Definisi klasik probabilitas akan menyelesaikan ujian. Teori probabilitas pada ujian matematika

Peluang suatu kejadian $A$ adalah rasio jumlah hasil yang menguntungkan $A$ dengan jumlah semua hasil yang mungkin sama

$P(A)=(m)/(n)$, di mana $n$ adalah jumlah total hasil yang mungkin dan $m$ adalah jumlah hasil yang menguntungkan $A$.

Peluang suatu kejadian adalah bilangan dari segmen $$

Perusahaan taksi tersedia $50$ mobil. $35$ dari mereka berwarna hitam, sisanya berwarna kuning. Tentukan peluang sebuah mobil akan tiba dengan panggilan acak warna kuning.

Temukan jumlah mobil kuning:

Secara total, ada mobil $50$, yaitu, satu dari lima puluh akan datang untuk menelepon. Ada $15$ mobil kuning, jadi peluang kedatangan mobil kuning adalah $(15)/(50)=(3)/(10)=0.3$

Jawaban:$0,3$

Acara yang berlawanan

Dua kejadian dikatakan berlawanan jika tes ini mereka tidak cocok dan salah satunya pasti akan terjadi. Peluang kejadian yang berlawanan berjumlah 1. Suatu kejadian yang berlawanan dengan kejadian $A$ ditulis $((A))↖(-)$.

$P(A)+P((A))↖(-)=1$

Acara independen

Dua kejadian $A$ dan $B$ disebut saling bebas jika peluang terjadinya masing-masing kejadian tersebut tidak bergantung pada apakah kejadian yang lain terjadi atau tidak. Jika tidak, peristiwa disebut dependen.

Probabilitas produk dari dua peristiwa independen $A$ dan $B$ sama dengan produk dari probabilitas ini:

$P(A B)=P(A) P(B)$

Ivan Ivanovich membeli dua tiket lotre yang berbeda. Probabilitas bahwa yang pertama menang tiket lotere, sama dengan $0,15$. Probabilitas bahwa tiket lotere kedua akan menang adalah $0,12. Ivan Ivanovich berpartisipasi dalam kedua undian. Dengan asumsi bahwa pengundian diadakan secara independen satu sama lain, temukan probabilitas bahwa Ivan Ivanovich menang di kedua pengundian.

Probabilitas $P(A)$ - memenangkan tiket pertama.

Probabilitas $P(B)$ - memenangkan tiket kedua.

Acara $A$ dan $B$ adalah acara independen. Artinya, untuk menemukan probabilitas bahwa kedua peristiwa akan terjadi, Anda perlu menemukan produk dari probabilitas

$P(A B)=P(A) P(B)$

$P=0,15 0,12=0,018$

Jawaban: $0,018

Acara yang tidak kompatibel

Dua kejadian $A$ dan $B$ dikatakan tidak kompatibel jika tidak ada hasil yang mendukung kedua kejadian $A$ dan kejadian $B$. (Kejadian yang tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan)

Probabilitas jumlah dua kejadian yang tidak kompatibel $A$ dan $B$ sama dengan jumlah probabilitas kejadian berikut:

$P(A+B)=P(A)+P(B)$

Dalam ujian aljabar, siswa mendapat satu pertanyaan dari semua ujian. Probabilitas bahwa ini adalah pertanyaan tentang topik " persamaan kuadrat", sama dengan $0,3$. Probabilitas bahwa ini adalah pertanyaan tentang topik " Persamaan irasional", sama dengan $0,18$. Tidak ada pertanyaan yang terkait dengan dua topik ini secara bersamaan. Temukan probabilitas bahwa siswa akan mendapatkan pertanyaan tentang salah satu dari dua topik ini pada ujian.

Peristiwa ini disebut incompatible, karena siswa akan mendapatkan pertanyaan BAIK pada topik “Persamaan Kuadrat”, ATAU pada topik “Persamaan Irasional”. Topik tidak dapat ditangkap secara bersamaan. Probabilitas jumlah dua kejadian yang tidak kompatibel $A$ dan $B$ sama dengan jumlah probabilitas kejadian berikut:

$P(A+B)=P(A)+P(B)$

$P \u003d 0,3 + 0,18 \u003d 0,48 $

Jawaban: $0,48

Acara Bersama

Dua peristiwa dikatakan bersama jika terjadinya salah satunya tidak mengesampingkan terjadinya yang lain dalam percobaan yang sama. Jika tidak, peristiwa disebut tidak kompatibel.

Probabilitas jumlah dua kejadian gabungan $A$ dan $B$ sama dengan jumlah probabilitas kejadian ini dikurangi probabilitas produknya:

$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A B)$

Ada dua mesin kopi identik di lobi bioskop. Probabilitas bahwa mesin akan kehabisan kopi pada akhir hari adalah $0,6$. Peluang kedua mesin kehabisan kopi adalah $0,32$. Temukan peluang bahwa setidaknya salah satu mesin penjual otomatis akan kehabisan kopi pada akhir hari.

Mari kita tunjukkan peristiwa, mari:

$A$ = kopi akan berakhir di mesin pertama,

$B$ = kopi akan berakhir di mesin kedua.

$A B =$ kopi akan habis di kedua mesin penjual otomatis,

$A + B =$ kopi akan habis di setidaknya satu mesin penjual otomatis.

Dengan konvensi, $P(A) = P(B) = 0,6; P(A B) = $0,32.

Peristiwa $A$ dan $B$ adalah gabungan, peluang jumlah dua peristiwa gabungan sama dengan jumlah peluang peristiwa ini, dikurangi dengan peluang produk mereka:

$P(A + B) = P(A) + P(B) P(A B) = 0,6 + 0,6 0,32 = 0,88$

Disajikan hingga saat ini di bank terbuka masalah USE dalam matematika (mathege.ru), solusinya hanya didasarkan pada satu rumus, yang merupakan definisi klasik dari probabilitas.

Cara termudah untuk memahami rumus adalah dengan contoh.
Contoh 1 Di dalam keranjang terdapat 9 bola merah dan 3 bola biru. Bola hanya berbeda dalam warna. Secara acak (tanpa melihat) kami mendapatkan salah satunya. Berapa peluang bahwa bola yang dipilih dengan cara ini akan berwarna biru?

Komentar. Dalam masalah probabilitas, sesuatu terjadi (dalam hal ini, tindakan kita menarik bola) yang dapat terjadi hasil yang berbeda- hasil. Perlu dicatat bahwa hasilnya dapat dilihat dengan cara yang berbeda. "Kami mengeluarkan bola" juga merupakan hasil. "Kami mengeluarkan bola biru" adalah hasilnya. "Kami menarik bola khusus ini dari semua kemungkinan bola" - pandangan hasil yang paling tidak digeneralisasi ini disebut hasil elementer. Ini adalah hasil dasar yang dimaksudkan dalam rumus untuk menghitung probabilitas.

Keputusan. Sekarang kita hitung peluang terambilnya bola biru.
Kejadian A: "bola yang dipilih ternyata berwarna biru"
Jumlah total semua hasil yang mungkin: 9+3=12 (jumlah semua bola yang bisa kita ambil)
Jumlah hasil yang menguntungkan untuk peristiwa A: 3 (jumlah hasil di mana peristiwa A terjadi - yaitu, jumlah bola biru)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Jawaban: 0,25

Mari kita hitung untuk masalah yang sama peluang terambilnya bola merah.
Jumlah hasil yang mungkin akan tetap sama, 12. Jumlah hasil yang diinginkan: 9. Probabilitas yang diinginkan: 9/12=3/4=0,75

Peluang suatu kejadian selalu terletak antara 0 dan 1.
Terkadang dalam percakapan sehari-hari (tetapi tidak dalam teori probabilitas!) Probabilitas kejadian diperkirakan sebagai persentase. Transisi antara penilaian matematis dan percakapan dilakukan dengan mengalikan (atau membagi) dengan 100%.
Jadi,
Dalam hal ini, probabilitasnya adalah nol untuk peristiwa yang tidak mungkin terjadi - tidak mungkin. Misalnya, dalam contoh kita, ini adalah peluang terambilnya bola hijau dari keranjang. (Jumlah hasil yang menguntungkan adalah 0, P(A)=0/12=0 jika dihitung menurut rumus)
Probabilitas 1 memiliki peristiwa yang pasti akan terjadi, tanpa opsi. Misalnya, probabilitas bahwa "bola yang dipilih akan berwarna merah atau biru" adalah untuk masalah kita. (Jumlah hasil yang menguntungkan: 12, P(A)=12/12=1)

Kami telah melihat contoh klasik yang menggambarkan definisi probabilitas. Semua mirip GUNAKAN tugas menurut teori probabilitas diselesaikan dengan menerapkan rumus ini.
Alih-alih bola merah dan biru, mungkin ada apel dan pir, anak laki-laki dan perempuan, tiket yang dipelajari dan tidak dipelajari, tiket yang berisi dan tidak berisi pertanyaan tentang topik tertentu (prototipe , ), tas rusak dan berkualitas tinggi atau pompa taman (prototipe , ) - prinsipnya tetap sama.

Sedikit berbeda dalam rumusan masalah teori GUNAKAN probabilitas, di mana Anda perlu menghitung probabilitas suatu peristiwa yang terjadi pada hari tertentu. ( , ) Seperti pada tugas sebelumnya, Anda perlu menentukan apa yang merupakan hasil dasar, dan kemudian menerapkan rumus yang sama.

Contoh 2 Konferensi ini berlangsung selama tiga hari. Pada hari pertama dan kedua, masing-masing 15 pembicara, pada hari ketiga - 20. Berapa probabilitas bahwa laporan Profesor M. akan jatuh pada hari ketiga, jika urutan laporan ditentukan dengan undian?

Apa hasil dasar di sini? - Menugaskan laporan profesor ke salah satu dari semua nomor seri yang mungkin untuk pidato. 15+15+20=50 orang berpartisipasi dalam undian. Dengan demikian, laporan Profesor M. dapat menerima satu dari 50 nomor. Ini berarti hanya ada 50 hasil dasar.
Apa hasil yang menguntungkan? - Mereka yang ternyata profesor akan berbicara pada hari ketiga. Artinya, 20 angka terakhir.
Menurut rumus, peluang P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Jawaban: 0.4

Pengundian lot di sini adalah pembentukan korespondensi acak antara orang dan tempat yang dipesan. Dalam Contoh 2, pencocokan dipertimbangkan dalam hal tempat mana yang dapat diambil oleh orang tertentu. Anda dapat mendekati situasi yang sama dari sisi lain: yang mana dari orang-orang dengan probabilitas apa yang bisa sampai ke tempat tertentu (prototipe , , , ):

Contoh 3 5 orang Jerman, 8 orang Prancis, dan 3 orang Estonia berpartisipasi dalam pengundian. Berapa probabilitas bahwa yang pertama (/kedua/ketujuh/terakhir - tidak masalah) adalah orang Prancis.

Banyaknya hasil dasar adalah jumlah semua orang yang mungkin siapa yang bisa, banyak, masuk ke tempat yang diberikan. 5+8+3=16 orang.
Hasil yang menguntungkan - Prancis. 8 orang.
Probabilitas yang diinginkan: 8/16=1/2=0,5
Jawaban: 0,5

Prototipenya sedikit berbeda. Ada tugas tentang koin () dan dadu () yang agak lebih kreatif. Solusi untuk masalah ini dapat ditemukan di halaman prototipe.

Berikut adalah beberapa contoh lemparan koin atau lemparan dadu.

Contoh 4 Ketika kita melempar sebuah koin, berapa peluang mendapatkan ekor?
Hasil 2 - kepala atau ekor. (diyakini bahwa koin tidak pernah jatuh di tepi) Hasil yang menguntungkan - ekor, 1.
Probabilitas 1/2 = 0,5
Jawaban: 0,5.

