Comment définir une expression identiquement égale. Transformations identitaires des expressions

Propriétés de base de l'addition et de la multiplication des nombres.

Propriété commutative de l'addition : lorsque les termes sont réarrangés, la valeur de la somme ne change pas. Pour tous les nombres a et b, l'égalité est vraie

La propriété associative de l'addition : pour ajouter un troisième nombre à la somme de deux nombres, vous pouvez additionner la somme du deuxième et du troisième au premier nombre. Pour tous les nombres a, b et c l'égalité est vraie

Propriété commutative de la multiplication : la permutation des facteurs ne change pas la valeur du produit. Pour tous les nombres a, b et c, l'égalité est vraie

La propriété associative de la multiplication : pour multiplier le produit de deux nombres par un troisième nombre, vous pouvez multiplier le premier nombre par le produit du deuxième et du troisième.

Pour tous les nombres a, b et c, l'égalité est vraie

Propriété distributive : pour multiplier un nombre par une somme, vous pouvez multiplier ce nombre par chaque terme et additionner les résultats. Pour tous les nombres a, b et c l'égalité est vraie

Il découle des propriétés commutatives et associatives de l'addition que, dans n'importe quelle somme, vous pouvez réorganiser les termes comme vous le souhaitez et les combiner en groupes de manière arbitraire.

Exemple 1 Calculons la somme 1,23+13,5+4,27.

Pour ce faire, il convient de combiner le premier terme avec le troisième. On a:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Cela découle des propriétés commutatives et associatives de la multiplication : dans n'importe quel produit, vous pouvez réorganiser les facteurs de n'importe quelle manière et les combiner arbitrairement en groupes.

Exemple 2 Trouvons la valeur du produit 1,8 0,25 64 0,5.

En combinant le premier facteur avec le quatrième, et le second avec le troisième, on aura :

1,8 0,25 64 0,5 \u003d (1,8 0,5) (0,25 64) \u003d 0,9 16 \u003d 14,4.

La propriété de distribution est également valide lorsque le nombre est multiplié par la somme de trois termes ou plus.

Par exemple, pour tous les nombres a, b, c et d, l'égalité est vraie

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

On sait que la soustraction peut être remplacée par l'addition en ajoutant à la minuende le nombre opposé à la soustraction :

Cela permet une expression numérique tapez a-b considérons la somme des nombres a et -b, considérons une expression numérique de la forme a + b-c-d comme la somme des nombres a, b, -c, -d, etc. Les propriétés considérées des actions sont également valables pour de telles sommes.

Exemple 3 Trouvons la valeur de l'expression 3,27-6,5-2,5+1,73.

Cette expression est la somme des nombres 3,27, -6,5, -2,5 et 1,73. En appliquant les propriétés d'addition, nous obtenons : 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -quatre.

Exemple 4 Calculons le produit 36·().

Le multiplicateur peut être considéré comme la somme des nombres et -. En utilisant la propriété distributive de la multiplication, on obtient :

36()=36-36=9-10=-1.

Identités

Définition. Deux expressions dont les valeurs correspondantes sont égales pour toutes les valeurs des variables sont dites identiques à l'identique.

Définition. Une égalité qui est vraie pour toutes les valeurs des variables est appelée une identité.

Trouvons les valeurs des expressions 3(x+y) et 3x+3y pour x=5, y=4 :

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3a=3 5+3 4=15+12=27.

Nous avons obtenu le même résultat. Il découle de la propriété distributive qu'en général, pour toutes les valeurs des variables, les valeurs correspondantes des expressions 3(x+y) et 3x+3y sont égales.

Considérons maintenant les expressions 2x+y et 2xy. Pour x=1, y=2 ils prennent des valeurs égales :

Cependant, vous pouvez spécifier des valeurs x et y telles que les valeurs de ces expressions ne soient pas égales. Par exemple, si x=3, y=4, alors

Les expressions 3(x+y) et 3x+3y sont identiquement égales, mais les expressions 2x+y et 2xy ne sont pas identiquement égales.

L'égalité 3(x+y)=x+3y, vraie pour toutes les valeurs de x et y, est une identité.

Les véritables égalités numériques sont également considérées comme des identités.

Ainsi, les identités sont des égalités exprimant les principales propriétés des actions sur les nombres :

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

D'autres exemples d'identités peuvent être donnés :

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Transformations identitaires des expressions

Le remplacement d'une expression par une autre, identiquement égale à elle, s'appelle une transformation à l'identique ou simplement une transformation d'une expression.

Des transformations identiques d'expressions avec des variables sont effectuées en fonction des propriétés des opérations sur les nombres.

Pour trouver la valeur de l'expression xy-xz compte tenu des valeurs x, y, z, vous devez effectuer trois étapes. Par exemple, avec x=2.3, y=0.8, z=0.2 on obtient :

xy-xz=2,3 0,8-2,3 0,2=1,84-0,46=1,38.

Ce résultat peut être obtenu en deux étapes seulement, en utilisant l'expression x(y-z), qui est identiquement égale à l'expression xy-xz :

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3 0,6=1,38.

Nous avons simplifié les calculs en remplaçant l'expression xy-xz par l'identique expression égale x(y-z).

