Rumus teori probabilitas dan contoh ujian. Teori probabilitas

kejadian acak Setiap peristiwa yang mungkin atau mungkin tidak terjadi sebagai akibat dari beberapa pengalaman.

Probabilitas Peristiwa R sama dengan rasio jumlah hasil yang menguntungkan k di antara semua hasil yang mungkin. n, yaitu

p=\frac(k)(n)

Rumus penjumlahan dan perkalian teori probabilitas

\bar(A) acara ditelepon berlawanan dengan kejadian A, jika kejadian A tidak terjadi.

Jumlah probabilitas kejadian yang berlawanan sama dengan satu, yaitu

P(\bar(A)) + P(A) =1

• Peluang suatu kejadian tidak boleh lebih besar dari 1.
• Jika peluang suatu peristiwa adalah 0, maka itu tidak akan terjadi.
• Jika peluang suatu kejadian adalah 1, maka itu akan terjadi.

Teorema penjumlahan peluang:

“Probabilitas jumlah dua kejadian yang tidak sesuai sama dengan jumlah peluang kejadian ini.”

P(A+B) = P(A) + P(B)

Kemungkinan jumlah dua acara bersama sama dengan jumlah peluang kejadian-kejadian ini tanpa memperhitungkan kejadian bersamanya:

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Teorema perkalian peluang

"Probabilitas produk dari dua peristiwa sama dengan produk dari probabilitas salah satu dari mereka dengan probabilitas bersyarat yang lain, dihitung di bawah kondisi yang pertama terjadi."

P(AB)=P(A)*P(B)

Acara ditelepon tidak cocok, jika penampilan salah satu dari mereka meniadakan penampilan yang lain. Artinya, hanya satu peristiwa tertentu yang dapat terjadi, atau yang lain.

Acara ditelepon persendian, kecuali terjadinya salah satunya menghalangi terjadinya yang lain.

Dua peristiwa acak A dan B disebut mandiri, jika terjadinya salah satunya tidak mengubah kemungkinan terjadinya yang lain. Jika tidak, kejadian A dan B disebut dependen.

Kemungkinan. Tugas ujian profil dalam matematika.

Disiapkan oleh seorang guru matematika di MBOU "Lyceum No. 4", Ruzaevka

Ovchinnikova T.V.

Definisi probabilitas

Kemungkinan peristiwa A memanggil rasio nomor m hasil yang menguntungkan untuk acara ini dengan jumlah total n semua kemungkinan kejadian yang tidak sesuai yang dapat terjadi sebagai hasil dari satu pengujian atau pengamatan:

m

n

Biarlah k - jumlah lemparan koin, maka jumlah kemungkinan hasil: n=2 k .

Biarlah k - jumlah lemparan dadu, maka jumlah kemungkinan hasil: n=6 k .

Dalam sebuah percobaan acak, sebuah koin simetris dilempar dua kali. Tentukan peluang munculnya kepala tepat satu kali.

Keputusan.

Hanya 4 pilihan: tentang; oh oh; hal; hal; tentang .

Menguntungkan 2: tentang; R dan R; tentang .

Peluangnya adalah 2/4 = 1/2 = 0,5 .

Jawaban: 0,5.

Dalam suatu percobaan acak, dua buah dadu dilempar. Tentukan peluang mendapatkan total 8 poin. Bulatkan hasilnya ke perseratus terdekat.

Keputusan.

Dadu adalah dadu dengan 6 sisi. Dadu pertama dapat menggulung 1, 2, 3, 4, 5 atau 6 poin. Setiap pilihan penilaian sesuai dengan 6 pilihan penilaian pada dadu kedua.

Itu. Total berbagai pilihan 6x6=36.

Opsi (hasil eksperimen) adalah sebagai berikut:

1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6

2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6

dll. ...................................

6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6

Mari kita hitung jumlah hasil (pilihan) di mana jumlah poin dari dua dadu adalah 8.

2; 6 3; 5; 4; 4 5; 3 6; 2.

Hanya 5 pilihan.

Mari kita cari peluangnya: 5/36 = 0,138 0,14.

Jawaban: 0.14.

Ada total 55 tiket dalam koleksi tiket biologi, 11 di antaranya berisi pertanyaan tentang botani. Temukan probabilitas bahwa seorang siswa akan mendapatkan pertanyaan tentang botani dalam tiket ujian yang dipilih secara acak.

Keputusan:

Peluang seorang siswa mendapat soal botani dalam tiket ujian yang dipilih secara acak adalah 11/55 = 1/5 = 0,2.

Jawaban: 0.2.

20 atlet berpartisipasi dalam kejuaraan senam: 8 dari Rusia, 7 dari AS, sisanya dari Cina. Urutan penampilan pesenam ditentukan oleh undian. Tentukan peluang atlet yang bertanding pertama kali berasal dari Cina.

Keputusan.

Total ada 20 atlet.

di antaranya 20 - 8 - 7 = 5 atlet dari China.

Peluang atlet yang bertanding pertama kali berasal dari Cina adalah 5/20 = 1/4 = 0,25.

Jawaban: 0,25.

Konferensi ilmiah diadakan dalam 5 hari. Sebanyak 75 laporan direncanakan - tiga hari pertama, masing-masing 17 laporan, sisanya didistribusikan secara merata antara hari keempat dan kelima. Urutan laporan ditentukan dengan undian. Berapa probabilitas bahwa laporan Profesor M. akan dijadwalkan pada hari terakhir konferensi?

Keputusan:

Hari terakhir konferensi dijadwalkan

(75 - 17 × 3) : 2 = 12 laporan.

Probabilitas laporan Profesor M. akan dijadwalkan untuk hari terakhir konferensi adalah 12/75 = 4/25 = 0,16.

Jawaban: 0.16.

Sebelum dimulainya putaran pertama kejuaraan bulu tangkis, para peserta secara acak dibagi menjadi pasangan permainan dengan pengundian. Total ada 26 pemain bulu tangkis yang mengikuti kejuaraan tersebut, termasuk 10 peserta dari Rusia, termasuk Ruslan Orlov. Tentukan peluang bahwa pada putaran pertama Ruslan Orlov akan bermain dengan pemain bulu tangkis dari Rusia?

Keputusan:

Perlu dicatat bahwa Ruslan Orlov harus bermain dengan beberapa pemain bulu tangkis dari Rusia. Dan Ruslan Orlov sendiri juga berasal dari Rusia.

Peluang bahwa pada ronde pertama Ruslan Orlov akan bermain dengan pemain bulu tangkis dari Rusia adalah 9/25 = 36/100 = 0,36.

Jawaban: 0.36.

Dasha melempar dadu dua kali. Dia mencetak total 8 poin. Tentukan peluang terambilnya 2 pada lemparan pertama.

Keputusan.

Secara total, dua dadu harus melempar 8 poin. Ini dimungkinkan jika ada kombinasi berikut:

Hanya 5 pilihan. Mari kita hitung jumlah hasil (opsi) di mana 2 poin jatuh pada lemparan pertama.

Opsi ini adalah 1.

Tentukan peluangnya: 1/5 = 0,2.

Jawaban: 0.2.

Ada 20 tim yang berpartisipasi dalam Kejuaraan Dunia. Dengan bantuan undian, mereka harus dibagi menjadi lima grup yang masing-masing terdiri dari empat tim. Di dalam kotak ada kartu campuran dengan nomor grup:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.

Kapten tim masing-masing mengambil satu kartu. Berapa probabilitas bahwa tim Rusia akan berada di grup ketiga.

Keputusan:

Total ada 20 tim, 5 grup.

Setiap grup terdiri dari 4 tim.

Jadi, secara total, kami mendapat 20 hasil, kami membutuhkan 4, yang berarti peluang hasil yang diinginkan jatuh adalah 4/20 = 0,2.

Jawaban: 0.2.

Dua pabrik memproduksi kaca yang sama untuk lampu depan mobil. Pabrik pertama memproduksi 45% dari kacamata ini, yang kedua - 55%. Pabrik pertama memproduksi 3% dari kacamata yang rusak, dan yang kedua - 1%. Temukan probabilitas bahwa gelas yang dibeli secara tidak sengaja di toko akan rusak.

Keputusan:

Peluang gelas tersebut dibeli di pabrik pertama dan gelas tersebut rusak:

R 1 = 0,45 0,03 = 0,0135.

Peluang gelas tersebut dibeli di pabrik kedua dan gelas tersebut rusak:

R 2 = 0,55 0,01 = 0,0055.

Oleh karena itu, menurut rumus peluang total, peluang rusaknya sebuah gelas yang dibeli di toko secara tidak sengaja adalah sama dengan

p = p 1 + p 2 = 0,0135 + 0,0055 = 0,019.

Jawaban: 0,019.

