Réduction des fractions algébriques : une règle, des exemples. Comment résoudre des fractions algébriques ? Théorie et pratique

Les fractions et leur réduction est un autre sujet qui commence en 5e année. Ici, la base de cette action est formée, puis ces compétences sont tirées par un fil vers les mathématiques supérieures. Si l'élève n'a pas appris, il peut avoir des problèmes d'algèbre. Par conséquent, il est préférable de comprendre quelques règles une fois pour toutes. Et rappelez-vous une interdiction et ne la brisez jamais.

Fraction et sa réduction

Ce que c'est, chaque étudiant le sait. Deux chiffres situés entre la barre horizontale sont immédiatement perçus comme une fraction. Cependant, tout le monde ne comprend pas que n'importe quel nombre peut le devenir. Si c'est un entier, alors il peut toujours être divisé par un, alors vous obtenez une fraction impropre. Mais plus là-dessus plus tard.

Le début est toujours simple. Vous devez d'abord comprendre comment réduire la fraction correcte. C'est-à-dire celui dont le numérateur est inférieur au dénominateur. Pour ce faire, vous devez vous rappeler la propriété principale d'une fraction. Il stipule qu'en multipliant (ainsi qu'en divisant) son numérateur et son dénominateur par le même nombre en même temps, une fraction originale équivalente est obtenue.

Les actions de division qui sont effectuées sur cette propriété entraînent une réduction. C'est-à-dire sa simplification maximale. Une fraction peut être réduite tant qu'il y a des facteurs communs au-dessus et au-dessous de la ligne. Lorsqu'ils n'existent plus, la réduction est impossible. Et ils disent que cette fraction est irréductible.

deux façons

1.Réduction pas à pas. Il utilise la méthode de devinette, lorsque les deux nombres sont divisés par le facteur commun minimum que l'élève a remarqué. Si après la première réduction, il est clair que ce n'est pas la fin, alors la division continue. Jusqu'à ce que la fraction devienne irréductible.

2. Trouver le plus grand commun diviseur du numérateur et du dénominateur. C'est la manière la plus rationnelle de réduire les fractions. Il s'agit de factoriser le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers. Parmi eux, vous devez tout de même choisir. Leur produit donnera le plus grand facteur commun par lequel la fraction est réduite.

Ces deux méthodes sont équivalentes. L'élève est invité à les maîtriser et à utiliser celui qu'il préfère.

Et s'il y avait des lettres et des opérations d'addition et de soustraction ?

Avec la première partie de la question, tout est plus ou moins clair. Les lettres peuvent être abrégées comme les nombres. L'essentiel est qu'ils agissent comme des multiplicateurs. Mais avec le second, beaucoup ont des problèmes.

Important à retenir ! Vous ne pouvez réduire que les nombres qui sont des facteurs. Si ce sont des termes, c'est impossible.

Afin de comprendre comment réduire des fractions qui ressemblent à une expression algébrique, vous devez apprendre la règle. Tout d'abord, exprimez le numérateur et le dénominateur sous forme de produit. Ensuite, vous pouvez réduire s'il existe des facteurs communs. Pour la représentation sous forme de multiplicateurs, les astuces suivantes sont utiles :

regroupement;
mise entre parenthèses ;
application d'identités de multiplication abrégées.

De plus, cette dernière méthode permet d'obtenir immédiatement des termes sous forme de facteurs. Par conséquent, il doit toujours être utilisé si un motif connu est visible.

Mais ce n'est pas encore effrayant, alors des tâches avec des degrés et des racines apparaissent. C'est à ce moment-là que vous devez rassembler votre courage et apprendre quelques nouvelles règles.

Expression de puissance

Fraction. Le produit au numérateur et au dénominateur. Il y a des lettres et des chiffres. Et ils sont également élevés à une puissance, qui se compose également de termes ou de facteurs. Il y a de quoi avoir peur.

Afin de comprendre comment réduire des fractions avec des puissances, vous devez apprendre deux points :

s'il y a une somme dans l'exposant, alors elle peut être décomposée en facteurs dont les puissances seront les termes originaux;
si la différence, puis dans le dividende et le diviseur, le premier du degré sera réduit, le second - soustrait.

