Paprasčiausių logaritminių nelygybių sprendimas. Pasiruošimas egzaminui

Jūsų privatumas mums svarbus. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Perskaitykite mūsų privatumo politiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija – tai duomenys, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba su juo susisiekti.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją, norėdami išsiųsti jums svarbius pranešimus ir pranešimus.
Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditus, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
Jei dalyvaujate loterijoje, konkurse ar panašioje paskatoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

Jei tai būtina – pagal įstatymus, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valstybės institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas dėl saugumo, teisėsaugos ar kitų viešojo intereso priežasčių.
Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo palaikymas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugos praktiką ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Iš visos logaritminių nelygybių įvairovės atskirai nagrinėjamos nelygybės su kintamu pagrindu. Jie sprendžiami pagal specialią formulę, kuri dėl kokių nors priežasčių retai mokoma mokykloje:

log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0

Vietoj kaktos „∨“ galite įdėti bet kokį nelygybės ženklą: daugiau ar mažiau. Svarbiausia, kad abiejose nelygybėse ženklai būtų vienodi.

Taigi atsikratome logaritmų ir sumažiname problemą iki racionalios nelygybės. Pastarąjį išspręsti daug lengviau, tačiau atmetus logaritmus gali atsirasti papildomų šaknų. Norint juos nupjauti, pakanka rasti leistinų verčių diapazoną. Jei pamiršote logaritmo ODZ, primygtinai rekomenduoju jį pakartoti – žiūrėkite „Kas yra logaritmas“.

Viskas, kas susiję su priimtinų verčių diapazonu, turi būti išrašyta ir išspręsta atskirai:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Šios keturios nelygybės sudaro sistemą ir turi būti įvykdytos vienu metu. Kai randamas priimtinų verčių diapazonas, belieka jį kirsti su racionalios nelygybės sprendimu - ir atsakymas paruoštas.

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

Pirmiausia parašykime logaritmo ODZ:

Pirmosios dvi nelygybės atliekamos automatiškai, o paskutinė turės būti įrašyta. Kadangi skaičiaus kvadratas yra nulis tada ir tik tada, kai pats skaičius yra nulis, turime:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Pasirodo, kad logaritmo ODZ yra visi skaičiai, išskyrus nulį: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Dabar išsprendžiame pagrindinę nelygybę:

Atliekame perėjimą iš logaritminės nelygybės į racionaliąją. Pradinėje nelygybėje yra ženklas „mažiau nei“, todėl gauta nelygybė taip pat turėtų būti su „mažiau nei“ ženklu. Mes turime:

(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 – x) (3 + x) x 2< 0.

Šios išraiškos nuliai: x = 3; x = -3; x = 0. Be to, x = 0 yra antrojo dauginio šaknis, vadinasi, einant pro ją funkcijos ženklas nekinta. Mes turime:

Gauname x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Šis rinkinys yra visiškai įtrauktas į logaritmo ODZ, o tai reiškia, kad tai yra atsakymas.

Logaritminių nelygybių transformacija

Dažnai pradinė nelygybė skiriasi nuo aukščiau pateiktos. Tai lengva ištaisyti pagal standartines darbo su logaritmais taisykles – žr. „Pagrindinės logaritmų savybės“. Būtent:

Bet kuris skaičius gali būti pavaizduotas kaip logaritmas su duota baze;
Logaritmų su ta pačia baze sumą ir skirtumą galima pakeisti vienu logaritmu.

Atskirai noriu priminti apie priimtinų verčių diapazoną. Kadangi pradinėje nelygybėje gali būti keli logaritmai, reikia rasti kiekvieno iš jų DPV. Taigi bendra logaritminių nelygybių sprendimo schema yra tokia:

Raskite kiekvieno logaritmo, įtraukto į nelygybę, ODZ;
Sumažinkite nelygybę iki standartinės, naudodami logaritmų pridėjimo ir atėmimo formules;
Išspręskite gautą nelygybę pagal aukščiau pateiktą schemą.

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

Raskite pirmojo logaritmo apibrėžimo sritį (ODZ):

Sprendžiame intervalo metodu. Skaitiklio nulių radimas:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Tada - vardiklio nuliai:

x − 1 = 0;
x = 1.

Ant koordinačių rodyklės pažymime nulius ir ženklus:

Gauname x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Antrasis ODZ logaritmas bus toks pat. Jei netiki, gali pasitikrinti. Dabar paverčiame antrąjį logaritmą taip, kad bazė būtų dvi:

Kaip matote, trigubai prie pagrindo ir prieš logaritmą susitraukė. Gaukite du logaritmus su ta pačia baze. Sudėkime juos kartu:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Gavome standartinę logaritminę nelygybę. Atsikratome logaritmų pagal formulę. Kadangi pradinėje nelygybėje yra mažesnis nei ženklas, gauta racionali išraiška taip pat turi būti mažesnė už nulį. Mes turime:

(f (x) – g (x)) (k (x) – 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x – 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).

Gavome du komplektus:

ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
Kandidatas į atsakymus: x ∈ (−1; 3).

Belieka kirsti šiuos rinkinius – gauname tikrą atsakymą:

Mus domina aibių susikirtimas, todėl intervalus pasirenkame nuspalvintus ant abiejų rodyklių. Gauname x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) – visi taškai pradurti.

Ar manote, kad iki egzamino dar liko laiko ir turėsite laiko pasiruošti? Galbūt taip ir yra. Bet kokiu atveju, kuo anksčiau studentas pradeda treniruotis, tuo sėkmingiau jis išlaiko egzaminus. Šiandien nusprendėme skirti straipsnį logaritminėms nelygybėms. Tai viena iš užduočių, reiškianti galimybę gauti papildomą balą.

Ar jau žinai, kas yra logaritmas (logas)? Labai tikimės. Bet net jei neturite atsakymo į šį klausimą, tai nėra problema. Labai lengva suprasti, kas yra logaritmas.

Kodėl būtent 4? Turite padidinti skaičių 3 iki tokios galios, kad gautumėte 81. Kai suprasite principą, galite pereiti prie sudėtingesnių skaičiavimų.

Prieš kelerius metus išgyvenote nelygybę. Ir nuo to laiko juos nuolat sutinki matematikoje. Jei kyla problemų sprendžiant nelygybes, peržiūrėkite atitinkamą skyrių.
Dabar, kai susipažinsime su sąvokomis atskirai, pereisime prie jų svarstymo apskritai.

Paprasčiausia logaritminė nelygybė.

Paprasčiausios logaritminės nelygybės šiuo pavyzdžiu neapsiriboja, yra dar trys, tik su skirtingais ženklais. Kam to reikia? Norėdami geriau suprasti, kaip išspręsti nelygybę logaritmais. Dabar pateikiame labiau pritaikomą pavyzdį, vis dar gana paprastą, sudėtingas logaritmines nelygybes paliekame vėlesniam laikui.

Kaip tai išspręsti? Viskas prasideda nuo ODZ. Turėtumėte apie tai žinoti daugiau, jei norite visada lengvai išspręsti bet kokią nelygybę.

Kas yra ODZ? DPV logaritminėms nelygybėms

Santrumpa reiškia galiojančių verčių diapazoną. Egzamino užduotyse ši formuluotė dažnai pasirodo. DPV jums naudingas ne tik logaritminių nelygybių atveju.

Dar kartą pažiūrėkite į aukščiau pateiktą pavyzdį. Remdamiesi juo svarstysime ODZ, kad suprastumėte principą, o logaritminių nelygybių sprendimas nekeltų klausimų. Iš logaritmo apibrėžimo matyti, kad 2x+4 turi būti didesnis už nulį. Mūsų atveju tai reiškia štai ką.

Šis skaičius pagal apibrėžimą turi būti teigiamas. Išspręskite aukščiau pateiktą nelygybę. Tai galima padaryti net žodžiu, čia aišku, kad X negali būti mažesnis už 2. Nelygybės sprendimas bus priimtinų reikšmių diapazono apibrėžimas.
Dabar pereikime prie paprasčiausios logaritminės nelygybės sprendimo.

Iš abiejų nelygybės dalių atmetame pačius logaritmus. Kas mums dėl to belieka? paprasta nelygybė.

Tai lengva išspręsti. X turi būti didesnis nei -0,5. Dabar mes sujungiame dvi gautas reikšmes į sistemą. Taigi,

Tai bus nagrinėjamos logaritminės nelygybės leistinų verčių sritis.

Kam išvis reikalingas ODZ? Tai galimybė atsikratyti neteisingų ir neįmanomų atsakymų. Jei atsakymas nepatenka į priimtinų verčių diapazoną, atsakymas tiesiog neturi prasmės. Tai verta prisiminti ilgą laiką, nes egzamine dažnai reikia ieškoti ODZ ir tai susiję ne tik su logaritminėmis nelygybėmis.

Logaritminės nelygybės sprendimo algoritmas

Sprendimas susideda iš kelių žingsnių. Pirma, būtina rasti priimtinų verčių diapazoną. ODZ bus dvi reikšmės, mes tai apsvarstėme aukščiau. Kitas žingsnis – išspręsti pačią nelygybę. Sprendimo metodai yra tokie:

daugiklio pakeitimo metodas;
skilimas;
racionalizavimo metodas.

Priklausomai nuo situacijos, reikia naudoti vieną iš aukščiau pateiktų metodų. Eikime tiesiai prie sprendimo. Atskleisime populiariausią būdą, kuris tinka beveik visais atvejais sprendžiant USE užduotis. Toliau apsvarstysime skaidymo metodą. Tai gali padėti, jei susidursite su ypač „keblia“ nelygybe. Taigi, logaritminės nelygybės sprendimo algoritmas.

Sprendimo pavyzdžiai :

Ne veltui mes paėmėme būtent tokią nelygybę! Atkreipkite dėmesį į pagrindą. Atsiminkite: jei jis didesnis už vienetą, ieškant galiojančių reikšmių diapazono ženklas išlieka toks pat; kitu atveju nelygybės ženklas turi būti pakeistas.

Dėl to gauname nelygybę:

Dabar mes pateikiame kairę pusę į lygties formą, lygią nuliui. Vietoj ženklo „mažiau nei“ dedame „lygus“, išsprendžiame lygtį. Taigi, mes rasime ODZ. Tikimės, kad jums nekils problemų sprendžiant tokią paprastą lygtį. Atsakymai yra -4 ir -2. Tai dar ne viskas. Turite parodyti šiuos taškus diagramoje, įdėti "+" ir "-". Ką reikia padaryti dėl to? Pakeiskite skaičius iš intervalų į išraišką. Ten, kur reikšmės yra teigiamos, ten įdedame „+“.

Atsakymas: x negali būti didesnis nei -4 ir mažesnis nei -2.

Mes radome galiojančių verčių diapazoną tik kairėje pusėje, dabar turime rasti galiojančių verčių diapazoną dešinėje pusėje. Tai jokiu būdu nėra lengviau. Atsakymas: -2. Mes susikertame abi gautas sritis.

Ir tik dabar pradedame spręsti pačią nelygybę.

Kiek įmanoma supaprastinkime, kad būtų lengviau apsispręsti.

Sprendime vėl naudojame intervalo metodą. Praleiskime skaičiavimus, su juo viskas jau aišku iš ankstesnio pavyzdžio. Atsakymas.

Bet šis metodas tinka, jei logaritminė nelygybė turi tuos pačius pagrindus.

Sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes su skirtingais pagrindais, pradinis sumažinimas iki vienos bazės. Tada naudokite aukščiau pateiktą metodą. Tačiau yra ir sudėtingesnis atvejis. Apsvarstykite vieną iš sudėtingiausių logaritminių nelygybių tipų.

Logaritminės nelygybės su kintamu pagrindu

Kaip išspręsti tokias charakteristikas turinčias nelygybes? Taip, ir tokių galima rasti egzamine. Nelygybių sprendimas tokiu būdu taip pat turės teigiamos įtakos jūsų ugdymo procesui. Pažvelkime į problemą išsamiai. Padėkime teoriją į šalį ir eikime tiesiai į praktiką. Norint išspręsti logaritmines nelygybes, pakanka vieną kartą susipažinti su pavyzdžiu.

Norint išspręsti pateiktos formos logaritminę nelygybę, reikia sumažinti dešinę pusę iki logaritmo su ta pačia baze. Principas primena lygiaverčius perėjimus. Dėl to nelygybė atrodys taip.

Tiesą sakant, belieka sukurti nelygybių sistemą be logaritmų. Naudodami racionalizavimo metodą pereiname prie ekvivalentinės nelygybių sistemos. Pačią taisyklę suprasite, kai pakeisite atitinkamas reikšmes ir stebėsite jų pokyčius. Sistema turės tokias nelygybes.

Naudodami racionalizacijos metodą spręsdami nelygybes, turite atsiminti: iš pagrindo reikia atimti vieną, x pagal logaritmo apibrėžimą atimamas iš abiejų nelygybės dalių (dešinė iš kairės), du išraiškos padauginamos ir nustatomos pagal pradinį ženklą lyginant su nuliu.

Tolesnis sprendimas atliekamas intervalo metodu, čia viskas paprasta. Jums svarbu suprasti sprendimo būdų skirtumus, tada viskas pradės lengvai klotis.

Logaritminėse nelygybėse yra daug niuansų. Paprasčiausius iš jų pakankamai lengva išspręsti. Kaip padaryti, kad kiekvienas iš jų būtų išspręstas be problemų? Šiame straipsnyje jau gavote visus atsakymus. Dabar jūsų laukia ilga praktika. Nuolat treniruokitės spręsdami įvairias problemas egzamino metu ir galėsite gauti aukščiausią balą. Sėkmės sunkiame darbe!

Nelygybė vadinama logaritmine, jei joje yra logaritminė funkcija.

Logaritminių nelygybių sprendimo metodai niekuo nesiskiria, išskyrus du dalykus.

Pirma, pereinant nuo logaritminės nelygybės prie sublogaritminių funkcijų nelygybės, išplaukia vadovaukitės gautos nelygybės ženklu. Jis laikosi šios taisyklės.

Jei logaritminės funkcijos bazė yra didesnė už $1$, tai pereinant nuo logaritminės nelygybės prie poblogaritminių funkcijų nelygybės, nelygybės ženklas išsaugomas, o jei mažesnis už $1$, tada apverčiamas.

Antra, bet kurios nelygybės sprendimas yra intervalas, todėl poblogaritminių funkcijų nelygybės sprendinio pabaigoje reikia sudaryti dviejų nelygybių sistemą: pirmoji šios sistemos nelygybė bus sublogaritmines funkcijas, o antrasis bus logaritminių funkcijų, įtrauktų į logaritminę nelygybę, apibrėžimo srities intervalas.