Jika grandmaster A. bermain putih, maka dia memenangkan grandmaster B. dengan probabilitas 0,52. Jika A. bermain hitam, maka A. mengalahkan B. dengan probabilitas 0,3.

Grandmaster A. dan B. memainkan dua game, dan di game kedua mereka mengubah warna bidak. Tentukan peluang A. menang kedua kali.

Keputusan:

Peluang memenangkan game pertama dan kedua tidak tergantung satu sama lain. Probabilitas menghasilkan peristiwa independen sama dengan produk dari probabilitas mereka:

p = 0,52 0,3 = 0,156.

Jawaban: 0,156.

Biathlete menembak lima kali ke sasaran. Probabilitas mengenai target dengan satu tembakan adalah 0,8. Temukan probabilitas bahwa biathlete mengenai target tiga kali pertama dan meleset dari dua yang terakhir. Bulatkan hasilnya ke perseratus terdekat.

Keputusan:

Hasil setiap bidikan berikutnya tidak bergantung pada bidikan sebelumnya. Oleh karena itu, peristiwa "tembak pada tembakan pertama", "tembak pada tembakan kedua", dll. mandiri.

Probabilitas setiap pukulan adalah 0,8. Jadi peluang salah adalah 1 - 0,8 = 0,2.

1 tembakan: 0,8

2 tembakan: 0,8

3 tembakan: 0.8

4 tembakan: 0.2

5 tembakan: 0.2

Menurut rumus untuk mengalikan probabilitas peristiwa independen, kami menemukan bahwa probabilitas yang diinginkan sama dengan:

0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.

Jawaban: 0,02.

Toko ini memiliki dua mesin pembayaran. Masing-masing dari mereka dapat rusak dengan probabilitas 0,05, terlepas dari otomat lainnya. Temukan probabilitas bahwa setidaknya satu otomat dapat diservis.

Keputusan:

Temukan probabilitas bahwa kedua automata rusak.

Peristiwa-peristiwa ini independen, probabilitas produknya sama dengan produk dari probabilitas kejadian-kejadian ini:

0,05 0,05 = 0,0025.

Suatu peristiwa yang terdiri dari fakta bahwa setidaknya satu otomat dapat diservis adalah kebalikannya.

Oleh karena itu, peluangnya adalah

1 − 0,0025 = 0,9975.

Jawaban: 0,9975.

Koboi John memukul lalat di dinding dengan probabilitas 0,9 jika dia menembak dengan pistol peluru. Jika John menembakkan revolver yang tidak ditembakkan, ia mengenai seekor lalat dengan probabilitas 0,2. Ada 10 revolver di atas meja, yang hanya 4 yang ditembakkan. Cowboy John melihat seekor lalat di dinding, secara acak mengambil revolver pertama yang dia temui dan menembak lalat itu. Temukan probabilitas bahwa John meleset.

Keputusan:

Peluang John akan meleset jika dia mengambil pistol adalah:

0,4 (1 - 0,9) = 0,04

Peluang John akan meleset jika dia mengambil pistol yang tidak ditembakkan adalah:

0,6 (1 - 0,2) = 0,48

Peristiwa-peristiwa ini tidak kompatibel, probabilitas jumlah mereka sama dengan jumlah probabilitas peristiwa-peristiwa ini:

0,04 + 0,48 = 0,52.

Jawaban: 0,52.

Selama penembakan artileri sistem otomatis melakukan tembakan ke sasaran. Jika target tidak hancur, sistem akan menembak lagi. Tembakan diulang sampai target hancur. Probabilitas menghancurkan target tertentu dengan tembakan pertama adalah 0,4, dan dengan setiap tembakan berikutnya adalah 0,6. Berapa banyak tembakan yang diperlukan untuk memastikan bahwa kemungkinan menghancurkan target setidaknya 0,98?

Keputusan:

Anda dapat memecahkan masalah "dengan tindakan", menghitung kemungkinan bertahan setelah serangkaian kesalahan berturut-turut:

P(1) = 0,6;

P(2) = P(1) 0,4 = 0,24;

P(3) = P(2) 0,4 = 0,096;

P(4) = P(3) 0,4 = 0,0384;

P(5) = P(4) 0,4 = 0,01536.

Probabilitas terakhir kurang dari 0,02, jadi lima tembakan tepat sasaran sudah cukup.

Jawaban: 5.

Ada 26 orang di kelas, di antara mereka dua kembar - Andrey dan Sergey. Kelas secara acak dibagi menjadi dua kelompok yang masing-masing terdiri dari 13 orang. Tentukan peluang Andrey dan Sergey berada dalam kelompok yang sama.

Keputusan:

Biarkan salah satu dari si kembar berada dalam kelompok tertentu.

Bersama dengan dia, 12 orang dari 25 teman sekelas yang tersisa akan berada di grup.

Probabilitas bahwa kembar kedua akan berada di antara 12 orang ini sama dengan

P=12:25=0,48.

Jawaban: 0,48.

Gambar tersebut menunjukkan sebuah labirin. Laba-laba merangkak ke dalam labirin di titik "Pintu Masuk". Laba-laba tidak dapat berbalik dan merangkak kembali, oleh karena itu, di setiap pertigaan, laba-laba memilih salah satu jalur yang belum dijelajahinya. Dengan asumsi bahwa pilihan jalur selanjutnya adalah acak murni, tentukan dengan probabilitas berapa laba-laba akan keluar dari D.

Keputusan:

Pada masing-masing dari empat pertigaan yang ditandai, laba-laba dapat memilih jalan menuju pintu keluar D atau jalan lain dengan probabilitas 0,5. Ini adalah peristiwa independen, probabilitas produknya (laba-laba mencapai pintu keluar D) sama dengan produk dari probabilitas kejadian ini. Oleh karena itu, probabilitas datang ke output D adalah (0,5) 4 = 0,0625.

Peristiwa yang terjadi dalam kenyataan atau dalam imajinasi kita dapat dibagi menjadi 3 kelompok. Ini adalah peristiwa tertentu yang pasti akan terjadi, peristiwa yang mustahil, dan peristiwa acak. Teori probabilitas mempelajari peristiwa acak, yaitu peristiwa yang mungkin atau mungkin tidak terjadi. Artikel ini akan disajikan dalam ringkasan teori rumus probabilitas dan contoh pemecahan masalah dalam teori probabilitas, yang akan ada di tugas ke-4 ujian matematika (level profil).

Mengapa kita membutuhkan teori probabilitas

Secara historis, kebutuhan untuk mempelajari masalah ini muncul pada abad ke-17 sehubungan dengan pengembangan dan profesionalisasi berjudi dan munculnya kasino. Itu adalah fenomena nyata yang membutuhkan studi dan penelitian.

Bermain kartu, dadu, rolet menciptakan situasi di mana salah satu dari sejumlah kejadian yang sama kemungkinannya dapat terjadi. Ada kebutuhan untuk memberikan perkiraan numerik tentang kemungkinan terjadinya suatu peristiwa.

Pada abad ke-20, menjadi jelas bahwa ilmu pengetahuan yang tampaknya sembrono ini memainkan peran penting dalam memahami proses mendasar yang terjadi dalam mikrokosmos. Telah dibuat teori modern kemungkinan.

Konsep dasar teori probabilitas

Objek studi teori probabilitas adalah kejadian dan probabilitasnya. Jika kejadiannya kompleks, maka dapat dipecah menjadi komponen sederhana, yang probabilitasnya mudah ditemukan.

Jumlah peristiwa A dan B disebut peristiwa C, yang terdiri dari kenyataan bahwa salah satu peristiwa A, atau peristiwa B, atau peristiwa A dan B terjadi pada waktu yang sama.

Hasil kali kejadian A dan B adalah kejadian C, yang terdiri dari fakta bahwa kejadian A dan kejadian B terjadi.

Peristiwa A dan B dikatakan tidak sesuai jika tidak dapat terjadi secara bersamaan.

Suatu peristiwa A dikatakan tidak mungkin jika tidak mungkin terjadi. Peristiwa semacam itu dilambangkan dengan simbol .

Suatu peristiwa A disebut pasti jika pasti akan terjadi. Peristiwa semacam itu dilambangkan dengan simbol .

Biarkan setiap kejadian A diberi nomor P(A). Angka P(A) ini disebut peluang kejadian A jika kondisi berikut dipenuhi dengan korespondensi seperti itu.

Kasus khusus yang penting adalah situasi ketika ada kemungkinan hasil elementer yang sama, dan hasil yang berubah-ubah ini membentuk kejadian A. Dalam kasus ini, probabilitas dapat diperkenalkan dengan rumus . Probabilitas yang diperkenalkan dengan cara ini disebut probabilitas klasik. Dapat dibuktikan bahwa sifat 1-4 berlaku dalam kasus ini.

