A természetes számok száma. Mi az a természetes szám? Előzmények, terjedelem, tulajdonságok

Egész számok nagyon ismerős és természetes számunkra. És ez nem meglepő, hiszen a velük való ismerkedés életünk első éveiben kezdődik intuitív szinten.

A cikkben található információk alapvető megértést adnak a természetes számokról, feltárják céljukat, elsajátítják a természetes számok írásának és olvasásának készségeit. Mert jobb asszimiláció anyagot, megadjuk a szükséges példákat és illusztrációkat.

Oldalnavigáció.

A természetes számok általános reprezentáció.

Az alábbi vélemény nem nélkülözi a hangzatos logikát: az objektumok számlálási problémájának megjelenése (első, második, harmadik objektum stb.) és az objektumok számának jelzésének problémája (egy, kettő, három objektum stb.) vezetett. megoldására szolgáló eszköz létrehozásához ez az eszköz volt egész számok.

Ez a javaslat megmutatja a természetes számok fő célja- információt hordozni a szóban forgó tételkészletben található tételek számáról vagy egy adott cikk sorszámáról.

Ahhoz, hogy egy személy természetes számokat használhasson, azoknak valamilyen módon elérhetőnek kell lenniük, mind érzékelés, mind reprodukálás céljából. Ha minden természetes számot megszólal, akkor füllel érzékelhetővé válik, ha pedig természetes számot ábrázol, akkor láthatóvá válik. Ezek a természetes számok közvetítésének és észlelésének legtermészetesebb módjai.

Kezdjük tehát elsajátítani a természetes számok ábrázolási (írási) és hangoztatási (olvasási) készségeit, miközben megtanuljuk jelentésüket.

A természetes szám decimális jelölése.

Először is el kell döntenünk, mire építünk a természetes számok írásakor.

Jegyezzük meg a következő karakterek képeit (vesszővel elválasztva mutatjuk őket): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . A bemutatott képek felvétele az ún számok. Rögtön megegyezzünk abban, hogy írás közben ne fordítsuk meg, ne döntsük meg, vagy más módon ne torzítsuk el a számokat.

Most egyetértünk abban, hogy bármely természetes szám jelölésében csak a jelzett számjegyek lehetnek jelen, más szimbólumok nem lehetnek jelen. Abban is egyetértünk, hogy a természetes számok jelölésében a számjegyek azonos magasságúak, egymás után sorba vannak rendezve (szinte behúzás nélkül), a bal oldalon pedig egy a számjegytől eltérő számjegy található. 0 .

Íme néhány példa a természetes számok helyes jelölésére: 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (megjegyzés: a számok közötti behúzások nem mindig azonosak, erről bővebben az áttekintés során lesz szó). A fenti példákból látható, hogy egy természetes szám nem feltétlenül tartalmazza az összes számjegyet 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; a természetes szám írásában szereplő számjegyek egy része vagy mindegyike megismétlődhet.

Bejegyzés 014 , 0005 , 0 , 0209 nem természetes számok rekordjai, mivel a bal oldalon van egy számjegy 0 .

Egy természetes szám rögzítése, amelyet az ebben a bekezdésben leírt összes követelmény figyelembevételével hajtanak végre, meghívásra kerül természetes szám decimális jelölése.

Továbbá nem teszünk különbséget a természetes számok és jelölésük között. Tisztázzuk ezt: a szövegben tovább olyan kifejezések, mint „természetes szám megadása 582 ", ami azt jelenti, hogy adott egy természetes szám, amelynek jelölése alakja van 582 .

Természetes számok az objektumok számának értelmében.

Ideje foglalkozni azzal a kvantitatív jelentéssel, amelyet a rögzített természetes szám hordoz. A természetes számok jelentését a számozási objektumok szempontjából a természetes számok cikk-összehasonlítása veszi figyelembe.

Kezdjük a természetes számokkal, amelyek bejegyzései egybeesnek a számjegyek bejegyzéseivel, vagyis a számokkal 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 és 9 .

Képzeld el, hogy kinyitottuk a szemünket és láttunk valami tárgyat, például így. Ebben az esetben azt írhatjuk, amit látunk 1 dolog. Az 1-es természetes szám így olvasható: egy"(az "egy" szám deklinciója, valamint más számok a bekezdésben adjuk meg), a számhoz 1 felvett egy másik nevet - " Mértékegység».

Az "egység" kifejezés azonban többértékű, a természetes számon kívül 1 , olyannak nevezzük, amelyet egésznek tekintünk. Például a készletükből bármely elem nevezhető egységnek. Például a sok alma közül bármelyik alma egy, a sok madárraj közül bármely madárraj is egy, és így tovább.

Most kinyitjuk a szemünket és látjuk: Vagyis egy tárgyat látunk és egy másik tárgyat. Ebben az esetben azt írhatjuk, amit látunk 2 tantárgy. Természetes szám 2 , így szól: " kettő».

Hasonlóképpen, - 3 tárgy (olvasd el " három" tantárgy), - 4 (« négy"") a tárgyból, - 5 (« öt»), - 6 (« hat»), - 7 (« hét»), - 8 (« nyolc»), - 9 (« kilenc”) tételek.

Tehát a figyelembe vett helyzetből a természetes számok 1 , 2 , 3 , …, 9 jelezze összeg tételeket.

Olyan szám, amelynek jelölése megegyezik egy számjegy jelölésével 0 , úgynevezett " nulla". A nulla szám NEM természetes szám, de általában a természetes számokkal együtt tekintik. Ne feledje: a nulla valaminek a hiányát jelenti. Például a nulla elem nem egyetlen elem.

A cikk következő bekezdéseiben továbbra is feltárjuk a természetes számok jelentését a mennyiség jelzése szempontjából.

egyjegyű természetes számok.

Nyilvánvalóan az egyes természetes számok rekordja 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 egy jelből áll - egy számjegyből.

Meghatározás.

Egyjegyű természetes számok természetes számok, amelyek rekordja egy előjelből - egy számjegyből áll.

Soroljuk fel az összes egyjegyű természetes számot: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Kilenc egyjegyű természetes szám létezik.

Két- és háromjegyű természetes számok.

Először adjuk meg a kétjegyű természetes számok definícióját.

Meghatározás.

Kétjegyű természetes számok- ezek természetes számok, amelyek rekordja két karakter - két számjegy (különböző vagy azonos).

Például egy természetes szám 45 - kétjegyű, számok 10 , 77 , 82 szintén kétszámjegyű 5 490 , 832 , 90 037 - nem kétszámjegyű.

Nézzük meg, milyen jelentést hordoznak a kétjegyű számok, miközben az egyjegyű természetes számok általunk már ismert mennyiségi jelentéséből indulunk ki.

Először is mutassuk be a fogalmat tíz.

Képzeljünk el egy ilyen helyzetet – kinyitottuk a szemünket, és egy kilenc tárgyból és még egy tárgyból álló halmazt láttunk. Ebben az esetben az ember arról beszél 1 tíz (egy tucat) tétel. Ha valaki egy tízet és egy további tízet vesz össze, akkor beszél 2 tízes (két tízes). Ha hozzáadunk még egy tízet a két tízhez, akkor három tízesünk lesz. Ezt a folyamatot folytatva négy tízest, öt tízest, hat tízest, hét tízest, nyolc tízest és végül kilenc tízest kapunk.

Most áttérhetünk a kétjegyű természetes számok lényegére.

Ehhez tekintsünk egy kétjegyű számot kettőnek egyszámjegyű- az egyik a bal oldalon van egy kétjegyű szám jelölésében, a másik a jobb oldalon. A bal oldali szám a tízesek számát, a jobb oldali pedig az egyeseket jelöli. Sőt, ha van egy számjegy a jobb oldalon egy kétjegyű szám rekordjában 0 , akkor ez az egységek hiányát jelenti. Ez az egész lényege a kétjegyű természetes számoknak az összeg jelzése szempontjából.

Például egy kétjegyű természetes szám 72 megfelel 7 több tucat és 2 egységek (vagyis 72 alma hét tucat almából és további két almából álló halmaz), és a szám 30 válaszol 3 több tucat és 0 nincsenek egységek, vagyis olyan egységek, amelyek nem egyesülnek tízben.

Válaszoljunk a kérdésre: "Hány kétjegyű természetes szám létezik"? Válasz: őket 90 .

Rátérünk a háromjegyű természetes számok definíciójára.

Meghatározás.

Természetes számok, amelyek jelölése abból áll 3 jelek - 3 számjegyek (különböző vagy ismétlődő) hívódnak három számjegyű.

Példák természetes háromjegyű számokra 372 , 990 , 717 , 222 . Egész számok 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 nem három számjegyű.

A háromjegyű természetes számok jelentésének megértéséhez szükségünk van a fogalomra több száz.

A tíz tízes halmaz az 1 száz (száz). Száz és száz az 2 több száz. Kétszáz és másik száz az háromszáz. És így tovább, van négyszáz, ötszáz, hatszáz, hétszáz, nyolcszáz és végül kilencszáz.

Most nézzünk egy háromjegyű természetes számot három egyjegyű természetes számként, amelyek egymás után haladnak jobbról balra a háromjegyű természetes szám jelölésében. A jobb oldali szám az egységek számát, a következő szám a tízesek számát, a következő szám a százasok számát jelöli. Számok 0 a háromjegyű szám rekordjában a tízesek és (vagy) egységek hiányát jelenti.

Így egy háromjegyű természetes szám 812 megfelel 8 több száz 1 első tíz és 2 egységek; szám 305 - háromszáz 0 tízesek, azaz a tízesek nem egyesülnek százba, nem) és 5 egységek; szám 470 - négyszázhét tízes (nincs olyan egység, amely ne lenne tízesre kombinálva); szám 500 - ötszáz (a tízeseket nem egyesítik százba, és az egységeket nem egyesítik tízesekké, nem).

Hasonlóképpen definiálhatunk négyjegyű, ötjegyű, hatjegyű stb. természetes számok.

Többértékű természetes számok.

Tehát rátérünk a többértékű természetes számok definíciójára.

Meghatározás.

Többértékű természetes számok- ezek természetes számok, amelyek rekordja kettőből vagy háromból vagy négyből áll, stb. jelek. Más szavakkal, a többjegyű természetes számok kétjegyűek, háromjegyűek, négyjegyűek stb. számok.

Mondjuk rögtön, hogy a tízszázból álló halmaz az ezer, ezerezer az egymillió, ezer millió az egymilliárd, ezer milliárd az egytrillió. Ezer billió, ezerezer billió és így tovább is lehet saját nevet adni, de erre nincs különösebb szükség.

