Simplifier la calculatrice en ligne de fractions algébriques. Comment simplifier des expressions algébriques
Une expression algébrique dans laquelle, en plus des opérations d'addition, de soustraction et de multiplication, ils utilisent également la division par expressions littérales, est appelée une expression algébrique fractionnaire. Telles sont, par exemple, les expressions
On appelle fraction algébrique une expression algébrique qui a la forme d'un quotient de division de deux expressions algébriques entières (par exemple, des monômes ou des polynômes). Telles sont, par exemple, les expressions
le tiers des expressions).
Les transformations d'identité des expressions algébriques fractionnaires sont pour la plupart destinées à les représenter comme une fraction algébrique. Pour trouver un dénominateur commun, la factorisation des dénominateurs des fractions - termes est utilisée afin de trouver leur plus petit commun multiple. Lors de la réduction fractions algébriques la stricte identité des expressions peut être violée: il faut exclure les valeurs des quantités auxquelles le facteur par lequel la réduction est faite s'annule.
Voici quelques exemples transformations identiques expressions algébriques fractionnaires.
Exemple 1 : Simplifier une expression
Tous les termes peuvent être réduits à un dénominateur commun (il est commode de changer le signe au dénominateur du dernier terme et le signe devant) :
Notre expression est égale à un pour toutes les valeurs sauf ces valeurs, elle n'est pas définie et la réduction de fraction est illégale).
Exemple 2. Représenter l'expression sous la forme d'une fraction algébrique
Décision. L'expression peut être prise comme un dénominateur commun. On retrouve successivement :
Des exercices
1. Trouvez les valeurs des expressions algébriques pour les valeurs spécifiées des paramètres :
2. Factoriser.
Math-Calculator-Online v.1.0
La calculatrice effectue les opérations suivantes : addition, soustraction, multiplication, division, travail avec des décimales, extraction de la racine, élévation à une puissance, calcul de pourcentages et autres opérations.
Décision:
Comment utiliser la calculatrice mathématique
Clé | La désignation | Explication |
---|---|---|
5 | numéros 0-9 | Chiffres arabes. Entrez des entiers naturels, zéro. Pour obtenir un entier négatif, appuyez sur la touche +/- |
. | point-virgule) | Un séparateur décimal. S'il n'y a pas de chiffre avant le point (virgule), la calculatrice substituera automatiquement un zéro avant le point. Par exemple : .5 - 0.5 s'écrira |
+ | signe plus | Addition de nombres (entiers, fractions décimales) |
- | signe moins | Soustraction de nombres (entiers, fractions décimales) |
÷ | signe de division | Division de nombres (entiers, fractions décimales) |
X | signe de multiplication | Multiplication de nombres (entiers, décimaux) |
√ | racine | Extraire la racine d'un nombre. Lorsque vous appuyez à nouveau sur le bouton "root", la racine est calculée à partir du résultat. Par exemple : racine carrée de 16 = 4 ; racine carrée de 4 = 2 |
x2 | mise au carré | La quadrature d'un nombre. Lorsque vous appuyez à nouveau sur le bouton « mise au carré », le résultat est mis au carré, par exemple : carré 2 = 4 ; carré 4 = 16 |
1 fois | fraction | Sortie en décimales. Au numérateur 1, au dénominateur le nombre d'entrée |
% | pour cent | Obtenez un pourcentage d'un nombre. Pour travailler, vous devez entrer: le nombre à partir duquel le pourcentage sera calculé, le signe (plus, moins, diviser, multiplier), combien de pourcentage sous forme numérique, le bouton "%" |
( | support ouvert | Une parenthèse ouverte pour définir la priorité d'évaluation. Une parenthèse fermée est requise. Exemple : (2+3)*2=10 |
) | support fermé | Une parenthèse fermée pour définir la priorité d'évaluation. Disponibilité requise support ouvert |
± | plus moins | Change de signe en opposé |
= | équivaut à | Affiche le résultat de la solution. De plus, les calculs intermédiaires et le résultat sont affichés au-dessus de la calculatrice dans le champ "Solution". |
← | suppression d'un caractère | Supprime le dernier caractère |
Avec | réinitialiser | Bouton de réinitialisation. Réinitialise complètement la calculatrice à "0" |
L'algorithme de la calculatrice en ligne avec des exemples
Une addition.
Addition d'entiers nombres naturels { 5 + 7 = 12 }
Addition de nombres entiers naturels et négatifs ( 5 + (-2) = 3 )
Addition décimale nombres fractionnaires { 0,3 + 5,2 = 5,5 }
Soustraction.
