Քառակուսային հավասարման արմատների բանաձևերը. Դիտարկվում են իրական, բազմակի և բարդ արմատների դեպքերը։ Քառակուսի եռանդամի ֆակտորիզացիա. Երկրաչափական մեկնաբանություն. Արմատների որոշման և ֆակտորացման օրինակներ.

Հիմնական բանաձևեր

Դիտարկենք քառակուսի հավասարումը.
(1) .
Քառակուսային հավասարման արմատները(1) որոշվում են բանաձևերով.
; .
Այս բանաձևերը կարելի է համատեղել այսպես.
.
Երբ հայտնի են քառակուսի հավասարման արմատները, ապա երկրորդ աստիճանի բազմանդամը կարող է ներկայացվել որպես գործոնների արտադրյալ (գործոնային).
.

Ավելին, մենք ենթադրում ենք, որ դրանք իրական թվեր են:
Հաշվի առեք քառակուսի հավասարման տարբերակիչ:
.
Եթե ​​դիսկրիմինանտը դրական է, ապա քառակուսի հավասարումը (1) ունի երկու տարբեր իրական արմատներ.
; .
Այնուհետև քառակուսի եռանկյունի ֆակտորիզացիան ունի ձև.
.
Եթե ​​դիսկրիմինանտը զրո է, ապա քառակուսի հավասարումը (1) ունի երկու բազմակի (հավասար) իրական արմատ.
.
Ֆակտորիզացիա:
.
Եթե ​​դիսկրիմինանտը բացասական է, ապա քառակուսի հավասարումը (1) ունի երկու բարդ խոնարհված արմատ.
;
.
Ահա երևակայական միավորը, ;
և արմատների իրական և երևակայական մասերն են.
; .
Հետո

.

Գրաֆիկական մեկնաբանություն

Եթե ​​գծապատկերենք ֆունկցիան
,
որը պարաբոլա է, ապա առանցքի հետ գրաֆիկի հատման կետերը կլինեն հավասարման արմատները.
.
Երբ , գրաֆիկը հատում է աբսցիսայի առանցքը (առանցքը) երկու կետով:
Երբ , գրաֆիկը մի կետում դիպչում է x առանցքին:
Երբ , գրաֆիկը չի հատում x առանցքը:

Ստորև բերված են նման գրաֆիկների օրինակներ:

Քառակուսային հավասարման հետ կապված օգտակար բանաձևեր

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Քառակուսային հավասարման արմատների բանաձևի ստացում

Մենք կատարում ենք փոխակերպումներ և կիրառում ենք (f.1) և (f.3) բանաձևերը.




,
որտեղ
; .

Այսպիսով, մենք ստացանք երկրորդ աստիճանի բազմանդամի բանաձևը հետևյալ ձևով.
.
Այստեղից երևում է, որ հավասարումը

կատարվել է
Եվ .
Այսինքն, և են քառակուսի հավասարման արմատները
.

Քառակուսային հավասարման արմատները որոշելու օրինակներ

Օրինակ 1

(1.1) .

Լուծում

.
Համեմատելով մեր հավասարման հետ (1.1) մենք գտնում ենք գործակիցների արժեքները.
.
Գտնել տարբերակիչ.
.
Քանի որ դիսկրիմինատորը դրական է, ապա հավասարումն ունի երկու իրական արմատ.
;
;
.

Այստեղից մենք ստանում ենք քառակուսի եռանդամի տարրալուծումը գործոնների.

.

y = ֆունկցիայի գրաֆիկը 2 x 2 + 7 x + 3հատում է x առանցքը երկու կետով:

Եկեք գծագրենք ֆունկցիան
.
Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլա է։ Այն հատում է x առանցքը (առանցքը) երկու կետով.
Եվ .
Այս կետերը սկզբնական հավասարման արմատներն են (1.1):

Պատասխանել

;
;
.

Օրինակ 2

Գտեք քառակուսի հավասարման արմատները.
(2.1) .

Լուծում

Մենք քառակուսի հավասարումը գրում ենք ընդհանուր ձևով.
.
Համեմատելով սկզբնական հավասարման հետ (2.1) մենք գտնում ենք գործակիցների արժեքները.
.
Գտնել տարբերակիչ.
.
Քանի որ դիսկրիմինատորը զրո է, հավասարումը ունի երկու բազմակի (հավասար) արմատ.
;
.

Այնուհետև եռանդամի ֆակտորիզացիան ունի ձև.
.

y = x ֆունկցիայի գրաֆիկը 2 - 4 x + 4դիպչում է x-առանցքին մի կետում:

Եկեք գծագրենք ֆունկցիան
.
Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլա է։ Այն դիպչում է x-առանցքին (առանցքին) մի կետում.
.
Այս կետը սկզբնական հավասարման արմատն է (2.1): Քանի որ այս արմատը գործակցվում է երկու անգամ.
,
ապա այդպիսի արմատը կոչվում է բազմապատիկ։ Այսինքն՝ նրանք համարում են, որ երկու հավասար արմատներ կան.
.

Պատասխանել

;
.

Օրինակ 3

Գտեք քառակուսի հավասարման արմատները.
(3.1) .

Լուծում

Մենք քառակուսի հավասարումը գրում ենք ընդհանուր ձևով.
(1) .
Եկեք վերագրենք սկզբնական հավասարումը (3.1).
.
Համեմատելով (1) հետ՝ մենք գտնում ենք գործակիցների արժեքները.
.
Գտնել տարբերակիչ.
.
Խտրականը բացասական է, . Հետեւաբար, իրական արմատներ չկան:

Դուք կարող եք գտնել բարդ արմատներ.
;
;
.

Հետո


.

Ֆունկցիայի գրաֆիկը չի հատում x առանցքը: Իրական արմատներ չկան։

Եկեք գծագրենք ֆունկցիան
.
Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլա է։ Այն չի անցնում աբսցիսայի (առանցքի) վրայով։ Հետեւաբար, իրական արմատներ չկան:

Պատասխանել

Իրական արմատներ չկան։ Բարդ արմատներ.
;
;
.