Tehát mi az értelme a többértékű természetes számoknak?

Nézzünk egy többjegyű természetes számot egyjegyű természetes számokként, amelyek jobbról balra egymás után következnek. A jobb oldali szám az egységek számát jelöli, a következő szám a tízes, a következő a százas, majd az ezres, a következő a tízezres, a következő a százezres , a következő a milliók száma, a következő a tízmilliók száma, a következő a százmilliók, a következő - a milliárdok száma, majd - a tízmilliárdok száma, azután - a százmilliárdok száma, majd - billió, majd - tíz billió, majd - több száz billió, és így tovább.

Például egy többjegyű természetes szám 7 580 521 megfelel 1 Mértékegység, 2 több tucat, 5 több száz 0 ezrek 8 tízezrek 5 százezrek és 7 milliókat.

Így megtanultuk csoportosítani az egységeket tízesre, tízesre százra, százasra ezresre, ezresre tízezresre, és így tovább, és rájöttünk, hogy a többjegyű természetes számok rekordjában szereplő számok a megfelelő számot jelzik. csoportok felett.

Természetes számok, osztályok olvasása.

Már említettük az egyjegyű természetes számok olvasási módját. Tanuljuk meg fejből a következő táblázatok tartalmát.

És hogyan olvasható a többi kétjegyű szám?

Magyarázzuk meg egy példával. Természetes szám olvasása 74 . Mint fentebb megtudtuk, ez a szám megfelel 7 több tucat és 4 egységek, azaz 70 és 4 . Rátérünk az imént írt táblázatokra, és a számra 74 ezt így olvassuk: „Hetvennégy” (nem ejtjük az uniót „és”). Ha egy számot akar olvasni 74 a mondatban: „Nem 74 alma" (genitív kisbetű), akkor így fog hangzani: "Nincs hetvennégy alma." Egy másik példa. Szám 88 - Ezt 80 és 8 , ezért ezt olvassuk: "Nyolcvannyolc." És itt van egy példa egy mondatra: "Nyolcvannyolc rubelre gondol."

Térjünk át a háromjegyű természetes számok olvasására.

Ehhez még néhány új szót kell megtanulnunk.

Meg kell mutatni, hogy a maradék háromjegyű természetes számokat hogyan olvassuk be. Ebben az esetben az egy- és kétjegyű számok olvasásában a már megszerzett készségeket fogjuk használni.

Vegyünk egy példát. Olvassuk a számot 107 . Ez a szám megfelel 1 száz és 7 egységek, azaz 100 és 7 . Az asztalokra lapozva ezt olvassuk: „Százhét”. Most mondjuk a számot 217 . Ez a szám 200 és 17 , ezért ezt olvassuk: „Kétszáztizenhét”. Hasonlóképpen, 888 - Ezt 800 (nyolcszáz) és 88 (nyolcvannyolc), ezt olvassuk: „Nyolcszáznyolcvannyolc”.

Rátérünk a többjegyű számok olvasására.

Az olvasáshoz a többjegyű természetes szám rekordját jobbról indulva háromjegyű csoportokra osztjuk, míg a bal szélső ilyen csoportban vagy 1 , vagy 2 , vagy 3 számok. Ezeket a csoportokat ún osztályok. A jobb oldali osztály neve egységosztály. A következő osztályt (jobbról balra) hívjuk ezres osztály, a következő osztály az milliós osztály, következő - milliárdos osztály, akkor megy billió osztály. A következő osztályok nevét megadhatja, de természetes számokat, amelyek rekordja a következőkből áll 16 , 17 , 18 stb. A jeleket általában nem olvassák el, mivel füllel nagyon nehezen észlelhetők.

Nézzen meg példákat a többjegyű számok osztályokra való felosztására (az egyértelműség kedvéért az osztályokat egy kis behúzással választjuk el): 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .

A felvett természetes számokat tegyük egy táblázatba, amely szerint könnyen megtanulható az olvasásuk.

Egy természetes szám olvasásához balról jobbra hívjuk az azt alkotó számokat osztályonként, és hozzáadjuk az osztály nevét. Ugyanakkor nem ejtjük ki az egységek osztályának nevét, és kihagyjuk azokat az osztályokat is, amelyek három számjegyből állnak 0 . Ha az osztály rekordjának bal oldalán van egy számjegy 0 vagy két számjegy 0 , akkor hagyja figyelmen kívül ezeket a számokat 0 és olvassa le a számjegyek elvetésével kapott számot 0 . Például, 002 "kettőnek" kell olvasni, és 025 - mint a "huszonöt".

Olvassuk a számot 489 002 a megadott szabályok szerint.

Balról jobbra olvasunk,

• olvasd el a számot 489 , amely az ezres osztályt képviseli, „négyszáznyolcvankilenc”;
• add hozzá az osztály nevét, kapjuk a "négyszáznyolcvankilencezer"-et;
• tovább az általunk látott egységek osztályában 002 , a nullák a bal oldalon vannak, ezért figyelmen kívül hagyjuk őket 002 "kettőnek" kell olvasni;
• az egységosztály nevét nem kell hozzáadni;
• ennek eredményeként megvan 489 002 - négyszáznyolcvankilencezer kettő.

Kezdjük el olvasni a számot 10 000 501 .

• A milliós osztály bal oldalán a számot látjuk 10 , "tízet" olvasunk;
• add hozzá az osztály nevét, van "tízmillió";
• legközelebb a rekordot látjuk 000 az ezres osztályban, mivel mindhárom számjegy számjegy 0 , akkor kihagyjuk ezt az órát, és továbblépünk a következőre;
• egységosztály számot jelöl 501 , amelyet "ötszázegy"-nek olvasunk;
• és így, 10 000 501 tízmillió ötszázegy.

Tegyük ezt részletes magyarázat nélkül: 1 789 090 221 214 - "egy billió hétszáznyolcvankilenc milliárd kilencvenmillió-kétszázhuszonegyezer-kétszáztizennégy."

Tehát a többjegyű természetes számok olvasásának készsége a többjegyű számok osztályokra bontásának képességén, az osztályok nevének ismeretén és a háromjegyű számok olvasásának képességén alapul.

Egy természetes szám jegyei, a számjegy értéke.

Természetes szám írásakor minden számjegy értéke a helyzetétől függ. Például egy természetes szám 539 megfelel 5 több száz 3 több tucat és 9 egységek, ezért az ábra 5 a számbevitelben 539 a százak számát határozza meg, egy számjegy 3 a tízesek száma és a számjegy 9 - egységek száma. Azt mondják, hogy a szám 9 beáll egységek számjegyés szám 9 egy egység számjegy értéke, szám 3 beáll tízes helyés szám 3 egy tízes helyiérték, és a szám 5 - ban ben százas helyés szám 5 egy százas helyiérték.

És így, kisülés- ez egyrészt a számjegy pozíciója egy természetes szám jelölésében, másrészt ennek a számjegynek a pozíciója által meghatározott értéke.

A rangok nevet kaptak. Ha jobbról balra nézi a számokat a természetes szám rekordjában, akkor a következő számjegyek felelnek meg nekik: egységek, tízek, százak, ezrek, tízezrek, százezrek, milliók, tízmilliók és hamar.

A kategóriák nevei könnyen megjegyezhetők, ha táblázat formájában jelennek meg. Írjunk egy táblázatot, amely 15 számjegy nevét tartalmazza.

Figyeljük meg, hogy egy adott természetes szám számjegyeinek száma megegyezik a szám írásában részt vevő karakterek számával. Így a rögzített táblázat tartalmazza az összes természetes szám számjegyeinek nevét, amelyek rekordja legfeljebb 15 karaktert tartalmazhat. A következő számjegyeknek is megvannak a saját neveik, de nagyon ritkán használják őket, így nincs értelme említeni őket.

A számjegytáblázat segítségével kényelmesen meg lehet határozni egy adott természetes szám számjegyeit. Ehhez be kell írni ezt a természetes számot ebbe a táblázatba úgy, hogy minden számjegyben legyen egy számjegy, és a jobb szélső számjegy az egységjegyben legyen.

Vegyünk egy példát. Írjunk fel egy természetes számot 67 922 003 942 táblázatban, és a számjegyek és a számjegyek értéke jól láthatóvá válik.

Ennek a számnak a rekordjában a számjegy 2 a mértékegységek helye, számjegye áll 4 - a tízes helyen, számjegy 9 - százas helyen stb. Ügyeljen a számokra 0 , amelyek tízezres és százezres számjegyek. Számok 0 ezekben a számjegyekben e számjegyek egységeinek hiányát jelenti.

Meg kell említeni a többértékű természetes szám úgynevezett legalacsonyabb (legkisebb) és legmagasabb (legmagasabb) kategóriáját is. Alacsonyabb (junior) rang bármely többértékű természetes szám az egységszámjegy. A természetes szám legmagasabb (legmagasabb) számjegye a számjegy jobb szélső számjegyének megfelelő számjegy a szám rekordjában. Például a 23004 természetes szám legkisebb jelentőségű számjegye az egységjegy, a legmagasabb számjegye pedig a tízezres számjegy. Ha egy természetes szám jelölésében számjegyekkel haladunk balról jobbra, akkor minden következő számjegyet alacsonyabb (fiatalabb) az előzőt. Például az ezres számjegy kisebb, mint a tízezres számjegy, különösen az ezres számjegy kisebb, mint a százezrek, milliók, tízmilliók stb. Ha egy természetes szám jelölésénél számjegyekben haladunk jobbról balra, akkor minden következő számjegyet magasabb (régebbi) az előzőt. Például a százas számjegy régebbi, mint a tízes számjegy, és még inkább, mint az egyesek.

Egyes esetekben (például összeadás vagy kivonás végrehajtásakor) nem magát a természetes számot használják, hanem ennek a természetes számnak a bittagjainak összegét.

Röviden a decimális számrendszerről.

Megismerkedtünk tehát a természetes számokkal, a bennük rejlő jelentéssel, és a természetes számok tízjegyű írásmódjával.

Általában a számok előjelekkel történő írásának módszerét hívják számrendszer. A számbejegyzésben szereplő számjegy értéke függhet a számjegy helyétől, de lehet, hogy nem. Meghívják azokat a számrendszereket, amelyekben egy számjegy értéke a helyétől függ helyzeti.

