Radice quadrata aritmetica e sue proprietà.

Questo articolo è una raccolta di informazioni dettagliate che tratta l'argomento delle proprietà delle radici. Considerando l'argomento, inizieremo con le proprietà, studieremo tutte le formulazioni e daremo dimostrazioni. Per consolidare l'argomento, considereremo le proprietà dell'ennesimo grado.

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Proprietà della radice

Parleremo di proprietà.

1. Proprietà numeri moltiplicati un e b, che è rappresentato come l'uguaglianza a · b = a · b . Può essere rappresentato come moltiplicatore, positivo o uguale a zero a 1 , a 2 , … , a k come a 1 a 2 … a k = a 1 a 2 … a k ;
2. da privato a: b =   a: b, a ≥ 0, b > 0, si può anche scrivere in questa forma a b = a b ;
3. Proprietà dalla potenza di un numero un con esponente pari a 2 m = a m per qualsiasi numero un, ad esempio, una proprietà dal quadrato di un numero a 2 = a .

In una qualsiasi delle equazioni presentate, puoi scambiare le parti prima e dopo il trattino, ad esempio, l'uguaglianza a · b = a · b viene trasformata come a · b = a · b . Le proprietà di uguaglianza sono spesso utilizzate per semplificare equazioni complesse.

La dimostrazione delle prime proprietà si basa sulla definizione radice quadrata e proprietà delle potenze con esponente naturale. Per sostanziare la terza proprietà occorre fare riferimento alla definizione del modulo di un numero.

Innanzitutto è necessario dimostrare le proprietà della radice quadrata a · b = a · b . Secondo la definizione, bisogna considerare che a b è un numero, positivo o uguale a zero, che sarà uguale a a b durante la costruzione in un quadrato. Il valore dell'espressione a · b è positivo o uguale a zero come prodotto di numeri non negativi. La proprietà del grado dei numeri moltiplicati permette di rappresentare l'uguaglianza nella forma (a · b) 2 = a 2 · b 2 . Per la definizione della radice quadrata a 2 \u003d aeb 2 \u003d b, quindi a b \u003d a 2 b 2 \u003d a b.

In modo simile, lo si può provare dal prodotto K moltiplicatori a 1 , a 2 , … , a k sarà uguale al prodotto delle radici quadrate di questi fattori. Infatti, a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · ak 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Da questa uguaglianza segue che a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k .

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi per rafforzare l'argomento.

Esempio 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5 , 4 , 2 13 1 2 = 4 , 2 13 1 2 e 2 , 7 4 12 17 0 , 2 (1) = 2 , 7 4 12 17 0. 2 (1) .

È necessario dimostrare la proprietà della radice quadrata aritmetica del quoziente: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. La proprietà consente di scrivere l'uguaglianza a: b 2 = a 2: b 2 , e a 2: b 2 = a: b , mentre a: b è un numero positivo o uguale a zero. Questa espressione ne sarà la prova.

Ad esempio, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 e 30, 121 = 30, 121.

Considera la proprietà della radice quadrata del quadrato di un numero. Può essere scritta come uguaglianza come a 2 = a Per dimostrare questa proprietà, è necessario considerare in dettaglio diverse uguaglianze per a ≥ 0 e a un< 0 .

Ovviamente, per a ≥ 0, l'uguaglianza a 2 = a è vera. In un< 0 l'uguaglianza a 2 = - a sarà vera. In realtà, in questo caso - un > 0 e (− a) 2 = a 2 . Possiamo concludere che a 2 = a , a ≥ 0 - a , a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

Esempio 2

5 2 = 5 = 5 e - 0. 36 2 = - 0. 36 = 0. 36.

La proprietà dimostrata aiuterà a giustificare a 2 m = a m , dove un- reale, e m-numero naturale. Infatti, la proprietà dell'esponenziazione ci permette di sostituire il grado un 2 m espressione (sono) 2, allora a 2 · m = (a m) 2 = a m .

Esempio 3

3 8 = 3 4 = 3 4 e (- 8 , 3) ​​​​14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) ​​​​7 .

