Fungsi dari bentuk , dimana disebut fungsi kuadrat.

Grafik fungsi kuadrat parabola.

Pertimbangkan kasus:

KASUS I, PARABOLA KLASIK

yaitu , ,

Untuk membangun, isi tabel dengan mensubstitusi nilai x ke dalam rumus:

Tandai poin (0;0); (1;1); (-1;1) dll. pada bidang koordinat (semakin kecil langkah yang kita ambil nilai x (dalam hal ini langkah 1), dan semakin banyak nilai x yang kita ambil, semakin halus kurvanya), kita mendapatkan parabola:

Sangat mudah untuk melihat bahwa jika kita mengambil kasus , , , yaitu, maka kita mendapatkan parabola simetris terhadap sumbu (ox). Sangat mudah untuk memverifikasi ini dengan mengisi tabel serupa:

II KASUS, "a" BERBEDA DARI SATU

Apa yang akan terjadi jika kita mengambil , , ? Bagaimana perilaku parabola akan berubah? Dengan title="(!LANG:Dirender oleh QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Gambar pertama (lihat di atas) dengan jelas menunjukkan bahwa titik-titik dari tabel untuk parabola (1;1), (-1;1) diubah menjadi titik (1;4), (1;-4), yaitu, dengan nilai yang sama, ordinat setiap titik dikalikan 4. Ini akan terjadi pada semua titik kunci dari tabel asli. Kami berpendapat serupa dalam kasus gambar 2 dan 3.

Dan ketika parabola "menjadi lebih lebar" parabola:

Mari kita rekap:

1)Tanda koefisien bertanggung jawab atas arah cabang. Dengan title="(!LANG:Dirender oleh QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Nilai mutlak koefisien (modulus) bertanggung jawab atas "ekspansi", "kompresi" parabola. Semakin besar , semakin sempit parabola, semakin kecil |a|, semakin lebar parabola.

KASUS III, "C" MUNCUL

Sekarang mari kita mainkan (yaitu, kita pertimbangkan kasus ketika ), kita akan mempertimbangkan parabola dari bentuk . Mudah ditebak (Anda selalu dapat merujuk ke tabel) bahwa parabola akan bergerak naik atau turun sepanjang sumbu, tergantung pada tandanya:

KASUS IV, "b" MUNCUL

Kapan parabola akan "merobek" dari sumbu dan akhirnya akan "berjalan" di sepanjang seluruh bidang koordinat? Ketika itu berhenti menjadi sama.

Di sini, untuk membangun parabola, kita perlu rumus untuk menghitung simpul: , .

Jadi pada titik ini (seperti pada titik (0; 0) sistem baru koordinat) kita akan membangun parabola, yang sudah ada dalam kekuatan kita. Jika kita berurusan dengan kasus, maka dari atas kita sisihkan satu segmen ke kanan, satu ke atas, - titik yang dihasilkan adalah milik kita (sama seperti langkah ke kiri, langkah ke atas adalah titik kita); jika kita berhadapan dengan, misalnya, maka dari atas kita sisihkan satu ruas ke kanan, dua ke atas, dst.

Misalnya, titik sudut parabola:

Sekarang hal utama yang harus dipahami adalah bahwa pada titik ini kita akan membangun parabola sesuai dengan template parabola, karena dalam kasus kita.

Saat membuat parabola setelah mencari koordinat titik tersebut sangatLebih mudah untuk mempertimbangkan poin-poin berikut:

1) parabola harus melewati titik . Memang, mengganti x=0 ke dalam rumus, kita mendapatkan . Artinya, ordinat titik potong parabola dengan sumbu (oy), ini. Dalam contoh kita (di atas), parabola memotong sumbu y di , karena .

2) sumbu simetri parabola adalah garis lurus, maka semua titik parabola akan simetris terhadapnya. Dalam contoh kami, kami segera mengambil titik (0; -2) dan membangun parabola simetris terhadap sumbu simetri, kami mendapatkan titik (4; -2), di mana parabola akan lewat.

3) Dengan menyamakan , kita menemukan titik potong parabola dengan sumbu (ox). Untuk melakukan ini, kami memecahkan persamaan. Tergantung pada diskriminannya, kita akan mendapatkan satu (, ), dua ( title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Dalam contoh sebelumnya, kita memiliki akar dari diskriminan - bukan bilangan bulat, ketika membangunnya, tidak masuk akal bagi kita untuk menemukan akarnya, tetapi kita dapat dengan jelas melihat bahwa kita akan memiliki dua titik perpotongan dengan (oh) axis (karena judul = "(!LANG: Dirender oleh QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Jadi mari kita berolahraga

Algoritma untuk membangun parabola jika diberikan dalam bentuk

1) tentukan arah cabang (a>0 - ke atas, a<0 – вниз)

2) cari koordinat titik sudut parabola dengan rumus , .

3) kami menemukan titik perpotongan parabola dengan sumbu (oy) dengan istilah bebas, kami membangun titik simetris dengan yang diberikan sehubungan dengan sumbu simetri parabola (perlu dicatat bahwa itu terjadi tidak menguntungkan untuk menandai titik ini, misalnya, karena nilainya besar ... kita lewati titik ini ...)