Masalah dalam teori probabilitas, yang ditemukan pada ujian matematika, terutama terkait dengan probabilitas klasik. Tugas seperti itu bisa sangat sederhana. Sangat sederhana adalah masalah dalam teori probabilitas di versi demo. Sangat mudah untuk menghitung jumlah hasil yang menguntungkan, jumlah semua hasil ditulis langsung dalam kondisi.

Kami mendapatkan jawabannya sesuai dengan rumus.

Contoh tugas dari ujian matematika untuk menentukan probabilitas

Ada 20 pai di atas meja - 5 dengan kubis, 7 dengan apel dan 8 dengan nasi. Marina ingin mengambil kue. Berapa peluang dia akan mengambil kue beras tersebut?

Keputusan.

Ada total 20 hasil dasar yang setara, yaitu, Marina dapat mengambil salah satu dari 20 kue. Tetapi kita perlu memperkirakan probabilitas bahwa Marina akan mengambil patty nasi, yaitu, di mana A adalah pilihan patty nasi. Ini berarti bahwa kita memiliki total 8 hasil yang menguntungkan (memilih kue beras), maka probabilitasnya akan ditentukan oleh rumus:

Peristiwa Independen, Berlawanan, dan Sewenang-wenang

Namun, di bank tugas terbuka, lebih dari tugas yang sulit. Oleh karena itu, mari kita menarik perhatian pembaca ke pertanyaan lain yang dipelajari dalam teori probabilitas.

Peristiwa A dan B disebut bebas jika peluang masing-masing peristiwa tersebut tidak bergantung pada apakah peristiwa yang lain terjadi.

Peristiwa B terdiri dari fakta bahwa peristiwa A tidak terjadi, mis. kejadian B berlawanan dengan kejadian A. Probabilitas kejadian yang berlawanan sama dengan satu dikurangi probabilitas kejadian langsung, mis. .

Teorema penjumlahan dan perkalian, rumus

Untuk kejadian arbitrer A dan B, peluang jumlah kejadian ini sama dengan jumlah peluangnya tanpa peluang kejadian gabungannya, mis. .

Untuk kejadian bebas A dan B, peluang hasil kali kejadian ini sama dengan hasil kali peluangnya, yaitu pada kasus ini .

2 pernyataan terakhir disebut teorema penjumlahan dan perkalian peluang.

Tidak selalu menghitung jumlah hasil begitu sederhana. Dalam beberapa kasus, perlu menggunakan rumus kombinatorik. Yang paling penting adalah menghitung jumlah kejadian yang memenuhi kondisi tertentu. Terkadang perhitungan seperti itu bisa menjadi tugas mandiri.

Dalam berapa cara 6 siswa dapat duduk di 6 kursi kosong? Siswa pertama akan mengambil salah satu dari 6 tempat. Masing-masing opsi ini sesuai dengan 5 cara untuk menempatkan siswa kedua. Untuk siswa ketiga ada 4 tempat gratis, untuk yang keempat - 3, untuk yang kelima - 2, yang keenam akan mengambil satu-satunya tempat yang tersisa. Untuk menemukan jumlah semua opsi, Anda perlu menemukan produk, yang dilambangkan dengan simbol 6! dan membaca "enam faktorial".

Dalam kasus umum, jawaban untuk pertanyaan ini diberikan oleh rumus untuk jumlah permutasi elemen n. Dalam kasus kami, .

Pertimbangkan sekarang kasus lain dengan siswa kami. Dalam berapa cara 2 siswa dapat duduk di 6 kursi kosong? Siswa pertama akan mengambil salah satu dari 6 tempat. Masing-masing opsi ini sesuai dengan 5 cara untuk menempatkan siswa kedua. Untuk menemukan jumlah semua opsi, Anda perlu menemukan produknya.

Dalam kasus umum, jawaban atas pertanyaan ini diberikan oleh rumus jumlah penempatan n elemen oleh k elemen

Dalam kasus kami.

Dan yang terakhir dalam seri ini. Berapa banyak cara untuk memilih 3 dari 6 siswa? Siswa pertama dapat dipilih dengan 6 cara, yang kedua dalam 5 cara, dan yang ketiga dalam 4 cara. Namun di antara pilihan tersebut, tiga siswa yang sama muncul sebanyak 6 kali. Untuk menemukan jumlah semua opsi, Anda perlu menghitung nilainya: . Dalam kasus umum, jawaban untuk pertanyaan ini diberikan oleh rumus jumlah kombinasi elemen demi elemen:

Dalam kasus kami.

Contoh pemecahan masalah dari ujian dalam matematika untuk menentukan probabilitas

Tugas 1. Dari koleksi, ed. Yaschenko.

Ada 30 pai di piring: 3 dengan daging, 18 dengan kubis dan 9 dengan ceri. Sasha secara acak memilih satu kue. Temukan probabilitas bahwa ia berakhir dengan ceri.

.

Jawaban: 0.3.

Soal 2. Dari koleksi, ed. Yaschenko.

Dalam setiap batch 1000 bola lampu, rata-rata 20 yang rusak. Tentukan peluang terambilnya sebuah bola lampu secara acak dari sebuah batch adalah baik.

Solusi: Jumlah bola lampu yang dapat diservis adalah 1000-20=980. Maka peluang bola lampu yang diambil secara acak dari kelompok akan dapat diservis adalah:

Jawab: 0,98.

Probabilitas siswa U. menyelesaikan lebih dari 9 soal dengan benar pada tes matematika adalah 0,67. Probabilitas bahwa U. memecahkan lebih dari 8 masalah dengan benar adalah 0,73. Temukan probabilitas bahwa U. memecahkan tepat 9 masalah dengan tepat.

Jika kita membayangkan sebuah garis bilangan dan menandai titik 8 dan 9 di atasnya, maka kita akan melihat bahwa kondisi "U. benar memecahkan tepat 9 masalah" termasuk dalam kondisi "U. menyelesaikan lebih dari 8 masalah dengan benar", tetapi tidak berlaku untuk kondisi "W. memecahkan lebih dari 9 masalah dengan benar.

Namun, kondisi "U. menyelesaikan lebih dari 9 soal dengan benar" terdapat dalam kondisi "U. memecahkan lebih dari 8 masalah dengan benar. Jadi, jika kita menunjuk peristiwa: “W. memecahkan tepat 9 masalah dengan benar" - melalui A, "U. memecahkan lebih dari 8 masalah dengan benar" - melalui B, "U. selesaikan lebih dari 9 masalah dengan benar ”melalui C. Maka solusinya akan terlihat seperti ini:

Jawaban: 0,06.

Dalam ujian geometri, siswa menjawab satu pertanyaan dari daftar pertanyaan ujian. Probabilitas bahwa ini adalah pertanyaan trigonometri adalah 0,2. Probabilitas bahwa ini adalah pertanyaan Sudut Luar adalah 0,15. Tidak ada pertanyaan yang terkait dengan dua topik ini secara bersamaan. Temukan probabilitas bahwa siswa akan mendapatkan pertanyaan tentang salah satu dari dua topik ini pada ujian.

Mari kita pikirkan tentang acara apa yang kita miliki. Kami diberi dua peristiwa yang tidak kompatibel. Artinya, pertanyaannya akan berhubungan dengan topik "Trigonometri", atau dengan topik "Sudut luar". Menurut teorema probabilitas, peluang kejadian yang tidak sesuai sama dengan jumlah peluang masing-masing kejadian, kita harus mencari jumlah peluang kejadian tersebut, yaitu:

Jawaban: 0.35.

Ruangan itu diterangi oleh lentera dengan tiga lampu. Peluang satu lampu padam dalam setahun adalah 0,29. Temukan peluang bahwa setidaknya satu lampu tidak padam dalam setahun.

Mari kita pertimbangkan peristiwa yang mungkin terjadi. Kami memiliki tiga bola lampu, yang masing-masing mungkin atau mungkin tidak padam secara independen dari bola lampu lainnya. Ini adalah acara independen.

Kemudian kami akan menunjukkan varian dari acara tersebut. Kami menerima notasi: - bola lampu menyala, - bola lampu padam. Dan segera selanjutnya kita menghitung probabilitas suatu kejadian. Misalnya, peluang terjadinya peristiwa di mana tiga peristiwa independen "bola lampu padam", "bola lampu menyala", "bola lampu menyala" terjadi: di mana peluang peristiwa "bola lampu menyala" dihitung sebagai peluang peristiwa yang berlawanan dengan peristiwa “bola lampu mati”, yaitu .

