합리적 방정식을 올바르게 푸는 방법. 유리 방정식

분수 자체가 있는 방정식은 어렵지 않고 매우 흥미롭습니다. 유형을 고려하십시오 분수 방정식그리고 그것들을 해결하는 방법.

분수로 방정식을 푸는 방법 - 분자의 x

미지수가 분자에 있는 분수 방정식이 주어지면 해는 추가 조건이 필요하지 않으며 다음 없이 풀립니다. 추가 번거로움. 일반 양식이러한 방정식은 x/a + b = c입니다. 여기서 x는 미지수, a, b 및 c는 일반 숫자입니다.

x 찾기: x/5 + 10 = 70.

방정식을 풀려면 분수를 제거해야 합니다. 방정식의 각 항에 5를 곱합니다: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x와 5는 감소하고 10과 70은 5를 곱하여 x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300이 됩니다.

x 찾기: x/5 + x/10 = 90.

이 예제는 첫 번째 예제의 약간 더 복잡한 버전입니다. 여기에는 두 가지 솔루션이 있습니다.

• 옵션 1: 방정식의 모든 항에 더 큰 분모를 곱하여 분수를 제거합니다. 즉, 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x=300입니다.
• 옵션 2: 방정식의 좌변을 추가합니다. x/5 + x/10 = 90. 공통 분모는 10입니다. 10을 5로 나누고 x를 곱하면 2x가 됩니다. 10을 10으로 나누고 x를 곱하면 x: 2x+x/10 = 90이 됩니다. 따라서 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300입니다.

종종 x가 등호의 반대쪽에 있는 분수 방정식이 있습니다. 이러한 상황에서는 x가 있는 모든 분수를 한 방향으로, 숫자를 다른 방향으로 전송해야 합니다.

• x 찾기: 3x/5 = 130 - 2x/5.
• 반대 기호로 2x/5를 오른쪽으로 이동합니다: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• 5x/5를 줄이고 x = 130을 얻습니다.

분수로 방정식을 푸는 방법 - 분모의 x

이러한 유형의 분수 방정식은 추가 조건을 작성해야 합니다. 이러한 조건의 표시는 필수적이고 필수적인 부분입니다. 옳은 결정. 그것들을 귀인하지 않으면 당신은 위험을 감수해야 합니다. 왜냐하면 그것이 정답일지라도 대답은 단순히 계산되지 않을 수 있기 때문입니다.

x가 분모에 있는 분수 방정식의 일반적인 형식은 다음과 같습니다. a/x + b = c, 여기서 x는 미지수, a, b, c는 일반 숫자입니다. x는 숫자가 아닐 수 있습니다. 예를 들어 x는 0으로 나눌 수 없으므로 0이 될 수 없습니다. 이것이 무엇인가 추가 조건, 우리가 지정해야 합니다. 이것을 허용 가능한 값의 범위라고 하며 약어로 ODZ입니다.

x 찾기: 15/x + 18 = 21.

x에 대한 ODZ를 즉시 씁니다. x ≠ 0. 이제 ODZ가 표시되었으므로 다음을 사용하여 방정식을 풉니다. 표준 체계분수 없애기. 방정식의 모든 항에 x를 곱합니다. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

종종 분모가 x뿐만 아니라 덧셈이나 뺄셈과 같은 다른 연산도 포함하는 방정식이 있습니다.

x 찾기: 15/(x-3) + 18 = 21.

우리는 이미 분모가 0과 같을 수 없다는 것을 알고 있습니다. 이는 x-3 ≠ 0을 의미합니다. "-" 기호를 "+"로 변경하면서 -3을 오른쪽으로 옮기면 x ≠ 3이 됩니다. ODZ는 가리키는.

방정식을 풀고 모든 것에 x-3을 곱합니다: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

x를 오른쪽으로, 숫자를 왼쪽으로 이동합니다(24 = 3x => x = 8).

수업 목표:

지도 시간:

• 분수 유리 방정식의 개념 형성;
• 분수 유리 방정식을 푸는 다양한 방법을 고려합니다.
• 분수가 0과 같은 조건을 포함하여 분수 유리 방정식을 푸는 알고리즘을 고려하십시오.
• 알고리즘에 따라 분수 유리 방정식의 솔루션을 가르치기 위해;
• 테스트 작업을 수행하여 주제의 동화 수준을 확인합니다.

