Comparez des nombres fractionnaires avec différents dénominateurs. Comparaison de fractions : règles, exemples, solutions

Cet article traite de la comparaison de fractions. Ici, nous allons découvrir laquelle des fractions est supérieure ou inférieure, appliquer la règle et analyser des exemples de solution. Comparez des fractions avec des dénominateurs identiques et différents. Comparons une fraction ordinaire avec un nombre naturel.

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Comparer des fractions avec les mêmes dénominateurs

Lorsque nous comparons des fractions avec les mêmes dénominateurs, nous travaillons uniquement avec le numérateur, ce qui signifie que nous comparons des fractions d'un nombre. S'il y a une fraction 3 7 , alors elle a 3 parties 1 7 , alors la fraction 8 7 a 8 de ces parties. En d'autres termes, si le dénominateur est le même, les numérateurs de ces fractions sont comparés, c'est-à-dire 3 7 et 8 7 les nombres 3 et 8 sont comparés.

Cela implique la règle de comparaison des fractions avec les mêmes dénominateurs : parmi les fractions disponibles avec les mêmes indicateurs, la fraction avec le plus grand numérateur est considérée comme plus grande et vice versa.

Cela suggère que vous devriez faire attention aux numérateurs. Pour ce faire, considérons un exemple.

Exemple 1

Comparez les fractions données 65 126 et 87 126 .

Décision

Puisque les dénominateurs des fractions sont les mêmes, passons aux numérateurs. D'après les nombres 87 et 65, il est évident que 65 est moins. Sur la base de la règle de comparaison des fractions avec les mêmes dénominateurs, nous avons que 87126 est supérieur à 65126.

Répondre: 87 126 > 65 126 .

Comparer des fractions avec différents dénominateurs

La comparaison de telles fractions peut être comparée à la comparaison de fractions avec les mêmes exposants, mais il y a une différence. Maintenant, nous devons réduire les fractions à un dénominateur commun.

S'il y a des fractions avec des dénominateurs différents, pour les comparer, vous avez besoin de :

trouver un dénominateur commun ;
comparer des fractions.

Examinons ces étapes avec un exemple.

Exemple 2

Comparez les fractions 5 12 et 9 16 .

Décision

La première étape consiste à ramener les fractions à un dénominateur commun. Cela se fait de cette manière : le PPCM est trouvé, c'est-à-dire le plus petit diviseur commun, 12 et 16. Ce nombre est le 48. Il faut inscrire des facteurs supplémentaires à la première fraction 5 12, ce nombre se trouve à partir du quotient 48 : 12 = 4, pour la deuxième fraction 9 16 - 48 : 16 = 3. Écrivons-le comme ceci : 5 12 = 5 4 12 4 = 20 48 et 9 16 = 9 3 16 3 = 27 48.

Après avoir comparé les fractions, nous obtenons que 20 48< 27 48 . Значит, 5 12 меньше 9 16 .

Répondre: 5 12 < 9 16 .

Il existe une autre façon de comparer des fractions avec différents dénominateurs. Elle est réalisée sans réduction à un dénominateur commun. Prenons un exemple. Pour comparer les fractions a b et c d, on réduit à un dénominateur commun, puis b · d, c'est-à-dire le produit de ces dénominateurs. Ensuite, les facteurs supplémentaires pour les fractions seront les dénominateurs de la fraction voisine. Cela s'écrit a · d b · d et c · b d · b . En utilisant la règle avec les mêmes dénominateurs, nous avons que la comparaison des fractions a été réduite aux comparaisons des produits a · d et c · b. De là, nous obtenons la règle pour comparer des fractions avec différents dénominateurs : si a d > b c, alors a b > c d, mais si a d< b · c , тогда a b < c d . Рассмотрим сравнение с разными знаменателями.

Exemple 3

Comparez les fractions 5 18 et 23 86.

Décision

Cet exemple a a = 5 , b = 18 , c = 23 et d = 86 . Ensuite il faut calculer a · d et b · c . Il s'ensuit que a d = 5 86 = 430 et b c = 18 23 = 414 . Mais 430 > 414 , alors la fraction donnée 5 18 est supérieure à 23 86 .

Répondre: 5 18 > 23 86 .

Comparer des fractions avec le même numérateur

Si les fractions ont les mêmes numérateurs et des dénominateurs différents, alors vous pouvez effectuer la comparaison selon le paragraphe précédent. Le résultat de la comparaison est possible en comparant leurs dénominateurs.

Il existe une règle pour comparer des fractions avec les mêmes numérateurs : De deux fractions avec le même numérateur, la plus grande fraction est celle avec le plus petit dénominateur, et vice versa.

Prenons un exemple.

Exemple 4

Comparez les fractions 54 19 et 54 31.

Décision

Nous avons que les numérateurs sont les mêmes, ce qui signifie qu'une fraction avec un dénominateur de 19 est supérieure à une fraction qui a un dénominateur de 31. Cela ressort clairement de la règle.

Répondre: 54 19 > 54 31 .

Sinon, vous pouvez envisager un exemple. Il y a deux assiettes sur lesquelles 1 2 tartes, anna une autre 1 16 . Si vous mangez 1 2 tartes, vous serez rassasié plus rapidement que seulement 1 16. D'où la conclusion que le plus grand dénominateur avec les mêmes numérateurs est le plus petit lors de la comparaison de fractions.

Comparer une fraction avec un nombre naturel

Une comparaison d'une fraction ordinaire avec un nombre naturel est la même que la comparaison de deux fractions avec les dénominateurs écrits sous la forme 1. Jetons un coup d'œil à un exemple ci-dessous pour plus de détails.

Exemple 4

Il faut effectuer une comparaison 63 8 et 9 .

Décision

Il faut représenter le nombre 9 comme une fraction 9 1 . Ensuite, nous avons besoin de comparer les fractions 63 8 et 9 1 . Ceci est suivi d'une réduction à un dénominateur commun en trouvant des facteurs supplémentaires. Après cela, nous voyons que nous devons comparer des fractions avec les mêmes dénominateurs 63 8 et 72 8 . Selon la règle de comparaison, 63< 72 , тогда получаем 63 8 < 72 8 . Значит, заданная дробь меньше целого числа 9 , то есть имеем 63 8 < 9 .

Répondre: 63 8 < 9 .

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Dans la vie de tous les jours, nous devons souvent comparer des valeurs fractionnaires. La plupart du temps, cela ne pose aucun problème. En effet, tout le monde comprend qu'une demi-pomme est plus grosse qu'un quart. Mais lorsqu'il est nécessaire de l'écrire sous forme d'expression mathématique, cela peut être difficile. En appliquant les règles mathématiques suivantes, vous pouvez facilement résoudre ce problème.

Comment comparer des fractions avec le même dénominateur

Ces fractions sont les plus faciles à comparer. Dans ce cas, utilisez la règle :

De deux fractions ayant le même dénominateur mais un numérateur différent, la plus grande sera celle dont le numérateur est le plus grand, et la plus petite sera celle dont le numérateur est le plus petit.

Par exemple, comparez les fractions 3/8 et 5/8. Les dénominateurs dans cet exemple sont égaux, nous appliquons donc cette règle. 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.

En effet, si vous coupez deux pizzas en 8 tranches, alors 3/8 tranches sont toujours inférieures à 5/8.

Comparer des fractions avec les mêmes numérateurs et des dénominateurs différents

Dans ce cas, les tailles des parts du dénominateur sont comparées. La règle à appliquer est :

Si deux fractions ont le même numérateur, alors la plus grande fraction est celle qui a le plus petit dénominateur.

Par exemple, comparez les fractions 3/4 et 3/8. Dans cet exemple, les numérateurs sont égaux, nous utilisons donc la deuxième règle. La fraction 3/4 a un dénominateur plus petit que la fraction 3/8. Donc 3/4>3/8

En effet, si vous mangez 3 parts de pizza divisées en 4 parts, vous serez plus rassasié que si vous mangiez 3 parts de pizza divisées en 8 parts.

Comparer des fractions avec différents numérateurs et dénominateurs

Nous appliquons la troisième règle :

La comparaison de fractions avec des dénominateurs différents doit être comparée à des fractions avec les mêmes dénominateurs. Pour ce faire, vous devez ramener les fractions à un dénominateur commun et utiliser la première règle.

Par exemple, vous devez comparer des fractions et . Pour déterminer la plus grande fraction, on ramène ces deux fractions à un dénominateur commun :

Trouvons maintenant le deuxième facteur supplémentaire : 6:3=2. On l'écrit sur la seconde fraction :

De deux fractions avec le même dénominateur, celle avec le plus grand numérateur est la plus grande, et celle avec le plus petit numérateur est la plus petite.. En fait, après tout, le dénominateur montre en combien de parties une valeur entière a été divisée, et le numérateur montre combien de ces parties ont été prises.

Il s'avère que chaque cercle entier a été divisé par le même nombre 5 , mais ils ont pris un nombre différent de pièces: ils en ont pris plus - une grande fraction et il s'est avéré.

De deux fractions avec le même numérateur, celle avec le plus petit dénominateur est la plus grande et celle avec le plus grand dénominateur est la plus petite. Eh bien, en fait, si nous divisons un cercle en 8 pièces et l'autre 5 parties et prenez une partie de chacun des cercles. Quelle partie sera la plus grande ?

Bien sûr, à partir d'un cercle divisé par 5 les pièces! Imaginez maintenant qu'ils ne partagent pas des cercles, mais des gâteaux. Quelle pièce préféreriez-vous, plus précisément, quelle part : la cinquième ou la huitième ?

Pour comparer des fractions avec différents numérateurs et différents dénominateurs, vous devez réduire les fractions au plus petit dénominateur commun, puis comparer les fractions avec les mêmes dénominateurs.

Exemples. Comparez des fractions ordinaires :

Ramenons ces fractions au plus petit dénominateur commun. NOZ(4 ; 6)=12. Nous trouvons des facteurs supplémentaires pour chacune des fractions. Pour la 1ère fraction, un multiplicateur supplémentaire 3 (12: 4=3 ). Pour la 2ème fraction, un multiplicateur supplémentaire 2 (12: 6=2 ). Maintenant, nous comparons les numérateurs des deux fractions résultantes avec les mêmes dénominateurs. Puisque le numérateur de la première fraction est inférieur au numérateur de la deuxième fraction ( 9<10) , alors la première fraction elle-même est inférieure à la seconde fraction.

Nous continuons à étudier les fractions. Aujourd'hui, nous allons parler de leur comparaison. Le sujet est intéressant et utile. Cela permettra au débutant de se sentir comme un scientifique en blouse blanche.

L'essence de la comparaison des fractions est de savoir laquelle des deux fractions est supérieure ou inférieure.

Pour répondre à la question laquelle des deux fractions est supérieure ou inférieure, utilisez tel que plus (>) ou moins (<).

Les mathématiciens se sont déjà occupés de règles toutes faites qui vous permettent de répondre immédiatement à la question de savoir quelle fraction est la plus grande et laquelle est la plus petite. Ces règles peuvent être appliquées en toute sécurité.

Nous allons examiner toutes ces règles et essayer de comprendre pourquoi cela se produit.

Contenu de la leçon

Comparer des fractions avec les mêmes dénominateurs

Les fractions à comparer sont différentes. Le cas le plus réussi est lorsque les fractions ont les mêmes dénominateurs, mais des numérateurs différents. Dans ce cas, la règle suivante s'applique :

De deux fractions ayant le même dénominateur, la plus grande fraction est celle qui a le plus grand numérateur. Et en conséquence, la plus petite fraction sera, dans laquelle le numérateur est plus petit.

Par exemple, comparons des fractions et répondons laquelle de ces fractions est la plus grande. Ici, les dénominateurs sont les mêmes, mais les numérateurs sont différents. Une fraction a un numérateur plus grand qu'une fraction. La fraction est donc supérieure à . Alors on répond. Répondre en utilisant l'icône plus (>)

Cet exemple peut être facilement compris si l'on pense à des pizzas divisées en quatre parties. plus de pizzas que de pizzas :

Tout le monde conviendra que la première pizza est plus grosse que la seconde.

Comparer des fractions avec le même numérateur

Le cas suivant dans lequel nous pouvons entrer est celui où les numérateurs des fractions sont les mêmes, mais les dénominateurs sont différents. Dans de tels cas, la règle suivante est fournie :

De deux fractions avec le même numérateur, la fraction avec le plus petit dénominateur est la plus grande. La fraction avec le plus grand dénominateur est donc plus petite.

Par exemple, comparons des fractions et . Ces fractions ont le même numérateur. Une fraction a un plus petit dénominateur qu'une fraction. Donc la fraction est plus grande que la fraction. Alors on répond :

Cet exemple peut être facilement compris si l'on pense aux pizzas qui sont divisées en trois et quatre parties. plus de pizzas que de pizzas :

Tout le monde s'accorde à dire que la première pizza est plus grosse que la seconde.

Comparer des fractions avec différents numérateurs et différents dénominateurs

Il arrive souvent que vous deviez comparer des fractions avec différents numérateurs et différents dénominateurs.

Par exemple, comparez des fractions et . Pour répondre à la question laquelle de ces fractions est supérieure ou inférieure, vous devez les ramener au même dénominateur (commun). Ensuite, il sera facile de déterminer quelle fraction est supérieure ou inférieure.

Ramenons les fractions au même dénominateur (commun). Trouvez (LCM) les dénominateurs des deux fractions. Le PPCM des dénominateurs des fractions et ce nombre est 6.

Maintenant, nous trouvons des facteurs supplémentaires pour chaque fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la première fraction. LCM est le nombre 6, et le dénominateur de la première fraction est le nombre 2. Divisez 6 par 2, nous obtenons un facteur supplémentaire de 3. Nous l'écrivons sur la première fraction :

Trouvons maintenant le deuxième facteur supplémentaire. Divisez le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 6, et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 3. Divisez 6 par 3, nous obtenons un facteur supplémentaire de 2. Nous l'écrivons sur la deuxième fraction :

Multipliez les fractions par leurs facteurs supplémentaires :

Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions qui avaient des dénominateurs différents se transformaient en fractions qui avaient les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment comparer de telles fractions. De deux fractions avec les mêmes dénominateurs, la plus grande fraction est celle avec le plus grand numérateur :

La règle est la règle, et nous essaierons de comprendre pourquoi plus de . Pour ce faire, sélectionnez la partie entière dans la fraction. Il n'est pas nécessaire de sélectionner quoi que ce soit dans la fraction, puisque cette fraction est déjà correcte.

Après avoir sélectionné la partie entière dans la fraction, nous obtenons l'expression suivante :

Maintenant, vous pouvez facilement comprendre pourquoi plus de . Dessinons ces fractions sous forme de pizzas :

2 pizzas entières et des pizzas, plus que des pizzas.

Soustraction de nombres fractionnaires. Cas difficiles.

Lorsque vous soustrayez des nombres mixtes, vous constatez parfois que les choses ne se passent pas aussi bien que vous le souhaiteriez. Il arrive souvent que lors de la résolution d'un exemple, la réponse ne soit pas ce qu'elle devrait être.

Lors de la soustraction de nombres, la diminution de la fin doit être supérieure à la soustraction. Ce n'est que dans ce cas qu'une réponse normale sera reçue.

Par exemple, 10−8=2

10 - réduit

8 - soustrait

2 - différence

Le moins 10 est supérieur au 8 soustrait, nous avons donc obtenu la réponse normale 2.

Voyons maintenant ce qui se passe si la diminution est inférieure à la diminution. Exemple 5−7=−2

5 - réduit

7 - soustrait

−2 est la différence

Dans ce cas, nous dépassons les nombres auxquels nous sommes habitués et nous nous retrouvons dans le monde des nombres négatifs, où il est trop tôt pour nous promener, et même dangereux. Pour travailler avec des nombres négatifs, vous avez besoin du bagage mathématique approprié, que nous n'avons pas encore reçu.

Si, lors de la résolution d'exemples de soustraction, vous trouvez que la diminution de la fin est inférieure à la soustraction, vous pouvez ignorer un tel exemple pour le moment. Il est permis de travailler avec des nombres négatifs seulement après les avoir étudiés.

La situation est la même avec les fractions. La diminution de fin doit être supérieure à la soustraction. Seulement dans ce cas, il sera possible d'obtenir une réponse normale. Et pour comprendre si la fraction réduite est supérieure à celle soustraite, vous devez pouvoir comparer ces fractions.

Par exemple, résolvons un exemple.

Ceci est un exemple de soustraction. Pour le résoudre, vous devez vérifier si la fraction réduite est supérieure à celle soustraite. plus que

afin que nous puissions revenir en toute sécurité à l'exemple et le résoudre :

Résolvons maintenant cet exemple

Vérifiez si la fraction réduite est supérieure à celle soustraite. Nous constatons que c'est moins :

Dans ce cas, il est plus raisonnable d'arrêter et de ne pas poursuivre le calcul. Nous reviendrons sur cet exemple lorsque nous étudierons les nombres négatifs.

Il est également souhaitable de vérifier les nombres mixtes avant de soustraire. Par exemple, recherchons la valeur de l'expression .

Tout d'abord, vérifiez si le nombre fractionnaire réduit est supérieur à celui soustrait. Pour ce faire, nous traduisons les nombres fractionnaires en fractions impropres :

Nous avons obtenu des fractions avec différents numérateurs et différents dénominateurs. Pour comparer de telles fractions, vous devez les ramener au même dénominateur (commun). Nous ne décrirons pas en détail comment procéder. Si vous rencontrez des problèmes, assurez-vous de répéter.

Après avoir réduit les fractions au même dénominateur, on obtient l'expression suivante :

Maintenant, nous devons comparer les fractions et . Ce sont des fractions avec les mêmes dénominateurs. De deux fractions ayant le même dénominateur, la plus grande fraction est celle qui a le plus grand numérateur.

Une fraction a un numérateur plus grand qu'une fraction. Donc la fraction est plus grande que la fraction.

Cela signifie que la diminution de la fin est supérieure à la diminution de la fin.

Nous pouvons donc revenir à notre exemple et le résoudre avec audace :

Exemple 3 Trouver la valeur d'une expression

Vérifiez si la diminution de la fin est supérieure à la soustraction.

Convertissez les nombres mixtes en fractions impropres :

Nous avons obtenu des fractions avec différents numérateurs et différents dénominateurs. Nous amenons ces fractions au même dénominateur (commun).

Dans cette leçon, nous allons apprendre à comparer des fractions entre elles. C'est une compétence très utile qui est nécessaire pour résoudre toute une classe de problèmes plus complexes.

Tout d'abord, permettez-moi de vous rappeler la définition de l'égalité des fractions :

Les fractions a/b et c/d sont dites égales si ad = bc.

5/8 = 15/24 car 5 24 = 8 15 = 120 ;
3/2 = 27/18 car 3 18 = 2 27 = 54.

Dans tous les autres cas, les fractions sont inégales et l'une des affirmations suivantes est vraie pour elles :

La fraction a/b est supérieure à la fraction c/d ;
La fraction a/b est inférieure à la fraction c/d .

La fraction a /b est dite supérieure à la fraction c /d si a /b − c /d > 0.

Une fraction x /y est dite inférieure à une fraction s /t si x /y − s /t< 0.

La désignation:

Ainsi, la comparaison des fractions se réduit à leur soustraction. Question : comment ne pas se confondre avec la notation "supérieur à" (>) et "inférieur à" (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

La partie en expansion du chèque est toujours dirigée vers le plus grand nombre;
Le nez pointu d'un choucas indique toujours un nombre inférieur.

Souvent, dans les tâches où vous souhaitez comparer des nombres, ils mettent le signe "∨" entre eux. C'est un choucas avec le nez vers le bas, ce qui, pour ainsi dire, laisse entendre que le plus grand des nombres n'a pas encore été déterminé.

Tâche. Comparez les nombres :

Suite à la définition, nous soustrayons les fractions les unes des autres:

Dans chaque comparaison, nous devions amener des fractions à un dénominateur commun. En particulier, en utilisant la méthode entrecroisée et en trouvant le plus petit multiple commun. Je ne me suis pas intentionnellement concentré sur ces points, mais si quelque chose n'est pas clair, jetez un œil à la leçon " Addition et soustraction de fractions" - c'est très facile.

Comparaison décimale

Dans le cas des fractions décimales, tout est beaucoup plus simple. Il n'est pas nécessaire de soustraire quoi que ce soit ici - il suffit de comparer les chiffres. Il ne sera pas superflu de rappeler ce qu'est une partie significative d'un nombre. Pour ceux qui ont oublié, je suggère de répéter la leçon " Multiplication et division de fractions décimales"- cela ne prendra également que quelques minutes.

Une décimale positive X est supérieure à une décimale positive Y si elle a une décimale telle que :

Le chiffre de ce chiffre dans la fraction X est supérieur au chiffre correspondant dans la fraction Y ;

Tous les chiffres plus anciens que ceux indiqués dans les fractions X et Y sont identiques.

12.25 > 12.16. Les deux premiers chiffres sont identiques (12 = 12) et le troisième est supérieur (2 > 1) ;
0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

En d'autres termes, nous regardons séquentiellement les décimales et recherchons la différence. Dans ce cas, un nombre plus grand correspond à une fraction plus grande.

Cependant, cette définition demande à être précisée. Par exemple, comment écrire et comparer des chiffres jusqu'à la virgule ? N'oubliez pas : n'importe quel nombre écrit sous forme décimale peut se voir attribuer n'importe quel nombre de zéros à gauche. Voici quelques exemples supplémentaires :

0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (речь идет о старшем разряде).
2300,5 > 0,0025, car 0,0025 = 0000,0025 - ajout de trois zéros à gauche. Vous pouvez maintenant voir que la différence commence dans le premier bit : 2 > 0.

Bien sûr, dans les exemples donnés avec des zéros, il y avait une énumération explicite, mais la signification est exactement la suivante : remplissez les chiffres manquants à gauche, puis comparez.

Tâche. Comparez des fractions :

0,029 ∨ 0,007;

14,045 ∨ 15,5;

0,00003 ∨ 0,0000099;

1700,1 ∨ 0,99501.

Par définition nous avons :

0,029 > 0,007. Les deux premiers chiffres sont identiques (00 = 00), puis la différence commence (2 > 0) ;
14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
0,00003 > 0,0000099. Ici, vous devez compter soigneusement les zéros. Les 5 premiers chiffres des deux fractions sont zéro, mais plus loin dans la première fraction est 3, et dans la seconde - 0. Évidemment, 3 > 0 ;
1700,1 > 0,99501. Réécrivons la deuxième fraction sous la forme 0000.99501, en ajoutant 3 zéros à gauche. Maintenant tout est évident : 1 > 0 - la différence se trouve dans le premier chiffre.

Malheureusement, le schéma ci-dessus pour comparer les fractions décimales n'est pas universel. Cette méthode ne peut que comparer nombres positifs. Dans le cas général, l'algorithme de travail est le suivant :

Une fraction positive est toujours supérieure à une fraction négative ;
Deux fractions positives sont comparées selon l'algorithme ci-dessus ;
Deux fractions négatives sont comparées de la même manière, mais à la fin le signe de l'inégalité est inversé.

Eh bien, n'est-ce pas faible? Regardons maintenant des exemples spécifiques - et tout deviendra clair.

Tâche. Comparez des fractions :

0,0027 ∨ 0,0072;

−0,192 ∨ −0,39;

0,15 ∨ −11,3;

19,032 ∨ 0,0919295;

−750 ∨ −1,45.

0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
-0,192 > -0,39. Les fractions sont négatives, 2 chiffres sont différents. une< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
0,15 > -11,3. Un nombre positif est toujours supérieur à un nombre négatif ;
19,032 > 0,091. Il suffit de réécrire la seconde fraction sous la forme 00.091 pour voir que la différence se produit déjà sur 1 chiffre ;
−750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45. La différence est dans la première catégorie.