Egyjegyű természetes szám. Egész számok

Egész számok

Egész számok definíciója pozitív egész szám. A természetes számokat tárgyak számlálására és sok más célra használják. Íme a számok:

Ez egy természetes számsor.
A nulla természetes szám? Nem, a nulla nem természetes szám.
Hány természetes szám van? A természetes számoknak végtelen halmaza van.
Mi a legkisebb természetes szám? Az egyik a legkisebb természetes szám.
Mi a legnagyobb természetes szám? Nem adható meg, mert a természetes számoknak végtelen halmaza van.

A természetes számok összege természetes szám. Tehát az a és b természetes számok összeadása:

A természetes számok szorzata természetes szám. Tehát az a és b természetes számok szorzata:

c mindig természetes szám.

A természetes számok különbsége Nem mindig létezik természetes szám. Ha a minuend nagyobb, mint a részrész, akkor a természetes számok különbsége természetes szám, egyébként nem.

A természetes számok hányadosa Nem mindig van természetes szám. Ha a és b természetes számokra

ahol c természetes szám, ez azt jelenti, hogy a egyenlően osztható b-vel. Ebben a példában a az osztó, b az osztó, c a hányados.

A természetes szám osztója az a természetes szám, amellyel az első szám egyenletesen osztható.

Minden természetes szám osztható 1-gyel és önmagával.

Az egyszerű természetes számok csak 1-gyel és önmagukkal oszthatók. Itt teljesen megosztottra gondolunk. Példa, számok 2; 3; 5; A 7 csak 1-gyel és önmagával osztható. Ezek egyszerű természetes számok.

Az egyet nem tekintjük prímszámnak.

Azokat a számokat, amelyek nagyobbak egynél, és amelyek nem prímszámok, összetett számoknak nevezzük. Példák összetett számokra:

Az egyet nem tekintjük összetett számnak.

A természetes számok halmaza egyesből, prímszámokból és összetett számokból áll.

A természetes számok halmazát jelöljük latin betű N.

A természetes számok összeadásának és szorzásának tulajdonságai:

összeadás kommutatív tulajdonsága

összeadás asszociatív tulajdonsága

(a + b) + c = a + (b + c);

szorzás kommutatív tulajdonsága

szorzás asszociatív tulajdonsága

(ab)c = a(bc);

szorzás elosztó tulajdonsága

A (b + c) = ab + ac;

Egész számok

Az egész számok természetes számok, nullák és a természetes számok ellentéte.

A természetes számokkal ellentétes számok negatív egészek, például:

1; -2; -3; -4;...

Az egész számok halmazát a latin Z betű jelöli.

Racionális számok

Racionális számok egész számok és törtek.

Bármely racionális szám ábrázolható periodikus törtként. Példák:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

A példákból látható, hogy bármely egész szám egy periodikus tört, amelynek periódusa nulla.

Bármely racionális szám ábrázolható m/n törtként, ahol m egy egész szám szám, n természetes szám. Az előző példában szereplő 3,(6) számot ábrázoljuk ilyen törtként.

Mik azok a természetes és nem természetes számok? Hogyan magyarázzuk el egy gyereknek, vagy esetleg nem egy gyereknek, hogy mi a különbség köztük? Találjuk ki. Tudomásunk szerint 5. osztályban tanulják a nem természetes és természetes számokat, célunk, hogy elmagyarázzuk a tanulóknak, hogy valóban értsék és megtanulják, mit és hogyan.

Sztori

A természetes számok az egyik legrégebbi fogalom. Réges-régen, amikor az emberek még nem tudtak számolni, és fogalmuk sem volt a számokról, amikor meg kellett számolniuk valamit, például halakat, állatokat, kiütöttek különféle tantárgyak pontok vagy kötőjelek, ahogy a régészek később megállapították. Akkoriban nagyon nehéz volt megélniük, de a civilizáció előbb a római számrendszerre, majd a tizedes számrendszerre fejlődött. Ma már szinte mindenki arab számokat használ.

