Kvadratinių lygčių sprendimo būdai. Kvadratinės lygtys

Problema gerai žinoma iš matematikos. Pradiniai duomenys čia yra koeficientai a, b, c. Sprendimas bendruoju atveju yra dvi šaknys x 1 ir x 2, kurios apskaičiuojamos pagal formules:

Visos šioje programoje naudojamos reikšmės yra tikrojo tipo.

alg kvadratinės lygties šaknys

dalykas a, b, c, x1, x2, d

ankstiįvestis a, b, c

x1:=(-b+Öd)/(2a)

x2:=(-b–Öd)/(2a)

išvestis x1, x2

Tokio algoritmo silpnumas matomas plika akimi. Jis neturi svarbiausias turtas taikomas kokybiniams algoritmams: universalumas pradinių duomenų atžvilgiu. Kad ir kokios būtų pradinių duomenų reikšmės, algoritmas turi pasiekti tam tikrą rezultatą ir pasiekti pabaigą. Rezultatas gali būti skaitinis atsakymas, bet tai gali būti ir pranešimas, kad su tokiais duomenimis problema neturi sprendimo. Sustojimai algoritmo viduryje dėl to, kad neįmanoma atlikti kokios nors operacijos, neleidžiami. Ta pati savybė programavimo literatūroje vadinama algoritmo efektyvumu (bet kuriuo atveju reikia gauti kažkokį rezultatą).

Norint sukurti universalų algoritmą, pirmiausia reikia atidžiai išanalizuoti matematinį problemos turinį.

Lygties sprendimas priklauso nuo koeficientų a, b, c verčių. Štai šios problemos analizė (mes apsiribojame tik tikrų šaknų paieška):

jei a=0, b=0, c=0, tai bet kuris x yra lygties sprendinys;

jei a=0, b=0, c¹0, tai lygtis neturi sprendinių;

jei a=0, b¹0, tai tai tiesinė lygtis, kuris turi vieną sprendinį: x=–c/b;

jei a¹0 ir d=b 2 -4ac³0, tai lygtis turi dvi realias šaknis (formulės pateiktos aukščiau);

jei a¹0 ir d<0, то уравнение не имеет вещественных корней.

Algoritmo blokinė schema:

Tas pats algoritmas algoritmine kalba:

alg kvadratinės lygties šaknys

dalykas a, b, c, d, x1, x2

ankstiįvestis a, b, c

jeigu a=0

tada jei b = 0

tada jei c=0

tada išvestis "bet koks x yra sprendimas"

kitaip išvestis „nėra sprendimų“

kitaip x:= -c/b

kitaip d:=b2–4ac

jeigu ir d<0

tada išvestis "nėra tikrų šaknų"

kitaip e x1:=(-b+Öd)/(2a); x2:=(-b–Öd)/(2a)

išvestis „x1=“, x1, „x2=“, x2

Šis algoritmas naudojamas pakartotinai šakos struktūros komanda. Bendras atšakos komandos vaizdas struktūrinėse diagramose ir algoritmine kalba yra toks:

Pirmiausia patikrinama „sąlyga“ (apskaičiuojamas ryšys, loginė išraiška). Jei sąlyga teisinga, tada vykdoma „serija 1“ – komandų seka, pažymėta rodykle su užrašu „taip“ (teigiama šaka). Kitu atveju vykdoma „2 serija“ (neigiama šaka). EL sąlyga rašoma po tarnybinio žodžio „jei“, teigiama šaka – po žodžio „tada“, neigiama šaka – po žodžio „kitaip“. Raidės „kv“ nurodo šakos galą.

Jei vienos šakos šakose yra kitų šakų, tada toks algoritmas turi struktūrą įdėtos šakos. Būtent tokią struktūrą turi algoritmas „kvadratinės lygties šaknys“. Jame, siekiant trumpumo, vietoj žodžių „taip“ ir „ne“ atitinkamai naudojami „+“ ir „-“.

Apsvarstykite šią problemą: pateiktas teigiamas sveikasis skaičius n. Būtina apskaičiuoti n! (n faktorinis). Prisiminkite faktorialo apibrėžimą.

