ԻՐԱԿԱՆ ԹՎԵՐ II

§ 44 Իրական թվերի երկրաչափական պատկերը

Երկրաչափորեն իրական թվերը, ինչպես ռացիոնալ թվերը, ներկայացված են ուղիղ գծի կետերով։

Թող լինի լ - կամայական ուղիղ գիծ, ​​իսկ O - նրա որոշ կետեր (նկ. 58): Յուրաքանչյուր դրական իրական թիվ α համապատասխանության մեջ դնել A կետը, որը ընկած է O-ից աջ հեռավորության վրա α երկարության միավորներ.

Եթե, օրինակ, α = 2.1356..., ապա

2 < α < 3
2,1 < α < 2,2
2,13 < α < 2,14

և այլն: Ակնհայտ է, որ A կետը այս դեպքում պետք է լինի գծի վրա լ թվերին համապատասխան կետերից աջ

2; 2,1; 2,13; ... ,

բայց թվերին համապատասխան կետերից ձախ

3; 2,2; 2,14; ... .

Կարելի է ցույց տալ, որ այս պայմանները սահմանում են գծի վրա լ միակ Ա կետը, որը մենք համարում ենք իրական թվի երկրաչափական պատկեր α = 2,1356... .

Նմանապես, յուրաքանչյուր բացասական իրական թիվ β համապատասխանության մեջ դնել B կետը, որը ընկած է O-ից ձախ | հեռավորության վրա β | երկարության միավորներ. Ի վերջո, O կետը վերագրում ենք «զրո» թվին։

Այսպիսով, թիվ 1-ը կցուցադրվի ուղիղ գծի վրա լ A կետը, որը գտնվում է O-ից աջ՝ երկարության մեկ միավոր հեռավորության վրա (նկ. 59), թիվը՝ √2 - կետ B, O-ից ձախ ընկած √2 միավոր երկարության հեռավորության վրա և այլն։

Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես է ուղիղ գծի վրա լ կողմնացույցի և քանոնի միջոցով կարող եք գտնել √2, √3, √4, √5 և այլն իրական թվերին համապատասխան կետեր: Դա անելու համար նախ ցույց կտանք, թե ինչպես կարելի է կառուցել հատվածներ, որոնց երկարությունները արտահայտված են. այս թվերը. Թող AB լինի երկարության միավոր վերցված հատված (նկ. 60):

A կետում մենք վերականգնում ենք այս հատվածին ուղղահայացը և դրա վրա մի կողմ ենք դնում AC հատվածը, որը հավասար է AB հատվածին: Այնուհետև, կիրառելով Պյութագորասի թեորեմը ABC ուղղանկյուն եռանկյան վրա, մենք ստանում ենք. BC \u003d √AB 2 + AC 2 \u003d √1 + 1 \u003d √2

Հետևաբար, BC հատվածն ունի √2 երկարություն: Այժմ վերականգնենք BC հատվածին ուղղահայացը C կետում և ընտրենք դրա D կետը, որպեսզի CD հատվածը լինի. մեկին հավասար AB երկարություն: Հետո սկսած ուղղանկյուն եռանկյուն BCD գտնել:

ВD \u003d √BC 2 + CD 2 \u003d √2 + 1 \u003d √3

Հետևաբար, BD հատվածն ունի √3 երկարություն: Շարունակելով նկարագրված գործընթացը՝ մենք կարող ենք ստանալ BE, BF, ... հատվածներ, որոնց երկարություններն արտահայտվում են √4, √5 և այլն թվերով։

Այժմ գծի վրա լ Հեշտ է գտնել այն կետերը, որոնք ծառայում են որպես √2, √3, √4, √5 և այլն թվերի երկրաչափական ներկայացում:

Օրինակ, O կետից աջ դնելով BC հատվածը (նկ. 61), ստանում ենք C կետը, որը ծառայում է որպես √2 թվի երկրաչափական պատկեր: Նույն կերպ, O կետից աջ կողմ դնելով BD հատվածը, ստանում ենք D կետը», որը √3 թվի երկրաչափական պատկերն է և այլն։

Այնուամենայնիվ, չպետք է մտածել, որ կողմնացույցի և թվային գծի վրա գտնվող քանոնի օգնությամբ լ կարելի է գտնել ցանկացած իրական թվի համապատասխան կետ: Ապացուցված է, օրինակ, որ ձեր տրամադրության տակ ունենալով միայն կողմնացույց և քանոն, անհնար է կառուցել մի հատված, որի երկարությունը արտահայտված է թվով. π = 3.14 .... Այսպիսով, թվային տողի վրա լ Նման կոնստրուկցիաների միջոցով անհնար է նշել այս թվին համապատասխան կետ, սակայն այդպիսի կետ գոյություն ունի։

Այսպիսով, յուրաքանչյուր իրական թվի համար α հնարավոր է կապել գծի ինչ-որ լավ սահմանված կետ լ . Այս կետը O ելակետից կբաժանվի | α | երկարության միավոր և լինի O-ից աջ, եթե α > 0, իսկ O if-ի ձախ կողմում α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две տարբեր կետերուղիղ լ . Իսկապես, թող համարը α համապատասխանում է A կետին, իսկ թվին β - կետ B. Ապա, եթե α > β , ապա A-ն կլինի B-ի աջ կողմում (նկ. 62, ա); եթե α < β , ապա A-ն կպառկի B-ի ձախ կողմում (նկ. 62, բ):

