Քառակուսային հավասարումների լուծում և լուծում: Քառակուսային հավասարումներ

«Հավասարումների լուծում» թեմայի շարունակության մեջ այս հոդվածի նյութը ձեզ կծանոթացնի քառակուսի հավասարումների:

Եկեք մանրամասն դիտարկենք ամեն ինչ՝ քառակուսի հավասարման էությունն ու նշումը, սահմանել հարակից տերմիններ, վերլուծել թերի և ամբողջական հավասարումների լուծման սխեման, ծանոթանալ արմատների բանաձևին և տարբերակիչին, կապ հաստատել արմատների և գործակիցների միջև և իհարկե։ գործնական օրինակների տեսողական լուծում կտանք։

Yandex.RTB R-A-339285-1

Քառակուսային հավասարումը, դրա տեսակները

Սահմանում 1

Քառակուսային հավասարումհավասարումը գրված է այսպես a x 2 + b x + c = 0, որտեղ x– փոփոխական, a , b և գորոշ թվեր են, մինչդեռ ազրո չէ.

Հաճախ քառակուսի հավասարումները կոչվում են նաև երկրորդ աստիճանի հավասարումներ, քանի որ իրականում քառակուսի հավասարումը երկրորդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարում է:

Տրված սահմանումը լուսաբանելու համար բերենք օրինակ. 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 և այլն: քառակուսի հավասարումներ են։

Սահմանում 2

a, b և թվեր գքառակուսի հավասարման գործակիցներն են a x 2 + b x + c = 0, մինչդեռ գործակիցը ակոչվում է առաջին, կամ ավագ, կամ գործակից x 2, b - երկրորդ գործակիցը, կամ գործակիցը ժամը x, ա գկոչվում է ազատ անդամ:

Օրինակ, քառակուսի հավասարման մեջ 6 x 2 - 2 x - 11 = 0ամենաբարձր գործակիցը 6 է, երկրորդը՝ 6 − 2 , իսկ ազատ ժամկետը հավասար է − 11 . Ուշադրություն դարձնենք, որ երբ գործակիցները բև/կամ c-ն բացասական են, ապա օգտագործվում է սղագրությունը 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, բայց չէ 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Պարզաբանենք նաև այս ասպեկտը՝ եթե գործակիցները աև/կամ բհավասար 1 կամ − 1 , ապա նրանք կարող են բացահայտորեն չմասնակցել քառակուսի հավասարումը գրելուն, ինչը բացատրվում է նշված թվային գործակիցները գրելու առանձնահատկություններով։ Օրինակ, քառակուսի հավասարման մեջ y 2 − y + 7 = 0ավագ գործակիցը 1 է, իսկ երկրորդը՝ 1 − 1 .

Կրճատված և ոչ կրճատված քառակուսի հավասարումներ

Ըստ առաջին գործակցի արժեքի՝ քառակուսի հավասարումները բաժանվում են կրճատված և ոչ կրճատվածի։

Սահմանում 3

Կրճատված քառակուսի հավասարումքառակուսի հավասարում է, որտեղ առաջատար գործակիցը 1 է: Առաջատար գործակցի այլ արժեքների համար քառակուսի հավասարումը չկրճատված է:

Ահա մի քանի օրինակ՝ x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 քառակուսի հավասարումներ, որոնցից յուրաքանչյուրում առաջատար գործակիցը 1 է։

9 x 2 - x - 2 = 0- չկրճատված քառակուսի հավասարում, որտեղ առաջին գործակիցը տարբերվում է 1 .

Ցանկացած չկրճատված քառակուսի հավասարում կարող է վերածվել կրճատված հավասարման՝ բաժանելով դրա երկու մասերն առաջին գործակցով (համարժեք փոխակերպում): Փոխակերպված հավասարումը կունենա նույն արմատները, ինչ տրված չկրճատված հավասարումը կամ նույնպես ընդհանրապես արմատներ չի ունենա։

Կոնկրետ օրինակի դիտարկումը թույլ կտա մեզ հստակ ցույց տալ անցումը չկրճատված քառակուսի հավասարումից դեպի կրճատված:

Օրինակ 1

Տրված է 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 հավասարումը . Անհրաժեշտ է սկզբնական հավասարումը վերածել կրճատված ձևի:

Որոշում

Ըստ վերը նշված սխեմայի, մենք բաժանում ենք սկզբնական հավասարման երկու մասերը առաջատար գործակցով 6: Այնուհետև մենք ստանում ենք. (6 x 2 + 18 x - 7) 3 = 0: 3, և սա նույնն է, ինչ. (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0և հետագա՝ (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0:Այստեղից. x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0: Այսպիսով ստացվում է տրվածին համարժեք հավասարում։

Պատասխան. x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0:

Ամբողջական և թերի քառակուսի հավասարումներ

Եկեք անդրադառնանք քառակուսի հավասարման սահմանմանը: Դրանում մենք նշել ենք, որ a ≠ 0. Նմանատիպ պայման է անհրաժեշտ հավասարման համար a x 2 + b x + c = 0ճիշտ քառակուսի էր, քանի որ a = 0այն ըստ էության վերածվում է գծային հավասարման b x + c = 0.

Այն դեպքում, երբ գործակիցները բև գհավասար են զրոյի (ինչը հնարավոր է ինչպես առանձին, այնպես էլ համատեղ), քառակուսի հավասարումը կոչվում է թերի։

Սահմանում 4

Անավարտ քառակուսի հավասարումքառակուսի հավասարում է a x 2 + b x + c \u003d 0,որտեղ գործակիցներից առնվազն մեկը բև գ(կամ երկուսն էլ) զրո է:

Ամբողջական քառակուսի հավասարումքառակուսի հավասարում է, որտեղ բոլոր թվային գործակիցները հավասար չեն զրոյի։

Եկեք քննարկենք, թե ինչու են քառակուսի հավասարումների տեսակներին տրված հենց այդպիսի անուններ։

b = 0-ի համար քառակուսի հավասարումը ստանում է ձև a x 2 + 0 x + c = 0, որը նույնն է, ինչ a x 2 + c = 0. ժամը c = 0քառակուսի հավասարումը գրված է այսպես a x 2 + b x + 0 = 0, որը համարժեք է a x 2 + b x = 0. ժամը b = 0և c = 0հավասարումը կընդունի ձևը a x 2 = 0. Մեր ստացած հավասարումները տարբերվում են լրիվ քառակուսային հավասարումից նրանով, որ դրանց ձախ կողմերը չեն պարունակում ոչ մի անդամ x փոփոխականով, ոչ ազատ անդամ, կամ երկուսն էլ միանգամից: Փաստորեն, այս փաստը տվել է այս տիպի հավասարումների անվանումը՝ թերի։

Օրինակ, x 2 + 3 x + 4 = 0 և − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 ամբողջական քառակուսի հավասարումներ են. x 2 \u003d 0, - 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 թերի քառակուսի հավասարումներ են:

Թերի քառակուսի հավասարումների լուծում

Վերը տրված սահմանումը հնարավորություն է տալիս տարբերակել թերի քառակուսի հավասարումների հետևյալ տեսակները.

• a x 2 = 0, գործակիցները համապատասխանում են նման հավասարմանը b = 0և c = 0;
• a x 2 + c \u003d 0 b \u003d 0-ի համար;
• a x 2 + b x = 0 c = 0-ի համար:

Հետևաբար դիտարկենք թերի քառակուսի հավասարումների յուրաքանչյուր տեսակի լուծումը:

a x 2 \u003d 0 հավասարման լուծում

Ինչպես արդեն նշվեց վերևում, նման հավասարումը համապատասխանում է գործակիցներին բև գ, հավասար է զրոյի։ Հավասարումը a x 2 = 0կարող է վերածվել համարժեք հավասարման x2 = 0, որը ստանում ենք սկզբնական հավասարման երկու կողմերը թվի վրա բաժանելով ա, հավասար չէ զրոյի։ Ակնհայտ փաստն այն է, որ հավասարման արմատը x2 = 0զրո է, քանի որ 0 2 = 0 . Այս հավասարումը չունի այլ արմատներ, ինչը բացատրվում է աստիճանի հատկություններով՝ ցանկացած թվի համար p ,հավասար չէ զրոյի, անհավասարությունը ճիշտ է p2 > 0, որից բխում է, որ երբ p ≠ 0հավասարություն p2 = 0երբեք չի հասնի:

Սահմանում 5

Այսպիսով, թերի քառակուսային հավասարման համար x 2 = 0 կա ​​մեկ արմատ x=0.

Օրինակ 2

Օրինակ՝ լուծենք թերի քառակուսի հավասարումը - 3 x 2 = 0. Այն համարժեք է հավասարմանը x2 = 0, նրա միակ արմատն է x=0, ապա սկզբնական հավասարումն ունի մեկ արմատ՝ զրո։

Լուծումը ամփոփված է հետևյալ կերպ.

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0:

a x 2 + c \u003d 0 հավասարման լուծում

Հաջորդը թերի քառակուսի հավասարումների լուծումն է, որտեղ b \u003d 0, c ≠ 0, այսինքն՝ ձևի հավասարումներ a x 2 + c = 0. Եկեք փոխակերպենք այս հավասարումը` տերմինը հավասարման մի կողմից մյուսը փոխանցելով, նշանը փոխելով հակառակի վրա և հավասարման երկու կողմերը բաժանելով մի թվի, որը հավասար չէ զրոյի.

• դիմանալ գդեպի աջ կողմ, որը տալիս է հավասարումը a x 2 = − գ;
• հավասարման երկու կողմերը բաժանիր ա, արդյունքում ստանում ենք x = - c a .

Մեր փոխակերպումները համապատասխանաբար համարժեք են, ստացված հավասարումը նույնպես համարժեք է սկզբնականին, և այս հանգամանքը հնարավորություն է տալիս եզրակացություն անել հավասարման արմատների մասին։ Ինչից են արժեքները աև գկախված է արտահայտության արժեքից - c a: այն կարող է ունենալ մինուս նշան (օրինակ, եթե a = 1և գ = 2, ապա - c a = - 2 1 = - 2) կամ գումարած նշան (օրինակ, եթե a = -2և c=6, ապա - c a = - 6 - 2 = 3); այն հավասար չէ զրոյի, քանի որ գ ≠ 0. Ավելի մանրամասն անդրադառնանք իրավիճակներին, երբ - գ ա< 0 и - c a > 0 .

Այն դեպքում, երբ - գ ա< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа էջհավասարություն p 2 = - c a-ն չի կարող ճշմարիտ լինել:

Ամեն ինչ այլ է, երբ - c a > 0. հիշեք քառակուսի արմատը, և ակնհայտ կդառնա, որ x 2 \u003d - c a հավասարման արմատը կլինի - c a թիվը, քանի որ - c a 2 \u003d - c a: Հեշտ է հասկանալ, որ - - c a - թիվը նույնպես x 2 = - c a հավասարման արմատն է. իսկապես, - - c a 2 = - c a .

Հավասարումն այլ արմատներ չի ունենա։ Մենք կարող ենք դա ցույց տալ՝ օգտագործելով հակառակ մեթոդը։ Նախ, եկեք սահմանենք վերևում հայտնաբերված արմատների նշումը որպես x 1և - x 1. Ենթադրենք, որ x 2 = - c a հավասարումը նույնպես արմատ ունի x2, որը տարբերվում է արմատներից x 1և - x 1. Մենք դա գիտենք՝ փոխարինելով հավասարման մեջ xդրա արմատները, մենք հավասարումը վերածում ենք արդար թվային հավասարության:

Համար x 1և - x 1գրել՝ x 1 2 = - c a , և համար x2- x 2 2 \u003d - գ ա. Ելնելով թվային հավասարումների հատկություններից՝ մենք մեկ այլ անդամից հանում ենք մեկ իրական հավասարություն ըստ անդամի, որը մեզ կտա. x 1 2 − x 2 2 = 0. Օգտագործեք թվերի գործողությունների հատկությունները վերջին հավասարությունը վերագրելու համար որպես (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Հայտնի է, որ երկու թվերի արտադրյալը զրո է, եթե և միայն այն դեպքում, երբ թվերից գոնե մեկը զրո է։ Ասվածից հետեւում է, որ x1 - x2 = 0և/կամ x1 + x2 = 0, որը նույնն է x2 = x1և/կամ x 2 = − x 1. Ակնհայտ հակասություն առաջացավ, քանի որ սկզբում համաձայնություն ձեռք բերվեց, որ հավասարման արմատը x2տարբերվում է x 1և - x 1. Այսպիսով, մենք ապացուցեցինք, որ հավասարումը չունի այլ արմատներ, քան x = - c a և x = - - c a .

Մենք ամփոփում ենք վերը նշված բոլոր փաստարկները:

Սահմանում 6

Անավարտ քառակուսի հավասարում a x 2 + c = 0համարժեք է x 2 = - c a հավասարմանը, որը.

• արմատներ չի ունենա - գ ա< 0 ;
• կունենա երկու արմատ x = - c a և x = - - c a երբ - c a > 0:

Բերենք հավասարումների լուծման օրինակներ a x 2 + c = 0.

Օրինակ 3

Տրվում է քառակուսային հավասարում 9 x 2 + 7 = 0:Պետք է գտնել դրա լուծումը։

Որոշում

Մենք ազատ տերմինը փոխանցում ենք հավասարման աջ կողմ, այնուհետև հավասարումը կվերցնի ձևը 9 x 2 \u003d - 7.
Ստացված հավասարման երկու կողմերը բաժանում ենք 9 , մենք գալիս ենք x 2 = - 7 9: Աջ կողմում տեսնում ենք մինուս նշանով թիվ, որը նշանակում է՝ տրված հավասարումն արմատներ չունի։ Այնուհետև սկզբնական թերի քառակուսի հավասարումը 9 x 2 + 7 = 0արմատներ չի ունենա.

Պատասխան.հավասարումը 9 x 2 + 7 = 0արմատներ չունի.

Օրինակ 4

Անհրաժեշտ է լուծել հավասարումը − x2 + 36 = 0.

Որոշում

Եկեք տեղափոխենք 36-ը դեպի աջ կողմ. − x 2 = − 36.
Եկեք երկու մասերը բաժանենք − 1 , ստանում ենք x2 = 36. Աջ կողմում դրական թիվ է, որից կարելի է եզրակացնել, որ x = 36 կամ x = - 36:
Մենք հանում ենք արմատը և գրում վերջնական արդյունքը՝ ոչ լրիվ քառակուսի հավասարում − x2 + 36 = 0երկու արմատ ունի x=6կամ x = -6.

Պատասխան. x=6կամ x = -6.

a x 2 +b x=0 հավասարման լուծում

Եկեք վերլուծենք երրորդ տեսակի թերի քառակուսի հավասարումները, երբ c = 0. Թերի քառակուսի հավասարման լուծում գտնել a x 2 + b x = 0, մենք օգտագործում ենք ֆակտորացման մեթոդը։ Եկեք գործոնացնենք բազմանդամը, որը գտնվում է հավասարման ձախ կողմում՝ փակագծերից հանելով ընդհանուր գործակիցը. x. Այս քայլը հնարավորություն կտա վերափոխել սկզբնական թերի քառակուսային հավասարումը իր համարժեքի x (a x + b) = 0. Եվ այս հավասարումն իր հերթին համարժեք է հավասարումների բազմությանը x=0և a x + b = 0. Հավասարումը a x + b = 0գծային, և դրա արմատը. x = − b ա.

Սահմանում 7

Այսպիսով, թերի քառակուսի հավասարումը a x 2 + b x = 0երկու արմատ կունենա x=0և x = − b ա.

Համախմբենք նյութը օրինակով.

Օրինակ 5

Անհրաժեշտ է գտնել 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 հավասարման լուծումը:

Որոշում

Եկեք հանենք xփակագծերից դուրս և ստացիր x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 հավասարումը: Այս հավասարումը համարժեք է հավասարումների x=0և 2 3 x - 2 2 7 = 0: Այժմ դուք պետք է լուծեք ստացված գծային հավասարումը. 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3:

Հակիրճ, հավասարման լուծումը գրում ենք հետևյալ կերպ.

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 կամ 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 կամ x = 3 3 7

Պատասխան. x = 0, x = 3 3 7:

Խտրական, քառակուսի հավասարման արմատների բանաձև

Քառակուսային հավասարումների լուծում գտնելու համար կա արմատային բանաձև.

Սահմանում 8

x = - b ± D 2 a, որտեղ D = b 2 − 4 a գքառակուսի հավասարման այսպես կոչված դիսկրիմինանտն է։

x \u003d - b ± D 2 a գրելը ըստ էության նշանակում է, որ x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a:

Օգտակար կլինի հասկանալ, թե ինչպես է ստացվել նշված բանաձևը և ինչպես կիրառել այն:

Քառակուսային հավասարման արմատների բանաձևի ստացում

Ենթադրենք, մեր առջեւ դրված է քառակուսի հավասարումը լուծելու խնդիրը a x 2 + b x + c = 0. Կատարենք մի շարք համարժեք փոխակերպումներ.

• հավասարման երկու կողմերն էլ բաժանիր թվի ազրոյից տարբերվող, մենք ստանում ենք կրճատված քառակուսի հավասարումը. x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• ստացված հավասարման ձախ կողմում ընտրեք լրիվ քառակուսին.
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  Դրանից հետո հավասարումը կունենա ձև՝ x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• այժմ հնարավոր է վերջին երկու անդամները տեղափոխել աջ կողմ՝ փոխելով նշանը հակառակի վրա, որից հետո ստանում ենք՝ x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• վերջապես փոխակերպում ենք վերջին հավասարության աջ կողմում գրված արտահայտությունը.
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2:

Այսպիսով, մենք եկել ենք x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 հավասարմանը, որը համարժեք է սկզբնական հավասարմանը. a x 2 + b x + c = 0.

Նման հավասարումների լուծումը քննարկել ենք նախորդ պարբերություններում (չավարտ քառակուսային հավասարումների լուծում): Արդեն ձեռք բերված փորձը թույլ է տալիս եզրակացություն անել x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 հավասարման արմատների վերաբերյալ.

• b 2 - 4 a c 4 a 2-ի համար< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 համար, հավասարումն ունի x + b 2 · a 2 = 0, ապա x + b 2 · a = 0:

Այստեղից ակնհայտ է միակ արմատը x = - b 2 · a;

• b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0-ի համար ճիշտը հետևյալն է՝ x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 կամ x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , որը նույնը, ինչ x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 կամ x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, այսինքն. հավասարումը երկու արմատ ունի.

Կարելի է եզրակացնել, որ x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 հավասարման արմատների առկայությունը կամ բացակայությունը (և, հետևաբար, սկզբնական հավասարումը) կախված է b 2 - 4 a c արտահայտության նշանից. 4 · աջ կողմում գրված է 2: Եվ այս արտահայտության նշանը տրվում է համարիչի նշանով, (հայտարար 4 ա 2միշտ դրական կլինի), այսինքն՝ արտահայտության նշանը բ 2 − 4 ա գ. Այս արտահայտությունը բ 2 − 4 ա գտրվում է անուն - քառակուսի հավասարման դիսկրիմինանտ և որպես դրա նշանակում է սահմանվում D տառը: Այստեղ դուք կարող եք գրել դիսկրիմինանտի էությունը՝ ըստ արժեքի և նշանի, նրանք եզրակացնում են, թե արդյոք քառակուսի հավասարումը կունենա իրական արմատներ, և եթե այո, ապա քանի՞ արմատ՝ մեկ կամ երկու:

Վերադառնանք x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 հավասարմանը: Եկեք այն վերագրենք՝ օգտագործելով տարբերակիչ նշումը՝ x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 :

Եկեք ամփոփենք եզրակացությունները.

Սահմանում 9

• ժամը Դ< 0 հավասարումը չունի իրական արմատներ.
• ժամը D=0հավասարումն ունի մեկ արմատ x = - b 2 · a ;
• ժամը D > 0հավասարումն ունի երկու արմատ՝ x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 կամ x \u003d - b 2 a - D 4 a 2: Ռադիկալների հատկությունների հիման վրա այս արմատները կարելի է գրել հետևյալ կերպ՝ x \u003d - b 2 a + D 2 a կամ - b 2 a - D 2 a: Եվ երբ մենք բացում ենք մոդուլները և կրճատում ենք կոտորակները ընդհանուր հայտարարի, ստանում ենք՝ x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a:

Այսպիսով, մեր հիմնավորման արդյունքը եղավ քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևի ստացումը.

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, տարբերակիչ Դհաշվարկված բանաձևով D = b 2 − 4 a գ.

Այս բանաձևերը հնարավորություն են տալիս, երբ դիսկրիմինանտը զրոյից մեծ է, որոշել երկու իրական արմատները: Երբ դիսկրիմինանտը զրոյական է, երկու բանաձևերի կիրառումը կտա նույն արմատը, որպես քառակուսի հավասարման միակ լուծումը: Այն դեպքում, երբ դիսկրիմինանտը բացասական է՝ փորձելով օգտագործել քառակուսի արմատային բանաձևը, մենք կկանգնենք բացասական թվի քառակուսի արմատը հանելու անհրաժեշտության առաջ, որը մեզ կտանի իրական թվերից դուրս։ Բացասական դիսկրիմինանտի դեպքում քառակուսի հավասարումը իրական արմատներ չի ունենա, բայց հնարավոր է մի զույգ բարդ խոնարհված արմատներ, որոնք որոշվում են նույն արմատային բանաձևերով, որոնք մենք ստացել ենք:

Արմատային բանաձևերի միջոցով քառակուսի հավասարումների լուծման ալգորիթմ

Հնարավոր է լուծել քառակուսի հավասարումը անմիջապես օգտագործելով արմատային բանաձևը, բայց հիմնականում դա արվում է, երբ անհրաժեշտ է գտնել բարդ արմատներ:

Շատ դեպքերում որոնումը սովորաբար նախատեսված է ոչ թե բարդ, այլ քառակուսի հավասարման իրական արմատների համար: Այնուհետև օպտիմալ է, նախքան քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևերը օգտագործելը, նախ որոշել դիսկրիմինանտը և համոզվել, որ այն բացասական չէ (հակառակ դեպքում մենք կեզրակացնենք, որ հավասարումը իրական արմատներ չունի), այնուհետև անցնել հաշվարկին. արմատների արժեքը.

Վերոնշյալ պատճառաբանությունը հնարավորություն է տալիս ձևակերպել քառակուսի հավասարման լուծման ալգորիթմ:

Սահմանում 10

Քառակուսային հավասարումը լուծելու համար a x 2 + b x + c = 0, անհրաժեշտ:

• ըստ բանաձևի D = b 2 − 4 a գգտնել տարբերակիչի արժեքը.
• ժամը Դ< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• D = 0-ի համար գտե՛ք հավասարման միակ արմատը x = - b 2 · a բանաձեւով;
• D > 0-ի համար որոշեք քառակուսային հավասարման երկու իրական արմատները x = - b ± D 2 · a բանաձևով:

Նկատի ունեցեք, որ երբ դիսկրիմինատորը զրոյական է, կարող եք օգտագործել x = - b ± D 2 · a բանաձևը, այն կտա նույն արդյունքը, ինչ x = - b 2 · a բանաձևը:

Նկատի առ օրինակներ։

Քառակուսային հավասարումների լուծման օրինակներ

Ներկայացնում ենք տարբերակիչի տարբեր արժեքների օրինակների լուծումը։

Օրինակ 6

Անհրաժեշտ է գտնել հավասարման արմատները x 2 + 2 x - 6 = 0.

Որոշում

Մենք գրում ենք քառակուսի հավասարման թվային գործակիցները՝ a \u003d 1, b \u003d 2 և գ = - 6. Հաջորդը, մենք գործում ենք ըստ ալգորիթմի, այսինքն. Սկսենք հաշվարկել դիսկրիմինանտը, որի համար փոխարինում ենք a , b գործակիցները. և գտարբերակիչ բանաձևի մեջ. D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28:

Այսպիսով, մենք ստացանք D > 0, ինչը նշանակում է, որ սկզբնական հավասարումը կունենա երկու իրական արմատ:
Դրանք գտնելու համար մենք օգտագործում ենք արմատային բանաձևը x \u003d - b ± D 2 · a և, փոխարինելով համապատասխան արժեքները, ստանում ենք. x \u003d - 2 ± 28 2 · 1: Ստացված արտահայտությունը պարզեցնում ենք՝ գործակիցը հանելով արմատի նշանից, որին հաջորդում է կոտորակի կրճատումը.

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 կամ x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 կամ x = - 1 - 7

Պատասխան. x = - 1 + 7, x = - 1 - 7:

Օրինակ 7

Անհրաժեշտ է լուծել քառակուսի հավասարում − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Որոշում

Սահմանենք դիսկրիմինատորը. D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Խտրականի այս արժեքով սկզբնական հավասարումը կունենա միայն մեկ արմատ, որը որոշվում է x = - b 2 · a բանաձևով:

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Պատասխան. x = 3, 5.

Օրինակ 8

Անհրաժեշտ է լուծել հավասարումը 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Որոշում

Այս հավասարման թվային գործակիցները կլինեն՝ a = 5 , b = 6 եւ c = 2 : Մենք օգտագործում ենք այս արժեքները տարբերակիչը գտնելու համար՝ D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4: Հաշվարկված դիսկրիմինանտը բացասական է, ուստի սկզբնական քառակուսի հավասարումը իրական արմատներ չունի:

Այն դեպքում, երբ խնդիրը բարդ արմատներ նշելն է, մենք կիրառում ենք արմատային բանաձևը՝ կատարելով գործողություններ բարդ թվերով.

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 կամ x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i կամ x = - 3 5 - 1 5 i.

Պատասխան.իրական արմատներ չկան. բարդ արմատներն են՝ - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

Դպրոցական ծրագրում, որպես չափորոշիչ, բարդ արմատներ փնտրելու պահանջ չկա, հետևաբար, եթե լուծման ժամանակ սահմանվում է որպես բացասական, անմիջապես պատասխան է արձանագրվում, որ իրական արմատներ չկան։

Արմատային բանաձև նույնիսկ երկրորդ գործակիցների համար

Արմատային բանաձևը x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) հնարավորություն է տալիս ստանալ մեկ այլ բանաձև, ավելի կոմպակտ, որը թույլ է տալիս գտնել քառակուսի հավասարումների լուծումներ՝ x-ով հավասար գործակցով (կամ գործակցով): 2 a n ձևի, օրինակ՝ 2 3 կամ 14 ln 5 = 2 7 ln 5): Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես է ստացվել այս բանաձևը:

Ենթադրենք, մեր առջեւ խնդիր է դրված գտնել a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 քառակուսային հավասարման լուծումը: Մենք գործում ենք ըստ ալգորիթմի. մենք որոշում ենք տարբերակիչ D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , այնուհետև օգտագործում ենք արմատային բանաձևը.

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · գ ա .

Թող n 2 − a c արտահայտությունը նշանակվի որպես D 1 (երբեմն այն նշանակվում է D "): Այնուհետև դիտարկված քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևը երկրորդ 2 n գործակցով կունենա հետևյալ ձևը.

x \u003d - n ± D 1 a, որտեղ D 1 \u003d n 2 - a c.

Հեշտ է տեսնել, որ D = 4 · D 1, կամ D 1 = D 4: Այսինքն՝ D 1-ը խտրականի քառորդն է։ Ակնհայտորեն, D 1 նշանը նույնն է, ինչ D նշանը, ինչը նշանակում է, որ D 1 նշանը կարող է նաև ծառայել որպես քառակուսի հավասարման արմատների առկայության կամ բացակայության ցուցիչ:

Սահմանում 11

Այսպիսով, 2 n երկրորդ գործակցով քառակուսի հավասարման լուծում գտնելու համար անհրաժեշտ է.

• գտնել D 1 = n 2 − a c ;
• Դ 1 հասցեում< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 = 0-ի համար որոշեք հավասարման միակ արմատը x = - n a բանաձեւով;
• D 1 > 0-ի համար որոշեք երկու իրական արմատներ՝ օգտագործելով x = - n ± D 1 a բանաձեւը:

Օրինակ 9

Անհրաժեշտ է լուծել 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0 քառակուսային հավասարումը։

Որոշում

Տվյալ հավասարման երկրորդ գործակիցը կարելի է ներկայացնել որպես 2 · (− 3) ։ Այնուհետև մենք վերագրում ենք տրված քառակուսային հավասարումը որպես 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0, որտեղ a = 5, n = − 3 և c = − 32:

Հաշվենք դիսկրիմինանտի չորրորդ մասը՝ D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 ։ Ստացված արժեքը դրական է, ինչը նշանակում է, որ հավասարումն ունի երկու իրական արմատ: Մենք դրանք սահմանում ենք արմատների համապատասխան բանաձևով.

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 կամ x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 կամ x = - 2

Հնարավոր կլիներ հաշվարկներ կատարել՝ օգտագործելով քառակուսի հավասարման արմատների սովորական բանաձևը, բայց այս դեպքում լուծումն ավելի դժվար կլիներ։

Պատասխան. x = 3 1 5 կամ x = - 2:

Քառակուսային հավասարումների ձևի պարզեցում

Երբեմն հնարավոր է լինում օպտիմալացնել սկզբնական հավասարման ձևը, ինչը կհեշտացնի արմատների հաշվարկման գործընթացը։

Օրինակ, քառակուսի հավասարումը 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 ակնհայտորեն ավելի հարմար է լուծելու համար, քան 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0:

Ավելի հաճախ քառակուսի հավասարման ձևի պարզեցումը կատարվում է դրա երկու մասերը որոշակի թվով բազմապատկելով կամ բաժանելով։ Օրինակ, վերևում մենք ցույց տվեցինք 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 հավասարման պարզեցված պատկերը, որը ստացվել է դրա երկու մասերը 100-ի բաժանելով:

Նման փոխակերպումը հնարավոր է, երբ քառակուսի հավասարման գործակիցները համեմատաբար պարզ թվեր չեն։ Այնուհետև, սովորաբար, հավասարման երկու մասերը բաժանվում են նրա գործակիցների բացարձակ արժեքների ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարով:

Որպես օրինակ՝ մենք օգտագործում ենք քառակուսի հավասարումը 12 x 2 − 42 x + 48 = 0: Եկեք սահմանենք նրա գործակիցների բացարձակ արժեքների gcd-ն՝ gcd (12, 42, 48) = gcd(gcd (12, 42) , 48) = gcd (6, 48) = 6: Եկեք բաժանենք սկզբնական քառակուսային հավասարման երկու մասերը 6-ի և ստացենք համարժեք քառակուսային հավասարում 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0:

Քառակուսային հավասարման երկու կողմերը բազմապատկելով՝ կոտորակային գործակիցները սովորաբար վերացվում են։ Այս դեպքում բազմապատկեք նրա գործակիցների հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկով: Օրինակ, եթե 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 քառակուսի հավասարման յուրաքանչյուր մասը բազմապատկվի LCM (6, 3, 1) \u003d 6-ով, ապա այն կգրվի ավելի պարզ ձևով x 2 +: 4 x - 18 = 0:

Ի վերջո, մենք նշում ենք, որ գրեթե միշտ ազատվում ենք քառակուսի հավասարման առաջին գործակցի մինուսից՝ փոխելով հավասարման յուրաքանչյուր անդամի նշանները, ինչը ձեռք է բերվում երկու մասերը − 1-ով բազմապատկելով (կամ բաժանելով): Օրինակ, քառակուսի հավասարումից - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, կարող եք գնալ դրա պարզեցված տարբերակին 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0:

Արմատների և գործակիցների կապը

Քառակուսային հավասարումների արմատների արդեն հայտնի բանաձեւը x = - b ± D 2 · a արտահայտում է հավասարման արմատները նրա թվային գործակիցներով: Այս բանաձևի հիման վրա մենք հնարավորություն ունենք արմատների և գործակիցների միջև սահմանել այլ կախվածություններ։

Առավել հայտնի և կիրառելի են Վիետայի թեորեմի բանաձևերը.

x 1 + x 2 \u003d - b a և x 2 \u003d c a.

Մասնավորապես, տրված քառակուսային հավասարման համար արմատների գումարը հակառակ նշանով երկրորդ գործակիցն է, իսկ արմատների արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին։ Օրինակ՝ 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0 քառակուսի հավասարման ձևով կարելի է անմիջապես որոշել, որ դրա արմատների գումարը 7 3 է, իսկ արմատների արտադրյալը՝ 22 3։

Կարող եք նաև գտնել մի շարք այլ հարաբերություններ քառակուսի հավասարման արմատների և գործակիցների միջև: Օրինակ, քառակուսի հավասարման արմատների քառակուսիների գումարը կարող է արտահայտվել գործակիցներով.

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2:

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Շարունակում ենք ուսումնասիրել թեման հավասարումների լուծում«. Մենք արդեն ծանոթացել ենք գծային հավասարումների հետ և այժմ պատրաստվում ենք ծանոթանալ քառակուսի հավասարումներ.

Նախ, մենք կքննարկենք, թե ինչ է քառակուսի հավասարումը, ինչպես է այն գրվում ընդհանուր ձևով և կտանք համապատասխան սահմանումներ: Դրանից հետո, օրինակներով, մանրամասն կվերլուծենք, թե ինչպես են լուծվում թերի քառակուսի հավասարումները։ Այնուհետև մենք անցնում ենք ամբողջական հավասարումների լուծմանը, ստանում ենք արմատների բանաձևը, ծանոթանում ենք քառակուսի հավասարման դիսկրիմինանտին և դիտարկում բնորոշ օրինակների լուծումները։ Ի վերջո, մենք հետևում ենք արմատների և գործակիցների միջև կապերին:

Էջի նավարկություն.

Ի՞նչ է քառակուսի հավասարումը: Նրանց տեսակները

Նախ պետք է հստակ հասկանալ, թե ինչ է քառակուսի հավասարումը: Ուստի տրամաբանական է քառակուսի հավասարումների մասին խոսել քառակուսի հավասարման, ինչպես նաև դրա հետ կապված սահմանումներով։ Դրանից հետո կարող եք դիտարկել քառակուսի հավասարումների հիմնական տեսակները՝ կրճատված և չկրճատված, ինչպես նաև ամբողջական և թերի հավասարումներ։

Քառակուսային հավասարումների սահմանում և օրինակներ

Սահմանում.

Քառակուսային հավասարումձևի հավասարումն է a x 2 +b x+c=0, որտեղ x-ը փոփոխական է, a-ն, b-ը և c-ն որոշ թվեր են, իսկ a-ն տարբերվում է զրոյից:

Անմիջապես ասենք, որ քառակուսի հավասարումները հաճախ կոչվում են երկրորդ աստիճանի հավասարումներ։ Դա պայմանավորված է նրանով, որ քառակուսի հավասարումը հանրահաշվական հավասարումերկրորդ աստիճան.

Հնչած սահմանումը թույլ է տալիս մեզ բերել քառակուսի հավասարումների օրինակներ: Այսպիսով, 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0 և այլն: քառակուսի հավասարումներ են։

Սահմանում.

Թվեր a , b և c կոչվում են քառակուսի հավասարման գործակիցները a x 2 + b x + c \u003d 0, իսկ a գործակիցը կոչվում է առաջին, կամ ավագ, կամ գործակից x 2-ում, b-ը երկրորդ գործակիցն է, կամ գործակիցը x-ում, իսկ c-ն ազատ անդամ է:

Օրինակ՝ վերցնենք 5 x 2 −2 x−3=0 ձևի քառակուսային հավասարումը, այստեղ առաջատար գործակիցը 5 է, երկրորդը՝ −2, իսկ ազատ անդամը՝ −3։ Նկատի ունեցեք, որ երբ b և/կամ c գործակիցները բացասական են, ինչպես հենց բերված օրինակում, օգտագործվում է 5 x 2 −2 x−3=0 ձևի քառակուսի հավասարման կարճ ձևը, այլ ոչ թե 5 x 2 +(−): 2 )x+(−3)=0.

Հարկ է նշել, որ երբ a և/կամ b գործակիցները հավասար են 1-ի կամ −1-ի, ապա դրանք սովորաբար հստակորեն առկա չեն քառակուսի հավասարման նշման մեջ, ինչը պայմանավորված է այդպիսի նիշի առանձնահատկություններով: Օրինակ՝ y 2 −y+3=0 քառակուսի հավասարման մեջ առաջատար գործակիցը մեկն է, իսկ y-ի գործակիցը −1 է։

Կրճատված և ոչ կրճատված քառակուսի հավասարումներ

Կախված առաջատար գործակցի արժեքից՝ առանձնանում են կրճատված և չկրճատված քառակուսի հավասարումներ։ Տանք համապատասխան սահմանումները։

Սահմանում.

Կոչվում է քառակուսի հավասարումը, որի առաջատար գործակիցը 1 է կրճատված քառակուսի հավասարում. Հակառակ դեպքում, քառակուսի հավասարումը չկրճատված.

Ըստ այս սահմանման՝ քառակուսի հավասարումները x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 և այլն։ - նվազեցված, նրանցից յուրաքանչյուրում առաջին գործակիցը հավասար է մեկի։ Եվ 5 x 2 −x−1=0 և այլն: - չկրճատված քառակուսի հավասարումներ, դրանց առաջատար գործակիցները տարբերվում են 1-ից:

Ցանկացած չկրճատված քառակուսի հավասարումից, նրա երկու մասերը բաժանելով առաջատար գործակցի վրա, կարող եք անցնել կրճատվածին։ Այս գործողությունը համարժեք փոխակերպում է, այսինքն՝ այս կերպ ստացված կրճատված քառակուսի հավասարումն ունի նույն արմատները, ինչ սկզբնական չկրճատված քառակուսային հավասարումը, կամ, ինչպես դա, չունի արմատներ։

Բերենք օրինակ, թե ինչպես է կատարվում անցումը չկրճատված քառակուսային հավասարումից դեպի կրճատված:

Օրինակ.

3 x 2 +12 x−7=0 հավասարումից անցեք համապատասխան կրճատված քառակուսային հավասարմանը։

Որոշում.

Բավական է, որ կատարենք սկզբնական հավասարման երկու մասերի բաժանումը առաջատար 3 գործակցով, այն զրոյական չէ, ուստի կարող ենք կատարել այս գործողությունը։ Մենք ունենք (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , որը նույնն է, ինչ (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, և այլն (3): :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, որտեղից . Այսպիսով, մենք ստացանք կրճատված քառակուսի հավասարումը, որը համարժեք է սկզբնականին:

Պատասխան.

Ամբողջական և թերի քառակուսի հավասարումներ

Քառակուսային հավասարման սահմանման մեջ կա a≠0 պայման. Այս պայմանն անհրաժեշտ է, որպեսզի a x 2 +b x+c=0 հավասարումը լինի ճիշտ քառակուսի, քանի որ a=0-ով այն փաստացի դառնում է b x+c=0 ձևի գծային հավասարում:

Ինչ վերաբերում է b և c գործակիցներին, ապա դրանք կարող են հավասար լինել զրոյի և՛ առանձին, և՛ միասին։ Այս դեպքերում քառակուսի հավասարումը կոչվում է թերի:

Սահմանում.

Կոչվում է a x 2 +b x+c=0 քառակուսի հավասարումը թերի, եթե b , c գործակիցներից գոնե մեկը հավասար է զրոյի։

Իր հերթին

Սահմանում.

Ամբողջական քառակուսի հավասարումհավասարում է, որտեղ բոլոր գործակիցները տարբերվում են զրոյից:

Այս անունները պատահական չեն տրված։ Սա պարզ կդառնա հաջորդ քննարկումից։

Եթե ​​b գործակիցը հավասար է զրոյի, ապա քառակուսի հավասարումը ստանում է a x 2 +0 x+c=0 ձևը, և ​​այն համարժեք է a x 2 +c=0 հավասարմանը: Եթե ​​c=0, այսինքն՝ քառակուսի հավասարումը ունի a x 2 +b x+0=0 ձևը, ապա այն կարելի է վերագրել x 2 +b x=0 ձևով։ Իսկ b=0-ով և c=0-ով ստանում ենք a·x 2 =0 քառակուսային հավասարումը: Ստացված հավասարումները տարբերվում են լրիվ քառակուսային հավասարումից նրանով, որ դրանց ձախ կողմերը չեն պարունակում ո՛չ x փոփոխականով անդամ, ո՛չ ազատ անդամ, ո՛չ էլ երկուսն էլ։ Այստեղից էլ նրանց անվանումը՝ ոչ լրիվ քառակուսի հավասարումներ։

Այսպիսով, x 2 +x+1=0 և −2 x 2 −5 x+0,2=0 հավասարումները ամբողջական քառակուսի հավասարումների օրինակներ են, և x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3: =0 , −x 2 −5 x=0 թերի քառակուսի հավասարումներ են։

Թերի քառակուսի հավասարումների լուծում

Նախորդ պարբերության տեղեկատվությունից բխում է, որ կա երեք տեսակի թերի քառակուսի հավասարումներ:

• a x 2 =0 , դրան համապատասխանում են b=0 և c=0 գործակիցները;
• a x 2 +c=0 երբ b=0 ;
• և a x 2 +b x=0 երբ c=0 .

Եկեք հերթականությամբ վերլուծենք, թե ինչպես են լուծվում այս տեսակներից յուրաքանչյուրի ոչ լրիվ քառակուսի հավասարումները:

a x 2 \u003d 0

Սկսենք թերի քառակուսի հավասարումների լուծումից, որոնցում b և c գործակիցները հավասար են զրոյի, այսինքն՝ a x 2 =0 ձևի հավասարումներով։ a·x 2 =0 հավասարումը համարժեք է x 2 =0 հավասարմանը, որը ստացվում է բնագրից՝ բաժանելով դրա երկու մասերը ոչ զրոյական a թվի վրա։ Ակնհայտ է, որ x 2 \u003d 0 հավասարման արմատը զրո է, քանի որ 0 2 \u003d 0: Այս հավասարումը չունի այլ արմատներ, ինչը բացատրվում է, որ, իրոք, ցանկացած ոչ զրոյական p թվի համար տեղի է ունենում p 2 >0 անհավասարությունը, ինչը ենթադրում է, որ p≠0-ի համար p 2 =0 հավասարությունը երբեք չի ստացվում:

Այսպիսով, թերի քառակուսային հավասարումը a x 2 \u003d 0 ունի մեկ արմատ x \u003d 0:

Որպես օրինակ՝ տալիս ենք −4·x 2 =0 թերի քառակուսային հավասարման լուծումը։ Այն համարժեք է x 2 \u003d 0 հավասարմանը, դրա միակ արմատը x \u003d 0 է, հետևաբար, սկզբնական հավասարումն ունի մեկ արմատ զրո:

Կարճ լուծում այս դեպքում կարող է տրվել հետևյալ կերպ.
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0.

a x 2 +c=0

Այժմ դիտարկենք, թե ինչպես են լուծվում թերի քառակուսի հավասարումները, որոնցում b գործակիցը հավասար է զրոյի, իսկ c≠0, այսինքն՝ a x 2 +c=0 ձևի հավասարումներ։ Մենք գիտենք, որ հավասարման մի կողմից մյուս կողմը հակառակ նշանով տերմինի տեղափոխումը, ինչպես նաև հավասարման երկու կողմերի բաժանումը ոչ զրոյական թվի վրա տալիս են համարժեք հավասարում։ Հետևաբար, թերի քառակուսի հավասարման հետևյալ համարժեք փոխակերպումները կարող են կատարվել a x 2 +c=0.

• տեղափոխեք c-ն աջ կողմ, որը տալիս է x 2 =−c հավասարումը,
• և նրա երկու մասերը բաժանում ենք a-ի, ստանում ենք.

Ստացված հավասարումը թույլ է տալիս եզրակացություններ անել դրա արմատների մասին: Կախված a-ի և c-ի արժեքներից՝ արտահայտության արժեքը կարող է լինել բացասական (օրինակ, եթե a=1 և c=2, ապա ) կամ դրական, (օրինակ՝ a=−2 և c=6. , ապա ), այն հավասար չէ զրոյի, քանի որ c≠0 պայմանով։ Առանձին-առանձին կվերլուծենք դեպքերը և .

Եթե ​​, ապա հավասարումն արմատներ չունի։ Այս պնդումը բխում է նրանից, որ ցանկացած թվի քառակուսին ոչ բացասական թիվ է։ Այստեղից հետևում է, որ երբ , ապա ցանկացած p թվի համար հավասարությունը չի կարող ճշմարիտ լինել։

Եթե ​​, ապա հավասարման արմատների հետ կապված իրավիճակը տարբեր է: Այս դեպքում, եթե հիշենք, ապա հավասարման արմատը անմիջապես ակնհայտ է դառնում, դա թիվն է, քանի որ. Հեշտ է կռահել, որ թիվը նույնպես հավասարման արմատն է, իսկապես, . Այս հավասարումը չունի այլ արմատներ, որոնք կարելի է ցույց տալ, օրինակ, հակասությամբ։ Եկեք անենք դա.

Հավասարման հենց հնչեցված արմատները նշանակենք x 1 և −x 1: Ենթադրենք, որ հավասարումն ունի մեկ այլ արմատ x 2, որը տարբերվում է նշված x 1 և −x 1 արմատներից: Հայտնի է, որ դրա արմատների x-ի փոխարեն հավասարման մեջ փոխարինելը հավասարումը վերածում է իրական թվային հավասարության։ x 1-ի և −x 1-ի համար մենք ունենք , իսկ x 2-ի համար ունենք . Թվային հավասարումների հատկությունները մեզ թույլ են տալիս կատարել իրական թվային հավասարումների տերմին առ անդամ հանում, ուստի հավասարումների համապատասխան մասերը հանելուց ստացվում է x 1 2 − x 2 2 =0: Թվերով գործողությունների հատկությունները թույլ են տալիս ստացված հավասարությունը վերաշարադրել որպես (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0: Մենք գիտենք, որ երկու թվերի արտադրյալը հավասար է զրոյի, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրանցից գոնե մեկը հավասար է զրոյի։ Ուստի ստացված հավասարությունից բխում է, որ x 1 −x 2 =0 և/կամ x 1 +x 2 =0 , որը նույնն է, x 2 =x 1 և/կամ x 2 = −x 1։ Այսպիսով, մենք եկել ենք հակասության, քանի որ սկզբում մենք ասում էինք, որ x 2 հավասարման արմատը տարբերվում է x 1-ից և −x 1-ից: Սա ապացուցում է, որ հավասարումը չունի այլ արմատներ, քան և .

Եկեք ամփոփենք այս պարբերության տեղեկատվությունը: Թերի քառակուսի հավասարումը a x 2 +c=0 համարժեք է այն հավասարմանը, որը

• արմատներ չունի, եթե,
• ունի երկու արմատ և եթե .

Դիտարկենք a·x 2 +c=0 ձևի ոչ լրիվ քառակուսային հավասարումների լուծման օրինակներ:

Սկսենք քառակուսի հավասարումից 9 x 2 +7=0 . Ազատ անդամը հավասարման աջ կողմ տեղափոխելուց հետո այն կստանա 9·x 2 =−7 ձև: Ստացված հավասարման երկու կողմերը բաժանելով 9-ի, մենք հասնում ենք. Քանի որ աջ կողմում ստացվում է բացասական թիվ, այս հավասարումն արմատներ չունի, հետևաբար, սկզբնական թերի քառակուսի 9 x 2 +7=0 հավասարումն արմատներ չունի։

Լուծենք ևս մեկ ոչ լրիվ քառակուսի հավասարում −x 2 +9=0։ Մենք ինը տեղափոխում ենք աջ կողմը՝ -x 2 \u003d -9: Այժմ երկու մասերը բաժանում ենք −1-ի, ստանում ենք x 2 =9։ Աջ կողմը պարունակում է դրական թիվ, որից մենք եզրակացնում ենք, որ կամ . Վերջնական պատասխանը գրելուց հետո. −x 2 +9=0 թերի քառակուսի հավասարումը ունի երկու արմատ x=3 կամ x=−3:

a x 2 +b x=0

Մնում է զբաղվել վերջին տիպի թերի քառակուսի հավասարումների լուծումով c=0-ի համար: a x 2 +b x=0 ձևի ոչ լրիվ քառակուսի հավասարումները թույլ են տալիս լուծել ֆակտորացման մեթոդ. Ակնհայտ է, որ մենք կարող ենք, որը գտնվում է հավասարման ձախ կողմում, որի համար բավական է փակագծերից հանել ընդհանուր x գործակիցը: Սա մեզ թույլ է տալիս սկզբնական թերի քառակուսային հավասարումից անցնել x·(a·x+b)=0 ձևի համարժեք հավասարման: Եվ այս հավասարումը համարժեք է x=0 և a x+b=0 երկու հավասարումների բազմությանը, որոնցից վերջինը գծային է և ունի x=−b/a արմատ։

Այսպիսով, a x 2 +b x=0 թերի քառակուսի հավասարումը ունի երկու արմատ x=0 և x=−b/a:

Նյութը համախմբելու համար մենք կվերլուծենք կոնկրետ օրինակի լուծումը:

Օրինակ.

Լուծե՛ք հավասարումը.

Որոշում.

Փակագծերից հանում ենք x-ը, սա տալիս է հավասարումը. Այն համարժեք է երկու հավասարումների x=0 և . Ստացված գծային հավասարումը լուծում ենք՝ , և խառը թիվը սովորական կոտորակի վրա բաժանելուց հետո գտնում ենք. Հետևաբար, սկզբնական հավասարման արմատներն են x=0 և .

Անհրաժեշտ պրակտիկա ստանալուց հետո նման հավասարումների լուծումները կարելի է հակիրճ գրել.

Պատասխան.

x=0, .

Խտրական, քառակուսի հավասարման արմատների բանաձև

Քառակուսային հավասարումներ լուծելու համար կա արմատային բանաձև. Եկեք գրենք քառակուսի հավասարման արմատների բանաձեւը, որտեղ D=b 2 −4 a գ- այսպես կոչված քառակուսի հավասարման տարբերակիչ. Նշումն ըստ էության նշանակում է, որ.

Օգտակար է իմանալ, թե ինչպես է ստացվել արմատային բանաձևը և ինչպես է այն կիրառվում քառակուսի հավասարումների արմատները գտնելիս: Եկեք զբաղվենք սրանով:

Քառակուսային հավասարման արմատների բանաձևի ստացում

Եկեք լուծենք քառակուսի հավասարումը a·x 2 +b·x+c=0: Եկեք կատարենք մի քանի համարժեք փոխակերպումներ.

• Այս հավասարման երկու մասերը կարող ենք բաժանել ոչ զրոյական a թվի, արդյունքում ստանում ենք կրճատված քառակուսի հավասարումը։
• Հիմա ընտրեք ամբողջական քառակուսիիր ձախ կողմում. Դրանից հետո հավասարումը կվերցնի ձևը.
• Այս փուլում հնարավոր է վերջին երկու տերմինների փոխանցումը դեպի աջ հակառակ նշանով, ունենք .
• Եվ նաև փոխակերպենք աջ կողմի արտահայտությունը՝ .

Արդյունքում մենք հասնում ենք հավասարմանը, որը համարժեք է սկզբնական քառակուսային հավասարմանը a·x 2 +b·x+c=0:

Մենք արդեն լուծել ենք ձևով նման հավասարումներ նախորդ պարբերություններում, երբ վերլուծեցինք: Սա թույլ է տալիս մեզ անել հետևյալ եզրակացությունները հավասարման արմատների վերաբերյալ.

• եթե , ապա հավասարումը չունի իրական լուծումներ.
• եթե , ապա հավասարումը ունի ձև, հետևաբար, , որից երևում է նրա միակ արմատը.
• եթե , ապա կամ , որը նույնն է կամ , այսինքն՝ հավասարումն ունի երկու արմատ։

Այսպիսով, հավասարման արմատների առկայությունը կամ բացակայությունը, հետևաբար, սկզբնական քառակուսի հավասարումը կախված է աջ կողմի արտահայտության նշանից: Իր հերթին, այս արտահայտության նշանը որոշվում է համարիչի նշանով, քանի որ 4 a 2 հայտարարը միշտ դրական է, այսինքն՝ b 2 −4 a c արտահայտության նշանը։ Այս b 2 −4 a c արտահայտությունը կոչվում է քառակուսի հավասարման տարբերակիչև նշվում է տառով Դ. Այստեղից պարզ է դիսկրիմինանտի էությունը՝ իր արժեքով և նշանով եզրակացվում է, թե արդյոք քառակուսի հավասարումը իրական արմատներ ունի, և եթե այո, ապա ո՞րն է դրանց թիվը՝ մեկ կամ երկու։

Մենք վերադառնում ենք հավասարմանը, այն վերագրում ենք՝ օգտագործելով տարբերակիչի նշումը. Եվ մենք եզրակացնում ենք.

• եթե Դ<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• եթե D=0, ապա այս հավասարումն ունի մեկ արմատ.
• վերջապես, եթե D>0, ապա հավասարումը ունի երկու արմատ կամ , որոնք կարելի է վերաշարադրել կամ ձևով և կոտորակները ընդլայնելուց և ընդհանուր հայտարարի հասցնելուց հետո ստանում ենք .

Այսպիսով, մենք ստացանք քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևերը, դրանք նման են , որտեղ դիսկրիմինանտ D-ը հաշվարկվում է D=b 2 −4 a c բանաձևով:

Դրանց օգնությամբ, դրական տարբերակիչով, կարող եք հաշվարկել քառակուսի հավասարման երկու իրական արմատները: Երբ դիսկրիմինանտը հավասար է զրոյի, երկու բանաձևերն էլ տալիս են նույն արմատային արժեքը, որը համապատասխանում է քառակուսի հավասարման միակ լուծմանը: Իսկ բացասական տարբերակիչով, երբ փորձում ենք օգտագործել քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևը, մենք բախվում ենք բացասական թվից քառակուսի արմատ հանելուն, ինչը մեզ դուրս է բերում դպրոցական ուսումնական ծրագրի շրջանակներից: Բացասական տարբերակիչով քառակուսի հավասարումը չունի իրական արմատներ, բայց ունի զույգ բարդ կոնյուգատարմատներ, որոնք կարելի է գտնել օգտագործելով նույն արմատային բանաձևերը, որոնք մենք ստացել ենք:

Արմատային բանաձևերի միջոցով քառակուսի հավասարումների լուծման ալգորիթմ

Գործնականում քառակուսի հավասարումը լուծելիս կարող եք անմիջապես օգտագործել արմատային բանաձևը, որով կարելի է հաշվարկել դրանց արժեքները։ Բայց սա ավելի շատ բարդ արմատներ գտնելու մասին է:

Այնուամենայնիվ, դպրոցական հանրահաշվի դասընթացում մենք սովորաբար խոսում ենք ոչ թե բարդ, այլ քառակուսի հավասարման իրական արմատների մասին: Այս դեպքում խորհուրդ է տրվում նախ գտնել դիսկրիմինատորը, նախքան քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևերը օգտագործելը, համոզվեք, որ այն ոչ բացասական է (հակառակ դեպքում կարող ենք եզրակացնել, որ հավասարումը իրական արմատներ չունի), և դրանից հետո. հաշվարկել արմատների արժեքները.

Վերոնշյալ պատճառաբանությունը մեզ թույլ է տալիս գրել քառակուսի հավասարման լուծման ալգորիթմ. a x 2 + b x + c \u003d 0 քառակուսային հավասարումը լուծելու համար ձեզ հարկավոր է.

• օգտագործելով տարբերակիչ բանաձեւը D=b 2 −4 a c հաշվարկել դրա արժեքը;
• եզրակացնել, որ քառակուսի հավասարումը չունի իրական արմատներ, եթե դիսկրիմինանտը բացասական է.
• հաշվարկել հավասարման միակ արմատը՝ օգտագործելով D=0 ;
• Գտեք քառակուսի հավասարման երկու իրական արմատներ՝ օգտագործելով արմատային բանաձևը, եթե դիսկրիմինանտը դրական է:

Այստեղ մենք միայն նշում ենք, որ եթե դիսկրիմինատորը հավասար է զրոյի, ապա կարող է օգտագործվել նաև բանաձևը, այն կտա նույն արժեքը, ինչ .

Կարող եք անցնել քառակուսի հավասարումների լուծման ալգորիթմի կիրառման օրինակներին։

Քառակուսային հավասարումների լուծման օրինակներ

Դիտարկենք երեք քառակուսի հավասարումների լուծումներ՝ դրական, բացասական և զրո դիսկրիմինանտներով: Անդրադառնալով դրանց լուծմանը՝ անալոգիայի միջոցով հնարավոր կլինի լուծել ցանկացած այլ քառակուսի հավասարում: Եկ սկսենք.

Օրինակ.

Գտե՛ք x 2 +2 x−6=0 հավասարման արմատները:

Որոշում.

Այս դեպքում ունենք քառակուսային հավասարման հետևյալ գործակիցները՝ a=1 , b=2 և c=−6: Ըստ ալգորիթմի, նախ պետք է հաշվարկել դիսկրիմինանտը, դրա համար մենք նշված a, b և c-ն փոխարինում ենք տարբերակիչ բանաձևի մեջ, ունենք. D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Քանի որ 28>0, այսինքն՝ դիսկրիմինանտը զրոյից մեծ է, քառակուսի հավասարումն ունի երկու իրական արմատ։ Գտնենք դրանք արմատների բանաձևով, ստանում ենք, այստեղ կարող ենք պարզեցնել անելով ստացված արտահայտությունները. հաշվի առնելով արմատի նշանըորին հաջորդում է կոտորակի կրճատումը.

Պատասխան.

Անցնենք հաջորդ բնորոշ օրինակին.

Օրինակ.

Լուծե՛ք −4 x 2 +28 x−49=0 քառակուսային հավասարումը։

Որոշում.

Մենք սկսում ենք գտնելով տարբերակիչ. D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Հետևաբար, այս քառակուսի հավասարումն ունի մեկ արմատ, որը մենք գտնում ենք որպես, այսինքն.

Պատասխան.

x=3,5 .

Մնում է դիտարկել քառակուսի հավասարումների լուծումը բացասական դիսկրիմինանտով։

Օրինակ.

Լուծե՛ք 5 y 2 +6 y+2=0 հավասարումը։

Որոշում.

Ահա քառակուսի հավասարման գործակիցները՝ a=5 , b=6 և c=2: Փոխարինելով այս արժեքները տարբերակիչ բանաձևի մեջ՝ մենք ունենք D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Տարբերիչը բացասական է, հետևաբար, այս քառակուսի հավասարումը իրական արմատներ չունի:

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է նշել բարդ արմատներ, ապա մենք օգտագործում ենք քառակուսի հավասարման արմատների հայտնի բանաձևը և կատարում ենք. գործողություններ բարդ թվերով:

Պատասխան.

իրական արմատներ չկան, բարդ արմատներն են.

Եվս մեկ անգամ նշում ենք, որ եթե քառակուսի հավասարման դիսկրիմինանտը բացասական է, ապա դպրոցը սովորաբար անմիջապես գրում է պատասխանը, որում նշում են, որ իրական արմատներ չկան, և բարդ արմատներ չեն գտնում։

Արմատային բանաձև նույնիսկ երկրորդ գործակիցների համար

Քառակուսային հավասարման արմատների բանաձևը, որտեղ D=b 2 −4 a c թույլ է տալիս ստանալ ավելի կոմպակտ բանաձև, որը թույլ է տալիս լուծել քառակուսի հավասարումներ x-ի հավասար գործակցով (կամ պարզապես 2 n-ի նման գործակցով): , օրինակ, կամ 14 ln5=2 7 ln5 ): Եկեք նրան դուրս հանենք:

Ենթադրենք, պետք է լուծել a x 2 +2 n x + c=0 ձևի քառակուսային հավասարումը: Եկեք գտնենք դրա արմատները՝ օգտագործելով մեզ հայտնի բանաձեւը. Դա անելու համար մենք հաշվարկում ենք դիսկրիմինանտը D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), և այնուհետև մենք օգտագործում ենք արմատային բանաձևը.

Նշեք n 2 −a c արտահայտությունը որպես D 1 (երբեմն այն նշվում է D "): Այնուհետև դիտարկված քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևը երկրորդ 2 n գործակցով ստանում է ձև. , որտեղ D 1 =n 2 −a c .

Հեշտ է տեսնել, որ D=4·D 1, կամ D 1 =D/4: Այսինքն Դ 1-ը խտրականի չորրորդ մասն է։ Հասկանալի է, որ Դ 1-ի նշանը նույնն է, ինչ Դ-ի նշանը։ Այսինքն՝ D 1 նշանը նույնպես քառակուսի հավասարման արմատների առկայության կամ բացակայության ցուցիչ է։

Այսպիսով, երկրորդ 2 n գործակցով քառակուսի հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է

• Հաշվել D 1 =n 2 −a·c ;
• Եթե ​​D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Եթե ​​D 1 =0, ապա հաշվարկեք հավասարման միակ արմատը՝ օգտագործելով բանաձևը.
• Եթե ​​D 1 >0, ապա բանաձևով գտե՛ք երկու իրական արմատ.

Դիտարկենք օրինակի լուծումը՝ օգտագործելով այս պարբերությունում ստացված արմատային բանաձևը:

Օրինակ.

Լուծե՛ք քառակուսի հավասարումը 5 x 2 −6 x−32=0 .

Որոշում.

Այս հավասարման երկրորդ գործակիցը կարելի է ներկայացնել որպես 2·(−3) ։ Այսինքն՝ դուք կարող եք վերաշարադրել սկզբնական քառակուսի հավասարումը 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 ձևով, այստեղ a=5, n=−3 և c=−32, և հաշվարկել չորրորդ մասը։ տարբերակիչ: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Քանի որ դրա արժեքը դրական է, հավասարումը ունի երկու իրական արմատ: Մենք դրանք գտնում ենք՝ օգտագործելով համապատասխան արմատային բանաձևը.

Նկատի ունեցեք, որ հնարավոր էր օգտագործել քառակուսի հավասարման արմատների սովորական բանաձևը, սակայն այս դեպքում ավելի շատ հաշվողական աշխատանք պետք է կատարվեր:

Պատասխան.

Քառակուսային հավասարումների ձևի պարզեցում

Երբեմն, նախքան բանաձևերի միջոցով քառակուսի հավասարման արմատների հաշվարկը սկսելը, չի խանգարում տալ հարցը. «Հնարավո՞ր է պարզեցնել այս հավասարման ձևը»: Համաձայնեք, որ հաշվարկների առումով ավելի հեշտ կլինի լուծել 11 x 2 −4 x −6=0 քառակուսի հավասարումը, քան 1100 x 2 −400 x−600=0:

Սովորաբար, քառակուսի հավասարման ձևի պարզեցումը կատարվում է դրա երկու կողմերը բազմապատկելով կամ բաժանելով ինչ-որ թվով: Օրինակ, նախորդ պարբերությունում մեզ հաջողվեց հասնել 1100 x 2 −400 x −600=0 հավասարման պարզեցման՝ երկու կողմերը բաժանելով 100-ի:

Նմանատիպ փոխակերպումն իրականացվում է քառակուսի հավասարումներով, որոնց գործակիցները չեն . Այս դեպքում հավասարման երկու մասերը սովորաբար բաժանվում են նրա գործակիցների բացարձակ արժեքներով: Օրինակ՝ վերցնենք քառակուսի հավասարումը 12 x 2 −42 x+48=0։ նրա գործակիցների բացարձակ արժեքները՝ gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6: Բնօրինակ քառակուսային հավասարման երկու մասերը բաժանելով 6-ի` հասնում ենք համարժեք քառակուսային հավասարմանը 2 x 2 −7 x+8=0:

Իսկ քառակուսի հավասարման երկու մասերի բազմապատկումը սովորաբար կատարվում է կոտորակային գործակիցներից ազատվելու համար։ Այս դեպքում բազմապատկումն իրականացվում է նրա գործակիցների հայտարարների վրա։ Օրինակ, եթե քառակուսի հավասարման երկու մասերը բազմապատկվեն LCM(6, 3, 1)=6-ով, ապա այն կստանա ավելի պարզ ձև x 2 +4 x−18=0:

Եզրափակելով այս պարբերությունը՝ մենք նշում ենք, որ գրեթե միշտ ազատվում ենք քառակուսի հավասարման առաջատար գործակցի մինուսից՝ փոխելով բոլոր անդամների նշանները, ինչը համապատասխանում է երկու մասերը −1-ով բազմապատկելու (կամ բաժանելուն): Օրինակ, սովորաբար −2·x 2 −3·x+7=0 քառակուսի հավասարումից անցնում ենք 2·x 2 +3·x−7=0 լուծույթին:

Քառակուսային հավասարման արմատների և գործակիցների կապը

Քառակուսային հավասարման արմատների բանաձևն արտահայտում է հավասարման արմատները նրա գործակիցներով: Արմատների բանաձևի հիման վրա կարող եք ստանալ այլ հարաբերություններ արմատների և գործակիցների միջև:

Ձևի Վիետայի թեորեմից ամենահայտնի և կիրառելի բանաձևերը և . Մասնավորապես, տրված քառակուսային հավասարման համար արմատների գումարը հավասար է հակառակ նշանով երկրորդ գործակցին, իսկ արմատների արտադրյալը ազատ անդամն է։ Օրինակ՝ 3 x 2 −7 x+22=0 քառակուսի հավասարման տեսքով անմիջապես կարող ենք ասել, որ նրա արմատների գումարը 7/3 է, իսկ արմատների արտադրյալը՝ 22/3։

Օգտագործելով արդեն գրված բանաձևերը՝ կարող եք ստանալ մի շարք այլ հարաբերություններ քառակուսի հավասարման արմատների և գործակիցների միջև։ Օրինակ՝ քառակուսի հավասարման արմատների քառակուսիների գումարը կարող եք արտահայտել նրա գործակիցներով.

Մատենագիտություն.

• Հանրահաշիվ:դասագիրք 8 բջիջների համար: հանրակրթական հաստատություններ / [Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա]; խմբ. Ս.Ա.Տելյակովսկի. - 16-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2008. - 271 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-019243-9 ։
• Մորդկովիչ Ա.Գ.Հանրահաշիվ. 8-րդ դասարան. Ժամը 14-ին Մաս 1. Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների ուսանողների համար / Ա. Գ. Մորդկովիչ. - 11-րդ հրատ., ջնջված։ - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: հիվանդ. ISBN 978-5-346-01155-2 ։

», այսինքն՝ առաջին աստիճանի հավասարումներ։ Այս դասում մենք կուսումնասիրենք ինչ է քառակուսային հավասարումըև ինչպես լուծել այն:

Ի՞նչ է քառակուսի հավասարումը

Կարևոր!

Հավասարման աստիճանը որոշվում է անհայտի ամենաբարձր աստիճանով:

Եթե ​​անհայտի առավելագույն աստիճանը «2» է, ապա դուք ունեք քառակուսի հավասարում:

Քառակուսային հավասարումների օրինակներ

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0.25x = 0
• x 2 - 8 = 0

Կարևոր! Քառակուսային հավասարման ընդհանուր ձևն ունի հետևյալ տեսքը.

A x 2 + b x + c = 0

«ա», «բ» և «գ» - տրված թվեր:

• «ա» - առաջին կամ ավագ գործակիցը.
• «բ» - երկրորդ գործակիցը;
• «c»-ն ազատ անդամ է։

«a», «b» և «c» գտնելու համար հարկավոր է ձեր հավասարումը համեմատել «ax 2 + bx + c \u003d 0» քառակուսի հավասարման ընդհանուր ձևի հետ:

Փորձենք որոշել «a», «b» և «c» գործակիցները քառակուսի հավասարումներում։

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Հավասարումը	Հնարավորություններ
a=5 b = −14 գ = 17
a = −7 b = −13 գ = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• գ =

  1

  3

x2 + 0.25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 - 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Ինչպես լուծել քառակուսի հավասարումներ

Ի տարբերություն գծային հավասարումների՝ քառակուսի հավասարումներ լուծելու համար օգտագործվում է հատուկ հավասարում։ արմատներ գտնելու բանաձև.

Հիշիր.

Քառակուսային հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է.

• քառակուսի հավասարումը բերեք «կացին 2 + bx + c \u003d 0» ընդհանուր ձևին: Այսինքն՝ աջ կողմում պետք է մնա միայն «0»-ը;
• օգտագործել արմատների բանաձեւը.

Եկեք օրինակ օգտագործենք՝ պարզելու համար, թե ինչպես կիրառել քառակուսի հավասարման արմատները գտնելու բանաձևը: Լուծենք քառակուսի հավասարումը.

X 2 - 3x - 4 = 0

«x 2 - 3x - 4 = 0» հավասարումը արդեն կրճատվել է «ax 2 + bx + c = 0» ընդհանուր ձևի և լրացուցիչ պարզեցումներ չի պահանջում։ Այն լուծելու համար մեզ միայն անհրաժեշտ է դիմել քառակուսի հավասարման արմատները գտնելու բանաձևը.

Այս հավասարման համար սահմանենք «ա», «բ» և «գ» գործակիցները։

x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =

Նրա օգնությամբ լուծվում է ցանկացած քառակուսի հավասարում։

«x 1; 2 \u003d» բանաձևում արմատային արտահայտությունը հաճախ փոխարինվում է
«b 2 − 4ac» «D» տառին և անվանել դիսկրիմինանտ: Խտրականացնող հասկացությունն առավել մանրամասն քննարկվում է «Ի՞նչ է դիսկրիմինանտը» դասում։

Դիտարկենք քառակուսի հավասարման մեկ այլ օրինակ:

x 2 + 9 + x = 7x

Այս ձևով բավականին դժվար է որոշել «ա», «բ», «գ» գործակիցները։ Եկեք նախ հավասարումը բերենք «ax 2 + bx + c \u003d 0» ընդհանուր ձևին:

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

Այժմ դուք կարող եք օգտագործել արմատների բանաձեւը.

X 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x=

6

2

x=3
Պատասխան՝ x = 3

Լինում են դեպքեր, երբ քառակուսի հավասարումների մեջ արմատներ չկան: Այս իրավիճակն առաջանում է, երբ արմատի տակ բանաձեւում բացասական թիվ է հայտնվում։

Պարզապես. Ըստ բանաձևերի և պարզ պարզ կանոնների. Առաջին փուլում

անհրաժեշտ է տրված հավասարումը բերել ստանդարտ ձևի, այսինքն. դեպի տեսարան.

Եթե ​​հավասարումն արդեն տրված է ձեզ այս ձևով, ապա ձեզ հարկավոր չէ անել առաջին փուլը: Ամենակարևորը ճիշտ է

որոշել բոլոր գործակիցները ա, բև գ.

Քառակուսային հավասարման արմատները գտնելու բանաձևը.

Արմատային նշանի տակ գտնվող արտահայտությունը կոչվում է խտրական . Ինչպես տեսնում եք, x-ը գտնելու համար մենք

օգտագործել միայն a, b և c. Նրանք. հավանականություն -ից քառակուսային հավասարում. Պարզապես ուշադիր տեղադրեք

արժեքներ ա, բ և գայս բանաձևի մեջ և հաշվել: Փոխարինել հետ նրանցնշաններ!

օրինակ, հավասարման մեջ.

ա =1; բ = 3; գ = -4.

Փոխարինեք արժեքները և գրեք.

Օրինակը գրեթե լուծված է.

Սա է պատասխանը։

Ամենատարածված սխալները արժեքների նշանների հետ շփոթությունն են ա, բև հետ. Ավելի շուտ՝ փոխարինմամբ

բացասական արժեքները արմատների հաշվարկման բանաձևում: Այստեղ մանրամասն բանաձևը պահպանում է

կոնկրետ թվերով։ Եթե ​​հաշվարկների հետ կապված խնդիրներ կան, արե՛ք դա։

Ենթադրենք, մենք պետք է լուծենք հետևյալ օրինակը.

Այստեղ ա = -6; բ = -5; գ = -1

Մենք նկարում ենք ամեն ինչ մանրամասն, զգույշ, առանց որևէ բան բաց թողնելու բոլոր նշաններով և փակագծերով.

Հաճախ քառակուսի հավասարումները մի փոքր այլ տեսք ունեն: Օրինակ, այսպես.

Այժմ ուշադրություն դարձրեք գործնական մեթոդներին, որոնք կտրուկ նվազեցնում են սխալների թիվը:

Առաջին ընդունելություն. Նախկինում մի ծույլ մի եղեք քառակուսի հավասարման լուծումբերել այն ստանդարտ ձևի:

Ինչ է սա նշանակում?

Ենթադրենք, ցանկացած փոխակերպումից հետո դուք ստանում եք հետևյալ հավասարումը.

Մի շտապեք գրել արմատների բանաձեւը: Դուք գրեթե անկասկած կխառնեք հավանականությունները ա, բ և գ.

Ճիշտ կառուցիր օրինակը։ Նախ՝ x քառակուսի, հետո առանց քառակուսու, հետո ազատ անդամ։ Սրա նման:

Ազատվեք մինուսից. Ինչպե՞ս: Մենք պետք է բազմապատկենք ամբողջ հավասարումը -1-ով: Մենք ստանում ենք.

Եվ այժմ դուք կարող եք ապահով կերպով գրել արմատների բանաձևը, հաշվարկել դիսկրիմինանտը և լրացնել օրինակը:

Որոշեք ինքներդ: Դուք պետք է ավարտեք 2-րդ և -1 արմատներով:

Երկրորդ ընդունելություն.Ստուգեք ձեր արմատները: Ըստ Վիետայի թեորեմա.

Տրված քառակուսային հավասարումները լուծելու համար, այսինքն. եթե գործակիցը

x2+bx+c=0,

ապաx 1 x 2 = c

x1 +x2 =−բ

Ամբողջական քառակուսի հավասարման համար, որում a≠1:

x 2 +բx+գ=0,

բաժանեք ամբողջ հավասարումը ա:

→ →

որտեղ x 1և x 2 - հավասարման արմատները:

Ընդունելություն երրորդ. Եթե ​​ձեր հավասարումն ունի կոտորակային գործակիցներ, ազատվեք կոտորակներից: Բազմապատկել

ընդհանուր հայտարարի հավասարումը.

Եզրակացություն. Գործնական խորհուրդներ.

1. Մինչ լուծելը քառակուսային հավասարումը բերում ենք ստանդարտ ձևի, կառուցում ճիշտ.

2. Եթե քառակուսիում x-ի դիմաց բացասական գործակից կա, այն վերացնում ենք՝ ամեն ինչ բազմապատկելով.

-1-ի ​​հավասարումները:

3. Եթե գործակիցները կոտորակային են, ապա կոտորակները վերացնում ենք՝ ամբողջ հավասարումը բազմապատկելով համապատասխան.

գործոն.

4. Եթե x քառակուսին մաքուր է, ապա դրա գործակիցը հավասար է մեկի, լուծումը հեշտությամբ կարելի է ստուգել

Ավելի պարզ ձևով. Դա անելու համար փակագծերից հանեք z: Դուք ստանում եք՝ z(az + b) = 0: Գործակիցները կարելի է գրել՝ z=0 և az + b = 0, քանի որ երկուսն էլ կարող են զրո լինել: az + b = 0 նշումով երկրորդը այլ նշանով տեղափոխում ենք աջ։ Այստեղից ստանում ենք z1 = 0 և z2 = -b/a: Սրանք բնօրինակի արմատներն են:

Եթե ​​կա az² + c \u003d 0 ձևի թերի հավասարում, ապա այս դեպքում դրանք հայտնաբերվում են պարզապես ազատ անդամը հավասարման աջ կողմ տեղափոխելով: Փոխեք նաև դրա նշանը: Դուք ստանում եք az² \u003d -s ռեկորդը: Էքսպրես z² = -c/a: Վերցրեք արմատը և գրեք երկու լուծում՝ քառակուսի արմատի դրական և բացասական արժեքը:

Նշում

Եթե ​​հավասարման մեջ կան կոտորակային գործակիցներ, ապա ամբողջ հավասարումը բազմապատկեք համապատասխան գործակցով, որպեսզի ձերբազատվեք կոտորակներից:

Քառակուսային հավասարումներ լուծելու իմացությունը անհրաժեշտ է և՛ դպրոցականներին, և՛ ուսանողներին, երբեմն դա կարող է օգնել մեծահասակին առօրյա կյանքում: Որոշման մի քանի հատուկ մեթոդներ կան.

Քառակուսային հավասարումների լուծում

a*x^2+b*x+c=0 ձևի քառակուսային հավասարում։ x գործակիցը ցանկալի փոփոխականն է, a, b, c - թվային գործակիցները: Հիշեք, որ «+» նշանը կարող է փոխվել «-» նշանի:

Այս հավասարումը լուծելու համար դուք պետք է օգտագործեք Վիետայի թեորեմը կամ գտնեք դիսկրիմինանտը: Ամենատարածված միջոցը տարբերակիչ գտնելն է, քանի որ a, b, c որոշ արժեքների համար հնարավոր չէ օգտագործել Վիետայի թեորեմը:

Տարբերիչը (D) գտնելու համար պետք է գրել D=b^2 - 4*a*c բանաձեւը։ D-ի արժեքը կարող է լինել զրոյից մեծ, փոքր կամ հավասար: Եթե ​​D-ն մեծ կամ փոքր է զրոյից, ապա կլինի երկու արմատ, եթե D = 0, ապա մնում է միայն մեկ արմատ, ավելի ճիշտ կարելի է ասել, որ D-ն այս դեպքում ունի երկու համարժեք արմատ։ Հայտնի a, b, c գործակիցները փոխարինե՛ք բանաձևով և հաշվարկե՛ք արժեքը:

Տարբերիչը գտնելուց հետո x-ը գտնելու համար օգտագործեք բանաձևերը՝ x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a որտեղ sqrt-ը տվյալ թվի քառակուսի արմատը վերցնելու ֆունկցիան է: Այս արտահայտությունները հաշվարկելուց հետո դուք կգտնեք ձեր հավասարման երկու արմատները, որից հետո հավասարումը համարվում է լուծված։

Եթե ​​D-ն զրոյից փոքր է, ապա այն դեռ արմատներ ունի։ Դպրոցում այս բաժինը գործնականում չի ուսումնասիրվում։ Համալսարանի ուսանողները պետք է տեղյակ լինեն, որ արմատի տակ բացասական թիվ է հայտնվում: Դրանից ազատվում ենք՝ առանձնացնելով երևակայական մասը, այսինքն՝ արմատի տակ -1-ը միշտ հավասար է «i» երևակայական տարրին, որը բազմապատկվում է նույն դրական թվով արմատով։ Օրինակ, եթե D=sqrt(-20), փոխակերպումից հետո ստացվում է D=sqrt(20)*i։ Այս փոխակերպումից հետո հավասարման լուծումը վերածվում է արմատների նույն հայտնաբերման, ինչպես նկարագրված է վերևում:

Վիետայի թեորեմը բաղկացած է x(1) և x(2) արժեքների ընտրությունից։ Օգտագործված են երկու նույնական հավասարումներ՝ x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. Ընդ որում, շատ կարևոր կետ է b գործակցի դիմաց նշանը, հիշեք, որ այս նշանը հակադիր է հավասարման նշանին։ Առաջին հայացքից թվում է, թե x(1) և x(2) հաշվելը շատ պարզ է, բայց լուծելիս կհանդիպեք այն փաստին, որ թվերը պետք է ճշգրիտ ընտրվեն։

Քառակուսային հավասարումների լուծման տարրեր

Համաձայն մաթեմատիկայի կանոնների՝ որոշները կարող են գործոնավորվել՝ (a + x (1)) * (b-x (2)) \u003d 0, եթե ձեզ հաջողվեց այս քառակուսի հավասարումը վերափոխել այս կերպ՝ օգտագործելով մաթեմատիկական բանաձևերը, ապա ազատ զգաք գրիր պատասխանը. x(1) և x(2)-ը հավասար կլինեն փակագծերի հարակից գործակիցներին, բայց հակառակ նշանով:

Մի մոռացեք նաև թերի քառակուսի հավասարումների մասին։ Դուք կարող եք բացակայել որոշ տերմիններ, եթե այո, ապա դրա բոլոր գործակիցները պարզապես հավասար են զրոյի: Եթե ​​x^2-ին կամ x-ին նախորդում է ոչինչ, ապա a և b գործակիցները հավասար են 1-ի։