Mindent a természetes számokról

A természetes számok prímszámok, amelyeket mindennapi életünkben használunk tárgyak megszámlálására, hogy meghatározzuk a mennyiséget és a sorrendet. Jelenleg decimális jelölést használunk a számok írásához. Bármely szám felírásához tíz számjegyet használunk - nullától kilencig.

A természetes számok azok a számok, amelyeket objektumok számlálásakor vagy valami sorszámának megadásakor használunk. Példa: 5, 368, 99, 3684.

A számsorokat természetes számoknak nevezzük, amelyek növekvő sorrendbe vannak rendezve, azaz. egytől a végtelenig. Ez a sor ezzel kezdődik a legkisebb szám- 1, és nincs legnagyobb természetes szám, mivel a számsor egyszerűen végtelen.

Általában a nullát nem tekintjük természetes számnak, mivel valaminek a hiányát jelenti, és nincs objektumszám sem.

Az arab számrendszer az modern rendszer amit minden nap használunk. Az indiai (tizedes) egyik változata.

Ez a számrendszer az arabok által kitalált 0 miatt vált modernné. Ezt megelőzően az indiai rendszerben hiányzott.

nem természetes számok. Mi az?

A természetes számok nem tartalmazzák a negatív számokat és a nem egész számokat. Tehát nem természetes számok

Az alábbiakban példák találhatók.

A nem természetes számok a következők:

• Negatív számok, például: -1, -5, -36.. és így tovább.
• Tizedesjegyben kifejezett racionális számok: 4,5, -67, 44,6.
• Egyszerű tört formájában: 1/2, 40 2/7 stb.

Irracionális számok, például e = 2,71828, √2 = 1,41421 és hasonlók.

Reméljük, hogy sokat segítettünk a nem természetes és természetes számokkal. Most könnyebb lesz elmagyarázni ezt a témát a gyereknek, és ő is megtanulja, mint a nagy matematikusok!

A matematika az általános filozófiából a Kr.e. 6. század körül jelent meg. e., és ettől a pillanattól kezdve megkezdte győzelmes menetét a világ körül. A fejlődés minden szakasza hozott valami újat – az elemi számvetés fejlődött, átalakult differenciál- és integrálszámítássá, évszázadok változtak, a képletek egyre zavarosabbak lettek, és eljött a pillanat, amikor „a legtöbb összetett matematika- minden szám eltűnt róla. De mi volt az alapja?

Az idő kezdete

A természetes számok egy szinten jelentek meg az elsővel matematikai műveletek. Egyszer egy gerinc, két tüske, három tüske... Az indiai tudósoknak köszönhetően jelentek meg, akik levezették az első pozíciót

A „pozicionalitás” szó azt jelenti, hogy egy számban minden egyes számjegy helye szigorúan meghatározott, és megfelel a kategóriájának. Például a 784-es és a 487-es számok ugyanazok, de a számok nem ekvivalensek, hiszen az első 7 százast tartalmaz, míg a második csak 4-et. Az indiánok újítását az arabok vették át, és hozták a számokat a formában, amit most ismerünk.

Az ókorban a számoknak misztikus jelentést adtak, Pythagoras úgy gondolta, hogy a szám a világ teremtésének alapja a fő elemekkel - tűz, víz, föld, levegő - együtt. Ha mindent csak a matematikai oldalról nézünk, akkor mi a természetes szám? A természetes számok mezőjét N-ként jelöljük, és egész számok és pozitív számok végtelen sorozata: 1, 2, 3, … + ∞. A nulla kizárt. Főleg cikkek számlálására és sorrend jelzésére használják.

Mi van a matematikában? Peano axiómái

Az N mező az az alapmező, amelyre az elemi matematika támaszkodik. Idővel az egész számok mezői, racionális,

Giuseppe Peano olasz matematikus munkája lehetővé tette az aritmetika további strukturálását, elérte formalitását, és megnyitotta az utat az N területen túlmutató további következtetések előtt.