Խոսելով § 37-ում ռացիոնալ թվերի երկրաչափական ներկայացման մասին՝ մենք հարց տվեցինք՝ կարո՞ղ է արդյոք ուղիղ գծի ցանկացած կետ դիտարկվել որպես որոշների երկրաչափական պատկեր։ ռացիոնալթվեր? Այն ժամանակ մենք չկարողացանք այս հարցին պատասխան տալ. այժմ մենք կարող ենք միանգամայն հստակ պատասխանել: Ուղիղ գծի վրա կան կետեր, որոնք ծառայում են որպես երկրաչափական պատկեր իռացիոնալ թվեր(օրինակ՝ √2): Հետևաբար, ուղիղ գծի յուրաքանչյուր կետ չէ, որ ռացիոնալ թիվ է ներկայացնում: Բայց այս դեպքում մեկ այլ հարց է ծագում՝ իսկական գծի ցանկացած կետ կարո՞ղ է դիտարկվել որպես ոմանց երկրաչափական պատկեր. վավերթվեր? Այս հարցն արդեն դրական լուծում է ստացել։

Իսկապես, թող A-ն կամայական կետ լինի գծի վրա լ , ընկած Ո-ի աջ կողմում (նկ. 63):

OA հատվածի երկարությունը արտահայտվում է որոշ դրական իրական թվով α (տե՛ս § 41): Հետևաբար Ա կետը թվի երկրաչափական պատկերն է α . Նմանապես, հաստատված է, որ յուրաքանչյուր B կետ, որը ընկած է O-ի ձախ կողմում, կարող է դիտվել որպես բացասական իրական թվի երկրաչափական պատկեր. β , որտեղ β - VO հատվածի երկարությունը: Վերջապես, O կետը ծառայում է որպես զրո թվի երկրաչափական ներկայացում։ Պարզ է, որ գծի երկու տարբեր կետեր լ չի կարող լինել նույն իրական թվի երկրաչափական պատկերը:

Վերը նշված պատճառներով, ուղիղ գիծը, որի վրա ինչ-որ O կետ նշվում է որպես «սկզբնական» կետ (երկարության տվյալ միավորի համար), կոչվում է. թվային գիծ.

Արդյունք. Բոլոր իրական թվերի բազմությունը և իրական ուղիղի բոլոր կետերի բազմությունը գտնվում են մեկ առ մեկ համապատասխանության մեջ:

Սա նշանակում է, որ յուրաքանչյուր իրական թիվը համապատասխանում է թվային ուղիղի մեկ, լավ սահմանված կետին, և, ընդհակառակը, թվային ուղիղի յուրաքանչյուր կետին, նման համապատասխանությամբ, համապատասխանում է մեկ, լավ սահմանված իրական թիվ։

Զորավարժություններ

320. Պարզի՛ր, թե երկու կետերից որն է ձախ և որը՝ աջ, եթե այս կետերը համապատասխանում են թվերին.

ա) 1,454545... և 1,455454...; գ) 0 և - 1,56673...;

բ) - 12.0003... և - 12.0002...; դ) 13.24... և 13.00....

321. Գտի՛ր, թե երկու կետերից որն է ավելի հեռու թվային ուղղի O ելակետից, եթե այս կետերը համապատասխանում են թվերին.

ա) 5.2397... և 4.4996...; .. գ) -0,3567... և 0,3557... .

դ) - 15.0001 և - 15.1000...;

322. Այս հատվածում ցույց է տրվել, որ կառուցել √ երկարությամբ հատված n Օգտագործելով կողմնացույց և ուղղագիծ, կարող եք անել հետևյալը. սկզբում կառուցեք √2 երկարությամբ հատված, այնուհետև √3 երկարությամբ հատված և այլն, մինչև հասնենք √ երկարությամբ հատվածի։ n . Բայց յուրաքանչյուր ֆիքսվածի համար Պ > 3 այս գործընթացը կարող է արագացվել: Ինչպե՞ս, օրինակ, կսկսեք կառուցել √10 երկարությամբ հատված:

323*։ Ինչպես օգտագործել կողմնացույց և քանոն՝ 1 թվին համապատասխանող թվային գծի վրա կետ գտնելու համար / α , եթե թվին համապատասխան կետի դիրքը α , հայտնի՞

Թվային ուղիղ, թվային առանցք, այն ուղիղն է, որի վրա պատկերված են իրական թվեր։ Ուղիղ գծի վրա ընտրվում է սկզբնակետը՝ O կետը (O կետը ներկայացնում է 0) և L կետը, որը ներկայացնում է միավորը։ L կետը սովորաբար կանգնած է O կետից աջ: OL հատվածը կոչվում է միավորի հատված:

O կետի աջ կողմում գտնվող կետերը ներկայացնում են դրական թվեր: Կետերը ձախ կողմում են: Օ, պատկերիր բացասական թվեր։ Եթե ​​X կետը ներկայացնում է դրական x թիվ, ապա հեռավորությունը OX = x: Եթե ​​X կետը ներկայացնում է x բացասական թիվ, ապա հեռավորությունը OX = - x:

Ուղիղ գծի վրա կետի դիրքը ցույց տվող թիվը կոչվում է այս կետի կոորդինատ։

Նկարում ներկայացված V կետն ունի 2 կոորդինատ, իսկ H կետը՝ -2,6:

Իրական թվի մոդուլը սկզբից մինչև այս թվին համապատասխան կետի հեռավորությունն է։ Նշեք x թվի մոդուլը, ուստի՝ | x |. Ակնհայտորեն, | 0 | = 0.