Les transformations d'identité des expressions sont largement utilisées pour calculer les valeurs des expressions et résoudre d'autres problèmes. Certaines transformations identiques ont déjà été effectuées, par exemple, la réduction de termes similaires, l'ouverture de parenthèses. Rappelons les règles pour effectuer ces transformations :

pour apporter des termes similaires, vous devez additionner leurs coefficients et multiplier le résultat par la partie commune des lettres ;

s'il y a un signe plus devant les parenthèses, alors les parenthèses peuvent être omises, en conservant le signe de chaque terme entre parenthèses ;

s'il y a un signe moins avant les crochets, alors les crochets peuvent être omis en changeant le signe de chaque terme entre crochets.

Exemple 1 Ajoutons des termes semblables dans la somme 5x+2x-3x.

Nous utilisons la règle de réduction des termes semblables :

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Cette transformation est basée sur la propriété distributive de la multiplication.

Exemple 2 Développons les parenthèses dans l'expression 2a+(b-3c).

En appliquant la règle des parenthèses ouvrantes précédées d'un signe plus :

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

La transformation effectuée est basée sur la propriété associative de l'addition.

Exemple 3 Développons les parenthèses dans l'expression a-(4b-c).

Utilisons la règle pour développer les parenthèses précédées d'un signe moins :

a-(4b-c)=a-4b+c.

La transformation effectuée est basée sur la propriété distributive de la multiplication et la propriété associative de l'addition. Montrons-le. Représentons le deuxième terme -(4b-c) dans cette expression comme un produit (-1)(4b-c) :

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

En appliquant ces propriétés des actions, on obtient :

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

§ 2. Expressions identitaires, identité. Transformation identitaire d'une expression. Preuves d'identité

Trouvons les valeurs des expressions 2(x - 1) 2x - 2 pour les valeurs données de la variable x. Nous écrivons les résultats dans un tableau :

On peut en conclure que les valeurs des expressions 2(x - 1) 2x - 2 pour chaque valeur donnée variables x sont égales entre elles. Selon la propriété distributive de la multiplication par rapport à la soustraction 2(x - 1) = 2x - 2. Donc, pour toute autre valeur de la variable x, la valeur de l'expression 2(x - 1) 2x - 2 sera aussi égaux les uns aux autres. De telles expressions sont dites identiquement égales.

Par exemple, les expressions 2x + 3x et 5x sont synonymes, puisque pour chaque valeur de la variable x, ces expressions acquièrent les mêmes valeurs(ceci découle de la propriété distributive de la multiplication par rapport à l'addition, puisque 2x + 3x = 5x).

Considérons maintenant les expressions 3x + 2y et 5xy. Si x \u003d 1 et b \u003d 1, alors les valeurs correspondantes de ces expressions sont égales entre elles :

3x + 2y \u003d 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 \u003d 5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Cependant, vous pouvez spécifier des valeurs x et y pour lesquelles les valeurs de ces expressions ne seront pas égales entre elles. Par exemple, si x = 2 ; y = 0, alors

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.

Par conséquent, il existe de telles valeurs des variables pour lesquelles les valeurs correspondantes des expressions 3x + 2y et 5xy ne sont pas égales. Par conséquent, les expressions 3x + 2y et 5xy ne sont pas égales à l'identique.

Sur la base de ce qui précède, les identités, en particulier, sont des égalités : 2(x - 1) = 2x - 2 et 2x + 3x = 5x.

Une identité est toute égalité qui s'écrit propriétés connues actions sur les nombres. Par exemple,

une + b = b + une ; (une + b) + c = une + (b + c); a(b + c) = ab + ac ;

ab = ba; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.

Il y a aussi des égalités comme des identités :

un + 0 = un; un ∙ 0 = 0 ; a ∙ (-b) = -ab ;

un + (-a) = 0 ; une ∙ 1 = une ; a ∙ (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Si nous réduisons des termes similaires dans l'expression -5x + 2x - 9, nous obtenons que 5x + 2x - 9 \u003d 7x - 9. Dans ce cas, ils disent que l'expression 5x + 2x - 9 a été remplacée par l'expression 7x - 9, qui lui est identique.

Des transformations identiques d'expressions à variables sont réalisées en appliquant les propriétés des opérations sur les nombres. En particulier, les transformations identiques avec l'ouverture des parenthèses, la construction de termes similaires, etc.

Des transformations identiques doivent être effectuées lors de la simplification de l'expression, c'est-à-dire en remplaçant une expression par une expression qui lui est identiquement égale, qui doit être plus courte.

Exemple 1. Simplifiez l'expression :

1) -0,3m ∙ 5n ;

2) 2(3x - 4) + 3(-4x + 7);

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).

1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5 mn = -1,5 mn ;

2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 X - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13 ;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - un + 2 b + 3 b - un= 3a + 5b + 2.

Pour prouver que l'égalité est une identité (autrement dit, pour prouver l'identité, on utilise des transformations identité des expressions.

Vous pouvez prouver l'identité de l'une des manières suivantes :

effectuer des transformations identiques de son côté gauche, le réduisant ainsi à la forme du côté droit ;
effectuer des transformations identiques de son côté droit, le réduisant ainsi à la forme du côté gauche ;
effectuer des transformations identiques de ses deux parties, élevant ainsi les deux parties aux mêmes expressions.