Soustraction de nombres naturels entiers ( 7 - 5 = 2 )
Soustraction de nombres entiers naturels et négatifs ( 5 - (-2) = 7 )
Soustraction de nombres fractionnaires décimaux ( 6,5 - 1,2 = 4,3 )
Multiplication.
Produit de nombres naturels entiers ( 3 * 7 = 21 )
Produit de nombres entiers naturels et négatifs ( 5 * (-3) = -15 )
Produit de nombres fractionnaires décimaux ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )
Division.
Division d'entiers naturels ( 27 / 3 = 9 )
Division de nombres entiers naturels et négatifs ( 15 / (-3) = -5 )
Division de nombres fractionnaires décimaux ( 6,2 / 2 = 3,1 )
Extraire la racine d'un nombre.
Extraction de la racine d'un entier ( root(9) = 3 )
Extraction de la racine des décimales ( root(2.5) = 1.58 )
Extraire la racine de la somme des nombres ( root(56 + 25) = 9 )
Extraction de la racine de la différence des nombres ( racine (32 - 7) = 5 )
La quadrature d'un nombre.
Carré d'un entier ( (3) 2 = 9 )
Décimales au carré ( (2.2) 2 = 4.84 )
Convertir en fractions décimales.
Calculer les pourcentages d'un nombre
Augmentez 230 de 15% ( 230 + 230 * 0,15 = 264,5 )
Diminuez le nombre 510 de 35% ( 510 - 510 * 0,35 = 331,5 )
18% du nombre 140 est ( 140 * 0,18 = 25,2 )
Quelques exemples algébriques une sorte est capable de terrifier les écoliers. Les expressions longues sont non seulement intimidantes, mais aussi très difficiles à calculer. Essayer de comprendre immédiatement ce qui suit et ce qui suit, pour ne pas s'embrouiller longtemps. C'est pour cette raison que les mathématiciens essaient toujours de simplifier autant que possible la tâche «terrible» et ne procèdent qu'ensuite à sa résolution. Curieusement, une telle astuce accélère considérablement le processus.
La simplification est l'un des points fondamentaux de l'algèbre. Si dans tâches simples vous pouvez toujours vous en passer, alors des exemples plus difficiles à calculer peuvent s'avérer "trop durs". C'est là que ces compétences deviennent utiles ! De plus, des connaissances mathématiques complexes ne sont pas requises : il suffira juste de se souvenir et d'apprendre à mettre en pratique quelques techniques et formules de base.
Quelle que soit la complexité des calculs, lors de la résolution d'une expression, il est important suivre l'ordre des opérations avec des chiffres:
- parenthèses ;
- exponentiation ;
- multiplication;
- division;
- une addition;
- soustraction.
Les deux derniers points peuvent être échangés en toute sécurité et cela n'affectera en rien le résultat. Mais additionner deux nombres voisins, quand à côté de l'un d'eux il y a un signe de multiplication, c'est absolument impossible ! La réponse, le cas échéant, est fausse. Par conséquent, vous devez vous souvenir de la séquence.
L'utilisation d'un tel
De tels éléments incluent des nombres avec une variable du même ordre ou du même degré. Il existe également des membres dits libres qui n'ont pas à côté d'eux la désignation de la lettre de l'inconnu.
L'essentiel est qu'en l'absence de parenthèses Vous pouvez simplifier l'expression en ajoutant ou en soustrayant comme.
Quelques exemples illustratifs:
- 8x 2 et 3x 2 - les deux nombres ont la même variable de second ordre, ils sont donc similaires et lorsqu'ils sont ajoutés, ils sont simplifiés en (8+3)x 2 =11x 2, tandis que lorsqu'ils sont soustraits, il s'avère (8-3) x2=5x2 ;
- 4x 3 et 6x - et ici "x" a un degré différent ;
- 2y 7 et 33x 7 - contiennent des variables différentes, par conséquent, comme dans le cas précédent, elles n'appartiennent pas à des variables similaires.
Factoriser un nombre
Cette petite astuce mathématique, si vous apprenez à l'utiliser correctement, vous aidera à faire face à un problème délicat plus d'une fois dans le futur. Et il est facile de comprendre comment fonctionne le « système » : une décomposition est un produit de plusieurs éléments dont le calcul donne la valeur d'origine. Ainsi, 20 peut être représenté par 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2 ou d'une autre manière.
Sur une note: les multiplicateurs sont toujours les mêmes que les diviseurs. Vous devez donc rechercher une "paire" de travail pour l'expansion parmi les nombres par lesquels l'original est divisible sans reste.