Une fois ces étapes terminées, les multiplicateurs communs deviennent visibles. Dans de tels exemples, il n'est pas nécessaire de calculer toutes les puissances. Il suffit de réduire simplement les degrés avec les mêmes indicateurs et bases.

Afin de maîtriser enfin la réduction des fractions avec des puissances, vous avez besoin de beaucoup de pratique. Après plusieurs exemples du même type, les actions seront exécutées automatiquement.

Et si l'expression contient une racine ?

Il peut aussi être raccourci. Encore une fois, suivez simplement les règles. De plus, tous ceux décrits ci-dessus sont vrais. En général, si la question est de savoir comment réduire une fraction avec des racines, alors vous devez diviser.

Il peut également être divisé en expressions irrationnelles. Autrement dit, si le numérateur et le dénominateur ont les mêmes facteurs inclus sous le signe racine, ils peuvent être réduits en toute sécurité. Cela simplifiera l'expression et fera le travail.

Si, après la réduction, l'irrationalité reste sous la ligne de la fraction, vous devez vous en débarrasser. En d'autres termes, multipliez le numérateur et le dénominateur par celui-ci. Si, après cette opération, des facteurs communs sont apparus, ils devront à nouveau être réduits.

C'est peut-être tout sur la façon de réduire les fractions. Peu de règles, mais une interdiction. Ne réduisez jamais les termes !

Dans cet article, nous nous concentrerons sur réduction de fractions algébriques. Voyons d'abord ce que signifie le terme "réduction d'une fraction algébrique", et découvrons si une fraction algébrique est toujours réductible. Ensuite, nous donnons une règle qui nous permet de réaliser cette transformation. Enfin, considérez les solutions d'exemples types qui permettront de comprendre toutes les subtilités du procédé.

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Que signifie réduire une fraction algébrique ?

En étudiant, nous avons parlé de leur réduction. nous avons appelé la division de son numérateur et de son dénominateur par le facteur commun. Par exemple, la fraction commune 30/54 peut être réduite de 6 (c'est-à-dire son numérateur et son dénominateur divisés par 6), ce qui nous amènera à la fraction 5/9.

La réduction d'une fraction algébrique est comprise comme une action similaire. Réduire la fraction algébrique est de diviser son numérateur et son dénominateur par un facteur commun. Mais si le facteur commun du numérateur et du dénominateur d'une fraction ordinaire ne peut être qu'un nombre, alors le facteur commun du numérateur et du dénominateur d'une fraction algébrique peut être un polynôme, en particulier un monôme ou un nombre.

Par exemple, une fraction algébrique peut être réduite par le nombre 3, ce qui donne la fraction . Il est également possible de réduire sur la variable x , ce qui se traduira par l'expression . La fraction algébrique originale peut être réduite par le monôme 3 x, ainsi que par n'importe lequel des polynômes x+2 y, 3 x+6 y, x 2 +2 x y ou 3 x 2 +6 x .y .

Le but ultime de la réduction d'une fraction algébrique est d'obtenir une fraction d'une forme plus simple, au mieux une fraction irréductible.

Une fraction algébrique est-elle sujette à réduction ?

Nous savons que les fractions ordinaires sont subdivisées en . Les fractions irréductibles n'ont pas de facteurs communs autres que l'unité au numérateur et au dénominateur, par conséquent, elles ne peuvent pas être réduites.

Les fractions algébriques peuvent avoir ou non des facteurs communs au numérateur et au dénominateur. En présence de facteurs communs, il est possible de réduire la fraction algébrique. S'il n'y a pas de facteurs communs, alors la simplification de la fraction algébrique au moyen de sa réduction est impossible.

Dans le cas général, par l'apparition d'une fraction algébrique, il est assez difficile de déterminer s'il est possible d'effectuer sa réduction. Sans aucun doute, dans certains cas, les facteurs communs du numérateur et du dénominateur sont évidents. Par exemple, on voit clairement que le numérateur et le dénominateur d'une fraction algébrique ont un facteur commun de 3. Il est également facile de voir qu'une fraction algébrique peut être réduite par x, par y, ou immédiatement par x·y. Mais bien plus souvent, le facteur commun du numérateur et du dénominateur d'une fraction algébrique n'est pas immédiatement visible, et encore plus souvent, il n'existe tout simplement pas. Par exemple, une fraction peut être réduite de x−1 , mais ce facteur commun n'est clairement pas présent dans la notation. Et une fraction algébrique ne peut pas être réduit car son numérateur et son dénominateur n'ont pas de diviseurs communs.

En général, la question de la contractibilité d'une fraction algébrique est très difficile. Et parfois, il est plus facile de résoudre un problème en travaillant avec une fraction algébrique dans sa forme originale que de savoir si cette fraction peut être préalablement réduite. Mais encore, il existe des transformations qui, dans certains cas, permettent, avec relativement peu d'effort, de trouver les facteurs communs du numérateur et du dénominateur, le cas échéant, ou de conclure que la fraction algébrique d'origine est irréductible. Ces informations seront divulguées dans le paragraphe suivant.

Règle de réduction de fraction algébrique

Les informations des paragraphes précédents vous permettent de percevoir naturellement ce qui suit règle de réduction de fraction algébrique, qui consiste en deux étapes :

d'abord, les facteurs communs du numérateur et du dénominateur de la fraction d'origine sont trouvés ;
le cas échéant, une réduction par ces facteurs est effectuée.

Ces étapes de la règle annoncée doivent être clarifiées.

Le moyen le plus pratique de trouver des fractions communes consiste à factoriser les polynômes qui se trouvent au numérateur et au dénominateur de la fraction algébrique d'origine. Dans ce cas, les facteurs communs du numérateur et du dénominateur deviennent immédiatement visibles, ou il devient clair qu'il n'y a pas de facteurs communs.

S'il n'y a pas de facteurs communs, alors on peut conclure que la fraction algébrique est irréductible. Si les facteurs communs sont trouvés, ils sont réduits à la deuxième étape. Le résultat est une nouvelle fraction d'une forme plus simple.

La règle de réduction des fractions algébriques est basée sur la propriété principale d'une fraction algébrique, qui s'exprime par l'égalité , où a , b et c sont des polynômes, et b et c sont non nuls. À la première étape, la fraction algébrique d'origine est réduite à la forme , à partir de laquelle le facteur commun c devient visible, et à la deuxième étape, la réduction est effectuée - la transition vers la fraction .

Passons à la résolution d'exemples utilisant cette règle. Sur eux, nous analyserons toutes les nuances possibles qui surviennent lors de la décomposition du numérateur et du dénominateur d'une fraction algébrique en facteurs et de la réduction ultérieure.

Exemples typiques

Vous devez d'abord parler de la réduction des fractions algébriques, dont le numérateur et le dénominateur sont les mêmes. Ces fractions sont identiques à un sur l'ensemble de l'ODZ des variables qui y sont incluses, par exemple,
etc.

Maintenant, cela ne fait pas de mal de se rappeler comment la réduction des fractions ordinaires est effectuée - après tout, il s'agit d'un cas particulier de fractions algébriques. Nombres naturels au numérateur et au dénominateur d'une fraction ordinaire, après quoi les facteurs communs sont réduits (le cas échéant). Par example, . Le produit de facteurs premiers identiques peut être écrit sous forme de puissances et, lorsqu'il est réduit, utilisez . Dans ce cas, la solution ressemblerait à ceci : , ici nous avons divisé le numérateur et le dénominateur par un facteur commun 2 2 3 . Ou, pour plus de clarté, sur la base des propriétés de la multiplication et de la division, la solution est présentée sous la forme.

Selon des principes absolument similaires, la réduction des fractions algébriques est effectuée, au numérateur et au dénominateur desquels se trouvent des monômes à coefficients entiers.

Exemple.

Réduire la fraction algébrique .

Décision.

Vous pouvez représenter le numérateur et le dénominateur de la fraction algébrique d'origine sous la forme d'un produit de facteurs et de variables simples, puis effectuer la réduction :

Mais il est plus rationnel d'écrire la solution sous la forme d'une expression avec des puissances :

Répondre:

En ce qui concerne la réduction des fractions algébriques qui ont des coefficients numériques fractionnaires au numérateur et au dénominateur, vous pouvez faire deux choses : soit diviser séparément ces coefficients fractionnaires, soit vous débarrasser d'abord des coefficients fractionnaires en multipliant le numérateur et le dénominateur par un nombre naturel. Nous avons parlé de la dernière transformation dans l'article apportant une fraction algébrique à un nouveau dénominateur, elle peut être effectuée en raison de la propriété principale d'une fraction algébrique. Traitons cela avec un exemple.

Exemple.

Effectuez une réduction de fraction.

Décision.

Vous pouvez réduire la fraction comme ceci : .

Et il était possible de se débarrasser d'abord des coefficients fractionnaires en multipliant le numérateur et le dénominateur par les dénominateurs de ces coefficients, c'est-à-dire par LCM(5, 10)=10 . Dans ce cas nous avons .

Répondre:

Vous pouvez passer aux fractions algébriques de forme générale, dans lesquelles le numérateur et le dénominateur peuvent contenir à la fois des nombres et des monômes, ainsi que des polynômes.

Lors de la réduction de telles fractions, le principal problème est que le facteur commun du numérateur et du dénominateur n'est pas toujours visible. De plus, il n'existe pas toujours. Afin de trouver un facteur commun ou de s'assurer qu'il n'existe pas, vous devez factoriser le numérateur et le dénominateur d'une fraction algébrique.

Exemple.

Réduire la fraction rationnelle .

Décision.

Pour ce faire, nous factorisons les polynômes au numérateur et au dénominateur. Commençons par les parenthèses : . Évidemment, les expressions entre parenthèses peuvent être converties en utilisant

Basé sur leur propriété principale: si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont divisés par le même polynôme non nul, alors une fraction égale à celle-ci sera obtenue.

Vous ne pouvez que réduire les multiplicateurs !

Les membres des polynômes ne peuvent pas être réduits !

Pour réduire une fraction algébrique, les polynômes du numérateur et du dénominateur doivent d'abord être factorisés.

Prenons des exemples de réduction de fraction.

Le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont des monômes. Ils représentent travail(nombres, variables et leurs degrés), multiplicateurs nous pouvons réduire.

On réduit les nombres par leur plus grand diviseur commun, c'est-à-dire par le plus grand nombre par lequel chacun des nombres donnés est divisible. Pour 24 et 36, c'est 12. Après la réduction de 24, il reste 2, de 36 à 3.

Nous réduisons les degrés du degré avec le plus petit indicateur. Réduire une fraction signifie diviser le numérateur et le dénominateur par le même diviseur et soustraire les exposants.

a² et a⁷ sont réduits de a². En même temps, on reste au numérateur de a² (on écrit 1 seulement s'il ne reste plus d'autres facteurs après réduction. 2 reste de 24, donc on n'écrit pas le 1 restant de a²). De a⁷ après réduction reste a⁵.

b et b sont abrégés par b, les unités résultantes ne sont pas écrites.

c³º et c⁵ sont réduits de c⁵. De c³º, c²⁵ reste, de c⁵ - unité (on ne l'écrit pas). Ainsi,

Le numérateur et le dénominateur de cette fraction algébrique sont des polynômes. Il est impossible de réduire les termes des polynômes ! (ne peut pas être réduit, par exemple, 8x² et 2x !). Pour réduire cette fraction, il est nécessaire. Le numérateur a un facteur commun de 4x. Sortons-le des parenthèses :

Le numérateur et le dénominateur ont le même facteur (2x-3). Nous réduisons la fraction par ce facteur. Nous avons 4x au numérateur, 1 au dénominateur. Selon 1 propriété des fractions algébriques, la fraction est 4x.

Vous ne pouvez réduire que des facteurs (vous ne pouvez pas réduire une fraction donnée de 25x² !). Par conséquent, les polynômes du numérateur et du dénominateur d'une fraction doivent être factorisés.

Le numérateur est le carré entier de la somme et le dénominateur est la différence des carrés. Après expansion par les formules de multiplication abrégée, on obtient :

On réduit la fraction de (5x + 1) (pour ce faire, barrer les deux au numérateur comme exposant, à partir de (5x + 1)² il restera (5x + 1)) :

Le numérateur a un facteur commun de 2, sortons-le des parenthèses. Au dénominateur - la formule de la différence des cubes:

À la suite de l'expansion du numérateur et du dénominateur, nous avons obtenu le même facteur (9 + 3a + a²). Nous réduisons la fraction dessus:

Le polynôme au numérateur est composé de 4 termes. le premier terme avec le second, le troisième avec le quatrième, et on retire le facteur commun x² des premières parenthèses. On décompose le dénominateur selon la formule de la somme des cubes :

Au numérateur, on retire le facteur commun (x + 2) entre parenthèses :

Nous réduisons la fraction de (x + 2):

Cet article poursuit le thème de la transformation des fractions algébriques : considérons une telle action comme la réduction des fractions algébriques. Définissons le terme lui-même, formulons la règle d'abréviation et analysons des exemples pratiques.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Signification de l'abréviation de fraction algébrique

Dans les matériaux sur la fraction ordinaire, nous avons considéré sa réduction. Nous avons défini la réduction d'une fraction commune comme la division de son numérateur et de son dénominateur par un facteur commun.

Réduire une fraction algébrique est une opération similaire.

Définition 1

Réduction de fraction algébrique est la division de son numérateur et de son dénominateur par un facteur commun. Dans ce cas, contrairement à la réduction d'une fraction ordinaire (seul un nombre peut être un dénominateur commun), un polynôme, en particulier un monôme ou un nombre, peut servir de diviseur commun pour le numérateur et le dénominateur d'une fraction algébrique.

Par exemple, la fraction algébrique 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 peut être réduite par le nombre 3, on obtient donc : x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 . Nous pouvons réduire la même fraction par la variable x, et cela nous donnera l'expression 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 . Il est également possible de réduire une fraction donnée par un monôme 3x ou l'un des polynômes x + 2 ans, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y ou 3 x 2 + 6 x y.

Le but ultime de la réduction d'une fraction algébrique est une fraction d'une forme plus simple, au mieux une fraction irréductible.

Toutes les fractions algébriques sont-elles sujettes à réduction ?

Encore une fois, à partir des matériaux sur les fractions ordinaires, nous savons qu'il existe des fractions réductibles et irréductibles. Irréductible - ce sont des fractions qui n'ont pas de facteurs communs du numérateur et du dénominateur, autres que 1.

Avec les fractions algébriques, tout est pareil : elles peuvent avoir ou non des facteurs communs au numérateur et au dénominateur. La présence de facteurs communs vous permet de simplifier la fraction d'origine par réduction. Lorsqu'il n'y a pas de facteurs communs, il est impossible d'optimiser une fraction donnée par la méthode de réduction.

Dans les cas généraux, pour un type de fraction donné, il est assez difficile de comprendre si elle fait l'objet d'une réduction. Bien sûr, dans certains cas, la présence d'un facteur commun au numérateur et au dénominateur est évidente. Par exemple, dans la fraction algébrique 3 · x 2 3 · y il est tout à fait clair que le facteur commun est le nombre 3 .

Dans une fraction - x · y 5 · x · y · z 3 on comprend aussi immédiatement qu'il est possible de la réduire par x, ou y, ou par x · y. Et pourtant, les exemples de fractions algébriques sont beaucoup plus courants, lorsque le facteur commun du numérateur et du dénominateur n'est pas si facile à voir, et encore plus souvent - il est tout simplement absent.

Par exemple, nous pouvons réduire la fraction x 3 - 1 x 2 - 1 par x - 1, alors que le facteur commun spécifié n'est pas dans l'enregistrement. Mais la fraction x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 ne peut pas être réduite, car le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteur commun.

Ainsi, la question de savoir la contractilité d'une fraction algébrique n'est pas si simple, et il est souvent plus facile de travailler avec une fraction d'une forme donnée que d'essayer de savoir si elle est contractile. Dans ce cas, de telles transformations ont lieu qui, dans des cas particuliers, nous permettent de déterminer le facteur commun du numérateur et du dénominateur ou de conclure que la fraction est irréductible. Nous analyserons cette question en détail dans le prochain paragraphe de l'article.

Règle de réduction de fraction algébrique

Règle de réduction de fraction algébrique consiste en deux étapes consécutives :

trouver les facteurs communs du numérateur et du dénominateur ;
dans le cas d'une telle découverte, la mise en œuvre de l'action directe de réduction de la fraction.

La méthode la plus pratique pour trouver des dénominateurs communs consiste à factoriser les polynômes présents dans le numérateur et le dénominateur d'une fraction algébrique donnée. Cela vous permet de voir immédiatement visuellement la présence ou l'absence de facteurs communs.

L'action même de réduire une fraction algébrique est basée sur la propriété principale d'une fraction algébrique, exprimée par l'égalité undefined , où a , b , c sont des polynômes, et b et c sont non nuls. La première étape consiste à réduire la fraction à la forme a c b c , dans laquelle on remarque immédiatement le facteur commun c . La deuxième étape consiste à effectuer la réduction, c'est-à-dire transition vers une fraction de la forme a b .

Exemples typiques

Malgré une certaine évidence, clarifions le cas particulier où le numérateur et le dénominateur d'une fraction algébrique sont égaux. Les fractions semblables sont identiquement égales à 1 sur l'ensemble de l'ODZ des variables de cette fraction :

5 5 = 1 ; - 2 3 - 2 3 = 1 ; x x = 1 ; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1 ; 1 2 x - x 2 y 1 2 x - x 2 y ;

Les fractions ordinaires étant un cas particulier des fractions algébriques, rappelons comment elles se réduisent. Les nombres naturels écrits au numérateur et au dénominateur sont décomposés en facteurs premiers, puis les facteurs communs sont réduits (le cas échéant).

Par exemple, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Le produit de facteurs identiques simples peut être écrit en degrés et, dans le processus de réduction de fraction, utilisez la propriété de diviser les degrés avec les mêmes bases. Alors la solution ci-dessus serait:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(numérateur et dénominateur divisés par un facteur commun 2 2 3). Ou, pour plus de clarté, sur la base des propriétés de la multiplication et de la division, nous donnerons la solution sous la forme suivante :

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Par analogie, la réduction des fractions algébriques est effectuée, dans laquelle le numérateur et le dénominateur ont des monômes à coefficients entiers.

Exemple 1

Étant donné une fraction algébrique - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Il doit être réduit.

Décision

Il est possible d'écrire le numérateur et le dénominateur d'une fraction donnée sous la forme d'un produit de facteurs premiers et de variables, puis de réduire :

27 une 5 b 2 c z 6 une 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 une une a a une une b b c z 2 3 une une b b c c c c c c c c z = = - 3 3 une a une 2 c c c c c c c = - 9 une 3 2 c 6

Cependant, une manière plus rationnelle serait d'écrire la solution sous la forme d'une expression avec des puissances :

27 une 5 b 2 c z 6 une 2 b 2 c 7 z = - 3 3 une 5 b 2 c z 2 3 une 2 b 2 c 7 z = - 3 3 2 3 une 5 une 2 b 2 b 2 c c 7 z z = = - 3 3 - 1 2 une 5 - 2 1 1 1 c 7 - 1 1 = - 3 2 une 3 2 c 6 = - 9 une 3 2 c 6 .

Répondre:- 27 une 5 b 2 c z 6 une 2 b 2 c 7 z = - 9 une 3 2 c 6

Lorsqu'il y a des coefficients numériques fractionnaires dans le numérateur et le dénominateur d'une fraction algébrique, il y a deux manières d'agir ultérieurement : soit diviser séparément ces coefficients fractionnaires, soit se débarrasser d'abord des coefficients fractionnaires en multipliant le numérateur et le dénominateur par un nombre naturel . La dernière transformation est effectuée en raison de la propriété principale d'une fraction algébrique (vous pouvez lire à ce sujet dans l'article "Réduire une fraction algébrique à un nouveau dénominateur").

Exemple 2

Soit une fraction 2 5 x 0 , 3 x 3 . Il doit être réduit.

Décision

Il est possible de réduire la fraction de cette façon :

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Essayons de résoudre le problème différemment, après nous être débarrassés des coefficients fractionnaires - nous multiplions le numérateur et le dénominateur par le plus petit commun multiple des dénominateurs de ces coefficients, c'est-à-dire par LCM(5, 10) = 10. Alors on obtient :

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Réponse : 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Lorsque nous réduisons des fractions algébriques générales, dans lesquelles les numérateurs et les dénominateurs peuvent être à la fois des monômes et des polynômes, un problème est possible lorsque le facteur commun n'est pas toujours immédiatement visible. Ou plus que cela, il n'existe tout simplement pas. Ensuite, pour déterminer le facteur commun ou fixer le fait de son absence, le numérateur et le dénominateur de la fraction algébrique sont factorisés.

Exemple 3

Soit une fraction rationnelle 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Il doit être raccourci.

Décision

Factorisons les polynômes au numérateur et au dénominateur. Faisons les parenthèses :

2 une 2 b 2 + 28 une b 2 + 98 b 2 une 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (une 2 + 14 une + 49) b 3 (une 2 - 49)

On voit que l'expression entre parenthèses peut être convertie à l'aide des formules de multiplication abrégées :

2 b 2 (une 2 + 14 une + 49) b 3 (une 2 - 49) = 2 b 2 (une + 7) 2 b 3 (une - 7) (une + 7)

On voit clairement qu'il est possible de réduire la fraction par un facteur commun b 2 (a + 7). Faisons une réduction :

2 b 2 (une + 7) 2 b 3 (une - 7) (une + 7) = 2 (une + 7) b (une - 7) = 2 une + 14 une b - 7 b

Nous écrivons une solution courte sans explication sous la forme d'une chaîne d'égalités :

2 une 2 b 2 + 28 une b 2 + 98 b 2 une 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (une 2 + 14 une + 49) b 3 (une 2 - 49) = = 2 b 2 (une + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Répondre: 2 une 2 b 2 + 28 une b 2 + 98 b 2 une 2 b 3 - 49 b 3 = 2 une + 14 une b - 7 b .

Il arrive que les facteurs communs soient masqués par des coefficients numériques. Ensuite, lors de la réduction de fractions, il est optimal de retirer les facteurs numériques à des puissances plus élevées du numérateur et du dénominateur.

Exemple 4

Soit une fraction algébrique 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 . Il doit être réduit si possible.

Décision

À première vue, le numérateur et le dénominateur n'ont pas de dénominateur commun. Cependant, essayons de convertir la fraction donnée. Retirons le facteur x au numérateur :

1 5 x - 2 7 x 3 ans 5 x 2 ans - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 ans 5 x 2 ans - 3 1 2

Vous pouvez maintenant voir une certaine similitude entre l'expression entre parenthèses et l'expression au dénominateur en raison de x 2 y . Retirons les coefficients numériques aux puissances supérieures de ces polynômes :

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 ans 5 x 2 ans - 7 10

Maintenant que le multiplicateur commun devient visible, nous effectuons la réduction :

2 7 x - 7 10 + x 2 ans 5 x 2 ans - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Répondre: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Soulignons que l'habileté à réduire des fractions rationnelles dépend de la capacité à factoriser des polynômes.

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À première vue, les fractions algébriques semblent très compliquées et un étudiant non préparé peut penser qu'il est impossible de faire quoi que ce soit avec elles. L'empilement des variables, des nombres et même des puissances inspire la peur. Cependant, les mêmes règles sont utilisées pour réduire les fractions (telles que 15/25) et les fractions algébriques.

Pas

Réduction des fractions

Apprenez à travailler avec des fractions simples. Les opérations avec des fractions ordinaires et algébriques sont similaires. Par exemple, prenez la fraction 15/35. Pour simplifier cette fraction, trouver un diviseur commun. Les deux nombres sont divisibles par cinq, nous pouvons donc extraire 5 au numérateur et au dénominateur :

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

Maintenant vous pouvez réduire les facteurs communs, c'est-à-dire barrer le 5 au numérateur et au dénominateur. On obtient ainsi une fraction simplifiée 3/7 . Dans les expressions algébriques, les facteurs communs se distinguent de la même manière que dans les facteurs ordinaires. Dans l'exemple précédent, nous avons pu facilement extraire 5 sur 15 - le même principe s'applique à des expressions plus complexes telles que 15x - 5. Trouvons le facteur commun. Dans ce cas, ce sera 5, puisque les deux termes (15x et -5) sont divisibles par 5. Comme précédemment, nous sélectionnons le facteur commun et le transférons À gauche.

15x - 5 = 5 * (3x - 1)

Pour vérifier si tout est correct, il suffit de multiplier l'expression entre parenthèses par 5 - le résultat sera les mêmes nombres qu'au début. Les termes complexes peuvent être distingués de la même manière que les termes simples. Pour les fractions algébriques, les mêmes principes s'appliquent que pour les fractions ordinaires. C'est le moyen le plus simple de réduire une fraction. Considérez la fraction suivante :

(x+2)(x-3)(x+2)(x+10)

Notez que le numérateur (en haut) et le dénominateur (en bas) ont un terme (x+2), il peut donc être réduit de la même manière que le facteur commun 5 en 15/35 :

(x+2) (x-3) → (x-3)(x+2) (x+10) → (x+10)

En conséquence, nous obtenons une expression simplifiée : (x-3)/(x+10)

Réduction des fractions algébriques

Trouvez le facteur commun au numérateur, c'est-à-dire en haut de la fraction. Lors de la réduction d'une fraction algébrique, la première étape consiste à simplifier ses deux parties. Commencez par le numérateur et essayez de le diviser en autant de facteurs que possible. Considérons dans cette section la fraction suivante :

9x-3 15x+6

Commençons par le numérateur : 9x - 3. Pour 9x et -3, le diviseur commun est le nombre 3. Prenons 3 entre parenthèses, comme nous le faisons avec les nombres ordinaires : 3 * (3x-1). À la suite de cette transformation, la fraction suivante sera obtenue :

3(3x-1) 15x+6

Trouver le facteur commun au numérateur. Continuons l'exécution de l'exemple ci-dessus et écrivons le dénominateur : 15x+6. Comme précédemment, nous trouvons par quel nombre les deux parties sont divisibles. Et dans ce cas le facteur commun est 3, donc on peut écrire : 3 * (5x +2). Réécrivons la fraction sous la forme suivante :

3(3x-1) 3(5x+2)

Réduire les termes identiques. Dans cette étape, vous pouvez simplifier la fraction. Annulez les mêmes termes au numérateur et au dénominateur. Dans notre exemple, ce nombre est 3.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

Déterminer que la fraction a la forme la plus simple. Une fraction est complètement simplifiée lorsqu'il n'y a plus de facteurs communs au numérateur et au dénominateur. Notez que vous ne pouvez pas abréger les termes entre parenthèses - dans l'exemple ci-dessus, il n'y a aucun moyen d'extraire x de 3x et 5x, puisque (3x -1) et (5x + 2) sont des membres à part entière. Ainsi, la fraction ne se prête pas à une simplification supplémentaire, et la réponse finale est la suivante :

(3x-1)(5x+2)

Entraînez-vous à réduire vous-même les fractions. La meilleure façon d'apprendre la méthode est de résoudre les problèmes par vous-même. Les bonnes réponses sont données sous les exemples.

4(x+2)(x-13)(4x+8)

Répondre:(x=13)

2x 2-x 5x

Répondre:(2x-1)/5

Coups spéciaux

Retirez le signe négatif de la fraction. Supposons qu'on nous donne la fraction suivante :

3(x-4) 5(4x)

Notez que (x-4) et (4-x) sont "presque" identiques, mais ils ne peuvent pas être annulés car ils sont "inversés". Cependant, (x - 4) peut s'écrire -1 * (4 - x), tout comme (4 + 2x) peut s'écrire 2 * (2 + x). C'est ce qu'on appelle "l'inversion de signe".

-1*3(4-x) 5(4x)

Vous pouvez maintenant réduire les mêmes termes (4-x) :

-1 * 3 (4-x) 5 (4x)

Voici donc la réponse finale : -3/5 . Apprenez à reconnaître la différence des carrés. La différence des carrés est lorsque le carré d'un nombre est soustrait du carré d'un autre nombre, comme dans l'expression (a 2 - b 2). La différence des carrés parfaits peut toujours être décomposée en deux parties - la somme et la différence des racines carrées correspondantes. L'expression prendra alors la forme suivante :

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Cette astuce est très utile lors de la recherche de termes communs dans les fractions algébriques.

Vérifiez si vous avez correctement factorisé telle ou telle expression. Pour ce faire, multipliez les facteurs - le résultat doit être la même expression.
Pour simplifier complètement une fraction, sélectionnez toujours les plus grands facteurs.