La parenthèse ouverte est un nombre. Supports extensibles - Savoir Hypermarché

Les parenthèses sont utilisées pour indiquer l'ordre dans lequel les actions sont effectuées dans les expressions numériques et alphabétiques, ainsi que dans les expressions avec des variables. Il est commode de passer d'une expression entre parenthèses à identiquement expression égale sans parenthèses. Cette technique est appelée ouverture de parenthèses.

Développer les parenthèses signifie débarrasser l'expression de ces parenthèses.

Un autre point mérite une attention particulière, qui concerne les particularités des solutions d'écriture lors de l'ouverture des parenthèses. On peut écrire l'expression initiale entre parenthèses et le résultat obtenu après ouverture des parenthèses comme égalité. Par exemple, après avoir ouvert les parenthèses, au lieu de l'expression
3−(5−7) on obtient l'expression 3−5+7. Nous pouvons écrire ces deux expressions sous la forme de l'égalité 3−(5−7)=3−5+7.

Et un de plus point important. En mathématiques, pour réduire les entrées, il est d'usage de ne pas écrire de signe plus s'il est le premier d'une expression ou entre parenthèses. Par exemple, si nous additionnons deux nombres positifs, par exemple sept et trois, nous n'écrivons pas +7 + 3, mais simplement 7 + 3, malgré le fait que sept soit également un nombre positif. De même, si vous voyez, par exemple, l'expression (5 + x) - sachez qu'il y a un plus devant la parenthèse, qui ne s'écrit pas, et qu'il y a un plus + (+5 + x) devant la cinq.

Règle d'expansion de parenthèse pour l'addition

Lors de l'ouverture des parenthèses, s'il y a un plus avant les parenthèses, alors ce plus est omis avec les parenthèses.

Exemple. Ouvrez les parenthèses dans l'expression 2 + (7 + 3) Avant les parenthèses plus, les caractères devant les nombres entre parenthèses ne changent pas.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

La règle d'expansion des parenthèses lors de la soustraction

S'il y a un moins avant les parenthèses, alors ce moins est omis avec les parenthèses, mais les termes qui étaient entre parenthèses changent leur signe en l'opposé. L'absence de signe devant le premier terme entre parenthèses implique un signe +.

Exemple. Ouvrez les parenthèses dans l'expression 2 − (7 + 3)

Il y a un moins avant les parenthèses, vous devez donc changer les signes avant les chiffres des parenthèses. Il n'y a pas de signe entre parenthèses avant le chiffre 7, ce qui signifie que le sept est positif, on considère que le signe + est devant.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

Lors de l'ouverture des parenthèses, nous supprimons le moins de l'exemple, qui était avant les parenthèses, et les parenthèses elles-mêmes 2 - (+ 7 + 3), et changeons les signes qui étaient entre parenthèses en ceux opposés.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Développer les parenthèses lors de la multiplication

S'il y a un signe de multiplication devant les parenthèses, alors chaque nombre à l'intérieur des parenthèses est multiplié par le facteur devant les parenthèses. En même temps, multiplier un moins par un moins donne un plus, et multiplier un moins par un plus, comme multiplier un plus par un moins, donne un moins.

Ainsi, les parenthèses dans les produits sont développées conformément à la propriété distributive de la multiplication.

Exemple. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

En multipliant parenthèse par parenthèse, chaque terme de la première parenthèse est multiplié par chaque terme de la seconde parenthèse.

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

En fait, il n'est pas nécessaire de retenir toutes les règles, il suffit de n'en retenir qu'une seule, celle-ci : c(a−b)=ca−cb. Pourquoi? Parce que si on substitue un au lieu de c, on obtient la règle (a−b)=a−b. Et si on substitue moins un, on obtient la règle −(a−b)=−a+b. Eh bien, si vous substituez une autre parenthèse au lieu de c, vous pouvez obtenir la dernière règle.

Développer les parenthèses lors de la division

S'il y a un signe de division après les parenthèses, alors chaque nombre à l'intérieur des parenthèses est divisible par le diviseur après les parenthèses, et vice versa.

Exemple. (9 + 6) : 3=9 : 3 + 6 : 3

Comment développer les parenthèses imbriquées

Si l'expression contient des crochets imbriqués, ils sont développés dans l'ordre, en commençant par externe ou interne.