Եթե ​​x թիվը մեծ է 0-ից, ապա | x | = x, իսկ եթե x-ը փոքր է 0-ից, ապա | x | = - x. Մոդուլի այս հատկությունների վրա հիմնված է մոդուլի հետ բազմաթիվ հավասարումների և անհավասարությունների լուծումը:

Օրինակ՝ Լուծել հավասարումը | x - 3 | = 1.

Լուծում. Դիտարկենք երկու դեպք՝ առաջին դեպքը, երբ x -3 > 0, և երկրորդ դեպքը, երբ x - 3 0:

1. x - 3 > 0, x > 3.

Այս դեպքում | x - 3 | = x - 3.

Հավասարումը ստանում է x - 3 \u003d 1, x \u003d 4 ձևը: 4\u003e 3 - բավարարում է առաջին պայմանը:

2. x -3 0, x 3.

Այս դեպքում | x - 3 | = - x + 3

Հավասարումն ընդունում է x + 3 \u003d 1, x \u003d - 2 ձևը: -2 3 - բավարարում է երկրորդ պայմանը:

Պատասխան՝ x = 4, x = -2:

Թվային արտահայտություններ.

Թվային արտահայտությունը մեկ կամ մի քանի թվերի և ֆունկցիաների հավաքածու է, որոնք միացված են թվաբանական օպերատորներով և փակագծերով:
Թվային արտահայտությունների օրինակներ.

Թվային արտահայտության արժեքը թիվ է։
Թվային արտահայտության մեջ գործողությունները կատարվում են հետևյալ հաջորդականությամբ.

1. Գործողությունները փակագծերում:

2. Ֆունկցիաների հաշվարկ.

3. Ցուցադրում

4. Բազմապատկում և բաժանում.

5. Գումարում և հանում.

6. Նույն տիպի գործողությունները կատարվում են ձախից աջ:

Այսպիսով, առաջին արտահայտության արժեքը կլինի ինքնին թիվը 12.3
Երկրորդ արտահայտության արժեքը հաշվարկելու համար գործողությունները կկատարենք հետևյալ հաջորդականությամբ.

1. Փակագծերում արված գործողությունները կատարեք հետևյալ հաջորդականությամբ՝ նախ 2-ը բարձրացնում ենք երրորդ աստիճանի, ապա ստացված թվից հանում ենք 11.

3 4 + (23 - 11) = 3 4 + (8 - 11) = 3 4 + (-3)

2. 3-ը բազմապատկել 4-ով:

3 4 + (-3) = 12 + (-3)

3. Կատարեք գործողությունները հաջորդաբար ձախից աջ.

12 + (-3) = 9.
Փոփոխականներով արտահայտությունը մեկ կամ մի քանի թվերի, փոփոխականների և ֆունկցիաների հավաքածու է, որոնք միացված են թվաբանական օպերատորներով և փակագծերով: Փոփոխականներով արտահայտությունների արժեքները կախված են դրանում ներառված փոփոխականների արժեքներից: Գործողությունների հաջորդականությունն այստեղ նույնն է, ինչ թվային արտահայտությունների համար: Երբեմն օգտակար է պարզեցնել արտահայտությունները փոփոխականներով՝ կատարելով տարբեր գործողություններ՝ փակագծեր, փակագծերի ընդլայնում, խմբավորում, կոտորակների կրճատում, համանմանների կրճատում և այլն։ Նաև արտահայտությունները պարզեցնելու համար հաճախ օգտագործվում են տարբեր բանաձևեր, օրինակ՝ կրճատված բազմապատկման բանաձևեր, տարբեր ֆունկցիաների հատկություններ և այլն։

Հանրահաշվական արտահայտություններ.

Հանրահաշվական արտահայտությունը մեկ կամ մի քանի հանրահաշվական մեծություններ է (թվեր և տառեր), որոնք փոխկապակցված են հանրահաշվական գործողությունների նշաններով. լինեն ամբողջ թվեր) և այդ գործողությունների հաջորդականության նշանները (սովորաբար փակագծեր տարբեր տեսակի): Ներառված քանակությունների քանակը հանրահաշվական արտահայտությունպետք է լինի վերջնական։

Հանրահաշվական արտահայտության օրինակ.

«Հանրահաշվային արտահայտությունը» շարահյուսական հասկացություն է, այսինքն՝ ինչ-որ բան հանրահաշվական արտահայտություն է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե այն ենթարկվում է որոշակի քերականական կանոնների (տես Ֆորմալ քերականություն)։ Եթե ​​հանրահաշվական արտահայտության տառերը համարվում են փոփոխականներ, ապա հանրահաշվական արտահայտությունը ձեռք է բերում հանրահաշվական ֆունկցիայի իմաստ։

Հսկայական բազմազանությունից հավաքածուներառանձնահատուկ հետաքրքրություն են ներկայացնում այսպես կոչված թվերի հավաքածուներ, այսինքն՝ բազմություններ, որոնց տարրերը թվեր են։ Հասկանալի է, որ նրանց հետ հարմարավետ աշխատանքի համար պետք է կարողանալ դրանք գրի առնել։ Թվային բազմություններ գրելու նշումով և սկզբունքներով մենք կսկսենք այս հոդվածը: Եվ հետո մենք կքննարկենք, թե ինչպես են թվային բազմությունները պատկերված կոորդինատային գծի վրա:

Էջի նավարկություն.

Թվային հավաքածուներ գրելը

Սկսենք ընդունված նշումից։ Ինչպես հայտնի է, բազմություններ նշանակելու համար օգտագործվում են լատինական այբուբենի մեծատառերը։ Թվային հավաքածուներ, ինչպիսիք են հատուկ դեպքՆշվում են նաև բազմությունները: Օրինակ՝ կարելի է խոսել A , H , W և այլն թվային բազմությունների մասին։ Առանձնահատուկ նշանակություն ունեն բնական, ամբողջ թվային, ռացիոնալ, իրական, բարդ թվերի բազմությունները, որոնց համար ընդունվել են իրենց անվանումները.

