Sebuah algoritma untuk menemukan akar persamaan kuadrat diberikan. Mari kita buat algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat

1. Temukan diskriminannya D sesuai rumus D= -4ac.

2.Jika D<0, то квадратное уравнение не имеет корней.

3. Jika D=0, maka persamaan memiliki satu akar:

4. Jika D>0, maka persamaan memiliki dua akar:

Sekarang mari kita mulai menyelesaikan persamaan kita 3 -10x+3=0,

dimana =3, b=-10 dan c=3.

Menemukan diskriminan:

D= -4*3*3=64

Karena D>0, maka persamaan ini memiliki dua akar. Kami menemukan mereka:

; .

Jadi, akar-akar polinomial f(x)=3 -10+3 akan menjadi nomor 3 dan .

Skema Horner

Skema Horner(atau aturan Horner, metode Horner) - algoritma untuk menghitung nilai polinomial, ditulis sebagai jumlah polinomial (monomial), untuk nilai variabel tertentu . Dia, pada gilirannya, membantu kita mengetahui apakah bilangan tersebut adalah akar dari polinomial yang diberikan atau tidak.

Pertama, pertimbangkan bagaimana polinomial dibagi f(x) menjadi binomial g(x).

Ini dapat ditulis sebagai berikut: f(x):g(x)=n(x), di mana f(x)- dividen, g(x)- pembagi n(x)- pribadi.

Tetapi dalam kasus ketika f(x) tidak habis dibagi g(x) ada notasi umum dari ekspresi

Di sini, derajat r(x)< deg s(x), в таком случае можно сказать, что делится на с остатком .

Pertimbangkan untuk membagi polinomial dengan binomial. Biarlah

,

Kita mendapatkan

Dimana r adalah bilangan karena derajat r harus lebih kecil dari derajat (x-c).

Mari berlipat ganda s(x) dan dapatkan

Jadi, ketika membagi dengan binomial, dimungkinkan untuk menentukan koefisien hasil bagi dari rumus yang diperoleh. Metode penentuan koefisien ini disebut skema Horner.

				...
	+			...
C				...	R

Sekarang mari kita lihat beberapa contoh penerapan skema Horner.

Contoh. Lakukan pembagian polinomial f(x)= pada x+3.

Larutan. Pada awalnya perlu untuk menulis x+3) sebagai ( x-(-3)), karena tepat -3 akan berpartisipasi dalam skema itu sendiri.Di baris atas kita akan menulis koefisien, di baris bawah - hasil dari tindakan.

f(x)=(x-2)(1)+16.

Menemukan akar menurut skema Horner. Jenis akar

Menurut skema Horner, seseorang dapat menemukan akar bilangan bulat dari polinomial f(x). Mari kita lihat ini dengan sebuah contoh.

Contoh. Temukan semua akar bilangan bulat dari polinomial f(x)= , menggunakan skema Horner.

Larutan. Koefisien polinomial ini adalah bilangan bulat. Koefisien sebelum derajat tertinggi (dalam kasus kami sebelumnya) sama dengan satu. Oleh karena itu, kami akan mencari akar bilangan bulat dari polinomial di antara pembagi dari istilah bebas (kami memiliki 15), ini adalah angka:

Mari kita mulai dengan nomor 1.

Tabel 1

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38

Dari tabel yang dihasilkan dapat dilihat bahwa untuk =1 polinomial dari polinomial f(x)= , kita mendapatkan sisa r=192, bukan 0, yang berarti bahwa satuannya bukan akar. Oleh karena itu, kami melanjutkan pemeriksaan di = -1. Untuk melakukan ini, kami tidak akan membuat tabel baru, tetapi melanjutkan yang lama, dan mencoret data yang tidak lagi diperlukan.

Tabel nomor 2

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22

Seperti yang bisa kita lihat dari tabel, sel terakhir ternyata nol, yang berarti r=0. Akibatnya? angka -1 adalah akar dari polinomial ini. Membagi polinomial polinomial kami f(x)= pada ()=x+1 kita mendapatkan polinomial

f(x)=(x+1)(),

koefisien yang kami ambil dari baris ketiga tabel No. 2.

Kami juga dapat membuat notasi yang setara

(x+1)(). Tandai dia (1)

Sekarang perlu untuk melanjutkan pencarian akar bilangan bulat, tetapi baru sekarang kita akan mencari akar polinomial. Kita akan mencari akar-akar ini di antara suku bebas polinomial, bilangan 45.

Mari kita periksa kembali angka -1.

Tabel #3

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22

Jadi, bilangan -1 adalah akar dari polinomial tersebut, dapat ditulis sebagai

Dengan memperhatikan persamaan (2), kita dapat menulis persamaan (1) dalam bentuk berikut:

Sekarang kita mencari akar untuk polinomial, lagi-lagi di antara pembagi dari suku bebas. Mari kita periksa kembali angka -1.

Tabel No. 4

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21

Berdasarkan tabel tersebut, kita melihat bahwa bilangan -1 adalah akar dari polinomial.

Diberikan (3*), kita dapat menulis ulang persamaan (2*) sebagai:

Sekarang kita akan mencari root untuk . Sekali lagi kita melihat pembagi dari istilah bebas. Mari kita mulai mengecek kembali dengan angka -1.

Tabel nomor 5

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19

Kami mendapat sisa yang tidak sama dengan nol, yang berarti bahwa angka -1 bukan akar polinomial. Yuk cek nomor 1 selanjutnya.

Tabel No.6

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21

Dan kita lihat lagi tidak cocok, sisanya adalah r(x) = 24. Kita ambil bilangan baru.

Mari kita periksa nomor 3.

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21
	+			-45
			-15

Nomor meja 7

r(x)= 0, ini berarti bahwa bilangan 3 adalah akar dari polinomial, kita dapat menulis polinomial ini sebagai:

=(x-3)( )

Mengingat ekspresi yang dihasilkan, kita dapat menulis persamaan (5) sebagai berikut:

(x-3)( ) (6)

Mari kita periksa sekarang untuk polinomial

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21
	+			-45
			-15
	+

Tabel No.8

Berdasarkan tabel, kita melihat bahwa angka 3 adalah akar dari polinomial . Sekarang mari kita tulis berikut ini:

Kami menulis kesetaraan (5*), dengan mempertimbangkan ekspresi yang dihasilkan, sebagai berikut:

(x-3)()= = .

Temukan akar untuk binomial di antara pembagi dari istilah bebas.

Mari kita ambil nomor 5

Tabel No. 9

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21
	+			-45
			-15
	+
	+	-5
-5

r(x)=0, jadi 5 adalah akar binomial.

Dengan demikian, kita dapat menulis

Keputusan contoh ini akan menjadi tabel nomor 8.

Seperti dapat dilihat dari tabel, angka -1; 3; 5 adalah akar dari polinomial.

Sekarang mari kita langsung ke jenis akar.

1 adalah akar dari derajat ketiga, karena tanda kurung (x + 1) berada di derajat ketiga;

3- akar derajat kedua, tanda kurung (x-3) di derajat kedua;

5 adalah akar dari derajat pertama atau, dengan kata lain, sederhana.

Catatan penting!
1. Jika alih-alih rumus Anda melihat abracadabra, kosongkan cache Anda. Cara melakukannya di browser Anda tertulis di sini:
2. Sebelum Anda mulai membaca artikel, perhatikan navigator kami terlebih dahulu sumber daya yang berguna untuk

Dalam istilah “persamaan kuadrat” kata kuncinya adalah “kuadrat”. Ini berarti bahwa persamaan harus mengandung variabel (X yang sama) di dalam kuadrat, dan pada saat yang sama tidak boleh ada Xs di derajat ketiga (atau lebih besar).

Solusi dari banyak persamaan direduksi menjadi solusi persamaan kuadrat.

Mari belajar menentukan bahwa kita memiliki persamaan kuadrat, dan bukan persamaan lainnya.

Contoh 1

Singkirkan penyebutnya dan kalikan setiap suku persamaan dengan

Mari kita pindahkan semuanya ke sisi kiri dan atur suku-sukunya dalam urutan pangkat menurun dari x

Sekarang kita dapat mengatakan dengan pasti bahwa persamaan yang diberikan adalah persegi!

Contoh 2

Kalikan ruas kiri dan kanan dengan:

Persamaan ini, meskipun awalnya di dalamnya, bukan persegi!

Contoh 3

Mari kita kalikan semuanya dengan:

Menakutkan? Derajat keempat dan kedua ... Namun, jika kita melakukan penggantian, kita akan melihat bahwa kita memiliki persamaan kuadrat sederhana:

Contoh 4

Sepertinya begitu, tapi mari kita lihat lebih dekat. Mari kita pindahkan semuanya ke sisi kiri:

Anda lihat, itu telah menyusut - dan sekarang menjadi persamaan linier sederhana!

Sekarang coba tentukan sendiri mana dari persamaan berikut yang kuadrat dan mana yang bukan:

Contoh:

Jawaban:

1. kotak;
2. kotak;
3. tidak persegi;
4. tidak persegi;
5. tidak persegi;
6. kotak;
7. tidak persegi;
8. kotak.

Matematikawan secara kondisional membagi semua persamaan kuadrat ke dalam jenis berikut:

• Persamaan kuadrat lengkap- persamaan di mana koefisien dan, serta istilah bebas c, tidak sama dengan nol (seperti dalam contoh). Selain itu, di antara persamaan kuadrat lengkap, ada diberikan adalah persamaan di mana koefisien (persamaan dari contoh satu tidak hanya lengkap, tetapi juga berkurang!)

• Persamaan kuadrat tidak lengkap- persamaan di mana koefisien dan atau suku bebas c sama dengan nol:

  Mereka tidak lengkap karena beberapa elemen hilang dari mereka. Tetapi persamaan harus selalu mengandung x kuadrat !!! Jika tidak, itu tidak akan lagi menjadi kuadrat, tetapi beberapa persamaan lainnya.

Mengapa mereka datang dengan divisi seperti itu? Tampaknya ada X kuadrat, dan oke. Pembagian seperti itu disebabkan oleh metode penyelesaian. Mari kita pertimbangkan masing-masing secara lebih rinci.

Memecahkan persamaan kuadrat yang tidak lengkap

Pertama, mari kita fokus pada penyelesaian persamaan kuadrat yang tidak lengkap - persamaannya jauh lebih sederhana!

Persamaan kuadrat tidak lengkap adalah dari jenis:

1. , dalam persamaan ini koefisiennya sama.
2. , dalam persamaan ini suku bebasnya sama dengan.
3. , dalam persamaan ini koefisien dan suku bebasnya sama.

1. saya Karena kita tahu cara mengekstrak Akar pangkat dua, maka mari kita nyatakan dari persamaan ini

Ekspresinya bisa negatif atau positif. Suatu bilangan kuadrat tidak boleh negatif, karena ketika mengalikan dua bilangan negatif atau dua bilangan positif, hasilnya akan selalu bilangan positif, jadi: jika, maka persamaan tidak memiliki solusi.

Dan jika, maka kita mendapatkan dua akar. Rumus-rumus ini tidak perlu dihafal. Hal utama adalah bahwa Anda harus selalu tahu dan ingat bahwa itu tidak boleh kurang.

Mari kita coba memecahkan beberapa contoh.

Contoh 5:

Selesaikan Persamaan

Sekarang tinggal mengekstrak root dari bagian kiri dan kanan. Lagi pula, apakah Anda ingat cara mengekstrak akarnya?

Menjawab:

Jangan pernah melupakan akar dengan tanda negatif!!!

Contoh 6:

Selesaikan Persamaan

Menjawab:

Contoh 7:

Selesaikan Persamaan

Aduh! Kuadrat suatu bilangan tidak boleh negatif, yang berarti persamaan

tidak ada akar!

Untuk persamaan seperti itu di mana tidak ada akar, ahli matematika datang dengan ikon khusus - (set kosong). Dan jawabannya bisa ditulis seperti ini:

Menjawab:

Jadi, persamaan kuadrat ini memiliki dua akar. Tidak ada batasan di sini, karena kami tidak mengekstrak root.
Contoh 8:

Selesaikan Persamaan

Mari kita keluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung:

Lewat sini,

Persamaan ini memiliki dua akar.

Menjawab:

Jenis persamaan kuadrat tidak lengkap yang paling sederhana (walaupun semuanya sederhana, kan?). Jelas, persamaan ini selalu hanya memiliki satu akar:

Di sini kita akan melakukannya tanpa contoh.

Memecahkan persamaan kuadrat lengkap

Kami mengingatkan Anda bahwa persamaan kuadrat lengkap adalah persamaan bentuk persamaan di mana

Memecahkan persamaan kuadrat penuh sedikit lebih rumit (hanya sedikit) daripada yang diberikan.

Ingat, persamaan kuadrat apa pun dapat diselesaikan menggunakan diskriminan! Bahkan tidak lengkap.

Metode lainnya akan membantu Anda melakukannya dengan lebih cepat, tetapi jika Anda memiliki masalah dengan persamaan kuadrat, kuasai dulu solusinya menggunakan diskriminan.

1. Memecahkan persamaan kuadrat menggunakan diskriminan.

Memecahkan persamaan kuadrat dengan cara ini sangat sederhana, yang utama adalah mengingat urutan tindakan dan beberapa rumus.

Jika, maka persamaan memiliki akar Perhatian khusus menggambar langkah. Diskriminan () memberi tahu kita jumlah akar persamaan.

• Jika, maka rumus pada langkah tersebut akan dikurangi menjadi. Dengan demikian, persamaan hanya akan memiliki akar.
• Jika, maka kita tidak akan dapat mengekstrak akar diskriminan pada langkah tersebut. Hal ini menunjukkan bahwa persamaan tersebut tidak memiliki akar.

Mari kembali ke persamaan kita dan lihat beberapa contoh.

Contoh 9:

Selesaikan Persamaan

Langkah 1 melewati.

Langkah 2

Menemukan diskriminan:

Jadi persamaan tersebut memiliki dua akar.

Langkah 3

Menjawab:

Contoh 10:

Selesaikan Persamaan

Persamaan dalam bentuk standar, jadi Langkah 1 melewati.

Langkah 2

Menemukan diskriminan:

Jadi persamaan memiliki satu akar.

Menjawab:

Contoh 11:

Selesaikan Persamaan

Persamaan dalam bentuk standar, jadi Langkah 1 melewati.

Langkah 2

Menemukan diskriminan:

Ini berarti bahwa kita tidak akan dapat mengekstrak akar dari diskriminan. Tidak ada akar persamaan.

Sekarang kita tahu bagaimana menuliskan jawaban seperti itu dengan benar.

Menjawab: tidak ada akar

2. Penyelesaian persamaan kuadrat menggunakan teorema Vieta.

Jika Anda ingat, maka ada jenis persamaan yang disebut tereduksi (ketika koefisien a sama dengan):

Persamaan seperti itu sangat mudah diselesaikan menggunakan teorema Vieta:

Jumlah akar diberikan persamaan kuadrat sama, dan hasil kali akar-akarnya sama.

Contoh 12:

Selesaikan Persamaan

Persamaan ini cocok untuk solusi menggunakan teorema Vieta, karena .

Jumlah akar-akar persamaan tersebut adalah, mis. kita dapatkan persamaan pertama:

Dan produknya adalah:

Mari kita buat dan selesaikan sistemnya:

• Dan. Jumlahnya adalah;
• Dan. Jumlahnya adalah;
• Dan. Jumlahnya sama.

dan merupakan solusi dari sistem:

Menjawab: ; .

Contoh 13:

Selesaikan Persamaan

Menjawab:

Contoh 14:

Selesaikan Persamaan

Persamaan dikurangi, yang berarti:

Menjawab:

PERSAMAAN KUADRAT. LEVEL RATA-RATA

Apa itu persamaan kuadrat?

Dengan kata lain, persamaan kuadrat adalah persamaan bentuk, di mana - tidak diketahui, - beberapa angka, apalagi.

Angka tersebut disebut tertinggi atau koefisien pertama persamaan kuadrat, - koefisien kedua, tetapi - anggota gratis.

Mengapa? Karena jika, persamaan akan langsung menjadi linier, karena akan hilang.

Dalam hal ini, dan bisa sama dengan nol. Dalam persamaan tinja ini disebut tidak lengkap. Jika semua suku sudah ada, artinya persamaan selesai.

Solusi untuk berbagai jenis persamaan kuadrat

Metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap:

Untuk memulainya, kami akan menganalisis metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang tidak lengkap - mereka lebih sederhana.

Jenis persamaan berikut dapat dibedakan:

I. , dalam persamaan ini koefisien dan suku bebasnya sama.

II. , dalam persamaan ini koefisiennya sama.

AKU AKU AKU. , dalam persamaan ini suku bebasnya sama dengan.

Sekarang perhatikan solusi dari masing-masing subtipe ini.

Jelas, persamaan ini selalu hanya memiliki satu akar:

Suatu bilangan kuadrat tidak boleh negatif, karena ketika mengalikan dua bilangan negatif atau dua bilangan positif, hasilnya akan selalu bilangan positif. Itu sebabnya:

jika, maka persamaan tidak memiliki solusi;

jika kita memiliki dua akar

Rumus-rumus ini tidak perlu dihafal. Hal utama yang perlu diingat adalah tidak boleh kurang.

Contoh:

Solusi:

Menjawab:

Jangan pernah melupakan akar dengan tanda negatif!

Kuadrat suatu bilangan tidak boleh negatif, yang berarti persamaan

tidak ada akar.

Untuk menulis secara singkat bahwa masalah tidak memiliki solusi, kami menggunakan ikon set kosong.

Menjawab:

Jadi, persamaan ini memiliki dua akar: dan.

Menjawab:

Mari kita keluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung:

Produknya nol jika setidaknya salah satu faktornya nol. Ini berarti bahwa persamaan memiliki solusi ketika:

Jadi, persamaan kuadrat ini memiliki dua akar: dan.

Contoh:

Memecahkan persamaan.

Larutan:

Kami memfaktorkan ruas kiri persamaan dan menemukan akarnya:

Menjawab:

Metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap:

1. Diskriminan

Memecahkan persamaan kuadrat dengan cara ini mudah, yang utama adalah mengingat urutan tindakan dan beberapa rumus. Ingat, persamaan kuadrat apa pun dapat diselesaikan menggunakan diskriminan! Bahkan tidak lengkap.

Apakah Anda memperhatikan akar diskriminan dalam rumus akar? Tapi diskriminan bisa negatif. Apa yang harus dilakukan? Kita perlu memberikan perhatian khusus pada langkah 2. Diskriminan memberitahu kita jumlah akar persamaan.

• Jika, maka persamaan memiliki akar:
• Jika, maka persamaan memiliki akar yang sama, tetapi sebenarnya, satu akar:

  Akar seperti ini disebut akar ganda.

• Jika, maka akar diskriminan tidak diekstraksi. Hal ini menunjukkan bahwa persamaan tersebut tidak memiliki akar.

Mengapa jumlah akar berbeda? Mari kita beralih ke arti geometris dari persamaan kuadrat. Grafik fungsinya adalah parabola:

Dalam kasus tertentu, yang merupakan persamaan kuadrat, . Dan ini berarti bahwa akar-akar persamaan kuadrat adalah titik potong dengan sumbu x (sumbu). Parabola mungkin tidak melintasi sumbu sama sekali, atau mungkin berpotongan di satu (bila bagian atas parabola terletak pada sumbu) atau dua titik.

Selain itu, koefisien bertanggung jawab atas arah cabang parabola. Jika, maka cabang-cabang parabola diarahkan ke atas, dan jika - maka ke bawah.

Contoh:

Solusi:

Menjawab:

Menjawab: .

Menjawab:

Ini berarti tidak ada solusi.

Menjawab: .

2. Teorema Vieta

Menggunakan teorema Vieta sangat mudah: Anda hanya perlu memilih sepasang angka yang produknya sama dengan suku bebas persamaan, dan jumlahnya sama dengan koefisien kedua, diambil dengan tanda yang berlawanan.

Penting untuk diingat bahwa teorema Vieta hanya dapat diterapkan pada diberikan persamaan kuadrat ().

Mari kita lihat beberapa contoh:

Contoh 1:

Memecahkan persamaan.

Larutan:

Persamaan ini cocok untuk solusi menggunakan teorema Vieta, karena . Koefisien lainnya: ; .

Jumlah akar persamaannya adalah:

Dan produknya adalah:

Mari kita pilih pasangan angka tersebut, yang produknya sama, dan periksa apakah jumlahnya sama:

• Dan. Jumlahnya adalah;
• Dan. Jumlahnya adalah;
• Dan. Jumlahnya sama.

dan merupakan solusi dari sistem:

Jadi, dan adalah akar dari persamaan kita.

Menjawab: ; .

Contoh #2:

Larutan:

Kami memilih pasangan angka yang memberikan produk, dan kemudian memeriksa apakah jumlahnya sama:

dan: berikan secara total.

dan: berikan secara total. Untuk mendapatkannya, Anda hanya perlu mengubah tanda-tanda akar yang diduga: dan, bagaimanapun, produknya.

Menjawab:

Contoh #3:

Larutan:

Suku bebas persamaan adalah negatif, dan karena itu hasil kali akar-akarnya adalah bilangan negatif. Ini hanya mungkin jika salah satu akarnya negatif dan akar lainnya positif. Jadi jumlah akarnya adalah perbedaan modul mereka.

Kami memilih pasangan angka yang memberikan produk, dan perbedaannya sama dengan:

dan: perbedaan mereka adalah - tidak cocok;

dan: - tidak cocok;

dan: - tidak cocok;

dan: - cocok. Tetap hanya untuk diingat bahwa salah satu akarnya adalah negatif. Karena jumlah mereka harus sama, maka akar, yang lebih kecil dalam nilai absolut, harus negatif: . Kami memeriksa:

Menjawab:

Contoh #4:

Memecahkan persamaan.

Larutan:

Persamaan dikurangi, yang berarti:

Suku bebasnya negatif, sehingga hasil kali akarnya negatif. Dan ini hanya mungkin jika satu akar persamaan negatif dan akar lainnya positif.

Kami memilih pasangan angka yang produknya sama, dan kemudian menentukan akar mana yang memiliki tanda negatif:

Jelas, hanya akar dan cocok untuk kondisi pertama:

Menjawab:

Contoh #5:

Memecahkan persamaan.

Larutan:

Persamaan dikurangi, yang berarti:

Jumlah akarnya negatif, artinya paling sedikit salah satu akarnya negatif. Tetapi karena produknya positif, itu berarti kedua akarnya minus.

Kami memilih pasangan angka seperti itu, yang produknya sama dengan:

Jelas, akarnya adalah angka dan.

Menjawab:

Setuju, sangat nyaman - untuk menemukan akar secara lisan, alih-alih menghitung diskriminan jahat ini. Cobalah untuk menggunakan teorema Vieta sesering mungkin.

Tetapi teorema Vieta diperlukan untuk memudahkan dan mempercepat pencarian akar. Untuk membuatnya menguntungkan bagi Anda untuk menggunakannya, Anda harus membawa tindakan ke otomatisme. Dan untuk ini, selesaikan lima contoh lagi. Tapi jangan curang: Anda tidak bisa menggunakan diskriminan! Hanya teorema Vieta:

Solusi untuk tugas untuk pekerjaan mandiri:

Tugas 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Menurut teorema Vieta:

Seperti biasa, kami memulai seleksi dengan produk:

Tidak sesuai karena jumlahnya;

: jumlah yang Anda butuhkan.

Menjawab: ; .

Tugas 2.

Dan sekali lagi, teorema Vieta favorit kami: jumlahnya harus berhasil, tetapi produknya sama.

Tetapi karena seharusnya tidak, tetapi, kami mengubah tanda-tanda akarnya: dan (total).

Menjawab: ; .

Tugas 3.

Hm... Dimana itu?

Penting untuk mentransfer semua persyaratan menjadi satu bagian:

Jumlah akar sama dengan produk.

Ya, berhenti! Persamaan tidak diberikan. Tapi teorema Vieta hanya berlaku dalam persamaan yang diberikan. Jadi pertama-tama Anda perlu membawa persamaannya. Jika Anda tidak dapat memunculkannya, tinggalkan ide ini dan selesaikan dengan cara lain (misalnya, melalui diskriminan). Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa membawa persamaan kuadrat berarti membuat koefisien utama sama dengan:

Bagus. Maka jumlah akarnya sama, dan hasilnya.

Lebih mudah untuk mengambil di sini: setelah semua - bilangan prima (maaf untuk tautologinya).

Menjawab: ; .

Tugas 4.

Istilah bebasnya negatif. Apa yang istimewa darinya? Dan fakta bahwa akarnya akan memiliki tanda yang berbeda. Dan sekarang, selama pemilihan, kami tidak memeriksa jumlah akar, tetapi perbedaan antara modul mereka: perbedaan ini sama, tetapi produknya.

Jadi, akarnya sama dan, tetapi salah satunya dengan minus. Teorema Vieta memberi tahu kita bahwa jumlah akar sama dengan koefisien kedua dengan tanda yang berlawanan, yaitu. Ini berarti bahwa akar yang lebih kecil akan memiliki minus: dan, sejak.

Menjawab: ; .

Tugas 5.

Apa yang perlu dilakukan terlebih dahulu? Benar, berikan persamaan:

Sekali lagi: kami memilih faktor-faktor dari angka tersebut, dan perbedaannya harus sama dengan:

Akarnya sama dan, tetapi salah satunya minus. Yang? Jumlahnya harus sama, yang berarti bahwa dengan minus akan ada akar yang lebih besar.

Menjawab: ; .

Biarkan saya meringkas:

1. Teorema Vieta hanya digunakan dalam persamaan kuadrat yang diberikan.
2. Menggunakan teorema Vieta, Anda dapat menemukan akar dengan seleksi, secara lisan.
3. Jika persamaan tidak diberikan atau tidak ada pasangan faktor yang cocok dari suku bebas yang ditemukan, maka tidak ada akar bilangan bulat, dan Anda perlu menyelesaikannya dengan cara lain (misalnya, melalui diskriminan).

3. Metode pemilihan kotak penuh

Jika semua suku yang mengandung hal-hal yang tidak diketahui direpresentasikan sebagai suku-suku dari rumus perkalian yang disingkat - kuadrat dari jumlah atau selisih - maka setelah perubahan variabel, persamaan tersebut dapat direpresentasikan sebagai jenis persamaan kuadrat yang tidak lengkap.

Sebagai contoh:

Contoh 1:

Selesaikan persamaan: .

Larutan:

Menjawab:

Contoh 2:

Selesaikan persamaan: .

Larutan:

Menjawab:

DI DALAM pandangan umum transformasinya akan terlihat seperti ini:

Ini menyiratkan: .

Tidakkah itu mengingatkanmu pada sesuatu? Ini diskriminan! Itulah tepatnya bagaimana rumus diskriminan diperoleh.

PERSAMAAN KUADRAT. SINGKAT TENTANG UTAMA

Persamaan kuadrat adalah persamaan bentuk, di mana tidak diketahui, adalah koefisien persamaan kuadrat, adalah istilah bebas.

Persamaan kuadrat lengkap- persamaan di mana koefisien tidak sama dengan nol.

Persamaan kuadrat tereduksi- persamaan di mana koefisien, yaitu: .

Persamaan kuadrat tidak lengkap- persamaan di mana koefisien dan atau suku bebas c sama dengan nol:

• jika koefisien, persamaan memiliki bentuk: ,
• jika istilah bebas, persamaan memiliki bentuk: ,
• jika dan, persamaan tersebut berbentuk: .

1. Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang tidak lengkap

1.1. Persamaan kuadrat tidak lengkap dari bentuk, di mana, :

1) Nyatakan yang tidak diketahui: ,

2) Periksa tanda ekspresi:

• jika, maka persamaan tidak memiliki solusi,
• jika, maka persamaan memiliki dua akar.

1.2. Persamaan kuadrat tidak lengkap dari bentuk, di mana, :

1) Mari kita keluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung: ,

2) Hasil kali sama dengan nol jika paling sedikit salah satu faktornya sama dengan nol. Oleh karena itu, persamaan memiliki dua akar:

1.3. Persamaan kuadrat tidak lengkap dari bentuk, di mana:

Persamaan ini selalu hanya memiliki satu akar: .

2. Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap dari bentuk di mana

2.1. Penyelesaian menggunakan diskriminan

1) Kami membawa persamaan ke bentuk standar: ,

2) Hitung diskriminan menggunakan rumus: , yang menunjukkan jumlah akar persamaan:

3) Temukan akar-akar persamaan:

• jika, maka persamaan memiliki akar, yang ditemukan dengan rumus:
• jika, maka persamaan memiliki akar, yang ditemukan dengan rumus:
• jika, maka persamaan tidak memiliki akar.

2.2. Solusi menggunakan teorema Vieta

Jumlah akar persamaan kuadrat tereduksi (persamaan berbentuk, di mana) adalah sama, dan produk dari akar-akarnya sama, mis. , tetapi.

2.3. Solusi persegi penuh

Jika persamaan kuadrat berbentuk memiliki akar, maka dapat ditulis dalam bentuk: .

Nah, topiknya sudah berakhir. Jika Anda membaca baris-baris ini, maka Anda sangat keren.

Karena hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu sendiri. Dan jika Anda telah membaca sampai akhir, maka Anda berada di 5%!

Sekarang hal yang paling penting.

Anda telah menemukan teori tentang topik ini. Dan, saya ulangi, itu ... itu luar biasa! Anda sudah lebih baik daripada sebagian besar rekan-rekan Anda.

Masalahnya adalah ini mungkin tidak cukup ...

Untuk apa?

Untuk sukses lulus ujian, untuk masuk ke institut dengan anggaran dan, PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan Anda tentang apa pun, saya hanya akan mengatakan satu hal ...

Orang yang menerima pendidikan yang baik, mendapatkan lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.

Tapi ini bukan hal utama.

Yang utama adalah mereka LEBIH BAHAGIA (ada penelitian seperti itu). Mungkin karena lebih banyak peluang terbuka di hadapan mereka dan hidup menjadi lebih cerah? Tidak tahu...

Tapi pikirkan sendiri...

Apa yang diperlukan untuk memastikan menjadi lebih baik daripada yang lain dalam ujian dan pada akhirnya ... lebih bahagia?

ISI TANGAN ANDA, MENYELESAIKAN MASALAH PADA TOPIK INI.

Pada ujian, Anda tidak akan ditanya teori.

Anda akan perlu menyelesaikan masalah tepat waktu.

Dan, jika Anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan membuat kesalahan bodoh di suatu tempat atau tidak akan berhasil tepat waktu.

Ini seperti dalam olahraga - Anda harus mengulang berkali-kali untuk menang dengan pasti.

Temukan koleksi di mana pun Anda mau tentu dengan solusi analisis rinci dan putuskan, putuskan, putuskan!

Anda dapat menggunakan tugas kami (tidak perlu) dan kami pasti merekomendasikannya.

Untuk membantu tugas kami, Anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang Anda baca.

Bagaimana? Ada dua opsi:

1. Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di artikel ini -
2. Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di semua 99 artikel tutorial - Beli buku teks - 499 rubel

Ya, kami memiliki 99 artikel seperti itu di buku teks dan akses ke semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat segera dibuka.

Akses ke semua tugas tersembunyi disediakan untuk seluruh masa pakai situs.

Kesimpulannya...

Jika Anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Hanya saja, jangan berhenti dengan teori.

"Dipahami" dan "Saya tahu bagaimana menyelesaikannya" adalah keterampilan yang sama sekali berbeda. Anda membutuhkan keduanya.

Temukan masalah dan selesaikan!

geser 2

Siklus persamaan kuadrat pelajaran aljabar di kelas 8 menurut buku teks karya A.G. Mordkovich

Guru sekolah menengah MBOU Grushevskaya Kireeva T.A.

geser 3

Tujuan: untuk memperkenalkan konsep persamaan kuadrat, akar dari persamaan kuadrat; menunjukkan solusi persamaan kuadrat; membentuk kemampuan menyelesaikan persamaan kuadrat; tunjukkan cara menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap menggunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat.

geser 4

geser 5

Sedikit sejarah persamaan kuadrat di Babel Kuno. Kebutuhan untuk memecahkan persamaan tidak hanya dari yang pertama, tetapi juga dari tingkat kedua, bahkan di zaman kuno disebabkan oleh kebutuhan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan menemukan luas tanah dan dengan pekerjaan tanah militer, serta dengan perkembangan astronomi dan matematika itu sendiri. Orang Babilonia tahu bagaimana memecahkan persamaan kuadrat sekitar 2000 tahun sebelum iman kita. Menerapkan notasi aljabar modern, orang dapat mengatakan bahwa dalam teks runcing mereka ada, selain yang tidak lengkap, seperti, misalnya, persamaan kuadrat lengkap.

geser 6

Aturan untuk memecahkan persamaan ini, yang ditetapkan dalam teks Babilonia, bertepatan dengan yang modern, tetapi tidak diketahui bagaimana Babel sampai pada aturan ini. Hampir semua teks paku yang ditemukan sejauh ini hanya memberikan masalah dengan solusi yang dituangkan dalam bentuk resep, tanpa menunjukkan bagaimana mereka ditemukan. Meskipun level tinggi pengembangan aljabar di Babilonia, konsep bilangan negatif dan metode umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tidak ada dalam teks runcing.

Geser 7

Definisi 1. Persamaan kuadrat adalah persamaan dengan bentuk di mana koefisien a, b, c adalah sembarang bilangan asli, dan Polinomial disebut trinomial persegi. a adalah koefisien pertama atau tertinggi b adalah koefisien kedua c adalah suku bebas

Geser 8

Definisi 2. Suatu persamaan kuadrat disebut tereduksi jika koefisien utamanya sama dengan 1; persamaan kuadrat disebut tidak tereduksi jika koefisien terdepannya berbeda dari 1. Contoh. 2 - 5 + 3 = 0 - persamaan kuadrat tak tereduksi - persamaan kuadrat tereduksi

Geser 9

Definisi 3. Persamaan kuadrat lengkap adalah persamaan kuadrat yang memiliki ketiga suku. a + in + c \u003d 0 Persamaan kuadrat tidak lengkap adalah persamaan yang tidak memiliki ketiga suku; adalah persamaan yang paling sedikit salah satu koefisiennya di, c sama dengan nol.

Geser 10

Metode untuk memecahkan persamaan kuadrat tidak lengkap.

geser 11

Memecahkan tugas No. 24.16 (a, b) Memecahkan persamaan: atau Jawaban. atau Jawaban.

geser 12

Definisi 4 Akar persamaan kuadrat adalah setiap nilai variabel x di mana trinomial bujur sangkar menghilang; nilai variabel x seperti itu juga disebut akar trinomial kuadrat Memecahkan persamaan kuadrat berarti menemukan semua akarnya atau menetapkan bahwa tidak ada akar.

geser 13

Diskriminan persamaan kuadrat D 0 D=0 Persamaan tidak memiliki akar Persamaan memiliki dua akar Persamaan memiliki satu akar Rumus akar persamaan kuadrat

Geser 14

D>0 persamaan kuadrat memiliki dua akar, yang ditemukan dengan rumus Contoh. Memecahkan persamaan Solusi. a \u003d 3, b \u003d 8, c \u003d -11, Jawaban: 1; -3

geser 15

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat 1. Hitung diskriminan D menggunakan rumus D = 2. Jika D 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar.

Pemrograman dalam Lazarus untuk anak sekolah.

Pelajaran nomor 12.

Penyelesaian persamaan kuadrat.

Matitsin Igor Vladimirovich

Guru matematika dan ilmu komputer

sekolah menengah MBOU dengan. gadis

Tujuan: untuk menulis program untuk memecahkan persamaan kuadrat, diberikan input apa pun.

Gadis 2013.

Persamaan kuadrat adalah salah satu persamaan kursus sekolah yang paling umum. Meskipun cukup mudah untuk diselesaikan, terkadang Anda perlu memeriksa jawabannya. Untuk ini, Anda dapat menggunakan program sederhana. Tidak butuh waktu lama untuk menulisnya.

Anda harus mulai dengan persamaan kuadrat itu sendiri. Dari mata kuliah aljabar, kita mengetahui bahwa persamaan kuadrat adalah persamaan yang berbentuk kapak 2 + bx + C =0, dimana x - variabel, Sebuah , B dan c adalah beberapa bilangan, dan Sebuah .

Dapat dilihat dari definisi bahwa hanya koefisien yang berubah dalam persamaan Sebuah , B Dan C . Ini adalah parameter yang akan kita masukkan ke dalam program kita, dan untuk ini kita akan membuat tiga bidang input dari komponen.

Gambar 14.1 Bidang masukan untuk koefisien.

Ini juga mengikuti dari definisi bahwa Sebuah . Dalam hal ini, persamaan tidak akan kuadrat. Dan kondisi ini akan kami cek terlebih dahulu. Mari kita buat tombol "Pecahkan" dan pengembang acaranya menggunakan operator jika cek kondisi Sebuah . Dan jika Sebuah =0 kita katakan bahwa persamaan kita tidak kuadrat.Berikut adalah event handler untuk tombol tersebut:prosedur TForm1.Button1Click(Pengirim: TObject); var a,b,c:nyata; mulai a:=strtofloat(edit1.Text); b:=strtofloat(edit2.Teks); c:=strtofloat(edit3.Teks); jika a=0 maka Label4.Caption:="Persamaan tidak persegi";akhir;

Beras. 14.2 Pengujian keberadaan persamaan.

Sekarang perlu untuk menggambarkan apa yang akan terjadi jika persamaannya kuadrat. Ini juga akan berada dalam pernyataan yang sama jika setelah kata lain dan saat menggunakan operator gabungan.

Jika persamaannya kuadrat, maka kita akan segera menyelesaikannya menggunakan rumus diskriminan dan akar-akar persamaan kuadrat.

Kami menemukan diskriminan dengan rumus: D := B * B – 4* Sebuah * C ;

Jika diskriminan kurang dari nol, maka persamaan tidak memiliki solusi. Akan digambarkan seperti ini:

jika d kemudian label 4. Keterangan :='Persamaan tidak memiliki solusi' lain …

Dan kemudian lain akan ada pencarian langsung untuk akar persamaan menggunakan rumus:

X1:=(-b+sqrt(D))/2*a;

X2:=(-b-sqrt(D))/2*a;

Berikut kode operator lengkapnya jika :

jika a=0 maka Label4.Caption:="Persamaan tidak persegi" else

mulai

D:=b*b-4*a*c;

jika d

mulai

X1:=(-b+sqrt(D))/2*a;

X2:=(-b-sqrt(D))/2*a;

Label4.Caption:="X1="+floattostr(x1)+" X2="+floattostr(x2);

akhir;

akhir;

Beras. 14.3 Jendela kerja persamaan kuadrat program.

Persamaan kuadrat adalah persamaan berbentuk a*x^2 +b*x+c=0, di mana a,b,c adalah bilangan real (riil) arbitrer, dan x adalah variabel. Dan bilangan a=0.

Bilangan a,b,c disebut koefisien. Angka a - disebut koefisien utama, angka b adalah koefisien di x, dan angka c disebut anggota bebas.

Memecahkan persamaan kuadrat

Memecahkan persamaan kuadrat berarti menemukan semua akarnya, atau menetapkan fakta bahwa persamaan kuadrat tidak memiliki akar. Akar persamaan kuadrat a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 adalah nilai apa pun dari variabel x, sehingga trinomial persegi a*x^2 +b*x+c menghilang. Kadang-kadang nilai x seperti itu disebut akar trinomial kuadrat.

Ada beberapa cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Pertimbangkan salah satunya - yang paling serbaguna. Ini dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat apa pun.

Rumus untuk menyelesaikan persamaan kuadrat

Rumus akar-akar persamaan kuadrat adalah a*x^2 +b*x+c=0.

x=(-b±√D)/(2*a), di mana D =b^2-4*a*c.

Rumus ini diperoleh dengan menyelesaikan persamaan a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 dalam bentuk umum, dengan menyorot kuadrat binomial.

Dalam rumus akar persamaan kuadrat, persamaan D (b^2-4*a*c) disebut diskriminan dari persamaan kuadrat a*x^2 +b*x+c=0. Nama ini berasal dari Latin, dalam terjemahan "pembeda". Tergantung pada nilai diskriminannya, persamaan kuadrat akan memiliki dua atau satu akar, atau tidak memiliki akar sama sekali.

Jika diskriminan lebih besar dari nol, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar. (x=(-b±√D)/(2*a))

Jika diskriminan adalah nol, maka persamaan kuadrat memiliki satu akar. (x=(-b/(2*a))

Jika diskriminan negatif, maka persamaan kuadrat tidak memiliki akar.

Algoritma umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat

Berdasarkan hal di atas, kami merumuskan algoritma umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat a*x^2 +b*x+c=0 menggunakan rumus:

1. Temukan nilai diskriminan menggunakan rumus D =b^2-4*a*c.

2. Bergantung pada nilai diskriminan, hitung akar-akarnya menggunakan rumus:

D<0, корней нет.

D=0, x=(-b/(2*a)

D>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)

Algoritma ini bersifat universal dan cocok untuk menyelesaikan persamaan kuadrat apa pun. Lengkap dan tidak lengkap, dikutip dan tidak dikutip.