Dans le même temps, lors de l'ouverture de l'une des parenthèses, il est important de ne pas toucher les autres parenthèses, mais de les réécrire telles quelles.

Exemple. 12 - (une + (6 - b) - 3) = 12 - une - (6 - b) + 3 = 12 - une - 6 + b + 3 = 9 - une + b

former la capacité d'ouvrir les crochets, en tenant compte du signe devant les crochets;

développement:

développer pensée logique, attention, discours mathématique, capacité à analyser, comparer, généraliser, tirer des conclusions;
éducateurs :
formation de la responsabilité, intérêt cognitif pour le sujet

Pendant les cours

I. Moment organisationnel.

Regarde ça mon pote
Êtes-vous prêt pour la leçon?
Est-ce que tout est en place ? Tout est bon?
Stylo, livre et cahier.
Est-ce que tout le monde est bien assis ?
Est-ce que tout le monde regarde attentivement ?

Je veux commencer la leçon avec une question pour vous:

Selon vous, quelle est la chose la plus précieuse sur terre ? (Réponses des enfants.)

Cette question préoccupe l'humanité depuis des milliers d'années. Voici la réponse donnée par le célèbre scientifique Al-Biruni : « La connaissance est la possession la plus excellente. Tout le monde y aspire, mais cela ne vient pas tout seul. »

Que ces mots soient la devise de notre leçon.

II. Actualisation des connaissances, compétences, capacités antérieures :

Comptage verbal :

1.1. Quelle est la date d'aujourd'hui ?

2. Que savez-vous du nombre 20 ?

3. Et où se trouve ce nombre sur la ligne de coordonnées ?

4. Nommez le numéro de son revers.

5. Nommez le nombre en face de lui.

6. Quel est le nom du nombre - 20 ?

7. Quels nombres sont appelés opposés ?

8. Quels nombres sont appelés négatifs ?

9. Quel est le module du nombre 20 ? - 20 ?

10. Quelle est la somme des nombres opposés ?

2. Expliquez les entrées suivantes :

a) L'ancien mathématicien de génie Archimède est né en 0 287 av.

b) Le brillant mathématicien russe N.I. Lobachevsky est né en 1792.

pour la première fois jeux olympiques eut lieu en Grèce en 776.

d) Les premiers Jeux Olympiques Internationaux ont eu lieu en 1896.

e) Les XXIIes Jeux Olympiques d'hiver ont eu lieu en 2014.

3. Découvrez quels nombres tournent sur le "carrousel mathématique" (toutes les actions sont effectuées oralement).

II. Formation de nouvelles connaissances, compétences et capacités.

Vous avez appris à effectuer différentes opérations avec des nombres entiers. Qu'allons-nous faire ensuite ? Comment allons-nous résoudre des exemples et des équations ?

Trouvons le sens de ces expressions

7 + (3 + 4) = -7 + 7 = 0
-7 + 3 + 4 = 0

Quelle est la procédure dans 1 exemple ? C'est combien entre parenthèses ? L'ordre des actions dans le deuxième exemple ? Résultat de la première action ? Que peut-on dire de ces expressions ?

Bien sûr, les résultats de la première et de la seconde expression sont les mêmes, vous pouvez donc mettre un signe égal entre eux : -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4

Qu'avons-nous fait des crochets ? (Perdu.)

Que pensez-vous que nous allons faire en classe aujourd'hui ? (Les enfants formulent le sujet de la leçon.) Dans notre exemple, quel signe est devant les parenthèses. (Plus.)

Et nous arrivons donc à la règle suivante :

S'il y a un signe + avant les parenthèses, vous pouvez omettre les parenthèses et ce signe +, en préservant les signes des termes entre parenthèses. Si le premier terme entre parenthèses est écrit sans signe, alors il doit être écrit avec un signe +.

Mais que se passe-t-il s'il y a un signe moins devant les parenthèses ?

Dans ce cas, il faut raisonner de la même manière que pour soustraire : il faut ajouter le nombre opposé à celui qui est soustrait :

7 – (3 + 4) = -7 + (-7) = -7 + (-3) + (-4) = -7 – 3 – 4 = -14

- Donc, nous avons ouvert les crochets quand il y avait un signe moins devant eux.

La règle d'expansion des parenthèses lorsqu'il y a un signe "-" devant les parenthèses.

Pour ouvrir les parenthèses précédées du signe -, vous devez remplacer ce signe par +, en changeant les signes de tous les termes entre parenthèses à l'opposé, puis ouvrez les parenthèses.

