Bendroji sinuso formulė trigonometrijoje. Sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas – viskas, ką reikia žinoti OGE ir USE

Pateikiami santykiai tarp pagrindinių trigonometrinių funkcijų – sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento. trigonometrines formules. O kadangi sąsajų tarp trigonometrinių funkcijų yra gana daug, tai paaiškina ir trigonometrinių formulių gausą. Vienos formulės jungia to paties kampo trigonometrines funkcijas, kitos – daugiakampio funkcijas, kitos – leidžia sumažinti laipsnį, ketvirtos – visas funkcijas išreikšti per puskampio liestinę ir pan.

Šiame straipsnyje eilės tvarka išvardijame visas pagrindines trigonometrines formules, kurių pakanka daugumai trigonometrijos problemų išspręsti. Kad būtų lengviau įsiminti ir naudoti, sugrupuosime juos pagal paskirtį ir surašysime į lenteles.

Puslapio naršymas.

Pagrindinės trigonometrinės tapatybės

Pagrindinės trigonometrinės tapatybės nustatyti ryšį tarp vieno kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento. Jie išplaukia iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimo, taip pat vieneto apskritimo sąvokos. Jie leidžia išreikšti vieną trigonometrinę funkciją per bet kurią kitą.

Išsamų šių trigonometrinių formulių aprašymą, jų išvedimą ir taikymo pavyzdžius rasite straipsnyje.

Liejamos formulės

Liejamos formulės išplaukia iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento savybių, tai yra, jos atspindi trigonometrinių funkcijų periodiškumo savybę, simetrijos savybę, taip pat poslinkio tam tikru kampu savybę. Šios trigonometrinės formulės leidžia pereiti nuo darbo su savavališkais kampais prie darbo su kampais nuo nulio iki 90 laipsnių.

Straipsnyje galima išnagrinėti šių formulių pagrindimą, mnemoninę jų įsiminimo taisyklę ir jų taikymo pavyzdžius.

Papildymo formulės

Trigonometrinės sudėties formulės parodykite, kaip dviejų kampų sumos arba skirtumo trigonometrinės funkcijos išreiškiamos šių kampų trigonometrinėmis funkcijomis. Šios formulės yra šių trigonometrinių formulių išvedimo pagrindas.

Formulės dvigubai, trigubai ir kt. kampu

Formulės dvigubai, trigubai ir kt. kampas (jos dar vadinamos kelių kampų formulėmis) parodo, kaip trigonometrinės funkcijos veikia dvigubai, trigubai ir kt. kampai () išreiškiami vieno kampo trigonometrinėmis funkcijomis. Jų išvedimas pagrįstas sudėjimo formulėmis.

Išsamesnė informacija surinkta straipsnių formulėse, skirtose dvigubai, trigubai ir kt. kampas .

Pusės kampo formulės

Pusės kampo formulės parodykite, kaip pusės kampo trigonometrinės funkcijos išreiškiamos sveikojo kampo kosinusu. Šios trigonometrinės formulės kyla iš dvigubo kampo formulių.

Jų išvadas ir taikymo pavyzdžius rasite straipsnyje.

Sumažinimo formulės

Trigonometrinės mažėjančių laipsnių formulės yra skirti palengvinti perėjimą nuo natūralių trigonometrinių funkcijų galių prie sinusų ir kosinusų pirmojo laipsnio, bet kelių kampų. Kitaip tariant, jie leidžia sumažinti trigonometrinių funkcijų galias iki pirmosios.

Trigonometrinių funkcijų sumos ir skirtumo formulės

pagrindinė paskirties vieta trigonometrinių funkcijų sumos ir skirtumo formulės susideda iš perėjimo prie funkcijų sandaugos, o tai labai naudinga supaprastinant trigonometrines išraiškas. Šios formulės taip pat plačiai naudojamos sprendžiant trigonometrines lygtis, nes leidžia apskaičiuoti sinusų ir kosinusų sumą ir skirtumą.