개발 중:

• 습득한 지식으로 올바르게 작동하고 논리적으로 생각하는 능력 개발;
• 지적 기술 및 정신 조작의 개발 - 분석, 종합, 비교 및 ​​일반화;
• 이니셔티브의 개발, 결정을 내리는 능력, 거기에서 멈추지 않는 것;
• 개발 비판적 사고;
• 연구 기술의 개발.

양육:

• 육성 인지적 관심주제에;
• 교육 문제 해결을 위한 독립 교육;
• 최종 결과를 달성하기위한 의지와 인내의 교육.

수업 유형: 수업 - 새로운 자료에 대한 설명.

수업 중

1. 조직적 순간.

안녕하세요 여러분! 방정식은 칠판에 쓰여 있으니 잘 보세요. 이 방정식을 모두 풀 수 있습니까? 어떤 것이 그렇지 않으며 그 이유는 무엇입니까?

왼쪽과 오른쪽 부분이 분수 유리 방정식인 방정식을 분수 유리 방정식이라고 합니다. 오늘 수업에서 우리가 무엇을 공부할 것 같습니까? 수업의 주제를 공식화하십시오. 그래서 우리는 노트북을 열고 "분수 유리 방정식의 해"수업 주제를 기록합니다.

2. 지식의 실현. 정면 조사, 학급과의 구두 작업.

그리고 이제 우리는 연구해야 할 주요 이론적 자료를 반복 할 것입니다. 새로운 주제. 다음 질문에 답하십시오.

1. 방정식이란 무엇입니까? ( 변수 또는 변수와의 평등.)
2. 방정식 #1을 무엇이라고 합니까? ( 선의.) 해결 방법 선형 방정식. (미지수가 있는 모든 것을 방정식의 왼쪽으로 옮기고 모든 숫자를 오른쪽으로 옮깁니다. 같은 조건을 가져옵니다. 미지의 승수 찾기).
3. 방정식 3을 무엇이라고 합니까? ( 정사각형.) 이차 방정식을 푸는 방법. ( Vieta 정리와 그 결과를 사용하여 공식에 의한 전체 제곱의 선택.)
4. 비율이란 무엇입니까? ( 두 관계의 평등.) 비율의 주요 속성. ( 비율이 참이면 극단 항의 곱은 중간 항의 곱과 같습니다..)
5. 방정식을 푸는 데 사용되는 속성은 무엇입니까? ( 1. 방정식에서 용어를 한 부분에서 다른 부분으로 옮기고 부호를 변경하면 주어진 것과 동일한 방정식을 얻습니다. 2. 방정식의 두 부분에 0이 아닌 동일한 숫자를 곱하거나 나누면 주어진 값과 동일한 방정식이 얻어집니다..)
6. 분수가 0인 경우는 언제입니까? ( 분자가 0일 때 분수는 0입니다. 영, 분모가 0이 아닙니다..)

3. 신소재에 대한 설명.

공책과 칠판에서 방정식 2를 풉니 다.

답변: 10.

어느 분수 유리 방정식기본 비율 속성을 사용하여 풀 수 있습니까? (5번).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

공책과 칠판에서 방정식 4를 풉니 다.

답변: 1,5.

방정식의 양변에 분모를 곱하여 풀 수 있는 분수 유리 방정식은 무엇입니까? (6번).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x1=3, x2=4.

답변: 3;4.

이제 한 가지 방법으로 방정식 #7을 풀어보십시오.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
답변: 0;5;-2.			답변: 5;-2.

왜 이런 일이 일어 났는지 설명하십시오. 한 경우에는 3개의 뿌리가 있고 다른 경우에는 2개의 뿌리가 있는 이유는 무엇입니까? 이 분수 유리 방정식의 근은 몇 개입니까?

지금까지 외래어 개념을 가진 학생들은 만나지 않았고, 왜 이런 일이 일어났는지 이해하기가 정말 어렵습니다. 반에서 아무도 이 상황에 대해 명확하게 설명할 수 없으면 교사는 주도적인 질문을 합니다.

• 방정식 2와 4는 방정식 5,6,7과 어떻게 다릅니까? ( 숫자의 분모에있는 방정식 2 번과 4 번에서 5-7 번 - 변수가있는 표현.)
• 방정식의 근은 무엇입니까? ( 방정식이 진정한 평등이 되는 변수의 값.)
• 숫자가 방정식의 근인지 확인하는 방법은 무엇입니까? ( 확인.)