Így az általunk figyelembe vett természetes számok és felírásuk módja azt jelzi, hogy helyzetszámrendszert használunk. Megjegyzendő különleges hely ebben a számrendszerben van egy szám 10 . Valóban, a pontszámot tízben tartják: tíz egységből tíz, tíz tízből száz, tíz százból ezres stb. Szám 10 hívott alapon adott számrendszert, és magát a számrendszert hívják meg decimális.

A decimális számrendszeren kívül más is létezik, például az informatikában bináris helyzetszámrendszert használnak, és hatszázas számrendszerrel találkozunk, amikor beszélgetünk az idő méréséről.

Bibliográfia.

• Matematika. Bármilyen tankönyv az oktatási intézmények 5 osztályához.

Számláshoz természetes számok használhatók (egy alma, két alma stb.)

Egész számok(a lat. naturalis- természetes; természetes számok) - olyan számok, amelyek a számolás során természetesen keletkeznek (például 1, 2, 3, 4, 5 ...). Az összes természetes szám növekvő sorrendbe rendezett sorozatát nevezzük természetes egymás mellett.

A természetes számok meghatározásának két megközelítése van:

• számolás (számozás) tételek ( első, második, a harmadik, negyedik, ötödik"…);
• természetes számok – olyan számok, amelyek akkor keletkeznek mennyiség megjelölése tételek ( 0 elem, 1 elem, 2 elem, 3 elem, 4 elem, 5 elem"...).

Az első esetben a természetes számok sorozata egytől kezdődik, a másodikban - nullától. A legtöbb matematikusnak nincs közös véleménye az első vagy a második megközelítés preferálásáról (vagyis arról, hogy a nullát természetes számnak kell-e tekinteni vagy sem). Az orosz források túlnyomó többsége hagyományosan az első megközelítést alkalmazza. A második megközelítést például Nicolas Bourbaki írásai használják, ahol a természetes számokat véges halmazok kardinalitásaként határozzák meg.

A negatív és nem egész (racionális, valós, ...) számok nem tartoznak a természetes számok közé.

Az összes természetes szám halmaza az N szimbólumot szokás jelölni (\displaystyle \mathbb (N) ) (a lat. naturalis- természetes). A természetes számok halmaza végtelen, mivel bármely n természetes számhoz (\displaystyle n) van n-nél nagyobb természetes szám (\displaystyle n).

A nulla jelenléte megkönnyíti számos tétel megfogalmazását és bizonyítását a természetes számok aritmetikájában, így az első megközelítés bevezeti a hasznos fogalmat. kiterjesztett natúr sorozat, beleértve a nullát. A kiterjesztett sor jelölése N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0)) vagy Z 0 (\displaystyle \mathbb (Z) _(0)) .

Axiómák, amelyek lehetővé teszik a természetes számok halmazának meghatározását

Peano axiómák természetes számokra

Fő cikk: Peano axiómái

Egy N halmazt (\displaystyle \mathbb (N) ) természetes számok halmazának nevezünk, ha valamilyen elem rögzített 1 (egy) az N-hez tartozó (\displaystyle \mathbb (N) ) (1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) )), és egy S függvény (\displaystyle S) N domainnel (\displaystyle \mathbb (N) ) és N tartomány (\displaystyle \mathbb (N) ) (az úgynevezett szukcessziós függvény; S: N → N (\displaystyle S\colon \mathbb (N) \to \mathbb (N) )), így a a következő feltételek teljesülnek:

1. az egység természetes szám (1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) ));
2. a természetes számot követő szám is természetes (ha x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ) , akkor S (x) ∈ N (\displaystyle S(x)\in \mathbb (N) )) ;
3. az egyik nem követ semmilyen természetes számot (∄ x ∈ N (S (x) = 1) (\displaystyle \nexists x\in \mathbb (N) \ (S(x)=1))));
4. ha a természetes szám a (\displaystyle a) közvetlenül követi mind a b természetes számot (\displaystyle b) és a c természetes számot (\displaystyle c) , akkor b = c (\displaystyle b=c) (ha S (b ) = a ( \displaystyle S(b)=a) és S (c) = a (\displaystyle S(c)=a) , akkor b = c (\displaystyle b=c));
5. (az indukció axiómája) ha bármely P (\displaystyle P) mondat (állítás) bebizonyosodik egy n = 1 természetes számra (\displaystyle n=1) ( indukciós alap) és ha abból a feltételezésből, hogy igaz egy másik n természetes számra (\displaystyle n), ez azt jelenti, hogy igaz az n-t követő természetes számra (\displaystyle n) ( indukciós hipotézis), akkor ez az állítás minden természetes számra igaz (legyen P (n) (\displaystyle P(n)) valami egyhelyű (unáris) predikátum, amelynek paramétere egy n természetes szám (\displaystyle n). Ekkor, ha P (1 ) (\displaystyle P(1)) és ∀ n (P (n) ⇒ P (S (n))) (\displaystyle \forall n\;(P(n)\jobbra P(S(n)) ))) , majd ∀ n P (n) (\displaystyle \forall n\;P(n))).

A fenti axiómák a természetes sorozatok és a számegyenes intuitív megértését tükrözik.

Az alapvető tény az, hogy ezek az axiómák lényegében egyedileg határozzák meg a természetes számokat (a Peano-féle axiómarendszer kategorikus jellegét). Ugyanis bebizonyítható (lásd még a rövid bizonyítást), hogy ha (N , 1 , S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S)) és (N ~ , 1 ~ , S ~) (\displaystyle ( A (\tilde (\mathbb (N) )),(\tilde (1)),(\tilde (S)))) két modell a Peano axiómarendszerhez, akkor szükségszerűen izomorfak, azaz létezik invertálható leképezés (bijekció) f: N → N ~ (\displaystyle f\colon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N) ))) úgy, hogy f (1) = 1 ~ (\displaystyle f( 1) =(\tilde (1))) és f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilde (S))(f(x)) ) minden x ∈ N esetén (\displaystyle x\in \mathbb (N) ) .

Ezért elegendő a természetes számok halmazának bármely konkrét modelljét N-ként rögzíteni (\displaystyle \mathbb (N) ).

Természetes számok halmazelméleti definíciója (Frege-Russell definíció)

A halmazelmélet szerint bármely matematikai rendszer felépítésének egyetlen tárgya a halmaz.

Így a természetes számokat is bevezetik a halmaz fogalma alapján, két szabály szerint:

• S (n) = n ∪ ( n ) (\displaystyle S(n)=n\cup \left\(n\right\)) .

Az így meghatározott számokat sorszámoknak nevezzük.

Írjuk le az első néhány sorszámot és a hozzájuk tartozó természetes számokat:

• 0 = ∅ (\displaystyle 0=\varnothing );
• 1 = ( 0 ) = ( ∅ ) (\displaystyle 1=\left\(0\right\)=\left\(\varnothing \right\)) ;
• 2 = ( 0 , 1 ) = ( ∅ , ( ∅ ) ) (\displaystyle 2=\left\(0,1\right\)=(\big \()\varnothing ,\;\left\(\varnothing \ jobb\)(\nagy \))) ;
• 3 = ( 0 , 1 , 2 ) = ( ∅ , ( ∅ ) , ( ∅ , ( ∅ ) ) ) (\displaystyle 3=\left\(0,1,2\right\)=(\Big \() \varnothing ,\;\left\(\varnothing \right\),\;(\big \()\varnothing ,\;\left\(\varnothing \right\)(\big \))(\Big \) )) .

Nulla, mint természetes szám

Néha, különösen a külföldi és lefordított irodalomban, Peano első és harmadik axiómája az egyet nullára cseréli. Ebben az esetben a nullát természetes számnak tekintjük. Ha ekvivalens halmazok osztályaiban határozzuk meg, a nulla definíció szerint természetes szám. Természetellenes lenne kifejezetten elvetni. Ráadásul ez jelentősen megnehezítené az elmélet további felépítését és alkalmazását, hiszen a legtöbb konstrukcióban a nulla, akárcsak az üres halmaz, nem valami elszigetelt dolog. Egy másik előnye annak, hogy a nullát természetes számnak tekintjük, hogy N (\displaystyle \mathbb (N) ) monoidot alkot.

Az orosz irodalomban a nullát általában kihagyják a természetes számok számából (0 ∉ N (\displaystyle 0\notin \mathbb (N) )), a nullával rendelkező természetes számok halmazát pedig N 0-nak jelölik (\displaystyle \mathbb (N) _(0) ) . Ha a természetes számok definíciójában nulla szerepel, akkor a természetes számok halmazát N-ként írjuk (\displaystyle \mathbb (N) ) , nulla nélkül pedig N ∗ (\displaystyle \mathbb (N) ^(*) ) .

A nemzetközi matematikai irodalomban a fentiek figyelembevételével és a félreértések elkerülése végett az ( 1 , 2 , … ) (\displaystyle \(1,2,\dots \)) halmazt pozitív egészek halmazának szokták nevezni, és jelölése: Z + (\displaystyle \ mathbb (Z) _(+)) . A ( 0 , 1 , … ) halmazt (\displaystyle \(0,1,\pontok \)) gyakran nemnegatív egész számok halmazának nevezik, és Z ⩾ 0-val jelölik (\displaystyle \mathbb (Z) _(\ geqslant 0)) .

A természetes számok halmazának (N (\displaystyle \mathbb (N) )) helyzete az egész számok halmazai között (Z (\displaystyle \mathbb (Z) )), racionális számok(Q (\displaystyle \mathbb (Q) )), valós számok(R (\displaystyle \mathbb (R) )) és irracionális számok(R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (R) \setminus \mathbb (Q) ))

A természetes számok halmazának értéke

A végtelen halmaz méretét a "halmaz hatványa" fogalma jellemzi, amely a véges halmaz elemeinek számának végtelen halmazokra történő általánosítása. Méretben (azaz számosságban) a természetes számok halmaza nagyobb bármely véges halmaznál, de kisebb bármely intervallumnál, például a (0 , 1) intervallumnál (\displaystyle (0,1)) . A természetes számok halmazának ugyanaz a számossága, mint a racionális számok halmazának. A természetes számok halmazával azonos számosságú halmazt megszámlálható halmaznak nevezzük. Így bármely sorozat taghalmaza megszámlálható. Ugyanakkor van egy sorozat, amelyben minden természetes szám végtelen számú alkalommal fordul elő, mivel a természetes számok halmaza diszjunkt megszámlálható halmazok megszámlálható uniójaként ábrázolható (például N = ⋃ k = 0 ∞ ( ⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\bigcup \limits _(n=0) )^(\infty )(2n+ 1)2^(k)\jobbra))).