Rencanakan lokakarya untuk guru matematika dari lembaga pendidikan kota Tula dengan topik “Memecahkan tugas USE dalam matematika dari bagian: kombinatorik, teori probabilitas. Metode pengajaran"

Menghabiskan waktu: 12 00 ; 15 00

Lokasi: MBOU "Lyceum No. 1", kamar. nomor 8

SAYA. Pemecahan masalah untuk probabilitas

1. Memecahkan masalah pada definisi klasik tentang probabilitas

Kami, sebagai guru, sudah tahu bahwa jenis tugas utama dalam USE dalam teori probabilitas didasarkan pada definisi klasik kemungkinan. Ingat apa yang disebut peluang suatu peristiwa?

Peluang suatu kejadian adalah rasio jumlah hasil yang mendukung peristiwa tertentu dengan jumlah total hasil.

Dalam asosiasi ilmiah dan metodologis kami para guru matematika, a skema umum pemecahan masalah untuk kemungkinan. Saya ingin menyampaikannya untuk perhatian Anda. Omong-omong, kami berbagi pengalaman kerja kami, dan dalam materi yang kami berikan untuk perhatian Anda untuk diskusi bersama tentang pemecahan masalah, kami memberikan skema ini. Namun, saya ingin menyuarakannya.

Menurut pendapat kami, skema ini membantu dengan cepat meletakkan semuanya secara logis di rak, dan setelah itu tugas dapat diselesaikan dengan lebih mudah bagi guru dan siswa.

Jadi, saya ingin menganalisis secara rinci masalah konten berikut.

Saya ingin berbicara dengan Anda untuk menjelaskan metodologi bagaimana menyampaikan solusi semacam itu kepada para pria, di mana para pria akan memahami tugas khas ini, dan kemudian mereka akan memahami tugas-tugas ini sendiri.

Apa yang dimaksud dengan eksperimen acak dalam masalah ini? Sekarang kita perlu mengisolasi peristiwa dasar dalam percobaan ini. Apa acara dasar ini? Mari kita daftar mereka.

Masalah pertanyaan?

Rekan-rekan yang terhormat, Anda juga telah dengan jelas mempertimbangkan masalah probabilitas dengan dadu. Saya pikir kita perlu membongkarnya, karena ada beberapa nuansa. Mari kita analisis masalah ini sesuai dengan skema yang kami usulkan kepada Anda. Karena ada angka dari 1 sampai 6 pada setiap sisi kubus, kejadian dasar adalah angka 1, 2, 3, 4, 5, 6. Kami menemukan bahwa jumlah total kejadian elementer sama dengan 6. Mari kita tentukan kejadian elementer mana yang mendukung kejadian tersebut. Hanya dua acara yang mendukung acara ini - 5 dan 6 (karena mengikuti dari kondisi 5 dan 6 poin harus gugur).

Jelaskan bahwa semua kejadian dasar adalah sama mungkin. Apa yang akan menjadi pertanyaan pada tugas?

Bagaimana Anda memahami bahwa koin itu simetris? Mari kita luruskan ini, terkadang frasa tertentu menyebabkan kesalahpahaman. Mari kita memahami masalah ini secara konseptual. Mari kita berurusan dengan Anda dalam percobaan itu, yang dijelaskan, apa hasil dasar yang bisa terjadi. Bisakah Anda bayangkan di mana kepalanya, di mana ekornya? Apa saja opsi kejatuhan? Apakah ada acara lain? Berapa jumlah keseluruhan acara? Menurut masalah, diketahui bahwa kepala jatuh tepat satu kali. Jadi acara iniperistiwa dasar dari empat OR dan RO ini, ini tidak bisa terjadi dua kali. Kami menggunakan rumus yang dengannya probabilitas suatu peristiwa ditemukan. Ingatlah bahwa jawaban di Bagian B harus berupa bilangan bulat atau desimal.

Tampilkan di papan tulis interaktif. Kami membaca tugas. Apa hasil dasar dalam pengalaman ini? Jelaskan bahwa pasangan itu berurutan - yaitu, angkanya jatuh pada dadu pertama, dan pada dadu kedua. Dalam tugas apa pun, ada saat-saat ketika Anda perlu memilih metode rasional, membentuk dan menyajikan solusi dalam bentuk tabel, diagram, dll. Dalam masalah ini, akan lebih mudah untuk menggunakan tabel seperti itu. aku sudah memberimu solusi turnkey, tetapi dalam penyelesaiannya ternyata dalam masalah ini adalah rasional untuk menggunakan solusi dalam bentuk tabel. Jelaskan apa yang dimaksud dengan tabel! Anda mengerti mengapa kolom mengatakan 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Mari kita menggambar persegi. Garis-garisnya sesuai dengan hasil lemparan pertama - ada enam di antaranya, karena dadu memiliki enam wajah. Seperti halnya kolom. Di setiap sel kami menulis jumlah poin yang dijatuhkan. Tunjukkan tabel yang sudah selesai. Mari kita warnai sel yang jumlahnya sama dengan delapan (seperti yang diperlukan dalam kondisi).

Saya percaya bahwa masalah berikutnya, setelah menganalisis yang sebelumnya, dapat diberikan kepada orang-orang untuk diselesaikan sendiri.

Dalam masalah berikut, tidak perlu menuliskan semua hasil dasar. Cukup dengan menghitung jumlah mereka.

(Tanpa solusi) Saya memberi orang-orang untuk menyelesaikan masalah ini sendiri. Algoritma untuk memecahkan masalah

1. Tentukan apa itu eksperimen acak dan apa itu kejadian acak.

2. Temukan jumlah total kejadian dasar.

3. Kami menemukan jumlah peristiwa yang mendukung peristiwa yang ditentukan dalam kondisi masalah.

4. Carilah peluang suatu kejadian dengan menggunakan rumus.

Siswa dapat diberi pertanyaan, jika 1000 baterai mulai dijual, dan di antaranya 6 rusak, maka baterai yang dipilih ditentukan sebagai? Apa yang ada dalam tugas kita? Selanjutnya, saya mengajukan pertanyaan tentang menemukan apa yang digunakan di sini sebagai angkadan saya mengusulkan untuk menemukannyanomor. Lalu saya bertanya, ada acara apa di sini? Berapa banyak akumulator yang mendukung penyelesaian acara? Selanjutnya, dengan menggunakan rumus, kami menghitung probabilitas ini.

Di sini anak-anak dapat ditawari solusi kedua. Mari kita bahas apa metode ini bisa?

1. Peristiwa apa yang dapat dipertimbangkan sekarang?

2. Bagaimana cara mencari peluang suatu kejadian tertentu?

Anak-anak perlu diberitahu tentang formula ini. Mereka berikutnya

Tugas kedelapan dapat ditawarkan kepada anak-anak mereka sendiri, karena mirip dengan tugas keenam. Itu dapat ditawarkan kepada mereka sebagai kerja mandiri, atau pada kartu di papan tulis.

Masalah ini dapat diselesaikan dalam kaitannya dengan Olimpiade, yang saat ini sedang berlangsung. Terlepas dari kenyataan bahwa berbagai peristiwa berpartisipasi dalam tugas, bagaimanapun, tugas itu khas.

2. Aturan dan rumus paling sederhana untuk menghitung probabilitas (kejadian yang berlawanan, jumlah kejadian, hasil kali kejadian)

Ini adalah tugas dari GUNAKAN koleksi. Kami menempatkan solusi di papan tulis. Pertanyaan apa yang harus kita ajukan kepada siswa untuk menganalisis masalah ini.

1. Berapa banyak senapan mesin yang ada di sana? Sekali dua automata, maka sudah ada dua event. Saya bertanya kepada anak-anak apa acaranya? Apa yang akan menjadi acara kedua?

2. adalah peluang kejadian. Kita tidak perlu menghitungnya, karena diberikan dalam kondisi. Berdasarkan kondisi soal, peluang "kopi habis di kedua mesin" adalah 0,12. Ada acara A, ada acara B. Dan acara baru muncul? Saya mengajukan pertanyaan kepada anak-anak - apa? Ini adalah peristiwa ketika kedua mesin penjual otomatis kehabisan kopi. Dalam hal ini, dalam teori probabilitas, ini adalah peristiwa baru, yang disebut perpotongan dua peristiwa A dan B dan dilambangkan dengan cara ini.

Mari kita gunakan rumus penambahan probabilitas. Rumusnya adalah sebagai berikut

Kami memberikannya kepada Anda dalam materi referensi dan teman-teman dapat memberikan formula ini. Ini memungkinkan Anda untuk menemukan probabilitas jumlah peristiwa. Kami ditanya probabilitas kejadian yang berlawanan, probabilitas yang ditemukan oleh rumus.

Soal 13 menggunakan konsep produk dari peristiwa, rumus untuk menemukan probabilitas yang diberikan dalam Lampiran.

3. Tugas penggunaan pohon pilihan

Sesuai dengan kondisi masalah, mudah untuk membuat diagram dan menemukan probabilitas yang ditunjukkan.

Dengan bantuan apa? bahan teoretis Pernahkah Anda bekerja dengan siswa untuk memecahkan masalah semacam ini? Apakah Anda menggunakan pohon kemungkinan atau apakah Anda menggunakan metode lain untuk memecahkan masalah seperti itu? Apakah Anda memberikan konsep grafik? Di kelas lima atau enam, para lelaki memiliki masalah seperti itu, yang analisisnya memberikan konsep grafik.

Saya ingin bertanya kepada Anda, apakah Anda dan siswa Anda pernah mempertimbangkan untuk menggunakan pohon kemungkinan ketika memecahkan masalah probabilitas? Faktanya adalah bahwa USE tidak hanya memiliki tugas seperti itu, tetapi tugas yang agak rumit telah muncul, yang sekarang akan kita selesaikan.

Mari kita diskusikan dengan Anda metodologi untuk memecahkan masalah seperti itu - jika itu sesuai dengan metodologi saya, seperti yang saya jelaskan kepada teman-teman, maka akan lebih mudah bagi saya untuk bekerja dengan Anda, jika tidak, maka saya akan membantu Anda mengatasi masalah ini.

Mari kita bahas acaranya. Peristiwa apa dalam masalah 17 yang dapat diidentifikasi?

Saat membangun pohon pada bidang, sebuah titik ditunjuk, yang disebut akar pohon. Selanjutnya, kita mulai mempertimbangkan peristiwadan. Kami akan membangun segmen (dalam teori probabilitas itu disebut cabang). Syaratnya, pabrik pertama memproduksi 30%. ponsel merek ini (apa? Yang mereka produksi), jadi di saat ini Saya bertanya kepada siswa, berapa peluang pabrik pertama memproduksi ponsel merek ini, yang mereka produksi? Karena acaranya adalah peluncuran ponsel di pabrik pertama, kemungkinan acara ini adalah 30% atau 0,3. Ponsel yang tersisa diproduksi di pabrik kedua - kami sedang membangun segmen kedua, dan kemungkinan peristiwa ini adalah 0,7.

Siswa diberi pertanyaan - telepon jenis apa yang dapat diproduksi oleh pabrik pertama? Dengan atau tanpa cacat. Berapa probabilitas bahwa telepon yang diproduksi oleh pabrik pertama memiliki cacat? Menurut kondisinya, dikatakan sama dengan 0,01. Pertanyaan: Berapa probabilitas bahwa telepon yang diproduksi oleh pabrik pertama tidak memiliki cacat? Karena peristiwa ini berlawanan dengan yang diberikan, probabilitasnya sama.

Diperlukan untuk menemukan probabilitas bahwa telepon rusak. Mungkin dari pabrik pertama, atau mungkin dari pabrik kedua. Kemudian kami menggunakan rumus untuk menjumlahkan peluang dan kami mendapatkan bahwa seluruh peluang adalah jumlah dari peluang bahwa telepon rusak dari pabrik pertama, dan telepon rusak dari pabrik kedua. Probabilitas bahwa telepon memiliki cacat dan diproduksi di pabrik pertama ditemukan dengan rumus produk probabilitas, yang diberikan dalam lampiran.

4. Salah satu yang paling tugas yang menantang dari bank USE untuk kemungkinan

Mari kita analisis, misalnya, No. 320199 dari Bank Tugas FIPI. Ini adalah salah satu tugas tersulit di B6.

Untuk memasuki institut untuk "Linguistik" khusus, pelamar Z. harus mencetak setidaknya 70 poin pada Ujian Negara Bersatu di masing-masing dari tiga mata pelajaran - matematika, bahasa Rusia, dan bahasa asing. Untuk memasuki "Perdagangan" khusus, Anda harus mencetak setidaknya 70 poin di masing-masing dari tiga mata pelajaran - matematika, bahasa Rusia, dan studi sosial.

Probabilitas bahwa pelamar Z. akan menerima setidaknya 70 poin dalam matematika adalah 0,6, dalam bahasa Rusia - 0,8, dalam bahasa asing- 0,7 dan dalam studi sosial - 0,5.

Tentukan peluang Z. dapat memasuki setidaknya salah satu dari dua spesialisasi yang disebutkan.

Perhatikan bahwa masalahnya tidak menanyakan apakah pelamar bernama Z. akan mempelajari linguistik dan perdagangan pada saat yang sama dan menerima dua diploma. Di sini kita perlu menemukan probabilitas bahwa Z. akan dapat memasuki setidaknya satu dari dua spesialisasi ini - yaitu, ia akan memperoleh jumlah yang dibutuhkan poin.

Untuk memasuki setidaknya satu dari dua spesialisasi, Z. harus mencetak setidaknya 70 poin dalam matematika. Dan dalam bahasa Rusia. Namun - ilmu sosial atau asing.

Probabilitas mencetak 70 poin dalam matematika baginya adalah 0,6.

Probabilitas mencetak poin dalam matematika dan bahasa Rusia adalah sama.

Mari kita berurusan dengan studi asing dan sosial. Pilihannya cocok untuk kami ketika pelamar mencetak poin dalam studi sosial, dalam bahasa asing, atau keduanya. Pilihan ini tidak cocok ketika dia tidak mencetak poin baik dalam bahasa atau dalam "masyarakat". Ini berarti bahwa peluang lulus IPS atau yang asing setidaknya sama dengan 70 poin. Akibatnya, probabilitas lulus matematika, studi Rusia dan sosial atau yang asing sama dengan

Ini adalah jawabannya.

II . Memecahkan masalah kombinatorial

1. Jumlah kombinasi dan faktorial

Mari kita menganalisis secara singkat materi teoritis.

Ekspresin ! membaca "en-faktorial" dan menunjukkan produk dari semua bilangan asli dari 1 sampain inklusif:n ! = 1 2 3 ...n .

Selain itu, dalam matematika, menurut definisi, dianggap bahwa 0! = 1. Ungkapan seperti itu jarang terjadi, tetapi masih terjadi pada masalah dalam teori probabilitas.

Definisi

Biarkan ada objek (pensil, permen, apa pun) yang darinya diperlukan untuk memilih objek yang benar-benar berbeda. Kemudian jumlah opsi untuk pilihan seperti itu disebutjumlah kombinasi dari elemen. Angka ini ditunjukkan dan dihitung sesuai dengan formula khusus.

Penamaan

Apa yang diberikan formula ini kepada kita? Faktanya, hampir tidak ada tugas serius yang dapat diselesaikan tanpanya.

Untuk pemahaman yang lebih baik, mari kita menganalisis beberapa masalah kombinatorial sederhana:

Tugas

Bartender memiliki 6 jenis teh hijau. Untuk upacara minum teh, Anda harus menyerahkan teh hijau tepat 3 varietas yang berbeda. Dalam berapa cara seorang bartender dapat menyelesaikan pesanan?

Keputusan

Semuanya sederhana di sini: adan = 6 varietas untuk dipilihk = 3 varietas. Banyaknya kombinasi dapat dicari dengan rumus :

Menjawab

Substitusi dalam rumus. Kita tidak bisa menyelesaikan semua masalah, tapi tugas khas kami telah menulis, mereka disajikan untuk perhatian Anda.

Tugas

Dalam kelompok yang terdiri dari 20 siswa, 2 perwakilan harus dipilih untuk berbicara di konferensi. Dalam berapa cara hal ini dapat dilakukan?

Keputusan

Sekali lagi, semua yang kita milikin = 20 siswa, tetapi Anda harus memilihk = 2 siswa. Mencari jumlah kombinasi:

Harap dicatat bahwa faktor-faktor yang termasuk dalam faktorial yang berbeda ditandai dengan warna merah. Pengganda ini dapat dikurangi tanpa rasa sakit dan dengan demikian secara signifikan mengurangi jumlah total perhitungan.

Menjawab

190

Tugas

17 server dengan berbagai cacat dibawa ke gudang, yang harganya 2 kali lebih murah dari server biasa. Direktur membeli 14 server semacam itu untuk sekolah, dan menghabiskan uang yang dihemat dalam jumlah 200.000 rubel untuk pembelian peralatan lain. Dalam berapa cara seorang direktur dapat memilih server yang rusak?

Keputusan

Ada cukup banyak data tambahan dalam tugas, yang dapat membingungkan. Paling fakta-fakta penting: ada segalanyan = 17 server, dan direktur membutuhkank = 14 server. Kami menghitung jumlah kombinasi:

Warna merah lagi menunjukkan pengali yang sedang dikurangi. Secara total, ternyata 680 kombinasi. Secara umum, sutradara memiliki banyak pilihan.

Menjawab

680

Tugas ini berubah-ubah, karena ada data tambahan dalam tugas ini. Mereka membingungkan banyak siswa keputusan tepat. Ada total 17 server, dan sutradara harus memilih 14. Mengganti formula, kami mendapatkan 680 kombinasi.

2. Hukum perkalian

Definisi

hukum perkalian dalam kombinatorik: jumlah kombinasi (cara, kombinasi) dalam himpunan independen dikalikan.

Dengan kata lain, biarlah adaA cara untuk melakukan satu tindakan danB cara untuk melakukan tindakan lain. Jalur juga tindakan ini independen, yaitu. tidak berhubungan dengan cara apapun. Kemudian Anda dapat menemukan banyak cara untuk melakukan tindakan pertama dan kedua dengan rumus:C = A · B .

Tugas

Petya memiliki 4 koin masing-masing 1 rubel dan 2 koin masing-masing 10 rubel. Petya, tanpa melihat, mengeluarkan dari sakunya 1 koin dengan nilai nominal 1 rubel dan 1 koin lainnya dengan nilai nominal 10 rubel untuk membeli pena seharga 11 rubel. Dalam berapa cara ia dapat memilih koin-koin tersebut?

Keputusan

Jadi, Petya pertama dapatk = 1 koin darin = 4 koin yang tersedia dengan nilai nominal 1 rubel. Banyaknya cara melakukannya adalahC 4 1 = ... = 4.

Kemudian Petya merogoh sakunya lagi dan mengeluarkank = 1 koin darin = 2 koin yang tersedia dengan nilai nominal 10 rubel. Di sini jumlah kombinasi adalahC 2 1 = ... = 2.

Karena tindakan ini independen, jumlah opsi adalahC = 4 2 = 8.

Menjawab

Tugas

Dalam sebuah keranjang terdapat 8 bola putih dan 12 bola hitam. Dalam berapa cara kamu bisa mendapatkan 2 bola putih dan 2 bola hitam dari keranjang ini?

Keputusan

Jumlah dalam keranjangn = 8 bola putih untuk dipilihk = 2 bola Itu bisa dilakukanC 8 2 = ... = 28 cara yang berbeda.

Selain itu, keranjang berisin = 12 bola hitam untuk dipilih lagik = 2 bola Banyaknya cara melakukannya adalahC 12 2 = ... = 66.

Karena pilihan bola putih dan pilihan bola hitam adalah kejadian bebas, jumlah total kombinasi dihitung menurut hukum perkalian:C = 28 66 = 1848. Seperti yang Anda lihat, ada beberapa opsi.

Menjawab

1848

Hukum perkalian menunjukkan berapa banyak cara Anda dapat melakukan tindakan kompleks yang terdiri dari dua atau lebih tindakan sederhana - asalkan semuanya independen.

3. Hukum penjumlahan

Jika hukum perkalian bekerja pada kejadian-kejadian "terisolasi" yang tidak bergantung satu sama lain, maka dalam hukum penjumlahan kebalikannya yang benar. Ini berkaitan dengan peristiwa yang saling eksklusif yang tidak pernah terjadi pada waktu yang sama.

Misalnya, "Peter mengeluarkan 1 koin dari sakunya" dan "Peter tidak mengeluarkan satu koin pun dari sakunya" adalah peristiwa yang saling eksklusif, karena tidak mungkin mengeluarkan satu koin tanpa mengeluarkannya.

Demikian pula, acara "Bola yang dipilih secara acak - putih" dan "Bola yang dipilih secara acak - hitam" juga saling eksklusif.

Definisi

Hukum Penambahan dalam kombinatorik: jika dua tindakan yang saling eksklusif dapat dilakukanA danB cara, masing-masing, peristiwa ini dapat digabungkan. Ini akan menghasilkan acara baru yang dapat dieksekusiX = A + B cara.

Dengan kata lain, ketika menggabungkan tindakan yang saling eksklusif (peristiwa, opsi), jumlah kombinasinya ditambahkan.

Kita dapat mengatakan bahwa hukum penjumlahan adalah logika "ATAU" dalam kombinatorik, ketika salah satu opsi yang saling eksklusif cocok untuk kita. Sebaliknya, hukum perkalian adalah logika "DAN", di mana kita tertarik pada eksekusi simultan dari tindakan pertama dan kedua.

Tugas

Dalam sebuah keranjang terdapat 9 bola hitam dan 7 bola merah. Anak itu mengeluarkan 2 bola dengan warna yang sama. Dalam berapa banyak cara dia bisa melakukan ini?

Keputusan

Jika bola berwarna sama, maka ada beberapa pilihan: keduanya berwarna hitam atau merah. Jelas, opsi ini saling eksklusif.

Dalam kasus pertama, anak laki-laki itu harus memilihk = 2 bola hitam darin = 9 tersedia. Banyaknya cara melakukannya adalahC 9 2 = ... = 36.

Demikian pula, dalam kasus kedua kami memilihk = 2 bola merah darin = 7 mungkin. Banyaknya cara adalahC 7 2 = ... = 21.

Masih mencari jumlah total cara. Karena varian dengan bola hitam dan merah saling eksklusif, menurut hukum penjumlahan kita memiliki:X = 36 + 21 = 57.

Menjawab57

Tugas

Kios tersebut menjual 15 bunga mawar dan 18 bunga tulip. Seorang siswa kelas 9 ingin membeli 3 bunga untuk teman sekelasnya, dan semua bunga harus sama. Dalam berapa cara dia dapat membuat karangan bunga seperti itu?

Keputusan

Menurut syarat, semua bunga harus sama. Jadi, kita akan membeli 3 mawar atau 3 tulip. Bagaimanapun,k = 3.

Dalam kasus mawar, Anda harus memilih darin = 15 pilihan, jadi banyaknya kombinasi adalahC 15 3 = ... = 455. Untuk bunga tulipn = 18, dan jumlah kombinasi -C 18 3 = ... = 816.

Karena mawar dan tulip adalah pilihan yang saling eksklusif, kami bekerja sesuai dengan hukum penjumlahan. Dapatkan jumlah total opsiX = 455 + 816 = 1271. Ini dia jawabannya.

Menjawab

1271

Persyaratan dan batasan tambahan

Sangat sering dalam teks masalah ada kondisi tambahan yang memberlakukan batasan signifikan pada kombinasi yang menarik bagi kami. Bandingkan dua kalimat:

Ada satu set 5 pulpen warna yang berbeda. Dalam berapa cara pegangan 3 tak dapat dipilih?

Ada satu set 5 pulpen dengan warna berbeda. Dalam berapa cara pegangan 3 tak dapat dipilih jika salah satunya harus berwarna merah?

Dalam kasus pertama, kami memiliki hak untuk mengambil warna apa pun yang kami suka - tidak ada batasan tambahan. Dalam kasus kedua, semuanya lebih rumit, karena kita harus memilih pegangan merah (diasumsikan bahwa itu ada di set asli).

Jelas, batasan apa pun secara drastis mengurangi jumlah opsi. Jadi bagaimana Anda menemukan jumlah kombinasi dalam kasus ini? Ingatlah aturan selanjutnya:

Biarkan ada satu setn elemen untuk dipilihk elemen. Dengan diperkenalkannya batasan tambahan pada nomorn dank berkurang dengan jumlah yang sama.

Dengan kata lain, jika Anda harus memilih 3 dari 5 pena, dan salah satunya harus berwarna merah, maka Anda harus memilih darin = 5 1 = 4 elemen dengank = 3 1 = 2 elemen. Jadi, alih-alihC 5 3 harus diperhatikanC 4 2 .

Sekarang mari kita lihat bagaimana aturan ini bekerja contoh konkret:

Tugas

Dalam kelompok yang terdiri dari 20 siswa, termasuk 2 siswa berprestasi, Anda harus memilih 4 orang untuk berpartisipasi dalam konferensi. Dalam berapa banyak cara keempat ini dapat dipilih jika siswa yang sangat baik harus pergi ke konferensi?

Keputusan

Jadi ada sekelompokn = 20 siswa. Tapi Anda hanya harus memilihk = 4 dari mereka. Jika tidak ada batasan tambahan, maka jumlah opsi sama dengan jumlah kombinasiC 20 4 .

Namun, kami diberi syarat tambahan: 2 penghargaan harus di antara empat ini. Jadi, menurut aturan di atas, kami mengurangi angkan dank oleh 2. Kami memiliki:

Menjawab

153

Tugas

Petya memiliki 8 koin di sakunya, 6 di antaranya adalah koin rubel dan 2 adalah 10 koin rubel. Petya menggeser sekitar tiga koin ke saku lain. Berapa banyak cara Petya dapat melakukan ini jika diketahui bahwa kedua koin 10 rubel berakhir di saku lain?