Exemple 2. Prouver l'identité :

1) 2x - (x + 5) - 11 \u003d x - 16;

2) 206 - 4a = 5(2a - 3b) - 7(2a - 5b);

3) 2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 13(2x - 5) + 21.

Développement

1) Transformons le côté gauche de cette égalité :

2x - (x + 5) - 11 = 2x - X- 5 - 11 = x - 16.

Par des transformations identiques, l'expression du côté gauche de l'égalité a été réduite à la forme du côté droit et a ainsi prouvé que cette égalité est une identité.

2) Transformons le côté droit de cette égalité :

5(2a - 3b) - 7(2a - 5b) = 10a - 15 b - 14a + 35 b= 20b - 4a.

Par des transformations identiques, le côté droit de l'égalité s'est réduit à la forme du côté gauche et a ainsi prouvé que cette égalité est une identité.

3) Dans ce cas, il convient de simplifier les parties gauche et droite de l'égalité et de comparer les résultats :

2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 \u003d 26x - 44;

13 (2x - 5) + 21 \u003d 26x - 65 + 21 \u003d 26x - 44.

Par des transformations identiques, les parties gauche et droite de l'égalité ont été réduites à la même forme : 26x - 44. Cette égalité est donc une identité.

Quelles expressions sont dites identiques ? Donnez un exemple d'expressions identiques. Quelle égalité est appelée identité ? Donnez un exemple d'identité. Qu'appelle-t-on la transformation identitaire d'une expression ? Comment prouver son identité ?

(Oral) Soit il y a des expressions identiquement égales :

1) 2a + a et 3a ;

2) 7x + 6 et 6 + 7x ;

3) x + x + x et x 3 ;

4) 2(x - 2) et 2x - 4 ;

5) m - n et n - m;

6) 2a ∙ r et 2p ∙ a ?

Les expressions sont-elles identiques :

1) 7x - 2x et 5x ;

2) 5a - 4 et 4 - 5a ;

3) 4m + n et n + 4m ;

4) a + a et a 2;

5) 3(a - 4) et 3a - 12;

6) 5m ∙ n et 5m + n?

(Verbalement) L'identité de l'égalité est-elle :

1) 2a + 106 = 12ab ;

2) 7r - 1 = -1 + 7r ;

3) 3(x - y) = 3x - 5y ?

Parenthèse ouverte :

Parenthèse ouverte :

Réduire les termes similaires :

Nommez plusieurs expressions identiques aux expressions 2a + 3a.
Simplifiez l'expression en utilisant les propriétés permutantes et conjonctives de la multiplication :

1) -2,5 x ∙ 4 ;

2) 4p ∙ (-1,5) ;

3) 0,2 x ∙ (0,3g);

4)- x ∙<-7у).

Simplifiez l'expression :

1) -2p ∙ 3,5 ;

2) 7a ∙ (-1,2) ;

3) 0,2 x ∙ (-3y) ;

4) - 1m ∙ (-3n).

(Verbal) Simplifiez l'expression :

1) 2x - 9 + 5x ;

2) 7a - 3b + 2a + 3b ;

4) 4a ∙ (-2b).

Réduire les termes similaires :

1) 56 - 8a + 4b - une;

2) 17 - 2p + 3p + 19 ;

3) 1,8a + 1,9b + 2,8a - 2,9b;

4) 5 - 7 s + 1,9 g + 6,9 s - 1,7 g.

1) 4(5x - 7) + 3x + 13 ;

2) 2(7 - 9a) - (4 - 18a);

3) 3(2p - 7) - 2(g - 3);

4) -(3m - 5) + 2(3m - 7).

Ouvrez les parenthèses et réduisez les termes similaires :

1) 3(8a - 4) + 6a ;

2) 7p - 2(3p - 1);

3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7);

4) 3(5m - 7) - (15m - 2).

1) 0,6x + 0,4(x - 20) si x = 2,4 ;

2) 1,3 (2a - 1) - 16,4 si a = 10 ;

3) 1,2 (m - 5) - 1,8 (10 - m), si m = -3,7 ;

4) 2x - 3(x + y) + 4y si x = -1, y = 1.

Simplifiez l'expression et trouvez sa valeur :

1) 0,7 x + 0,3(x - 4) si x = -0,7 ;

2) 1,7 (y - 11) - 16,3, si v \u003d 20;

3) 0,6 (2a - 14) - 0,4 (5a - 1), si a = -1 ;

4) 5(m - n) - 4m + 7n si m = 1,8 ; n = -0,9.

Prouver l'identité :

1) - (2x - y) \u003d y - 2x;

2) 2(x - 1) - 2x = -2 ;

3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x ;

4) s - 2 = 5(s + 2) - 4(s + 3).

Prouver l'identité :

1) -(m - 3n) = 3n - m;

2) 7(2 - p) + 7p = 14 ;

3) 5a = 3(a - 4) + 2(a + 6);

4) 4(m - 3) + 3(m + 3) = 7m - 3.