Contoh 5 Bagaimana jika kita melempar koin dua kali? Berapa probabilitas bahwa itu akan muncul dua kali?
Hal utama adalah menentukan hasil dasar mana yang akan kita pertimbangkan saat melempar dua koin. Setelah melempar dua koin, salah satu hasil berikut dapat terjadi:
1) PP - kedua kali muncul ekor
2) PO - ekor pertama kali, kepala kedua kali
3) OP - kepala pertama kali, ekor kedua kalinya
4) OO - maju dua kali
Tidak ada pilihan lain. Ini berarti ada 4 hasil dasar.Hanya yang pertama menguntungkan, 1.
Probabilitas: 1/4 = 0,25
Jawaban: 0,25

Berapa peluang bahwa dua pelemparan koin akan mendarat di ekor?
Banyaknya hasil dasar adalah sama, 4. Hasil yang menguntungkan adalah yang kedua dan ketiga, 2.
Peluang mendapatkan satu ekor: 2/4 = 0,5

Dalam masalah seperti itu, formula lain mungkin berguna.
Jika dengan satu lemparan koin pilihan kita punya 2 hasil, maka untuk dua kali lemparan hasilnya adalah 2 2=2 2 =4 (seperti contoh 5), untuk tiga kali lemparan 2 2 2=2 3 =8, untuk empat: 2 2 2 2 =2 4 = 16, … untuk N lemparan ada 2·2·...·2=2 N hasil yang mungkin.

Jadi, Anda dapat menemukan peluang mendapatkan 5 ekor dari 5 pelemparan koin.
Jumlah total hasil dasar: 2 5 =32.
Hasil yang menguntungkan: 1. (RRRRRR - semua 5 kali ekor)
Probabilitas: 1/32 = 0,03125

Hal yang sama berlaku untuk dadu. Dengan satu lemparan, ada 6 kemungkinan hasil.Jadi, untuk dua lemparan: 6 6=36, untuk tiga 6 6 6=216, dst.

Contoh 6 Kami melempar dadu. Berapa peluang terambilnya bilangan genap?

Hasil total: 6, sesuai dengan jumlah wajah.
Menguntungkan: 3 hasil. (2, 4, 6)
Probabilitas: 3/6 = 0,5

Contoh 7 Lempar dua dadu. Berapa peluang terambilnya 10 bola? (bulat ke ratusan)

Ada 6 kemungkinan hasil untuk satu dadu. Jadi, untuk dua, menurut aturan di atas, 6·6=36.
Hasil apa yang akan menguntungkan jika total 10 rontok?
10 harus dipecah menjadi jumlah dua angka dari 1 hingga 6. Ini dapat dilakukan dengan dua cara: 10=6+4 dan 10=5+5. Jadi, untuk kubus, opsi dimungkinkan:
(6 di yang pertama dan 4 di yang kedua)
(4 pada yang pertama dan 6 pada yang kedua)
(5 pada yang pertama dan 5 pada yang kedua)
Secara total, 3 opsi. Probabilitas yang diinginkan: 3/36=1/12=0,08
Jawaban: 0,08

Jenis masalah B6 lainnya akan dibahas dalam salah satu artikel "Cara Mengatasi" berikut.

V-6-2014 (semua 56 prototipe dari bank USE)

Mampu membangun dan mengeksplorasi yang paling sederhana model matematika(teori probabilitas)

1. Dalam suatu percobaan acak, dua buah dadu dilempar. Tentukan peluang mendapatkan total 8 poin. Bulatkan hasilnya ke perseratus terdekat. Keputusan: Banyaknya hasil di mana 8 poin akan keluar sebagai akibat dari pelemparan dadu adalah 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Masing-masing dadu dapat jatuh dengan enam cara, sehingga jumlah hasil yang keluar adalah 6 6 = 36. Jadi, peluang keluarnya 8 angka seluruhnya adalah 5: 36=0,138…=0,14

2. Dalam sebuah percobaan acak, sebuah koin simetris dilempar dua kali. Tentukan peluang munculnya kepala tepat satu kali. Larutan: Ada 4 kemungkinan hasil percobaan: kepala-kepala, kepala-ekor, ekor-kepala, ekor-ekor. Kepala muncul tepat sekali dalam dua kasus: kepala-ekor dan ekor-kepala. Jadi, peluang keluar kepala tepat 1 kali adalah 2: 4 = 0,5.

3. 20 atlet berpartisipasi dalam kejuaraan senam: 8 dari Rusia, 7 dari AS, sisanya dari China. Urutan penampilan pesenam ditentukan oleh undian. Tentukan peluang atlet yang bertanding pertama kali berasal dari Cina. Larutan: Berpartisipasi dalam kejuaraanatlet dari Tiongkok. Maka peluang atlet yang tampil lebih dulu berasal dari Cina adalah 5:20 = 0,25

4. Rata-rata, dari 1.000 pompa taman yang terjual, 5 pompa bocor. Tentukan peluang bahwa satu pompa yang dipilih secara acak tidak bocor. Larutan: Rata-rata, dari 1.000 pompa taman yang terjual, 1.000 - 5 = 995 tidak bocor. Ini berarti probabilitas bahwa satu pompa yang dipilih secara acak untuk kontrol tidak bocor adalah 995: 1000 = 0,995

5. Pabrik memproduksi tas. Rata-rata, untuk setiap 100 tas berkualitas, ada delapan tas dengan cacat tersembunyi. Temukan probabilitas bahwa tas yang dibeli akan berkualitas tinggi. Bulatkan hasilnya ke perseratus terdekat. Larutan: Sesuai dengan ketentuan, untuk setiap 100 + 8 = 108 tas, ada 100 tas berkualitas. Ini berarti bahwa kemungkinan tas yang dibeli akan berkualitas tinggi adalah 100: 108 \u003d 0.925925 ... \u003d 0.93

6. 4 atlet dari Finlandia, 7 atlet dari Denmark, 9 atlet dari Swedia dan 5 atlet dari Norwegia berpartisipasi dalam kompetisi tembak. Urutan atlet bertanding ditentukan dengan undian. Tentukan peluang bahwa pemain terakhir yang bertanding adalah dari Swedia.. Solusi: Secara total, 4 + 7 + 9 + 5 = 25 atlet ambil bagian dalam kompetisi. Jadi peluang atlet yang bertanding paling akhir berasal dari Swedia adalah 9:25 = 0,36

7. Konferensi ilmiah diadakan dalam 5 hari. Sebanyak 75 laporan direncanakan - tiga hari pertama, masing-masing 17 laporan, sisanya didistribusikan secara merata antara hari keempat dan kelima. Urutan laporan ditentukan dengan undian. Berapa probabilitas bahwa laporan Profesor M. akan dijadwalkan pada hari terakhir konferensi? Larutan: Selama tiga hari pertama 51 laporan akan dibacakan, 24 laporan direncanakan untuk dua hari terakhir. Oleh karena itu, 12 laporan dijadwalkan untuk hari terakhir. Ini berarti peluang bahwa laporan Profesor M. akan dijadwalkan pada hari terakhir konferensi adalah 12:75 = 0,16

8. Kontes performer diadakan dalam 5 hari. Sebanyak 80 pertunjukan diumumkan - satu dari masing-masing negara. Pada hari pertama ada 8 pertunjukan, sisanya dibagikan secara merata di antara hari-hari yang tersisa. Urutan penampilan ditentukan dengan undian. Berapa probabilitas bahwa penampilan perwakilan Rusia akan berlangsung pada hari ketiga kompetisi? Larutan: Dijadwalkan untuk hari ketigapidato. Artinya peluang penampilan perwakilan dari Rusia yang akan dijadwalkan pada hari ketiga kompetisi adalah 18:80 = 0,225

9. 3 ilmuwan dari Norwegia, 3 dari Rusia dan 4 dari Spanyol datang ke seminar. Urutan laporan ditentukan dengan undian. Temukan probabilitas bahwa yang kedelapan adalah laporan seorang ilmuwan dari Rusia. Larutan: Secara total, 3 + 3 + 4 = 10 ilmuwan ikut serta dalam seminar, yang berarti peluang ilmuwan yang berbicara kedelapan berasal dari Rusia adalah 3:10 = 0,3.

10. Sebelum dimulainya putaran pertama kejuaraan bulu tangkis, para peserta secara acak dibagi menjadi pasangan permainan dengan undian. Total ada 26 pemain bulu tangkis yang mengikuti kejuaraan tersebut, termasuk 10 peserta dari Rusia, termasuk Ruslan Orlov. Tentukan peluang bahwa pada putaran pertama Ruslan Orlov akan bermain dengan pemain bulu tangkis dari Rusia? Larutan: Pada babak pertama Ruslan Orlov dapat bermain dengan 26 1 = 25 pemain bulu tangkis, dimana 10 1 = 9 dari Rusia. Ini berarti peluang Ruslan Orlov pada ronde pertama bermain dengan pemain bulu tangkis dari Rusia adalah 9:25 = 0,36

11. Koleksi tiket biologi hanya 55 tiket, 11 diantaranya berisi soal botani. Temukan probabilitas bahwa seorang siswa akan mendapatkan pertanyaan tentang botani dalam tiket ujian yang dipilih secara acak. Solusi: 11: 55 = 0,2

12. Sebanyak 25 atlet bertanding pada kejuaraan loncat indah, di antaranya 8 pelompat dari Rusia dan 9 pelompat dari Paraguay. Urutan penampilan ditentukan dengan undian. Tentukan peluang pelompat keenam berasal dari Paraguay.

13. Dua pabrik memproduksi kaca yang sama untuk lampu depan mobil. Pabrik pertama memproduksi 30% dari kacamata ini, yang kedua - 70%. Pabrik pertama memproduksi 3% dari kacamata yang rusak, dan yang kedua - 4%. Temukan probabilitas bahwa gelas yang dibeli secara tidak sengaja di toko akan rusak.

Keputusan. Ubah %% menjadi pecahan.

Acara A - "Membeli kacamata dari pabrik pertama." P(A)=0,3

Acara B - "Kacamata dari pabrik kedua dibeli." P(B)=0,7

Peristiwa X - "Windows rusak".

P(A dan X) = 0,3*0,03=0,009

P(B dan X) = 0,7*0,04=0,028 Menurut rumus probabilitas total: P = 0,009+0,028 = 0.037

14. Jika grandmaster A. bermain putih, maka dia memenangkan grandmaster B. dengan probabilitas 0,52. Jika A. bermain hitam, maka A. mengalahkan B. dengan probabilitas 0,3. Grandmaster A. dan B. memainkan dua game, dan di game kedua mereka mengubah warna bidak. Tentukan peluang A. menang kedua kali. Keputusan: 0,52 * 0,3 = 0,156.

15. Vasya, Petya, Kolya dan Lyosha membuang undi - siapa yang harus memulai permainan. Tentukan peluang Petya memulai permainan.

Solusi: Eksperimen acak - membuang lot.
Dalam percobaan ini, acara dasar adalah peserta yang memenangkan lot.
Kami mencantumkan kemungkinan peristiwa dasar:
(Vasya), (Petya), (Kolya), (Lesha).
Akan ada 4 dari mereka, yaitu. T=4. Lot menyiratkan bahwa semua peristiwa dasar sama mungkinnya.
Acara A= (Petya memenangkan lot) hanya disukai oleh satu acara dasar (Petya). Oleh karena itu N(A)=1.
Maka P(A)=0,25 Jawaban: 0,25.

16. 16 tim berpartisipasi dalam Kejuaraan Dunia. Dengan undian, mereka harus dibagi menjadi empat grup yang masing-masing terdiri dari empat tim. Di dalam kotak terdapat kartu dengan nomor kelompok: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Kapten tim menarik satu kartu pada satu waktu. . Berapa probabilitas bahwa tim Rusia akan berada di grup kedua? Keputusan: Total ada 16 hasil. dengan nomor 2 akan menjadi 4. Jadi 4: 16=0,25

17. Pada ujian geometri, siswa mendapat satu soal dari daftar soal ujian. Probabilitas bahwa ini adalah pertanyaan lingkaran bertulisan adalah 0,2. Probabilitas bahwa ini adalah pertanyaan jajar genjang adalah 0,15. Tidak ada pertanyaan yang terkait dengan dua topik ini secara bersamaan. Temukan probabilitas bahwa siswa akan mendapatkan pertanyaan tentang salah satu dari dua topik ini pada ujian.