Մատենագիտական ​​նկարագրություն. Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Քառակուսային հավասարումների լուծման մեթոդներ // Երիտասարդ գիտնական. - 2016. - Թիվ 6.1. - Ս. 17-20..02.2019).



Մեր նախագիծը նվիրված է քառակուսի հավասարումների լուծման եղանակներին։ Նախագծի նպատակը՝ սովորել, թե ինչպես լուծել քառակուսի հավասարումներ դպրոցական ծրագրում չներառված եղանակներով: Առաջադրանք՝ գտե՛ք քառակուսի հավասարումներ լուծելու բոլոր հնարավոր ուղիները և սովորե՛ք, թե ինչպես օգտագործել դրանք ինքներդ և դասընկերներին ծանոթացնել այդ մեթոդներին:

Որո՞նք են «քառակուսային հավասարումները»:

Քառակուսային հավասարում- ձևի հավասարումը կացին2 + bx + c = 0, որտեղ ա, բ, գ- որոշ թվեր ( a ≠ 0), x- անհայտ:

a, b, c թվերը կոչվում են քառակուսի հավասարման գործակիցներ։

• ա կոչվում է առաջին գործակից;
• b կոչվում է երկրորդ գործակից;
• գ - ազատ անդամ:

Իսկ ո՞վ է առաջինը «հնարել» քառակուսի հավասարումներ։

Գծային և քառակուսի հավասարումների լուծման հանրահաշվական որոշ մեթոդներ հայտնի են եղել դեռևս 4000 տարի առաջ Հին Բաբելոնում: Հայտնաբերված հնագույն բաբելոնյան կավե տախտակները, որոնք թվագրվել են մ.թ.ա. 1800-ից 1600 թվականներին, քառակուսի հավասարումների ուսումնասիրության ամենավաղ վկայությունն են: Նույն հաբերը պարունակում է քառակուսի հավասարումների որոշ տեսակների լուծման մեթոդներ։

Հնում ոչ միայն առաջին, այլև երկրորդ աստիճանի հավասարումների լուծման անհրաժեշտությունը առաջացել է ռազմական բնույթի հողատարածքների և հողային աշխատանքների հայտնաբերման, ինչպես նաև աստղագիտության և զարգացման հետ կապված խնդիրների լուծման անհրաժեշտությամբ։ հենց մաթեմատիկան։

Բաբելոնյան տեքստերում նշված այս հավասարումների լուծման կանոնը, ըստ էության, համընկնում է ժամանակակիցի հետ, սակայն հայտնի չէ, թե ինչպես են բաբելոնացիները եկել այս կանոնին։ Գրեթե բոլոր սեպագիր տեքստերը, որոնք մինչ այժմ գտնվել են, տալիս են միայն լուծումների հետ կապված խնդիրներ, որոնք նշված են բաղադրատոմսերի տեսքով, առանց մատնանշելու, թե ինչպես են դրանք հայտնաբերվել: Չնայած Բաբելոնում հանրահաշվի զարգացման բարձր մակարդակին, սեպագիր տեքստերում բացակայում է բացասական թվի հայեցակարգը և քառակուսի հավասարումների լուծման ընդհանուր մեթոդները։

Բաբելոնացի մաթեմատիկոսները մոտ 4-րդ դարից մ.թ.ա. դրական արմատներով հավասարումներ լուծելու համար օգտագործել է քառակուսի լրացման մեթոդը: Մոտ 300 մ.թ.ա. Էվկլիդեսը հանդես եկավ երկրաչափական լուծման ավելի ընդհանուր մեթոդով։ Առաջին մաթեմատիկոսը, ով հանրահաշվական բանաձեւի տեսքով բացասական արմատներով հավասարման լուծումներ գտավ, հնդիկ գիտնական էր։ Բրահմագուպտա(Հնդկաստան, մ.թ. 7-րդ դար):

Բրահմագուպտան ուրվագծել է մեկ կանոնական ձևով կրճատված քառակուսի հավասարումների լուծման ընդհանուր կանոն.

ax2 + bx = c, a>0

Այս հավասարման դեպքում գործակիցները կարող են բացասական լինել: Բրահմագուպտայի կանոնը ըստ էության համընկնում է մերի հետ։

Հնդկաստանում դժվարին խնդիրների լուծման հասարակական մրցույթները սովորական էին։ Հին հնդկական գրքերից մեկում այսպիսի մրցույթների մասին ասվում է հետևյալը. «Ինչպես արևն իր փայլով գերազանցում է աստղերին, այնպես էլ գիտուն մարդն իր փառքը կգերազանցի հանրային ժողովներում՝ առաջարկելով և լուծելով հանրահաշվական խնդիրներ»: Առաջադրանքները հաճախ դրված էին բանաստեղծական ձևով:

Հանրահաշվական տրակտատում Ալ-Խվարիզմիտրված է գծային և քառակուսի հավասարումների դասակարգում։ Հեղինակը թվարկում է 6 տեսակի հավասարումներ՝ դրանք արտահայտելով այսպես.

1) «Քառակուսիները հավասար են արմատներին», այսինքն՝ ax2 = bx:

2) «Քառակուսիները հավասար են թվին», այսինքն՝ ax2 = c.

3) «Արմատները հավասար են թվին», այսինքն՝ ax2 = c.

4) «Քառակուսիները և թվերը հավասար են արմատներին», այսինքն՝ ax2 + c = bx:

5) «Քառակուսիները և արմատները հավասար են թվին», այսինքն՝ ax2 + bx = c.