Keputusan

Jadi adan = 8 koin Petya bergeserk = 3 koin, 2 di antaranya adalah sepuluh rubel. Ternyata dari 3 koin yang akan ditransfer, 2 sudah tetap, jadi angkanyan dank harus dikurangi dengan 2. Kami memiliki:

Menjawab

AKU AKU AKU . Memecahkan masalah gabungan pada penggunaan rumus kombinatorik dan teori probabilitas

Tugas

Petya memiliki 4 koin rubel dan 2 2 koin rubel di sakunya. Petya, tanpa melihat, memindahkan sekitar tiga koin ke dalam saku lain. Tentukan peluang kedua mata uang dua rubel berada dalam kantong yang sama.

Keputusan

Misalkan kedua koin dua rubel benar-benar berakhir di saku yang sama, maka 2 opsi dimungkinkan: baik Petya tidak menggesernya sama sekali, atau menggeser keduanya sekaligus.

Dalam kasus pertama, ketika koin dua rubel tidak ditransfer, 3 koin rubel harus ditransfer. Karena ada total 4 koin seperti itu, jumlah cara untuk melakukannya sama dengan jumlah kombinasi 4 dengan 3:C 4 3 .

Dalam kasus kedua, ketika kedua koin dua rubel telah ditransfer, satu koin rubel lagi harus ditransfer. Itu harus dipilih dari 4 yang ada, dan jumlah cara untuk melakukannya sama dengan jumlah kombinasi dari 4 hingga 1:C 4 1 .

Sekarang mari kita cari jumlah total cara untuk menggeser koin. Karena ada total 4 + 2 = 6 koin, dan hanya 3 koin yang harus dipilih, jumlah total opsi sama dengan jumlah kombinasi dari 6 hingga 3:C 6 3 .

Masih mencari peluang:

Menjawab

0,4

Tampilkan di papan tulis interaktif. Perhatikan fakta bahwa, sesuai dengan kondisi masalahnya, Petya, tanpa melihat, memasukkan tiga koin ke dalam satu saku. Dalam menjawab pertanyaan ini, kita dapat berasumsi bahwa dua koin dua rubel benar-benar tertinggal di satu saku. Lihat rumus untuk menambahkan probabilitas. Tunjukkan lagi rumusnya.

Tugas

Petya memiliki 2 koin 5 rubel dan 4 koin 10 rubel di sakunya. Petya, tanpa melihat, memindahkan sekitar 3 koin ke saku lain. Temukan probabilitas bahwa koin lima rubel sekarang berada di kantong yang berbeda.

Keputusan

Agar koin lima rubel terletak di kantong yang berbeda, Anda hanya perlu menggeser salah satunya. Banyaknya cara mengerjakannya sama dengan banyaknya kombinasi 2 kali 1:C 2 1 .

Karena Petya mentransfer total 3 koin, dia harus mentransfer 2 koin lagi masing-masing 10 rubel. Petya memiliki 4 koin seperti itu, jadi jumlah cara sama dengan jumlah kombinasi dari 4 hingga 2:C 4 2 .

Masih mencari berapa banyak pilihan yang ada untuk menggeser 3 koin dari 6 yang tersedia. Angka ini, seperti pada soal sebelumnya, sama dengan jumlah kombinasi dari 6 hingga 3:C 6 3 .

Menemukan kemungkinan:

Pada langkah terakhir, kami mengalikan jumlah cara untuk memilih koin dua rubel dan jumlah cara untuk memilih koin sepuluh rubel, karena peristiwa ini independen.

Menjawab

0,6

Jadi, masalah dengan koin memiliki rumus probabilitasnya sendiri. Ini sangat sederhana dan penting sehingga dapat dirumuskan sebagai teorema.

Dalil

Biarkan koin dilemparn sekali. Maka probabilitas bahwa kepala akan mendarat tepatk waktu dapat dicari dengan menggunakan rumus:

Di manaC n k - jumlah kombinasi darin elemen olehk , yang dihitung dengan rumus:

Jadi, untuk menyelesaikan masalah dengan koin, diperlukan dua angka: jumlah lemparan dan jumlah kepala. Paling sering, angka-angka ini diberikan langsung dalam teks masalah. Selain itu, tidak masalah apa yang harus dihitung: ekor atau elang. Jawabannya akan sama.

Sekilas, teorema ini tampak terlalu rumit. Tapi itu layak untuk sedikit latihan - dan Anda tidak lagi ingin kembali ke algoritme standar yang dijelaskan di atas.

Uang logam dilempar empat kali. Tentukan peluang munculnya kepala tepat tiga kali.

Keputusan

Menurut kondisi masalahnya, jumlah total lemparan adalahn = 4. Jumlah kepala yang dibutuhkan:k = 3. Penggantin dank ke dalam rumus:

Dengan kesuksesan yang sama, Anda dapat menghitung jumlah ekor:k = 4 3 = 1. Jawabannya akan sama.

Menjawab

0,25

Tugas [ buku kerja“GUNAKAN 2012 dalam matematika. Tugas B6»]

Uang logam dilempar tiga kali. Cari probabilitas bahwa itu tidak pernah muncul ekor.

Keputusan

Menulis angka lagin dank . Karena uang logam dilempar 3 kali,n = 3. Dan karena seharusnya tidak ada ekor,k = 0. Tetap menggantikan angkan dank ke dalam rumus:

Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa 0! = 1 menurut definisi. JadiC 3 0 = 1.

Menjawab

0,125

Tugas [ PENGGUNAAN Percobaan dalam matematika 2012. Irkutsk]

Dalam sebuah percobaan acak, sebuah koin simetris dilempar sebanyak 4 kali. Temukan probabilitas bahwa kepala akan muncul lebih sering daripada ekor.

Keputusan

Agar ada lebih banyak kepala daripada ekor, mereka harus rontok 3 kali (maka akan ada 1 ekor) atau 4 (maka tidak akan ada ekor sama sekali). Mari kita cari probabilitas dari masing-masing peristiwa ini.

Biarlahp 1 - probabilitas bahwa kepala akan jatuh 3 kali. Kemudiann = 4, k = 3. Kami memiliki:

Sekarang mari kita temukanp 2 - probabilitas bahwa kepala akan rontok sebanyak 4 kali. Pada kasus inin = 4, k = 4. Kami memiliki:

Untuk mendapatkan jawabannya, tetap menambahkan probabilitasp 1 danp 2 . Ingat: Anda hanya dapat menambahkan probabilitas untuk kejadian yang saling eksklusif. Kita punya:

p = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

Menjawab

0,3125

Untuk menghemat waktu Anda saat bersiap dengan teman-teman untuk Ujian Negara Terpadu dan GIA, kami telah menyajikan solusi untuk lebih banyak tugas yang dapat Anda pilih dan selesaikan dengan teman-teman.

Bahan GIA, Ujian Negara Bersatu dari berbagai tahun, buku teks dan situs.

IV. Materi referensi

Pelajaran-kuliah dengan topik "teori probabilitas"

Tugas nomor 4 dari ujian 2016.

tingkat profil.

1 Grup: tugas pada penggunaan rumus probabilitas klasik.

• Latihan 1. Perusahaan taksi memiliki 60 tersedia mobil; 27 di antaranya berwarna hitam dengan tulisan kuning di sisinya, sisanya adalah warna kuning dengan tulisan hitam. Tentukan peluang sebuah mobil kuning dengan tulisan hitam akan tiba di panggilan acak.

• Tugas 2. Misha, Oleg, Nastya dan Galya membuang undi - siapa yang harus memulai permainan. Tentukan peluang Galya tidak memulai permainan.

• Tugas 3. Rata-rata, dari 1.000 pompa taman yang terjual, 7 bocor. Tentukan peluang bahwa satu pompa yang dipilih secara acak tidak bocor.

• Tugas 4. Hanya ada 15 tiket dalam koleksi tiket kimia, di 6 di antaranya ada pertanyaan dengan topik "Asam". Temukan probabilitas bahwa seorang siswa akan mendapatkan pertanyaan tentang topik "Asam" dalam tiket yang dipilih secara acak pada ujian.

• Tugas 5. Sebanyak 45 atlet berlaga dalam kejuaraan loncat indah tersebut, di antaranya 4 orang penyelam dari Spanyol dan 9 orang penyelam dari Amerika Serikat. Urutan penampilan ditentukan dengan undian. Temukan probabilitas bahwa pelompat ke dua puluh empat berasal dari Amerika Serikat.

• Tugas 6. Konferensi ilmiah diadakan dalam 3 hari. Sebanyak 40 laporan direncanakan - 8 laporan pada hari pertama, sisanya didistribusikan secara merata antara hari kedua dan ketiga. Urutan laporan ditentukan dengan undian. Berapa probabilitas bahwa laporan Profesor M. akan dijadwalkan pada hari terakhir konferensi?

• Latihan 1. Sebelum dimulainya putaran pertama kejuaraan tenis, para peserta secara acak dibagi menjadi pasangan permainan dengan undian. Secara total, 26 pemain tenis berpartisipasi dalam kejuaraan, termasuk 9 peserta dari Rusia, termasuk Timofey Trubnikov. Temukan peluang bahwa pada ronde pertama Timofey Trubnikov akan bermain melawan pemain tenis mana pun dari Rusia.

• Tugas 2. Sebelum dimulainya putaran pertama kejuaraan bulu tangkis, para peserta secara acak dibagi menjadi pasangan permainan dengan pengundian. Secara total, 76 pemain bulu tangkis berpartisipasi dalam kejuaraan, termasuk 22 atlet dari Rusia, termasuk Viktor Polyakov. Tentukan peluang bahwa pada ronde pertama Victor Polyakov akan bermain dengan pemain bulu tangkis dari Rusia.

• Tugas 3. Ada 16 siswa di kelas, di antaranya dua teman - Oleg dan Mikhail. Kelas secara acak dibagi menjadi 4 kelompok yang sama. Tentukan peluang Oleg dan Mikhail berada dalam kelompok yang sama.

• Tugas 4. Ada 33 siswa di kelas, di antaranya dua teman - Andrey dan Mikhail. Siswa secara acak dibagi menjadi 3 kelompok yang sama besar. Tentukan peluang Andrey dan Mikhail berada dalam kelompok yang sama.

• Latihan 1: Di pabrik peralatan makan keramik, 20% pelat yang diproduksi rusak. Selama kontrol kualitas produk, 70% pelat yang rusak terdeteksi. Sisa piring untuk dijual. Temukan probabilitas bahwa piring yang dipilih secara acak pada saat pembelian tidak memiliki cacat. Bulatkan jawaban Anda ke perseratus terdekat.

• Tugas 2. Di pabrik peralatan makan keramik, 30% pelat yang diproduksi cacat. Selama kontrol kualitas produk, 60% pelat yang rusak terdeteksi. Sisa piring untuk dijual. Temukan peluang bahwa piring yang dipilih secara acak pada saat pembelian rusak. Bulatkan jawaban Anda ke perseratus terdekat.

• Tugas 3: Dua pabrik memproduksi kaca yang sama untuk lampu depan mobil. Pabrik pertama memproduksi 30% dari kacamata ini, yang kedua - 70%. Pabrik pertama memproduksi 3% dari kacamata yang rusak, dan yang kedua - 4%. Temukan probabilitas bahwa gelas yang dibeli secara tidak sengaja di toko akan rusak.

2 Grup: mencari peluang kejadian yang berlawanan.

• Latihan 1. Peluang mengenai pusat sasaran dari jarak 20 m untuk penembak profesional adalah 0,85. Temukan peluang tidak mengenai pusat sasaran.

• Tugas 2. Saat membuat bantalan dengan diameter 67 mm, kemungkinan diameter akan berbeda dari yang ditentukan kurang dari 0,01 mm adalah 0,965. Temukan probabilitas bahwa bantalan acak akan memiliki diameter kurang dari 66,99 mm atau lebih besar dari 67,01 mm.

3 Grup: Menemukan probabilitas terjadinya setidaknya satu dari peristiwa yang tidak kompatibel. Rumus penambahan peluang.

• Latihan 1. Tentukan peluang munculnya sebuah dadu 5 atau 6.

• Tugas 2. Ada 30 bola dalam sebuah guci: 10 merah, 5 biru dan 15 putih. Tentukan peluang terambilnya bola berwarna.

• Tugas 3. Penembak menembak target yang dibagi menjadi 3 area. Probabilitas memukul area pertama adalah 0,45, yang kedua - 0,35. Temukan probabilitas bahwa penembak akan mengenai area pertama atau kedua dengan satu tembakan.

• Tugas 4. Sebuah bus beroperasi setiap hari dari pusat distrik ke desa. Peluang bahwa pada hari Senin akan ada kurang dari 18 penumpang di dalam bus adalah 0,95. Peluang bahwa akan ada kurang dari 12 penumpang adalah 0,6. Tentukan peluang banyaknya penumpang antara 12 dan 17.

• Tugas 5. Probabilitas bahwa yang baru Ketel listrik akan melayani lebih dari setahun, sama dengan 0,97. Probabilitas bahwa itu akan bertahan lebih dari dua tahun adalah 0,89. Temukan probabilitas bahwa itu berlangsung kurang dari dua tahun tetapi lebih dari satu tahun.

• Tugas 6. Probabilitas bahwa siswa U. dengan benar menyelesaikan lebih dari 9 tugas pada tes biologi adalah 0,61. Probabilitas bahwa U. memecahkan lebih dari 8 masalah dengan benar adalah 0,73. Temukan probabilitas bahwa U. memecahkan tepat 9 masalah dengan tepat.

4 Kelompok: Probabilitas terjadinya simultan peristiwa independen. Rumus perkalian peluang.

• Latihan 1. Ruangan itu diterangi oleh lentera dengan dua lampu. Peluang satu lampu padam dalam setahun adalah 0,3. Temukan peluang bahwa setidaknya satu lampu tidak padam dalam setahun.

• Tugas 2. Ruangan itu diterangi oleh lentera dengan tiga lampu. Peluang satu lampu padam dalam setahun adalah 0,3. Temukan peluang bahwa setidaknya satu lampu tidak padam dalam setahun.

• Tugas 3. Ada dua penjual di toko. Masing-masing dari mereka sibuk dengan klien dengan probabilitas 0,4. Temukan probabilitas bahwa pada saat yang acak kedua penjual sibuk pada saat yang sama (asumsikan bahwa pelanggan masuk secara independen satu sama lain).

• Tugas 4. Ada tiga penjual di toko. Masing-masing dari mereka sibuk dengan klien dengan probabilitas 0,2. Temukan probabilitas bahwa pada saat yang acak ketiga penjual sibuk pada saat yang sama (asumsikan bahwa pelanggan masuk secara independen satu sama lain).

• Tugas 5: Menurut ulasan pelanggan, Mikhail Mikhailovich menghargai keandalan dua toko online. Kemungkinan bahwa barang yang diinginkan dikirim dari toko A adalah 0,81. Probabilitas bahwa produk ini akan dikirim dari toko B adalah 0,93. Mikhail Mikhailovich memesan barang sekaligus di kedua toko. Dengan asumsi bahwa toko online beroperasi secara independen satu sama lain, temukan probabilitas bahwa tidak ada toko yang akan mengirimkan barang.

• Tugas 6: Jika grandmaster A. bermain putih, maka dia memenangkan grandmaster B. dengan probabilitas 0,6. Jika A. bermain hitam, maka A. mengalahkan B. dengan probabilitas 0,4. Grandmaster A. dan B. memainkan dua game, dan di game kedua mereka mengubah warna bidak. Tentukan peluang A. menang kedua kali.

5 Kelompok: Tugas untuk penerapan kedua rumus.

• Latihan 1: Semua pasien yang diduga hepatitis melakukan tes darah. Jika tes menunjukkan hepatitis, maka hasil tes disebut positif. Pada pasien hepatitis, analisis memberikan hasil positif dengan probabilitas 0,9. Jika pasien tidak menderita hepatitis, maka tes dapat memberikan hasil positif palsu dengan probabilitas 0,02. Diketahui bahwa 66% pasien yang dirawat dengan suspek hepatitis sebenarnya menderita hepatitis. Temukan probabilitas bahwa hasil tes pasien yang dirawat di klinik dengan dugaan hepatitis akan positif.

• Tugas 2. Koboi John memukul lalat di dinding dengan probabilitas 0,9 jika dia menembak dengan pistol peluru. Jika John menembakkan revolver yang tidak terlihat, ia mengenai seekor lalat dengan probabilitas 0,2. Ada 10 revolver di atas meja, yang hanya 4 yang ditembakkan. Cowboy John melihat seekor lalat di dinding, secara acak mengambil revolver pertama yang dia temui dan menembak lalat itu. Temukan probabilitas bahwa John meleset.

Tugas 3:

Di beberapa daerah, pengamatan menunjukkan:

1. Jika pagi bulan Juni cerah, maka peluang hujan pada hari itu adalah 0,1. 2. Jika pagi bulan Juni berawan, maka peluang hujan pada siang hari adalah 0,4. 3. Peluang pagi berawan di bulan Juni adalah 0,3.

Tentukan peluang bahwa tidak akan turun hujan pada hari yang acak di bulan Juni.

Tugas 4. Selama penembakan artileri, sistem otomatis menembak sasaran. Jika target tidak hancur, sistem akan menembak lagi. Tembakan diulang sampai target hancur. Probabilitas menghancurkan target tertentu dengan tembakan pertama adalah 0,3, dan dengan setiap tembakan berikutnya adalah 0,9. Berapa banyak tembakan yang diperlukan untuk memastikan bahwa kemungkinan menghancurkan target setidaknya 0,96?