4) Pada titik yang ditemukan - bagian atas parabola (seperti pada titik (0; 0) dari sistem koordinat baru), kami membangun sebuah parabola. If title="(!LANG:Dirender oleh QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Kami menemukan titik perpotongan parabola dengan sumbu (oy) (jika mereka sendiri belum "muncul"), memecahkan persamaan

Contoh 1

Contoh 2

Catatan 1. Jika parabola awalnya diberikan kepada kita dalam bentuk , di mana ada beberapa angka (misalnya, ), maka akan lebih mudah untuk membangunnya, karena kita telah diberikan koordinat titik . Mengapa?

Mari kita ambil trinomial persegi dan pilih persegi penuh di dalamnya: Lihat, ini dia , . Kami sebelumnya menyebut bagian atas parabola, yaitu, sekarang,.

Sebagai contoh, . Kami menandai bagian atas parabola pada bidang, kami memahami bahwa cabang-cabang diarahkan ke bawah, parabola diperluas (relatif). Artinya, kami melakukan langkah 1; 3; 4; 5 dari algoritma untuk membangun parabola (lihat di atas).

Catatan 2. Jika parabola diberikan dalam bentuk yang mirip dengan ini (yaitu, direpresentasikan sebagai produk dari dua faktor linier), maka kita segera melihat titik potong parabola dengan sumbu (x). Dalam hal ini - (0;0) dan (4;0). Selebihnya, kami bertindak sesuai dengan algoritme, membuka tanda kurung.

Semua orang tahu apa itu parabola. Tetapi bagaimana menggunakannya dengan benar, kompeten dalam memecahkan berbagai masalah praktis, kita akan mengerti di bawah ini.

Pertama, mari kita tunjukkan konsep dasar yang diberikan aljabar dan geometri pada istilah ini. Pertimbangkan semuanya kemungkinan jenis grafik ini.

Kami mempelajari semua karakteristik utama dari fungsi ini. Mari kita memahami dasar-dasar membangun kurva (geometri). Mari kita pelajari cara menemukan puncak, nilai dasar lain dari grafik jenis ini.

Kami akan mencari tahu: bagaimana kurva yang diperlukan dibangun dengan benar sesuai dengan persamaan, apa yang perlu Anda perhatikan. Mari kita lihat yang utama penggunaan praktis nilai unik ini dalam kehidupan manusia.

Apa itu parabola dan seperti apa bentuknya

Aljabar: Istilah ini mengacu pada grafik fungsi kuadrat.

Geometri: Ini adalah kurva orde kedua yang memiliki sejumlah fitur spesifik:

Persamaan parabola kanonik

Gambar tersebut menunjukkan sistem koordinat persegi panjang (XOY), sebuah ekstrem, arah cabang menggambar fungsi sepanjang sumbu absis.

Persamaan kanoniknya adalah:

y 2 \u003d 2 * p * x,

di mana koefisien p adalah parameter fokus parabola (AF).

Dalam aljabar, ditulis berbeda:

y = a x 2 + b x + c (pola yang dapat dikenali: y = x 2).

Sifat dan Grafik Fungsi Kuadrat

Fungsi memiliki sumbu simetri dan pusat (ekstrim). Domain definisi adalah semua nilai sumbu x.

Rentang nilai fungsi - (-∞, M) atau (M, +∞) tergantung pada arah cabang kurva. Parameter M di sini berarti nilai fungsi di bagian atas baris.

Cara menentukan arah cabang parabola

Untuk menemukan arah jenis kurva ini dari ekspresi, Anda perlu menentukan tanda di depan parameter pertama ekspresi aljabar. Jika a 0, maka arahnya ke atas. Jika tidak, turun.

Cara mencari titik sudut parabola menggunakan rumus

Menemukan ekstrem adalah langkah utama dalam memecahkan banyak masalah praktis. Tentu saja, Anda dapat membuka spesial kalkulator online tapi lebih baik untuk bisa melakukannya sendiri.

Bagaimana mendefinisikannya? Ada rumus khusus. Ketika b tidak sama dengan 0, kita harus mencari koordinat titik ini.

Rumus untuk menemukan puncak:

• x 0 \u003d -b / (2 * a);
• y 0 = y (x 0).

Contoh.

Ada fungsi y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25. Mari kita cari simpul dari fungsi ini.

Untuk baris seperti itu:

• x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Kami mendapatkan koordinat titik (-2, -41).

Offset parabola

Kasus klasik adalah ketika dalam fungsi kuadrat y = a x 2 + b x + c, parameter kedua dan ketiga adalah 0, dan = 1 - titik berada di titik (0; 0).

Pergerakan sepanjang sumbu absis atau ordinat disebabkan oleh perubahan parameter b dan c, masing-masing. Pergeseran garis pada bidang akan dilakukan persis dengan jumlah unit, yang sama dengan nilai parameter.

Contoh.

Kami memiliki: b = 2, c = 3.

Ini berarti bahwa pandangan klasik kurva akan bergeser sebanyak 2 unit segmen sepanjang sumbu absis dan 3 unit sepanjang sumbu ordinat.

Cara membuat parabola menggunakan persamaan kuadrat

Penting bagi anak sekolah untuk belajar cara menggambar parabola dengan benar sesuai dengan parameter yang diberikan.