La longueur de l'un des côtés du triangle est d'un cm et la longueur de chacun des deux autres côtés est supérieure de 2 cm. Écrivez le périmètre du triangle sous forme d'expression et simplifiez l'expression.
La largeur du rectangle est de x cm et la longueur est supérieure de 3 cm à la largeur. Écrivez le périmètre du rectangle sous forme d'expression et simplifiez l'expression.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4p - (3p - (2p - (r + 1)));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6а - b) - (4a - 33b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

Développez les parenthèses et simplifiez l'expression :

1) un - (un - (3a - 1));

2) 12m - ((a - m) + 12a);

3) 5 ans - (6 ans - (7 ans - (8 ans - 1)) );

6) (2.1a - 2.8b) - (1a - 1b).

Prouver l'identité :

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);

2) - (- 3p) - (-(8 - 5p)) \u003d 2 (4 - g);

3) 3(a - b - c) + 5(a - b) + 3c = 8(a - b).

Prouver l'identité :

1) 12a - ((8a - 16)) \u003d -4 (4 - 5a);

2) 4(x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

Montrer que la valeur de l'expression

1,8(m - 2) + 1,4(2 - m) + 0,2(1,7 - 2m) ne dépend pas de la valeur de la variable.

Montrer que pour toute valeur de la variable, la valeur de l'expression

un - (un - (5a + 2)) - 5 (un - 8)

est le même nombre.

Montrer que la somme de trois nombres pairs consécutifs est divisible par 6.
Montrer que si n est un nombre naturel, alors la valeur de l'expression -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) est un nombre pair.

Exercices à répéter

Un alliage pesant 1,6 kg contient 15 % de cuivre. Combien de kg de cuivre est contenu dans cet alliage ?
Quel pourcentage est le nombre 20 de son:

1) carré ;

Le touriste a marché pendant 2 heures et fait du vélo pendant 3 heures. Au total, le touriste a parcouru 56 km. Trouvez la vitesse à laquelle le touriste a fait du vélo si elle est supérieure de 12 km/h à la vitesse à laquelle il a marché.

Tâches intéressantes pour les étudiants paresseux

11 équipes participent au championnat de football de la ville. Chaque équipe joue un match avec les autres. Prouver qu'à tout moment de la compétition il y a une équipe qui a joué un nombre pair de matchs ou qui n'en a pas encore joué.

Considérons deux égalités :

1. une 12 * une 3 = une 7 * une 8

Cette égalité vaut pour toute valeur de la variable a. La plage de valeurs valides pour cette égalité sera l'ensemble complet des nombres réels.

2. une 12 : une 3 = une 2 * une 7 .

Cette inégalité tiendra pour toutes les valeurs de la variable a, sauf pour a égal à zéro. La plage de valeurs acceptables pour cette inégalité sera l'ensemble des nombres réels, à l'exception de zéro.

À propos de chacune de ces égalités, on peut affirmer qu'elle sera vraie pour toutes les valeurs admissibles des variables a. De telles équations en mathématiques sont appelées identités.

La notion d'identité

Une identité est une égalité qui est vraie pour toutes les valeurs admissibles des variables. Si des valeurs valides sont substituées dans cette égalité au lieu de variables, alors l'égalité numérique correcte doit être obtenue.

Il convient de noter que les véritables égalités numériques sont aussi des identités. Les identités, par exemple, seront des propriétés d'actions sur des nombres.

3. une + b = b + une ;

4. une + (b + c) = (a + b) + c ;

6. a*(b*c) = (a*b)*c ;

7. a*(b + c) = a*b + a*c ;

11. a*(-1) = -a.

Si deux expressions pour des variables admissibles sont respectivement égales, alors ces expressions sont appelées identiquement égal. Vous trouverez ci-dessous quelques exemples d'expressions égales à l'identique :

1. (un 2) 4 et un 8 ;

2. a*b*(-a^2*b) et -a 3 *b 2 ;

3. ((x 3 *x 8)/x) et x 10 .

On peut toujours remplacer une expression par toute autre expression identiquement égale à la première. Un tel remplacement sera une transformation identique.

Exemples d'identité

Exemple 1 : Les égalités suivantes sont-elles des identités :

1. un + 5 = 5 + un ;

2. a*(-b) = -a*b ;

3. 3*a*3*b = 9*a*b ;

Toutes les expressions ci-dessus ne seront pas des identités. Parmi ces égalités, seules 1, 2 et 3 égalités sont des identités. Quels que soient les nombres que nous y substituons, au lieu des variables a et b, nous obtenons toujours les égalités numériques correctes.

Mais 4 l'égalité n'est plus une identité. Car pas pour toutes les valeurs admissibles cette égalité sera remplie. Par exemple, avec les valeurs a = 5 et b = 2, vous obtenez le résultat suivant :

Cette égalité n'est pas vraie, puisque le nombre 3 n'est pas égal au nombre -3.

Les conversions d'identité sont le travail que nous effectuons avec des expressions numériques et alphabétiques, ainsi qu'avec des expressions contenant des variables. Nous effectuons toutes ces transformations afin d'amener l'expression originale à une forme qui conviendra à la résolution du problème. Nous examinerons les principaux types de transformations identiques dans ce sujet.

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Transformation identitaire d'une expression. Ce que c'est?

Pour la première fois, nous rencontrons le concept de nous transformés identiques dans les cours d'algèbre en 7e année. Ensuite, nous nous familiarisons d'abord avec le concept d'expressions identiques. Abordons les concepts et les définitions pour faciliter l'assimilation du sujet.

Définition 1

Transformation identitaire d'une expression sont des actions effectuées pour remplacer l'expression d'origine par une expression qui sera identiquement égale à celle d'origine.

Souvent, cette définition est utilisée sous une forme abrégée, dans laquelle le mot "identique" est omis. On suppose que dans tous les cas, nous effectuons la transformation de l'expression de manière à obtenir une expression identique à l'originale, et cela n'a pas besoin d'être souligné séparément.

Illustrons cette définition par des exemples.

Exemple 1

Si nous remplaçons l'expression x + 3 - 2à l'expression identiquement égale x+1, puis on effectue la transformation à l'identique de l'expression x + 3 - 2.

Exemple 2

Remplacer l'expression 2 a 6 par l'expression un 3 est la transformation identitaire, tandis que le remplacement de l'expression Xà l'expression x2 n'est pas une transformation identique, puisque les expressions X et x2 ne sont pas identiques à l'identique.

Nous attirons votre attention sur la forme d'écriture des expressions lors de la réalisation de transformations identiques. Nous écrivons généralement l'expression originale et l'expression résultante comme une égalité. Ainsi, écrire x + 1 + 2 = x + 3 signifie que l'expression x + 1 + 2 a été réduite à la forme x + 3 .

L'exécution séquentielle des actions nous conduit à une chaîne d'égalités, qui est plusieurs transformations identiques consécutives. Ainsi, nous comprenons la notation x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x comme une implémentation séquentielle de deux transformations : premièrement, l'expression x + 1 + 2 a été réduite à la forme x + 3, et elle a été réduite à la forme 3 + x.

Transformations identitaires et ODZ

Un certain nombre d'expressions que nous commençons à étudier en 8e année n'ont de sens pour aucune valeur de variable. Réaliser des transformations identiques dans ces cas nécessite de faire attention à la région des valeurs admissibles des variables (ODV). L'exécution de transformations identiques peut laisser l'ODZ inchangée ou la réduire.

Exemple 3

Lors de l'exécution d'une transition à partir de l'expression a + (−b)à l'expression un B plage de valeurs autorisées des variables un et b reste le même.

Exemple 4

Transition de l'expression x à l'expression x 2 x conduit à un rétrécissement de la plage des valeurs acceptables de la variable x de l'ensemble de tous les nombres réels à l'ensemble de tous les nombres réels, dont zéro a été exclu.

Exemple 5

Transformation identitaire d'une expression x 2 x l'expression x conduit à l'expansion de la plage des valeurs acceptables de la variable x de l'ensemble de tous les nombres réels sauf zéro à l'ensemble de tous les nombres réels.

Il est important de réduire ou d'élargir la plage de valeurs autorisées des variables lors de la réalisation de transformations identiques pour résoudre des problèmes, car cela peut affecter la précision des calculs et entraîner des erreurs.

Transformations d'identité de base

Voyons maintenant ce que sont les transformations identiques et comment elles sont effectuées. Distinguons les types de transformations identiques que nous devons traiter le plus souvent dans le groupe principal.

Outre les transformations d'identité de base, il existe un certain nombre de transformations liées à des expressions d'un type particulier. Pour les fractions, ce sont des méthodes de réduction et de réduction à un nouveau dénominateur. Pour les expressions avec des racines et des puissances, toutes les actions exécutées en fonction des propriétés des racines et des puissances. Pour les expressions logarithmiques, actions exécutées en fonction des propriétés des logarithmes. Pour les expressions trigonométriques, toutes les actions utilisant des formules trigonométriques. Toutes ces transformations particulières sont discutées en détail dans des rubriques distinctes qui peuvent être trouvées sur notre ressource. Pour cette raison, nous ne nous attarderons pas dessus dans cet article.

Passons à l'examen des principales transformations identiques.

Réarrangement des termes, facteurs

Commençons par réorganiser les termes. Nous traitons le plus souvent de cette transformation à l'identique. Et la déclaration suivante peut être considérée comme la règle principale ici: dans n'importe quelle somme, le réarrangement des termes par endroits n'affecte pas le résultat.

Cette règle est basée sur les propriétés commutatives et associatives de l'addition. Ces propriétés nous permettent de réorganiser les termes par endroits et d'obtenir en même temps des expressions identiques à celles d'origine. C'est pourquoi le réarrangement des termes en places dans la somme est une transformation identique.

Exemple 6

Nous avons la somme de trois termes 3 + 5 + 7 . Si nous échangeons les termes 3 et 5, alors l'expression prendra la forme 5 + 3 + 7. Il existe plusieurs options pour réorganiser les termes dans ce cas. Toutes conduisent à l'obtention d'expressions identiques à l'original.

Non seulement les nombres, mais aussi les expressions peuvent agir comme des termes dans la somme. Ils peuvent, tout comme les nombres, être réarrangés sans affecter le résultat final des calculs.

Exemple 7

Dans la somme de trois termes 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 et - 12 a de la forme 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12) a termes peuvent être réarrangés, par exemple, comme ceci (- 12) a + 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 . À son tour, vous pouvez réorganiser les termes du dénominateur de la fraction 1 a + b, tandis que la fraction prendra la forme 1 b + a. Et l'expression sous le signe racine un 2 + 2 un + 5 est aussi une somme dans laquelle les termes peuvent être interchangés.

De la même manière que les termes, dans les expressions originales on peut intervertir les facteurs et obtenir des équations identiques identiques. Cette action est régie par la règle suivante :

Définition 2

Dans le produit, la réorganisation des facteurs par endroits n'affecte pas le résultat du calcul.

Cette règle est basée sur les propriétés commutatives et associatives de la multiplication, qui confirment l'exactitude de la transformation identique.

Exemple 8

Travailler 3 5 7 la permutation des facteurs peut être représentée sous l'une des formes suivantes : 5 3 7 , 5 7 3 , 7 3 5 , 7 5 3 ou 3 7 5.

Exemple 9

Permuter les facteurs dans le produit x + 1 x 2 - x + 1 x donnera x 2 - x + 1 x x + 1

Extension de support

Les parenthèses peuvent contenir des entrées d'expressions numériques et d'expressions avec des variables. Ces expressions peuvent être transformées en expressions identiques identiques, dans lesquelles il n'y aura pas de parenthèses du tout ou il y en aura moins que dans les expressions d'origine. Cette façon de convertir les expressions s'appelle l'expansion des parenthèses.

Exemple 10

Réalisons des actions entre parenthèses dans une expression de la forme 3 + x − 1 x pour obtenir l'expression identiquement vraie 3 + x − 1 x.

L'expression 3 · x - 1 + - 1 + x 1 - x peut être convertie en l'expression identiquement égale sans parenthèses 3 · x - 3 - 1 + x 1 - x .

Nous avons discuté en détail des règles de conversion des expressions avec crochets dans la rubrique "Extension des crochets", qui est publiée sur notre ressource.

Termes de regroupement, facteurs

Dans les cas où nous avons affaire à trois termes ou plus, nous pouvons recourir à un tel type de transformations identiques comme un groupement de termes. Par cette méthode de transformation, on entend l'union de plusieurs termes en un groupe en les réarrangeant et en les mettant entre parenthèses.

Lors du regroupement, les termes sont interchangés de manière à ce que les termes groupés soient côte à côte dans l'enregistrement d'expression. Après cela, ils peuvent être mis entre parenthèses.

Exemple 11

Prenez l'expression 5 + 7 + 1 . Si on groupe le premier terme avec le troisième, on obtient (5 + 1) + 7 .

Le regroupement des facteurs s'effectue de la même manière que le regroupement des termes.

Exemple 12

Dans le travail 2 3 4 5 il est possible de grouper le premier facteur avec le troisième, et le deuxième facteur avec le quatrième, dans ce cas on arrive à l'expression (2 4) (3 5). Et si on regroupait les premier, deuxième et quatrième facteurs, on obtiendrait l'expression (2 3 5) 4.

Les termes et facteurs regroupés peuvent être représentés à la fois par des nombres premiers et par des expressions. Les règles de regroupement ont été discutées en détail dans la rubrique "Termes et facteurs de regroupement".

Remplacer les différences par des sommes, des produits partiels et vice versa

Le remplacement des différences par des sommes est devenu possible grâce à notre connaissance des nombres opposés. Maintenant soustraction d'un nombre un Nombres b peut être considéré comme un ajout au nombre un Nombres −b. Égalité une - b = une + (- b) peut être considéré comme équitable et, sur sa base, procéder au remplacement des différences par des sommes.

Exemple 13

Prenez l'expression 4 + 3 − 2 , où la différence des nombres 3 − 2 on peut écrire la somme 3 + (− 2) . Obtenir 4 + 3 + (− 2) .

Exemple 14

Toutes les différences d'expression 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2 peut être remplacé par des sommes comme 5 + 2 x + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0 , 2).

On peut procéder à des sommes à partir d'éventuelles différences. De même, nous pouvons faire une substitution inverse.

Le remplacement de la division par la multiplication par l'inverse du diviseur est rendu possible par la notion de nombres réciproques. Cette transformation peut s'écrire une : b = une (b - 1).

Cette règle était à la base de la règle de division des fractions ordinaires.

Exemple 15

Privé 1 2: 3 5 peut être remplacé par un produit de la forme 1 2 5 3.

De même, par analogie, la division peut être remplacée par la multiplication.

Exemple 16

Dans le cas de l'expression 1+5 :x :(x+3) remplacer division par X peut être multiplié par 1 fois. Division par x + 3 on peut remplacer en multipliant par 1 fois + 3. La transformation nous permet d'obtenir une expression identique à celle d'origine : 1 + 5 1 x 1 x + 3 .

Le remplacement de la multiplication par la division est effectué selon le schéma une b = une : (b - 1).

Exemple 17

Dans l'expression 5 x x 2 + 1 - 3, la multiplication peut être remplacée par la division comme 5 : x 2 + 1 x - 3.

Faire des actions avec des nombres

L'exécution d'opérations avec des nombres est soumise à la règle de l'ordre des opérations. Premièrement, les opérations sont effectuées avec des puissances de nombres et des racines de nombres. Après cela, nous remplaçons les logarithmes, les fonctions trigonométriques et autres par leurs valeurs. Ensuite, les actions entre parenthèses sont exécutées. Et puis vous pouvez déjà effectuer toutes les autres actions de gauche à droite. Il est important de se rappeler que la multiplication et la division sont effectuées avant l'addition et la soustraction.

Les opérations avec des nombres vous permettent de transformer l'expression d'origine en une expression identique égale à celle-ci.

Exemple 18

Transformons l'expression 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x en effectuant toutes les opérations possibles avec des nombres.

La solution

Voyons d'abord le degré 2 3 et racine 4 et calculez leurs valeurs : 2 3 = 8 et 4 = 2 2 = 2 .

Remplacez les valeurs obtenues dans l'expression originale et obtenez : 3 (8 - 1) a + 2 (x 2 + 5 x) .

Faisons maintenant les parenthèses : 8 − 1 = 7 . Et passons à l'expression 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Il n'y a plus qu'à faire la multiplication 3 et 7 . On obtient : 21 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Réponse: 3 2 3 - 1 une + 4 x 2 + 5 x = 21 une + 2 (x 2 + 5 x)

Les opérations avec des nombres peuvent être précédées d'autres types de transformations d'identité, telles que le regroupement de nombres ou l'expansion des parenthèses.

Exemple 19

Prenez l'expression 3 + 2 (6 : 3) x (y 3 4) − 2 + 11.

La solution

Tout d'abord, nous allons changer le quotient entre parenthèses 6: 3 sur sa signification 2 . On obtient : 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 .

Développons les parenthèses : 3 + 2 2 X (y 3 4) − 2 + 11 = 3 + 2 2 X y 3 4 − 2 + 11.

Regroupons les facteurs numériques dans le produit, ainsi que les termes qui sont des nombres : (3 - 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

Faisons les parenthèses : (3 - 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

Réponse:3 + 2 (6 : 3) X (y 3 4) − 2 + 11 = 12 + 16 X y 3

Si nous travaillons avec des expressions numériques, alors le but de notre travail sera de trouver la valeur de l'expression. Si nous transformons des expressions avec des variables, alors le but de nos actions sera de simplifier l'expression.

Mise entre parenthèses du facteur commun

Dans les cas où les termes de l'expression ont le même facteur, nous pouvons retirer ce facteur commun des parenthèses. Pour ce faire, nous devons d'abord représenter l'expression originale comme le produit d'un facteur commun et d'une expression entre parenthèses, qui se compose des termes originaux sans facteur commun.

Exemple 20

Numériquement 2 7 + 2 3 on peut retirer le facteur commun 2 en dehors des parenthèses et obtenir une expression identiquement correcte de la forme 2 (7 + 3).

Vous pouvez vous rafraîchir la mémoire des règles pour mettre le facteur commun entre parenthèses dans la section correspondante de notre ressource. Le document traite en détail des règles pour retirer le facteur commun des parenthèses et fournit de nombreux exemples.

Réduction des termes similaires

Passons maintenant aux sommes qui contiennent des termes similaires. Deux options sont ici possibles : des sommes contenant les mêmes termes, et des sommes dont les termes diffèrent d'un coefficient numérique. Les opérations avec des sommes contenant des termes semblables sont appelées réduction de termes semblables. Il s'effectue de la manière suivante: nous mettons la partie lettre commune hors parenthèses et calculons la somme des coefficients numériques entre parenthèses.

Exemple 21

Considérez l'expression 1 + 4 × − 2 ×. Nous pouvons prendre la partie littérale de x entre parenthèses et obtenir l'expression 1 + x (4 - 2). Calculons la valeur de l'expression entre parenthèses et obtenons la somme de la forme 1 + x · 2 .

Remplacement de nombres et d'expressions par des expressions identiques

Les nombres et les expressions qui composent l'expression d'origine peuvent être remplacés par des expressions qui leur sont identiques. Une telle transformation de l'expression originale conduit à une expression qui lui est identiquement égale.

Exemple 22 Exemple 23

Considérez l'expression 1 + a5, dans laquelle on peut remplacer le degré a 5 par un produit identiquement égal à celui-ci, par exemple de la forme un 4. Cela nous donnera l'expression 1 + un 4.

La transformation effectuée est artificielle. Cela n'a de sens que dans la préparation d'autres transformations.

Exemple 24

Considérez la transformation de la somme 4 x 3 + 2 x 2. Ici le terme 4x3 nous pouvons représenter comme un produit 2 x 2 x 2 x. Par conséquent, l'expression originale prend la forme 2 × 2 2 × + 2 × 2. On peut maintenant isoler le facteur commun 2x2 et sortez-le des crochets : 2 × 2 (2 × + 1).

Additionner et soustraire le même nombre

Ajouter et soustraire le même nombre ou la même expression en même temps est une technique de transformation d'expression artificielle.

Exemple 25

Considérez l'expression x2 + 2x. On peut en ajouter ou en soustraire un, ce qui nous permettra par la suite d'effectuer une autre transformation identique - pour sélectionner le carré du binôme : X 2 + 2 X = X 2 + 2 X + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.

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Ayant une idée sur les identités , il est logique de passer à la connaissance de . Dans cet article, nous répondrons à la question de savoir ce que sont les expressions identiques et, à l'aide d'exemples, nous déterminerons quelles expressions sont identiques et lesquelles ne le sont pas.

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Qu'est-ce qu'une expression identiquement égale ?

La définition des expressions identiquement égales est donnée en parallèle avec la définition de l'identité. Cela se passe en classe d'algèbre en 7e année. Dans le manuel d'algèbre pour 7 classes, l'auteur Yu. N. Makarychev donne le libellé suivant:

Définition.

sont des expressions dont les valeurs sont égales pour toutes les valeurs des variables qu'elles contiennent. Les expressions numériques qui correspondent aux mêmes valeurs sont également appelées égales à l'identique.

Cette définition est utilisée jusqu'à la classe 8, elle est valable pour les expressions entières, car elles ont un sens pour toutes les valeurs des variables qu'elles contiennent. Et en 8e année, la définition des expressions identiques identiques est spécifiée. Expliquons à quoi cela est lié.

En 8e année, l'étude d'autres types d'expressions commence, ce qui, contrairement aux expressions entières, peut ne pas avoir de sens pour certaines valeurs de variables. Cela rend nécessaire d'introduire des définitions de valeurs admissibles et invalides de variables, ainsi que la plage de valeurs admissibles de l'ODV d'une variable, et par conséquent, de clarifier la définition d'expressions identiquement égales.

Définition.

Deux expressions dont les valeurs sont égales pour toutes les valeurs admissibles de leurs variables sont appelées expressions identiques à l'identique. On dit aussi que deux expressions numériques qui ont la même valeur sont identiquement égales.

Dans cette définition d'expressions identiquement égales, il convient de clarifier le sens de l'expression "pour toutes les valeurs admissibles des variables qui y sont incluses". Cela implique toutes ces valeurs de variables pour lesquelles les deux expressions identiquement égales ont simultanément un sens. Cette idée sera clarifiée dans la section suivante en considérant des exemples.

La définition des expressions identiquement égales dans le manuel de A. G. Mordkovich est donnée un peu différemment:

Définition.

Expressions égales identiques sont des expressions sur les côtés gauche et droit de l'identité.

Dans le sens, cette définition et les définitions précédentes coïncident.

Exemples d'expressions identiques à l'identique

Les définitions introduites dans la sous-section précédente nous permettent d'apporter exemples d'expressions identiques.

Commençons par des expressions numériques identiques. Les expressions numériques 1+2 et 2+1 sont identiquement égales car elles correspondent à des valeurs égales 3 et 3 . Les expressions 5 et 30:6 sont également égales à l'identique, tout comme les expressions (2 2) 3 et 2 6 (les valeurs des dernières expressions sont égales en raison de ). Mais les expressions numériques 3+2 et 3−2 ne sont pas égales à l'identique, puisqu'elles correspondent respectivement aux valeurs 5 et 1, mais elles ne sont pas égales.

Nous donnons maintenant des exemples d'expressions identiquement égales avec des variables. Ce sont les expressions a+b et b+a . En effet, pour toutes les valeurs des variables a et b, les expressions écrites prennent les mêmes valeurs (ce qui découle des nombres). Par exemple, avec a=1 et b=2 nous avons a+b=1+2=3 et b+a=2+1=3 . Pour toutes les autres valeurs des variables a et b, nous obtiendrons également des valeurs égales de ces expressions. Les expressions 0·x·y·z et 0 sont également identiques pour toutes les valeurs des variables x , y et z . Mais les expressions 2 x et 3 x ne sont pas identiquement égales, puisque, par exemple, à x=1 leurs valeurs ne sont pas égales. En effet, pour x=1, l'expression 2 x est 2 1=2 , et l'expression 3 x est 3 1=3 .

Lorsque les domaines des valeurs admissibles des variables dans les expressions coïncident, comme, par exemple, dans les expressions a+1 et 1+a , ou a b 0 et 0 , ou et , et les valeurs de ces expressions sont égales pour toutes les valeurs des variables de ces zones, alors ici tout est clair - ces expressions sont identiques pour toutes les valeurs admissibles des variables qu'elles contiennent. Donc a+1≡1+a pour tout a , les expressions a b 0 et 0 sont identiquement égales pour toutes les valeurs des variables a et b , et les expressions et sont identiquement égales pour tout x de ; éd. S.A. Telyakovsky. - 17e éd. - M. : Éducation, 2008. - 240 p. : malade. - ISBN 978-5-09-019315-3.

Algèbre: cahier de texte pour 8 cellules. enseignement général institutions / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; éd. S.A. Telyakovsky. - 16e éd. - M. : Éducation, 2008. - 271 p. : malade. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Mordkovitch A.G. Algèbre. 7e année. À 14 h Partie 1. Un manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement / A. G. Mordkovich. - 17e éd., ajouter. - M. : Mnemozina, 2013. - 175 p. : ill. ISBN 978-5-346-02432-3.