Sinusų, kosinusų ir sinusų sandauga pagal kosinusą formulės

Perėjimas nuo trigonometrinių funkcijų sandaugos prie sumos arba skirtumo atliekamas naudojant sinusų, kosinusų ir sinusų sandaugos formules.

Bašmakovas M.I. Algebra ir analizės pradžia: Proc. 10-11 ląstelių. vid. mokykla - 3 leidimas. - M.: Švietimas, 1993. - 351 p.: iliustr. - ISBN 5-09-004617-4.

Algebra ir analizės pradžia: Proc. 10-11 ląstelių. bendrojo išsilavinimo institucijos / A. N. Kolmogorovas, A. M. Abramovas, Yu. P. Dudnicynas ir kt.; Red. A. N. Kolmogorova.- 14 leid.- M.: Švietimas, 2004.- 384 p.: iliustr.- ISBN 5-09-013651-3.

Gusevas V. A., Mordkovičius A. G. Matematika (vadovas stojantiesiems į technikos mokyklas): Proc. pašalpa.- M.; Aukščiau mokykla, 1984.-351 p., iliustr.

Autorių teisės priklauso protingiems studentams

Visos teisės saugomos.
Saugoma autorių teisių įstatymo. Jokia www.svetainės dalis, įskaitant vidinę medžiagą ir išorinį dizainą, negali būti atgaminta jokia forma arba naudojama be išankstinio raštiško autorių teisių savininko leidimo.

Trigonometrijos studijas pradedame nuo stačiojo trikampio. Apibrėžkime, kas yra sinusas ir kosinusas, taip pat smailiojo kampo liestinė ir kotangentas. Tai yra trigonometrijos pagrindai.

Prisiminkite tai stačiu kampu yra kampas, lygus 90 laipsnių. Kitaip tariant, pusė išskleisto kampo.

Aštrus kampas- mažiau nei 90 laipsnių.

Bukas kampas- didesnis nei 90 laipsnių. Kalbant apie tokį kampą, „bukas“ yra ne įžeidimas, o matematinis terminas :-)

Nubrėžkime statųjį trikampį. Statusis kampas paprastai žymimas . Atkreipkite dėmesį, kad priešais kampą esanti pusė pažymėta ta pačia raide, tik maža. Taigi, pažymėta pusė, esanti priešais kampą A.

Kampas žymimas atitinkama graikiška raide.

Hipotenuzė Statusis trikampis yra kraštinė, priešinga stačiajam kampui.

Kojos- pusės priešais aštrius kampus.

Priešais kampą esanti koja vadinama priešingas(kampo atžvilgiu). Kita koja, esanti vienoje kampo pusėje, vadinama gretimas.

Sinusas smailusis kampas stačiakampiame trikampyje yra priešingos kojos ir hipotenuzės santykis:

Kosinusas smailus kampas stačiakampiame trikampyje - gretimos kojos ir hipotenuzės santykis:

Tangentas smailusis kampas stačiakampiame trikampyje - priešingos kojos ir gretimos kojos santykis:

Kitas (ekvivalentiškas) apibrėžimas: smailiojo kampo liestinė yra kampo sinuso ir jo kosinuso santykis:

Kotangentas smailusis kampas stačiakampiame trikampyje - gretimos kojos ir priešingos kojos santykis (arba lygiaverčiai kosinuso ir sinuso santykis):

Atkreipkite dėmesį į pagrindinius sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento santykius, kurie pateikiami toliau. Jie mums pravers sprendžiant problemas.

Įrodykime kai kuriuos iš jų.

Gerai, mes pateikėme apibrėžimus ir parašytas formules. Bet kam mums reikia sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento?

Mes tai žinome bet kurio trikampio kampų suma yra.

Mes žinome ryšį tarp vakarėliams taisyklingas trikampis. Tai Pitagoro teorema: .

Pasirodo, žinant du trikampio kampus, galima rasti trečiąjį. Žinodami dvi stačiojo trikampio kraštines, galite rasti trečiąją. Taigi, kampams - jų santykis, šonams - savas. Bet ką daryti, jei stačiame trikampyje žinomas vienas kampas (išskyrus stačią) ir viena kraštinė, bet reikia rasti kitas puses?