Proprietà dell'ennesima radice

Per prima cosa devi considerare le proprietà principali delle radici dell'ennesimo grado:

1. Proprietà dal prodotto dei numeri un e b, che sono positivi o uguali a zero, possono essere espressi come uguaglianza a b n = a n b n , questa proprietà è valida per il prodotto K numeri a 1 , a 2 , … , a k come a 1 a 2 … a k n = a 1 n a 2 n … a k n ;
2. a partire dal numero frazionario ha la proprietà a b n = a n b n , dove un- qualunque numero reale, che è positivo o uguale a zero, e bè un numero reale positivo;
3. Per ogni un e numeri pari n = 2 m a 2 m 2 m = a è vero, e per dispari n = 2 m − 1 l'uguaglianza a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a è soddisfatta.
4. Proprietà di estrazione da a m n = a n m , dove un- qualsiasi numero, positivo o uguale a zero, n e m sono numeri naturali, questa proprietà può anche essere rappresentata come . . un n k n 2 n 1 = un n 1 · n 2 . . . nk ;
5. Per qualsiasi a non negativo e arbitrario n e m, che sono naturali, si può anche definire la giusta uguaglianza a m n · m = a n ;
6. proprietà di laurea n dalla potenza di un numero un, che è positivo o uguale a zero, in natura m, definito dall'uguaglianza a m n = a n m ;
7. Proprietà di confronto che hanno gli stessi esponenti: per qualsiasi numero positivo un e b tale che un< b , la disuguaglianza a n< b n ;
8. La proprietà di confronto che possiede gli stessi numeri radice: se m e n- numeri naturali che m > n, poi a 0 < a < 1 vale la disuguaglianza a m > a n, e per a > 1 sono< a n .

Le equazioni di cui sopra sono valide se le parti prima e dopo il segno di uguale sono invertite. Possono essere utilizzati anche in questa forma. Viene spesso utilizzato durante la semplificazione o la trasformazione delle espressioni.

La dimostrazione delle suddette proprietà della radice si basa sulla definizione, sulle proprietà del grado e sulla definizione del modulo di un numero. Queste proprietà devono essere dimostrate. Ma tutto è in ordine.

1. Innanzitutto dimostreremo le proprietà della radice dell'ennesimo grado dal prodotto a · b n = a n · b n . Per un e b, che sono positivo o zero , anche il valore a n · b n è positivo o uguale a zero, poiché è conseguenza della moltiplicazione di numeri non negativi. La proprietà di un prodotto di potenza naturale ci permette di scrivere l'uguaglianza a n · b n n = a n n · b n n . Per definizione di radice n esimo grado a n n = a e b n n = b , quindi, a n · b n n = a · b . L'uguaglianza risultante è esattamente ciò che doveva essere dimostrato.

Questa proprietà è stata dimostrata in modo simile per il prodotto K fattori: per numeri non negativi a 1 , a 2 , … , a n a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 .

Di seguito sono riportati esempi di utilizzo della proprietà root n esima potenza dal prodotto: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 e 8 , 3 4 17 , (21) 4 3 4 5 7 4 = 8 , 3 17 , (21) 3 5 7 4 .

1. Dimostriamo la proprietà della radice del quoziente a b n = a n b n . In a ≥ 0 e b > 0 la condizione a n b n ≥ 0 è soddisfatta, e a n b n n = a n n b n n = a b .

Mostriamo esempi:

Esempio 4

8 27 3 = 8 3 27 3 e 2 , 3 10: 2 3 10 = 2 , 3: 2 3 10 .

1. Per il passaggio successivo, è necessario dimostrare le proprietà dell'ennesimo grado dal numero al grado n. Rappresentiamo questo come un'uguaglianza a 2 m 2 m = a e a 2 m - 1 2 m - 1 = a per ogni reale un e naturale m. In a ≥ 0 otteniamo a = a e a 2 m = a 2 m , che dimostra l'uguaglianza a 2 m 2 m = a , e l'uguaglianza a 2 m - 1 2 m - 1 = a è ovvia. In un< 0 otteniamo rispettivamente a = - a e a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m . L'ultima trasformazione del numero è valida secondo la proprietà del grado. Questo è ciò che dimostra l'uguaglianza a 2 m 2 m \u003d a, e a 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a sarà vero, poiché - c 2 m - 1 \u003d - c 2 m è considerato dispari grado - 1 per qualsiasi numero c , positivo o uguale a zero.

Per consolidare le informazioni ricevute, considera alcuni esempi utilizzando la proprietà:

Esempio 5

7 4 4 = 7 = 7 , (- 5) 12 12 = - 5 = 5 , 0 8 8 = 0 = 0 , 6 3 3 = 6 e (- 3 , 39) 5 5 = - 3 , 39 .