Žemiau yra algoritmo blokinė schema. Jame naudojami trys sveikųjų skaičių tipo kintamieji: n yra argumentas; i yra tarpinis kintamasis; F yra rezultatas. Algoritmo teisingumui patikrinti buvo sukurta sekimo lentelė. Tokioje lentelėje konkrečioms pradinių duomenų reikšmėms į algoritmą įtrauktų kintamųjų pokyčiai atsekami žingsniais. Ši lentelė sudaryta atvejui n=3.

Pėdsakas įrodo algoritmo teisingumą. Dabar parašykime šį algoritmą algoritmine kalba.

alg Faktorinis

visas n, i, F

ankstiįvestis n

F:=1; aš:=1

iki aš £n, kartoti

nc F:=F'i

Šis algoritmas turi ciklinę struktūrą. Algoritmas naudoja struktūrinę komandą "ciklas-while" arba "ciklas su išankstine sąlyga". Bendras komandos „loop-bye“ vaizdas struktūrinėse diagramose ir EL yra toks:

Komandų serijos (ciklo korpuso) vykdymas kartojamas, kol ciklo sąlyga yra teisinga. Kai sąlyga tampa klaidinga, ciklas baigiasi. Tarnybiniai žodžiai „nts“ ir „kts“ atitinkamai žymi ciklo pradžią ir ciklo pabaigą.

Ciklas su prielaida yra pagrindinė, bet ne vienintelė ciklinių algoritmų organizavimo forma. Kitas variantas yra kilpa su sąlyga. Grįžkime prie kvadratinės lygties sprendimo algoritmo. Tai galima padaryti iš šios pozicijos: jei a=0, tai nebėra kvadratinė lygtis ir į ją galima nekreipti dėmesio. Tokiu atveju manysime, kad vartotojas suklydo įvesdamas duomenis ir turėtų būti paragintas pakartoti įvedimą. Kitaip tariant, algoritmas užtikrins pradinių duomenų patikimumo kontrolę, suteikiant vartotojui galimybę ištaisyti klaidą. Tokios kontrolės buvimas yra dar vienas geros programos kokybės požymis.

Apskritai struktūrinė komanda "ciklas su sąlyga" arba "ciklas prieš" vaizduojama taip:

Čia naudojama kilpos užbaigimo sąlyga. Kai tai tampa tiesa, ciklas baigiasi.

Sudarykite algoritmą, kaip išspręsti šią problemą: duoti du natūralieji skaičiai M ir N. Reikia apskaičiuoti didžiausią jų bendrą daliklį - gcd(M,N).

Ši problema išspręsta naudojant metodą, žinomą kaip Euklido algoritmas. Jo idėja pagrįsta savybe, kad jei M>N, tada gcd(M

1) jei skaičiai yra lygūs, kaip atsakymą paimkite bendrą jų reikšmę; kitu atveju tęsti algoritmo vykdymą;

2) nustatyti didesnį iš skaičių;

3) pakeiskite didesnį skaičių skirtumu tarp didesnės ir mažesnės reikšmės;

4) grįžti prie 1 dalies įgyvendinimo.

AL blokinė schema ir algoritmas bus tokie:

Algoritmas turi kilpos struktūrą su įdėtomis šakomis. Atlikite šio algoritmo atsekimą, jei M=18, N=12. Rezultatas yra gcd=6, o tai akivaizdžiai tiesa.

Bibliografinis aprašymas: Gasanovas A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanovas D. D., Shmeleva O. V. Sprendimai kvadratines lygtis// Jaunasis mokslininkas. - 2016. - Nr.6.1. - S. 2019-04-17-20).

Mūsų projektas skirtas kvadratinių lygčių sprendimo būdams. Projekto tikslas: išmokti spręsti kvadratines lygtis tokiais būdais, kurie neįtraukti į mokyklos programą. Užduotis: suraskite visus įmanomus kvadratinių lygčių sprendimo būdus ir išmokite jomis naudotis patys bei supažindinkite klasės draugus su šiais metodais.

Kas yra „kvadratinės lygtys“?

Kvadratinė lygtis- formos lygtis kirvis2 + bx + c = 0, kur a, b, c- kai kurie skaičiai ( a ≠ 0), x- nežinomas.