Su tuo susidūrė žmonės, kurdami vietovės ir žvaigždėto dangaus žemėlapius. Juk ne visada galima tiesiogiai išmatuoti visas trikampio kraštines.

Sinusas, kosinusas ir tangentas – dar vadinami kampo trigonometrinės funkcijos- nurodykite santykį tarp vakarėliams Ir kampuose trikampis. Žinodami kampą, visas jo trigonometrines funkcijas galite rasti naudodami specialias lenteles. O žinodami trikampio ir vienos iš jo kraštinių kampų sinusus, kosinusus ir tangentus, galite rasti likusias dalis.

Taip pat sudarysime sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento verčių lentelę „geriems“ kampams nuo iki.

Atkreipkite dėmesį į du raudonus brūkšnelius lentelėje. Atitinkamoms kampų vertėms liestinė ir kotangentas neegzistuoja.

Išanalizuokime keletą trigonometrijos problemų iš FIPI užduočių banko.

1. Trikampyje kampas yra , . Rasti.

Problema išspręsta per keturias sekundes.

Tiek, kiek,.

2. Trikampyje kampas yra , , . Rasti.

Raskime pagal Pitagoro teoremą.

Problema išspręsta.

Dažnai problemose yra trikampių su kampais ir arba su kampais ir . Atmintinai įsiminkite pagrindinius jų santykius!

Jei trikampis su kampais ir kojelė priešinga kampui ties yra lygi pusė hipotenuzės.

Trikampis su kampais ir yra lygiašonis. Jame hipotenuzė yra kartų didesnė už koją.

Mes svarstėme stačiųjų trikampių sprendimo problemas - tai yra, kaip rasti nežinomas puses ar kampus. Bet tai dar ne viskas! Matematikos egzamino variantuose yra daug užduočių, kur atsiranda trikampio išorinio kampo sinusas, kosinusas, liestinė arba kotangentas. Daugiau apie tai kitame straipsnyje.

Aš neįtikinsiu jūsų nerašyti apgaulės lapų. Rašyk! Įskaitant trigonometrijos sukčiavimo lapus. Vėliau planuoju paaiškinti, kam reikalingi cheat sheets ir kuo jie naudingi. O čia – informacija, kaip ne mokytis, o atsiminti kai kurias trigonometrines formules. Taigi - trigonometrija be cheat sheet!Įsiminimui naudojame asociacijas.

1. Sudėjimo formulės:

kosinusai visada „eina poromis“: kosinusas-kosinusas, sinusas-sinusas. Ir dar vienas dalykas: kosinusai yra „neadekvatūs“. Jie „viskas negerai“, todėl keičia ženklus: „-“ į „+“ ir atvirkščiai.

Sinusai - "mišinys": sinusas-kosinusas, kosinusas-sinusas.

2. Sumos ir skirtumo formulės:

kosinusai visada „eina poromis“. Pridėję du kosinusus – „bandeles“, gauname porą kosinusų – „koloboks“. O atėmus kolobokų tikrai negausime. Gauname porą sinusų. Dar su minusu priekyje.

Sinusai - "mišinys" :

3. Formulės sandaugai paversti suma ir skirtumu.

Kada gauname kosinusų porą? Pridedant kosinusus. Štai kodėl

Kada gauname sinusų porą? Atimant kosinusus. Iš čia:

„Sumaišymas“ gaunamas tiek sudėjus, tiek atimant sinusus. Kas smagiau: pridėti ar atimti? Teisingai, sulenkite. O formulei pridėkite:

Pirmoje ir trečioje formulėse skliausteliuose – suma. Nuo terminų vietų pertvarkymo suma nesikeičia. Tvarka svarbi tik antrajai formulei. Tačiau, kad nesusipainiotumėte, kad būtų lengviau atsiminti, visose trijose formulėse pirmuosiuose skliaustuose imame skirtumą

ir, antra, suma

Lovytės paklodės kišenėje suteikia ramybės: jei pamiršite formelę, galite ją nurašyti. Ir jie suteikia pasitikėjimo: jei nepavyks pasinaudoti cheat sheet, formulės gali būti lengvai įsimenamos.

Trigonometrija, kaip mokslas, atsirado Senovės Rytuose. Pirmuosius trigonometrinius santykius sukūrė astronomai, norėdami sukurti tikslų kalendorių ir orientuotis pagal žvaigždes. Šie skaičiavimai buvo susiję su sferine trigonometrija, o mokykliniame kurse tiriamas plokščio trikampio kraštinių ir kampų santykis.

Trigonometrija yra matematikos šaka, nagrinėjanti trigonometrinių funkcijų savybes ir santykį tarp trikampių kraštinių ir kampų.

I mūsų eros tūkstantmečio kultūros ir mokslo klestėjimo laikais žinios iš Senovės Rytų pasklido į Graikiją. Tačiau pagrindiniai trigonometrijos atradimai yra arabų kalifato vyrų nuopelnas. Visų pirma, Turkmėnijos mokslininkas al-Marazvi pristatė tokias funkcijas kaip liestinė ir kotangentas, sudarė pirmąsias sinusų, liestinių ir kotangentų verčių lenteles. Sinuso ir kosinuso sąvoką pristatė Indijos mokslininkai. Daug dėmesio trigonometrijai skiriama tokių didžiųjų antikos veikėjų kaip Euklidas, Archimedas ir Eratostenas darbuose.

Pagrindiniai trigonometrijos dydžiai

Pagrindinės skaitinio argumento trigonometrinės funkcijos yra sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas. Kiekvienas iš jų turi savo grafiką: sinusą, kosinusą, tangentą ir kotangentą.

Šių dydžių verčių apskaičiavimo formulės yra pagrįstos Pitagoro teorema. Moksleiviams tai geriau žinoma formuluotėje: „Pitagoro kelnės, lygios visomis kryptimis“, nes įrodymas pateiktas lygiašonio stačiakampio trikampio pavyzdžiu.

Sinusas, kosinusas ir kitos priklausomybės nustato ryšį tarp bet kurio stačiojo trikampio smailiųjų kampų ir kraštinių. Pateikiame šių kampo A dydžių skaičiavimo formules ir atsekame trigonometrinių funkcijų ryšį:

Kaip matote, tg ir ctg yra atvirkštinės funkcijos. Jei koją a vaizduosime kaip nuodėmės A ir hipotenuzės c sandaugą, o koją b kaip cos A * c, tada gausime šias liestinės ir kotangento formules:

trigonometrinis ratas

Grafiškai minėtų dydžių santykis gali būti pavaizduotas taip:

Apskritimas šiuo atveju reiškia visas galimas kampo α reikšmes - nuo 0° iki 360°. Kaip matyti iš paveikslo, kiekviena funkcija įgauna neigiamą arba teigiamą reikšmę, priklausomai nuo kampo. Pavyzdžiui, nuodėmė α bus su „+“ ženklu, jei α priklauso I ir II apskritimo ketvirčiams, tai yra, jis yra nuo 0 ° iki 180 °. Kai α nuo 180° iki 360° (III ir IV ketvirčiai), sin α gali būti tik neigiama reikšmė.

Pabandykime sukurti trigonometrines lenteles konkretiems kampams ir išsiaiškinkime dydžių reikšmę.

α reikšmės, lygios 30°, 45°, 60°, 90°, 180° ir pan., vadinamos ypatingais atvejais. Jų trigonometrinių funkcijų reikšmės apskaičiuojamos ir pateikiamos specialių lentelių pavidalu.

Šie kampai pasirinkti neatsitiktinai. Lentelėse esantis žymėjimas π yra radianai. Rad – kampas, kuriame apskritimo lanko ilgis atitinka jo spindulį. Ši reikšmė buvo įvesta siekiant nustatyti universalų ryšį; skaičiuojant radianais tikrasis spindulio ilgis cm neturi reikšmės.

Trigonometrinių funkcijų lentelėse esantys kampai atitinka radianų reikšmes:

Taigi, nesunku atspėti, kad 2π yra visas apskritimas arba 360°.

Trigonometrinių funkcijų savybės: sinusas ir kosinusas

Norint apsvarstyti ir palyginti pagrindines sinuso ir kosinuso, liestinės ir kotangento savybes, būtina nubrėžti jų funkcijas. Tai galima padaryti kreivės, esančios dvimatėje koordinačių sistemoje, forma.

Apsvarstykite lyginamąją sinusinės bangos ir kosinuso bangos savybių lentelę:

sinusoidinė	kosinuso banga
y = sin x	y = cos x
ODZ [-1; vienas]	ODZ [-1; vienas]
sin x = 0, kai x = πk, kur k ϵ Z	cos x = 0, kai x = π/2 + πk, kur k ϵ Z
sin x = 1, kai x = π/2 + 2πk, kur k ϵ Z	cos x = 1, kai x = 2πk, kur k ϵ Z
sin x = - 1, kai x = 3π/2 + 2πk, kur k ϵ Z	cos x = - 1, kai x = π + 2πk, kur k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, ty nelyginė funkcija	cos (-x) = cos x, t.y. funkcija lygi
	funkcija yra periodinė, mažiausias periodas yra 2π
sin x › 0, kai x priklauso I ir II ketvirčiams arba nuo 0° iki 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, kai x priklauso I ir IV ketvirčiams arba nuo 270° iki 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, kai x priklauso III ir IV ketvirčiams arba nuo 180° iki 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, kai x priklauso II ir III ketvirčiams arba nuo 90° iki 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
didėja intervale [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	didėja intervale [-π + 2πk, 2πk]
mažėja intervalais [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	mažėja intervalais
išvestinė (sin x)' = cos x	išvestinė (cos x)’ = - sin x

Nustatyti, ar funkcija lygi, ar ne, labai paprasta. Pakanka įsivaizduoti trigonometrinį apskritimą su trigonometrinių dydžių ženklais ir mintyse „sulankstyti“ grafiką OX ašies atžvilgiu. Jei ženklai yra vienodi, funkcija yra lyginė, priešingu atveju ji yra nelyginė.

Radianų įvedimas ir pagrindinių sinusoidinės bei kosinusinės bangos savybių išvardijimas leidžia mums pateikti tokį modelį:

Labai lengva patikrinti formulės teisingumą. Pavyzdžiui, jei x = π/2, sinusas yra lygus 1, kaip ir x = 0 kosinusas. Patikrinti galima žiūrint į lenteles arba atsekant nurodytų reikšmių funkcijų kreives.

Tangentoido ir kotangentoido savybės

Tangentinės ir kotangentinės funkcijų grafikai labai skiriasi nuo sinusoidinės ir kosinusinės bangos. Reikšmės tg ir ctg yra atvirkštinės viena kitai.

1. Y = tgx.
2. Liestinė linkusi į y reikšmes, kai x = π/2 + πk, bet niekada jų nepasiekia.
3. Mažiausias teigiamas tangentoido periodas yra π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, t.y., funkcija nelyginė.
5. Tg x = 0, jei x = πk.
6. Funkcija didėja.
7. Tg x › 0, kai x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, kai x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Išvestinė (tg x)' = 1/cos 2⁡x .

Apsvarstykite grafinį kotangentoido pavaizdavimą toliau tekste.

Pagrindinės kotangentoido savybės:

1. Y = ctgx.
2. Skirtingai nuo sinuso ir kosinuso funkcijų, tangentoidėje Y gali įgyti visų realiųjų skaičių aibės reikšmes.
3. Kotangentoidas linkęs į y reikšmes, kai x = πk, bet niekada jų nepasiekia.
4. Mažiausias teigiamas kotangentoido periodas yra π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, t.y., funkcija nelyginė.
6. Ctg x = 0, kai x = π/2 + πk.
7. Funkcija mažėja.
8. Ctg x › 0, kai x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, kai x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Išvestinė (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Fix