시험을 할 때 어떤 학생들은 0으로 나누어야 한다는 것을 알아차립니다. 그들은 숫자 0과 5가 근이 아니라는 결론을 내립니다. 주어진 방정식. 문제가 발생합니다. 이 오류를 제거하는 분수 유리 방정식을 푸는 방법이 있습니까? 예, 이 방법은 분수가 0이라는 조건을 기반으로 합니다.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2.

x=5이면 x(x-5)=0이므로 5는 외부 근입니다.

x=-2이면 x(x-5)≠0입니다.

답변: -2.

이런 식으로 분수 유리 방정식을 푸는 알고리즘을 공식화해 봅시다. 아이들 스스로 알고리즘을 공식화합니다.

분수 유리 방정식을 푸는 알고리즘:

1. 모든 것을 왼쪽으로 이동합니다.
2. 분수를 공통 분모로 가져옵니다.
3. 시스템을 구성하십시오: 분자가 0이고 분모가 0이 아닐 때 분수는 0입니다.
4. 방정식을 풉니다.
5. 부등식을 확인하여 관련 없는 근을 제외합니다.
6. 답을 적어보세요.

토론: 비율의 기본 속성을 사용하고 방정식의 양변에 공통 분모를 곱한 경우 솔루션을 공식화하는 방법. (해결책 보완: 공통 분모를 0으로 만드는 것을 뿌리에서 제외).

4. 새로운 자료에 대한 기본 이해.

쌍으로 작업하십시오. 방정식의 종류에 따라 학생들이 스스로 방정식을 푸는 방법을 선택합니다. 교과서 "대수학 8"의 과제, Yu.N. Makarychev, 2007: No. 600(b, c, i); 601(a, e, g). 교사는 과제 수행을 통제하고, 제기된 질문에 답하고, 성과가 좋지 않은 학생을 지원합니다. 자가 테스트: 답은 칠판에 기록됩니다.

b) 2는 외래근입니다. 답:3.

c) 2는 외래근입니다. 답: 1.5.

a) 답: -12.5.

g) 답: 1, 1.5.

5. 숙제 진술서.

1. 교과서의 25번 항목을 읽고 예제 1-3을 분석하십시오.
2. 분수 유리 방정식을 푸는 알고리즘을 배웁니다.
3. 노트북 번호 600 (a, d, e)에서 해결하십시오. 601호(g, h).
4. #696(a)(선택 사항)을 해결해 보십시오.

6. 연구 주제에 대한 통제 작업의 이행.

작업은 시트에서 수행됩니다.

작업 예:

A) 방정식 중 분수 유리는 무엇입니까?

B) 분자가 ______________________이고 분모가 _______________________일 때 분수는 0입니다.

Q) -3이 식 6의 근인가요?

D) 방정식 7을 풉니다.

작업 평가 기준:

• 학생이 과제의 90% 이상을 올바르게 완료한 경우 "5"가 부여됩니다.
• "4" - 75% -89%
• "3" - 50% -74%
• "2"는 과제의 50% 미만을 완료한 학생에게 주어집니다.
• 2급은 일지에 기재하지 않고 3급은 선택사항입니다.

7. 반성.

독립적 인 작업이있는 전단지에 다음을 넣으십시오.

• 1 - 수업이 흥미롭고 이해하기 쉬운 경우
• 2 - 흥미롭지 만 명확하지 않습니다.
• 3 - 흥미롭지는 않지만 이해할 수 있습니다.
• 4 - 흥미롭지 않고 명확하지 않습니다.

8. 수업을 요약합니다.

그래서, 오늘 우리는 분수 유리 방정식에 대해 알게 된 수업에서 이러한 방정식을 푸는 방법을 배웠습니다. 다른 방법들, 훈련의 도움으로 지식을 테스트했습니다. 독립적 인 일. 다음 수업에서 독립적 인 작업의 결과를 배우고 집에서 얻은 지식을 통합 할 수있는 기회를 갖게됩니다.

분수 유리 방정식을 푸는 어떤 방법이 더 쉽고, 더 접근 가능하고, 더 합리적이라고 생각합니까? 분수 유리 방정식을 푸는 방법에 관계없이 잊어서는 안되는 것은 무엇입니까? 분수 유리 방정식의 "교활함"은 무엇입니까?

모두 감사합니다. 수업이 끝났습니다.

우리는 이미 이차 방정식을 푸는 방법을 배웠습니다. 이제 연구된 방법을 유리 방정식으로 확장해 보겠습니다.

뭐 합리적인 표현? 우리는 이미 이 개념을 접했습니다. 합리적 표현숫자, 변수, 그 차수 및 수학 연산의 기호로 구성된 표현식이라고 합니다.

따라서 유리 방정식은 다음 형식의 방정식입니다. , 여기서 - 합리적인 표현.

이전에는 선형 방정식으로 축소되는 합리적인 방정식만 고려했습니다. 이제 2차 방정식으로 줄일 수 있는 합리적인 방정식을 살펴보겠습니다.

실시예 1

방정식 풀기: .

결정:

분수는 분자가 0이고 분모가 0이 아닌 경우에만 0입니다.

우리는 다음 시스템을 얻습니다.

시스템의 첫 번째 방정식은 이차 방정식. 그것을 풀기 전에 모든 계수를 3으로 나눕니다. 우리는 다음을 얻습니다.

우리는 두 개의 뿌리를 얻습니다: ; .

2는 절대 0이 아니므로 두 가지 조건이 충족되어야 합니다. . 위에서 얻은 방정식의 근은 두 번째 부등식을 풀 때 얻은 변수의 잘못된 값과 일치하지 않으므로 둘 다 이 방정식의 해입니다.

답변:.

따라서 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘을 공식화해 보겠습니다.

1. 우변에서 0이 얻어지도록 모든 항을 좌변으로 옮긴다.

2. 좌변을 변형하고 단순화하고 모든 분수를 공통 분모로 가져옵니다.

3. 다음 알고리즘에 따라 결과 분수를 0과 동일시합니다. .

4. 첫 번째 방정식에서 구하고 두 번째 부등식을 만족하는 근을 적으십시오.

다른 예를 살펴보겠습니다.

실시예 2

방정식을 풉니다. .

결정

처음에는 모든 조건을 다음으로 전송합니다. 왼쪽 0이 오른쪽에 남도록 합니다.

이제 방정식의 왼쪽을 공통 분모로 가져옵니다.

이 방정식은 다음 시스템과 동일합니다.

시스템의 첫 번째 방정식은 이차 방정식입니다.

이 방정식의 계수: . 판별식을 계산합니다.

우리는 두 개의 뿌리를 얻습니다: ; .

이제 두 번째 부등식을 풉니다. 요인의 곱은 0이 아닌 요인이 없는 경우에만 0이 아닙니다.

두 가지 조건이 충족되어야 합니다. . 우리는 첫 번째 방정식의 두 근을 얻었고 하나만 적합합니다 - 3.

답변:.

이번 시간에는 이차방정식이 무엇인지 기억하고, 이차방정식으로 축약된 이차방정식을 푸는 방법도 배웠습니다.

다음 수업에서는 이성방정식을 실제 상황의 모델로 고려하고 모션 문제도 고려합니다.

서지

1. 바쉬마코프 M.I. 대수학, 8학년. - M.: 계몽, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al.Algebra, 8. 5th ed. - 남: 교육, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. 대수학, 8학년. 튜토리얼 교육 기관. - 남: 교육, 2006.

1. 교육적 아이디어의 축제 " 공개 수업" ().
2. School.xvatit.com().
3. Rudocs.exdat.com().

숙제

지금까지 우리는 미지수에 대한 정수 방정식, 즉 분모(있는 경우)에 미지수가 포함되지 않은 방정식만 풀었습니다.

종종 분모에 미지수가 포함된 방정식을 풀어야 합니다. 이러한 방정식을 분수라고 합니다.

이 방정식을 풀기 위해 양변에 미지수를 포함하는 다항식을 곱합니다. 새로운 방정식이 주어진 방정식과 같습니까? 질문에 답하기 위해 이 방정식을 풀어 보겠습니다.

양변에 를 곱하면 다음을 얻습니다.

이 1차 방정식을 풀면 다음을 찾습니다.

따라서 방정식 (2)에는 단일 루트가 있습니다.

이를 식 (1)에 대입하면 다음을 얻습니다.

따라서 방정식 (1)의 근이기도 합니다.

식 (1)에는 다른 근이 없습니다. 우리의 예에서 이것은 예를 들어 방정식 (1)에서

미지의 제수가 배당 1을 몫 2로 나눈 것과 같아야 하는 방법, 즉

따라서 식 (1)과 (2)는 하나의 근을 가지므로 동등합니다.

2. 이제 다음 방정식을 풉니다.

가장 단순한 공통 분모: ; 방정식의 모든 항을 곱합니다.

감소 후 우리는 다음을 얻습니다.

대괄호를 확장해 보겠습니다.

같은 용어를 사용하면 다음과 같습니다.

이 방정식을 풀면 다음을 찾습니다.

방정식 (1)에 대입하면 다음을 얻습니다.

왼쪽에서는 말이 안 되는 표현을 받았습니다.

따라서 식 (1)의 근은 그렇지 않습니다. 이것은 방정식 (1)이 동등하지 않다는 것을 의미합니다.

이 경우 식 (1)은 외래근을 얻었다고 합니다.

방정식 (1)의 솔루션을 이전에 고려한 방정식의 솔루션과 비교해 보겠습니다(§ 51 참조). 이 방정식을 풀 때 우리는 이전에 볼 수 없었던 두 가지 연산을 수행해야 했습니다. 첫째, 미지(공통 분모)를 포함하는 식으로 방정식의 양변에 곱하고, 둘째, 다음을 포함하는 인수로 대수 분수를 줄였습니다. 미지의 .

식 (1)과 식 (2)를 비교하면 식 (2)에 대해 유효한 모든 x 값이 식 (1)에 대해 유효한 것은 아님을 알 수 있습니다.

방정식 (1)에 대해 미지수의 허용 가능한 값이 아닌 숫자 1과 3이며 변환의 결과로 방정식 (2)에 허용됩니다. 이 숫자들 중 하나는 식 (2)의 해로 밝혀졌지만 물론 식 (1)의 해가 될 수는 없습니다. 식 (1)에는 해가 없습니다.

이 예는 방정식의 양변에 미지수를 포함하는 인자를 곱할 때와 대수 분수이것과 동일하지 않은 방정식을 얻을 수 있습니다. 즉, 외부 근이 나타날 수 있습니다.

따라서 우리는 다음과 같은 결론을 내립니다. 분모에 미지수를 포함하는 방정식을 풀 때 결과 근은 원래 방정식에 대입하여 확인해야 합니다. 외부 뿌리는 버려야 합니다.

간단히 말해서 분모에 변수가 하나 이상 있는 방정식입니다.

예를 들어:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

예시 ~ 아니다분수 유리 방정식:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

분수 유리 방정식은 어떻게 해결됩니까?

분수 유리 방정식에 대해 기억해야 할 주요 사항은 작성해야 한다는 것입니다. 그리고 뿌리를 찾은 후에는 허용 여부를 확인하십시오. 그렇지 않으면 외부 뿌리가 나타날 수 있으며 전체 솔루션이 잘못된 것으로 간주됩니다.

분수 유리 방정식을 푸는 알고리즘:

ODZ를 작성하고 "해결"하십시오.

방정식의 각 항에 공통 분모를 곱하고 결과 분수를 줄입니다. 분모가 사라집니다.

여는 대괄호 없이 방정식을 작성하십시오.

결과 방정식을 풉니다.

ODZ로 찾은 뿌리를 확인하세요.

7단계에서 테스트를 통과한 뿌리를 답으로 적어 두십시오.

알고리즘, 3-5개의 풀린 방정식을 외우지 마십시오. 그러면 저절로 기억될 것입니다.

예시 . 분수 유리 방정식 풀기 \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

결정:

답변: \(3\).

예시 . 분수 유리 방정식 \(=0\)의 근 찾기

결정:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		우리는 ODZ를 기록하고 "해결"합니다. \(x^2+7x+10\)을 공식으로 확장합니다. \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). 다행히 \(x_1\) 및 \(x_2\)는 이미 찾았습니다.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		분명히, 분수의 공통 분모: \((x+2)(x+5)\). 우리는 전체 방정식을 곱합니다.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		우리는 분수를 줄입니다
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		브래킷 열기
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		우리는 같은 조건을 제공
\(2x^2+9x-5=0\)		방정식의 근원 찾기
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		루트 중 하나가 ODZ에 맞지 않으므로 이에 대한 응답으로 두 번째 루트만 기록합니다.

답변: \(\frac(1)(2)\).