaliai aukštyn. Vieneto segmentas yra lygus AB = 1.

Taškai E ir F yra atitinkamai atkarpų SB ir SC vidurio taškai, todėl jų koordinatės randamos kaip galų aritmetinis vidurkis. Užsirašome mus dominančių taškų koordinates:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)