• N-ը բոլոր բնական թվերի բազմությունն է.
• Z-ը ամբողջ թվերի բազմությունն է;
• Q-ն ռացիոնալ թվերի բազմությունն է.
• J-ը իռացիոնալ թվերի բազմությունն է.
• R-ն իրական թվերի բազմությունն է.
• C-ն կոմպլեքս թվերի բազմությունն է։

Այստեղից պարզ է դառնում, որ անհրաժեշտ չէ, օրինակ, 5 և −7 երկու թվերից բաղկացած բազմությունը նշել որպես Q, այս նշանակումը մոլորեցնող կլինի, քանի որ Q տառը սովորաբար նշանակում է բոլոր ռացիոնալ թվերի բազմությունը։ Նշված թվային հավաքածուն նշանակելու համար ավելի լավ է օգտագործել որևէ այլ «չեզոք» տառ, օրինակ՝ Ա.

Քանի որ խոսքը նշումների մասին է, այստեղ հիշեցնում ենք նաև դատարկ բազմության, այսինքն՝ տարրեր չպարունակող բազմության նշումը։ Նշվում է ∅ նշանով։

Հիշենք նաև հավաքածուի մեջ որևէ տարրի անդամակցության և չանդամակցման նշանակումը: Դա անելու համար օգտագործեք ∈ - պատկանում է և ∉ - չի պատկանում նշանները: Օրինակ՝ 5∈N մուտքը նշանակում է, որ 5 թիվը պատկանում է բնական թվերի բազմությանը, իսկ 5.7∉Z - 5.7 տասնորդական կոտորակը չի պատկանում ամբողջ թվերի բազմությանը։

Հիշենք նաև այն նշումը, որն ընդունվել է մի շարքը մյուսի մեջ ներառելու համար։ Պարզ է, որ N բազմության բոլոր տարրերը ներառված են Z բազմության մեջ, հետևաբար. համարների հավաքածու N-ը ներառված է Z-ում, այն նշվում է որպես N⊂Z: Կարող եք նաև օգտագործել Z⊃N նշումը, ինչը նշանակում է, որ բոլոր Z ամբողջ թվերի բազմությունը ներառում է N բազմությունը: Չներառված և չներառված հարաբերությունները նշվում են համապատասխանաբար ⊄ և ⊄ նշաններով: Օգտագործվում են նաև ⊆ և ​​⊇ ձևի ոչ խիստ ներառական նշանները, որոնք նշանակում են համապատասխանաբար ներառված կամ համընկնում և ներառում կամ համընկնում։

Խոսեցինք նշագրման մասին, անցնենք թվային բազմությունների նկարագրությանը։ Այս դեպքում կանդրադառնանք միայն գործնականում առավել հաճախ օգտագործվող հիմնական դեպքերին։

Սկսենք վերջավոր և փոքր թվով տարրեր պարունակող թվային բազմություններից։ Վերջավոր թվով տարրերից բաղկացած թվային բազմությունները կարելի է հարմար նկարագրել՝ թվարկելով դրանց բոլոր տարրերը: Բոլոր թվային տարրերը գրվում են՝ բաժանված ստորակետերով և կցվում են , ինչը համապատասխանում է ընդհանուրին սահմանել նկարագրության կանոնները. Օրինակ՝ 0, −0.25 և 4/7 երեք թվերից բաղկացած բազմությունը կարելի է նկարագրել որպես (0, −0.25, 4/7):

Երբեմն, երբ թվային բազմության տարրերի թիվը բավականաչափ մեծ է, բայց տարրերը ենթարկվում են որոշ օրինաչափության, նկարագրելու համար օգտագործվում է էլիպսիս: Օրինակ, բոլոր կենտ թվերի բազմությունը 3-ից մինչև 99-ը ներառյալ կարելի է գրել (3, 5, 7, ..., 99):

Այսպիսով, մենք սահուն մոտեցանք թվային բազմությունների նկարագրությանը, որոնց տարրերի թիվը անսահման է: Երբեմն դրանք կարելի է նկարագրել՝ օգտագործելով բոլոր նույն էլիպսները: Օրինակ՝ եկեք նկարագրենք բոլոր բնական թվերի բազմությունը՝ N=(1, 2. 3,…) .

Նրանք նաև օգտագործում են թվային բազմությունների նկարագրությունը՝ նշելով դրա տարրերի հատկությունները։ Այս դեպքում օգտագործվում է նշումը (x| հատկություններ): Օրինակ, նշումը (n| 8 n+3, n∈N) սահմանում է այնպիսի բնական թվերի բազմությունը, որոնք 8-ի բաժանելիս ստանում են 3-ի մնացորդ: Նույն հավաքածուն կարելի է նկարագրել որպես (11,19, 27, ...) .