Azt, hogy mi a természetes szám, már korábban kiderült egyszerű nyelv, az alábbiakban a Peano-féle axiómákon alapuló matematikai definíciót vizsgáljuk meg.

• Az egyiket természetes számnak tekintjük.
• A természetes számot követő szám természetes szám.
• Egy előtt nincs természetes szám.
• Ha a b szám a c és a d számot is követi, akkor c=d.
• Az indukció axiómája, ami viszont megmutatja, hogy mi a természetes szám: ha valamely paramétertől függő állítás igaz az 1-es számra, akkor feltételezzük, hogy az N természetes számok mezőjéből az n számra is működik. az állítás n =1-re is igaz az N természetes számok mezőjéből.

Alapműveletek a természetes számok területén

Mivel az N mező lett az első a matematikai számításoknál, mind a definíciós tartományok, mind az alábbi műveletek értéktartományai erre utalnak. Zárva vannak és nem. A fő különbség az, hogy a zárt műveletek garantáltan az N halmazon belül hagynak eredményt, függetlenül attól, hogy milyen számokról van szó. Elég, ha természetesek. A fennmaradó numerikus kölcsönhatások eredménye már nem olyan egyértelmű, és közvetlenül attól függ, hogy milyen számok szerepelnek a kifejezésben, mivel ez ellentmondhat a fő definíciónak. Tehát lezárt műveletek:

• összeadás - x + y = z, ahol x, y, z szerepel az N mezőben;
• szorzás - x * y = z, ahol x, y, z szerepel az N mezőben;
• hatványozás - x y , ahol x, y szerepel az N mezőben.

A fennmaradó műveletek, amelyek eredménye nem feltétlenül létezik a "mi a természetes szám" definíciójában, a következők:

Az N mezőbe tartozó számok tulajdonságai

Minden további matematikai érvelés a következő tulajdonságokon fog alapulni, amelyek a legtriviálisabbak, de nem kevésbé fontosak.

• Az összeadás kommutatív tulajdonsága x + y = y + x, ahol az x, y számok az N mezőben szerepelnek. Vagy a jól ismert "az összeg nem változik a tagok helyének változásától".
• A szorzás kommutatív tulajdonsága x * y = y * x, ahol az x, y számok az N mezőben szerepelnek.
• Az összeadás asszociatív tulajdonsága (x + y) + z = x + (y + z), ahol x, y, z az N mezőben szerepel.
• A szorzás asszociatív tulajdonsága (x * y) * z = x * (y * z), ahol az x, y, z számok az N mezőben szerepelnek.
• eloszlási tulajdonság - x (y + z) = x * y + x * z, ahol az x, y, z számok az N mezőben szerepelnek.

Pitagorasz-tábla

Az egyik első lépés abban, hogy az iskolások megismerjék az elemi matematika teljes szerkezetét, miután maguk is megértették, mely számokat nevezik természetesnek, a Pitagorasz-tábla. Nemcsak tudomány szempontjából, hanem értékes tudományos műemléknek is tekinthető.

Ez a szorzótábla az idők során számos változáson ment keresztül: a nullát eltávolították belőle, és az 1-től 10-ig tartó számok önmagukat jelölik, a sorrendek (százas, ezres ...) figyelembevétele nélkül. Ez egy olyan táblázat, amelyben a sorok és oszlopok fejlécei számok, és a metszéspontjuk celláinak tartalma megegyezik a szorzatukkal.

A tanítás gyakorlatában az elmúlt évtizedekben felmerült az igény a Pitagorasz-tábla „sorrendben” memorizálására, vagyis a memorizálás ment az első helyre. Az 1-gyel való szorzást kizártuk, mert az eredmény 1 vagy nagyobb volt. Eközben a táblázatban szabad szemmel egy minta látható: a számok szorzata egy lépéssel nő, ami megegyezik a sor címével. Így a második faktor azt mutatja meg, hogy az elsőt hányszor kell bevenni, hogy megkapjuk a kívánt terméket. Ez a rendszer Ellentétben a középkorban alkalmazottal: az emberek még annak megértésében is, hogy mi a természetes szám, és mennyire triviálisak, sikerült megbonyolítaniuk mindennapi számolásukat egy kettős hatványokon alapuló rendszer segítségével.