= (pertanyaan tentang topik "Lingkaran bertulis"),
= (pertanyaan tentang topik "Jalur Genjang").
Acara dan tidak sesuai, karena dengan syarat tidak ada pertanyaan dalam daftar yang terkait dengan dua topik ini secara bersamaan.
Peristiwa= (pertanyaan tentang salah satu dari dua topik ini) adalah persatuan mereka:.
Kami menerapkan rumus untuk menambahkan probabilitas peristiwa yang tidak kompatibel:
.

18.B mall dua mesin penjual otomatis yang identik menjual kopi. Peluang mesin akan kehabisan kopi pada akhir hari adalah 0,3. Peluang kedua mesin kehabisan kopi adalah 0,12. Temukan peluang bahwa pada akhir hari akan ada kopi yang tersisa di kedua mesin penjual otomatis.

Mari kita tentukan peristiwa
= (kopi akan berakhir di mesin pertama),
= (kopi akan berakhir di mesin kedua).
Sesuai tugas dan .
Menggunakan rumus untuk menambahkan probabilitas, kami menemukan probabilitas suatu peristiwa
dan = (kopi akan berakhir di setidaknya satu mesin):

.
Oleh karena itu, peluang kejadian yang berlawanan (kopi akan tetap berada di kedua mesin) adalah sama dengan
.

19. Seorang biathlete menembak target sebanyak lima kali. Probabilitas mengenai target dengan satu tembakan adalah 0,8. Temukan probabilitas bahwa biathlete mengenai target tiga kali pertama dan meleset dari dua yang terakhir. Bulatkan hasilnya ke perseratus terdekat.

Dalam masalah ini, diasumsikan bahwa hasil setiap tembakan berikutnya tidak bergantung pada yang sebelumnya. Oleh karena itu, peristiwa "tembak pada tembakan pertama", "tembak pada tembakan kedua", dll. mandiri.
Probabilitas setiap pukulan adalah. Jadi peluang setiap kesalahan adalah. Kami menggunakan rumus untuk mengalikan probabilitas kejadian independen. Kami mendapatkan bahwa urutannya
= (hit, hit, hit, miss, miss) memiliki kemungkinan
=
= . Menjawab: .

20. Ada dua mesin pembayaran di toko. Masing-masing dari mereka dapat rusak dengan probabilitas 0,05, terlepas dari otomat lainnya. Temukan probabilitas bahwa setidaknya satu otomat dapat diservis.

Masalah ini juga mengasumsikan independensi pengoperasian automata.
Tentukan peluang kejadian yang berlawanan
= (kedua mesin rusak).
Untuk melakukan ini, kami menggunakan rumus untuk mengalikan peluang kejadian independen:
.
Jadi peluang suatu kejadian= (setidaknya satu otomat beroperasi) sama dengan. Menjawab: .

21. Ruangan diterangi oleh lentera dengan dua lampu. Peluang satu lampu padam dalam setahun adalah 0,3. Temukan peluang bahwa setidaknya satu lampu tidak padam dalam setahun. Solusi: Keduanya akan terbakar (peristiwanya independen dan kami menggunakan rumus untuk produk probabilitas) dengan probabilitas p1=0.3⋅0.3=0.09
Acara yang berlawanan(TIDAK keduanya akan terbakar = setidaknya SATU tidak akan terbakar)
akan terjadi dengan probabilitas p=1-p1=1-0,09=0,91
JAWABAN: 0.91

22. Probabilitas yang baru Ketel listrik akan melayani lebih dari setahun, sama dengan 0,97. Probabilitas bahwa itu akan bertahan lebih dari dua tahun adalah 0,89. Temukan probabilitas bahwa itu berlangsung kurang dari dua tahun tetapi lebih dari satu tahun.

Keputusan.

Misalkan A = "ketel akan bertahan lebih dari satu tahun, tetapi kurang dari dua tahun", B = "ketel akan bertahan lebih dari dua tahun", maka A + B = "ketel akan bertahan lebih dari setahun."

Kejadian A dan B adalah gabungan, probabilitas jumlah mereka sama dengan jumlah probabilitas kejadian ini, dikurangi dengan probabilitas produk mereka. Probabilitas produk dari peristiwa-peristiwa ini, yang terdiri dari fakta bahwa ketel akan gagal tepat dalam dua tahun - tepat pada hari, jam dan detik yang sama - sama dengan nol. Kemudian:

P(A + B) = P(A) + P(B) P(A B) = P(A) + P(B),

dari mana, dengan menggunakan data dari kondisi, kita memperoleh 0,97 = P(A) + 0,89.

Jadi, untuk probabilitas yang diinginkan kita memiliki: P(A) = 0,97 0,89 = 0,08.

23. Agrofirm membeli telur ayam dalam dua rumah tangga. 40% telur dari peternakan pertama adalah telur dari kategori tertinggi, dan dari peternakan kedua - 20% telur dari kategori tertinggi. Secara total, 35% telur menerima kategori tertinggi. Temukan probabilitas bahwa telur yang dibeli dari peternakan ini berasal dari peternakan pertama. Keputusan: Biarkan di pertanian pertama, perusahaan pertanian membeli telur, termasuk telur dari kategori tertinggi, dan di peternakan kedua - telur, termasuk telur dari kategori tertinggi. Jadi, secara total, agroform membeli telur, termasuk telur dari kategori tertinggi. Dengan syarat, 35% telur memiliki kategori tertinggi, maka:

Oleh karena itu, peluang bahwa telur yang dibeli berasal dari peternakan pertama adalah sama dengan =0,75

24. Ada 10 angka pada papan tombol telepon, dari 0 sampai 9. Berapa peluang bahwa angka yang ditekan secara acak akan genap?

25. Berapa peluang suatu bilangan asli yang dipilih secara acak dari 10 sampai 19 habis dibagi tiga?

26. Koboi John memukul lalat di dinding dengan probabilitas 0,9 jika dia menembak dari pistol peluru. Jika John menembakkan revolver yang tidak ditembakkan, ia mengenai seekor lalat dengan probabilitas 0,2. Ada 10 revolver di atas meja, yang hanya 4 yang ditembakkan. Cowboy John melihat seekor lalat di dinding, secara acak mengambil revolver pertama yang dia temui dan menembak lalat itu. Temukan probabilitas bahwa John meleset. Solusi: John memukul lalat jika dia mengambil revolver yang terlihat dan mengenainya, atau jika dia mengambil revolver yang tidak ditembakkan dan mengenainya. Menurut rumus peluang bersyarat, peluang kejadian-kejadian ini berturut-turut adalah 0,4 0,9 = 0,36 dan 0,6 0,2 = 0,12. Peristiwa-peristiwa ini tidak sesuai, probabilitas jumlah mereka sama dengan jumlah probabilitas peristiwa-peristiwa ini: 0,36 + 0,12 = 0,48. Peristiwa yang dirindukan John justru sebaliknya. Probabilitasnya adalah 1 0,48 = 0,52.

27. Ada 5 orang dalam satu rombongan wisatawan. Dengan bantuan banyak, mereka memilih dua orang yang harus pergi ke desa untuk makanan. Turis A. ingin pergi ke toko, tetapi dia tunduk pada lot. Berapa peluang A akan pergi ke toko tersebut? Keputusan: Total ada lima turis, dua di antaranya dipilih secara acak. Probabilitas terpilih adalah 2:5 = 0,4. Jawaban: 0.4.

28.Sebelum Anda mulai pertandingan sepak bola Wasit melempar koin untuk menentukan tim mana yang akan memulai permainan bola. Tim Fisikawan memainkan tiga pertandingan dengan tim yang berbeda. Temukan peluang bahwa dalam permainan ini "Fisikawan" memenangkan lot tepat dua kali. Larutan: Mari kita tunjukkan dengan "1" sisi koin yang bertanggung jawab untuk memenangkan lot dengan "Fisikawan", sisi lain dari koin akan dilambangkan dengan "0". Maka ada tiga kombinasi yang menguntungkan: 110, 101, 011, dan ada 2 kombinasi secara total 3 = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Jadi, peluang yang diinginkan adalah:

29. Sebuah dadu dilempar dua kali. Berapa banyak hasil dasar dari pengalaman yang mendukung peristiwa "A = jumlah poin sama dengan 5"? Solusi: Jumlah poin bisa sama dengan 5 dalam empat kasus: "3 + 2", "2 + 3", "1 + 4", "4 + 1". Jawaban: 4.

30. Dalam sebuah percobaan acak, sebuah koin simetris dilempar dua kali. Temukan probabilitas bahwa hasil OR akan datang (kepala pertama kali, ekor kedua). Keputusan: Ada empat kemungkinan hasil: kepala-kepala, kepala-ekor, ekor-kepala, ekor-ekor. Yang disukai adalah satu: kepala-ekor. Oleh karena itu, probabilitas yang diinginkan adalah 1: 4 = 0,25. Jawaban: 0,25.

31. Grup tampil di festival rock - satu dari masing-masing negara yang diumumkan. Urutan kinerja ditentukan oleh lot. Berapa peluang sebuah band dari Denmark akan tampil setelah band dari Swedia dan setelah band dari Norwegia? Bulatkan hasilnya ke perseratus terdekat. Keputusan: Jumlah total grup yang tampil di festival tidak masalah untuk menjawab pertanyaan. Tidak peduli berapa banyak, ada 6 cara untuk negara-negara yang ditunjukkan posisi relatif di antara pembicara (D - Denmark, S - Swedia, N - Norwegia):

L...S...N..., ...D...N...Sh..., ...Sh...N...L..., ...Sh. ..L...N..., ...N...D...W..., ...N...S...L...

Denmark datang setelah Swedia dan Norwegia pada dua kesempatan. Oleh karena itu, peluang bahwa kelompok-kelompok tersebut akan terdistribusi secara acak dengan cara ini adalah sama dengan Jawaban: 0.33.

32. Saat menembakkan artileri sistem otomatis melakukan tembakan ke sasaran. Jika target tidak hancur, sistem akan menembak lagi. Tembakan diulang sampai target hancur. Probabilitas menghancurkan target tertentu dengan tembakan pertama adalah 0,4, dan dengan setiap tembakan berikutnya - 0,6. Berapa banyak tembakan yang diperlukan untuk memastikan bahwa kemungkinan menghancurkan target setidaknya 0,98? Keputusan: Anda dapat memecahkan masalah "dengan tindakan", menghitung probabilitas bertahan setelah serangkaian kesalahan berturut-turut: P(1) = 0,6. P(2) = P(1) 0,4 = 0,24. P(3) = P(2) 0,4 = 0,096. P(4) = P(3) 0,4 = 0,0384; P(5) = P(4) 0,4 = 0,01536. Probabilitas terakhir kurang dari 0,02, jadi lima tembakan tepat sasaran sudah cukup.

33. Untuk maju ke babak berikutnya dari kompetisi, tim sepak bola harus mencetak setidaknya 4 poin dalam dua pertandingan. Jika tim menang mendapat 3 poin, jika seri - 1 poin, jika kalah - 0 poin. Temukan probabilitas bahwa tim akan dapat maju ke babak kompetisi berikutnya. Pertimbangkan bahwa dalam setiap permainan probabilitas menang dan kalah adalah sama dan sama dengan 0,4. Keputusan : Sebuah tim bisa mendapatkan setidaknya 4 poin dalam dua pertandingan dalam tiga cara: 3+1, 1+3, 3+3. Peristiwa-peristiwa ini tidak sesuai, probabilitas jumlahnya sama dengan jumlah probabilitasnya. Masing-masing peristiwa ini adalah produk dari dua peristiwa independen - hasil di game pertama dan kedua. Oleh karena itu kami memiliki:

34. Di kota tertentu, dari 5000 bayi yang lahir, 2512 adalah anak laki-laki. Cari frekuensi kelahiran anak perempuan di kota ini. Bulatkan hasilnya menjadi seperseribu. Keputusan: 5000 – 2512 = 2488; 2488: 5000 = 0,4976 ≈0,498

35. Ada 12 kursi di pesawat di sebelah pintu darurat dan 18 kursi di belakang partisi yang memisahkan kabin. Sisa kursi tidak nyaman untuk penumpang tinggi. Penumpang V. tinggi. Tentukan peluang bahwa pada saat check-in, dengan pemilihan kursi secara acak, penumpang B. akan mendapatkan kursi yang nyaman jika ada 300 kursi di pesawat. Keputusan : Di pesawat, 12 + 18 = 30 kursi nyaman untuk penumpang V., dan total ada 300 kursi di pesawat. Jadi, peluang penumpang B. mendapat tempat duduk yang nyaman adalah 30:300 = 0,1 Jawaban: 0,1.