Հատուկ դեպքերում անսահման թվով տարրերով թվային բազմությունները հայտնի են N , Z , R և այլն բազմություններ։ կամ թվային բացեր: Իսկ ընդհանուր առմամբ թվային բազմությունները ներկայացված են որպես միությունդրանք կազմող առանձին թվային միջակայքեր և վերջավոր թվով տարրերով թվային բազմություններ (որի մասին մենք խոսեցինք մի փոքր ավելի բարձր):

Եկեք մի օրինակ ցույց տանք. Թվերի հավաքածու թող լինեն −10 , −9 , −8.56 , 0 թվերը, [−5, −1.3] միջակայքի բոլոր թվերը և բաց թվային ճառագայթի (7, +∞) թվերը։ Բազմությունների միության սահմանման ուժով նշված թվային բազմությունը կարելի է գրել այսպես {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Նման նշում իրականում նշանակում է բազմություն, որը պարունակում է բազմությունների բոլոր տարրերը (−10, −9, −8.56, 0), [−5, −1.3] և (7, +∞) ։

Նմանապես, տարբեր թվային տիրույթներ և առանձին թվերի բազմություններ համատեղելով, կարելի է նկարագրել ցանկացած թվային բազմություն (կազմված իրական թվերից): Այստեղ պարզ է դառնում, թե ինչու են թվային ինտերվալների այնպիսի տեսակներ, ինչպիսիք են ինտերվալը, կեսինտերվալը, հատվածը, բացը թվային ճառագայթև թվային ճառագայթ. դրանք բոլորը, առանձին թվերի բազմությունների նշումների հետ միասին, հնարավորություն են տալիս նկարագրել ցանկացած թվային բազմություններ իրենց միության միջոցով:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ թվային բազմություն գրելիս դրա բաղկացուցիչ թվերը և թվային միջակայքերը դասավորված են աճման կարգով: Սա ոչ թե պարտադիր, այլ ցանկալի պայման է, քանի որ պատվիրված թվային հավաքածուն ավելի հեշտ է ներկայացնել և պատկերել կոորդինատային գծի վրա: Նկատի ունեցեք նաև, որ նման գրառումները չեն օգտագործում թվային ընդմիջումներ ընդհանուր տարրեր, քանի որ նման գրառումները կարող են փոխարինվել առանց ընդհանուր տարրերի թվային միջակայքերի միավորմամբ։ Օրինակ, թվային բազմությունների միավորումը [−10, 0] և (−5, 3) ընդհանուր տարրերի հետ կիսատ միջակայք է [−10, 3) ։ Նույնը վերաբերում է նույն սահմանային թվերով թվային ինտերվալների միավորմանը, օրինակ, միությունը (3, 5]∪(5, 7] բազմություն է (3, 7], սրա վրա կանդրադառնանք առանձին, երբ սովորենք. գտե՛ք թվային բազմությունների խաչմերուկը և միավորումը:

Կոորդինատային գծի վրա թվային հավաքածուների պատկերը

Գործնականում հարմար է օգտագործել թվային բազմությունների երկրաչափական պատկերները՝ դրանց պատկերները . Օրինակ, երբ անհավասարությունների լուծում, որտեղ անհրաժեշտ է հաշվի առնել ODZ-ը, անհրաժեշտ է պատկերել թվային բազմություններ՝ դրանց խաչմերուկը և/կամ միավորումը գտնելու համար։ Այսպիսով, օգտակար կլինի լավ հասկանալ կոորդինատային գծի վրա թվային բազմությունների ներկայացման բոլոր նրբությունները:

Հայտնի է, որ կոորդինատային ուղիղի կետերի և իրական թվերի միջև կա մեկ առ մեկ համապատասխանություն, ինչը նշանակում է, որ կոորդինատային ուղիղը ինքնին բոլոր իրական թվերի բազմության երկրաչափական մոդելն է։ Այսպիսով, բոլոր իրական թվերի բազմությունը պատկերելու համար անհրաժեշտ է գծել կոորդինատային գիծ՝ ելուստով ամբողջ երկարությամբ.

Եվ հաճախ նրանք նույնիսկ չեն նշում ծագումը և մեկ հատվածը.

Այժմ խոսենք թվային բազմությունների պատկերի մասին, որոնք առանձին թվերի որոշ վերջավոր թվեր են։ Օրինակ՝ գծենք թվերի բազմությունը (−2, −0.5, 1.2): Այս բազմության երկրաչափական պատկերը, որը բաղկացած է երեք թվերից -2, -0,5 և 1,2 կլինի կոորդինատային գծի երեք կետերը համապատասխան կոորդինատներով.

Նկատի ունեցեք, որ սովորաբար պրակտիկայի կարիքների համար գծանկարը ճշգրիտ կատարելու կարիք չկա: Հաճախ սխեմատիկ գծագիրը բավարար է, ինչը նշանակում է, որ անհրաժեշտ չէ պահպանել մասշտաբը, մինչդեռ կարևոր է միայն պահպանել. փոխադարձ պայմանավորվածությունմիավորներ միմյանց նկատմամբ. ավելի փոքր կոորդինատով ցանկացած կետ պետք է լինի ավելի մեծ կոորդինատ ունեցող կետից ձախ: Նախորդ գծագիրը սխեմատիկորեն կունենա հետևյալ տեսքը.

Առանձին-առանձին, բոլոր հնարավոր թվային բազմություններից առանձնանում են թվային ինտերվալներ (ինտերվալներ, կիսինտերվալներ, ճառագայթներ և այլն), որոնք ներկայացնում են դրանց երկրաչափական պատկերները, մենք մանրամասն ուսումնասիրեցինք բաժնում։ Մենք այստեղ չենք կրկնվի։

Եվ մնում է կանգ առնել միայն թվային բազմությունների պատկերի վրա, որոնք մի քանի թվային ինտերվալների և առանձին թվերից բաղկացած բազմությունների միություն են։ Այստեղ ոչ մի բարդ բան չկա. ըստ միության նշանակության՝ այս դեպքերում կոորդինատային գծի վրա պետք է պատկերել տվյալ թվային բազմության բազմության բոլոր բաղադրիչները։ Որպես օրինակ՝ ցույց տանք թվերի բազմության պատկերը (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (log 2 5, 5)∪(17, +∞) :

Եվ անդրադառնանք բավականին տարածված դեպքերին, երբ պատկերված թվային բազմությունը իրական թվերի ամբողջությունն է, բացառությամբ մեկ կամ մի քանի կետերի։ Նման բազմությունները հաճախ սահմանվում են այնպիսի պայմաններով, ինչպիսիք են x≠5 կամ x≠−1, x≠2, x≠3,7 և այլն: Այս դեպքերում դրանք երկրաչափական առումով ներկայացնում են ամբողջ կոորդինատային գիծը, բացառությամբ համապատասխան կետերի։ Այլ կերպ ասած, այդ կետերը պետք է «դուրս հանվեն» կոորդինատային գծից։ Դրանք պատկերված են դատարկ կենտրոնով շրջանակների տեսքով։ Պարզության համար եկեք գծենք թվերի հավաքածու, պայմաններին համապատասխան (այս հավաքածուն ըստ էության):

Ամփոփել. Իդեալում, նախորդ պարբերությունների տեղեկատվությունը պետք է կազմի թվային բազմությունների գրանցման և ներկայացման նույն պատկերը, ինչ առանձին թվային ընդմիջումներով. կոորդինատային գիծը, մենք պետք է պատրաստ լինենք հեշտությամբ նկարագրել համապատասխան թվային բազմությունը առանձին բացերի և առանձին թվերից բաղկացած բազմությունների միավորման միջոցով:

Մատենագիտություն.

• Հանրահաշիվ:դասագիրք 8 բջիջների համար: հանրակրթական հաստատություններ / [Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա]; խմբ. Ս.Ա.Տելյակովսկի. - 16-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2008. - 271 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-019243-9 ։
• Մորդկովիչ Ա.Գ.Հանրահաշիվ. 9-րդ դասարան Ժամը 14-ին Մաս 1. Ուսանողի դասագիրք ուսումնական հաստատություններ/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13-րդ հրատ., Սր. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 էջ: հիվանդ. ISBN 978-5-346-01752-3 ։

Ձևավորեք թվերը

Թվային սարքերում թվերի պատկերների երկու ձև կա. հետ ֆիքսված і լողացող կոմա.

Առջևի պարբերությունում երևում էին միայն մի քանի դրական թվեր։ Բանաձևը (1.14) հնարավորություն է տալիս կրկնակի թիվ ցուցադրել ամբողջ և կոտորակային մասով և ֆիքսված կոմայի մեջ: Ֆիքսված կոմայով երկնիշ թվի նշանը տրվում է լրացուցիչ աստիճանով, որը դրվում է թվերի դիմաց։ Լրացուցիչ համարների համար լրացուցիչ պատվերի արժեքը հավասար է « 0 », վիզուալների համար - « 1 ”.

Սեղանի մոտ 1.3 Վերջին և երկրորդ համարները կրկնակի կոդով կոդավորելու երեք տարբերակ կա:

Աղյուսակ 1.3.

Առաջին տարբերակում, ինչպես պարզվում է աղյուսակներից, կոդավորված կրկնակի հաջորդականության մեջ կարող է լինել լրացուցիչ և վերջնական զրոների տեղ, ինչը կարող է հանգեցնել խնդիրների, երբ vikonann թվաբանական գործողությունները:

Տրված թվերի ներկայացումը դարպասի կոդում նույնպես չի լուծում վերը նշված խնդիրը։ Միայն մեկ անգամ չեք սխալվի, եթե թվերը տեսնեք լրացուցիչ ծածկագիր, որը հաշվարկվում է բանաձևով.

Նկ. 1.12-ը ցույց է տալիս դրական և բացասական թվերի պատկերի գրաֆիկական մեկնաբանություն, որոնք զրոյի նման են ուղիղ և փոխլրացնող կոդերի այլընտրանքներին: Ինչպես ցույց կտանք ավելի ուշ, տասներորդ թվերի ներկայացման նման ձևը պարզապես կպարզեցնի թվաբանական գործողությունները:

Օրինակ 1.10.Իմացեք տասներորդ թվերին լրացնող կոդը՝ 0 10 , 17 10 , -127 10 :

Ռոզվյազանյա.Մենք գիտենք տրված թվերի երկու համարժեքներ.

0 10 = 00000000 2 ; 17 10 = 00010001 2 ; -127 10 = 10000001 2 .

Մենք գիտենք կոդը, zvorotnі dvіykovim - vіdpovіdno: 11111111; 11101110; 01111110։

Հայտնի է լրացնել տրված թվերի կոդերը՝ 11111111 + 1 = 100000000 2 = 0 10;

11101110 + 1 = 11101111 2 = -17 10 ; 01111110 + 1 = 01111111 2 = 127 10 .

Այժմ մենք բացատրում ենք ֆիքսված կոմայով թվերի գրանցման էությունը։ Անկախ նրանից, թե թվային համակարգերում թիվը ընդունվում է հատուկ հիշողության սարքերի միջոցով, ֆիքսված թվով տարրերից ձևավորվում է երեսվածքների շարք: Կոման, որը կրակոցների քանակի մեջ ներառել է կրակոցի մի մասը, հիշողության շարքում ֆիքսված դիրք է զբաղեցնում՝ ավագ կոչման դիմաց կամ երիտասարդից հետո։

Առաջին տեսակի համար թվի բացարձակ արժեքը մեկից փոքր է, օրինակ՝ 0,110101 2: 1.13, վերջնական գանձման աստիճանը ցույց է տալիս թվի նշանը, իսկ ռեշտան՝ մոդուլի աստիճանը: Վիլնու երիտասարդ արտանետումները լցված են զրոներով. Oskіlki է վերանայված vipadku անընդմեջ հիշողության փոխանցվում է արձանագրել միայն կոտորակային մասը թվի, ապա արդյունքները բոլոր գործողությունների պայմանավորված են բացարձակ արժեքների, պակաս, քան մեկ. Wikonnannya tsієї համոզվեք, որ ընտրեք համապատասխան մասշտաբային գործոններ, որոնց վրա արտաքին տվյալները բազմապատկվում են: Եթե ​​թրթռումների սանդղակի գործակիցը սխալ է, ապա կարող է տեղի ունենալ արտանետումների և ամբողջ մասի տեսքի վերադասավորում, կարծես այն կծախսվի, արտանետման ցանցի բեկորները չեն փոխանցվի її տեսքին։ Միևնույն է, ես ձեզ դժոխք կբերեմ արդյունքի մեջ, որը նման մեթոդի պակաս է:

Մեկ այլ տրամադրության դեպքում, եթե ամենաերիտասարդ կարգից հետո կոմա է ֆիքսվում, այն կարող է ճիշտ լինել ամբողջ թվերի դեպքում: Այսպիսով, օրինակ, հիշողության շարքում 10011 2 թիվը տեղադրված է նկ. 1.14, de livy աստիճանը նշան է, և դրան հետևելով աջ կողմում, թափուր թվանշանները լրացվում են զրոներով: Այսպիսով, մոդուլի արժեքը հիշողության ցանկապատված շարք է:

Լողացող կոմայով թվերը թվի պատկերը փոխանցում են մանտիսին, որը բազմապատկվում է բեմում թվային համակարգի հիմքով, որը կարգավորված է։ Օրինակ՝ 200 թիվը գրված է 0,2 × 10 3, իսկ 0,000312 թիվը՝ 0,312 × 10 -3։ Vidpovidno zapisyutsya եւ dvіykovі համարները: Մանտիսը և կարգը ցուցադրվում են կրկնակի կոդով, և հիմքը երկուսն է: Օրինակ, տասներորդ համակարգում 0,111 × 2 10 \u003d 11,10 2 թիվը ցուցադրվում է որպես 0,875 × 2 2 \u003d 3,5 10: Հիշողության շարքում այսպիսի թվեր վերցված են թվերի երկու խմբից՝ առաջին խումբը՝ մանտիսը, ինքն է որոշում թիվը, մյուսը՝ կարգը՝ թվի մեջ Կոմիի տեղը (նկ. 1.15):

Հիշողության տողի զրոյական տարրի մոտ ցուցադրվում է թվի նշանը (տվյալ կրկնակի թվի համար, որը գրված է հիշողության տողում՝ « 0 »): Հեռավորությունները սահմանվում են հենց թվի հերթականությամբ (1…8 կետեր): Եթե ​​այն տրվում է ավելի փոքր թվով տողերով, ապա թվի աջ կողմում գտնվող հիշողության տարրերը լցվում են զրոներով։ Իններորդ կարգում ցուցադրվում է կարգի նշանը, իսկ ռեշտում, մանտիսայի անալոգիայով, - կարգը նշանակող թիվը։ Նման ռեկորդով թվի արժեքը սահմանվում է այնպես, որ մանտիսի առաջին նշանակալի նիշը չի հավասարվում « 0 «. Մուտքի այս ձևը կոչվում է նորմալ.

Նվազագույն հավելյալ թիվը, որը կարելի է գրել նորմալ ձևով հիշողության տողում, որոշվում է նվազագույն մանտիսա 0,1000..0 2 և առավելագույն ելքային կարգով՝ 111..1 2: Քանակով կՆվազագույն տասը կարգով այն թիվը, որը կարելի է գրել, որոշվում է բանաձևով.

. (1.15)

Մատիմեմոների առավելագույն քանակը մանտիսի առավելագույն արժեքով (0,111 ... 1) 2 և առավելագույն լրացուցիչ պատվեր (111 ... 1 2) = 2 կ- 1, ուրեմն

Շրջանակ ԴՆորմալ ձևով ներկայացված թվերը, ինչպես պարզվում է (1.15) և (1.16) բանաձևերից, նշանակում է միայն թիվ կ. Օրինակ, համար կ= 6 հայտնի է.

; .

Համարի գրանցման ճշգրտությունը սահմանվում է պատվերների քանակով մ mantici. Եթե ​​թվի շարքերի թիվը հակադարձում է մանտիսի մեջ մուտքագրված շարքերի թիվը, ապա թիվը կլորացվում է մինչև անհրաժեշտ թիվը: Երկու թվերն այս կերպ կլորացնելու կանոնը հետևյալն է. եթե բառի երևացող մասի ավագ կարգը մեկն է, ապա մանտիների ամենաերիտասարդ կարգին գումարվում է մեկը։ Նման կլորացված բացարձակ ցուցանիշով մանտի պատկերը չի գերազանցում երիտասարդ մանտի կատեգորիայի գործակիցի կեսը, որը վերցված է, tobto:

Վրախովուչի, որ մանտիների գրանցման նորմալ ձևում չի կարող 0,5-ից պակաս լինել, ակնհայտ սխալ η:

Օրինակ, երբ մ= 24 maєmo:

.

Այսօրվա թվային համակարգերում՝ լողացող կոմայով թվեր ցուցադրելու համար, օգտագործվում է dozhinoy chotiri բայթերի շարք: 23 արտանետումներով սահմանեք մանտիսը, իսկ 7-ը՝ կարգի մեծությունը: Ցուցադրվող թվերի շրջանակը ծալված է ± 2 127-ից մինչև ± 2 -127:

Լողացող կոմայով թվերի տատանումները կընդլայնեն և կպարզեցնեն թվերի ներկայացումը, սակայն նման թվերի վրա գործողությունների բազմակողմանիությունը ավելի համագործակցային է, ավելի ցածր՝ ֆիքսված կոմայի մեջ գտնվող թվերի դեպքում:

Ռացիոնալ թվերի համակարգի արտահայտիչ երկրաչափական պատկերը կարելի է ստանալ հետևյալ կերպ.

Բրինձ. 8. Թվային առանցք

Ինչ-որ ուղիղ գծի՝ «թվային առանցքի» վրա մենք նշում ենք հատվածը 0-ից 1 (նկ. 8): Սա սահմանում է միավորի հատվածի երկարությունը, որը, ընդհանուր առմամբ, կարելի է ընտրել կամայականորեն: Դրական և բացասական ամբողջ թվերն այնուհետև պատկերվում են որպես թվային առանցքի վրա հավասար հեռավորության վրա գտնվող կետերի մի շարք, այն է՝ դրական թվերը նշված են աջ, իսկ բացասական թվերը՝ 0 կետից ձախ: Թվերը հայտարարով պատկերելու համար բաժանում ենք յուրաքանչյուրը: միավորի երկարության ստացված հատվածները հավասար մասերի. Բաժանման կետերը կներկայացնեն հայտարար ունեցող կոտորակներ: Եթե մենք դա անենք բոլոր բնական թվերին համապատասխանող արժեքների համար, ապա յուրաքանչյուր ռացիոնալ թիվ կպատկերվի թվային առանցքի ինչ-որ կետով: Մենք կհամաձայնվենք այս կետերը անվանել «ռացիոնալ». ընդհանուր առմամբ «ռացիոնալ թիվ» և «ռացիոնալ կետ» տերմինները կօգտագործվեն որպես հոմանիշներ։

I գլխում, § 1, սահմանվել է բնական թվերի անհավասարության կապը: Թվային առանցքի վրա այս հարաբերակցությունը արտացոլվում է հետևյալ կերպ՝ եթե բնական թիվ A-ն փոքր է B բնական թվից, այնուհետև A կետը գտնվում է B կետի ձախ կողմում: Քանի որ նշված երկրաչափական հարաբերությունը հաստատված է ռացիոնալ կետերի ցանկացած զույգի համար, բնական է փորձել ընդհանրացնել թվաբանական անհավասարության հարաբերությունը նման կետում: դիտարկվող կետերի համար այս երկրաչափական կարգը պահպանելու միջոց։ Դա հնարավոր է, եթե ընդունենք հետևյալ սահմանումը. ասենք, որ ռացիոնալ Ա թիվը փոքր է ռացիոնալ թիվկամ որ B թիվը մեծ է թվից, եթե տարբերությունը դրական է։ Սրանից (համար) հետևում է, որ միջև եղած կետերը (թվերը) նրանք են, որոնք

Միևնույն ժամանակ, յուրաքանչյուր այդպիսի զույգ, նրանց միջև եղած բոլոր կետերի հետ միասին, կոչվում է հատված (կամ հատված) և նշվում է (իսկ միջանկյալ կետերի բազմությունը միայն կոչվում է ինտերվալ (կամ միջակայք), որը նշվում է.

A կամայական կետի հեռավորությունը սկզբնակետից 0-ից, որը համարվում է դրական թիվ, կոչվում է A-ի բացարձակ արժեք և նշվում է նշանով.

«Բացարձակ արժեք» հասկացությունը սահմանվում է հետևյալ կերպ. եթե , ապա եթե ուրեմն պարզ է, որ եթե թվերն ունեն նույն նշանը, ապա հավասարությունը ճիշտ է, եթե ունեն. տարբեր նշաններ, ապա . Այս երկու արդյունքները միասին համադրելով՝ հանգում ենք ընդհանուր անհավասարությանը

որը վավեր է անկախ նշաններից

Հիմնարար կարևորության փաստն արտահայտվում է հետևյալ դրույթով. ռացիոնալ կետերը ամենուր խիտ են թվային ուղղի վրա։ Այս պնդման իմաստն այն է, որ ցանկացած միջակայքի ներսում, որքան էլ այն փոքր լինի, կան ռացիոնալ կետեր: Նշված հայտարարության վավերականությունը ստուգելու համար բավական է վերցնել այնքան մեծ թիվ, որ միջակայքը (ը փոքր լինի տվյալ ինտերվալից, ապա ձևի կետերից գոնե մեկը կլինի այս ինտերվալի ներսում: Այսպիսով, կա. Թվային առանցքի վրա չկա այնպիսի միջակայք (նույնիսկ ամենափոքրը, որը կարելի է պատկերացնել), որի ներսում ռացիոնալ կետեր չեն լինի։ Դրանից հետևում է նաև հաջորդ հետևանքը՝ յուրաքանչյուր ինտերվալ պարունակում է անսահման թվով ռացիոնալ կետեր։ միայն վերջավոր թվով ռացիոնալ կետեր, ապա երկու հարևան նման կետերով ձևավորված միջակայքի ներսում այլևս ռացիոնալ կետեր չեն լինի, և դա հակասում է նոր ապացուցվածին: