Քառակուսային ֆունկցիայի լուծման օրինակներ 9. Քառակուսային ֆունկցիան և դրա գրաֆիկը

Կարևոր նշումներ.
1. Եթե բանաձևերի փոխարեն տեսնում եք abracadabra, մաքրեք քեշը: Ինչպես դա անել ձեր բրաուզերում, գրված է այստեղ.
2. Նախքան հոդվածը կարդալը, առավելագույն ուշադրություն դարձրեք մեր նավիգատորին օգտակար ռեսուրսհամար

Հասկանալու համար, թե ինչ է գրվելու այստեղ, պետք է լավ իմանալ, թե ինչ է քառակուսի ֆունկցիան և ինչով է այն ուտվում։ Եթե ​​դուք ձեզ համարում եք քառակուսի գործառույթների պրոֆեսիոնալ, բարի գալուստ: Բայց եթե ոչ, ապա պետք է կարդալ թեման:

Սկսենք փոքրից ստուգումներ:

1. Ինչպիսի՞ն է քառակուսի ֆունկցիան ընդհանուր ձևով (բանաձևով):
2. Ինչ է աղյուսակի անունը քառակուսի ֆունկցիա?
3. Ինչպե՞ս է առաջատար գործակիցը ազդում քառակուսի ֆունկցիայի գրաֆիկի վրա:

Եթե ​​դուք կարող եք անմիջապես պատասխանել այս հարցերին, շարունակեք կարդալ: Եթե ​​գոնե մեկ հարց դժվարություններ է առաջացրել, գնացեք.

Այսպիսով, դուք արդեն գիտեք, թե ինչպես վարվել քառակուսի ֆունկցիայի հետ, վերլուծել դրա գրաֆիկը և կառուցել գրաֆիկ ըստ կետերի:

Դե, ահա այն.

Եկեք արագ նայենք, թե ինչ են նրանք անում: հավանականություն.

1. Ավագ գործակիցը պատասխանատու է պարաբոլայի «կտրուկության» կամ, այլ կերպ ասած, նրա լայնության համար՝ որքան մեծ, այնքան նեղ (կտրուկ) պարաբոլան, և որքան փոքր է՝ այնքան լայն (ավելի հարթ) պարաբոլան։
2. Ազատ անդամը պարաբոլայի հատման կոորդինատն է y առանցքի հետ։
3. Իսկ գործակիցը ինչ-որ կերպ պատասխանատու է պարաբոլայի տեղաշարժի համար կոորդինատների կենտրոնից։ Ահա այս մասին հիմա ավելին:

Ինչու՞ ենք մենք միշտ սկսում պարաբոլա կառուցել: Ո՞րն է նրա տարբերակիչ կետը:

Սա գագաթ. Իսկ ինչպե՞ս գտնել գագաթի կոորդինատները, հիշո՞ւմ եք։

Abscissa-ն որոնվում է հետևյալ բանաձևով.

Այսպես՝ ինչ ավելին, թեմաներ դեպի ձախպարաբոլայի վերին մասը շարժվում է:

Գագաթի օրդինատը կարելի է գտնել՝ փոխարինելով ֆունկցիայի մեջ.

Փոխարինեք ինքներդ ձեզ և հաշվեք: Ինչ է պատահել?

Եթե ​​ամեն ինչ ճիշտ եք անում և հնարավորինս պարզեցնում եք ստացված արտահայտությունը, կստանաք.

Պարզվում է, որ ավելի շատ մոդուլ, թեմաներ ավելի բարձրկամք գագաթպարաբոլաներ.

Ի վերջո, եկեք անցնենք դավադրությանը:
Ամենահեշտ ձևը վերևից սկսած պարաբոլա կառուցելն է:

Օրինակ:

Գրեք ֆունկցիան։

Որոշում:

Նախ սահմանենք գործակիցները.

Հիմա եկեք հաշվարկենք գագաթային կոորդինատները.