Vous pouvez effectuer une telle opération à la fois avec des membres libres et avec des chiffres attachés à une variable. L'essentiel est de ne pas perdre ce dernier lors des calculs - même après décomposition, l'inconnu ne peut plus prendre et « ne va nulle part ». Il reste à l'un des facteurs:
- 15x=3(5x);
- 60a 2 \u003d (15a 2) 4.
Les nombres premiers qui ne peuvent être divisés que par eux-mêmes ou 1 facteur jamais - cela n'a aucun sens..
Méthodes de simplification de base
La première chose qui saute aux yeux :
- la présence de crochets;
- fractions ;
- racines.
Exemples algébriques en programme scolaire sont souvent compilés avec l'hypothèse qu'ils peuvent être magnifiquement simplifiés.
Calculs de parenthèse
Portez une attention particulière au signe devant les supports ! La multiplication ou la division est appliquée à chaque élément à l'intérieur, et moins - inverse les signes "+" ou "-" existants.
Les parenthèses sont calculées selon les règles ou selon les formules de multiplication abrégée, après quoi des semblables sont données.
Réduction des fractions
Réduire les fractions est aussi facile. Eux-mêmes "s'enfuient volontairement" de temps en temps, cela vaut la peine de faire des opérations avec de tels membres. Mais vous pouvez simplifier l'exemple même avant cela : attention au numérateur et au dénominateur. Ils contiennent souvent des éléments explicites ou cachés qui peuvent être mutuellement réduits. Certes, si dans le premier cas vous avez juste besoin de supprimer le superflu, dans le second vous devrez réfléchir en apportant une partie de l'expression à la forme pour la simplification. Méthodes utilisées :
- recherche et mise entre parenthèses du plus grand commun diviseur du numérateur et du dénominateur ;
- en divisant chaque élément supérieur par le dénominateur.
Lorsqu'une expression ou une partie de celle-ci se trouve sous la racine, le problème principal de simplification est presque le même que celui des fractions. Il faut chercher des moyens de s'en débarrasser complètement ou, si ce n'est pas possible, de minimiser le signe interférant avec les calculs. Par exemple, à discret √(3) ou √(7).
Le droit chemin simplifier l'expression radicale - essayer de la factoriser, dont certains sont à l'extérieur du signe. Un exemple illustratif : √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).
Autres petites astuces et nuances :
- cette opération de simplification peut être effectuée avec des fractions, en le retirant du signe à la fois dans son ensemble et séparément comme numérateur ou dénominateur ;
- il est impossible de décomposer et de retirer une partie de la somme ou de la différence au-delà de la racine;
- lorsque vous travaillez avec des variables, veillez à prendre en compte son degré, il doit être égal ou multiple de la racine pour pouvoir rendre : √(x 2 y)=x√(y), √(x 3)= √(x 2 ×x)=x√( x);
- parfois il est permis de se débarrasser de la variable radicale en l'élevant à une puissance fractionnaire : √ (y 3)=y 3/2.
Simplification de l'expression de puissance
Si dans le cas de calculs simples pour moins ou plus, les exemples sont simplifiés en apportant des exemples similaires, alors qu'en est-il lors de la multiplication ou de la division de variables avec divers degrés? Ils peuvent être facilement simplifiés en rappelant deux points principaux :
- S'il y a un signe de multiplication entre les variables, les exposants sont additionnés.
- Lorsqu'ils sont divisés entre eux, le même dénominateur est soustrait du degré du numérateur.
La seule condition pour une telle simplification est même socle pour les deux membres. Exemples pour plus de clarté :
- 5x 2 × 4x 7 + (y 13 / y 11) \u003d (5 × 4)x 2+7 + y 13- 11 \u003d 20x 9 + y 2;
- 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.
Nous notons que les opérations avec des valeurs numériques devant des variables se produisent selon les règles mathématiques habituelles. Et si vous regardez attentivement, il devient clair que les éléments de pouvoir de l'expression "fonctionnent" de la même manière :
- élever un membre à une puissance signifie le multiplier par lui-même un certain nombre de fois, c'est-à-dire x 2 \u003d x × x;
- la division est similaire: si vous développez le degré du numérateur et du dénominateur, certaines des variables seront réduites, tandis que les autres seront «rassemblées», ce qui équivaut à une soustraction.
Comme dans toute entreprise, lors de la simplification d'expressions algébriques, non seulement la connaissance des bases est nécessaire, mais aussi la pratique. Après quelques leçons, des exemples qui semblaient autrefois compliqués seront réduits sans travail spécial, se transformant en court et facilement résolu.
Vidéo
Cette vidéo vous aidera à comprendre et à vous rappeler comment les expressions sont simplifiées.
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