6) «Արմատները և թվերը հավասար են քառակուսիների», այսինքն՝ bx + c == ax2:

Ալ-Խվարեզմիի համար, ով խուսափում էր բացասական թվերի օգտագործումից, այս հավասարումներից յուրաքանչյուրի անդամները հավելումներ են, ոչ թե հանումներ։ Այս դեպքում ակնհայտորեն հաշվի չեն առնվում այն ​​հավասարումները, որոնք չունեն դրական լուծումներ։ Հեղինակը ուրվագծում է այս հավասարումների լուծման մեթոդները՝ օգտագործելով ալ-ջաբր և ալ-մուկաբալա մեթոդները։ Նրա որոշումը, իհարկե, լիովին չի համընկնում մեր որոշման հետ։ Էլ չենք խոսում այն ​​մասին, որ այն զուտ հռետորական է, պետք է նշել, օրինակ, որ առաջին տիպի թերի քառակուսի հավասարումը լուծելիս Ալ-Խվարեզմին, ինչպես և բոլոր մաթեմատիկոսները մինչև 17-րդ դարը, հաշվի չեն առնում զրոն. լուծում, հավանաբար այն պատճառով, որ կոնկրետ գործնական առաջադրանքներում դա նշանակություն չունի: Ամբողջական քառակուսի հավասարումներ լուծելիս Ալ-Խվարեզմին սահմանում է դրանց լուծման կանոնները՝ օգտագործելով որոշակի թվային օրինակներ, այնուհետև դրանց երկրաչափական ապացույցները։

Եվրոպայում Ալ-Խավարիզմի մոդելով քառակուսի հավասարումների լուծման ձևերն առաջին անգամ նկարագրվել են «Աբակուսի գրքում», որը գրվել է 1202 թվականին։ Իտալացի մաթեմատիկոս Լեոնարդ Ֆիբոնաչի. Հեղինակն ինքնուրույն մշակեց խնդիրների լուծման մի քանի նոր հանրահաշվական օրինակներ և առաջինն էր Եվրոպայում, ով մոտեցավ բացասական թվերի ներդրմանը։

Այս գիրքը նպաստեց հանրահաշվական գիտելիքների տարածմանը ոչ միայն Իտալիայում, այլև Գերմանիայում, Ֆրանսիայում և եվրոպական այլ երկրներում։ Այս գրքից շատ առաջադրանքներ փոխանցվել են 14-17-րդ դարերի եվրոպական գրեթե բոլոր դասագրքերին։ 1544 թվականին Եվրոպայում ձևակերպվել է մեկ կանոնական x2 + bx = c նշանների և b, c գործակիցների բոլոր հնարավոր համակցություններով կրճատված քառակուսային հավասարումների լուծման ընդհանուր կանոնը։ Մ.Շտիֆել.

Վիետան ունի քառակուսի հավասարման լուծման բանաձևի ընդհանուր ածանցավորում, բայց Վիետան ճանաչեց միայն դրական արմատներ: Իտալացի մաթեմատիկոսներ Տարտալյա, Կարդանո, Բոմբելիառաջիններից է 16-րդ դարում։ հաշվի առնել, բացի դրականից, և բացասական արմատներից: Միայն XVII դ. աշխատանքի շնորհիվ Ժիրար, Դեկարտ, Նյուտոնև այլ գիտնականներ, քառակուսի հավասարումների լուծման եղանակը ստանում է ժամանակակից ձև:

Դիտարկենք քառակուսի հավասարումների լուծման մի քանի եղանակներ:

Դպրոցական ուսումնական պլանից քառակուսի հավասարումներ լուծելու ստանդարտ եղանակներ.

1. Հավասարման ձախ կողմի գործոնացում.
2. Ամբողջական քառակուսի ընտրության մեթոդ.
3. Քառակուսային հավասարումների լուծում բանաձևով.
4. Քառակուսային հավասարման գրաֆիկական լուծում.
5. Վիետայի թեորեմի օգտագործմամբ հավասարումների լուծում.

Եկեք ավելի մանրամասն անդրադառնանք Վիետայի թեորեմի օգտագործմամբ կրճատված և չկրճատված քառակուսի հավասարումների լուծմանը։

Հիշեցնենք, որ տրված քառակուսային հավասարումները լուծելու համար բավական է գտնել երկու այնպիսի թիվ, որոնց արտադրյալը հավասար լինի ազատ անդամին, իսկ գումարը հավասար լինի հակառակ նշանով երկրորդ գործակցին։

Օրինակ.x 2 -5x+6=0

Պետք է գտնել թվեր, որոնց արտադրյալը 6 է, իսկ գումարը՝ 5։ Այս թվերը կլինեն 3 և 2։

Պատասխան՝ x 1 =2, x 2 =3.

Բայց դուք կարող եք օգտագործել այս մեթոդը հավասարումների համար, որոնց առաջին գործակիցը հավասար չէ մեկին:

Օրինակ.3x 2 +2x-5=0

Վերցնում ենք առաջին գործակիցը և այն բազմապատկում ազատ անդամով՝ x 2 +2x-15=0.

Այս հավասարման արմատները կլինեն այն թվերը, որոնց արտադրյալը հավասար է -15-ի, իսկ գումարը հավասար է -2-ի: Այս թվերն են 5-ը և 3-ը: Բնօրինակ հավասարման արմատները գտնելու համար ստացված արմատները բաժանում ենք առաջին գործակցի վրա: .

Պատասխան՝ x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Հավասարումների լուծում «փոխանցման» մեթոդով։

Դիտարկենք ax 2 + bx + c = 0 քառակուսային հավասարումը, որտեղ a≠0:

Նրա երկու մասերը բազմապատկելով a-ով, ստանում ենք a 2 x 2 + abx + ac = 0 հավասարումը:

Թող ax = y, որտեղից x = y/a; ապա հանգում ենք y 2 + ըստ + ac = 0 հավասարմանը, որը համարժեք է տրվածին։ Մենք գտնում ենք նրա արմատները 1-ում և 2-ում՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը:

Վերջապես մենք ստանում ենք x 1 = y 1 /a և x 2 = y 2 /a:

Այս մեթոդով a գործակիցը բազմապատկվում է ազատ անդամով, կարծես «փոխանցվում» է դրան, ուստի այն կոչվում է «փոխանցման» մեթոդ։ Այս մեթոդը կիրառվում է, երբ հեշտ է գտնել հավասարման արմատները՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը, և ամենակարևորը, երբ դիսկրիմինանտը ճշգրիտ քառակուսի է։

Օրինակ.2x 2 - 11x + 15 = 0:

2 գործակիցը «փոխանցենք» ազատ տերմինին և փոխարինումը կատարելով՝ ստանում ենք y 2 - 11y + 30 = 0 հավասարումը։

Վիետայի հակադարձ թեորեմի համաձայն

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3:

Պատասխան՝ x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Քառակուսային հավասարման գործակիցների հատկությունները.

Թող տրվի ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0 քառակուսային հավասարումը:

1. Եթե a + b + c \u003d 0 (այսինքն, հավասարման գործակիցների գումարը զրո է), ապա x 1 \u003d 1:

2. Եթե a - b + c \u003d 0, կամ b \u003d a + c, ապա x 1 \u003d - 1:

Օրինակ.345x 2 - 137x - 208 = 0:

Քանի որ a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), ապա x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345:

Պատասխան՝ x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Օրինակ.132 x 2 + 247x + 115 = 0

Որովհետեւ a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), ապա x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

Պատասխան՝ x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Կան քառակուսի հավասարման գործակիցների այլ հատկություններ: բայց դրանց օգտագործումն ավելի բարդ է:

8. Քառակուսային հավասարումների լուծում նոմոգրամի միջոցով:

Նկ 1. Նոմոգրամ

Սա քառակուսի հավասարումների լուծման հին և ներկայումս մոռացված մեթոդ է՝ տեղադրված ժողովածուի 83-րդ էջում՝ Bradis V.M. Քառանիշ մաթեմատիկական աղյուսակներ. - Մ., Կրթություն, 1990:

Աղյուսակ XXII. Նոմոգրամ՝ հավասարումների լուծման համար z2 + pz + q = 0. Այս նոմոգրամը թույլ է տալիս, առանց քառակուսի հավասարումը լուծելու, իր գործակիցներով որոշել հավասարման արմատները։

Նոմոգրամի կորագիծ սանդղակը կառուցված է ըստ բանաձևերի (նկ. 1).

Ենթադրելով OS = p, ED = q, OE = a(բոլորը սմ-ով), 1-ին եռանկյունների նմանությունից ՍԱՆԵվ CDFմենք ստանում ենք համամասնությունը

որտեղից փոխարինումներից և պարզեցումներից հետո հետևում է հավասարումը z 2 + pz + q = 0,և նամակը զնշանակում է կոր սանդղակի ցանկացած կետի պիտակ:

Բրինձ. 2 Քառակուսային հավասարման լուծում նոմոգրամի միջոցով

Օրինակներ.

1) հավասարման համար զ 2 - 9z + 8 = 0նոմոգրամը տալիս է z 1 = 8,0 և z 2 = 1,0 արմատները

Պատասխան՝ 8.0; 1.0.

2) Լուծե՛ք հավասարումը նոմոգրամի միջոցով

2զ 2 - 9z + 2 = 0:

Այս հավասարման գործակիցները բաժանեք 2-ի, ստանում ենք z 2 - 4,5z + 1 = 0 հավասարումը։

Նոմոգրամը տալիս է z 1 = 4 արմատները և z 2 = 0,5:

Պատասխան՝ 4; 0.5.

9. Քառակուսային հավասարումների լուծման երկրաչափական մեթոդ.

Օրինակ.X 2 + 10x = 39:

Բնագրում այս խնդիրը ձևակերպված է հետևյալ կերպ՝ «Քառակուսին և տասը արմատը հավասար են 39-ի»։

Դիտարկենք x կողմով քառակուսի, որի կողքերում ուղղանկյուններ են կառուցված, որպեսզի նրանցից յուրաքանչյուրի մյուս կողմը լինի 2,5, հետևաբար, յուրաքանչյուրի մակերեսը 2,5x է: Ստացված պատկերն այնուհետև լրացվում է նոր ABCD քառակուսու վրա՝ անկյուններում լրացնելով չորս հավասար քառակուսի, որոնցից յուրաքանչյուրի կողմը 2,5 է, իսկ մակերեսը՝ 6,25։

Բրինձ. 3 x 2 + 10x = 39 հավասարումը լուծելու գրաֆիկական եղանակ

ABCD քառակուսու S տարածքը կարող է ներկայացվել որպես տարածքների գումար՝ սկզբնական քառակուսի x 2, չորս ուղղանկյուն (4∙2.5x = 10x) և չորս կցված քառակուսի (6.25∙4 = 25), այսինքն. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25: Փոխարինելով x 2 + 10x 39 թվով, մենք ստանում ենք, որ S \u003d 39 + 25 \u003d 64, ինչը ենթադրում է, որ ABCD քառակուսու կողմը, այսինքն. հատված AB \u003d 8. Բնօրինակ քառակուսի x ցանկալի կողմի համար մենք ստանում ենք

10. Հավասարումների լուծում՝ օգտագործելով Բեզութի թեորեմը։

Բեզուտի թեորեմա. P(x) բազմանդամը x - α երկանդամին բաժանելուց հետո մնացածը հավասար է P(α)-ի (այսինքն՝ P(x)-ի արժեքը x = α-ում):

Եթե ​​α թիվը P(x) բազմանդամի արմատն է, ապա այս բազմանդամը առանց մնացորդի բաժանվում է x -α-ի։

Օրինակ.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α՝ ±1,±3, α=1, 1-4+3=0: Բաժանել P(x)-ի (x-1)՝ (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, կամ x-3=0, x=3; Պատասխան՝ x1 =2, x2 =3.

Արդյունք:Քառակուսային հավասարումներ արագ և ռացիոնալ լուծելու ունակությունը պարզապես անհրաժեշտ է ավելի բարդ հավասարումներ լուծելու համար, օրինակ՝ կոտորակային ռացիոնալ հավասարումներ, բարձր հզորությունների հավասարումներ, երկքառակուսի հավասարումներ, իսկ ավագ դպրոցում՝ եռանկյունաչափական, էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական հավասարումներ: Ուսումնասիրելով քառակուսի հավասարումների լուծման բոլոր մեթոդները, մենք կարող ենք դասընկերներին խորհուրդ տալ, բացի ստանդարտ մեթոդներից, լուծել փոխանցման մեթոդով (6) և լուծել հավասարումները գործակիցների հատկությամբ (7), քանի որ դրանք ավելի մատչելի են հասկանալու համար: .