Dengan menganalisis ekspresi dan persamaan, Anda dapat melihat hal berikut:

1. Titik perpotongan garis yang diinginkan dengan vektor ordinat akan memiliki nilai sama dengan c.
2. Semua titik grafik (sepanjang sumbu x) akan simetris terhadap ekstrem utama fungsi.

Selain itu, perpotongan dengan OX dapat ditemukan dengan mengetahui diskriminan (D) dari fungsi tersebut:

D \u003d (b 2 - 4 * a * c).

Untuk melakukan ini, Anda perlu menyamakan ekspresi menjadi nol.

Kehadiran akar parabola tergantung pada hasil:

• D 0, maka x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
• D \u003d 0, lalu x 1, 2 \u003d -b / (2 * a);
• D 0, maka tidak ada titik potong dengan vektor OX.

Kami mendapatkan algoritma untuk membangun parabola:

• menentukan arah cabang;
• temukan koordinat titiknya;
• temukan perpotongan dengan sumbu y;
• tentukan perpotongan dengan sumbu x.

Contoh 1

Diberikan fungsi y \u003d x 2 - 5 * x + 4. Hal ini diperlukan untuk membangun parabola. Kami bertindak sesuai dengan algoritma:

1. a \u003d 1, oleh karena itu, cabang-cabang diarahkan ke atas;
2. koordinat ekstrem: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. berpotongan dengan sumbu y pada nilai y = 4;
4. cari diskriminannya: D = 25 - 16 = 9;
5. mencari akar

• X 1 \u003d (5 + 3) / 2 \u003d 4; (4, 0);
• X 2 \u003d (5 - 3) / 2 \u003d 1; (sepuluh).

Contoh 2

Untuk fungsi y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1, Anda perlu membuat parabola. Kami bertindak sesuai dengan algoritma di atas:

1. a \u003d 3, oleh karena itu, cabang-cabang diarahkan ke atas;
2. koordinat ekstrem: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. dengan sumbu y akan berpotongan pada nilai y \u003d -1;
4. cari diskriminannya: D \u003d 4 + 12 \u003d 16. Jadi akarnya:

• X 1 \u003d (2 + 4) / 6 \u003d 1; (1;0);
• X 2 \u003d (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3; 0).

Dari poin yang diperoleh, Anda dapat membangun parabola.

Direktriks, eksentrisitas, fokus parabola

Berdasarkan persamaan kanonik, fokus F memiliki koordinat (p/2, 0).

Garis lurus AB adalah direktriks (semacam tali parabola dengan panjang tertentu). Persamaannya adalah x = -p/2.

Eksentrisitas (konstanta) = 1.

Kesimpulan

Kami mempertimbangkan topik yang dipelajari siswa sekolah menengah atas. Sekarang Anda tahu, melihat fungsi kuadrat dari parabola, cara menemukan titik puncaknya, ke arah mana cabang akan diarahkan, apakah ada offset di sepanjang sumbu, dan, dengan algoritme konstruksi, Anda dapat menggambar grafiknya.

Itu bahan metodis adalah untuk tujuan referensi dan mencakup berbagai topik. Artikel ini memberikan ikhtisar grafik fungsi dasar utama dan mempertimbangkan masalah paling penting - cara membuat grafik yang benar dan CEPAT. Selama studi matematika yang lebih tinggi tanpa mengetahui grafik fungsi dasar dasar, itu akan sulit, jadi sangat penting untuk mengingat seperti apa grafik parabola, hiperbola, sinus, kosinus, dll., ingat beberapa nilai fungsi. Kami juga akan berbicara tentang beberapa properti dari fungsi utama.

Saya tidak berpura-pura untuk kelengkapan dan ketelitian ilmiah dari materi, penekanan akan ditempatkan, pertama-tama, pada praktik - hal-hal yang dengannya seseorang harus menghadapi secara harfiah di setiap langkah, dalam topik matematika yang lebih tinggi. Grafik untuk boneka? Anda bisa mengatakan demikian.

Dengan permintaan populer dari pembaca daftar isi yang dapat diklik:

Selain itu, ada abstrak ultra-pendek tentang topik ini
– kuasai 16 jenis grafik dengan mempelajari ENAM halaman!

Serius, enam, bahkan saya sendiri terkejut. Abstrak ini berisi grafik yang ditingkatkan dan tersedia dengan biaya nominal, versi demo dapat dilihat. Lebih mudah untuk mencetak file sehingga grafik selalu ada. Terima kasih telah mendukung proyek ini!

Dan kita mulai segera:

Bagaimana cara membangun sumbu koordinat dengan benar?

Dalam praktiknya, tes hampir selalu dibuat oleh siswa di buku catatan terpisah, berjajar di dalam sangkar. Mengapa Anda membutuhkan tanda kotak-kotak? Bagaimanapun, pekerjaan itu, pada prinsipnya, dapat dilakukan pada lembar A4. Dan sangkar diperlukan hanya untuk desain gambar yang berkualitas tinggi dan akurat.

Setiap gambar grafik fungsi dimulai dengan sumbu koordinat.

Gambar adalah dua dimensi dan tiga dimensi.

Mari kita pertimbangkan kasus dua dimensi terlebih dahulu Sistem koordinasi cartesian:

1) Kami menggambar sumbu koordinat. Sumbu disebut sumbu x , dan sumbu sumbu y . Kami selalu mencoba menggambar mereka rapi dan tidak bengkok. Anak panah juga tidak boleh menyerupai janggut Papa Carlo.

2) Kami menandatangani kapak huruf kapital"x" dan "y". Jangan lupa untuk menandatangani kapak.

3) Atur skala di sepanjang sumbu: menggambar nol dan dua satu. Saat membuat gambar, skala yang paling nyaman dan umum adalah: 1 unit = 2 sel (menggambar di sebelah kiri) - tempel jika memungkinkan. Namun, dari waktu ke waktu terjadi bahwa gambar tidak muat pada lembar buku catatan - maka kami mengurangi skala: 1 unit = 1 sel (gambar di sebelah kanan). Jarang, tetapi kebetulan skala gambar harus dikurangi (atau ditingkatkan) bahkan lebih

JANGAN mencoret-coret dari senapan mesin ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Karena bidang koordinat bukanlah monumen bagi Descartes, dan siswa bukanlah seekor merpati. Kami meletakkan nol dan dua unit di sepanjang sumbu. Kadang-kadang alih-alih unit, akan lebih mudah untuk "mendeteksi" nilai lain, misalnya, "dua" pada sumbu absis dan "tiga" pada sumbu ordinat - dan sistem ini (0, 2 dan 3) juga akan mengatur kisi koordinat secara unik.

Lebih baik memperkirakan perkiraan dimensi gambar SEBELUM gambar digambar.. Jadi, misalnya, jika tugas mengharuskan menggambar segitiga dengan simpul , , , maka cukup jelas bahwa skala populer 1 unit = 2 sel tidak akan berfungsi. Mengapa? Mari kita lihat intinya - di sini Anda harus mengukur lima belas sentimeter ke bawah, dan, jelas, gambarnya tidak akan muat (atau hampir tidak muat) pada lembar buku catatan. Oleh karena itu, kami segera memilih skala yang lebih kecil 1 unit = 1 sel.

By the way, sekitar sentimeter dan sel notebook. Benarkah ada 15 sentimeter dalam 30 sel notebook? Ukur dalam buku catatan untuk bunga 15 sentimeter dengan penggaris. Di Uni Soviet, mungkin ini benar ... Sangat menarik untuk dicatat bahwa jika Anda mengukur sentimeter yang sama ini secara horizontal dan vertikal, maka hasilnya (dalam sel) akan berbeda! Sebenarnya, notebook modern tidak kotak-kotak, tetapi persegi panjang. Ini mungkin tampak seperti omong kosong, tetapi menggambar, misalnya, lingkaran dengan kompas dalam situasi seperti itu sangat merepotkan. Sejujurnya, pada saat-saat seperti itu Anda mulai berpikir tentang kebenaran Kamerad Stalin, yang dikirim ke kamp untuk pekerjaan peretasan dalam produksi, belum lagi industri otomotif dalam negeri, pesawat jatuh atau pembangkit listrik yang meledak.

Berbicara tentang kualitas, atau rekomendasi singkat oleh alat tulis. Sampai saat ini, sebagian besar notebook yang dijual, tanpa mengatakan kata-kata buruk, benar-benar goblin. Karena mereka basah, dan tidak hanya dari pena gel, tetapi juga dari pulpen! Hemat di atas kertas. Untuk izin pekerjaan kontrol Saya sarankan menggunakan notebook dari Arkhangelsk Pulp and Paper Mill (18 lembar, sangkar) atau Pyaterochka, meskipun lebih mahal. Dianjurkan untuk memilih pena gel, bahkan isi ulang gel Cina termurah jauh lebih baik daripada bolpoin, yang mengolesi atau merobek kertas. Satu-satunya pulpen "kompetitif" dalam ingatan saya adalah Erich Krause. Dia menulis dengan jelas, indah dan stabil - baik dengan batang penuh, atau dengan batang yang hampir kosong.

Selain itu: visi sistem koordinat persegi panjang melalui mata geometri analitik tercakup dalam artikel Linear (non) ketergantungan vektor. Dasar vektor, Informasi rinci tentang koordinat perempat dapat ditemukan di paragraf kedua pelajaran Pertidaksamaan linier.

kasus 3D

Ini hampir sama di sini.

1) Kami menggambar sumbu koordinat. Standar: menerapkan sumbu – diarahkan ke atas, sumbu – diarahkan ke kanan, sumbu – ke bawah ke kiri dengan ketat pada sudut 45 derajat.

2) Kami menandatangani kapak.

3) Atur skala di sepanjang sumbu. Skala di sepanjang sumbu - dua kali lebih kecil dari skala di sepanjang sumbu lainnya. Perhatikan juga bahwa pada gambar yang benar, saya menggunakan "serif" non-standar di sepanjang sumbu (kemungkinan ini telah disebutkan di atas). Dari sudut pandang saya, ini lebih akurat, lebih cepat, dan lebih estetis - Anda tidak perlu mencari bagian tengah sel di bawah mikroskop dan "memahat" unit sampai ke asalnya.

Saat menggambar 3D lagi - prioritaskan skala
1 unit = 2 sel (menggambar di sebelah kiri).

Untuk apa semua aturan ini? Aturan ada untuk dilanggar. Apa yang akan saya lakukan sekarang. Faktanya adalah bahwa gambar artikel selanjutnya akan dibuat oleh saya di Excel, dan sumbu koordinat akan terlihat salah dari sudut pandang desain yang benar. Saya dapat menggambar semua grafik dengan tangan, tetapi menggambarnya sangat menakutkan, karena Excel enggan menggambarnya dengan lebih akurat.

Grafik dan sifat dasar fungsi dasar

Fungsi linier diberikan oleh persamaan . Grafik fungsi linier adalah langsung. Untuk membuat garis lurus, cukup mengetahui dua titik.

Contoh 1

Gambarkan fungsinya. Mari kita temukan dua poin. Adalah menguntungkan untuk memilih nol sebagai salah satu poin.

Jika kemudian

Kami mengambil beberapa poin lain, misalnya, 1.

Jika kemudian

Saat menyiapkan tugas, koordinat titik biasanya diringkas dalam tabel:

Dan nilai-nilai itu sendiri dihitung secara lisan atau pada konsep, kalkulator.

Dua poin ditemukan, mari kita menggambar:

Saat menggambar, kami selalu menandatangani grafik.

Tidak akan berlebihan untuk mengingat kasus khusus dari fungsi linier:

Perhatikan bagaimana saya menempatkan teks, tanda tangan tidak boleh ambigu saat mempelajari gambar. Dalam hal ini, sangat tidak diinginkan untuk membubuhkan tanda tangan di sebelah titik perpotongan garis, atau di kanan bawah di antara grafik.

1) Fungsi linier dari bentuk () disebut proporsionalitas langsung. Sebagai contoh, . Grafik proporsionalitas langsung selalu melalui titik asal. Dengan demikian, konstruksi garis lurus disederhanakan - cukup untuk menemukan hanya satu titik.

2) Persamaan bentuk mendefinisikan garis lurus yang sejajar dengan sumbu, khususnya, sumbu itu sendiri diberikan oleh persamaan. Grafik fungsi dibangun segera, tanpa menemukan titik. Artinya, entri harus dipahami sebagai berikut: "y selalu sama dengan -4, untuk setiap nilai x."

3) Persamaan bentuk mendefinisikan garis lurus yang sejajar dengan sumbu, khususnya sumbu itu sendiri diberikan oleh persamaan. Grafik fungsi juga segera dibangun. Entri harus dipahami sebagai berikut: "x selalu, untuk setiap nilai y, sama dengan 1."

Beberapa akan bertanya, nah, mengapa ingat kelas 6 ?! Begitulah, mungkin begitu, hanya selama bertahun-tahun latihan saya bertemu selusin siswa yang bingung dengan tugas membuat grafik seperti atau .

Menggambar garis lurus adalah tindakan yang paling umum saat membuat gambar.

Garis lurus dibahas secara rinci dalam kursus geometri analitik, dan mereka yang ingin dapat merujuk ke artikel Persamaan garis lurus pada bidang.

Grafik fungsi kuadrat, grafik fungsi kubik, grafik polinomial

Parabola. Grafik fungsi kuadrat () adalah parabola. Pertimbangkan kasus terkenal:

Mari kita mengingat kembali beberapa properti dari fungsi tersebut.

Jadi, solusi untuk persamaan kita: - pada titik inilah titik parabola berada. Mengapa demikian dapat dipelajari dari artikel teoretis tentang turunan dan pelajaran tentang ekstrem fungsi. Sementara itu, kami menghitung nilai "y" yang sesuai:

Jadi simpulnya berada di titik

Sekarang kita menemukan titik lain, sambil dengan berani menggunakan simetri parabola. Perlu diperhatikan bahwa fungsi – tidak genap, tetapi, bagaimanapun, tidak ada yang membatalkan simetri parabola.

Dalam urutan apa untuk menemukan poin yang tersisa, saya pikir itu akan menjadi jelas dari tabel final:

Algoritma ini konstruksi dapat secara kiasan disebut "shuttle" atau prinsip "bolak-balik" dengan Anfisa Chekhova.

Mari kita membuat gambar:

Dari grafik yang dipertimbangkan, fitur lain yang berguna muncul dalam pikiran:

Untuk fungsi kuadrat () berikut ini benar:

Jika , maka cabang-cabang parabola diarahkan ke atas.

Jika , maka cabang-cabang parabola diarahkan ke bawah.

Pengetahuan mendalam tentang kurva dapat diperoleh dalam pelajaran Hiperbola dan parabola.

Parabola kubik diberikan oleh fungsi . Berikut adalah gambar yang familiar dari sekolah:

Kami mencantumkan properti utama dari fungsi

Grafik Fungsi

Ini mewakili salah satu cabang parabola. Mari kita membuat gambar:

Sifat utama dari fungsi:

Dalam hal ini, sumbunya adalah asimtot vertikal untuk grafik hiperbola di .

Akan menjadi kesalahan BESAR jika, saat menggambar, karena kelalaian, Anda membiarkan grafik berpotongan dengan asimtot.

Juga batas satu sisi, beri tahu kami bahwa hiperbola tidak terbatas dari atas dan tidak terbatas dari bawah.

Mari kita telusuri fungsinya di tak terhingga: , yaitu, jika kita mulai bergerak sepanjang sumbu ke kiri (atau kanan) hingga tak terhingga, maka "permainan" akan menjadi langkah ramping sangat dekat mendekati nol, dan, karenanya, cabang-cabang hiperbola sangat dekat mendekati sumbu.

Jadi sumbunya adalah asimtot horizontal untuk grafik fungsi, jika "x" cenderung plus atau minus tak terhingga.

Fungsinya adalah aneh, yang berarti hiperbola simetris terhadap titik asal. Fakta ini jelas dari gambar, apalagi, dapat dengan mudah diverifikasi secara analitis: .

Grafik fungsi bentuk () mewakili dua cabang hiperbola.

Jika , maka hiperbola terletak pada kuadran koordinat pertama dan ketiga(lihat gambar di atas).

Jika , maka hiperbola terletak pada kuadran koordinat kedua dan keempat.

Tidak sulit untuk menganalisis keteraturan yang ditentukan dari tempat tinggal hiperbola dari sudut pandang transformasi geometris grafik.

Contoh 3

Bangun cabang kanan hiperbola

Kami menggunakan metode konstruksi pointwise, sementara itu menguntungkan untuk memilih nilai sehingga mereka membagi sepenuhnya:

Mari kita membuat gambar:

Tidak akan sulit untuk membangun cabang kiri hiperbola, di sini keanehan fungsi hanya akan membantu. Secara kasar, dalam tabel konstruksi pointwise, secara mental tambahkan minus ke setiap angka, letakkan titik yang sesuai dan gambar cabang kedua.

Informasi geometris terperinci tentang garis yang dipertimbangkan dapat ditemukan di artikel Hiperbola dan parabola.

Grafik fungsi eksponensial

Dalam paragraf ini, saya akan segera mempertimbangkan fungsi eksponensial, karena dalam masalah matematika tingkat tinggi dalam 95% kasus eksponenlah yang muncul.

Saya mengingatkan Anda bahwa ini adalah bilangan irasional: , ini akan diperlukan saat membuat grafik, yang sebenarnya akan saya bangun tanpa upacara. Tiga poin mungkin cukup:

Mari kita tinggalkan grafik fungsinya untuk saat ini, tentangnya nanti.

Sifat utama dari fungsi:

Pada dasarnya, grafik fungsi terlihat sama, dll.

Saya harus mengatakan bahwa kasus kedua kurang umum dalam praktiknya, tetapi itu memang terjadi, jadi saya merasa perlu untuk memasukkannya ke dalam artikel ini.

Grafik fungsi logaritma

Pertimbangkan fungsi dengan logaritma natural.
Mari kita menggambar garis:

Jika Anda lupa apa itu logaritma, silakan merujuk ke buku teks sekolah.

Sifat utama dari fungsi:

Domain:

Jarak nilai: .

Fungsinya tidak terbatas dari atas: , meskipun lambat, tetapi cabang logaritma naik hingga tak terhingga.
Mari kita periksa perilaku fungsi mendekati nol di sebelah kanan: . Jadi sumbunya adalah asimtot vertikal untuk grafik fungsi dengan "x" cenderung nol di sebelah kanan.

Pastikan untuk mengetahui dan mengingat nilai khas logaritma: .

Pada dasarnya, plot logaritma di pangkalan terlihat sama: , , (logaritma desimal ke basis 10), dll. Pada saat yang sama, semakin besar alasnya, semakin rata grafiknya.

Kami tidak akan mempertimbangkan kasusnya, sesuatu yang saya tidak ingat kapan terakhir kali saya membuat grafik dengan dasar seperti itu. Ya, dan logaritma tampaknya menjadi tamu yang sangat jarang dalam masalah matematika yang lebih tinggi.

Sebagai penutup paragraf, saya akan mengatakan satu fakta lagi: Fungsi Eksponensial dan Fungsi Logaritmaadalah dua saling fungsi terbalik . Jika Anda melihat lebih dekat pada grafik logaritma, Anda dapat melihat bahwa ini adalah eksponen yang sama, hanya terletak sedikit berbeda.

Grafik fungsi trigonometri

Bagaimana siksaan trigonometri dimulai di sekolah? Benar. Dari sinus

Mari kita plot fungsinya

Garis ini disebut sinusoida.

Saya mengingatkan Anda bahwa "pi" adalah bilangan irasional :, dan dalam trigonometri itu mempesona di mata.

Sifat utama dari fungsi:

Fungsi ini adalah berkala dengan suatu periode. Apa artinya? Mari kita lihat potongannya. Di kiri dan kanannya, potongan grafik yang sama berulang tanpa henti.

Domain: , yaitu, untuk setiap nilai "x" ada nilai sinus.

Jarak nilai: . Fungsinya adalah terbatas: , yaitu, semua "permainan" duduk ketat di segmen .
Ini tidak terjadi: atau, lebih tepatnya, itu terjadi, tetapi persamaan ini tidak memiliki solusi.

Catatan penting!
1. Jika alih-alih rumus Anda melihat abracadabra, kosongkan cache. Cara melakukannya di browser Anda tertulis di sini:
2. Sebelum Anda mulai membaca artikel, perhatikan navigator kami terlebih dahulu sumber daya yang berguna untuk

Untuk memahami apa yang akan ditulis di sini, Anda perlu mengetahui dengan baik apa itu fungsi kuadrat dan dimakan dengan apa. Jika Anda menganggap diri Anda ahli dalam fungsi kuadrat, selamat datang. Tetapi jika tidak, Anda harus membaca utasnya.

Mari kita mulai dari yang kecil cek:

1. Seperti apa bentuk fungsi kuadrat dalam bentuk umum (rumus)?
2. Apa nama grafik fungsi kuadrat?
3. Bagaimana koefisien terkemuka mempengaruhi grafik fungsi kuadrat?

Jika Anda dapat menjawab pertanyaan-pertanyaan ini langsung, teruslah membaca. Jika setidaknya satu pertanyaan menyebabkan kesulitan, lanjutkan ke.

Jadi, Anda sudah tahu cara menangani fungsi kuadrat, menganalisis grafiknya, dan membuat grafik berdasarkan titik.

Nah ini dia : .

Mari kita lihat sekilas apa yang mereka lakukan. kemungkinan.

1. Koefisien senior bertanggung jawab atas "kecuraman" parabola, atau, dengan kata lain, untuk lebarnya: semakin besar, semakin sempit (curam) parabola, dan semakin kecil, semakin lebar (datar) parabola.
2. Istilah bebasnya adalah koordinat perpotongan parabola dengan sumbu y.
3. Dan koefisien entah bagaimana bertanggung jawab atas perpindahan parabola dari pusat koordinat. Berikut lebih banyak tentang itu sekarang.

Mengapa kita selalu mulai membangun parabola? Apa yang membedakannya?

Ini puncak. Dan bagaimana menemukan koordinat titik, ingat?

Absis dicari dengan rumus berikut:

Seperti ini: apa? lagi, topik ke kiri bagian atas parabola bergerak.

Oordinat suatu titik dapat dicari dengan mensubstitusikan ke dalam fungsi:

Gantikan dirimu dan hitung. Apa yang terjadi?

Jika Anda melakukan semuanya dengan benar dan menyederhanakan ekspresi yang dihasilkan sebanyak mungkin, Anda mendapatkan:

Ternyata semakin banyak modulo, topik lebih tinggi akan puncak parabola.

Akhirnya, mari kita beralih ke plot.
Cara termudah adalah dengan membangun parabola mulai dari atas.

Contoh:

Gambarkan fungsinya.

Keputusan:

Pertama, mari kita tentukan koefisiennya: .

Sekarang mari kita hitung koordinat titiknya:

Dan sekarang ingat: semua parabola dengan koefisien awal yang sama terlihat sama. Jadi, jika kita membangun sebuah parabola dan memindahkan simpulnya ke suatu titik, kita mendapatkan grafik yang kita butuhkan:

Sederhana, bukan?

Hanya ada satu pertanyaan yang tersisa: bagaimana cara menggambar parabola dengan cepat? Bahkan jika kita menggambar parabola dengan titik di titik asal, kita masih harus membangunnya titik demi titik, yang panjang dan merepotkan. Tapi semua parabola terlihat sama, mungkin ada cara untuk mempercepat gambarnya?

Ketika saya di sekolah, guru matematika saya menyuruh semua orang untuk memotong stensil berbentuk parabola dari karton sehingga mereka dapat menggambarnya dengan cepat. Tetapi Anda tidak akan bisa berjalan ke mana-mana dengan stensil, dan mereka tidak akan diizinkan untuk membawanya ke ujian. Jadi, kita tidak akan menggunakan benda asing, tetapi kita akan mencari polanya.

Pertimbangkan parabola paling sederhana. Mari kita membangunnya dengan poin:

Aturannya di sini adalah ini. Jika kita bergerak dari atas ke kanan (sepanjang sumbu) ke, dan ke atas (sepanjang sumbu) ke, maka kita akan sampai pada titik parabola. Selanjutnya: jika dari titik ini kita bergerak ke kanan dan ke atas, kita akan kembali ke titik parabola. Selanjutnya: terus dan terus. Apa berikutnya? Terus dan terus. Dan seterusnya: pindah ke kanan, dan ke depan angka ganjil ke atas. Kemudian kita melakukan hal yang sama dengan cabang kiri (bagaimanapun juga, parabolanya simetris, yaitu cabangnya terlihat sama):

Bagus, ini akan membantu membangun parabola apa pun dari titik dengan koefisien tertinggi sama dengan. Sebagai contoh, kita telah mempelajari bahwa titik puncak parabola berada di suatu titik. Bangun (sendiri, di atas kertas) parabola ini.

Dibuat?

Seharusnya menjadi seperti ini:

Sekarang kami menghubungkan poin yang diperoleh:

Itu saja.

Oke, sekarang buat hanya parabola dengan?

Tentu saja tidak. Sekarang mari kita cari tahu apa yang harus dilakukan dengan mereka, jika.

Mari kita pertimbangkan beberapa kasus tipikal.

Hebat, kita belajar cara menggambar parabola, sekarang mari kita berlatih pada fungsi nyata.

Jadi, buatlah grafik dari fungsi-fungsi tersebut:

Jawaban:

3. Atas: .

Apakah Anda ingat apa yang harus dilakukan jika koefisien senior kurang?

Kami melihat penyebut pecahan: itu sama. Jadi kita akan bergerak seperti ini:

• kanan - atas
• kanan - atas
• kanan - atas

dan juga ke kiri:

4. Atas: .

Oh, apa yang harus dilakukan dengan itu? Bagaimana cara mengukur sel jika simpulnya berada di antara garis?...