Écoutons les règles d'ouverture des parenthèses dans les versets :

Il y a un plus devant la parenthèse.
Il en parle
Qu'est-ce que vous laissez tomber les crochets
Laissez sortir tous les signes!
Avant la parenthèse moins strict
Bloquera notre chemin
Pour supprimer les crochets
Il faut changer les panneaux !

Oui, les gars, le signe moins est très insidieux, c'est un «gardien» à la porte (crochets), il ne libère des chiffres et des variables que lorsqu'ils changent leurs «passeports», c'est-à-dire leurs signes.

Pourquoi avez-vous besoin d'ouvrir des parenthèses ? (Lorsqu'il y a des parenthèses, il y a un moment d'un élément d'incomplétude, une sorte de mystère. C'est comme porte fermée, derrière lequel se cache quelque chose d'intéressant.) Aujourd'hui, nous avons appris ce secret.

Une petite parenthèse dans l'histoire :

Les accolades apparaissent dans les écrits de Vieta (1593). Les parenthèses n'ont été largement utilisées que dans la première moitié du XVIIIe siècle, grâce à Leibniz et plus encore à Euler.

Fizkultminutka.

III. Consolidation de nouvelles connaissances, compétences et aptitudes.

Travail manuel :

N° 1234 (parenthèses ouvertes) - oralement.

N° 1236 (parenthèses ouvertes) - oralement.

N ° 1235 (trouver le sens de l'expression) - par écrit.

N° 1238 (simplifier les expressions) - travail en binôme.

IV. Résumé de la leçon.

1. Les scores sont annoncés.

2. Maison. exercer. 39 n° 1254 (a, b, c), 1255 (a, b, c), 1259.

3. Qu'avons-nous appris aujourd'hui ?

Qu'as-tu appris?

Et je veux terminer la leçon avec des souhaits pour chacun de vous :

“Montrez la capacité aux mathématiques,
Ne soyez pas paresseux, mais développez-vous quotidiennement.
Multipliez, divisez, travaillez, pensez,
N'oubliez pas d'être amis avec les mathématiques.

La fonction principale des parenthèses est de modifier l'ordre des actions lors du calcul des valeurs. par exemple, dans l'expression numérique \(5 3+7\) la multiplication sera calculée en premier, puis l'addition : \(5 3+7 =15+7=22\). Mais dans l'expression \(5·(3+7)\), l'addition entre parenthèses sera calculée en premier, et ensuite seulement la multiplication : \(5·(3+7)=5·10=50\).

Exemple. Développez la parenthèse : \(-(4m+3)\).
Décision : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Exemple. Développez la parenthèse et donnez comme termes \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Décision : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Exemple. Développez les crochets \(5(3-x)\).
Décision : Nous avons \(3\) et \(-x\) entre parenthèses, et cinq devant la parenthèse. Cela signifie que chaque membre de la parenthèse est multiplié par \ (5 \) - je vous rappelle que le signe de multiplication entre un nombre et une parenthèse en mathématiques n'est pas écrit pour réduire la taille des enregistrements.

Exemple. Développez les parenthèses \(-2(-3x+5)\).
Décision : Comme dans l'exemple précédent, les crochets \(-3x\) et \(5\) sont multipliés par \(-2\).

Exemple. Simplifiez l'expression : \(5(x+y)-2(x-y)\).
Décision : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Il reste à considérer la dernière situation.

En multipliant parenthèse par parenthèse, chaque terme de la première parenthèse est multiplié par chaque terme de la seconde :

\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)

Exemple. Développez les crochets \((2-x)(3x-1)\).
Décision : Nous avons un produit de parenthèses et il peut être ouvert immédiatement en utilisant la formule ci-dessus. Mais pour ne pas se tromper, faisons tout étape par étape.
Étape 1. Supprimez la première parenthèse - chacun de ses membres est multiplié par la deuxième parenthèse :

Étape 2. Développez les produits de la tranche par le facteur comme décrit ci-dessus :
- le premier d'abord...

Puis le deuxième.

Étape 3. Maintenant, nous multiplions et apportons des termes similaires :

Il n'est pas nécessaire de peindre toutes les transformations en détail, vous pouvez immédiatement les multiplier. Mais si vous apprenez juste à ouvrir les parenthèses - écrivez en détail, il y aura moins de chance de faire une erreur.