Գրականություն:

1. Բրեդիս Վ.Մ. Քառանիշ մաթեմատիկական աղյուսակներ. - Մ., Կրթություն, 1990:
2. Հանրահաշիվ 8 դասարան: Դասագիրք 8-րդ դասարանի համար. հանրակրթական հաստատություններ Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S.A.Telyakovsky 15-րդ հրատ., վերանայված. - Մ.: Լուսավորություն, 2015 թ
3. https://en.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Գլեյզեր Գ.Ի. Մաթեմատիկայի պատմություն դպրոցում. Ուղեցույց ուսուցիչների համար. / Էդ. Վ.Ն. Ավելի երիտասարդ. - Մ.: Լուսավորություն, 1964:

Հավասարումների օգտագործումը լայն տարածում ունի մեր կյանքում: Դրանք օգտագործվում են բազմաթիվ հաշվարկների, կառույցների կառուցման և նույնիսկ սպորտի մեջ: Հավասարումները մարդկության կողմից օգտագործվել են հին ժամանակներից, և այդ ժամանակից ի վեր դրանց օգտագործումը միայն աճել է: Տարբերիչը թույլ է տալիս լուծել ցանկացած քառակուսի հավասարումներ՝ օգտագործելով ընդհանուր բանաձևը, որն ունի հետևյալ ձևը.

Տարբերակման բանաձևը կախված է բազմանդամի աստիճանից։ Վերոնշյալ բանաձևը հարմար է հետևյալ ձևի քառակուսի հավասարումների լուծման համար.

Տարբերիչն ունի հետևյալ հատկությունները, որոնք դուք պետք է իմանաք.

* «D»-ն 0 է, երբ բազմանդամն ունի բազմաթիվ արմատներ (հավասար արմատներ);

* «D»-ն սիմետրիկ բազմանդամ է բազմանդամի արմատների նկատմամբ և, հետևաբար, բազմանդամ է իր գործակիցներով. ընդ որում, այս բազմանդամի գործակիցները ամբողջ թվեր են՝ անկախ այն բանից, թե որքանով են վերցված արմատները։

Ենթադրենք, մեզ տրված է հետևյալ ձևի քառակուսային հավասարումը.

1 հավասարում

Բանաձևի համաձայն մենք ունենք.

Քանի որ \, ուրեմն հավասարումն ունի 2 արմատ։ Սահմանենք դրանք.

Որտե՞ղ կարող եմ լուծել հավասարումը տարբերակիչ առցանց լուծողի միջոցով:

Հավասարումը կարող եք լուծել մեր կայքէջում՝ https: // կայքում: Անվճար առցանց լուծիչը թույլ կտա հաշված վայրկյանների ընթացքում լուծել ցանկացած բարդության առցանց հավասարում: Ձեզ մնում է պարզապես մուտքագրել ձեր տվյալները լուծիչի մեջ: Կարող եք նաև դիտել վիդեո հրահանգը և սովորել, թե ինչպես լուծել հավասարումը մեր կայքում: Իսկ եթե հարցեր ունեք, կարող եք դրանք ուղղել մեր Vkontakte խմբում http://vk.com/pocketteacher: Միացե՛ք մեր խմբին, մենք միշտ ուրախ ենք օգնել ձեզ:

Քառակուսային հավասարումներ. Խտրական. Լուծում, օրինակներ.

Ուշադրություն.
Կան լրացուցիչ
Նյութը 555-րդ հատուկ բաժնում:
Նրանց համար, ովքեր խիստ «ոչ շատ ...»
Իսկ նրանց համար, ովքեր «շատ...»)

Քառակուսային հավասարումների տեսակները

Ի՞նչ է քառակուսի հավասարումը: Ինչպիսի տեսք ունի? Ժամկետում քառակուսի հավասարումհիմնաբառ է «քառակուսի».Դա նշանակում է, որ հավասարման մեջ անպայմանպետք է լինի x քառակուսի: Բացի դրանից, հավասարման մեջ կարող է լինել (կամ չի կարող լինել) ընդամենը x (առաջին աստիճանի) և ընդամենը մի թիվ (անվճար անդամ):Եվ երկուսից մեծ աստիճանով x-եր չպետք է լինեն:

Մաթեմատիկական առումով քառակուսի հավասարումը ձևի հավասարումն է.

Այստեղ ա, բ և գ- որոշ թվեր. բ և գ- բացարձակապես ցանկացած, բայց բայց- ամեն ինչ, բացի զրոյից: Օրինակ:

Այստեղ բայց =1; բ = 3; գ = -4

Այստեղ բայց =2; բ = -0,5; գ = 2,2

Այստեղ բայց =-3; բ = 6; գ = -18

Դե, դուք հասկացաք ...

Այս քառակուսի հավասարումների ձախ կողմում կա ամբողջական հավաքածուանդամներ։ x քառակուսի գործակցով բայց, x գործակցով առաջին հզորությանը բԵվ ազատ անդամ

Նման քառակուսի հավասարումներ կոչվում են ամբողջական.

Եւ եթե բ= 0, ի՞նչ կստանանք: Մենք ունենք X-ը կվերանա առաջին աստիճանում։Սա տեղի է ունենում զրոյով բազմապատկելուց։) Ստացվում է, օրինակ.

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

և այլն: Իսկ եթե երկու գործակիցն էլ բԵվ գհավասար են զրոյի, ապա ավելի պարզ է.

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Նման հավասարումներ, որտեղ ինչ-որ բան բացակայում է, կոչվում են թերի քառակուսի հավասարումներ.Ինչը միանգամայն տրամաբանական է:) Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ x քառակուսին առկա է բոլոր հավասարումների մեջ:

Ի դեպ, ինչու բայցչի կարող լինել զրո? Եվ փոխարենը դուք փոխարինում եք բայցզրո:) Քառակուսի X-ը կվերանա: Հավասարումը կդառնա գծային։ Եվ դա արվում է այլ կերպ ...

Դա քառակուսի հավասարումների բոլոր հիմնական տեսակներն են: Ամբողջական և թերի.

Քառակուսային հավասարումների լուծում.

Ամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծում.

Քառակուսային հավասարումները հեշտ է լուծել: Ըստ բանաձևերի և պարզ պարզ կանոնների. Առաջին փուլում անհրաժեշտ է տրված հավասարումը բերել ստանդարտ ձևի, այսինքն. դեպի տեսարան.

Եթե ​​հավասարումն արդեն տրված է ձեզ այս ձևով, ապա ձեզ հարկավոր չէ անել առաջին փուլը:) Գլխավորը բոլոր գործակիցները ճիշտ որոշելն է, բայց, բԵվ գ.

Քառակուսային հավասարման արմատները գտնելու բանաձևն ունի հետևյալ տեսքը.

Արմատային նշանի տակ գտնվող արտահայտությունը կոչվում է խտրական. Բայց նրա մասին ավելին ստորև: Ինչպես տեսնում եք, x-ը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք միայն a, b և c. Նրանք. գործակիցները քառակուսի հավասարումից. Պարզապես զգուշորեն փոխարինեք արժեքները ա, բ և գայս բանաձևի մեջ և հաշվել: Փոխարինող ձեր նշաններով! Օրինակ, հավասարման մեջ.

բայց =1; բ = 3; գ= -4. Այստեղ մենք գրում ենք.

Օրինակը գրեթե լուծված է.

Սա է պատասխանը։

Ամեն ինչ շատ պարզ է. Իսկ ի՞նչ եք կարծում, չե՞ք կարող սխալվել։ Դե, այո, ինչպես ...

Ամենատարածված սխալները արժեքների նշանների հետ շփոթությունն են ա, բ և գ. Ավելի ճիշտ, ոչ թե իրենց նշաններով (որտե՞ղ կարելի է շփոթել), այլ բացասական արժեքների փոխարինմամբ արմատները հաշվարկելու բանաձևով: Այստեղ պահվում է բանաձևի մանրամասն գրառումը հատուկ թվերով: Եթե ​​հաշվարկների հետ կապված խնդիրներ կան, այնպես որ դա արեք!

Ենթադրենք, մենք պետք է լուծենք հետևյալ օրինակը.

Այստեղ ա = -6; բ = -5; գ = -1

Ենթադրենք, դուք գիտեք, որ հազվադեպ եք պատասխաններ ստանում առաջին անգամ:

Դե, մի ծուլացեք: Լրացուցիչ տող գրելու համար կպահանջվի 30 վայրկյան Եվ սխալների քանակը կտրուկ կնվազի. Այսպիսով, մենք մանրամասն գրում ենք բոլոր փակագծերով և նշաններով.

Թվում է, թե աներևակայելի դժվար է այդքան ուշադիր նկարել: Բայց դա միայն թվում է. Փորձիր. Դե, կամ ընտրեք: Ո՞րն է ավելի լավ, արագ, թե ճիշտ: Բացի այդ, ես ձեզ կուրախացնեմ։ Որոշ ժամանակ անց ամեն ինչ այդքան խնամքով նկարելու կարիք չի լինի։ Պարզապես ճիշտ կստացվի։ Հատկապես, եթե դուք կիրառում եք գործնական տեխնիկա, որոնք նկարագրված են ստորև: Այս չար օրինակը մի շարք մինուսներով կլուծվի հեշտությամբ և առանց սխալների:

Բայց, հաճախ, քառակուսի հավասարումները մի փոքր այլ տեսք ունեն: Օրինակ, այսպես.

Գիտեի՞ք։) Այո՛։ Սա թերի քառակուսի հավասարումներ.

Թերի քառակուսի հավասարումների լուծում.

Դրանք կարելի է լուծել նաև ընդհանուր բանաձևով. Պարզապես պետք է ճիշտ պարզել, թե ինչն է այստեղ հավասար ա, բ և գ.

Հասկացա? Առաջին օրինակում a = 1; b = -4;բայց գ? Այն ընդհանրապես գոյություն չունի։ Դե, այո, այդպես է: Մաթեմատիկայի մեջ սա նշանակում է, որ c = 0 ! Այսքանը: Փոխարինեք զրո բանաձևի փոխարեն գ,և մեզ մոտ ամեն ինչ կստացվի: Նմանապես երկրորդ օրինակով. Միայն զրո մենք այստեղ չունենք -ից, բայց բ !

Բայց թերի քառակուսի հավասարումները շատ ավելի հեշտ են լուծվում։ Առանց որևէ բանաձևի. Դիտարկենք առաջին թերի հավասարումը: Ինչ կարելի է անել ձախ կողմում: Դուք կարող եք հանել X-ը փակագծերից: Եկեք հանենք այն:

Իսկ ի՞նչ: Եվ այն, որ արտադրյալը հավասար է զրոյի, եթե և միայն այն դեպքում, եթե գործոններից որևէ մեկը հավասար է զրոյի: Չե՞ք հավատում: Դե, ուրեմն եկեք երկու ոչ զրոյական թվեր, որոնք բազմապատկելուց զրո կտան։
Չի աշխատում? Ինչ - որ բան...
Այսպիսով, մենք կարող ենք վստահորեն գրել. x 1 = 0, x 2 = 4.

Ամեն ինչ. Սրանք կլինեն մեր հավասարման արմատները: Երկուսն էլ տեղավորվում են: Դրանցից որևէ մեկը սկզբնական հավասարման մեջ փոխարինելիս մենք ստանում ենք ճիշտ նույնականությունը 0 = 0: Ինչպես տեսնում եք, լուծումը շատ ավելի պարզ է, քան ընդհանուր բանաձևը: Նշում եմ, ի դեպ, որ X-ը կլինի առաջինը, իսկ որը՝ երկրորդը, բացարձակ անտարբեր է։ Հեշտ է գրել հերթականությամբ x 1- որն ավելի քիչ է x 2- այն, ինչ ավելին է:

Երկրորդ հավասարումը նույնպես հեշտությամբ կարելի է լուծել. Մենք 9-ը տեղափոխում ենք աջ կողմ: Մենք ստանում ենք.

Մնում է արմատը հանել 9-ից, և վերջ։ Ստանալ:

նաև երկու արմատ . x 1 = -3, x 2 = 3.

Այսպես են լուծվում բոլոր թերի քառակուսի հավասարումները։ Կամ փակագծերից հանելով X-ը, կամ պարզապես թիվը աջ տեղափոխելով, որին հաջորդում է արմատը հանելով։
Չափազանց դժվար է շփոթել այս մեթոդները։ Պարզապես այն պատճառով, որ առաջին դեպքում պետք է արմատը հանել X-ից, ինչը ինչ-որ կերպ անհասկանալի է, իսկ երկրորդ դեպքում փակագծերից հանելու բան չկա…

Խտրական. Խտրական բանաձեւ.

Կախարդական բառ խտրական ! Ավագ դպրոցի հազվագյուտ աշակերտ այս բառը չի լսել: «Որոշիր խտրականի միջոցով» արտահայտությունը հուսադրող և հուսադրող է: Որովհետև խտրականի կողմից հնարքների սպասել պետք չէ։ Օգտագործման մեջ պարզ է և անփորձանք։) Հիշեցնում եմ ձեզ լուծելու ամենաընդհանուր բանաձևը ցանկացածքառակուսի հավասարումներ.

Արմատային նշանի տակ եղած արտահայտությունը կոչվում է դիսկրիմինանտ։ Տարբերիչը սովորաբար նշվում է տառով Դ. Խտրական բանաձեւ.

D = b 2 - 4ac

Իսկ ինչո՞վ է առանձնահատուկ այս արտահայտությունը։ Ինչու՞ է այն արժանի հատուկ անվանման: Ինչ խտրականի իմաստը.Ամենից հետո -բ,կամ 2 աայս բանաձեւում նրանք կոնկրետ չեն անվանում ... Նամակներ և տառեր:

Բանն այս է. Այս բանաձեւով քառակուսի հավասարումը լուծելիս հնարավոր է ընդամենը երեք դեպք.

1. Խտրականը դրական է.Սա նշանակում է, որ դուք կարող եք արմատը հանել դրանից: Արմատը լավ է հանվում, թե վատ, այլ հարց է։ Կարեւոր է, թե ինչ է արդյունահանվում սկզբունքորեն։ Այսպիսով, ձեր քառակուսի հավասարումը երկու արմատ ունի: Երկու տարբեր լուծումներ.

2. Խտրականը զրո է։Ապա դուք ունեք մեկ լուծում. Քանի որ համարիչում զրո գումարելը կամ հանելը ոչինչ չի փոխում։ Խիստ ասած՝ սա մեկ արմատ չէ, այլ երկու նույնական. Բայց, պարզեցված տարբերակով, ընդունված է խոսել մեկ լուծում.

3. Խտրականը բացասական է.Բացասական թիվը չի վերցնում քառակուսի արմատը: Դե, լավ: Սա նշանակում է, որ լուծումներ չկան։

Անկեղծ ասած, քառակուսի հավասարումների պարզ լուծման դեպքում դիսկրիմինանտ հասկացությունն իրականում պարտադիր չէ: Բանաձևում փոխարինում ենք գործակիցների արժեքները և համարում ենք. Այնտեղ ամեն ինչ ինքն իրեն է ստացվում, և երկու արմատ, և մեկ, և ոչ մեկ: Սակայն ավելի բարդ խնդիրներ լուծելիս՝ առանց գիտելիքի իմաստը և տարբերակիչ բանաձևըբավարար չէ. Հատկապես - պարամետրերով հավասարումների մեջ: Նման հավասարումները օդաչուական են GIA-ի և միասնական պետական ​​քննության համար):

Այսպիսով, ինչպես լուծել քառակուսի հավասարումներքո հիշած խտրականի միջոցով: Կամ սովորել, որը նույնպես վատ չէ։) Դուք գիտեք, թե ինչպես ճիշտ նույնականացնել ա, բ և գ. Գիտե՞ք ինչպես ուշադիրդրանք փոխարինել արմատային բանաձևով և ուշադիրհաշվել արդյունքը. Հասկացա՞ք, որ այստեղ հիմնական բառն է. ուշադիր?

Այժմ ուշադրություն դարձրեք գործնական մեթոդներին, որոնք կտրուկ նվազեցնում են սխալների թիվը: Հենց նրանք, որոնք անուշադրության պատճառով են… որոնց համար հետո ցավալի է և վիրավորական…

Առաջին ընդունելություն . Մի ծուլացեք քառակուսի հավասարումը լուծելուց առաջ՝ այն ստանդարտ ձևի բերելու համար: Ինչ է սա նշանակում?
Ենթադրենք, ցանկացած փոխակերպումից հետո դուք ստանում եք հետևյալ հավասարումը.

Մի շտապեք գրել արմատների բանաձեւը: Դուք գրեթե անկասկած կխառնեք հավանականությունները ա, բ և գ.Ճիշտ կառուցիր օրինակը։ Նախ՝ x քառակուսի, հետո առանց քառակուսու, հետո ազատ անդամ։ Սրա նման:

Եվ կրկին, մի շտապեք: X-ի քառակուսի առաջ մինուսը կարող է ձեզ շատ տխրեցնել: Մոռանալը հեշտ է... Ազատվեք մինուսից։ Ինչպե՞ս: Այո, ինչպես ուսուցանվեց նախորդ թեմայում: Մենք պետք է բազմապատկենք ամբողջ հավասարումը -1-ով: Մենք ստանում ենք.