1. Dimostriamo la seguente uguaglianza a m n = a n · m . Per fare ciò, devi cambiare i numeri prima del segno di uguale e dopo di esso nei punti a n · m = a m n . Questo indicherà la voce corretta. Per un , che è positivo o uguale a zero , della forma a m n è un numero positivo o zero. Passiamo alla proprietà di elevare una potenza a potenza e alla definizione. Con il loro aiuto, puoi trasformare le uguaglianze nella forma a m n n · m = a m n n m = a m m = a . Ciò dimostra la proprietà considerata di una radice da una radice.

Altre proprietà sono dimostrate in modo simile. Veramente, . . . un n k n 2 n 1 n 1 n 2 . . . nk = . . . un n k n 3 n 2 n 2 n 3 . . . nk = . . . a nk n 4 n 3 n 3 n 4 . . . nk = . . . = un n k n k = un .

Ad esempio, 7 3 5 = 7 5 3 e 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24.

1. Dimostriamo la seguente proprietà a m n · m = a n . Per fare ciò, è necessario dimostrare che a n è un numero positivo o uguale a zero. Quando elevato a una potenza n m è sono. Se numero unè positivo o zero, quindi n esimo grado tra unè un numero positivo o uguale a zero Inoltre, a n · m n = a n n m , che doveva essere dimostrato.

Al fine di consolidare le conoscenze acquisite, si considerino alcuni esempi.

1. Dimostriamo la seguente proprietà - la proprietà della radice della potenza della forma a m n = a n m . È ovvio che a a ≥ 0 il grado a n m è un numero non negativo. Inoltre, lei n-esimo grado è uguale a sono, infatti, un n m n = un n m · n = un n n m = un m . Ciò dimostra la proprietà considerata del grado.

Ad esempio, 2 3 5 3 = 2 3 3 5 .

1. Dobbiamo dimostrarlo per tutti i numeri positivi un e B un< b . Si consideri la disuguaglianza a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию un< b . Pertanto, un n< b n при un< b .

Ad esempio, diamo 12 4< 15 2 3 4 .

1. Considera la proprietà radice n-° grado. Innanzitutto, considera la prima parte della disuguaglianza. In m > n e 0 < a < 1 vero a m > a n . Supponiamo a m ≤ a n . Le proprietà semplificheranno l'espressione a n m · n ≤ a m m · n . Quindi, secondo le proprietà di un grado con esponente naturale, è soddisfatta la disuguaglianza a n m n m n ≤ a m m n m n, cioè un n ≤ un m. Il valore ottenuto a m > n e 0 < a < 1 non corrisponde alle proprietà di cui sopra.

Allo stesso modo, lo si può dimostrare m > n e a > 1 condizione una m< a n .

Per correggere le proprietà di cui sopra, considerane alcune esempi concreti. Considera le disuguaglianze usando numeri specifici.

Esempio 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

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La superficie di un lotto di terreno quadrato è di 81 dm². Trova la sua parte. Supponiamo che la lunghezza del lato del quadrato sia X decimetri. Quindi l'area della trama è X² decimetri quadrati. Poiché, a seconda della condizione, questa superficie è di 81 dm², quindi X² = 81. La lunghezza del lato di un quadrato è un numero positivo. Un numero positivo il cui quadrato è 81 è il numero 9. Quando si risolve il problema, è stato necessario trovare il numero x, il cui quadrato è 81, ovvero risolvere l'equazione X² = 81. Questa equazione ha due radici: X 1 = 9 e X 2 \u003d - 9, da 9² \u003d 81 e (- 9)² \u003d 81. Entrambi i numeri 9 e - 9 sono chiamati radici quadrate del numero 81.

Nota che una delle radici quadrate X= 9 è un numero positivo. Si chiama radice quadrata aritmetica di 81 ed è indicata con √81, quindi √81 = 9.

Radice quadrata aritmetica di un numero unè un numero non negativo il cui quadrato è uguale a un.

Ad esempio, i numeri 6 e -6 sono le radici quadrate di 36. Il numero 6 è la radice quadrata aritmetica di 36, poiché 6 è un numero non negativo e 6² = 36. Il numero -6 non è una radice aritmetica.

Radice quadrata aritmetica di un numero un denotato come segue: √ un.

Il segno è chiamato segno aritmetico della radice quadrata; unè chiamata espressione radice. Espressione √ un leggere in questo modo: la radice quadrata aritmetica di un numero un. Ad esempio, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Nei casi in cui è chiaro che noi stiamo parlando sulla radice aritmetica, dicono brevemente: "la radice quadrata di un«.