Remarque à toute la section. En fait, vous n'avez pas besoin de vous souvenir des quatre règles, vous n'avez besoin de vous souvenir que d'une, celle-ci : \(c(a-b)=ca-cb\) . Pourquoi? Parce que si nous substituons un au lieu de c, nous obtenons la règle \((a-b)=a-b\) . Et si nous substituons moins un, nous obtenons la règle \(-(a-b)=-a+b\) . Eh bien, si vous substituez une autre parenthèse au lieu de c, vous pouvez obtenir la dernière règle.

parenthèse entre parenthèses

Parfois, dans la pratique, il y a des problèmes avec des parenthèses imbriquées à l'intérieur d'autres parenthèses. Voici un exemple d'une telle tâche : pour simplifier l'expression \(7x+2(5-(3x+y))\).

Pour réussir dans ces tâches, vous devez :
- bien comprendre l'imbrication des parenthèses - laquelle est dans laquelle ;
- ouvrez les crochets dans l'ordre, en commençant par exemple par le plus à l'intérieur.

Il est important lors de l'ouverture d'un des supports ne touchez pas au reste de l'expression, il suffit de le réécrire tel quel.
Prenons la tâche ci-dessus comme exemple.

Exemple. Ouvrez les parenthèses et donnez comme termes \(7x+2(5-(3x+y))\).
Décision:

Exemple. Développez les parenthèses et donnez des termes similaires \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Décision :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Il s'agit d'une triple imbrication de parenthèses. Nous commençons par le plus interne (surligné en vert). Il y a un plus devant la parenthèse, il est donc simplement supprimé.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Maintenant, vous devez ouvrir le deuxième support, intermédiaire. Mais avant cela, nous allons simplifier l'expression en masquant les termes similaires dans cette seconde parenthèse.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Maintenant, nous ouvrons le deuxième support (surligné en bleu). Il y a un multiplicateur devant la parenthèse - donc chaque terme entre parenthèses est multiplié par celui-ci.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		Et ouvrez la dernière parenthèse. Avant le crochet moins - donc tous les signes sont inversés.

L'ouverture des parenthèses est une compétence de base en mathématiques. Sans cette compétence, il est impossible d'avoir une note supérieure à trois en 8e et 9e année. Par conséquent, je recommande une bonne compréhension de ce sujet.

Dans cet article, nous examinerons en détail les règles de base d'un sujet aussi important dans un cours de mathématiques que les parenthèses ouvrantes. Vous devez connaître les règles d'ouverture des parenthèses afin de résoudre correctement les équations dans lesquelles elles sont utilisées.

Comment ouvrir correctement les parenthèses lors de l'ajout

Développez les parenthèses précédées du signe "+"

C'est le cas le plus simple, car s'il y a un signe d'addition devant les crochets, lorsque les crochets sont ouverts, les signes à l'intérieur ne changent pas. Exemple:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

Comment ouvrir les parenthèses précédées d'un signe "-"

Dans ce cas, vous devez réécrire tous les termes sans parenthèses, mais en même temps changer tous les signes à l'intérieur d'eux pour les opposés. Les signes ne changent que pour les termes de ces crochets qui ont été précédés du signe "-". Exemple:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

Comment ouvrir les parenthèses lors de la multiplication

Les parenthèses sont précédées d'un multiplicateur

Dans ce cas, vous devez multiplier chaque terme par un facteur et ouvrir les parenthèses sans changer de signe. Si le multiplicateur a le signe "-", alors lors de la multiplication, les signes des termes sont inversés. Exemple:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

Comment ouvrir deux crochets avec un signe de multiplication entre eux

Dans ce cas, vous devez multiplier chaque terme des premières parenthèses avec chaque terme des deuxièmes parenthèses, puis additionner les résultats. Exemple:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

Comment ouvrir les parenthèses dans un carré

Si la somme ou la différence de deux termes est élevée au carré, les parenthèses doivent être élargies selon la formule suivante :

(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2.

Dans le cas d'un moins à l'intérieur des parenthèses, la formule ne change pas. Exemple:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

Comment ouvrir des parenthèses à un degré différent

Si la somme ou la différence des termes est élevée, par exemple, à la puissance 3 ou 4, il vous suffit de diviser le degré de la parenthèse en «carrés». Les puissances des mêmes facteurs s'additionnent, et lors de la division, le degré du diviseur est soustrait du degré du dividende. Exemple:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

Comment ouvrir 3 crochets

Il existe des équations dans lesquelles 3 parenthèses sont multipliées à la fois. Dans ce cas, vous devez d'abord multiplier les termes des deux premières parenthèses entre eux, puis multiplier la somme de cette multiplication par les termes de la troisième parenthèse. Exemple:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

Ces règles d'ouverture des parenthèses s'appliquent également aux équations linéaires et trigonométriques.

L'expansion des parenthèses est un type de transformation d'expression. Dans cette section, nous décrirons les règles d'expansion des parenthèses, ainsi que les exemples de tâches les plus courants.

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Qu'est-ce que l'expansion des parenthèses ?

Les parenthèses sont utilisées pour indiquer l'ordre dans lequel les actions sont effectuées dans les expressions numériques et alphabétiques, ainsi que dans les expressions avec des variables. Il est commode de passer d'une expression entre parenthèses à une expression identiquement égale sans parenthèses. Par exemple, remplacez l'expression 2 (3 + 4) par une expression telle que 2 3 + 2 4 sans parenthèses. Cette technique est appelée ouverture de parenthèses.

Définition 1

Sous l'ouverture des crochets, nous entendons les méthodes de suppression des crochets et sont généralement considérées par rapport aux expressions pouvant contenir :

signes "+" ou "-" devant les parenthèses qui contiennent des sommes ou des différences ;
le produit d'un nombre, d'une lettre ou de plusieurs lettres, et la somme ou la différence, qui est placée entre parenthèses.

C'est ainsi que nous avions l'habitude de considérer le processus d'élargissement des parenthèses dans le cours programme scolaire. Cependant, personne ne nous empêche d'envisager cette action plus largement. Nous pouvons appeler expansion de parenthèses la transition d'une expression qui contient des nombres négatifs entre parenthèses à une expression qui n'a pas de parenthèses. Par exemple, on peut passer de 5 + (− 3) − (− 7) à 5 − 3 + 7 . En fait, c'est aussi l'expansion des parenthèses.

De la même manière, on peut remplacer le produit des expressions entre parenthèses de la forme (a + b) · (c + d) par la somme a · c + a · d + b · c + b · d . Cette technique ne contredit pas non plus la signification de l'expansion des parenthèses.

Voici un autre exemple. Nous pouvons supposer que dans les expressions, au lieu des nombres et des variables, toutes les expressions peuvent être utilisées. Par exemple, l'expression x 2 1 a - x + sin (b) correspondra à une expression sans crochets de la forme x 2 1 a - x 2 x + x 2 sin (b) .

Un autre point mérite une attention particulière, qui concerne les particularités des solutions d'écriture lors de l'ouverture des parenthèses. On peut écrire l'expression initiale entre parenthèses et le résultat obtenu après ouverture des parenthèses comme égalité. Par exemple, après avoir ouvert les parenthèses, au lieu de l'expression 3 − (5 − 7) on obtient l'expression 3 − 5 + 7 . Nous pouvons écrire ces deux expressions sous la forme de l'égalité 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7 .

Réaliser des actions avec des expressions lourdes peut nécessiter l'enregistrement de résultats intermédiaires. Alors la solution aura la forme d'une chaîne d'égalités. Par example, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 ou alors 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

Règles d'ouverture des parenthèses, exemples

Commençons par les règles d'ouverture des parenthèses.

Numéros simples entre parenthèses

Les nombres négatifs entre parenthèses apparaissent souvent dans les expressions. Par exemple, (− 4) et 3 + (− 4) . Les nombres positifs entre parenthèses ont également lieu.

Formulons la règle pour ouvrir des parenthèses qui contiennent des nombres positifs simples. Supposons que a soit un nombre positif. On peut alors remplacer (a) par a, + (a) par + a, - (a) par - a. Si au lieu de a nous prenons un nombre spécifique, alors selon la règle : le nombre (5) s'écrira comme 5 , l'expression 3 + (5) sans parenthèses prendra la forme 3 + 5 , puisque + (5) est remplacé par + 5 , et l'expression 3 + (− 5) est équivalente à l'expression 3 − 5 , comme + (− 5) est remplacé par − 5 .

Les nombres positifs sont généralement écrits sans utiliser de parenthèses, car les parenthèses sont redondantes dans ce cas.

Considérons maintenant la règle d'ouverture des parenthèses contenant un seul nombre négatif. + (−a) on remplace par − un, − (− a) est remplacé par + a . Si l'expression commence par un nombre négatif (-un), qui est écrit entre parenthèses, alors les parenthèses sont omises et au lieu de (-un) restes − un.

Voici quelques exemples: (− 5) peut s'écrire − 5 , (− 3) + 0 , 5 devient − 3 + 0 , 5 , 4 + (− 3) devient 4 − 3 , et − (− 4) − (− 3) après ouverture des parenthèses prend la forme 4 + 3 , puisque − (− 4) et − (− 3) est remplacé par + 4 et + 3 .

Il faut comprendre que l'expression 3 · (− 5) ne peut pas s'écrire 3 · − 5. Ceci sera discuté dans les paragraphes suivants.

Voyons sur quoi sont basées les règles d'expansion des parenthèses.

Selon la règle, la différence a − b est égale à a + (− b) . Sur la base des propriétés des actions avec des nombres, nous pouvons faire une chaîne d'égalités (une + (− b)) + b = une + ((− b) + b) = une + 0 = une qui sera juste. Cette chaîne d'égalités, en vertu du sens de la soustraction, prouve que l'expression a + (− b) est la différence un B.

Sur la base des propriétés des nombres opposés et des règles de soustraction des nombres négatifs, nous pouvons affirmer que − (− a) = a , a − (− b) = a + b .

Il existe des expressions composées d'un nombre, de signes moins et de plusieurs paires de parenthèses. L'utilisation des règles ci-dessus vous permet de vous débarrasser séquentiellement des crochets, en passant des crochets intérieurs aux crochets extérieurs ou vice versa. Un exemple d'une telle expression serait − (− ((− (5)))) . Ouvrons les parenthèses, en nous déplaçant de l'intérieur vers l'extérieur : − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Cet exemple peut également être analysé à l'envers : − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

En dessous de un et b peuvent être compris non seulement comme des nombres, mais aussi comme des nombres arbitraires ou expressions littérales avec un "+" devant qui ne sont ni des sommes ni des différences. Dans tous ces cas, vous pouvez appliquer les règles de la même manière que nous l'avons fait avec des chiffres simples entre parenthèses.

Par exemple, après avoir ouvert les crochets, l'expression − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2 : z) prend la forme 2 x − x 2 − 1 x − 2 x y 2 : z . Comment avons-nous fait ça? Nous savons que − (− 2 x) est + 2 x , et puisque cette expression vient en premier, alors + 2 x peut être écrit comme 2 x , - (x 2) = - x 2, + (− 1 x) = − 1 x et − (2 x y 2 : z) = − 2 x y 2 : z.

Dans les produits de deux nombres

Commençons par la règle d'expansion des parenthèses dans le produit de deux nombres.

Faisons comme si un et b sont deux nombres positifs. Dans ce cas, le produit de deux nombres négatifs − un et − b de la forme (− a) (− b) peut être remplacé par (a b) , et les produits de deux nombres de signes opposés de la forme (− a) b et a (− b) peuvent être remplacés par (− un b). Multiplier un moins par un moins donne un plus, et multiplier un moins par un plus, comme multiplier un plus par un moins, donne un moins.

L'exactitude de la première partie de la règle écrite est confirmée par la règle de multiplication des nombres négatifs. Pour confirmer la deuxième partie de la règle, nous pouvons utiliser les règles de multiplication des nombres avec différents signes.

Regardons quelques exemples.

Exemple 1

Considérons l'algorithme d'ouverture des parenthèses dans le produit de deux nombres négatifs - 4 3 5 et - 2 , de la forme (- 2) · - 4 3 5 . Pour ce faire, nous remplaçons l'expression originale par 2 · 4 3 5 . Développons les parenthèses et obtenons 2 · 4 3 5 .

Et si nous prenons le quotient des nombres négatifs (− 4) : (− 2) , alors l'enregistrement après ouverture des parenthèses ressemblera à 4 : 2

Au lieu de nombres négatifs − un et − b peut être toute expression précédée d'un signe moins qui n'est ni une somme ni une différence. Par exemple, il peut s'agir de produits, partiels, fractions, degrés, racines, logarithmes, fonctions trigonométriques etc.

Ouvrons les parenthèses dans l'expression - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Selon la règle, on peut faire les transformations suivantes : - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5 .