Եվ այժմ դուք կարող եք ապահով կերպով գրել արմատների բանաձևը, հաշվարկել դիսկրիմինանտը և լրացնել օրինակը: Որոշեք ինքներդ: Դուք պետք է ավարտեք 2-րդ և -1 արմատներով:

Երկրորդ ընդունելություն. Ստուգեք ձեր արմատները: Վիետայի թեորեմի համաձայն. Մի անհանգստացեք, ես ամեն ինչ կբացատրեմ: Ստուգում վերջին բանըհավասարումը։ Նրանք. այն, որով մենք գրեցինք արմատների բանաձևը. Եթե ​​(ինչպես այս օրինակում) գործակիցը a = 1, հեշտությամբ ստուգեք արմատները: Բավական է դրանք բազմապատկել։ Դուք պետք է ստանաք անվճար ժամկետ, այսինքն. մեր դեպքում -2. Ուշադրություն դարձրեք, ոչ թե 2, այլ -2: ազատ անդամ ձեր նշանով . Եթե ​​դա չի ստացվել, նշանակում է, որ նրանք արդեն ինչ-որ տեղ խառնվել են: Փնտրեք սխալ:

Եթե ​​ստացվեց, պետք է արմատները ծալել։ Վերջին և վերջնական ստուգում. Պետք է լինի հարաբերակցություն բ-ից հակառակը նշան. Մեր դեպքում -1+2 = +1: Գործակից բ, որը x-ից առաջ է, հավասար է -1-ի: Այսպիսով, ամեն ինչ ճիշտ է:
Ափսոս, որ այդքան պարզ է միայն այն օրինակների համար, որտեղ x քառակուսին մաքուր է, գործակիցով a = 1.Բայց գոնե ստուգեք նման հավասարումների մեջ։ Սխալներն ավելի քիչ կլինեն։

Ընդունելություն երրորդ . Եթե ​​ձեր հավասարումն ունի կոտորակային գործակիցներ, ազատվեք կոտորակներից: Բազմապատկե՛ք հավասարումը ընդհանուր հայտարարով, ինչպես նկարագրված է «Ինչպե՞ս լուծել հավասարումներ. ինքնության փոխակերպումներ» դասում։ Կոտորակների, սխալների հետ աշխատելիս, չգիտես ինչու, բարձրանալ ...

Ի դեպ, ես խոստացա մի չար օրինակ՝ մի շարք մինուսներով պարզեցնելու համար։ Խնդրում եմ։ Ահա նա։

Մինուսների մեջ չշփոթվելու համար հավասարումը բազմապատկում ենք -1-ով։ Մենք ստանում ենք.

Այսքանը: Որոշում կայացնելը զվարճալի է:

Այսպիսով, եկեք ամփոփենք թեման:

Գործնական խորհուրդներ.

1. Մինչ լուծելը քառակուսային հավասարումը բերում ենք ստանդարտ ձևի, կառուցում ճիշտ.

2. Եթե քառակուսիում x-ի դիմաց բացասական գործակից կա, այն վերացնում ենք՝ ամբողջ հավասարումը բազմապատկելով -1-ով:

3. Եթե գործակիցները կոտորակային են, ապա կոտորակները վերացնում ենք՝ ամբողջ հավասարումը համապատասխան գործակցով բազմապատկելով։

4. Եթե x քառակուսին մաքուր է, ապա դրա գործակիցը հավասար է մեկի, լուծումը հեշտությամբ կարելի է ստուգել Վիետայի թեորեմով։ Արա!

Այժմ դուք կարող եք որոշել:)

Լուծել հավասարումներ.

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)

Պատասխաններ (խառնաշփոթ).

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - ցանկացած թիվ

x 1 = -3
x 2 = 3

լուծումներ չկան

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0.5

Արդյո՞ք ամեն ինչ տեղավորվում է: Լավ! Քառակուսի հավասարումները ձեր գլխացավը չեն: Առաջին երեքը ստացվեցին, իսկ մնացածը՝ ոչ։ Ապա խնդիրը քառակուսի հավասարումների մեջ չէ։ Խնդիրը հավասարումների նույնական փոխակերպումների մեջ է։ Նայեք հղումը, այն օգտակար է:

Միանգամայն չի աշխատում: Կամ ընդհանրապես չի ստացվում? Այնուհետև ձեզ կօգնի 555-րդ բաժինը, որտեղ այս բոլոր օրինակները դասավորված են ըստ ոսկորների: Ցուցադրվում է հիմնականլուծման սխալներ. Իհարկե, նկարագրված է նաև նույնական փոխակերպումների կիրառումը տարբեր հավասարումների լուծման ժամանակ։ Օգնում է շատ!

Եթե ​​Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...

Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)

Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Սովորում - հետաքրքրությամբ!)

կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։

Ամբողջական քառակուսի հավասարման փոխակերպումը թերի հավասարման ունի հետևյալ տեսքը (\(b=0\) դեպքի համար).

Այն դեպքերում, երբ \(c=0\) կամ երբ երկու գործակիցները հավասար են զրոյի, ամեն ինչ նման է։

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ \(a\)-ը հավասար չէ զրոյի, այն չի կարող հավասար լինել զրոյի, քանի որ այս դեպքում այն ​​վերածվում է.

Թերի քառակուսի հավասարումների լուծում.

Առաջին հերթին, դուք պետք է հասկանաք, որ թերի քառակուսի հավասարումը դեռևս է, հետևաբար, այն կարող է լուծվել այնպես, ինչպես սովորական քառակուսայինը (միջոցով): Դա անելու համար մենք պարզապես ավելացնում ենք հավասարման բացակայող բաղադրիչը զրոյական գործակցով:

Օրինակ Գտեք \(3x^2-27=0\) հավասարման արմատները:
Լուծում :

		Մենք ունենք թերի քառակուսի հավասարում \(b=0\) գործակցով։ Այսինքն՝ մենք կարող ենք հավասարումը գրել հետևյալ ձևով.
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		Փաստորեն, այստեղ նույն հավասարումն է, ինչ սկզբում, բայց հիմա այն կարելի է լուծել որպես սովորական քառակուսի։ Նախ գրում ենք գործակիցները։
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Հաշվեք դիսկրիմինատորը՝ օգտագործելով \(D=b^2-4ac\) բանաձևը
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Բանաձևերով գտնենք հավասարման արմատները \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) և \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2ա)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Գրի՛ր պատասխանը

Պատասխանել \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Օրինակ Գտեք \(-x^2+x=0\) հավասարման արմատները:
Լուծում :

		Կրկին թերի քառակուսի հավասարում, բայց այժմ \(c\) գործակիցը հավասար է զրոյի։ Հավասարումը գրում ենք ամբողջական։