L'atto di trovare la radice quadrata di un numero si chiama prendere la radice quadrata. Questa azione è l'inverso della quadratura.

Qualsiasi numero può essere quadrato, ma non tutti i numeri possono essere radici quadrate. Ad esempio, è impossibile estrarre la radice quadrata del numero - 4. Se esistesse una tale radice, indicandola con la lettera X, otterremmo l'uguaglianza sbagliata x² \u003d - 4, poiché c'è un numero non negativo a sinistra e uno negativo a destra.

Espressione √ un ha senso solo quando un ≥ 0. La definizione di radice quadrata si può scrivere sinteticamente come: √ un ≥ 0, (√un)² = un. Uguaglianza (√ un)² = un valido per un ≥ 0. Quindi, per assicurarsi che la radice quadrata di un numero non negativo unè uguale a b, cioè che √ un =b, è necessario verificare che siano soddisfatte le due condizioni seguenti: b ≥ 0, b² = un.

La radice quadrata di una frazione

Calcoliamo. Nota che √25 = 5, √36 = 6 e controlla se l'uguaglianza vale.

Come e , allora l'uguaglianza è vera. Così, .

Teorema: Se un un≥ 0 e b> 0, ovvero la radice della frazione uguale alla radice dal numeratore diviso per la radice del denominatore. È necessario dimostrare che: e .

Dal √ un≥0 e √ b> 0, quindi .

Per la proprietà di elevare una frazione a potenza e di determinare la radice quadrata il teorema è dimostrato. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

Calcola , secondo il teorema dimostrato .

Secondo esempio: dimostralo , Se un ≤ 0, b < 0. .

Un altro esempio: Calcola .

.

Trasformazione radice quadrata

Estrarre il moltiplicatore da sotto il segno della radice. Sia data un'espressione. Se un un≥ 0 e b≥ 0, quindi per il teorema sulla radice del prodotto, possiamo scrivere:

Tale trasformazione è chiamata scomposizione del segno radice. Considera un esempio;

Calcola a X= 2. Sostituzione diretta X= 2 nell'espressione radicale porta a calcoli complicati. Questi calcoli possono essere semplificati se prima rimuoviamo i fattori da sotto il segno della radice: . Sostituendo ora x = 2, otteniamo:.

Quindi, quando si estrae il fattore da sotto il segno della radice, l'espressione radicale è rappresentata come un prodotto in cui uno o più fattori sono i quadrati di numeri non negativi. Viene quindi applicato il teorema del prodotto radice e viene presa la radice di ciascun fattore. Consideriamo un esempio: Semplificando l'espressione A = √8 + √18 - 4√2 togliendo i fattori da sotto il segno della radice nei primi due termini, otteniamo:. Sottolineiamo che l'uguaglianza valido solo quando un≥ 0 e b≥ 0. se un < 0, то .

Fatto 1.
\(\bullet\) Prendi un numero non negativo \(a\) (cioè \(a\geqslant 0\) ). Poi (aritmetica) radice quadrata dal numero \(a\) viene chiamato un tale numero non negativo \(b\), quando lo si quadra otteniamo il numero \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(come )\quad a=b^2\] Dalla definizione deriva che \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Queste restrizioni sono condizione importante l'esistenza di una radice quadrata e dovrebbero essere ricordati!
Ricorda che qualsiasi numero al quadrato dà un risultato non negativo. Cioè, \(100^2=10000\geqslant 0\) e \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Che cos'è \(\sqrt(25)\) ? Sappiamo che \(5^2=25\) e \((-5)^2=25\) . Poiché per definizione dobbiamo trovare un numero non negativo, \(-5\) non è adatto, quindi \(\sqrt(25)=5\) (poiché \(25=5^2\) ).
Trovare il valore \(\sqrt a\) viene chiamato prendendo la radice quadrata del numero \(a\) e il numero \(a\) viene chiamato espressione radice.
\(\bullet\) In base alla definizione, le espressioni \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) , ecc. non ha senso.