36. Pada Olimpiade di universitas, peserta duduk di tiga ruang kelas. Dalam dua yang pertama, masing-masing 120 orang, sisanya dibawa ke auditorium cadangan di gedung lain. Saat dihitung, ternyata total ada 250 peserta. Temukan probabilitas bahwa peserta yang dipilih secara acak menulis Olimpiade di ruang kosong. Keputusan: Secara total, 250 120 120 = 10 orang dikirim ke audiens cadangan. Oleh karena itu, peluang seorang peserta yang dipilih secara acak menulis olimpiade di kamar kosong adalah 10:250 = 0,04. Jawaban: 0,04.

37. Ada 26 orang di kelas, di antaranya dua orang kembar - Andrey dan Sergey. Kelas secara acak dibagi menjadi dua kelompok yang masing-masing terdiri dari 13 orang. Tentukan peluang Andrey dan Sergey berada dalam kelompok yang sama. Keputusan: Biarkan salah satu dari si kembar berada dalam beberapa kelompok. Bersama dengan dia, 12 orang dari 25 teman sekelas yang tersisa akan berada di grup. Peluang bahwa saudara kembar kedua akan berada di antara 12 orang ini adalah 12:25 = 0,48.

38. Ada 50 mobil di perusahaan taksi; 27 di antaranya berwarna hitam dengan tulisan kuning di sisinya, sisanya berwarna kuning dengan tulisan hitam. Tentukan peluang sebuah mobil kuning dengan tulisan hitam akan tiba di panggilan acak. Solusi: 23:50=0,46

39. Ada 30 orang dalam satu rombongan wisatawan. Mereka dilempar dengan helikopter dalam beberapa langkah ke daerah terpencil, 6 orang per penerbangan. Urutan helikopter yang mengangkut turis adalah acak. Temukan probabilitas bahwa turis P. akan mengambil penerbangan helikopter pertama. Keputusan: Ada 6 kursi pada penerbangan pertama, total 30 kursi, maka peluang turis P. akan terbang pada penerbangan helikopter pertama adalah: 6:30 = 0,2

40. Probabilitas pemutar DVD baru akan diperbaiki dalam waktu satu tahun adalah 0,045. Di kota tertentu, dari 1.000 pemutar DVD yang terjual sepanjang tahun, 51 buah tiba di bengkel garansi. Seberapa berbeda frekuensi kejadian “perbaikan garansi” dengan probabilitasnya di kota ini? Larutan: Frekuensi (frekuensi relatif) dari peristiwa “perbaikan garansi” adalah 51:1000 = 0,051. Ini berbeda dari probabilitas yang diprediksi sebesar 0,006.

41. Dalam pembuatan bantalan dengan diameter 67 mm, probabilitas bahwa diameter akan berbeda dari yang ditentukan tidak lebih dari 0,01 mm adalah 0,965. Temukan probabilitas bahwa bantalan acak akan memiliki diameter kurang dari 66,99 mm atau lebih besar dari 67,01 mm. Keputusan. Berdasarkan kondisi tersebut, diameter bantalan akan berada pada kisaran 66,99 hingga 67,01 mm dengan probabilitas 0,965. Oleh karena itu, peluang kejadian sebaliknya yang diinginkan adalah 1 0,965 = 0,035.

42. Probabilitas siswa O. dengan benar menyelesaikan lebih dari 11 tugas pada tes biologi adalah 0,67. Probabilitas bahwa O. akan menyelesaikan lebih dari 10 soal dengan benar adalah 0,74. Temukan probabilitas bahwa O. memecahkan tepat 11 masalah dengan tepat. Keputusan: Perhatikan kejadian A = “siswa akan menyelesaikan 11 soal” dan B = “siswa akan menyelesaikan lebih dari 11 soal”. Jumlahnya adalah kejadian A + B = "siswa akan menyelesaikan lebih dari 10 soal." Kejadian A dan B tidak sesuai, peluang jumlah keduanya sama dengan jumlah peluang kejadian berikut: P(A + B) = P(A) + P(B). Kemudian, dengan menggunakan data soal, kita mendapatkan: 0.74 = P(A) + 0.67, dimana P(A) = 0.74 0.67 = 0.07 Jawaban: 0.07.

43. Untuk memasuki Institut "Linguistik" khusus, pelamar harus mencetak setidaknya 70 poin pada Ujian Negara Bersatu di masing-masing dari tiga mata pelajaran - matematika, bahasa Rusia dan bahasa asing. Untuk memasuki "Perdagangan" khusus, Anda harus mencetak setidaknya 70 poin di masing-masing dari tiga mata pelajaran - matematika, bahasa Rusia, dan studi sosial. Probabilitas bahwa pelamar Z. akan menerima setidaknya 70 poin dalam matematika adalah 0,6, dalam bahasa Rusia - 0,8, dalam bahasa asing- 0,7 dan dalam studi sosial - 0,5 Temukan probabilitas bahwa Z. akan dapat memasuki setidaknya satu dari dua spesialisasi yang disebutkan. Larutan: Untuk masuk setidaknya di suatu tempat, Z. harus lulus bahasa Rusia dan matematika dengan setidaknya 70 poin, dan selain itu, lulus bahasa asing atau studi sosial dengan setidaknya 70 poin. Biarlah A , B , C dan D - ini adalah acara di mana Z. lulus studi matematika, Rusia, asing dan sosial, masing-masing, dengan setidaknya 70 poin. Kemudian sejak

Untuk probabilitas kedatangan, kami memiliki:

44. Di pabrik piring keramik, 10% dari piring yang diproduksi memiliki cacat. Selama kontrol kualitas produk, 80% pelat yang rusak terdeteksi. Sisa piring untuk dijual. Temukan probabilitas bahwa piring yang dipilih secara acak pada saat pembelian tidak memiliki cacat. Bulatkan jawaban Anda ke perseratus terdekat. Keputusan : Biarkan pabrik memproduksipiring. Semua simbal berkualitas tinggi dan 20% simbal rusak yang tidak terdeteksi akan dijual:piring. Karena yang berkualitas, peluang membeli piring berkualitas adalah 0,9p:0,92p=0,978 Jawaban: 0,978.

45. Ada tiga penjual di toko. Masing-masing dari mereka sibuk dengan klien dengan probabilitas 0,3. Temukan probabilitas bahwa pada saat yang acak ketiga penjual sibuk pada saat yang sama (asumsikan bahwa pelanggan masuk secara independen satu sama lain). Keputusan : Probabilitas menghasilkan peristiwa independen sama dengan produk dari probabilitas peristiwa ini. Jadi, peluang ketiga penjual sedang sibuk adalah

46. Berdasarkan ulasan pelanggan, Ivan Ivanovich menilai keandalan dua toko online. Kemungkinan bahwa produk yang diinginkan dikirim dari toko A adalah 0,8. Probabilitas bahwa produk ini akan dikirim dari toko B adalah 0,9. Ivan Ivanovich memesan barang sekaligus di kedua toko. Dengan asumsi bahwa toko online beroperasi secara independen satu sama lain, temukan probabilitas bahwa tidak ada toko yang akan mengirimkan barang. Keputusan: Peluang bahwa toko pertama tidak akan mengirimkan barang adalah 1 0,9 = 0,1. Peluang bahwa toko kedua tidak akan mengirimkan barang adalah 1 0,8 = 0,2. Karena kejadian-kejadian ini saling bebas, probabilitas produk mereka (kedua toko tidak akan mengirimkan barang) sama dengan produk dari probabilitas kejadian-kejadian ini: 0,1 0,2 = 0,02

47. Bus berangkat setiap hari dari pusat distrik ke desa. Peluang bahwa pada hari Senin akan ada kurang dari 20 penumpang di dalam bus adalah 0,94. Peluang bahwa akan ada kurang dari 15 penumpang adalah 0,56. Tentukan peluang banyaknya penumpang antara 15 dan 19. Larutan: Pertimbangkan kejadian A = “ada kurang dari 15 penumpang di bus” dan B = “ada antara 15 dan 19 penumpang di bus”. Jumlah mereka adalah kejadian A + B = "kurang dari 20 penumpang di dalam bus". Kejadian A dan B tidak sesuai, peluang jumlah keduanya sama dengan jumlah peluang kejadian berikut: P(A + B) = P(A) + P(B). Kemudian, dengan menggunakan data soal, kita memperoleh: 0,94 = 0,56 + P(B), dari mana P(B) = 0,94 0,56 = 0,38. Jawaban: 0.38.

48. Sebelum pertandingan bola voli dimulai, kapten tim melakukan undian untuk menentukan tim mana yang akan memulai permainan bola. Tim Stator bergiliran bermain dengan tim Rotor, Motor dan Starter. Temukan probabilitas bahwa Stator hanya akan memulai game pertama dan terakhir. Keputusan. Diperlukan untuk menemukan probabilitas produk dari tiga peristiwa: "Stator" memulai game pertama, tidak memulai game kedua, memulai game ketiga. Probabilitas menghasilkan peristiwa independen sama dengan produk dari probabilitas peristiwa ini. Probabilitas masing-masing sama dengan 0,5, di mana kita menemukan: 0,5 0,5 0,5 = 0,125. Jawaban: 0,125.

49. Ada dua jenis cuaca di Negeri Dongeng: baik dan luar biasa, dan cuaca, setelah menetap di pagi hari, tetap tidak berubah sepanjang hari. Diketahui bahwa dengan probabilitas 0,8 cuaca besok akan sama dengan hari ini. Hari ini tanggal 3 Juli, cuaca di Negeri Dongeng baik-baik saja. Cari peluang bahwa akan ada cuaca bagus di Magicland pada tanggal 6 Juli. Keputusan. Untuk cuaca pada 4, 5 dan 6 Juli, ada 4 opsi: XXO, XOO, OXO, LLC (di sini X bagus, O cuaca bagus). Mari kita cari peluang cuaca seperti ini: P(XXO) = 0,8 0,8 0,2 = 0,128; P(XOO) = 0,8 0,2 0,8 = 0,128; P(OXO) = 0,2 0,2 0,2 = 0,008; P(OOO) = 0,2 0,8 0,8 = 0,128. Peristiwa-peristiwa ini tidak sesuai, peluang jumlah mereka sama dengan jumlah peluang peristiwa-peristiwa ini: P(XXO) + P(XXO) + P(XXO) + P(OOO) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.

50. Semua pasien yang diduga hepatitis diberikan tes darah. Jika analisis menunjukkan hepatitis, maka hasil analisis disebut positif . Pada pasien hepatitis, analisis memberikan hasil positif dengan probabilitas 0,9. Jika pasien tidak menderita hepatitis, maka tes dapat memberikan hasil positif palsu dengan probabilitas 0,01. Diketahui bahwa 5% pasien yang dirawat dengan suspek hepatitis sebenarnya menderita hepatitis. Temukan probabilitas bahwa hasil tes seorang pasien yang dirawat di klinik dengan suspek hepatitis akan positif. Keputusan . Analisis pasien dapat positif karena dua alasan: A) pasien menderita hepatitis, analisisnya benar; B) pasien tidak menderita hepatitis, analisisnya salah. Ini adalah peristiwa yang tidak kompatibel, probabilitas jumlah mereka sama dengan jumlah probabilitas peristiwa ini. Kami memiliki: p(A)=0,9 0,05=0,045; p(B)=0,01 0,95=0,0095; p(A+B)=P(A)+p(B)=0,045+0,0095=0,0545.

51. Di saku Misha ada empat permen - Grillage, Squirrel, Cow dan Swallow, serta kunci apartemen. Mengambil kunci, Misha tidak sengaja menjatuhkan sepotong permen dari sakunya. Temukan probabilitas bahwa permen Grillage hilang.

52.Jam tangan mekanik dengan dial dua belas jam di beberapa titik putus dan berhenti berjalan. Carilah peluang bahwa jarum jam membeku, mencapai tanda 10, tetapi tidak mencapai tanda 1 jam. Solusi: 3: 12 = 0,25

53. Probabilitas baterai rusak adalah 0,06. Pelanggan di toko memilih paket acak yang berisi dua baterai ini. Tentukan peluang kedua baterai dalam keadaan baik. Larutan: Peluang baterai dalam keadaan baik adalah 0,94. Probabilitas menghasilkan peristiwa independen (kedua baterai akan baik) sama dengan produk dari peluang peristiwa ini: 0,94 0,94 \u003d 0,8836 Jawaban: 0,8836.

54. Saluran otomatis membuat baterai. Probabilitas bahwa baterai jadi rusak adalah 0,02. Sebelum pengemasan, setiap baterai melewati sistem kontrol. Probabilitas sistem akan menolak baterai yang rusak adalah 0,99. Probabilitas bahwa sistem akan salah menolak baterai yang baik adalah 0,01. Temukan probabilitas bahwa baterai pabrikan yang dipilih secara acak akan ditolak oleh sistem kontrol. Keputusan. Situasi di mana baterai akan ditolak dapat disebabkan oleh peristiwa berikut: A = baterai benar-benar buruk dan ditolak secara wajar, atau B = baterai baik, tetapi ditolak karena kesalahan. Ini adalah peristiwa yang tidak kompatibel, probabilitas jumlah mereka sama dengan jumlah probabilitas peristiwa ini. Kita punya:

55. Angka tersebut menunjukkan sebuah labirin. Laba-laba merangkak ke dalam labirin di titik "Pintu Masuk". Laba-laba tidak dapat berbalik dan merangkak kembali, oleh karena itu, di setiap pertigaan, laba-laba memilih salah satu jalur yang belum dijelajahinya. Dengan asumsi bahwa pilihan jalan selanjutnya adalah murni acak, tentukan dengan probabilitas berapa laba-laba akan sampai ke pintu keluar.

Keputusan.

Pada masing-masing dari empat pertigaan yang ditandai, laba-laba dapat memilih jalan menuju pintu keluar D atau jalan lain dengan probabilitas 0,5. Ini adalah peristiwa independen, probabilitas produknya (laba-laba mencapai pintu keluar D) sama dengan produk dari probabilitas kejadian ini. Oleh karena itu, probabilitas datang ke output D adalah (0,5) 4 = 0,0625.

Rencanakan lokakarya untuk guru matematika dari lembaga pendidikan kota Tula dengan topik “Memecahkan tugas USE dalam matematika dari bagian: kombinatorik, teori probabilitas. Metode pengajaran"

Menghabiskan waktu: 12 00 ; 15 00

Lokasi: MBOU "Lyceum No. 1", kamar. nomor 8

SAYA. Pemecahan masalah untuk probabilitas

1. Memecahkan masalah pada definisi klasik tentang probabilitas

Kami, sebagai guru, sudah tahu bahwa jenis tugas utama dalam USE dalam teori probabilitas didasarkan pada definisi klasik tentang probabilitas. Ingat apa yang disebut peluang suatu peristiwa?

Peluang suatu kejadian adalah rasio jumlah hasil yang menguntungkan untuk suatu peristiwa tertentu terhadap jumlah total hasil.

Dalam asosiasi ilmiah dan metodologis kami para guru matematika, a skema umum pemecahan masalah untuk kemungkinan. Saya ingin menyampaikannya untuk perhatian Anda. Omong-omong, kami berbagi pengalaman kerja kami, dan dalam materi yang kami berikan untuk perhatian Anda untuk diskusi bersama tentang pemecahan masalah, kami memberikan skema ini. Namun, saya ingin menyuarakannya.

Menurut pendapat kami, skema ini membantu dengan cepat meletakkan semuanya secara logis di rak, dan setelah itu tugas dapat diselesaikan dengan lebih mudah bagi guru dan siswa.

Jadi, saya ingin menganalisis secara rinci masalah konten berikut.

Saya ingin berbicara dengan Anda untuk menjelaskan metodologi bagaimana menyampaikan solusi semacam itu kepada para pria, di mana para pria akan memahami tugas khas ini, dan kemudian mereka akan memahami tugas-tugas ini sendiri.

Apa yang dimaksud dengan eksperimen acak dalam masalah ini? Sekarang kita perlu mengisolasi peristiwa dasar dalam percobaan ini. Apa acara dasar ini? Mari kita daftar mereka.

Masalah pertanyaan?

Rekan-rekan yang terhormat, Anda juga telah dengan jelas mempertimbangkan masalah probabilitas dengan dadu. Saya pikir kita perlu membongkarnya, karena ada beberapa nuansa. Mari kita analisis masalah ini sesuai dengan skema yang kami usulkan kepada Anda. Karena terdapat bilangan dari 1 sampai 6 pada setiap muka kubus, maka kejadian elementer adalah bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6. Didapatkan bahwa jumlah total kejadian elementer adalah 6. Mari kita tentukan acara dasar mendukung acara. Hanya dua acara yang mendukung acara ini - 5 dan 6 (karena mengikuti dari kondisi 5 dan 6 poin harus gugur).

Jelaskan bahwa semua kejadian dasar adalah sama mungkin. Apa yang akan menjadi pertanyaan pada tugas?

Bagaimana Anda memahami bahwa koin itu simetris? Mari kita luruskan ini, terkadang frasa tertentu menyebabkan kesalahpahaman. Mari kita memahami masalah ini secara konseptual. Mari kita berurusan dengan Anda dalam percobaan itu, yang dijelaskan, apa hasil dasar yang bisa terjadi. Bisakah Anda bayangkan di mana kepalanya, di mana ekornya? Apa saja opsi kejatuhan? Apakah ada acara lain? Berapa jumlah keseluruhan acara? Menurut masalah, diketahui bahwa kepala jatuh tepat satu kali. Jadi acara iniperistiwa dasar dari empat OR dan RO ini, ini tidak bisa terjadi dua kali. Kami menggunakan rumus yang dengannya probabilitas suatu peristiwa ditemukan. Ingatlah bahwa jawaban di Bagian B harus berupa bilangan bulat atau desimal.

Tampilkan di papan tulis interaktif. Kami membaca tugas. Apa hasil dasar dalam pengalaman ini? Jelaskan bahwa pasangan itu berurutan - yaitu, angkanya jatuh pada dadu pertama, dan pada dadu kedua. Dalam tugas apa pun, ada saat-saat ketika Anda perlu memilih metode rasional, membentuk dan menyajikan solusi dalam bentuk tabel, diagram, dll. Dalam masalah ini, akan lebih mudah untuk menggunakan tabel seperti itu. aku sudah memberimu solusi turnkey, tetapi dalam penyelesaiannya ternyata dalam masalah ini adalah rasional untuk menggunakan solusi dalam bentuk tabel. Jelaskan apa yang dimaksud dengan tabel! Anda mengerti mengapa kolom mengatakan 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Mari kita menggambar persegi. Garis-garisnya sesuai dengan hasil gulungan pertama - ada enam di antaranya, karena dadu memiliki enam wajah. Seperti halnya kolom. Di setiap sel kami menulis jumlah poin yang dijatuhkan. Tunjukkan tabel yang sudah selesai. Mari kita warnai sel yang jumlahnya sama dengan delapan (seperti yang diperlukan dalam kondisi).

Saya percaya bahwa masalah berikutnya, setelah menganalisis yang sebelumnya, dapat diberikan kepada orang-orang untuk diselesaikan sendiri.

Dalam masalah berikut, tidak perlu menuliskan semua hasil dasar. Cukup dengan menghitung jumlah mereka.

(Tanpa solusi) Saya memberi orang-orang untuk menyelesaikan masalah ini sendiri. Algoritma untuk memecahkan masalah

1. Tentukan apa itu eksperimen acak dan apa itu kejadian acak.

2. Temukan jumlah total kejadian dasar.

3. Kami menemukan jumlah peristiwa yang mendukung peristiwa yang ditentukan dalam kondisi masalah.

4. Carilah peluang suatu kejadian dengan menggunakan rumus.

Siswa dapat diberi pertanyaan, jika 1000 baterai mulai dijual, dan di antaranya 6 rusak, maka baterai yang dipilih ditentukan sebagai? Apa yang ada dalam tugas kita? Selanjutnya, saya mengajukan pertanyaan tentang menemukan apa yang digunakan di sini sebagai angkadan saya mengusulkan untuk menemukannyanomor. Lalu saya bertanya, ada acara apa di sini? Berapa banyak akumulator yang mendukung penyelesaian acara? Selanjutnya, dengan menggunakan rumus, kami menghitung probabilitas ini.

Di sini anak-anak dapat ditawari solusi kedua. Mari kita bahas apa metode ini bisa?

1. Peristiwa apa yang dapat dipertimbangkan sekarang?

2. Bagaimana cara mencari peluang suatu kejadian tertentu?

Anak-anak perlu diberitahu tentang formula ini. Mereka berikutnya

Tugas kedelapan dapat ditawarkan kepada anak-anak mereka sendiri, karena mirip dengan tugas keenam. Itu dapat ditawarkan kepada mereka sebagai kerja mandiri, atau pada kartu di papan tulis.

Masalah ini dapat diselesaikan dalam kaitannya dengan Olimpiade, yang saat ini sedang berlangsung. Terlepas dari kenyataan bahwa berbagai peristiwa berpartisipasi dalam tugas, bagaimanapun, tugas itu khas.

2. Aturan dan rumus paling sederhana untuk menghitung probabilitas (kejadian yang berlawanan, jumlah kejadian, hasil kali kejadian)

Ini adalah tugas dari GUNAKAN koleksi. Kami menempatkan solusi di papan tulis. Pertanyaan apa yang harus kita ajukan kepada siswa untuk menganalisis masalah ini.

1. Ada berapa senapan mesin di sana? Sekali dua automata, maka sudah ada dua event. Saya bertanya kepada anak-anak apa acaranya? Apa yang akan menjadi acara kedua?

2. adalah peluang kejadian. Kita tidak perlu menghitungnya, karena diberikan dalam kondisi. Berdasarkan kondisi soal, peluang "kopi habis di kedua mesin" adalah 0,12. Ada acara A, ada acara B. Dan acara baru muncul? Saya mengajukan pertanyaan kepada anak-anak - apa? Ini adalah peristiwa ketika kedua mesin penjual otomatis kehabisan kopi. Dalam hal ini, dalam teori probabilitas, ini adalah peristiwa baru, yang disebut perpotongan dua peristiwa A dan B dan dilambangkan dengan cara ini.

Mari kita gunakan rumus penambahan probabilitas. Rumusnya adalah sebagai berikut

Kami memberikannya kepada Anda dalam materi referensi dan teman-teman dapat memberikan formula ini. Ini memungkinkan Anda untuk menemukan probabilitas jumlah peristiwa. Kami ditanya probabilitas kejadian yang berlawanan, probabilitas yang ditemukan oleh rumus.

Soal 13 menggunakan konsep produk dari peristiwa, rumus untuk menemukan probabilitas yang diberikan dalam Lampiran.

3. Tugas untuk penerapan pohon opsi yang memungkinkan

Sesuai dengan kondisi masalah, mudah untuk membuat diagram dan menemukan probabilitas yang ditunjukkan.

Dengan bantuan apa? bahan teoretis Pernahkah Anda bekerja dengan siswa untuk memecahkan masalah semacam ini? Apakah Anda menggunakan pohon kemungkinan atau apakah Anda menggunakan metode lain untuk memecahkan masalah seperti itu? Apakah Anda memberikan konsep grafik? Di kelas lima atau enam, para lelaki memiliki masalah seperti itu, yang analisisnya memberikan konsep grafik.

Saya ingin bertanya kepada Anda, apakah Anda dan siswa Anda pernah mempertimbangkan untuk menggunakan pohon kemungkinan ketika memecahkan masalah probabilitas? Faktanya adalah bahwa USE tidak hanya memiliki tugas seperti itu, tetapi tugas yang agak rumit telah muncul, yang sekarang akan kita selesaikan.

Mari kita diskusikan dengan Anda metodologi untuk memecahkan masalah seperti itu - jika itu sesuai dengan metodologi saya, seperti yang saya jelaskan kepada teman-teman, maka akan lebih mudah bagi saya untuk bekerja dengan Anda, jika tidak, maka saya akan membantu Anda mengatasi masalah ini.

Mari kita bahas acaranya. Peristiwa apa dalam masalah 17 yang dapat diidentifikasi?

Saat membangun pohon pada bidang, sebuah titik ditunjuk, yang disebut akar pohon. Selanjutnya, kita mulai mempertimbangkan peristiwadan. Kami akan membangun segmen (dalam teori probabilitas itu disebut cabang). Syaratnya, pabrik pertama memproduksi 30%. ponsel merek ini (apa? Yang mereka produksi), jadi di saat ini Saya bertanya kepada siswa, berapa peluang pabrik pertama memproduksi ponsel merek ini, yang mereka produksi? Karena acaranya adalah peluncuran ponsel di pabrik pertama, kemungkinan acara ini adalah 30% atau 0,3. Ponsel yang tersisa diproduksi di pabrik kedua - kami sedang membangun segmen kedua, dan kemungkinan peristiwa ini adalah 0,7.

Siswa ditanyai - jenis telepon apa yang dapat diproduksi oleh pabrik pertama? Dengan atau tanpa cacat. Berapa probabilitas bahwa telepon yang diproduksi oleh pabrik pertama memiliki cacat? Menurut kondisinya, dikatakan sama dengan 0,01. Pertanyaan: Berapa probabilitas bahwa telepon yang diproduksi oleh pabrik pertama tidak memiliki cacat? Karena peristiwa ini berlawanan dengan yang diberikan, probabilitasnya sama.

Diperlukan untuk menemukan probabilitas bahwa telepon rusak. Mungkin dari pabrik pertama, atau mungkin dari pabrik kedua. Kemudian kami menggunakan rumus untuk menjumlahkan peluang dan kami mendapatkan bahwa seluruh peluang adalah jumlah dari peluang bahwa telepon rusak dari pabrik pertama, dan telepon rusak dari pabrik kedua. Probabilitas bahwa telepon memiliki cacat dan diproduksi di pabrik pertama ditemukan dengan rumus produk probabilitas, yang diberikan dalam lampiran.

4. Salah satu yang paling tugas yang menantang dari bank USE untuk kemungkinan

Mari kita analisis, misalnya, No. 320199 dari Bank Tugas FIPI. Ini adalah salah satu tugas tersulit di B6.

Untuk memasuki institut untuk "Linguistik" khusus, pelamar Z. harus mencetak setidaknya 70 poin pada Ujian Negara Bersatu di masing-masing dari tiga mata pelajaran - matematika, bahasa Rusia, dan bahasa asing. Untuk memasuki "Perdagangan" khusus, Anda harus mencetak setidaknya 70 poin di masing-masing dari tiga mata pelajaran - matematika, bahasa Rusia, dan studi sosial.

Probabilitas pelamar Z. akan menerima setidaknya 70 poin dalam matematika adalah 0,6, dalam bahasa Rusia - 0,8, dalam bahasa asing - 0,7 dan dalam studi sosial - 0,5.

Tentukan peluang Z. dapat memasuki setidaknya salah satu dari dua spesialisasi yang disebutkan.

Perhatikan bahwa masalahnya tidak menanyakan apakah pelamar bernama Z. akan mempelajari linguistik dan perdagangan pada saat yang sama dan menerima dua diploma. Di sini kita perlu menemukan probabilitas bahwa Z. akan dapat memasuki setidaknya satu dari dua spesialisasi ini - yaitu, ia akan memperoleh jumlah yang dibutuhkan poin.

Untuk memasuki setidaknya satu dari dua spesialisasi, Z. harus mencetak setidaknya 70 poin dalam matematika. Dan dalam bahasa Rusia. Namun - ilmu sosial atau asing.

Probabilitas mencetak 70 poin dalam matematika baginya adalah 0,6.

Probabilitas mencetak poin dalam matematika dan bahasa Rusia adalah sama.

Mari kita berurusan dengan studi asing dan sosial. Pilihannya cocok untuk kami ketika pelamar mencetak poin dalam studi sosial, dalam bahasa asing, atau keduanya. Pilihan ini tidak cocok ketika dia tidak mencetak poin baik dalam bahasa atau dalam "masyarakat". Ini berarti bahwa peluang lulus IPS atau yang asing setidaknya sama dengan 70 poin. Akibatnya, probabilitas lulus matematika, studi Rusia dan sosial atau yang asing sama dengan

Ini adalah jawabannya.

II . Memecahkan masalah kombinatorial

1. Jumlah kombinasi dan faktorial

Mari kita menganalisis secara singkat materi teoritis.

Ekspresin ! membaca "en-faktorial" dan menunjukkan produk dari semua bilangan asli dari 1 sampain inklusif:n ! = 1 2 3 ...n .

Selain itu, dalam matematika, menurut definisi, dianggap bahwa 0! = 1. Ungkapan seperti itu jarang terjadi, tetapi masih terjadi pada masalah dalam teori probabilitas.

Definisi

Biarkan ada objek (pensil, permen, apa pun) yang darinya diperlukan untuk memilih objek yang benar-benar berbeda. Kemudian jumlah opsi untuk pilihan seperti itu disebutjumlah kombinasi dari elemen. Angka ini ditunjukkan dan dihitung sesuai dengan formula khusus.

Penamaan

Apa yang diberikan formula ini kepada kita? Faktanya, hampir tidak ada tugas serius yang dapat diselesaikan tanpanya.

Untuk pemahaman yang lebih baik, mari kita menganalisis beberapa masalah kombinatorial sederhana:

Tugas

Bartender memiliki 6 jenis teh hijau. Untuk upacara minum teh, Anda harus menyerahkan teh hijau tepat 3 varietas yang berbeda. Dalam berapa cara seorang bartender dapat menyelesaikan pesanan?

Keputusan

Semuanya sederhana di sini: adan = 6 varietas untuk dipilihk = 3 varietas. Banyaknya kombinasi dapat dicari dengan rumus :

Menjawab

Substitusi dalam rumus. Kita tidak bisa menyelesaikan semua masalah, tapi tugas khas kami telah menulis, mereka disajikan untuk perhatian Anda.

Tugas

Dalam kelompok yang terdiri dari 20 siswa, 2 perwakilan harus dipilih untuk berbicara di konferensi. Dalam berapa cara hal ini dapat dilakukan?

Keputusan

Sekali lagi, semua yang kita milikin = 20 siswa, tetapi Anda harus memilihk = 2 siswa. Mencari jumlah kombinasi:

Harap dicatat bahwa faktor-faktor yang termasuk dalam faktorial yang berbeda ditandai dengan warna merah. Pengganda ini dapat dikurangi tanpa rasa sakit dan dengan demikian secara signifikan mengurangi jumlah total perhitungan.

Menjawab

190

Tugas

17 server dengan berbagai cacat dibawa ke gudang, yang harganya 2 kali lebih murah dari server biasa. Direktur membeli 14 server semacam itu untuk sekolah, dan menghabiskan uang yang dihemat dalam jumlah 200.000 rubel untuk pembelian peralatan lain. Dalam berapa cara seorang direktur dapat memilih server yang rusak?

Keputusan

Ada cukup banyak data tambahan dalam tugas, yang dapat membingungkan. Paling fakta-fakta penting: ada segalanyan = 17 server, dan direktur membutuhkank = 14 server. Kami menghitung jumlah kombinasi:

Warna merah lagi menunjukkan pengali yang sedang dikurangi. Secara total, ternyata 680 kombinasi. Secara umum, sutradara memiliki banyak pilihan.

Menjawab

680

Tugas ini berubah-ubah, karena ada data tambahan dalam tugas ini. Mereka membingungkan banyak siswa keputusan tepat. Ada total 17 server, dan sutradara harus memilih 14. Mengganti ke dalam rumus, kami mendapatkan 680 kombinasi.

2. Hukum perkalian

Definisi

hukum perkalian dalam kombinatorik: jumlah kombinasi (cara, kombinasi) dalam himpunan independen dikalikan.

Dengan kata lain, biarlah adaA cara untuk melakukan satu tindakan danB cara untuk melakukan tindakan lain. Jalur juga tindakan ini independen, yaitu. tidak berhubungan dengan cara apapun. Kemudian Anda dapat menemukan banyak cara untuk melakukan tindakan pertama dan kedua dengan rumus:C = A · B .

Tugas

Petya memiliki 4 koin masing-masing 1 rubel dan 2 koin masing-masing 10 rubel. Petya, tanpa melihat, mengeluarkan dari sakunya 1 koin dengan nilai nominal 1 rubel dan 1 koin lainnya dengan nilai nominal 10 rubel untuk membeli pena seharga 11 rubel. Dalam berapa cara ia dapat memilih koin-koin tersebut?

Keputusan

Jadi, Petya pertama dapatk = 1 koin darin = 4 koin yang tersedia dengan nilai nominal 1 rubel. Banyaknya cara melakukannya adalahC 4 1 = ... = 4.

Kemudian Petya merogoh sakunya lagi dan mengeluarkank = 1 koin darin = 2 koin yang tersedia dengan nilai nominal 10 rubel. Di sini jumlah kombinasi adalahC 2 1 = ... = 2.

Karena tindakan ini independen, jumlah opsi adalahC = 4 2 = 8.

Menjawab

Tugas

Dalam sebuah keranjang terdapat 8 bola putih dan 12 bola hitam. Dalam berapa cara kamu bisa mendapatkan 2 bola putih dan 2 bola hitam dari keranjang ini?

Keputusan

Jumlah dalam keranjangn = 8 bola putih untuk dipilihk = 2 bola Itu bisa dilakukanC 8 2 = ... = 28 cara yang berbeda.

Selain itu, keranjang berisin = 12 bola hitam untuk dipilih lagik = 2 bola Banyaknya cara melakukannya adalahC 12 2 = ... = 66.

Karena pilihan bola putih dan pilihan bola hitam adalah kejadian bebas, jumlah total kombinasi dihitung menurut hukum perkalian:C = 28 66 = 1848. Seperti yang Anda lihat, ada beberapa opsi.

Menjawab

1848

Hukum perkalian menunjukkan berapa banyak cara Anda dapat melakukan tindakan kompleks yang terdiri dari dua atau lebih tindakan sederhana - asalkan semuanya independen.

3. Hukum penjumlahan

Jika hukum perkalian bekerja pada kejadian-kejadian "terisolasi" yang tidak bergantung satu sama lain, maka dalam hukum penjumlahan kebalikannya yang benar. Ini berkaitan dengan peristiwa yang saling eksklusif yang tidak pernah terjadi pada waktu yang sama.

Misalnya, "Peter mengeluarkan 1 koin dari sakunya" dan "Peter tidak mengeluarkan satu koin pun dari sakunya" adalah peristiwa yang saling eksklusif, karena tidak mungkin mengeluarkan satu koin tanpa mengeluarkannya.

Demikian pula, acara "Bola yang dipilih secara acak - putih" dan "Bola yang dipilih secara acak - hitam" juga saling eksklusif.

Definisi

Hukum Penambahan dalam kombinatorik: jika dua tindakan yang saling eksklusif dapat dilakukanA danB cara, masing-masing, peristiwa ini dapat digabungkan. Ini akan menghasilkan acara baru yang dapat dieksekusiX = A + B cara.

Dengan kata lain, ketika menggabungkan tindakan yang saling eksklusif (peristiwa, opsi), jumlah kombinasinya ditambahkan.

Kita dapat mengatakan bahwa hukum penjumlahan adalah logika "ATAU" dalam kombinatorik, ketika salah satu opsi yang saling eksklusif cocok untuk kita. Sebaliknya, hukum perkalian adalah logika "DAN", di mana kita tertarik pada eksekusi simultan dari tindakan pertama dan kedua.

Tugas

Dalam sebuah keranjang terdapat 9 bola hitam dan 7 bola merah. Anak itu mengeluarkan 2 bola dengan warna yang sama. Dalam berapa cara dia bisa melakukan ini?

Keputusan

Jika bola berwarna sama, maka ada beberapa pilihan: keduanya berwarna hitam atau merah. Jelas, opsi ini saling eksklusif.

Dalam kasus pertama, anak laki-laki itu harus memilihk = 2 bola hitam darin = 9 tersedia. Banyaknya cara melakukannya adalahC 9 2 = ... = 36.

Demikian pula, dalam kasus kedua kami memilihk = 2 bola merah darin = 7 mungkin. Banyaknya cara adalahC 7 2 = ... = 21.

Masih mencari jumlah total cara. Karena varian dengan bola hitam dan merah saling eksklusif, menurut hukum penjumlahan kita memiliki:X = 36 + 21 = 57.

Menjawab57

Tugas

Kios tersebut menjual 15 bunga mawar dan 18 bunga tulip. Seorang siswa kelas 9 ingin membeli 3 bunga untuk teman sekelasnya, dan semua bunga harus sama. Dalam berapa cara dia dapat membuat karangan bunga seperti itu?

Keputusan

Menurut syarat, semua bunga harus sama. Jadi, kita akan membeli 3 mawar atau 3 tulip. Bagaimanapun,k = 3.

Dalam kasus mawar, Anda harus memilih darin = 15 pilihan, jadi banyaknya kombinasi adalahC 15 3 = ... = 455. Untuk bunga tulipn = 18, dan jumlah kombinasi -C 18 3 = ... = 816.

Karena mawar dan tulip adalah pilihan yang saling eksklusif, kami bekerja sesuai dengan hukum penjumlahan. Dapatkan jumlah total opsiX = 455 + 816 = 1271. Ini dia jawabannya.

Menjawab

1271

Persyaratan dan batasan tambahan

Sangat sering dalam teks masalah ada kondisi tambahan yang memberlakukan batasan signifikan pada kombinasi yang menarik bagi kami. Bandingkan dua kalimat:

Ada satu set 5 pulpen warna yang berbeda. Dalam berapa cara pegangan 3 tak dapat dipilih?

Ada satu set 5 pulpen dengan warna berbeda. Dalam berapa cara pegangan 3 tak dapat dipilih jika salah satunya harus berwarna merah?

Dalam kasus pertama, kami memiliki hak untuk mengambil warna apa pun yang kami suka - tidak ada batasan tambahan. Dalam kasus kedua, semuanya lebih rumit, karena kita harus memilih pegangan merah (diasumsikan bahwa itu ada di set asli).

Jelas, batasan apa pun secara drastis mengurangi jumlah opsi. Jadi bagaimana Anda menemukan jumlah kombinasi dalam kasus ini? Ingatlah aturan selanjutnya:

Biarkan ada satu setn elemen untuk dipilihk elemen. Dengan diperkenalkannya batasan tambahan pada nomorn dank berkurang dengan jumlah yang sama.

Dengan kata lain, jika Anda harus memilih 3 dari 5 pena, dan salah satunya harus berwarna merah, maka Anda harus memilih darin = 5 1 = 4 elemen dengank = 3 1 = 2 elemen. Jadi, alih-alihC 5 3 harus diperhatikanC 4 2 .

Sekarang mari kita lihat bagaimana aturan ini bekerja contoh konkret:

Tugas

Dalam kelompok yang terdiri dari 20 siswa, termasuk 2 siswa berprestasi, Anda harus memilih 4 orang untuk berpartisipasi dalam konferensi. Dalam berapa banyak cara keempat ini dapat dipilih jika siswa yang sangat baik harus pergi ke konferensi?

Keputusan

Jadi ada sekelompokn = 20 siswa. Tapi Anda hanya harus memilihk = 4 dari mereka. Jika tidak ada batasan tambahan, maka jumlah opsi sama dengan jumlah kombinasiC 20 4 .

Namun, kami diberi syarat tambahan: 2 penghargaan harus di antara empat ini. Jadi, menurut aturan di atas, kami mengurangi angkan dank oleh 2. Kami memiliki:

Menjawab

153

Tugas

Petya memiliki 8 koin di sakunya, 6 di antaranya adalah koin rubel dan 2 adalah 10 koin rubel. Petya menggeser sekitar tiga koin ke saku lain. Berapa banyak cara Petya dapat melakukan ini jika diketahui bahwa kedua koin 10 rubel berakhir di saku lain?

Keputusan

Jadi adan = 8 koin Petya bergeserk = 3 koin, 2 di antaranya adalah sepuluh rubel. Ternyata dari 3 koin yang akan ditransfer, 2 sudah tetap, jadi angkanyan dank harus dikurangi dengan 2. Kami memiliki:

Menjawab

AKU AKU AKU . Memecahkan masalah gabungan pada penggunaan rumus kombinatorik dan teori probabilitas

Tugas

Petya memiliki 4 koin rubel dan 2 2 koin rubel di sakunya. Petya, tanpa melihat, memindahkan sekitar tiga koin ke dalam saku lain. Tentukan peluang kedua mata uang dua rubel berada dalam kantong yang sama.

Keputusan

Misalkan kedua koin dua rubel benar-benar berakhir di saku yang sama, maka 2 opsi dimungkinkan: baik Petya tidak menggesernya sama sekali, atau menggeser keduanya sekaligus.

Dalam kasus pertama, ketika koin dua rubel tidak ditransfer, 3 koin rubel harus ditransfer. Karena ada total 4 koin seperti itu, jumlah cara untuk melakukannya sama dengan jumlah kombinasi 4 dengan 3:C 4 3 .

Dalam kasus kedua, ketika kedua koin dua rubel telah ditransfer, satu koin rubel lagi harus ditransfer. Itu harus dipilih dari 4 yang ada, dan jumlah cara untuk melakukannya sama dengan jumlah kombinasi dari 4 hingga 1:C 4 1 .

Sekarang mari kita cari jumlah total cara untuk menggeser koin. Karena ada total 4 + 2 = 6 koin, dan hanya 3 koin yang harus dipilih, jumlah total opsi sama dengan jumlah kombinasi dari 6 hingga 3:C 6 3 .

Masih mencari peluang:

Menjawab

0,4

Tampilkan di papan tulis interaktif. Perhatikan fakta bahwa, sesuai dengan kondisi masalahnya, Petya, tanpa melihat, memasukkan tiga koin ke dalam satu saku. Dalam menjawab pertanyaan ini, kita dapat berasumsi bahwa dua koin dua rubel benar-benar tertinggal di satu saku. Lihat rumus untuk menambahkan probabilitas. Tunjukkan lagi rumusnya.

Tugas

Petya memiliki 2 koin 5 rubel dan 4 koin 10 rubel di sakunya. Petya, tanpa melihat, memindahkan sekitar 3 koin ke saku lain. Temukan probabilitas bahwa koin lima rubel sekarang berada di kantong yang berbeda.

Keputusan

Agar koin lima rubel terletak di kantong yang berbeda, Anda hanya perlu menggeser salah satunya. Banyaknya cara mengerjakannya sama dengan banyaknya kombinasi 2 kali 1:C 2 1 .

Karena Petya mentransfer total 3 koin, dia harus mentransfer 2 koin lagi masing-masing 10 rubel. Petya memiliki 4 koin seperti itu, jadi jumlah cara sama dengan jumlah kombinasi dari 4 hingga 2:C 4 2 .

Masih mencari berapa banyak pilihan yang ada untuk menggeser 3 koin dari 6 yang tersedia. Angka ini, seperti pada soal sebelumnya, sama dengan jumlah kombinasi dari 6 hingga 3:C 6 3 .

Menemukan kemungkinan:

Pada langkah terakhir, kami mengalikan jumlah cara untuk memilih koin dua rubel dan jumlah cara untuk memilih koin sepuluh rubel, karena peristiwa ini independen.

Menjawab

0,6

Jadi, masalah dengan koin memiliki rumus probabilitasnya sendiri. Ini sangat sederhana dan penting sehingga dapat dirumuskan sebagai teorema.

Dalil

Biarkan koin dilemparn sekali. Maka probabilitas bahwa kepala akan mendarat tepatk waktu dapat dicari dengan menggunakan rumus:

Di manaC n k - jumlah kombinasi darin elemen olehk , yang dihitung dengan rumus:

Jadi, untuk menyelesaikan masalah dengan koin, diperlukan dua angka: jumlah lemparan dan jumlah kepala. Paling sering, angka-angka ini diberikan langsung dalam teks masalah. Selain itu, tidak masalah apa yang harus dihitung: ekor atau elang. Jawabannya akan sama.

Sekilas, teorema ini tampak terlalu rumit. Tapi itu layak untuk sedikit latihan - dan Anda tidak lagi ingin kembali ke algoritme standar yang dijelaskan di atas.

Uang logam dilempar empat kali. Tentukan peluang munculnya kepala tepat tiga kali.

Keputusan

Menurut kondisi masalahnya, jumlah total lemparan adalahn = 4. Jumlah kepala yang dibutuhkan:k = 3. Penggantin dank ke dalam rumus:

Dengan kesuksesan yang sama, Anda dapat menghitung jumlah ekor:k = 4 3 = 1. Jawabannya akan sama.

Menjawab

0,25

Tugas [ buku kerja“GUNAKAN 2012 dalam matematika. Tugas B6»]

Uang logam dilempar tiga kali. Cari probabilitas bahwa itu tidak pernah muncul ekor.

Keputusan

Menulis angka lagin dank . Karena uang logam dilempar 3 kali,n = 3. Dan karena seharusnya tidak ada ekor,k = 0. Tetap menggantikan angkan dank ke dalam rumus:

Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa 0! = 1 menurut definisi. JadiC 3 0 = 1.

Menjawab

0,125

Tugas [ PENGGUNAAN Percobaan dalam matematika 2012. Irkutsk]

Dalam sebuah percobaan acak, sebuah koin simetris dilempar sebanyak 4 kali. Temukan probabilitas bahwa kepala akan muncul lebih sering daripada ekor.

Keputusan

Agar ada lebih banyak kepala daripada ekor, mereka harus rontok 3 kali (maka akan ada 1 ekor) atau 4 (maka tidak akan ada ekor sama sekali). Mari kita cari probabilitas dari masing-masing peristiwa ini.

Biarlahp 1 - probabilitas bahwa kepala akan jatuh 3 kali. Kemudiann = 4, k = 3. Kami memiliki:

Sekarang mari kita temukanp 2 - probabilitas bahwa kepala akan rontok sebanyak 4 kali. Pada kasus inin = 4, k = 4. Kami memiliki:

Untuk mendapatkan jawabannya, tetap menambahkan probabilitasp 1 danp 2 . Ingat: Anda hanya dapat menambahkan probabilitas untuk kejadian yang saling eksklusif. Kita punya:

p = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

Menjawab

0,3125

Untuk menghemat waktu Anda saat bersiap dengan teman-teman untuk Ujian Negara Terpadu dan GIA, kami telah menyajikan solusi untuk lebih banyak tugas yang dapat Anda pilih dan selesaikan dengan teman-teman.

Materi GIA, Ujian Negara Bersatu dari berbagai tahun, buku teks dan situs.

IV. Materi referensi

Teori probabilitas pada ujian dalam matematika dapat direpresentasikan seperti dalam bentuk tugas sederhana pada definisi klasik probabilitas, dan dalam bentuk yang cukup kompleks, pada penerapan teorema yang sesuai.

Pada bagian ini, kami mempertimbangkan masalah yang cukup untuk menggunakan definisi probabilitas. Terkadang di sini kita juga akan menerapkan rumus untuk menghitung peluang kejadian yang berlawanan. Meskipun rumus ini dapat dihilangkan di sini, itu akan tetap diperlukan saat menyelesaikan masalah berikut.

Bagian teoretis

Peristiwa acak adalah peristiwa yang mungkin atau mungkin tidak terjadi (tidak mungkin diprediksi sebelumnya) selama pengamatan atau tes.

Biarkan selama tes (melempar koin atau dadu, menarik kartu ujian dll.) hasil yang mungkin sama adalah mungkin. Misalnya, ketika melempar koin, jumlah semua hasil adalah 2, karena tidak ada hasil lain kecuali hilangnya "ekor" atau "elang". Saat melempar dadu, 6 hasil yang mungkin, karena salah satu angka dari 1 hingga 6 dapat muncul di bagian atas dadu.Biarkan juga beberapa kejadian A disukai oleh hasil.

Probabilitas suatu peristiwa A adalah rasio jumlah hasil yang menguntungkan untuk peristiwa ini dengan jumlah total kemungkinan hasil yang sama (ini adalah definisi klasik tentang probabilitas). Kami menulis

Misalnya, peristiwa A terdiri dari mendapatkan jumlah poin ganjil pada pelemparan dadu. Ada 6 kemungkinan hasil seluruhnya: 1, 2, 3, 4, 5, 6 pada sisi atas dadu Pada saat yang sama, hasil dengan 1, 3, 5 lemparan menguntungkan untuk kejadian A. Jadi, .

Perhatikan bahwa pertidaksamaan ganda selalu berlaku, jadi peluang setiap kejadian A terletak pada interval, yaitu . Jika jawaban Anda memiliki probabilitas lebih besar dari satu, maka Anda membuat kesalahan di suatu tempat dan Anda perlu memeriksa ulang solusinya.

Peristiwa A dan B disebut di depan satu sama lain jika ada hasil yang menguntungkan untuk salah satu dari mereka.

Misalnya, ketika sebuah dadu dilempar, kejadiannya "dilempar" angka ganjil” adalah kebalikan dari kejadian “bilangan genap”.

Peristiwa yang berlawanan dengan peristiwa A dilambangkan. Dari definisi peristiwa yang berlawanan berikut ini
, cara,
.

Masalah tentang memilih objek dari satu set

Tugas 1. 24 tim berpartisipasi dalam Kejuaraan Dunia. Dengan undian, mereka harus dibagi menjadi empat grup yang masing-masing terdiri dari enam tim. Di dalam kotak ada kartu campuran dengan nomor grup:

1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4.

Kapten tim masing-masing mengambil satu kartu. Berapa probabilitas bahwa tim Rusia akan berada di grup ketiga?

Jumlah total hasil sama dengan jumlah kartu - ada 24. Ada 6 hasil yang menguntungkan (karena angka 3 ditulis pada enam kartu). Probabilitas yang diinginkan sama dengan .

Jawaban: 0,25.

Tugas 2. Sebuah guci berisi 14 bola merah, 9 kuning, dan 7 hijau. Satu bola diambil secara acak dari guci. Berapa peluang terambilnya bola ini berwarna kuning?

Banyaknya hasil sama dengan jumlah bola: 14 + 9 + 7 = 30. Banyaknya hasil yang menguntungkan untuk kejadian ini adalah 9. Probabilitas yang diinginkan sama dengan .

Tugas 3. Ada 10 angka pada papan tombol telepon, dari 0 sampai 9. Berapa peluang bahwa angka yang ditekan secara acak akan genap dan lebih besar dari 5?

Hasilnya di sini adalah menekan tombol tertentu, jadi ada 10 kemungkinan hasil yang sama secara total. Acara yang ditunjukkan disukai oleh hasil, yang berarti menekan tombol 6 atau 8. Ada dua hasil seperti itu. Peluang yang diperlukan adalah .

Jawaban: 0.2.

Tugas 4. Berapa peluang suatu bilangan asli yang dipilih secara acak dari 4 sampai 23 habis dibagi 3?

Ada 23 - 4 + 1 = 20 bilangan asli pada interval 4 hingga 23, yang berarti ada 20 kemungkinan hasil secara total. Pada segmen ini, angka-angka berikut adalah kelipatan tiga: 6, 9, 12, 15, 18, 21. Ada total 6 angka seperti itu, jadi 6 hasil mendukung acara yang bersangkutan. Probabilitas yang diinginkan sama dengan .

Jawaban: 0.3.

Tugas 5. Dari 20 tiket yang ditawarkan dalam ujian, siswa hanya dapat menjawab 17. Berapa probabilitas bahwa siswa tidak akan dapat menjawab tiket yang dipilih secara acak?

cara pertama.

Karena siswa dapat menjawab 17 tiket, dia tidak dapat menjawab 3 tiket. Probabilitas mendapatkan salah satu tiket ini, menurut definisi, .

cara ke-2.

Dilambangkan dengan A acara "siswa dapat menjawab tiket". Kemudian . Peluang kejadian yang berlawanan adalah =1 - 0,85 = 0,15.

Jawaban: 0.15.

Tugas 6. Di kejuaraan senam ritmik 20 atlet berpartisipasi: 6 dari Rusia, 5 dari Jerman, sisanya dari Prancis. Urutan penampilan pesenam ditentukan oleh undian. Tentukan peluang bahwa atlet ketujuh berasal dari Perancis.

Total ada 20 atlet, semuanya memiliki peluang yang sama untuk tampil di urutan ketujuh. Oleh karena itu, ada 20 kemungkinan hasil yang sama. Dari Prancis 20 - 6 - 5 = 9 atlet, jadi ada 9 hasil yang menguntungkan untuk acara ini. Peluang yang diperlukan adalah .

Jawaban: 0,45.

Tugas 7. Konferensi ilmiah diadakan dalam 5 hari. Sebanyak 50 laporan direncanakan - tiga hari pertama, masing-masing 12 laporan, sisanya didistribusikan secara merata antara hari keempat dan kelima. Urutan laporan ditentukan dengan undian. Berapa probabilitas bahwa laporan Profesor N. akan dijadwalkan pada hari terakhir konferensi?

Pertama, mari kita cari berapa banyak laporan yang dijadwalkan untuk hari terakhir. Laporan dijadwalkan untuk tiga hari pertama. Masih ada 50 - 36 = 14 laporan yang dibagikan secara merata antara dua hari tersisa, sehingga laporan dijadwalkan pada hari terakhir.

Kami akan mempertimbangkan sebagai hasil nomor seri laporan Profesor N. Ada 50 kemungkinan hasil yang sama.Ada 7 hasil yang mendukung peristiwa yang ditunjukkan (7 angka terakhir dalam daftar laporan). Peluang yang diperlukan adalah .

Jawaban: 0.14.

Tugas 8. Ada 10 kursi di pesawat di sebelah pintu keluar darurat dan 15 kursi di belakang partisi yang memisahkan kabin. Sisa kursi tidak nyaman untuk penumpang tinggi. Penumpang K. tinggi. Tentukan peluang bahwa pada saat check-in, dengan pemilihan kursi secara acak, penumpang K. akan mendapatkan kursi yang nyaman jika ada 200 kursi di pesawat.

Hasil dari masalah ini adalah pemilihan lokasi. Total ada 200 kemungkinan hasil yang sama. Mendukung acara "tempat yang dipilih nyaman" 15 + 10 = 25 hasil. Peluang yang diperlukan adalah .

Jawaban: 0,125.

Tugas 9. Dari 1000 penggiling kopi yang dirakit di pabrik, 7 buah rusak. Pakar memeriksa satu penggiling kopi yang dipilih secara acak dari 1000 ini. Temukan probabilitas bahwa penggiling kopi yang diperiksa rusak.

Saat memilih penggiling kopi secara acak, 1000 hasil mungkin terjadi, kejadian A "penggiling kopi yang dipilih rusak" menguntungkan untuk 7 hasil. Menurut definisi probabilitas.

Jawaban: 0,007.

Tugas 10. Pabrik menghasilkan lemari es. Rata-rata, untuk setiap 100 lemari es berkualitas tinggi, ada 15 lemari es dengan cacat tersembunyi. Temukan probabilitas bahwa lemari es yang dibeli akan berkualitas tinggi. Bulatkan hasilnya ke perseratus terdekat.

Tugas ini mirip dengan yang sebelumnya. Namun, kata-kata “untuk setiap 100 lemari es berkualitas, ada 15 yang cacat” memberi tahu kita bahwa cacat 15 buah tidak termasuk dalam kualitas 100. Oleh karena itu, jumlah total hasil adalah 100 + 15 = 115 (sama dengan jumlah total lemari es), hasil yang menguntungkan adalah 100. Peluang yang diperlukan adalah . Untuk menghitung nilai perkiraan pecahan, akan lebih mudah menggunakan pembagian dengan sudut. Kami mendapatkan 0,869 ... yaitu 0,87.

Jawaban: 0,87.

Tugas 11. Sebelum dimulainya putaran pertama kejuaraan tenis, para peserta secara acak dibagi menjadi pasangan permainan dengan undian. Secara total, 16 pemain tenis berpartisipasi dalam kejuaraan, termasuk 7 peserta dari Rusia, termasuk Maxim Zaitsev. Temukan probabilitas bahwa di babak pertama Maxim Zaitsev akan memainkan pemain tenis mana pun dari Rusia.

Seperti pada tugas sebelumnya, Anda perlu membaca kondisinya dengan cermat dan memahami apa hasilnya dan apa hasil yang menguntungkan (misalnya, penerapan rumus probabilitas yang tidak bijaksana mengarah pada jawaban yang salah).

Di sini hasilnya adalah saingan Maxim Zaitsev. Karena total ada 16 pemain tenis, dan Maxim tidak dapat bermain dengan dirinya sendiri, maka ada 16 - 1 = 15 kemungkinan hasil yang sama. Hasil yang menguntungkan adalah saingan dari Rusia. Ada 7 hasil yang menguntungkan - 1 = 6 (kami mengecualikan Maxim sendiri dari antara orang Rusia). Peluang yang diperlukan adalah .

Jawaban: 0.4.

Tugas 12. Bagian sepak bola dihadiri oleh 33 orang, di antaranya dua bersaudara - Anton dan Dmitry. Mereka yang menghadiri bagian tersebut secara acak dibagi menjadi tiga tim yang masing-masing terdiri dari 11 orang. Tentukan peluang Anton dan Dmitry berada dalam tim yang sama.

Mari kita bentuk tim dengan menempatkan pemain secara berurutan di tempat kosong, sambil memulai dengan Anton dan Dmitry. Pertama, mari kita tempatkan Anton di tempat yang dipilih secara acak dari 33 tempat gratis.Sekarang kita menempatkan Dmitry di tempat kosong (kita akan mempertimbangkan pilihan tempat untuknya sebagai hasilnya). Ada total 32 tempat gratis (satu sudah diambil oleh Anton), jadi totalnya ada 32 kemungkinan hasil. Ada 10 tempat kosong yang tersisa di tim yang sama dengan Anton, sehingga acara "Anton dan Dmitry di tim yang sama" disukai oleh 10 hasil. Peluang kejadian tersebut adalah .

Jawab: 0,3125.

Tugas 13. Jam tangan mekanik dengan dial dua belas jam rusak di beberapa titik dan berhenti bekerja. Temukan peluang jarum jam membeku ketika mencapai 11 tetapi tidak mencapai jam 2.

Secara konvensional, dial dapat dibagi menjadi 12 sektor yang terletak di antara tanda nomor tetangga (antara 12 dan 1, 1 dan 2, 2 dan 3, ..., 11 dan 12). Kami akan mempertimbangkan penghentian jarum jam di salah satu sektor yang ditunjukkan sebagai hasilnya. Total ada 12 hasil yang mungkin sama. Acara ini disukai oleh tiga hasil (sektor antara 11 dan 12, 12 dan 1, 1 dan 2). Probabilitas yang diinginkan sama dengan .

Jawaban: 0,25.

Meringkaskan

Setelah mempelajari materi tentang memecahkan masalah sederhana dalam teori probabilitas, saya merekomendasikan menyelesaikan tugas untuk solusi independen, yang kami terbitkan di saluran Telegram kami. Anda juga dapat memeriksa kebenaran penerapannya dengan memasukkan jawaban dalam bentuk yang diusulkan.