Dan kami menipu. Pertama, mari kita menggambar parabola, dan baru kemudian pindahkan simpulnya ke suatu titik. Bahkan tidak, mari kita lakukan lebih rumit: Mari kita menggambar parabola, dan kemudian memindahkan sumbu:- di turun, a - on Baik:

Teknik ini sangat nyaman dalam kasus parabola apa pun, ingatlah.

Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa kami dapat mewakili fungsi dalam bentuk ini:

Sebagai contoh: .

Apa yang ini berikan kepada kita?

Faktanya adalah bahwa bilangan yang dikurangi dalam tanda kurung () adalah absis dari titik parabola, dan suku di luar tanda kurung () adalah ordinat dari titik tersebut.

Artinya, setelah membuat parabola, Anda hanya perlu gerakkan sumbu ke kiri dan sumbu ke bawah.

Contoh: mari kita plot grafik fungsi.

Mari kita pilih kotak penuh:

Nomor berapa dikurangi dari dalam kurung? Ini (dan bukan bagaimana Anda dapat memutuskan tanpa berpikir).

Jadi, kami membangun parabola:

Sekarang kita menggeser sumbu ke bawah, yaitu ke atas:

Dan sekarang - ke kiri, yaitu ke kanan:

Itu saja. Ini sama dengan memindahkan parabola dengan titik puncaknya dari titik asal ke titik, hanya sumbu lurus yang jauh lebih mudah untuk bergerak daripada parabola bengkok.

Sekarang, seperti biasa, saya sendiri:

Dan jangan lupa untuk menghapus as roda lama dengan penghapus!

saya sebagai jawaban untuk verifikasi, saya akan menulis Anda ordinat dari simpul parabola ini:

Apakah semuanya cocok?

Jika ya, maka Anda hebat! Mengetahui cara menangani parabola sangat penting dan berguna, dan di sini kami menemukan bahwa itu tidak sulit sama sekali.

GAMBAR FUNGSI KUADRAT. SINGKAT TENTANG UTAMA

fungsi kuadrat adalah fungsi dari bentuk, di mana, dan adalah bilangan (koefisien), adalah anggota bebas.

Grafik fungsi kuadrat adalah parabola.

Puncak parabola:
, yaitu semakin besar \displaystyle b , semakin kiri bagian atas parabola bergerak.
Substitusi ke fungsi, dan dapatkan:
, yaitu semakin besar \displaystyle b modulo , semakin tinggi puncak parabola

Istilah bebasnya adalah koordinat perpotongan parabola dengan sumbu y.

Nah, topiknya sudah berakhir. Jika Anda membaca baris-baris ini, maka Anda sangat keren.

Karena hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu sendiri. Dan jika Anda telah membaca sampai akhir, maka Anda berada di 5%!

Sekarang hal yang paling penting.

Anda telah menemukan teori tentang topik ini. Dan, saya ulangi, itu ... itu luar biasa! Anda sudah lebih baik daripada sebagian besar rekan-rekan Anda.

Masalahnya adalah ini mungkin tidak cukup ...

Untuk apa?

Untuk sukses lulus ujian, untuk masuk ke institut dengan anggaran dan, PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan Anda tentang apa pun, saya hanya akan mengatakan satu hal ...

Orang yang menerima pendidikan yang baik, mendapatkan lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.

Tapi ini bukan hal utama.

Yang utama adalah mereka LEBIH BAHAGIA (ada penelitian seperti itu). Mungkin karena lebih banyak peluang terbuka di hadapan mereka dan hidup menjadi lebih cerah? Tidak tahu...

Tapi pikirkan sendiri...

Apa yang diperlukan untuk memastikan menjadi lebih baik daripada yang lain dalam ujian dan pada akhirnya ... lebih bahagia?

ISI TANGAN ANDA, MENYELESAIKAN MASALAH PADA TOPIK INI.

Pada ujian, Anda tidak akan ditanya teori.

Anda akan perlu menyelesaikan masalah tepat waktu.

Dan, jika Anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan membuat kesalahan bodoh di suatu tempat atau tidak akan berhasil tepat waktu.

Ini seperti dalam olahraga - Anda harus mengulang berkali-kali untuk menang dengan pasti.

Temukan koleksi di mana pun Anda mau tentu dengan solusi analisis rinci dan putuskan, putuskan, putuskan!

Anda dapat menggunakan tugas kami (tidak perlu) dan kami pasti merekomendasikannya.

Untuk membantu tugas kami, Anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang Anda baca.

Bagaimana? Ada dua opsi:

1. Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di artikel ini -
2. Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di semua 99 artikel tutorial - Beli buku teks - 499 rubel

Ya, kami memiliki 99 artikel seperti itu di buku teks dan akses ke semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat segera dibuka.

Akses ke semua tugas tersembunyi disediakan untuk seluruh masa pakai situs.

Kesimpulannya...

Jika Anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Hanya saja, jangan berhenti dengan teori.

"Dipahami" dan "Saya tahu bagaimana menyelesaikannya" adalah keterampilan yang sama sekali berbeda. Anda membutuhkan keduanya.

Temukan masalah dan selesaikan!