A részhalmaz mint a matematika bölcsője

A Ebben a pillanatban az N természetes számok mezőjét csak a komplex számok egyik részhalmazának tekintik, de ez nem teszi kevésbé értékessé a tudományban. A természetes szám az első dolog, amit a gyermek saját maga és a körülötte lévő világ tanulmányozása során tanul meg. Egy ujj, két ujj... Neki köszönhetően kialakul az ember logikus gondolkodás, valamint az ok meghatározásának és az okozat következtetésének képessége, amely megnyitja az utat a nagy felfedezések előtt.

A legegyszerűbb szám az természetes szám. ben használják Mindennapi élet a számoláshoz tételek, azaz számuk és sorrendjük kiszámításához.

Mi a természetes szám: természetes számok nevezze meg a használt számokat tételek számlálása vagy bármely tétel sorszámának feltüntetése az összes homogénből tételeket.

Egész számokegytől kezdődő számok. Számláláskor természetes módon keletkeznek.Például 1,2,3,4,5... -első természetes számok.

legkisebb természetes szám- egy. Nincs legnagyobb természetes szám. A szám számolásánál nullát nem használunk, így a nulla természetes szám.

természetes számsorok az összes természetes szám sorozata. Írj természetes számokat:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

A természetes számokban minden szám eggyel több, mint az előző.

Hány szám van a természetes sorozatban? A természetes sorozat végtelen, nincs legnagyobb természetes szám.

Tizedesjegy, mivel bármely kategória 10 egysége 1 legmagasabb rendű egységet alkot. helyzeti úgy hogyan függ egy számjegy értéke a számban elfoglalt helyétől, azaz. abból a kategóriából, ahol rögzítik.

Természetes számok osztályai.

Bármely természetes szám felírható 10 arab számmal:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

A természetes számok olvasásához jobbról kezdődően 3 számjegyű csoportokra osztjuk őket. 3 először a jobb oldali számok az egységek osztályai, a következő 3 az ezres osztályok, majd a milliók, milliárdok ésstb. Az osztály minden számjegyét annak nevezzükkisülés.

Természetes számok összehasonlítása.

A 2 természetes szám közül a számláláskor korábban hívott szám kisebb. például, szám 7 kisebb 11 (így írva:7 < 11 ). Amikor egy szám több mint egy másodperc, így van kiírva:386 > 99 .

Számjegyek és számosztályok táblázata.

1. osztályú egység	1. egységszámjegy 2. hely tíz 3. rangsor százas
2. osztályú ezer	1. számjegyű ezres mértékegységek 2. számjegy tízezrek 3. rangú százezrek
3. osztály milliók	1. számjegyű egység millió 2. számjegy tízmilliók 3. számjegy százmilliók
4. osztály milliárdok	1. számjegyű egység milliárd 2. számjegyű tízmilliárdok 3. számjegyű százmilliárdok

Az 5. osztálytól feljebb lévő számok utalnak nagy számok. Az 5. osztály egységei - billiók, 6 osztály - kvadrilliók, 7. osztály - ötmilliárd, 8. osztály - szexmilliárd, 9. osztály - eptilionok. A természetes számok alapvető tulajdonságai. Összeadás kommutativitása . a + b = b + a A szorzás kommutativitása. ab=ba Az összeadás asszociativitása. (a + b) + c = a + (b + c) A szorzás asszociativitása. A szorzás eloszlása ​​az összeadás tekintetében: Műveletek természetes számokkal. 4. A természetes számok osztása a szorzással fordított művelet. Ha egy b ∙ c \u003d a, azután Osztási képletek: a: 1 = a a: a = 1, a ≠ 0 0: a = 0, a ≠ 0 (a∙ b) : c = (a:c) ∙ b (a∙ b) : c = (b:c) ∙ a Numerikus kifejezések és numerikus egyenlőségek. Az a jelölés, ahol a számokat cselekvésjelek kötik össze numerikus kifejezés. Például 10∙3+4; (60-2∙5):10. Azok a bejegyzések, ahol az egyenlőségjel 2 numerikus kifejezést fűz össze számszerű egyenlőségeket. Az egyenlőségnek van egy bal és egy jobb oldala. Az aritmetikai műveletek végrehajtásának sorrendje. A számok összeadása és kivonása elsőfokú, míg a szorzás és osztás másodfokú műveletek. Ha egy numerikus kifejezés csak egyfokú műveletekből áll, akkor azokat egymás után hajtják végre balról jobbra. Ha a kifejezések csak első és másodfokú cselekvésekből állnak, akkor először a műveleteket hajtják végre a második fokozat, majd - az első fokú cselekvések. Ha a kifejezésben zárójelek vannak, akkor először a zárójelben szereplő műveletek kerülnek végrehajtásra. Például 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