Fatto 2.
Per calcoli veloci, sarà utile imparare la tabella dei quadrati numeri naturali da \(1\) a \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Fatto 3.
Cosa si può fare con le radici quadrate?
\(\proiettile\) La somma o la differenza delle radici quadrate NON è UGUALE alla radice quadrata della somma o della differenza, cioè \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Pertanto, se devi calcolare, ad esempio, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , inizialmente devi trovare i valori \(\sqrt(25)\) e \(\sqrt (49)\ ) e poi sommali. Quindi, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Se non è possibile trovare i valori \(\sqrt a\) o \(\sqrt b\) aggiungendo \(\sqrt a+\sqrt b\), tale espressione non viene ulteriormente convertita e rimane com'è. Ad esempio, nella somma \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) possiamo trovare \(\sqrt(49)\) - questo è \(7\) , ma \(\sqrt 2\) non può essere convertito in alcun modo, ecco perché \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Inoltre, questa espressione, purtroppo, non può essere semplificata in alcun modo.\(\bullet\) Il prodotto/quoziente delle radici quadrate è uguale alla radice quadrata del prodotto/quoziente, cioè \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (a condizione che entrambe le parti delle uguaglianze abbiano un senso)
Esempio: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Usando queste proprietà, è conveniente trovare le radici quadrate di grandi numeri fattorizzandoli.
Considera un esempio. Trova \(\sqrt(44100)\) . Poiché \(44100:100=441\) , allora \(44100=100\cdot 441\) . Secondo il criterio di divisibilità, il numero \(441\) è divisibile per \(9\) (poiché la somma delle sue cifre è 9 ed è divisibile per 9), quindi \(441:9=49\) , ovvero \(441=9\ cdot 49\) .
Quindi, abbiamo: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Diamo un'occhiata a un altro esempio: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Mostriamo come inserire i numeri sotto il segno della radice quadrata usando l'esempio dell'espressione \(5\sqrt2\) (abbreviazione dell'espressione \(5\cdot \sqrt2\) ). Poiché \(5=\sqrt(25)\) , allora \ Si noti inoltre che, ad esempio,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Perché? Spieghiamo con l'esempio 1). Come hai già capito, non possiamo in qualche modo convertire il numero \(\sqrt2\) . Immagina che \(\sqrt2\) sia un numero \(a\) . Di conseguenza, l'espressione \(\sqrt2+3\sqrt2\) non è altro che \(a+3a\) (un numero \(a\) più altri tre numeri uguali \(a\) ). E sappiamo che questo è uguale a quattro di questi numeri \(a\) , cioè \(4\sqrt2\) .

Fatto 4.
\(\bullet\) Si dice spesso “non è possibile estrarre la radice” quando non è possibile eliminare il segno \(\sqrt() \ \) della radice (radicale) quando si trova il valore di un numero. Ad esempio, puoi eseguire il root del numero \(16\) perché \(16=4^2\) , quindi \(\sqrt(16)=4\) . Ma estrarre la radice dal numero \(3\) , cioè trovare \(\sqrt3\) , è impossibile, perché non esiste un numero tale che al quadrato darà \(3\) .
Tali numeri (o espressioni con tali numeri) sono irrazionali. Ad esempio, i numeri \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \ sqrt(15)\) eccetera. sono irrazionali.
Irrazionali sono anche i numeri \(\pi\) (il numero “pi”, approssimativamente uguale a \(3,14\) ), \(e\) (questo numero è chiamato numero di Eulero, approssimativamente uguale a \(2 ,7\) ) ecc.
\(\bullet\) Tieni presente che qualsiasi numero sarà razionale o irrazionale. E insieme tutto razionale e tutto numeri irrazionali formare un insieme chiamato insieme di numeri reali (reali). Questo insieme è indicato dalla lettera \(\mathbb(R)\) .
Ciò significa che tutti i numeri che sono questo momento sappiamo che sono chiamati numeri reali.

Fatto 5.
\(\bullet\) Modulo di un numero reale \(a\) è un numero non negativo \(|a|\) uguale alla distanza dal punto \(a\) a \(0\) sul reale linea. Ad esempio, \(|3|\) e \(|-3|\) sono uguali a 3, poiché le distanze dai punti \(3\) e \(-3\) a \(0\) sono le uguale e uguale a \(3 \) .
\(\bullet\) Se \(a\) è un numero non negativo, allora \(|a|=a\) .
Esempio: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Se \(a\) è un numero negativo, allora \(|a|=-a\) .
Esempio: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Dicono che per i numeri negativi, il modulo "mangia" il meno e i numeri positivi, così come il numero \(0\) , il modulo rimane invariato.
MA questa regola si applica solo ai numeri. Se hai uno sconosciuto \(x\) (o qualche altro sconosciuto) sotto il segno del modulo, ad esempio \(|x|\) , di cui non sappiamo se è positivo, uguale a zero o negativo, allora sbarazzarsi del modulo non possiamo. In questo caso, questa espressione rimane tale: \(|x|\) . \(\bullet\) Valgono le seguenti formule: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( fornito ) a\geqslant 0\] Spesso viene commesso il seguente errore: dicono che \(\sqrt(a^2)\) e \((\sqrt a)^2\) sono la stessa cosa. Questo è vero solo quando \(a\) è un numero positivo o zero. Ma se \(a\) è un numero negativo, allora questo non è vero. È sufficiente considerare un esempio del genere. Prendiamo il numero \(-1\) invece di \(a\). Quindi \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ma l'espressione \((\sqrt (-1))^2\) non esiste affatto (perché è impossibile sotto il segno della radice inserire numeri negativi!).
Pertanto, attiriamo la vostra attenzione sul fatto che \(\sqrt(a^2)\) non è uguale a \((\sqrt a)^2\) ! Esempio 1) \(\sqrt(\sinistra(-\sqrt2\destra)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), perché \(-\sqrt2<0\) ;

\(\fantasma(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Poiché \(\sqrt(a^2)=|a|\) , allora \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (l'espressione \(2n\) denota un numero pari)
Cioè, quando si estrae la radice da un numero che è in una certa misura, questo grado viene dimezzato.
Esempio:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (notare che se il modulo non è impostato, risulta che la radice del numero è uguale a \(-25 \) ; ma ricordiamo che, per definizione della radice, questo non può essere: quando si estrae la radice, dovremmo sempre ottenere un numero positivo o zero)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (poiché qualsiasi numero a una potenza pari non è negativo)

Fatto 6.
Come confrontare due radici quadrate?
\(\bullet\) Vero per le radici quadrate: if \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aEsempio:
1) confronta \(\sqrt(50)\) e \(6\sqrt2\) . Innanzitutto, trasformiamo la seconda espressione in \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Quindi, dal momento che \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Tra quali numeri interi c'è \(\sqrt(50)\) ?
Poiché \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) e \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Confronta \(\sqrt 2-1\) e \(0,5\) . Supponiamo \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(allineato) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((aggiungi uno a entrambi i lati))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((quadrare entrambe le parti))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(allineato)\] Vediamo che abbiamo ottenuto una disuguaglianza errata. Pertanto, la nostra ipotesi era sbagliata e \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Si noti che l'aggiunta di un certo numero a entrambi i lati della disuguaglianza non influisce sul suo segno. Anche moltiplicare/dividere entrambe le parti della disuguaglianza per un numero positivo non influisce sul suo segno, ma moltiplicare/dividere per un numero negativo inverte il segno della disuguaglianza!
Entrambi i lati di un'equazione/disuguaglianza possono essere quadrati SOLO SE entrambi i lati non sono negativi. Ad esempio, nella disuguaglianza dell'esempio precedente, puoi quadrare entrambi i lati, nella disuguaglianza \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Nota che \[\begin(allineato) &\sqrt 2\circa 1,4\\ &\sqrt 3\circa 1,7 \end(allineato)\] Conoscere il significato approssimativo di questi numeri ti aiuterà a confrontare i numeri! \(\bullet\) Per estrarre la radice (se estratta) da un numero grande che non è nella tabella dei quadrati, devi prima determinare tra quali “centinaia” si tratta, poi tra quali “decine”, e quindi determinare l'ultima cifra di questo numero. Mostriamo come funziona con un esempio.
Prendi \(\sqrt(28224)\) . Sappiamo che \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) e così via. Nota che \(28224\) è compreso tra \(10\,000\) e \(40\,000\) . Pertanto, \(\sqrt(28224)\) è compreso tra \(100\) e \(200\) .
Ora determiniamo tra quali “decine” è il nostro numero (cioè, ad esempio, tra \(120\) e \(130\) ). Sappiamo anche dalla tabella dei quadrati che \(11^2=121\) , \(12^2=144\) ecc., quindi \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Quindi vediamo che \(28224\) è compreso tra \(160^2\) e \(170^2\) . Pertanto, il numero \(\sqrt(28224)\) è compreso tra \(160\) e \(170\) .
Proviamo a determinare l'ultima cifra. Ricordiamo quali numeri a una cifra durante la quadratura danno alla fine \ (4 \) ? Questi sono \(2^2\) e \(8^2\) . Pertanto, \(\sqrt(28224)\) terminerà con 2 o 8. Controlliamo questo. Trova \(162^2\) e \(168^2\) :
\(162^2=162\cpunto 162=26224\)
\(168^2=168\cpunto 168=28224\) .
Quindi \(\sqrt(28224)=168\) . Ecco!

Per risolvere adeguatamente l'esame di matematica, prima di tutto, è necessario studiare il materiale teorico, che introduce numerosi teoremi, formule, algoritmi, ecc. A prima vista, può sembrare che ciò sia abbastanza semplice. Tuttavia, trovare una fonte in cui la teoria per l'esame di stato unificato in matematica sia presentata in modo facile e comprensibile per studenti con qualsiasi livello di preparazione è, in effetti, un compito piuttosto difficile. I libri di testo scolastici non possono essere sempre tenuti a portata di mano. E trovare le formule base per l'esame di matematica può essere difficile anche su Internet.

Perché è così importante studiare la teoria in matematica, non solo per chi sostiene l'esame?

1. Perché allarga i tuoi orizzonti. Lo studio del materiale teorico in matematica è utile per chiunque voglia ottenere risposte ad un'ampia gamma di domande relative alla conoscenza del mondo. Tutto in natura è ordinato e ha una logica chiara. Questo è esattamente ciò che si riflette nella scienza, attraverso la quale è possibile comprendere il mondo.
2. Perché sviluppa l'intelletto. Studiando i materiali di riferimento per l'esame di matematica, oltre a risolvere vari problemi, una persona impara a pensare e ragionare in modo logico, a formulare pensieri in modo corretto e chiaro. Sviluppa la capacità di analizzare, generalizzare, trarre conclusioni.

Vi invitiamo a valutare personalmente tutti i vantaggi del nostro approccio alla sistematizzazione e presentazione dei materiali didattici.

La matematica è nata quando una persona ha preso coscienza di se stessa e ha iniziato a posizionarsi come unità autonoma del mondo. La voglia di misurare, confrontare, calcolare ciò che ti circonda è ciò che sta alla base di una delle scienze fondamentali dei nostri giorni. All'inizio si trattava di pezzi di matematica elementare, che consentivano di associare i numeri alle loro espressioni fisiche, in seguito le conclusioni iniziarono a essere presentate solo in teoria (a causa della loro astrattezza), ma dopo un po', come disse uno scienziato, " la matematica ha raggiunto il tetto della complessità quando tutti i numeri." Il concetto di "radice quadrata" è apparso in un momento in cui poteva essere facilmente supportato da dati empirici, andando oltre il piano dei calcoli.

Come tutto è cominciato

La prima menzione della radice, che attualmente è indicata come √, è stata registrata negli scritti dei matematici babilonesi, che hanno gettato le basi per l'aritmetica moderna. Certo, assomigliavano un po' alla forma attuale: gli scienziati di quegli anni usavano per la prima volta compresse ingombranti. Ma nel secondo millennio aC. e. hanno escogitato una formula di calcolo approssimativa che mostrava come prendere la radice quadrata. La foto sotto mostra una pietra su cui gli scienziati babilonesi hanno scolpito il processo di output √2, e si è rivelata così corretta che la discrepanza nella risposta è stata trovata solo nel decimo decimale.

Inoltre si usava la radice se era necessario trovare il lato di un triangolo, a patto che si conoscessero gli altri due. Ebbene, quando si risolvono equazioni quadratiche, non c'è scampo dall'estrazione della radice.

Insieme alle opere babilonesi, l'oggetto dell'articolo è stato studiato anche nell'opera cinese "Matematica in nove libri", e gli antichi greci sono giunti alla conclusione che qualsiasi numero da cui la radice non viene estratta senza resto dà un risultato irrazionale .

L'origine di questo termine è associata alla rappresentazione araba del numero: gli antichi scienziati credevano che il quadrato di un numero arbitrario crescesse dalla radice, come una pianta. In latino, questa parola suona come radix (si può tracciare uno schema: tutto ciò che ha un carico semantico "radice" è consonante, sia esso ravanello o sciatica).

Gli scienziati delle generazioni successive raccolsero questa idea, designandola come Rx. Ad esempio, nel XV secolo, per indicare che la radice quadrata è tratta da un numero arbitrario a, scrivevano R 2 a. La “zecca” √, familiare all'aspetto moderno, apparve solo nel XVII secolo grazie a René Descartes.

I nostri giorni

Matematicamente, la radice quadrata di y è il numero z il cui quadrato è y. In altre parole, z 2 =y equivale a √y=z. Tuttavia, questa definizione è rilevante solo per la radice aritmetica, poiché implica un valore non negativo dell'espressione. In altre parole, √y=z, dove z è maggiore o uguale a 0.

In generale, il che è valido per determinare una radice algebrica, il valore di un'espressione può essere positivo o negativo. Quindi, per il fatto che z 2 =y e (-z) 2 =y, abbiamo: √y=±z o √y=|z|.

A causa del fatto che l'amore per la matematica è aumentato solo con lo sviluppo della scienza, ci sono varie manifestazioni di attaccamento ad essa, non espresse in calcoli asciutti. Ad esempio, oltre a eventi interessanti come il giorno del Pi, si celebrano anche le feste della radice quadrata. Si celebrano nove volte in cento anni, e sono determinati secondo il seguente principio: i numeri che indicano il giorno e il mese in ordine devono essere la radice quadrata dell'anno. Quindi, la prossima volta questa festa sarà celebrata il 4 aprile 2016.

Proprietà della radice quadrata sul campo R

Quasi tutte le espressioni matematiche hanno una base geometrica, questo destino non è passato e √y, che è definito come il lato di un quadrato di area y.

Come trovare la radice di un numero?

Esistono diversi algoritmi di calcolo. Il più semplice, ma allo stesso tempo piuttosto ingombrante, è il solito calcolo aritmetico, che è il seguente:

1) dal numero di cui abbiamo bisogno la radice, i numeri dispari vengono sottratti a turno - fino a quando il resto dell'output è inferiore a quello sottratto o pari a zero. Il numero di mosse alla fine diventerà il numero desiderato. Ad esempio, calcolando la radice quadrata di 25:

Il numero dispari successivo è 11, il resto è: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Per questi casi, esiste un'espansione in serie di Taylor:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , dove n assume valori da 0 a

+∞ e |y|≤1.

Rappresentazione grafica della funzione z=√y

Si consideri una funzione elementare z=√y sul campo dei numeri reali R, dove y è maggiore o uguale a zero. Il suo grafico si presenta così:

La curva cresce dall'origine e incrocia necessariamente il punto (1; 1).

Proprietà della funzione z=√y sul campo dei numeri reali R

1. Il dominio di definizione della funzione considerata è l'intervallo da zero a più infinito (zero è compreso).

2. L'intervallo di valori della funzione in esame è l'intervallo da zero a più infinito (lo zero è nuovamente incluso).

3. La funzione assume il valore minimo (0) solo nel punto (0; 0). Non esiste un valore massimo.

4. La funzione z=√y non è né pari né dispari.

5. La funzione z=√y non è periodica.

6. C'è un solo punto di intersezione del grafico della funzione z=√y con gli assi delle coordinate: (0; 0).

7. Il punto di intersezione del grafico della funzione z=√y è anche lo zero di questa funzione.

8. La funzione z=√y è in continua crescita.

9. La funzione z=√y assume solo valori positivi, quindi il suo grafico occupa il primo angolo di coordinate.

Opzioni per visualizzare la funzione z=√y

In matematica, per facilitare il calcolo di espressioni complesse, a volte usano la forma di potere di scrivere la radice quadrata: √y=y 1/2. Questa opzione è conveniente, ad esempio, per elevare una funzione a potenza: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Questo metodo è anche una buona rappresentazione per la differenziazione con integrazione, poiché grazie ad esso la radice quadrata è rappresentata da una normale funzione di potenza.

E in programmazione, la sostituzione del simbolo √ è la combinazione di lettere sqrt.

Vale la pena notare che in quest'area la radice quadrata è molto richiesta, in quanto fa parte della maggior parte delle formule geometriche necessarie per i calcoli. L'algoritmo di conteggio stesso è piuttosto complicato e si basa sulla ricorsione (una funzione che chiama se stessa).

La radice quadrata nel campo complesso C

In generale, è stato l'argomento di questo articolo che ha stimolato la scoperta del campo dei numeri complessi C, poiché i matematici erano ossessionati dalla questione di ottenere una radice di grado pari da un numero negativo. Così mi è apparsa l'unità immaginaria, che è caratterizzata da una proprietà molto interessante: il suo quadrato è -1. Grazie a ciò, anche le equazioni quadratiche sono state risolte con un discriminante negativo. In C, per la radice quadrata, sono rilevanti le stesse proprietà di R, l'unica cosa è che le restrizioni sull'espressione radice vengono rimosse.