Skaičiai a, b, c vadinami kvadratinės lygties koeficientais.

a vadinamas pirmuoju koeficientu;
b vadinamas antruoju koeficientu;
c - laisvas narys.

O kas pirmasis „išrado“ kvadratines lygtis?

Kai kurios algebrinės tiesinių ir kvadratinių lygčių sprendimo technikos buvo žinomos dar prieš 4000 metų Senovės Babilone. Rastos senovės Babilono molio lentelės, datuojamos kažkur 1800–1600 m. pr. Kr., yra ankstyviausias kvadratinių lygčių tyrimo įrodymas. Tose pačiose tabletėse yra tam tikrų tipų kvadratinių lygčių sprendimo būdų.

Poreikį spręsti ne tik pirmojo, bet ir antrojo laipsnio lygtis senovėje lėmė poreikis spręsti problemas, susijusias su karinio pobūdžio žemės plotų ir žemės darbų paieška, astronomijos raida ir pati matematika.

Šių lygčių sprendimo taisyklė, nurodyta babiloniečių tekstuose, iš esmės sutampa su šiuolaikine, tačiau nežinoma, kaip babiloniečiai priėjo prie šios taisyklės. Beveik visuose iki šiol rastuose dantiraščio tekstuose pateikiamos tik receptų forma pateiktų sprendimų problemos, nenurodant, kaip jie buvo rasti. Nepaisant aukšto Babilono algebros išsivystymo lygio, dantiraščio tekstuose trūksta neigiamo skaičiaus sampratos ir bendrų kvadratinių lygčių sprendimo metodų.

Babilono matematikai maždaug IV amžiuje prieš Kristų. naudojo kvadratinio komplemento metodą, kad išspręstų lygtis su teigiamomis šaknimis. Maždaug 300 m.pr.Kr. Euklidas sugalvojo bendresnį geometrinio sprendimo būdą. Pirmasis matematikas, radęs lygties su neigiamomis šaknimis sprendimus algebrinės formulės pavidalu, buvo Indijos mokslininkas. Brahmagupta(Indija, VII a. po Kr.).

Brahmagupta išdėstė bendrą kvadratinių lygčių, sumažintų iki vienos kanoninės formos, sprendimo taisyklę:

ax2 + bx = c, a>0

Šioje lygtyje koeficientai gali būti neigiami. Brahmaguptos taisyklė iš esmės sutampa su mūsų.

Indijoje vieši konkursai sprendžiant sudėtingas problemas buvo įprasti. Vienoje iš senų indų knygų apie tokias varžybas rašoma taip: „Kaip saulė savo spindesiu pranoksta žvaigždes, taip išmokęs žmogus pranoksta šlovę viešuose susirinkimuose, siūlydamas ir spręsdamas algebrines problemas“. Užduotys dažnai būdavo aprengiamos poetine forma.

Algebriniame traktate Al-Khwarizmi pateikta tiesinių ir kvadratinių lygčių klasifikacija. Autorius išvardija 6 lygčių tipus, išreikšdamas jas taip:

1) „Kvadratai lygūs šaknims“, ty ax2 = bx.

2) „Kvadratai lygūs skaičiui“, ty ax2 = c.

3) „Šaknys lygios skaičiui“, ty ax2 = c.

4) „Kvadratai ir skaičiai lygūs šaknims“, ty ax2 + c = bx.

5) „Kvadratai ir šaknys lygūs skaičiui“, ty ax2 + bx = c.

6) „Šaknys ir skaičiai lygūs kvadratams“, ty bx + c == ax2.

Al-Khwarizmi, kuris vengė naudoti neigiamus skaičius, kiekvienos iš šių lygčių sąlygos yra sudėjimai, o ne atimtys. Šiuo atveju akivaizdžiai neatsižvelgiama į lygtis, kurios neturi teigiamų sprendinių. Autorius pateikia šių lygčių sprendimo būdus, naudodamas al-jabr ir al-muqabala metodus. Jo sprendimas, žinoma, ne visiškai sutampa su mūsų. Jau nekalbant apie tai, kad tai yra grynai retorinė, reikia pažymėti, kad, pavyzdžiui, spręsdamas nepilną pirmojo tipo kvadratinę lygtį, Al-Khwarizmi, kaip ir visi matematikai iki XVII amžiaus, neatsižvelgia į nulį. sprendimas tikriausiai todėl, kad konkrečiose praktinėse užduotyse tai nesvarbu. Spręsdamas visas kvadratines lygtis, Al-Khwarizmi nustato jų sprendimo taisykles, naudodamas tam tikrus skaitinius pavyzdžius, o tada jų geometrinius įrodymus.