Egész számok- számok, amelyeket az objektumok számlálására használnak . Bármely természetes szám felírható tíz használatával számjegyek: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Az ilyen számrekordot ún. decimális.

Az összes természetes szám sorozatát nevezzük természetes egymás mellett .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

A legtöbb kicsi természetes szám egy (1). A természetes sorozatban minden következő szám 1-gyel több, mint az előző. természetes sorozat végtelen nincs legnagyobb szám.

Egy számjegy jelentése a szám jelölésében elfoglalt helyétől függ. Például a 4-es szám jelentése: 4 egység, ha világít utolsó hely a számbevitelben (egységek helyén); 4 tíz, ha az utolsó helyen van (a tízes helyen); 4 több száz, ha a végétől a harmadik helyen áll (ban ben százas hely).

A 0 számjegy azt jelenti az ebbe a kategóriába tartozó egységek hiánya egy szám decimális jelölésében. A szám jelölésére is szolgál " nulla". Ez a szám azt jelenti, hogy "nincs". Eredmény: 0:3 labdarúgó mérkőzés azt mondja, hogy az első csapat egyetlen gólt sem szerzett az ellenfél ellen.

Nulla ne tartalmazza természetes számokhoz. És valóban, a tételek számlálása soha nem kezdődik elölről.

Ha egy természetes számnak csak egy jegye van – egy számjegy, akkor hívják félreérthetetlen. Azok. félreérthetetlentermészetes szám- természetes szám, amelynek rekordja egy előjelből áll – egy számjegy. Például az 1, 6, 8 számok egyjegyűek.

két számjegyűtermészetes szám- természetes szám, amelynek rekordja két karakterből - két számjegyből áll.

Például a 12, 47, 24, 99 számok kétjegyűek.

Ezenkívül az adott számban lévő karakterek számától függően más számok neveket kapnak:

326, 532, 893 számok - háromjegyű;

számok 1126, 4268, 9999 - négyjegyű stb.

Két számjegy, három számjegy, négy számjegy, öt számjegy stb. hívják a számokat többjegyű számok .

A többjegyű számok olvasásához jobbról indulva háromjegyű csoportokra osztják őket (a bal szélső csoport egy vagy két számjegyből állhat). Ezeket a csoportokat ún osztályok.

Millió ezerezer (1000 ezer), 1 millió vagy 1 000 000 van ráírva.

Milliárd, ezermillió 1000 millió. 1 milliárdan vagy 1 000 000 000-en tartják nyilván.

A jobb oldali első három számjegy az egységek osztályát alkotja, a következő három - az ezres osztályt, majd ott vannak a milliók, milliárdok stb. osztályai. (1. ábra).

Rizs. 1. milliós osztály, ezres osztály és egységek osztálya (balról jobbra)

A 15389000286 számot a bitrácsba írjuk (2. ábra).

Rizs. 2. Számjegyrács: 15 milliárd 389 millió 286 szám

Ez a szám 286 egyest tartalmaz az egy osztályban, nulla egyet az ezres osztályban, 389 egyest a milliós osztályban, és 15 egyest a milliárdos osztályban.