Műveletek természetes számokkal

A természetes számokon végzett zárt műveletek (olyan műveletek, amelyek nem adnak ki eredményt a természetes számok halmazából) a következő számtani műveleteket tartalmazzák:

• kiegészítés: kifejezés + kifejezés = összeg;
• szorzás: szorzó × szorzó = szorzat;
• hatványozás: a b (\displaystyle a^(b)) , ahol a (\displaystyle a) a kitevő alapja, b (\displaystyle b) a kitevő. Ha a (\displaystyle a) és b (\displaystyle b) természetes számok, akkor az eredmény is természetes szám.

Ezenkívül két további műveletet is figyelembe veszünk (formális szempontból ezek nem természetes számokra vonatkozó műveletek, mivel nincsenek meghatározva minden számpárok (néha léteznek, néha nem):

• kivonás: minuend - subtrahend = különbség. Ebben az esetben a minuendnek nagyobbnak kell lennie, mint a részfejnek (vagy egyenlőnek kell lennie vele, ha a nullát természetes számnak tekintjük);
• osztás maradékkal: osztó / osztó = (hányados, maradék). A p hányados (\displaystyle p) és a maradék r (\displaystyle r), amikor a (\displaystyle a) el van osztva b-vel (\displaystyle b), a következőképpen definiálható: a = p ⋅ b + r (\displaystyle a= p\cdot b+ r) , és 0 ⩽ r b (\displaystyle 0\leqslant r a = p ⋅ 0 + a (\displaystyle a=p\cdot 0+a) , azaz tetszőleges szám tekinthető privát, a maradék pedig a (\displaystyle a) .

Meg kell jegyezni, hogy az összeadás és a szorzás műveletei alapvetőek. Az egész számok gyűrűjét pontosan az összeadás és szorzás bináris műveletei határozzák meg.

Alaptulajdonságok

• Összeadás kommutativitása:

a + b = b + a (\displaystyle a+b=b+a) .

• A szorzás kommutativitása:

a ⋅ b = b ⋅ a (\displaystyle a\cdot b=b\cdot a) .

• Az összeadás asszociativitása:

(a + b) + c = a + (b + c) (\megjelenítési stílus (a+b)+c=a+(b+c)) .

• A szorzás asszociativitása:

(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) (\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)) .

• A szorzás eloszlása ​​az összeadás tekintetében:

( a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a (\displaystyle (\begin(esetek)a\cdot (b+c)=a \cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end(esetek))) .

Algebrai szerkezet

Az összeadás a természetes számok halmazát egységnyi félcsoporttá alakítja, az egység szerepét a 0 . A szorzás a természetes számok halmazát is egységnyi félcsoporttá alakítja, míg az azonossági elem az 1 . Az összeadás-kivonás és szorzás-osztás műveletek alatti zárás Z egész számokat (\displaystyle \mathbb (Z) ) és Q + ∗ racionális pozitív számokat (\displaystyle \mathbb (Q) _(+)^(*)) eredményez. .

Halmazelméleti definíciók

Használjuk a természetes számok definícióját véges halmazok ekvivalenciaosztályaiként. Ha egy halmaz ekvivalenciaosztályát jelöljük A, bijekciók által generált, szögletes zárójelek használatával: [ A], az alapvető aritmetikai műveletek a következők:

• [ A ] + [ B ] = [ A ⊔ B ] (\displaystyle [A]+[B]=) ;
• [ A ] ⋅ [ B ] = [ A × B ] (\displaystyle [A]\cdot [B]=) ;
• [ A ] [ B ] = [ A B ] (\displaystyle ([A])^([B])=) ,

• A ⊔ B (\displaystyle A\sqcup B) - halmazok diszjunkt uniója;
• A × B (\displaystyle A\time B) - közvetlen termék;
• A B (\displaystyle A^(B)) - a kijelzők készlete innen B ban ben A.

Megmutatható, hogy az eredményül kapott osztályokra vonatkozó műveletek helyesen vannak bevezetve, vagyis nem függenek az osztályelemek megválasztásától, és egybeesnek az induktív definíciókkal.

Mi az a természetes szám? Előzmények, terjedelem, tulajdonságok

A matematika az általános filozófiából a Kr.e. 6. század körül jelent meg. e., és ettől a pillanattól kezdve megkezdte győzelmes menetét a világ körül. A fejlődés minden szakasza hozott valami újat – az elemi számvetés fejlődött, átalakult differenciál- és integrálszámítássá, évszázadok változtak, a képletek egyre zavarosabbak lettek, és eljött a pillanat, amikor „a legtöbb összetett matematika– Az összes szám eltűnt róla. De mi volt az alapja?

Az idő kezdete

A természetes számok az első matematikai műveletekkel együtt jelentek meg. Egyszer egy gerinc, két tüske, három tüske... Az indiai tudósoknak köszönhetően jelentek meg, akik kidolgozták az első helyzetszámrendszert.
A „pozicionalitás” szó azt jelenti, hogy egy számban minden egyes számjegy helye szigorúan meghatározott, és megfelel a kategóriájának. Például a 784-es és a 487-es számok ugyanazok, de a számok nem egyenértékűek, hiszen az elsőben 7 százas szerepel, míg a másodikban csak 4. Az arabok átvették az indiaiak újítását, akik formába hozták a számokat. hogy most már tudjuk.

Az ókorban a számoknak misztikus jelentést adtak, a legnagyobb matematikus, Pythagoras úgy vélte, hogy a szám a világ teremtésének alapja a fő elemekkel - tűz, víz, föld, levegő - együtt. Ha mindent csak a matematikai oldalról nézünk, akkor mi a természetes szám? A természetes számok mezőjét N-ként jelöljük, és egész számok és pozitív számok végtelen sorozata: 1, 2, 3, … + ∞. A nulla kizárt. Főleg cikkek számlálására és sorrend jelzésére használják.

Mi a természetes szám a matematikában? Peano axiómái

Az N mező az az alapmező, amelyre az elemi matematika támaszkodik. Idővel megkülönböztették az egész, racionális, komplex számok mezőit.

Giuseppe Peano olasz matematikus munkája lehetővé tette az aritmetika további strukturálását, elérte formalitását és megnyitotta az utat a további, az N területen túlmutató következtetések előtt. Korábban egyszerű nyelven tisztáztuk, hogy mi a természetes szám, az alábbiakban egy Peano-féle axiómákon alapuló matematikai definíciót veszünk figyelembe.

• Az egyiket természetes számnak tekintjük.
• A természetes számot követő szám természetes szám.
• Egy előtt nincs természetes szám.
• Ha a b szám a c és a d számot is követi, akkor c=d.
• Az indukció axiómája, ami viszont megmutatja, hogy mi a természetes szám: ha valamely paramétertől függő állítás igaz az 1-es számra, akkor feltételezzük, hogy az N természetes számok mezőjéből az n számra is működik. az állítás n =1-re is igaz az N természetes számok mezőjéből.

Alapműveletek a természetes számok területén

Mivel az N mező lett az első a matematikai számításoknál, mind a definíciós tartományok, mind az alábbi műveletek értéktartományai erre utalnak. Zárva vannak és nem. A fő különbség az, hogy a zárt műveletek garantáltan az N halmazon belül hagynak eredményt, függetlenül attól, hogy milyen számokról van szó. Elég, ha természetesek. A fennmaradó numerikus kölcsönhatások eredménye már nem olyan egyértelmű, és közvetlenül attól függ, hogy milyen számok szerepelnek a kifejezésben, mivel ez ellentmondhat a fő definíciónak. Tehát zárt műveletek:

• összeadás – x + y = z, ahol x, y, z szerepel az N mezőben;
• szorzás - x * y = z, ahol x, y, z szerepel az N mezőben;
• hatványozás - xy, ahol x, y szerepel az N mezőben.

A fennmaradó műveletek, amelyek eredménye nem feltétlenül létezik a "mi a természetes szám" definíciójában, a következők:

Az N mezőbe tartozó számok tulajdonságai

Minden további matematikai érvelés a következő tulajdonságokon fog alapulni, amelyek a legtriviálisabbak, de nem kevésbé fontosak.

• Az összeadás kommutatív tulajdonsága x + y = y + x, ahol az x, y számok az N mezőben szerepelnek. Vagy a jól ismert "az összeg nem változik a tagok helyének változásától".
• A szorzás kommutatív tulajdonsága x * y = y * x, ahol az x, y számok az N mezőben szerepelnek.
• Az összeadás asszociatív tulajdonsága (x + y) + z = x + (y + z), ahol x, y, z az N mezőben szerepel.
• A szorzás asszociatív tulajdonsága (x * y) * z = x * (y * z), ahol az x, y, z számok az N mezőben szerepelnek.
• eloszlási tulajdonság - x (y + z) = x * y + x * z, ahol az x, y, z számok az N mezőben szerepelnek.

Pitagorasz-tábla

Az egyik első lépés abban, hogy az iskolások megismerjék az elemi matematika teljes szerkezetét, miután maguk is megértették, mely számokat nevezik természetesnek, a Pitagorasz-tábla. Nemcsak tudomány szempontjából, hanem értékes tudományos műemléknek is tekinthető.

Ez a szorzótábla az idők során számos változáson ment keresztül: a nullát eltávolították belőle, és az 1-től 10-ig tartó számok önmagukat jelölik, a sorrendek (százas, ezres ...) figyelembevétele nélkül. Ez egy olyan táblázat, amelyben a sorok és oszlopok fejlécei számok, és a metszéspontjuk celláinak tartalma megegyezik a szorzatukkal.

A tanítás gyakorlatában az elmúlt évtizedekben felmerült az igény a Pitagorasz-tábla „sorrendben” memorizálására, vagyis a memorizálás ment az első helyre. Az 1-gyel való szorzást kizártuk, mert az eredmény 1 vagy nagyobb volt. Eközben a táblázatban szabad szemmel egy minta látható: a számok szorzata egy lépéssel nő, ami megegyezik a sor címével. Így a második faktor azt mutatja meg, hogy az elsőt hányszor kell bevenni, hogy megkapjuk a kívánt terméket. Ez a rendszer Ellentétben a középkorban alkalmazottal: az emberek még annak megértésében is, hogy mi a természetes szám, és mennyire triviálisak, sikerült megbonyolítaniuk mindennapi számolásukat egy kettős hatványokon alapuló rendszer segítségével.

Részhalmaz, mint a matematika bölcsője

A Ebben a pillanatban az N természetes számok mezőjét csak a komplex számok egyik részhalmazának tekintik, de ez nem teszi kevésbé értékessé a tudományban. A természetes szám az első dolog, amit a gyermek saját maga és a körülötte lévő világ tanulmányozása során tanul meg. Egy ujj, két ujj... Neki köszönhetően az emberben fejlődik a logikus gondolkodás, valamint az ok meghatározásának és a hatás kikövetkeztetésének képessége, ami megnyitja az utat a nagy felfedezések előtt.

Megbeszélés: Természetes szám

Vita a nulla körül

Valamiért nem tudom elképzelni a nullát természetes számként... Úgy tűnik, a régiek egyáltalán nem ismerték a nullát. Igen, és a TSB nem tekinti a nullát természetes számnak. Szóval ez legalább vitatott kérdés. Tudnál valami semlegesebbet mondani a nulláról? Vagy vannak jó érvek? --.:Ajvol:. 2004. szeptember 9., 18:18 (UTC)

visszagurult utolsó változtatás. --Maxal 2004. szeptember 9., 20:24 (UTC)

A Francia Akadémia egyszer kiadott egy külön rendeletet, amely szerint a 0 bekerült a természetes számok halmazába. Most ez a szabvány, véleményem szerint nem az "orosz természetes szám" fogalmát kell bevezetni, hanem be kell tartani ezt a szabványt. Természetesen meg kell említeni, hogy valamikor nem így volt (nem csak Oroszországban, hanem mindenhol). Tosha 2004. szeptember 9., 23:16 (UTC)

A Francia Akadémia nem számunkra rendelet. Az angol nyelvű matematikai szakirodalomban szintén nincs kialakult vélemény ebben a kérdésben. Lásd például --Maxal, 2004. szeptember 9., 23:58 (UTC)

Valahol ez áll: "Ha egy vitatott kérdésről ír egy cikket, próbáljon meg minden nézőpontot bemutatni, hivatkozásokat adva a különböző véleményekre." Bes-sziget, 2004. december 25., 23:15 (UTC)

Nem látom itt vitatott kérdés, de úgy látom: 1) tiszteletlenség a többi résztvevővel szemben a szövegük jelentős megváltoztatásával/törlésével (a lényeges változtatások előtt szokás ezeket megvitatni); 2) a szigorú definíciók (a halmazok számosságát jelző) felváltása nem egyértelmű definíciókkal (nagy különbség van a "számozás" és a "mennyiség jelölése" között?). Ezért ismételten visszavonom, de hagyok egy utolsó megjegyzést. --Maxal, 2004. december 25., 23:38 (UTC)

A tiszteletlenség az, ahogyan én látom a visszarúgásaidat. Szóval ne beszéljünk róla. Az én szerkesztésem a lényegen nem változtat cikket, csak két definíciót fogalmaz meg egyértelműen. A cikk előző változata a „nulla nélkül” definíciót fogalmazta meg főként, a „nullával” pedig egyfajta disszidenciaként. Ez abszolút nem felel meg a Wikipédia követelményeinek (lásd a fenti idézetet), és nem is egészen tudományos stílus nyilatkozatok be előző verzió. A "mennyiségmegjelölés" magyarázataként hozzáadtam a "egy halmaz számossága" szót, a "számozáshoz" pedig "felsorolás". És ha nem látja a különbséget a "számozás" és a "mennyiségmegjelölés" között, akkor hadd kérdezzem meg, akkor miért szerkeszt matematikai cikkeket? Bes-sziget, 2004. december 25., 23:58 (UTC)

Ami a "lényeget nem változtatja meg" - az előző változat hangsúlyozta, hogy a definíciók különbsége csak abban van, hogy a nullát természetes számokra utalják. Az Ön verziójában a definíciók gyökeresen eltérőek. Ami az "alap" definíciót illeti, akkor annak így kell lennie, mert ebben a cikkben orosz Wikipédia, ami azt jelenti, hogy alapvetően ragaszkodnod kell ahhoz, amit mondasz általánosan elfogadott az orosz matematikai iskolákban. Figyelmen kívül hagyom a razziákat. --Maxal 2004. december 26., 00:15 (UTC)

Valójában ez csak nulla különbség. Valójában pontosan ez az a kardinális különbség, amely a természetes számok természetének eltérő értelmezéséből adódik: az egyik változatban - mint mennyiségek; a másikban - számokként. Ez teljesen különböző fogalmak bármennyire is próbálod leplezni, hogy nem érted.

Arról, hogy az orosz Wikipédiában kötelező az orosz nézőpontot dominánsként idézni. Nézd meg figyelmesen itt. Nézd meg a karácsonyról szóló angol cikket. Nem mondja ki, hogy a karácsonyt december 25-én kell ünnepelni, mert Angliában és az USA-ban így ünneplik. Mindkét nézőpont megadatott (és nem különböznek sem jobban, sem kevésbé, mint a "nulla" és a "nulla nélküli" természetes számok), és egy szó sem szól arról, hogy állítólag melyikük a helyesebb.

A cikkem változatában mindkét nézőpont független és egyformán érvényes. Az orosz szabványt a fent hivatkozott szavak jelzik.

Talán filozófiai szempontból a természetes számok fogalmai valóban azok teljesen eltérő, de a cikk alapvetően matematikai definíciókat kínál, ahol a különbség 0 ∈ N (\displaystyle 0\in \mathbb (N) ) vagy 0 ∉ N (\displaystyle 0\not \in \mathbb (N) ). A domináns nézőpont vagy sem, kényes kérdés. Értékelem a kifejezést december 25-én a nyugati világ nagy részén megfigyelték a karácsonyról szóló angol cikkből, amely a domináns nézőpontot fejezi ki, az első bekezdésben nincs más dátum. Egyébként a természetes számokról szóló cikk előző változatában sem volt közvetlen utalás arra, hogyan szükséges a természetes számok meghatározásához csak a nulla nélküli definíciót mutatták be általánosabbnak (Oroszországban). Mindenesetre jó, hogy sikerült kompromisszumot találni. --Maxal 2004. december 26., 00:53 (UTC)

Kissé kellemetlenül meglepő az a kifejezés, hogy "Az orosz irodalomban a nullát általában kihagyják a természetes számok számából", uraim, a nullát nem tekintik természetes számnak, hacsak másként nincs meghatározva, az egész világon. Ugyanezek a franciák, amennyire én olvasom őket, kifejezetten előírják a nulla beiktatását. Természetesen az N 0-t (\displaystyle \mathbb (N) _(0)) gyakrabban használják, de ha például szeretem a nőket, akkor a férfiakat nem fogom nővé változtatni. Druida. 2014-02-23

A természetes számok népszerűtlensége

Úgy tűnik számomra, hogy a természetes számok népszerűtlen téma a matematikai cikkekben (talán nem utolsósorban az egységes definíció hiánya miatt). Tapasztalataim szerint gyakran találkozom matematikai cikkekben a kifejezésekkel egész, nem negatív számokés egész pozitív számok(amelyeket egyértelműen értelmeznek), mint egész számok. Kérjük az érdekelt feleket, hogy fejezzék ki (nem)egyetetüket ezzel az észrevétellel. Ha ez a megfigyelés alátámasztásra talál, akkor érdemes jelezni a cikkben. --Maxal 2004. december 26., 01:12 (UTC)

Kétségtelenül igaza van nyilatkozatának összefoglaló részében. Mindez a definíciók különbségei miatt van. Jómagam bizonyos esetekben szívesebben tüntetem fel a "pozitív egész számokat" vagy a "nem negatív egész számokat" a "természetes" helyett, hogy elkerüljem a nulla szerepeltetésével kapcsolatos eltéréseket. És általában egyetértek a rendelkező résszel. Bes-sziget, 2004. december 26., 01:19 (UTC) A cikkekben - igen, talán így van. Azonban a terjedelmesebb szövegekben, valamint ahol gyakran használják a fogalmat, általában még mindig használják egész számok, előzetesen azonban elmagyarázza, hogy "milyen" természetes számokról beszélünk - nullával vagy anélkül. LoKi 2005. július 30., 19:31 (UTC)

Számok

Érdemes a cikk utolsó részében felsorolni a számok nevét (egy, kettő, három stb.)? Nem lenne értelmesebb ezt a számcikkbe tenni? Ennek a cikknek véleményem szerint azonban inkább matematikai jellegűnek kell lennie. Mit gondolsz? --LoKi 2005. július 30., 19:32 (UTC)

Általában furcsa, hogyan lehet *üres* halmazokból közönséges természetes számot kapni? Általában mennyi üresség és üresség nem egyesül, kivéve az ürességet, semmi sem fog működni! Ez egyáltalán nem alternatív definíció? Feladás dátuma: 2009. július 17. 21:46 (Moszkva)

Peano axiómarendszerének kategorikus jellege

Hozzáfűztem egy megjegyzést a Peano-féle axiómarendszer kategorikus voltára vonatkozóan, ami véleményem szerint alapvető. Kérjük, formázza helyesen a könyv linkjét[[User:A_Devyatkov, 2010. június 11., 06:58 (UTC)]]

Peano axiómái

Szinte minden külföldi szakirodalomban és a Wikipédián Peano axiómái úgy kezdődnek, hogy „0 természetes szám”. Valóban, az eredeti forrásban az van írva, hogy "1 természetes szám". 1897-ben azonban Peano változtatást hajtott végre, és 1-et 0-ra változtatott. Ez meg van írva a "Formulaire de mathematiques" II. kötet 2. számában. 81. oldal. Ez egy link az elektronikus változathoz a jobb oldalon:

http://archive.org/stream/formulairedemat02peangoog#page/n84/mode/2up (fr).

E változások magyarázatát a "Rivista di matematica", 1899. évi 6-7. kötet, 76. oldal tartalmazza. A jobb oldalon egy hivatkozás az elektronikus változatra is:

http://archive.org/stream/rivistadimatema01peangoog#page/n69/mode/2up (olasz).

0=0

Mik azok a "digitális lemezjátszó-axiómák"?

Szeretném visszaforgatni a cikket a legújabb, járőrözött verzióra. Először is valaki átnevezte Peano axiómáit Piano axiómáira, ami miatt a link nem működött. Másodszor, egy bizonyos Túró egy nagyon nagy információval egészítette ki a cikket, ami véleményem szerint ebben a cikkben teljesen nem helyénvaló. Nem enciklopédikusan megírva, emellett megadják magának Tvorogovnak az eredményeit és a linket saját könyvéhez. Ragaszkodok ahhoz, hogy a "digitális lemezjátszó axiómáiról" szóló részt töröljék ebből a cikkből. P.s. Miért távolították el a nulla számról szóló részt? mesyarik, 2014. március 12., 14:58 (UTC)

A témát nem hozzuk nyilvánosságra, a természetes számok egyértelmű meghatározása szükséges

Kérlek ne írj eretnekséget, mint " Természetes számok (természetes számok) - olyan számok, amelyek a számolás során természetesen keletkeznek."Természetes módon semmi sem keletkezik az agyban. Pontosan az lesz, amit oda teszel.

És hogyan magyarázzuk meg egy ötévesnek, hogy melyik szám természetes szám? Hiszen vannak, akiket ötévesként kell magyarázni. Miben különbözik egy természetes szám a normál számtól? Példák kellenek! 1, 2, 3 természetes, 12 pedig természetes, és -12? és háromnegyed, vagy például 4,25 természetes? 95.181.136.132 2014. november 6., 15:09 (UTC)

• A természetes számok alapfogalom, kezdeti absztrakció. Nem definiálhatók. Önkényesen bele lehet menni a filozófiába, de a végén vagy be kell vallani (hitre kell venni?) Valami merev metafizikai attitűdöt, vagy beismerni, hogy nincs abszolút definíció, a természetes számok egy mesterséges formális rendszer részei, egy modell. amit egy személy (vagy Isten) talált ki. Itt van egy érdekes értekezés a témáról. Hogy tetszik például ez az opció: "A természetes sorozat bármely meghatározott Peano-rendszer, vagyis Peano axiomatikus elméletének modellje." Jobban érezni? RomanSuzi, 2014. november 6., 17:52 (UTC)
  • Úgy tűnik, a modelleiddel és axiomatikus elméleteiddel mindent csak bonyolítasz. Ez a definíció a következőben lesz értelmezhető legjobb eset ezer emberből kettő. Ezért úgy gondolom, hogy az első bekezdésből hiányzik a "mondat" Egyszerű szavakkal: a természetes számok pozitív egész számok, amelyek egyből indulnak ki." Egy ilyen meghatározás a legtöbb számára normálisan hangzik. És nem ad okot kétségbe vonni a természetes szám definícióját. Végül is a cikk elolvasása után tényleg nem értettem, amíg a vége, hogy mik a természetes számok, és a 807423 szám a természetes vagy a természetes számok azok, amelyekből ez a szám áll, azaz 8 0 7 4 2 3. Gyakran a bonyodalmak csak mindent elrontanak. A természetes számokról szóló infának ezen az oldalon kell lennie, és nem számos hivatkozásban más oldalakra.95.181.136.132 2014. november 7., 10:03 (UTC)
    • Itt két feladatot kell különbséget tenni: (1) világosan (ha nem is szigorúan) elmagyarázni a matematikától távol álló olvasónak, hogy mi a természetes szám, hogy többé-kevésbé helyesen megértse; (2) olyan szigorú definíciót adni egy természetes számnak, amelyből az alapvető tulajdonságai következnek. Igaza van a preambulum első lehetőségének, de a cikkben pontosan ez szerepel: a természetes szám a számolás matematikai formalizálása: egy, kettő, három stb. Az Ön példája (807423) számoláskor minden bizonnyal kiderül, ami azt jelenti, hogy ez is természetes szám. Számomra nem világos, hogy miért kevered a számot és a számokban való írásmódot, ez egy külön téma, nem kapcsolódik közvetlenül a szám meghatározásához. A te magyarázatod: a természetes számok pozitív egész számok, amelyek egytől inkluzívan kezdődnek» nem jó, mert ennél kevesebbet nem lehet meghatározni általános koncepció(természetes szám) egy még nem definiált általánosabb (számon) keresztül. Nehezen tudok elképzelni egy olyan olvasót, aki tudja, mi az a pozitív egész, de fogalma sincs, mi az a természetes szám. LGB, 12:06, 2014. november 7. (UTC)
      • A természetes számokat nem lehet egész számokkal meghatározni. RomanSuzi 2014. november 7., 17:01 (UTC)

• "Természetesen semmi sem történik az agyban." A legújabb tanulmányok azt mutatják (most nem találok linkeket), hogy az emberi agy felkészült a nyelvhasználatra. Így természetes módon már a génjeinkben van a készenlét a nyelv elsajátítására. Nos, a természetes számokhoz ez az, amire szüksége van. Az "1" fogalmát kézzel is meg lehet mutatni, majd - indukcióval - pálcákat adunk hozzá, így 2, 3 és így tovább. Vagy: I, II, III, IIII, ..., IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII. De talán van konkrét javaslata a cikk javítására, hiteles források alapján? RomanSuzi 2014. november 6., 17:57 (UTC)

Mi a természetes szám a matematikában?

Vlagyimir Z

A természetes számokat tárgyak felsorolására és számuk megszámlálására használják. A számozáshoz pozitív egész számokat használunk, 1-től kezdve.

És a szám megszámlálásához itt szerepel a 0 is, ami az objektumok hiányát jelzi.

Az, hogy a természetes számok fogalma tartalmazza-e a 0-t, az axiomatikától függ. Ha bármely matematikai elmélet bemutatása megköveteli a 0 jelenlétét a természetes számok halmazában, akkor ez ezen az elméleten belül kikötött és vitathatatlan igazságnak (axiómának) tekinthető. A 0 szám pozitív és negatív definíciója nagyon közel áll ehhez. Ha a természetes számok definícióját úgy vesszük, mint az összes NEM NEGATÍV egész szám halmazát, akkor felmerül a kérdés, hogy mi a 0 - pozitív vagy negatív?

NÁL NÉL praktikus alkalmazás, általában az első definíciót használjuk, amely nem tartalmazza a 0 számot.

Ceruza

A természetes számok pozitív egész számok. A természetes számok az objektumok megszámlálására (számozására), vagy az objektumok számának jelzésére vagy egy objektum sorszámának jelzésére szolgálnak a listában. Egyes szerzők mesterségesen belefoglalják a nullát a „természetes számok” fogalmába. Mások a „természetes számok és nulla” megfogalmazást használják. Ez elvtelen. A természetes számok halmaza végtelen, mert bármilyen tetszőlegesen nagy természetes számmal összeadás műveletet végezhet egy másik természetes számmal, és még nagyobb számot kaphat.

Negatív és nem egész számok nem szerepelnek a természetes számok halmazában.

Sayans

A természetes számok olyan számok, amelyeket számláláshoz használnak. Csak pozitívak és teljesek lehetnek. Mit jelent ez egy példában? Mivel ezeket a számokat számolásra használják, próbáljunk meg valamit kiszámítani. Mit lehet számolni? Például az emberek. Így számolhatunk embereket: 1 fő, 2 fő, 3 fő stb. A számoláshoz használt 1, 2, 3 és mások természetesek lesznek. Soha nem mondunk -1 (mínusz egy) személyt vagy 1,5 (másfél) személyt (elnézést a szójátékért :), tehát -1 és 1,5 (mint minden negatív és tört szám) nem természetes szám.

Lorelei

A természetes számok azok a számok, amelyeket az objektumok számlálásakor használunk.

A legkisebb természetes szám egy. Gyakran felmerül a kérdés, hogy a nulla természetes szám-e. Nem, a legtöbb orosz forrásban nem, de más országokban a nulla szám természetesnek számít ...

Moreljuba

A természetes számok a matematikában olyan számok, amelyeket valami vagy valaki szekvenciális megszámlálására használnak. Az egyiket a legkisebb természetes számnak tekintjük. A nulla a legtöbb esetben nem tartozik a természetes számok kategóriájába. A negatív számok itt sem szerepelnek.

Üdvözlet szlávok.

A természetes számok, ezek is természetesek, azok a számok, amelyek a szokásos módon keletkeznek, amikor megszámlálják őket, és amelyek nagyobbak nullánál. Az egyes természetes számok növekvő sorrendbe rendezett sorozatát természetes sorozatnak nevezzük.

Elena Nikityuk

A természetes szám kifejezést használják a matematikában. A pozitív egész számot természetes számnak nevezzük. A legkisebb természetes számot "0"-nak tekintjük. Bármi kiszámításához ugyanazokat a természetes számokat használják, például 1, 2, 3 ... és így tovább.

A természetes számok azok a számok, amelyekkel számolunk, vagyis az első, kettő, három, négy, öt és a többi természetes szám.

Ezek szükségszerűen nullánál nagyobb pozitív számok.

A törtszámok sem tartoznak a természetes számok halmazába.

-Orchidea-

Valami megszámlálásához természetes számokra van szükség. Ezek csak pozitív számok sorozata, egytől kezdve. Fontos tudni, hogy ezek a számok kizárólag egész számok. Természetes számokkal bármit meg lehet számolni.

Marlena

A természetes szám egy egész szám, amelyet általában bármilyen objektum megszámlálásakor használunk. A nulla önmagában nem tartozik a természetes számok körébe, mivel általában nem használjuk a számításokhoz.

Inara-pd

A természetes számok azok a számok, amelyekkel számolunk – egy, kettő, három stb.

A természetes számok az ember gyakorlati szükségleteiből származtak.

A természetes számokat tíz számjegyből írjuk.

A nulla nem természetes szám.

Mi az a természetes szám?

Naumenko

A számokat természetes számoknak nevezzük. természetes (virág, fa, állat, madár stb.) tárgyak számozására, számlálására szolgál.

Egész számokat hívnak számok TERMÉSZETES, AZOK ELLENKEZETT ÉS NULLA,

Magyarázd el. ami az egész számokon keresztül természetes, az rossz!! !

A számok párosak - oszthatók 2-vel, és páratlanok - nem oszthatók 2-vel.

A számokat prímszámoknak nevezzük. csak 2 osztója van - egy és önmaga ...
Az első egyenletnek nincs megoldása. a második x=6 6 természetes számra.

Természetes számok (természetes számok) - olyan számok, amelyek a számolás során természetesen keletkeznek (mind a felsorolás, mind a számítás értelmében).

Az összes természetes szám halmazát általában \mathbb(N) jelöli. A természetes számok halmaza végtelen, mivel bármely természetes számhoz létezik nagyobb természetes szám.

Anna Szemencsenko

a számolás során természetesen felmerülő számok (mind a felsorolás, mind a számítás értelmében).
A természetes számok meghatározásának kétféle megközelítése létezik – a számokban használt számok:
tételek felsorolása (számozása) (első, második, harmadik, ...);
cikkszám megjelölése (nincs tétel, egy tétel, két tétel, ...). Bourbaki munkáiban fogadták el, ahol a természetes számokat véges halmazok hatványaiként határozzák meg.
A negatív és nem egész (racionális, valós, ...) számok nem természetesek.
Az összes természetes szám halmazát általában előjellel jelöljük. A természetes számok halmaza végtelen, mivel bármely természetes számhoz létezik nagyobb természetes szám.

Egész számok

A természetes számok azok a számok, amelyeket számolásra használnak különféle tárgyakat vagy bármely hasonló vagy homogén tárgy sorszámának feltüntetésére.

A természetes számok az első tíz számjegyből írhatók:

Egyszerű természetes számok írásához a helyzeti decimális számítást szokás használni, ahol bármely számjegy értékét a rekordban elfoglalt helye határozza meg.

A természetes számok a legegyszerűbb számok, amelyeket gyakran használunk Mindennapi élet. Ezen számok segítségével számításokat végzünk, tárgyakat számolunk, meghatározzuk mennyiségüket, sorrendjüket és darabszámukat.

A természetes számokkal már kora gyermekkorban kezdünk ismerkedni, így mindannyiunk számára ismerősek és természetesek.

A természetes számok általános elképzelése

A természetes számok célja, hogy információkat hordozzanak az objektumok számáról, sorozatszámáról és az objektumok halmazáról.

Az ember természetes számokat használ, mivel ezek mind az észlelés, mind a reprodukció szintjén elérhetők számára. Bármely természetes szám hangoztatása során könnyen fülre kaphatjuk, és miután természetes számot ábrázoltunk, látjuk is.

Minden természetes szám növekvő sorrendben van elrendezve, és egy számsort alkot, amely a legkisebb természetes számmal kezdődik, amely egy.

Ha a legkisebb természetes szám mellett döntöttünk, akkor a legnagyobbval nehezebb lesz, hiszen ilyen szám nem létezik, mert a természetes számok sorozata végtelen.

Ha egy természetes számhoz hozzáadunk egyet, akkor az adott számot követő számot kapjuk.

Az olyan szám, mint a 0, nem természetes szám, hanem csak a „nulla” szám jelölésére szolgál, és azt jelenti, hogy „nincs”. A 0 azt jelenti, hogy a sorozat egységeinek száma hiányzik a decimális jelölésből.

Minden természetes számot nagybetűvel jelölünk. latin betű N.

Történelmi hivatkozás a természetes számok kijelölésére

Az ókorban az emberek még nem tudták, mi az a szám, és hogyan kell megszámolni a tárgyak számát. De már ekkor felmerült a számolás igénye, és a férfi kitalálta, hogyan kell megszámolni a kifogott halakat, a leszedett bogyókat stb.

Egy kicsit később, ősi ember Arra a következtetésre jutott, hogy egyszerűbb leírni a szükséges összeget. Ezekre a célokra primitív emberek kavicsot, majd botokat kezdtek használni, amelyeket római számokkal őriztek meg.

A számítási rendszer fejlesztésének következő pillanata az ábécé betűinek használata volt egyes számok jelölésében.

Az első számítási rendszerek közé tartozik a decimális indiai rendszer és a hatszázalékos babilóniai rendszer.

A modern számítási rendszer, bár arabnak hívják, valójában az indiai rendszer egyik változata. Igaz, a számítási rendszerében nincs nulla szám, de az arabok hozzáadták, és a rendszer elnyerte jelenlegi formáját.

Tizedes rendszer

Találkoztunk már természetes számokkal, és megtanultuk, hogyan írjuk le őket tíz számjegyből. Azt is tudod már, hogy a számok előjelekkel történő írását számrendszernek nevezzük.

A számbejegyzésben szereplő számjegy értéke a helyétől függ, és pozíciósnak nevezzük. Azaz a természetes számok felírásakor a helyzetszámítást használjuk.

Ez a rendszer bitmélységen és decimálison alapul. A decimális rendszerben a felépítésének alapja a 0 és 9 közötti számok.

Különleges helyet kap egy ilyen rendszerben a 10-es szám, mivel a számla alapvetően tízes számmal történik.

Osztályok és kategóriák táblázata:

Így például 10 egységet tízesre, majd százra, ezerre és hasonlókra egyesítenek. Ezért a 10-es szám a számítási rendszer alapja, és decimális számítási rendszernek nevezik.

Egész számok- számok, amelyeket az objektumok számlálására használnak . Bármely természetes szám felírható tíz használatával számjegyek: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Az ilyen számrekordot ún. decimális.

Az összes természetes szám sorozatát nevezzük természetes egymás mellett .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

A legtöbb kicsi természetes szám egy (1). A természetes sorozatban minden következő szám 1-gyel több, mint az előző. természetes sorozat végtelen nincs legnagyobb szám.

Egy számjegy jelentése a szám jelölésében elfoglalt helyétől függ. Például a 4-es szám jelentése: 4 egység, ha világít utolsó hely a számbevitelben (egységek helyén); 4 tíz, ha az utolsó helyen van (a tízes helyen); 4 több száz, ha a végétől a harmadik helyen áll (ban ben százas hely).

A 0 számjegy azt jelenti az ebbe a kategóriába tartozó egységek hiánya egy szám decimális jelölésében. A szám jelölésére is szolgál " nulla". Ez a szám azt jelenti, hogy "nincs". Eredmény: 0:3 labdarúgó mérkőzés azt mondja, hogy az első csapat egyetlen gólt sem szerzett az ellenfél ellen.

Nulla ne tartalmazza természetes számokhoz. És valóban, a tételek számlálása soha nem kezdődik elölről.

Ha egy természetes számnak csak egy jegye van – egy számjegy, akkor hívják félreérthetetlen. Azok. félreérthetetlentermészetes szám- természetes szám, amelynek rekordja egy karakterből áll – egy számjegy. Például az 1, 6, 8 számok egyjegyűek.

két számjegyűtermészetes szám- természetes szám, amelynek rekordja két karakterből - két számjegyből áll.

Például a 12, 47, 24, 99 számok kétjegyűek.

Ezenkívül az adott számban lévő karakterek számától függően más számok neveket kapnak:

326, 532, 893 számok - háromjegyű;

számok 1126, 4268, 9999 - négyjegyű stb.

Két számjegy, három számjegy, négy számjegy, öt számjegy stb. hívják a számokat többjegyű számok .

A többjegyű számok olvasásához jobbról indulva háromjegyű csoportokra osztják őket (a bal szélső csoport egy vagy két számjegyből állhat). Ezeket a csoportokat ún osztályok.

Millió ezerezer (1000 ezer), 1 millió vagy 1 000 000 van ráírva.

Milliárd, ezermillió 1000 millió. 1 milliárdan vagy 1 000 000 000-en tartják nyilván.

A jobb oldali első három számjegy az egységek osztályát alkotja, a következő három - az ezres osztályt, majd ott vannak a milliók, milliárdok stb. osztályai. (1. ábra).

Rizs. 1. milliós osztály, ezres osztály és egységek osztálya (balról jobbra)

A 15389000286 számot a bitrácsba írjuk (2. ábra).

Rizs. 2. Számjegyrács: 15 milliárd 389 millió 286 szám

Ez a szám az egy osztályban 286, az ezres osztályban nulla, a milliós osztályban 389, a milliárdos osztályban pedig 15 egyes.

A Kr.e. V. században ókori görög filozófus Eleai Zénón megfogalmazta híres apóriáit, amelyek közül a leghíresebb az "Achilles és a teknősbéka" című aporia. Így hangzik:

Tegyük fel, hogy Akhilleusz tízszer gyorsabban fut, mint a teknősbéka, és ezer lépéssel lemaradt tőle. Azalatt az idő alatt, amíg Akhilleusz ezt a távot lefutja, a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. Amikor Akhilleusz száz lépést futott, a teknősbéka újabb tíz lépést fog kúszni, és így tovább. A folyamat a végtelenségig folytatódik, Akhilleusz soha nem éri utol a teknősbékát.

Ez az érvelés logikus megrázkódtatássá vált minden következő generáció számára. Arisztotelész, Diogenész, Kant, Hegel, Gilbert... Valamennyien, így vagy úgy, Zénón aporiáinak számítottak. A sokk olyan erős volt, hogy " ...a viták jelenleg is folynak, a tudományos közösség még nem tudott közös véleményre jutni a paradoxonok lényegéről... matematikai elemzés, halmazelmélet, új fizikai és filozófiai megközelítések; egyik sem lett általánosan elfogadott megoldás a problémára..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Mindenki megérti, hogy becsapják, de senki sem érti, mi a megtévesztés.

A matematika szemszögéből Zénón aporiájában egyértelműen bemutatta az átmenetet az értékről a másikra. Ez az átmenet konstansok helyett alkalmazást jelent. Amennyire én értem, az alkalmazás matematikai apparátusa változó mértékegységek a mérést vagy még nem fejlesztették ki, vagy nem alkalmazták Zénón apóriájára. A megszokott logikánk alkalmazása csapdába vezet bennünket. Mi a gondolkodás tehetetlensége folytán az állandó időegységeket a reciprokra alkalmazzuk. Fizikai szempontból ez az idő lelassulásának tűnik, amíg teljesen le nem áll abban a pillanatban, amikor Akhilleusz utoléri a teknősbékát. Ha megáll az idő, Akhilleusz már nem tudja megelőzni a teknősbékát.

Ha megfordítjuk a megszokott logikát, minden a helyére kerül. Akhilleusz állandó sebességgel fut. Útjának minden következő szakasza tízszer rövidebb, mint az előző. Ennek megfelelően a leküzdésére fordított idő tízszer kevesebb, mint az előzőnél. Ha ebben a helyzetben alkalmazzuk a „végtelen” fogalmát, akkor helyes lenne azt mondani, hogy „Achilles végtelenül gyorsan utoléri a teknősbékát”.

Hogyan lehet elkerülni ezt a logikai csapdát? maradj bent állandó mértékegységek időméréseket, és ne váltson át reciprok értékekre. Zénón nyelvén ez így néz ki:

Amíg Akhilleusz ezer lépést tesz meg, addig a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. A következő időintervallumban, amely megegyezik az elsővel, Akhilleusz további ezer lépést fut, a teknősbéka pedig száz lépést kúszik. Most Akhilleusz nyolcszáz lépéssel megelőzi a teknősbékát.

Ez a megközelítés adekvát módon írja le a valóságot minden logikai paradoxon nélkül. De ez nem komplett megoldás Problémák. Einstein kijelentése a fénysebesség leküzdhetetlenségéről nagyon hasonlít Zénón „Achilles és a teknős” című apóriájához. Ezt a problémát még tanulmányoznunk, újra kell gondolnunk és meg kell oldanunk. A megoldást pedig nem végtelenül nagy számokban, hanem mértékegységekben kell keresni.

Zénón egy másik érdekes apóriája egy repülő nyílról mesél:

A repülő nyíl mozdulatlan, mivel az idő minden pillanatában nyugalomban van, és mivel minden pillanatban nyugalomban van, mindig nyugalomban van.

Ebben az apóriában a logikai paradoxont ​​nagyon egyszerűen leküzdjük - elég tisztázni, hogy a repülő nyíl minden egyes pillanatban nyugalomban van a tér különböző pontjain, ami valójában mozgás. Itt még egy szempontot kell megjegyezni. Egy úton lévő autóról készült fénykép alapján lehetetlen meghatározni sem a mozgás tényét, sem a távolságot. Az autó mozgásának tényének megállapításához két, ugyanarról a pontról, különböző időpontokban készült fényképre van szükség, de ezek alapján nem lehet meghatározni a távolságot. Az autótól való távolság meghatározásához két, a tér különböző pontjairól készült fényképre van szükség egyidejűleg, de ezekből nem tudja meghatározni a mozgás tényét (természetesen további adatokra van szükség a számításokhoz, a trigonometria segít). Mire szeretnék összpontosítani Speciális figyelem, az, hogy két pont az időben és két pont a térben különböző dolog, amit nem szabad összekeverni, mert különböző lehetőségeket adnak a felfedezésre.

2018. július 4., szerda

A készlet és a multihalmaz közötti különbségeket nagyon jól leírja a Wikipédia. Nézzük.

Mint látható, "a halmaznak nem lehet két azonos eleme", de ha a halmazban azonos elemek vannak, akkor az ilyen halmazt "multisetnek" nevezzük. Az értelmes lények soha nem fogják megérteni az abszurditás efféle logikáját. Ez a beszélő papagájok és kiképzett majmok szintje, ahol az elme hiányzik a „teljesen” szóból. A matematikusok közönséges oktatóként viselkednek, és abszurd elképzeléseiket hirdetik nekünk.

Egyszer régen a hidat építő mérnökök egy csónakban ültek a híd alatt a híd tesztelése közben. Ha a híd összeomlott, a középszerű mérnök meghalt teremtménye romjai alatt. Ha a híd bírta a terhelést, a tehetséges mérnök más hidakat épített.

Bármennyire is bújnak a matematikusok a „figyelj rám, a házban vagyok”, vagy inkább „a matematika elvont fogalmakat tanulmányoz” kifejezés mögé, van egy köldökzsinór, amely elválaszthatatlanul összeköti őket a valósággal. Ez a köldökzsinór pénz. Alkalmazzuk a matematikai halmazelméletet magukra a matematikusokra.

Nagyon jól tanultunk matematikát, és most a pénztárnál ülünk és fizetünk. Itt egy matematikus jön hozzánk a pénzéért. A teljes összeget megszámoljuk neki, és az asztalunkra rakjuk különböző kupacokba, amelyekbe azonos címletű bankjegyeket teszünk. Ezután minden kupacból kiveszünk egy számlát, és megadjuk a matematikusnak a "matematikai fizetési készletét". Magyarázzuk meg a matematikát, hogy a többi számlát csak akkor kapja meg, ha bebizonyítja, hogy az azonos elemek nélküli halmaz nem egyenlő az azonos elemeket tartalmazó halmazzal. Itt kezdődik a móka.

Először is működni fog a képviselői logika: "másokra alkalmazhatod, rám nem!" Továbbá megkezdődik annak biztosítása, hogy az azonos címletű bankjegyeken különböző bankjegyszámok szerepelnek, ami azt jelenti, hogy nem tekinthetők azonos elemeknek. Nos, a fizetést érmében számoljuk – az érméken nincsenek számok. Itt a matematikus kétségbeesetten emlékszik vissza a fizikára: a különböző érmék különböző mennyiségű szennyeződést tartalmaznak, a kristályszerkezet és az atomok elrendezése minden érménél egyedi ...

És most nekem van a legtöbb érdeklődés Kérdezzen: hol van az a határ, amelyen túl egy multihalmaz elemei halmaz elemeivé válnak és fordítva? Ilyen vonal nem létezik - mindent a sámánok döntenek el, a tudomány itt még csak közel sem.

Nézz ide. Azonos pályaterületű futballstadionokat választunk. A mezők területe megegyezik, ami azt jelenti, hogy van egy multikészletünk. De ha figyelembe vesszük az azonos stadionok nevét, akkor sokat kapunk, mert a nevek különbözőek. Amint látja, ugyanaz az elemkészlet egyszerre halmaz és multihalmaz is. Mennyire helyes? És itt a matematikus-sámán-shuller elővesz egy adu ászt az ingujjából, és elkezd mesélni nekünk egy halmazról vagy egy multihalmazról. Mindenesetre meg fog győzni minket az igazáról.

Ahhoz, hogy megértsük, hogyan operálnak a modern sámánok a halmazelmélettel, a valósághoz kötve, elég megválaszolni egy kérdést: miben különböznek egy halmaz elemei egy másik halmaz elemeitől? Megmutatom, minden "nem egyetlen egészként elképzelhető" vagy "egyetlen egészként nem elképzelhető" nélkül.

2018. március 18. vasárnap

Egy szám számjegyeinek összege sámánok tánca tamburával, aminek semmi köze a matematikához. Igen, matematika órán azt tanítják, hogy keressük meg egy szám számjegyeinek összegét és használjuk, de ők azért sámánok, hogy megtanítsák a leszármazottaikat tudásukra és bölcsességükre, különben a sámánok egyszerűen kihalnak.

Bizonyítékra van szüksége? Nyissa meg a Wikipédiát, és próbálja meg megtalálni a "Számjegyek összege" oldalt. Ő nem létezik. A matematikában nincs olyan képlet, amellyel bármely szám számjegyeinek összegét meg lehetne találni. Hiszen a számok grafikus szimbólumok, amelyekkel számokat írunk, és a matematika nyelvén a feladat így hangzik: "Keresd meg a tetszőleges számot ábrázoló grafikus szimbólumok összegét." A matematikusok nem tudják megoldani ezt a problémát, de a sámánok alapvetően meg tudják oldani.

Találjuk ki, mit és hogyan tegyünk, hogy megtaláljuk a számjegyek összegét adott szám. Tegyük fel, hogy az 12345-ös számunk van. Mit kell tenni, hogy megtaláljuk ennek a számnak a számjegyeinek összegét? Vegyük sorra az összes lépést.

1. Írja fel a számot egy papírra. Mit tettünk? A számot számgrafikus szimbólummá alakítottuk. Ez nem matematikai művelet.

2. Egy kapott képet több, külön számokat tartalmazó képre vágtunk. A kép kivágása nem matematikai művelet.

3. Alakítsa át az egyes grafikus karaktereket számokká. Ez nem matematikai művelet.

4. Adja össze a kapott számokat. Ez most a matematika.

Az 12345 számjegyeinek összege 15. Ezek a matematikusok által használt "szabás- és varrótanfolyamok" a sámánoktól. De ez még nem minden.

A matematika szempontjából nem mindegy, hogy melyik számrendszerbe írjuk a számot. Szóval, be különböző rendszerek számolva ugyanazon szám számjegyeinek összege eltérő lesz. A matematikában a számrendszert alsó indexként tüntetjük fel a számtól jobbra. Val vel egy nagy szám 12345 Nem akarom becsapni a fejem, vegye figyelembe a cikk 26-os számát. Írjuk fel ezt a számot bináris, oktális, decimális és hexadecimális számrendszerben. Nem fogunk minden lépést mikroszkóp alatt megvizsgálni, ezt már megtettük. Nézzük az eredményt.

Mint látható, a különböző számrendszerekben ugyanazon szám számjegyeinek összege eltérő. Ennek az eredménynek semmi köze a matematikához. Ez olyan, mintha egy téglalap területét méterben és centiméterben találná meg, teljesen más eredményt adna.

A nulla minden számrendszerben ugyanúgy néz ki, és nincs számjegyösszege. Ez egy újabb érv amellett, hogy . Kérdés a matematikusokhoz: hogyan jelölik a matematikában azt, ami nem szám? A matematikusok számára a számokon kívül más nem létezik? A sámánoknak ezt megengedhetem, de a tudósoknak nem. A valóság nem csak a számokból áll.

A kapott eredményt annak bizonyítékának kell tekinteni, hogy a számrendszerek a számok mértékegységei. Hiszen nem hasonlíthatjuk össze a számokat különböző mértékegységekkel. Ha ugyanazok a műveletek ugyanazon mennyiség különböző mértékegységeivel ahhoz vezetnek különböző eredményeketösszehasonlításuk után, akkor ennek semmi köze a matematikához.

Mi az igazi matematika? Ilyenkor egy matematikai művelet eredménye nem függ a szám értékétől, az alkalmazott mértékegységtől és attól, hogy ki végzi el ezt a műveletet.

Jelzés az ajtón Kinyitja az ajtót és azt mondja:

Jaj! Ez nem a női mosdó?
- Fiatal nő! Ez egy laboratórium a lelkek határtalan szentségének tanulmányozására a mennybemenetelkor! Nimbus felül és nyíl felfelé. Milyen másik wc?

Nő... Egy halo a tetején és egy nyíl lefelé férfi.

Ha naponta többször is felvillan a szemed előtt egy ilyen dizájnművészeti alkotás,

Akkor nem meglepő, hogy hirtelen egy furcsa ikont talál az autójában:

Én személy szerint arra törekszem, hogy mínusz négy fokot lássak egy kakiló emberben (egy kép) (több kép összeállítása: mínusz jel, négyes szám, fokok megjelölése). És ezt a lányt nem tartom bolondnak, aki nem ismeri a fizikát. Csak egy íves sztereotípiája van a grafikus képek felfogásáról. A matematikusok pedig állandóan ezt tanítják nekünk. Íme egy példa.

Az 1A nem „mínusz négy fok” vagy „egy a”. Ez a "kaki ember" vagy a "huszonhat" szám a hexadecimális számrendszerben. Azok, akik folyamatosan ebben a számrendszerben dolgoznak, a számot és a betűt automatikusan egyetlen grafikus szimbólumként érzékelik.