Kvadratinių lygčių sprendimo formos pagal Al-Khwarizmi modelį Europoje pirmą kartą buvo aprašytos „Abako knygoje“, parašytoje 1202 m. italų matematikas Leonardas Fibonačis. Autorius savarankiškai sukūrė keletą naujų algebrinių problemų sprendimo pavyzdžių ir pirmasis Europoje pradėjo taikyti neigiamus skaičius.

Ši knyga prisidėjo prie algebrinių žinių sklaidos ne tik Italijoje, bet ir Vokietijoje, Prancūzijoje bei kitose Europos šalyse. Daugelis šios knygos užduočių buvo perkeltos į beveik visus XIV–XVII amžiaus Europos vadovėlius. Bendroji kvadratinių lygčių, redukuotų į vieną kanoninę formą x2 + bx = c su visomis įmanomomis ženklų ir koeficientų kombinacijomis b, c, sprendimo taisyklė buvo suformuluota Europoje 1544 m. M. Stiefel.

Vieta turi bendrą kvadratinės lygties sprendimo formulės išvestį, tačiau Vieta atpažino tik teigiamas šaknis. italų matematikai Tartaglia, Cardano, Bombelli tarp pirmųjų XVI a. be teigiamų ir neigiamų šaknų, atsižvelkite į tai. Tik XVII a. darbo dėka Girardas, Dekartas, Niutonas ir kiti mokslininkai, kvadratinių lygčių sprendimo būdas įgauna šiuolaikinę formą.

Apsvarstykite kelis kvadratinių lygčių sprendimo būdus.

Standartiniai kvadratinių lygčių sprendimo būdai iš mokyklos mokymo programos:

Kairiosios lygties pusės faktorizavimas.
Viso kvadrato pasirinkimo metodas.
Kvadratinių lygčių sprendimas pagal formulę.
Grafinis kvadratinės lygties sprendimas.
Lygčių sprendimas naudojant Vietos teoremą.

Išsamiau apsistokime ties redukuotų ir neredukuotų kvadratinių lygčių sprendimu, taikant Vieta teoremą.

Prisiminkite, kad duotoms kvadratinėms lygtims išspręsti pakanka rasti du tokius skaičius, kurių sandauga būtų lygi laisvajam nariui, o suma lygi antrajam koeficientui su priešingu ženklu.

Pavyzdys.x 2 -5x+6=0

Turite rasti skaičius, kurių sandauga yra 6, o suma yra 5. Šie skaičiai bus 3 ir 2.

Atsakymas: x 1 =2, x 2 =3.

Bet jūs galite naudoti šį metodą lygtims, kurių pirmasis koeficientas nėra lygus vienetui.

Pavyzdys.3x 2 +2x-5=0

Imame pirmąjį koeficientą ir padauginame iš laisvojo nario: x 2 +2x-15=0

Šios lygties šaknys bus skaičiai, kurių sandauga lygi - 15, o suma lygi - 2. Šie skaičiai yra 5 ir 3. Norėdami rasti pradinės lygties šaknis, gautas šaknis padaliname iš pirmojo koeficiento .

Atsakymas: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Lygčių sprendimas „perkėlimo“ metodu.

Apsvarstykite kvadratinę lygtį ax 2 + bx + c = 0, kur a≠0.

Abi jo dalis padauginus iš a, gauname lygtį a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Tegu ax = y, iš kur x = y/a; tada gauname lygtį y 2 + by + ac = 0, kuri yra lygiavertė duotajai. Jo šaknis randame 1 ir 2, naudodami Vieta teoremą.

Galiausiai gauname x 1 = y 1 /a ir x 2 = y 2 /a.

Taikant šį metodą, koeficientas a dauginamas iš laisvojo termino, tarsi „perkeliamas“ į jį, todėl jis vadinamas „perkėlimo“ metodu. Šis metodas naudojamas, kai lengva rasti lygties šaknis naudojant Vietos teoremą ir, svarbiausia, kai diskriminantas yra tikslus kvadratas.

Pavyzdys.2x 2 - 11x + 15 = 0.

„Perkelkime“ koeficientą 2 į laisvąjį terminą ir atlikę pakeitimą gausime lygtį y 2 - 11y + 30 = 0.

Pagal atvirkštinę Vietos teoremą

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Atsakymas: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Kvadratinės lygties koeficientų savybės.

Tegu duota kvadratinė lygtis ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0.

1. Jei a + b + c \u003d 0 (t. y. lygties koeficientų suma lygi nuliui), tada x 1 \u003d 1.

2. Jei a - b + c \u003d 0 arba b \u003d a + c, tada x 1 = 1.

Pavyzdys.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Kadangi a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), tada x 1 = 1, x 2 \u003d -208/345.

Atsakymas: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Pavyzdys.132x 2 + 247x + 115 = 0

Nes a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), tada x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

Atsakymas: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Yra ir kitų kvadratinės lygties koeficientų savybių. bet jų naudojimas yra sudėtingesnis.

8. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant nomogramą.

1 pav. Nomograma

Tai senas ir šiuo metu pamirštas kvadratinių lygčių sprendimo metodas, patalpintas 83 rinkinio p.: Bradis V.M. Keturių skaitmenų matematinės lentelės. - M., Išsilavinimas, 1990 m.

XXII lentelė. Lygčių sprendimo nomograma z2 + pz + q = 0. Ši nomograma leidžia, neišsprendžiant kvadratinės lygties, pagal jos koeficientus nustatyti lygties šaknis.

Kreivinė nomogramos skalė sudaryta pagal formules (1 pav.):

Darant prielaidą OS = p, ED = q, OE = a(visi cm), iš 1 pav. trikampių panašumas SAN Ir CDF gauname proporciją

iš kur po pakeitimų ir supaprastinimų seka lygtis z 2 + pz + q = 0, ir laiškas z reiškia bet kurio lenktos skalės taško etiketę.

Ryžiai. 2 Kvadratinės lygties sprendimas naudojant nomogramą

Pavyzdžiai.

1) Dėl lygties z 2 – 9z + 8 = 0 nomograma pateikia šaknis z 1 = 8,0 ir z 2 = 1,0

Atsakymas: 8,0; 1.0.

2) Išspręskite lygtį naudodami nomogramą

2z 2 – 9z + 2 = 0.

Šios lygties koeficientus padaliname iš 2, gauname lygtį z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Nomograma pateikia šaknis z 1 = 4 ir z 2 = 0,5.

Atsakymas: 4; 0.5.

9. Geometrinis kvadratinių lygčių sprendimo metodas.

Pavyzdys.X 2 + 10x = 39.

Originale ši problema suformuluota taip: „Kvadratas ir dešimt šaknų yra lygūs 39“.

Apsvarstykite kvadratą, kurio kraštinė x, jo šonuose statomi stačiakampiai taip, kad kiekvienos iš jų kita kraštinė būtų 2,5, todėl kiekvienos vietos plotas yra 2,5 karto. Tada gauta figūra papildoma į naują kvadratą ABCD, kampuose užpildant keturis vienodus kvadratus, kurių kiekvieno kraštinė yra 2,5, o plotas - 6,25

Ryžiai. 3 Grafinis lygties x 2 + 10x = 39 sprendimo būdas

Kvadrato ABCD plotą S galima pavaizduoti kaip plotų sumą: pradinis kvadratas x 2, keturi stačiakampiai (4∙2,5x = 10x) ir keturi pritvirtinti kvadratai (6,25∙4 = 25), t.y. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. Pakeitus x 2 + 10x skaičiumi 39, gauname S \u003d 39 + 25 \u003d 64, o tai reiškia, kad kvadrato ABCD kraštinė, t.y. segmentas AB \u003d 8. Norimą pradinio kvadrato kraštinę x gauname

10. Lygčių sprendimas naudojant Bezout teoremą.

Bezouto teorema. Likusioji dalis padalijus daugianarį P(x) iš dvejetainio x - α yra lygi P(α) (tai yra P(x) reikšmė, kai x = α).

Jei skaičius α yra daugianario P(x) šaknis, tai šis daugianomas dalijasi iš x -α be liekanos.

Pavyzdys.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. Padalinkite P(x) iš (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1 arba x-3=0, x=3; Atsakymas: x1 =2, x2 =3.

Išvestis: Gebėjimas greitai ir racionaliai išspręsti kvadratines lygtis tiesiog būtinas sprendžiant sudėtingesnes lygtis, pavyzdžiui, trupmenines racionaliąsias lygtis, aukštesnių galių lygtis, dvikvadratines lygtis, o vidurinėje mokykloje – trigonometrines, eksponencines ir logaritmines lygtis. Išnagrinėję visus rastus kvadratinių lygčių sprendimo būdus, galime patarti klasės draugams, be standartinių metodų, spręsti perkėlimo metodu (6) ir spręsti lygtis pagal koeficientų savybę (7), nes jie yra lengviau suprantami. .

Literatūra:

Bradis V.M. Keturių skaitmenų matematinės lentelės. - M., Išsilavinimas, 1990 m.
Algebra 8 klasė: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo įstaigos Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. red. S. A. Telyakovsky 15-asis leidimas, pataisytas. - M.: Švietimas, 2015 m
https://en.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
Glazeris G.I. Matematikos istorija mokykloje. Vadovas mokytojams. / Red. V.N. Jaunesnis. - M.: Švietimas, 1964 m.

skaidrė 2

Kvadratinių lygčių ciklas algebros pamokų 8 klasėje pagal vadovėlį A.G. Mordkovičius

Mokytojas MBOU Grushevskaya vidurinė mokykla Kireeva T.A.

skaidrė 3

Uždaviniai: supažindinti su kvadratinės lygties sąvokomis, kvadratinės lygties šaknimi; parodyti kvadratinių lygčių sprendinius; formuoti gebėjimą spręsti kvadratines lygtis; parodykite būdą, kaip išspręsti visas kvadratines lygtis, naudojant kvadratinės lygties šaknų formulę.

skaidrė 4

skaidrė 5

Šiek tiek istorijos Kvadratinės lygtys senovės Babilone. Poreikį spręsti ne tik pirmojo, bet ir antrojo laipsnio lygtis net senovėje lėmė poreikis spręsti problemas, susijusias su karinio pobūdžio žemės plotų ir žemės darbų suradimu, taip pat su žemės ūkio plėtra. astronomija ir pati matematika. Babiloniečiai mokėjo spręsti kvadratines lygtis maždaug 2000 metų prieš mūsų tikėjimą. Naudojant šiuolaikinę algebrinę žymėjimą, galima teigti, kad jų dantiraščio tekstuose, be nepilnų, yra, pavyzdžiui, pilnųjų kvadratinių lygčių.

skaidrė 6

Šių lygčių sprendimo taisyklė, išdėstyta babiloniečių tekstuose, sutampa su šiuolaikine, tačiau nežinoma, kaip babiloniečiai priėjo prie šios taisyklės. Beveik visuose iki šiol rastuose dantiraščio tekstuose pateikiamos tik receptų forma pateiktų sprendimų problemos, nenurodant, kaip jie buvo rasti. Nepaisant aukšto algebros išsivystymo lygio Babilonijoje, neigiamo skaičiaus sąvokos ir bendrųjų kvadratinių lygčių sprendimo metodų nėra dantiraščio tekstuose.

7 skaidrė

Apibrėžimas 1. Kvadratinė lygtis yra tokios formos lygtis, kurioje koeficientai a, b, c yra bet kokie realieji skaičiai, o daugianario vadinamas kvadratiniu trinario. a yra pirmasis arba didžiausias koeficientas c yra antrasis koeficientas c yra laisvasis narys

8 skaidrė

Apibrėžimas 2. Kvadratinė lygtis vadinama redukuota, jei jos pirmaujantis koeficientas lygus 1; kvadratinė lygtis vadinama neredukuota, jei pirmaujantis koeficientas skiriasi nuo 1. Pavyzdys. 2 - 5 + 3 = 0 - neredukuota kvadratinė lygtis - sumažinta kvadratinė lygtis

9 skaidrė

3 apibrėžimas. Pilna kvadratinė lygtis yra kvadratinė lygtis, kurioje yra visi trys nariai. a + in + c \u003d 0 Nebaigta kvadratinė lygtis yra lygtis, kurioje nėra visų trijų narių; yra lygtis, kurios bent vienas iš koeficientų yra, su nulis.

10 skaidrė

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimo būdai.

skaidrė 11

Išspręskite užduotis Nr. 24.16 (a, b) Išspręskite lygtį: arba Atsakymas. arba Atsakymas.

skaidrė 12

4 apibrėžimas Kvadratinės lygties šaknis yra bet kokia kintamojo x reikšmė, kuriai esant kvadratinis trinaris išnyksta; tokia kintamojo x reikšmė dar vadinama kvadratinio trinalio šaknimi Išspręsti kvadratinę lygtį reiškia surasti visas jos šaknis arba nustatyti, kad šaknų nėra.

skaidrė 13

Kvadratinės lygties diskriminantas D 0 D=0 Lygtis neturi šaknų Lygtis turi dvi šaknis Lygtis turi vieną šaknį Kvadratinės lygties šaknų formulės

14 skaidrė

D>0 kvadratinė lygtis turi dvi šaknis, kurios randamos pagal formules Pavyzdys. Išspręskite lygtį Sprendimas. a \u003d 3, b \u003d 8, c \u003d -11, Atsakymas: 1; -3

skaidrė 15

Kvadratinės lygties sprendimo algoritmas 1. Apskaičiuokite diskriminantą D pagal formulę D = 2. Jei D 0, tai kvadratinė lygtis turi dvi šaknis.

Kvadratinės lygtys tiriamos 8 klasėje, todėl čia nėra nieko sudėtingo. Gebėjimas juos išspręsti yra būtinas.

Kvadratinė lygtis yra ax 2 + bx + c = 0 formos lygtis, kur koeficientai a , b ir c yra savavališki skaičiai, o a ≠ 0.

Prieš tyrinėdami konkrečius sprendimo būdus, pažymime, kad visas kvadratines lygtis galima suskirstyti į tris klases:

Neturi šaknų;
Jie turi tiksliai vieną šaknį;
Jie turi dvi skirtingas šaknis.

Tai yra svarbus skirtumas tarp kvadratinių ir tiesinių lygčių, kur šaknis visada egzistuoja ir yra unikali. Kaip nustatyti, kiek šaknų turi lygtis? Tam yra nuostabus dalykas - diskriminuojantis.

Diskriminuojantis

Tegu duota kvadratinė lygtis ax 2 + bx + c = 0. Tada diskriminantas yra tiesiog skaičius D = b 2 − 4ac .

Šią formulę reikia žinoti mintinai. Iš kur jis ateina, dabar nesvarbu. Kitas dalykas yra svarbus: pagal diskriminanto ženklą galite nustatyti, kiek šaknų turi kvadratinė lygtis. Būtent:

Jeigu D< 0, корней нет;
Jei D = 0, yra lygiai viena šaknis;
Jei D > 0, bus dvi šaknys.

Atkreipkite dėmesį: diskriminantas nurodo šaknų skaičių, o ne jų ženklus, kaip dėl kokių nors priežasčių daugelis galvoja. Pažvelkite į pavyzdžius ir patys viską suprasite:

Užduotis. Kiek šaknų turi kvadratinės lygtys:

x 2 - 8x + 12 = 0;

5x2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Rašome pirmosios lygties koeficientus ir randame diskriminantą:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Taigi, diskriminantas yra teigiamas, todėl lygtis turi dvi skirtingas šaknis. Antrąją lygtį analizuojame taip pat:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminantas yra neigiamas, nėra šaknų. Paskutinė lygtis išlieka:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminantas lygus nuliui – šaknis bus viena.

Atkreipkite dėmesį, kad kiekvienai lygčiai buvo parašyti koeficientai. Taip, jis ilgas, taip, nuobodus – bet nesumaišysite šansų ir nepadarysite kvailų klaidų. Pasirinkite patys: greitis ar kokybė.

Beje, jei „užpildysi ranką“, po kurio laiko nebereikės išrašyti visų koeficientų. Tokias operacijas atliksite savo galva. Dauguma žmonių tai pradeda daryti kažkur po 50–70 išspręstų lygčių – apskritai ne tiek daug.

Kvadratinės lygties šaknys

Dabar pereikime prie sprendimo. Jei diskriminantas D > 0, šaknis galima rasti naudojant formules:

Pagrindinė kvadratinės lygties šaknų formulė

Kai D = 0, galite naudoti bet kurią iš šių formulių – gausite tą patį skaičių, kuris bus atsakymas. Galiausiai, jei D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2x - 3 = 0;

15 - 2x - x2 = 0;

x2 + 12x + 36 = 0.

Pirmoji lygtis:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = –2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ lygtis turi dvi šaknis. Suraskime juos:

Antroji lygtis:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = –2; c = 15;
D = (-2) 2 - 4 (-1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ lygtis vėl turi dvi šaknis. Suraskime juos

\[\begin(lygiuoti) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(lygiuoti)\]

Galiausiai trečioji lygtis:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ lygtis turi vieną šaknį. Galima naudoti bet kokią formulę. Pavyzdžiui, pirmasis:

Kaip matote iš pavyzdžių, viskas labai paprasta. Jei žinai formules ir moki skaičiuoti, problemų nekils. Dažniausiai klaidos atsiranda, kai į formulę pakeičiami neigiami koeficientai. Čia vėlgi padės aukščiau aprašyta technika: pažvelkite į formulę pažodžiui, nupieškite kiekvieną žingsnį - ir labai greitai atsikratykite klaidų.

Nebaigtos kvadratinės lygtys

Taip atsitinka, kad kvadratinė lygtis šiek tiek skiriasi nuo pateiktos apibrėžime. Pavyzdžiui:

x2 + 9x = 0;
x2 – 16 = 0.

Nesunku pastebėti, kad šiose lygtyse trūksta vieno iš terminų. Tokias kvadratines lygtis dar lengviau išspręsti nei standartines: joms net nereikia skaičiuoti diskriminanto. Taigi pristatykime naują koncepciją:

Lygtis ax 2 + bx + c = 0 vadinama nepilna kvadratine lygtimi, jei b = 0 arba c = 0, t.y. kintamojo x arba laisvojo elemento koeficientas lygus nuliui.

Žinoma, įmanomas labai sunkus atvejis, kai abu šie koeficientai yra lygūs nuliui: b \u003d c \u003d 0. Šiuo atveju lygtis yra ax 2 \u003d 0. Akivaizdu, kad tokia lygtis turi vieną šaknis: x \u003d 0.

Panagrinėkime kitus atvejus. Tegu b \u003d 0, tada gauname nepilną kvadratinę lygtį, kurios forma yra ax 2 + c \u003d 0. Šiek tiek transformuokime ją:

Nes aritmetika Kvadratinė šaknis egzistuoja tik iš neneigiamo skaičiaus, paskutinė lygybė turi prasmę tik (-c /a ) ≥ 0. Išvada:

Jei nepilna kvadratinė lygtis formos ax 2 + c = 0 tenkina nelygybę (−c / a ) ≥ 0, bus dvi šaknys. Formulė pateikta aukščiau;
Jei (-c / a )< 0, корней нет.

Kaip matote, diskriminanto neprireikė - neišsamiose kvadratinėse lygtyse nėra sudėtingų skaičiavimų. Tiesą sakant, net nebūtina prisiminti nelygybės (−c / a ) ≥ 0. Pakanka išreikšti x 2 reikšmę ir pamatyti, kas yra kitoje lygybės ženklo pusėje. Jei yra teigiamas skaičius, bus dvi šaknys. Jei neigiamas, šaknų iš viso nebus.

Dabar panagrinėkime ax 2 + bx = 0 formos lygtis, kuriose laisvasis elementas lygus nuliui. Čia viskas paprasta: visada bus dvi šaknys. Pakanka daugianarį koeficientuoti:

Bendrojo faktoriaus išėmimas iš skliaustų

Produktas yra lygus nuliui, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Štai iš kur kyla šaknys. Apibendrinant, mes išanalizuosime kelias iš šių lygčių: