분수 유리 방정식 풀기의 예. 비디오 수업 "합리 방정식

\(\bullet\) 유리 방정식은 \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\]로 표현되는 방정식입니다. 여기서 \(P(x), \ Q(x)\) - 다항식(다양한 각도의 "xes"의 합계에 다양한 숫자를 곱함).
방정식의 왼쪽에 있는 식을 유리식이라고 합니다.
유리 방정식의 ODZ(허용 가능한 값의 범위)는 분모가 사라지지 않는 모든 값 \(x\), 즉 \(Q(x)\ne 0\) 입니다.
\(\bullet\) 예를 들어, 방정식 \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\]합리적인 방정식입니다.
첫 번째 방정식에서 ODZ는 모두 \(x\)이므로 \(x\ne 3\)( \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); 두 번째 방정식에서 이들은 모두 \(x\) 이므로 \(x\ne -1; x\ne 1\) (쓰기 \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)); 세 번째 방정식에서는 ODZ에 대한 제한이 없습니다. 즉, ODZ는 모두 \(x\)입니다(\(x\in\mathbb(R)\) 씁니다). \(\bullet\) 정리:
1) 두 요인의 곱은 둘 중 하나인 경우에만 0입니다. 영, 다른 하나는 그 의미를 잃지 않으므로 방정식 \(f(x)\cdot g(x)=0\)은 시스템과 동일합니다. \[\begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(aligned) \end(gathered) \right.\\ \ 텍스트(ODV 방정식) \end(케이스)\] 2) 분자가 0이고 분모가 0이 아닌 경우에만 분수는 0이므로 방정식 \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ )은 연립방정식과 동일합니다. \[\begin(cases) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(cases)\]\(\bullet\) 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

1) 방정식 \(x+1=\dfrac 2x\) 을 풉니다. ODZ를 찾아보자 주어진 방정식는 \(x\ne 0\)입니다(\(x\)가 분모에 있기 때문에).
따라서 ODZ는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
모든 항을 한 부분으로 옮기고 공통 분모로 줄이겠습니다. \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin( 케이스) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(케이스)\]시스템의 첫 번째 방정식의 해는 \(x=-2, x=1\) 입니다. 두 루트가 모두 0이 아님을 알 수 있습니다. 따라서 답은 \(x\in \(-2;1\)\) 입니다.

2) 방정식 풀기 \(\left(\dfrac4x - 2\right)\cdot (x^2-x)=0\). 이 방정식의 ODZ를 구합시다. 좌변이 의미가 없는 유일한 값 \(x\) 은 \(x=0\) 입니다. 따라서 OD는 다음과 같이 작성할 수 있습니다. \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
따라서 이 방정식은 다음 시스템과 동일합니다.

\[\begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(aligned) \end(gathered) \right. \\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \end(정렬) \end(모음) \right.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(모임)\begin(정렬) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(정렬) \end(집합) \right.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(집합) \begin(aligned) &x=2\\ &x=1 \end(aligned) \end(gathered) \right.\]실제로 \(x=0\)이 두 번째 요인의 근이라는 사실에도 불구하고 원래 방정식에서 \(x=0\)을 대입하면 의미가 없습니다. 왜냐하면 \(\dfrac 40\) 표현식이 정의되지 않았습니다.
따라서 이 방정식의 해는 \(x\in \(1;2\)\) 입니다.

3) 방정식 풀기 \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\]방정식 \(4x^2-1\ne 0\) 에서 \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , 즉 \(x\ne -\frac12; \frac12\) 입니다.
우리는 모든 항을 왼쪽으로 옮기고 공통 분모로 줄입니다.

\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow \quad \begin(cases) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(gathered) \begin( 정렬) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(정렬)\end(집합) \right.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(케이스) \quad \ 왼쪽오른쪽화살표 \quad x=-3\)

답: \(x\in \(-3\)\) .

논평. 답이 유한한 숫자 집합으로 구성된 경우 앞의 예와 같이 중괄호 안에 세미콜론으로 구분하여 쓸 수 있습니다.

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수업 목표:

지도 시간:

분수 유리 방정식의 개념 형성;
분수 유리 방정식을 푸는 다양한 방법을 고려합니다.
분수가 0과 같은 조건을 포함하여 분수 유리 방정식을 푸는 알고리즘을 고려하십시오.
알고리즘에 따라 분수 유리 방정식의 솔루션을 가르치기 위해;
테스트 작업을 수행하여 주제의 동화 수준을 확인합니다.

개발 중:

습득한 지식으로 올바르게 작동하고 논리적으로 생각하는 능력 개발;
지적 기술 및 정신 조작의 개발 - 분석, 종합, 비교 및 일반화;
이니셔티브의 개발, 결정을 내리는 능력, 거기에서 멈추지 않는 것;
개발 비판적 사고;
연구 기술의 개발.

양육:

육성 인지적 관심주제에;
교육 문제 해결을 위한 독립 교육;
최종 결과를 달성하기위한 의지와 인내의 교육.

수업 유형: 수업 - 새로운 자료에 대한 설명.

수업 중

1. 조직적 순간.

안녕하세요 여러분! 방정식은 칠판에 쓰여 있으니 잘 보세요. 이 방정식을 모두 풀 수 있습니까? 어떤 것이 그렇지 않으며 그 이유는 무엇입니까?

좌변과 우변이 분수인 방정식 합리적인 표현, 분수 유리 방정식이라고합니다. 오늘 수업에서 우리가 무엇을 공부할 것 같습니까? 수업의 주제를 공식화하십시오. 그래서 우리는 노트북을 열고 "분수 유리 방정식의 해"수업 주제를 기록합니다.

2. 지식의 실현. 정면 조사, 학급과의 구두 작업.

그리고 이제 우리는 연구해야 할 주요 이론적 자료를 반복 할 것입니다. 새로운 주제. 다음 질문에 답하십시오.

방정식이란 무엇입니까? ( 변수 또는 변수와의 평등.)
방정식 #1을 무엇이라고 합니까? ( 선의.) 해결 방법 선형 방정식. (미지수가 있는 모든 것을 방정식의 왼쪽으로 옮기고 모든 숫자를 오른쪽으로 옮깁니다. 같은 조건을 가져옵니다. 미지의 승수 찾기).
방정식 3을 무엇이라고 합니까? ( 정사각형.) 이차 방정식을 푸는 방법. ( Vieta 정리와 그 결과를 사용하여 공식에 의한 전체 제곱의 선택.)
비율이란 무엇입니까? ( 두 관계의 평등.) 비율의 주요 속성. ( 비율이 참이면 극단 항의 곱은 중간 항의 곱과 같습니다..)
방정식을 푸는 데 사용되는 속성은 무엇입니까? ( 1. 방정식에서 용어를 한 부분에서 다른 부분으로 옮기고 부호를 변경하면 주어진 것과 동일한 방정식을 얻습니다. 2. 방정식의 두 부분을 모두 0이 아닌 동일한 숫자로 곱하거나 나누면 주어진 값과 동일한 방정식이 얻어집니다..)
분수가 0인 경우는 언제입니까? ( 분자가 0이고 분모가 0이 아닌 경우 분수는 0입니다..)

3. 신소재에 대한 설명.

공책과 칠판에서 방정식 2를 풉니 다.

답변: 10.

비율의 기본 속성을 사용하여 어떤 분수 유리 방정식을 풀 수 있습니까? (5번).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

공책과 칠판에서 방정식 4를 풉니 다.

답변: 1,5.

방정식의 양변에 분모를 곱하여 풀 수 있는 분수 유리 방정식은 무엇입니까? (6번).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x1=3, x2=4.

답변: 3;4.

이제 한 가지 방법으로 방정식 #7을 풀어보십시오.


(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
답변: 0;5;-2.			답변: 5;-2.

왜 이런 일이 일어 났는지 설명하십시오. 한 경우에는 3개의 뿌리가 있고 다른 경우에는 2개의 뿌리가 있는 이유는 무엇입니까? 이 분수 유리 방정식의 근은 몇 개입니까?

지금까지 학생들은 외래어 개념을 만나지 못했고, 왜 이런 일이 일어났는지 이해하기가 정말 어렵습니다. 반에서 아무도 이 상황에 대해 명확하게 설명할 수 없으면 교사는 주도적인 질문을 합니다.

방정식 2와 4는 방정식 5,6,7과 어떻게 다릅니까? ( 숫자의 분모에있는 방정식 2 번과 4 번에서 5-7 번 - 변수가있는 표현.)
방정식의 근은 무엇입니까? ( 방정식이 진정한 평등이 되는 변수의 값.)
숫자가 방정식의 근인지 확인하는 방법은 무엇입니까? ( 확인.)

시험을 할 때 어떤 학생들은 0으로 나누어야 한다는 것을 알아차립니다. 그들은 숫자 0과 5가 이 방정식의 근이 아니라는 결론을 내립니다. 문제가 발생합니다. 이 오류를 제거하는 분수 유리 방정식을 푸는 방법이 있습니까? 예, 이 방법은 분수가 0이라는 조건을 기반으로 합니다.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2.

x=5이면 x(x-5)=0이므로 5는 외부 근입니다.

x=-2이면 x(x-5)≠0입니다.

답변: -2.

이런 식으로 분수 유리 방정식을 푸는 알고리즘을 공식화해 봅시다. 아이들 스스로 알고리즘을 공식화합니다.

분수 유리 방정식을 푸는 알고리즘:

모든 것을 왼쪽으로 이동합니다.
분수를 공통 분모로 가져옵니다.
시스템을 구성하십시오: 분자가 0이고 분모가 0이 아닐 때 분수는 0입니다.
방정식을 풉니다.
부등식을 확인하여 관련 없는 근을 제외합니다.
답을 적어보세요.

토론: 비율의 기본 속성을 사용하고 방정식의 양변에 공통 분모를 곱한 경우 솔루션을 공식화하는 방법. (해결책 보완: 공통 분모를 0으로 만드는 것을 뿌리에서 제외).

4. 새로운 자료에 대한 기본 이해.

쌍으로 작업하십시오. 방정식의 종류에 따라 학생들이 스스로 방정식을 푸는 방법을 선택합니다. 교과서 "대수학 8"의 과제, Yu.N. Makarychev, 2007: No. 600(b, c, i); 601(a, e, g). 교사는 과제 수행을 통제하고, 제기된 질문에 답하고, 성과가 좋지 않은 학생을 지원합니다. 자가 테스트: 답은 칠판에 기록됩니다.

b) 2는 외래근입니다. 답:3.

c) 2는 외래근입니다. 답: 1.5.

a) 답: -12.5.

g) 답: 1, 1.5.

5. 숙제 진술서.

교과서의 25번 항목을 읽고 예제 1-3을 분석하십시오.
분수 유리 방정식을 푸는 알고리즘을 배웁니다.
노트북 번호 600 (a, d, e)에서 해결하십시오. 601호(g, h).
#696(a)(선택 사항)을 해결해 보십시오.

6. 연구 주제에 대한 통제 작업의 이행.

작업은 시트에서 수행됩니다.

작업 예:

A) 방정식 중 분수 유리는 무엇입니까?

B) 분자가 ______________________이고 분모가 _______________________일 때 분수는 0입니다.

Q) -3이 식 6의 근인가요?

D) 방정식 7을 풉니다.

작업 평가 기준:

학생이 과제의 90% 이상을 올바르게 완료한 경우 "5"가 부여됩니다.
"4" - 75% -89%
"3" - 50% -74%
"2"는 과제의 50% 미만을 완료한 학생에게 주어집니다.
2급은 일지에 기재하지 않고 3급은 선택사항입니다.

7. 반성.

독립적 인 작업이있는 전단지에 다음을 넣으십시오.

1 - 수업이 흥미롭고 이해하기 쉬운 경우
2 - 흥미롭지 만 명확하지 않습니다.
3 - 흥미롭지는 않지만 이해할 수 있습니다.
4 - 흥미롭지 않고 명확하지 않습니다.

8. 수업을 요약합니다.

그래서, 오늘 우리는 분수 유리 방정식에 대해 알게 된 수업에서 이러한 방정식을 푸는 방법을 배웠습니다. 다른 방법들, 훈련의 도움으로 지식을 테스트했습니다. 독립적 인 일. 다음 수업에서 독립적 인 작업의 결과를 배우고 집에서 얻은 지식을 통합 할 수있는 기회를 갖게됩니다.

분수 유리 방정식을 푸는 어떤 방법이 더 쉽고, 더 접근 가능하고, 더 합리적이라고 생각합니까? 분수 유리 방정식을 푸는 방법에 관계없이 잊어서는 안되는 것은 무엇입니까? 분수 유리 방정식의 "교활함"은 무엇입니까?

모두 감사합니다. 수업이 끝났습니다.

결정 분수 유리 방정식

도움말 안내

유리 방정식은 왼쪽과 오른쪽이 모두 유리 표현식인 방정식입니다.

(유리수 표현식은 정수이고 분수 표현덧셈, 뺄셈, 곱셈 또는 나눗셈 연산을 포함하여 근수 없음 - 예: 6x; (m – n)2; x/3y 등)

분수 - 유리 방정식은 원칙적으로 다음과 같은 형식으로 축소됩니다.

어디에 피(엑스) 그리고 큐(엑스) 다항식입니다.

이러한 방정식을 풀려면 방정식의 양변에 Q(x)를 곱하면 외부 근이 나타날 수 있습니다. 따라서 분수 유리 방정식을 풀 때 구한 근을 확인할 필요가 있습니다.

유리 방정식은 변수를 포함하는 표현식으로 나누기가 없는 경우 정수 또는 대수라고 합니다.

전체 유리 방정식의 예:

5x - 10 = 3(10 - x)

3배
-=2x-10
4

유리 방정식에서 변수 (x)를 포함하는 표현식으로 나누기가 있는 경우 방정식을 분수 유리라고 합니다.

분수 유리 방정식의 예:

15
x + - = 5x - 17
엑스

분수 유리 방정식은 일반적으로 다음과 같이 풀립니다.

1) 분수의 공통 분모를 찾고 방정식의 두 부분을 곱합니다.

2) 결과로 나온 전체 방정식을 풉니다.

3) 분수의 공통 분모를 0으로 만드는 것을 뿌리에서 제외하십시오.

정수 및 분수 유리 방정식 풀기의 예.

예 1. 전체 방정식 풀기

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

결정:

가장 낮은 공통 분모를 찾습니다. 이것은 6입니다. 6을 분모로 나누고 그 결과에 각 분수의 분자를 곱하십시오. 다음과 같은 방정식을 얻습니다.

3(x - 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

좌우측이기 때문에 같은 분모, 생략 가능합니다. 그러면 더 간단한 방정식이 생깁니다.

3(x - 1) + 4x = 5x.

대괄호를 열고 다음과 같은 용어를 줄여서 해결합니다.

3x - 3 + 4x = 5x

3x + 4x - 5x = 3

예제가 해결되었습니다.

예 2. 분수 유리 방정식 풀기

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x - 5 x x(x - 5)

우리는 공통 분모를 찾습니다. 이것은 x(x - 5)입니다. 그래서:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x - 5) x(x - 5) x(x - 5)

이제 모든 표현식에 대해 동일하기 때문에 분모를 다시 제거합니다. 우리는 유사한 항을 줄이고 방정식을 0으로 동일시하고 다음을 얻습니다. 이차 방정식:

x 2 - 3x + x - 5 = x + 5

x 2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

x 2 - 3x - 10 = 0.

이차 방정식을 풀면 -2와 5의 근을 찾습니다.

이 숫자가 원래 방정식의 근인지 확인합시다.

x = –2의 경우 공통 분모 x(x – 5)는 사라지지 않습니다. 따라서 -2는 원래 방정식의 근입니다.

x = 5에서 공통 분모는 사라지고 세 가지 표현식 중 두 개는 의미를 잃습니다. 따라서 숫자 5는 원래 방정식의 근이 아닙니다.

답: x = -2

더 많은 예

실시예 1

x 1 \u003d 6, x 2 \u003d - 2.2.

답: -2.2, 6.

실시예 2

분수로 방정식 풀기예를 살펴보겠습니다. 예제는 간단하고 예시적입니다. 그들의 도움으로 가장 이해하기 쉬운 방식으로 이해할 수 있습니다.
예를 들어, 간단한 방정식 x/b + c = d를 풀어야 합니다.

이 유형의 방정식을 선형이라고 합니다. 분모는 숫자만 포함합니다.

솔루션은 방정식의 양변에 b를 곱하여 수행되며 방정식은 x = b*(d – c) 형식을 취합니다. 왼쪽에 있는 분수의 분모가 줄어듭니다.

예를 들어 해결 방법 분수 방정식:
x/5+4=9
두 부분에 5를 곱합니다. 우리는 다음을 얻습니다.
x+20=45
x=45-20=25

미지수가 분모에 있는 또 다른 예:

이 유형의 방정식을 분수 유리수 또는 단순히 분수라고 합니다.

우리는 분수를 제거하여 분수 방정식을 풀고, 그 후에 이 방정식은 대부분의 경우 일반적인 방법으로 해결되는 선형 또는 이차 방정식으로 바뀝니다. 다음 사항만 고려해야 합니다.

분모를 0으로 만드는 변수의 값은 근이 될 수 없습니다.
식 =0으로 방정식을 나누거나 곱할 수 없습니다.

이것은 허용 값의 영역(ODZ)과 같은 개념이 적용되는 곳입니다. 이는 방정식이 의미가 있는 방정식의 근의 값입니다.

따라서 방정식을 풀려면 근을 찾은 다음 ODZ 준수 여부를 확인해야 합니다. DHS에 해당하지 않는 뿌리는 답변에서 제외됩니다.

예를 들어, 분수 방정식을 풀어야 합니다.

위의 규칙에 따라 x는 = 0이 될 수 없습니다. 이 경우의 ODZ: x - 0이 아닌 모든 값.

방정식의 모든 항에 x를 곱하여 분모를 제거합니다.

그리고 일반적인 방정식을 푸십시오.

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

답: x = 1/3

더 복잡한 방정식을 풀어 보겠습니다.

ODZ는 여기에도 존재합니다: x -2.

이 방정식을 풀면 모든 것을 한 방향으로 옮기지 않고 분수를 공통 분모로 가져옵니다. 한 번에 모든 분모를 줄이는 식으로 방정식의 양변에 즉시 곱합니다.

분모를 줄이려면 왼쪽에 x + 2를, 오른쪽에 2를 곱해야 합니다. 따라서 방정식의 양쪽에 2(x + 2)를 곱해야 합니다.

이것은 위에서 이미 논의한 분수의 가장 일반적인 곱셈입니다.

우리는 동일한 방정식을 작성하지만 약간 다른 방식으로 작성합니다.

왼쪽은 (x + 2)만큼 감소하고 오른쪽은 2만큼 감소합니다. 감소 후 일반적인 선형 방정식을 얻습니다.

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, 이는 ODZ에 해당합니다.

답: x = 2.

분수로 방정식 풀기보이는 것만큼 어렵지 않습니다. 이 기사에서는 이를 예제로 보여주었습니다. 에 어려움이 있는 경우 분수로 방정식을 푸는 방법, 댓글에서 구독을 취소하세요.

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