Եվ հիմա հիշեք. նույն առաջատար գործակից ունեցող բոլոր պարաբոլները նույն տեսքն ունեն: Այսպիսով, եթե մենք կառուցում ենք պարաբոլա և նրա գագաթը տեղափոխում ենք մի կետ, մենք ստանում ենք մեզ անհրաժեշտ գրաֆիկը.

Պարզ, չէ՞:

Մնում է միայն մեկ հարց՝ ինչպե՞ս արագ նկարել պարաբոլան։ Եթե ​​նույնիսկ սկզբում գագաթով պարաբոլա գծենք, այնուհանդերձ պետք է այն կետ առ կետ կառուցենք, ինչը երկար է և անհարմար: Բայց բոլոր պարաբոլանները նույն տեսքն ունեն, միգուցե կա՞ դրանց նկարումն արագացնելու միջոց։

Երբ ես դպրոց էի սովորում, մաթեմատիկայի ուսուցիչս բոլորին ասաց, որ ստվարաթղթից կտրեն պարաբոլայի ձևով տրաֆարետ, որպեսզի կարողանան արագ նկարել: Բայց դուք չեք կարողանա ամենուր քայլել տրաֆարետով, և նրանց թույլ չեն տա դա քննության տանել: Այսպիսով, մենք չենք օգտագործի օտար առարկաներ, այլ կփնտրենք օրինակ:

Դիտարկենք ամենապարզ պարաբոլան: Եկեք այն կառուցենք ըստ կետերի.

Այստեղ կանոնը սա է. Եթե ​​վերևից շարժվենք աջ (առանցքի երկայնքով) դեպի և դեպի վեր (առանցքի երկայնքով) դեպի, ապա կհասնենք պարաբոլայի կետին: Ավելին. եթե այս կետից մենք շարժվենք դեպի աջ և վերև, մենք նորից կհասնենք պարաբոլայի կետին: Հաջորդը. անմիջապես և վերև: Ի՞նչ է հաջորդը: Անմիջապես և վերև: Եվ այսպես շարունակ՝ շարժվել դեպի աջ և հաջորդը կենտ թիվվերև. Այնուհետև մենք նույնն ենք անում ձախ ճյուղի հետ (ի վերջո, պարաբոլան սիմետրիկ է, այսինքն՝ նրա ճյուղերը նույն տեսքն ունեն).

Հիանալի է, սա կօգնի կառուցել ցանկացած պարաբոլա գագաթից, որի ամենաբարձր գործակիցը հավասար է: Օրինակ, մենք իմացանք, որ պարաբոլայի գագաթը գտնվում է մի կետում: Կառուցեք (ինքնուրույն, թղթի վրա) այս պարաբոլան:

Կառուցվե՞լ է:

Այն պետք է ստացվի այսպես.

Այժմ մենք միացնում ենք ստացված կետերը.

Այսքանը:

Լավ, լավ, հիմա կառուցեք միայն պարաբոլաներ:

Իհարկե ոչ. Հիմա եկեք պարզենք, թե ինչ անել նրանց հետ, եթե.

Դիտարկենք մի քանի բնորոշ դեպքեր.

Հիանալի, մենք սովորեցինք, թե ինչպես նկարել պարաբոլա, հիմա եկեք պարապենք իրական ֆունկցիաների վրա:

Այսպիսով, նկարեք նման գործառույթների գրաֆիկները.

Պատասխանները:

3. Վերև.

Հիշու՞մ եք, թե ինչ անել, եթե ավագի գործակիցը պակաս է։

Մենք նայում ենք կոտորակի հայտարարին՝ այն հավասար է։ Այսպիսով, մենք կշարժվենք այսպես.

• ընդհուպ
• ընդհուպ
• ընդհուպ

և նաև դեպի ձախ.

4. Վերև.

Օ, ինչ անել դրա հետ: Ինչպե՞ս չափել բջիջները, եթե գագաթը գտնվում է տողերի միջև:

Եվ մենք խաբում ենք: Եկեք նախ գծենք պարաբոլան, և միայն դրանից հետո նրա գագաթը տեղափոխենք մի կետ: Նույնիսկ ոչ, եկեք դա անենք ավելի բարդ. Նկարեք պարաբոլա, այնուհետև շարժել առանցքները.- վրա ներքեւ, a - on ճիշտ:

Այս տեխնիկան շատ հարմար է ցանկացած պարաբոլայի դեպքում, հիշեք այն։

Հիշեցնեմ, որ ֆունկցիան կարող ենք ներկայացնել այս ձևով.

Օրինակ: .

Ի՞նչ է սա մեզ տալիս:

Փաստն այն է, որ այն թիվը, որը հանվում է փակագծերում () պարաբոլայի գագաթի աբսցիսան է, իսկ փակագծերից դուրս () տերմինը գագաթի օրդինատն է։

Սա նշանակում է, որ պարաբոլա կառուցելով պարզապես անհրաժեշտ է առանցքը տեղափոխեք ձախ, իսկ առանցքը դեպի ներքև:

Օրինակ՝ եկեք գծենք ֆունկցիայի գրաֆիկ:

Եկեք ընտրենք ամբողջական քառակուսի.

Ինչ համար հանելփակագծերից? Սա (և ոչ թե ինչպես կարելի է որոշել առանց մտածելու):

Այսպիսով, մենք կառուցում ենք պարաբոլա.

Այժմ մենք առանցքը տեղափոխում ենք ներքև, այսինքն՝ վերև.

Եվ հիմա `ձախ, այսինքն` աջ:

Այսքանը: Սա նույնն է, ինչ պարաբոլան իր գագաթով սկզբից մի կետ տեղափոխելը, միայն ուղիղ առանցքը շատ ավելի հեշտ է շարժվել, քան ծուռ պարաբոլան:

Հիմա, ինչպես միշտ, ինքս.

Եվ մի մոռացեք ջնջել հին առանցքները ռետինով:

Ես նման եմ պատասխաններըՍտուգման համար ես ձեզ կգրեմ այս պարաբոլների գագաթների օրդինատները.

Ամեն ինչ տեղավորվե՞լ է:

Եթե ​​այո, ապա դուք հիանալի եք: Իմանալը, թե ինչպես վարվել պարաբոլայի հետ, շատ կարևոր և օգտակար է, և այստեղ մենք պարզեցինք, որ դա ամենևին էլ դժվար չէ:

ՔՈՎԱԴՐԱՏԻԿ ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ ԳՐԱՖԻԿԱԶՄՈՒՄ: ՀԱՄԱՌՈՏ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՄԱՍԻՆ

քառակուսի ֆունկցիաայն ձևի ֆունկցիան է, որտեղ և են ցանկացած թվեր (գործակիցներ), ազատ անդամ է:

Քառակուսային ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլա է:

Պարաբոլայի վերին մասը.
, այսինքն. որքան մեծ է \displaystyle b-ը, այնքան պարաբոլայի վերին մասը դեպի ձախ է շարժվում:
Փոխարինեք ֆունկցիայի մեջ և ստացեք.
, այսինքն. որքան մեծ է \displaystyle b մոդուլը, այնքան բարձր կլինի պարաբոլայի վերին մասը

Ազատ անդամը պարաբոլայի հատման կոորդինատն է y առանցքի հետ։

Դե թեման վերջացավ։ Եթե ​​դուք կարդում եք այս տողերը, ապա դուք շատ լավն եք:

Քանի որ մարդկանց միայն 5%-ն է կարողանում ինքնուրույն ինչ-որ բանի տիրապետել։ Իսկ եթե կարդացել եք մինչև վերջ, ուրեմն դուք 5%-ի մեջ եք։

Հիմա ամենակարեւորը.

Դուք պարզել եք այս թեմայի տեսությունը: Եվ, կրկնում եմ, դա ... պարզապես սուպեր է: Դուք արդեն ավելի լավն եք, քան ձեր հասակակիցների ճնշող մեծամասնությունը:

Խնդիրն այն է, որ սա կարող է բավարար չլինել…

Ինչի համար?

Հաջողության համար քննություն հանձնելը, բյուջեով ինստիտուտ ընդունվելու համար և, ԱՄԵՆ ԿԱՐԵՎՈՐԸ, ցմահ։

Ես ձեզ ոչ մի բանում չեմ համոզի, միայն մի բան կասեմ...

Մարդիկ, ովքեր ստացել են լավ կրթություն, վաստակում են շատ ավելին, քան նրանք, ովքեր չեն ստացել այն։ Սա վիճակագրություն է։

Բայց սա չէ գլխավորը։

Գլխավորն այն է, որ նրանք ԱՎԵԼԻ ԵՐՋԱՆԱԼ են (նման ուսումնասիրություններ կան)։ Միգուցե այն պատճառով, որ շատ ավելի շատ հնարավորություններ են բացվում նրանց առջև, և կյանքը դառնում է ավելի պայծառ: չգիտեմ...

Բայց մտածեք ինքներդ...

Ի՞նչ է անհրաժեշտ քննությանը մյուսներից լավը լինելու և, ի վերջո, ավելի երջանիկ լինելու համար:

ՁԵՌՔ ԼՑՐԵՔ՝ ԱՅՍ ԹԵՄԱՅԻ ՀԱՄԱՐ ԽՆԴԻՐՆԵՐ ԼՈՒԾԵԼՈՎ։

Քննության ժամանակ ձեզ տեսություն չեն հարցնի:

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի ժամանակին լուծել խնդիրները.

Եվ եթե դրանք չես լուծել (ՇԱՏ!), հաստատ ինչ-որ տեղ հիմար սխալ կգործես կամ պարզապես ժամանակին չես անի:

Դա նման է սպորտի. պետք է բազմիցս կրկնել՝ հաստատ հաղթելու համար:

Գտեք հավաքածու ցանկացած վայրում, որտեղ ցանկանում եք անպայման լուծումներով մանրամասն վերլուծություն և որոշի՛ր, որոշի՛ր, որոշի՛ր։

Դուք կարող եք օգտագործել մեր առաջադրանքները (անհրաժեշտ չէ), և մենք, իհարկե, խորհուրդ ենք տալիս դրանք:

Մեր առաջադրանքների օգնությամբ ձեռք բերելու համար դուք պետք է օգնեք երկարացնել YouClever դասագրքի կյանքը, որը ներկայումս կարդում եք:

Ինչպե՞ս: Երկու տարբերակ կա.

1. Բացեք այս հոդվածի բոլոր թաքնված առաջադրանքների հասանելիությունը.
2. Բացեք մուտքը դեպի բոլոր թաքնված առաջադրանքները ձեռնարկի բոլոր 99 հոդվածներում. Գնել դասագիրք - 499 ռուբլի

Այո, դասագրքում ունենք 99 նման հոդված, և բոլոր առաջադրանքների և դրանցում թաքնված բոլոր տեքստերի հասանելիությունը կարող է անմիջապես բացվել:

Բոլոր թաքնված առաջադրանքների մուտքն ապահովված է կայքի ողջ կյանքի ընթացքում:

Եզրափակելով...

Եթե ​​ձեզ դուր չեն գալիս մեր առաջադրանքները, գտեք ուրիշներին: Պարզապես մի կանգ առեք տեսության վրա:

«Հասկացել եմ» և «Ես գիտեմ, թե ինչպես լուծել» բոլորովին այլ հմտություններ են: Ձեզ երկուսն էլ պետք են:

Գտեք խնդիրներ և լուծեք:

Բոլորը գիտեն, թե ինչ է պարաբոլան: Բայց թե ինչպես այն ճիշտ, գրագետ օգտագործել տարբեր գործնական խնդիրներ լուծելիս, մենք կհասկանանք ստորև:

Նախ նշենք այն հիմնական հասկացությունները, որոնք հանրահաշիվը և երկրաչափությունը տալիս են այս տերմինին: Հաշվի առեք ամեն ինչ հնարավոր տեսակներըայս աղյուսակը.

Մենք սովորում ենք այս ֆունկցիայի բոլոր հիմնական բնութագրերը: Եկեք հասկանանք կորի (երկրաչափության) կառուցման հիմունքները: Եկեք սովորենք, թե ինչպես գտնել այս տեսակի գրաֆիկի վերին, այլ հիմնական արժեքները:

Մենք կիմանանք՝ ինչպես է պահանջվող կորը ճիշտ կառուցված ըստ հավասարման, ինչին պետք է ուշադրություն դարձնել։ Տեսնենք հիմնականը գործնական օգտագործումայս եզակի արժեքը մարդկային կյանքում:

Ինչ է պարաբոլան և ինչ տեսք ունի այն

Հանրահաշիվ: Այս տերմինը վերաբերում է քառակուսի ֆունկցիայի գրաֆիկին:

Երկրաչափություն. Սա երկրորդ կարգի կոր է, որն ունի մի շարք հատուկ առանձնահատկություններ.

Կանոնական պարաբոլայի հավասարում

Նկարը ցույց է տալիս ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ (XOY), ծայրահեղություն, ֆունկցիայի գծագրման ճյուղերի ուղղությունը աբսցիսայի առանցքի երկայնքով:

Կանոնական հավասարումը հետևյալն է.

y 2 \u003d 2 * p * x,

որտեղ p գործակիցը պարաբոլայի կիզակետային պարամետրն է (AF):

Հանրահաշվում այլ կերպ է գրված.

y = a x 2 + b x + c (ճանաչելի օրինակ. y = x 2):

Քառակուսային ֆունկցիայի հատկությունները և գրաֆիկը

Ֆունկցիան ունի համաչափության առանցք և կենտրոն (ծայրահեղ): Սահմանման տիրույթը x-առանցքի բոլոր արժեքներն են:

Ֆունկցիայի արժեքների միջակայքը - (-∞, M) կամ (M, +∞) կախված է կորի ճյուղերի ուղղությունից: M պարամետրն այստեղ նշանակում է գծի վերևում գտնվող ֆունկցիայի արժեքը:

Ինչպես որոշել, թե ուր են ուղղված պարաբոլայի ճյուղերը

Արտահայտությունից այս տեսակի կորի ուղղությունը գտնելու համար անհրաժեշտ է նշել նշանը առաջին պարամետրի դիմաց. հանրահաշվական արտահայտություն. Եթե ​​a ˃ 0, ապա դրանք ուղղված են դեպի վեր։ Հակառակ դեպքում՝ ներքև։

Ինչպես գտնել պարաբոլայի գագաթը՝ օգտագործելով բանաձևը

Էքստրեմում գտնելը շատ գործնական խնդիրների լուծման հիմնական քայլն է։ Իհարկե, դուք կարող եք բացել հատուկ առցանց հաշվիչներբայց ավելի լավ է ինքներդ կարողանաք դա անել:

Ինչպե՞ս սահմանել այն: Կա հատուկ բանաձեւ. Երբ b-ը հավասար չէ 0-ի, մենք պետք է փնտրենք այս կետի կոորդինատները:

Վերևը գտնելու բանաձևեր.

• x 0 \u003d -b / (2 * a);
• y 0 = y (x 0):

Օրինակ.

Կա y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25 ֆունկցիա: Եկեք գտնենք այս ֆունկցիայի գագաթները:

Նման տողի համար.

• x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41:

Ստանում ենք գագաթի կոորդինատները (-2, -41):

Պարաբոլայի օֆսեթ

Դասական դեպքն այն է, երբ քառակուսի ֆունկցիայի մեջ y = a x 2 + b x + c երկրորդ և երրորդ պարամետրերը 0 են, իսկ = 1 - գագաթը գտնվում է (0; 0) կետում:

Շարժումը աբսցիսայի կամ օրդինատների առանցքների երկայնքով պայմանավորված է համապատասխանաբար b և c պարամետրերի փոփոխությամբ:Հարթության վրա գծի տեղաշարժը կիրականացվի հենց միավորների քանակով, որը հավասար է պարամետրի արժեքին։

Օրինակ.

Մենք ունենք՝ b = 2, c = 3:

Սա նշանակում է, որ կորի դասական տեսքը կտեղափոխվի 2 միավոր հատվածով աբսցիսայի առանցքի երկայնքով և 3-ով օրդինատների առանցքի երկայնքով:

Ինչպես կառուցել պարաբոլա՝ օգտագործելով քառակուսի հավասարումը

Դպրոցականների համար կարևոր է սովորել, թե ինչպես ճիշտ նկարել պարաբոլան՝ ըստ տրված պարամետրերի։

Արտահայտություններն ու հավասարումները վերլուծելով՝ կարող եք տեսնել հետևյալը.

1. Ցանկալի ուղիղի հատման կետը օրդինատների վեկտորի հետ կունենա c-ի արժեք:
2. Գրաֆիկի բոլոր կետերը (x առանցքի երկայնքով) սիմետրիկ կլինեն ֆունկցիայի հիմնական ծայրահեղության նկատմամբ:

Բացի այդ, OX-ի հետ խաչմերուկները կարելի է գտնել՝ իմանալով նման ֆունկցիայի դիսկրիմինանտը (D).

D \u003d (b 2 - 4 * a * c):

Դա անելու համար անհրաժեշտ է արտահայտությունը հավասարեցնել զրոյի:

Պարաբոլայի արմատների առկայությունը կախված է արդյունքից.

• D ˃ 0, ապա x 1, 2 = (-b ± D 0.5) / (2 * a);
• D \u003d 0, ապա x 1, 2 \u003d -b / (2 * a);
• D ˂ 0, ապա OX վեկտորի հետ հատման կետեր չկան:

Մենք ստանում ենք պարաբոլա կառուցելու ալգորիթմը.

• որոշել ճյուղերի ուղղությունը.
• գտնել գագաթի կոորդինատները;
• գտե՛ք խաչմերուկը y առանցքի հետ;
• գտե՛ք խաչմերուկը x առանցքի հետ:

Օրինակ 1

Տրվում է ֆունկցիա y \u003d x 2 - 5 * x + 4: Անհրաժեշտ է պարաբոլա կառուցել: Մենք գործում ենք ըստ ալգորիթմի.

1. a \u003d 1, հետևաբար, ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր;
2. ծայրահեղ կոորդինատները `x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. հատվում է y առանցքի հետ y = 4 արժեքով;
4. գտե՛ք տարբերակիչը՝ D = 25 - 16 = 9;
5. արմատներ փնտրելով

• X 1 \u003d (5 + 3) / 2 \u003d 4; (4, 0);
• X 2 \u003d (5 - 3) / 2 \u003d 1; (տասը):

Օրինակ 2

y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1 ֆունկցիայի համար անհրաժեշտ է պարաբոլա կառուցել: Մենք գործում ենք վերը նշված ալգորիթմի համաձայն.

1. a \u003d 3, հետևաբար, ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր;
2. ծայրահեղ կոորդինատները `x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. y առանցքի հետ հատվելու է y \u003d -1 արժեքով;
4. Գտեք տարբերակիչը՝ D \u003d 4 + 12 \u003d 16: Այսպիսով, արմատները.

• X 1 \u003d (2 + 4) / 6 \u003d 1; (1;0);
• X 2 \u003d (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3; 0):

Ստացված կետերից կարելի է պարաբոլա կառուցել։

Ուղղորդիչ, էքսցենտրիկություն, պարաբոլայի կիզակետ

Հիմնվելով կանոնական հավասարման վրա՝ F կիզակետն ունի կոորդինատներ (p/2, 0):

Ուղիղ AB-ն ուղղագիծ է (որոշակի երկարությամբ պարաբոլայի մի տեսակ): Նրա հավասարումը x = -p/2 է:

Էքսցենտրիկություն (հաստատուն) = 1:

Եզրակացություն

Մենք դիտարկել ենք այն թեման, որտեղ սովորում են ուսանողները ավագ դպրոց. Այժմ դուք գիտեք, նայելով պարաբոլայի քառակուսային ֆունկցիային, թե ինչպես գտնել նրա գագաթը, թե որ ուղղությամբ են ուղղվելու ճյուղերը, կա արդյոք շեղում առանցքների երկայնքով, և, ունենալով շինարարական ալգորիթմ, կարող եք գծել դրա գրաֆիկը։