Expression (− 3) 2 peut être converti en l'expression (− 3 2) . Après cela, vous pouvez ouvrir les crochets : − 3 2.

2 3 - 4 5 = - 2 3 4 5 = - 2 3 4 5

La division des nombres avec des signes différents peut également nécessiter l'expansion préalable des parenthèses : (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 et 2 3 4 : (- 3 , 5) = - 2 3 4 : 3 , 5 = - 2 3 4 : 3 , 5 .

La règle peut être utilisée pour effectuer la multiplication et la division d'expressions avec des signes différents. Donnons deux exemples.

1 x + 1 : x - 3 = - 1 x + 1 : x - 3 = - 1 x + 1 : x - 3

péché (x) (- x 2) \u003d (- péché (x) x 2) \u003d - péché (x) x 2

Dans les produits de trois nombres ou plus

Passons au produit et aux quotients, qui contiennent grande quantité Nombres. Pour élargir les parenthèses, agira ici règle suivante. À nombre pair nombres négatifs, vous pouvez omettre les parenthèses, en remplaçant les nombres par leurs opposés. Après cela, vous devez placer l'expression résultante entre de nouvelles parenthèses. Pour un nombre impair de nombres négatifs, en omettant les parenthèses, remplacez les nombres par leurs opposés. Après cela, l'expression résultante doit être prise entre de nouvelles parenthèses et placée devant un signe moins.

Exemple 2

Par exemple, prenons l'expression 5 · (− 3) · (− 2) , qui est le produit de trois nombres. Il y a deux nombres négatifs, nous pouvons donc écrire l'expression comme (5 3 2) puis enfin ouvrez les parenthèses, obtenant l'expression 5 3 2 .

Dans le produit (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4 : (− 1 , 25) : (− 1) cinq nombres sont négatifs. donc (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4 : (− 1 , 25) : (− 1) = (− 2 . 5 3 : 2 4 : 1 , 25 : 1) . En ouvrant enfin les parenthèses, on obtient −2,5 3:2 4:1,25:1.

La règle ci-dessus peut être justifiée comme suit. Premièrement, nous pouvons réécrire ces expressions sous la forme d'un produit, en remplaçant la division par la multiplication par l'inverse. Nous représentons chaque nombre négatif comme le produit d'un multiplicateur et remplaçons - 1 ou - 1 par (− 1) un.

En utilisant la propriété commutative de la multiplication, nous échangeons les facteurs et transférons tous les facteurs égaux à − 1 , au début de l'expression. Le produit d'un nombre pair moins un est égal à 1 et un nombre impair est égal à − 1 , ce qui nous permet d'utiliser le signe moins.

Si nous n'utilisions pas la règle, alors la chaîne d'actions pour ouvrir les parenthèses dans l'expression - 2 3 : (- 2) 4 : - 6 7 ressemblerait à ceci :

2 3 : (- 2) 4 : - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) 7 6 = = (- 1) (- 1) (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6

La règle ci-dessus peut être utilisée lors du développement de parenthèses dans des expressions qui sont des produits et des quotients avec un signe moins qui ne sont ni des sommes ni des différences. Prenons par exemple l'expression

x 2 (- x) : (- 1 x) x - 3 : 2 .

Elle peut être réduite à une expression sans crochets x 2 · x : 1 x · x - 3 : 2 .

Parenthèses ouvrantes précédées d'un signe +

Considérons une règle qui peut être appliquée pour développer des crochets précédés d'un signe plus et dont le "contenu" n'est pas multiplié ou divisé par un nombre ou une expression.

Selon la règle, les crochets ainsi que le signe devant eux sont omis, tandis que les signes de tous les termes entre parenthèses sont conservés. S'il n'y a pas de signe devant le premier terme entre parenthèses, vous devez mettre un signe plus.

Exemple 3

Par exemple, on donne l'expression (12 − 3 , 5) − 7 . En omettant les parenthèses, on garde les signes des termes entre parenthèses et on met un signe plus devant le premier terme. L'entrée ressemblera à (12 − 3 , 5) − 7 = + 12 − 3 , 5 − 7 . Dans l'exemple ci-dessus, il n'est pas nécessaire de mettre un signe devant le premier terme, puisque + 12 - 3, 5 - 7 = 12 - 3, 5 - 7.

Exemple 4

Prenons un autre exemple. Prenez l'expression x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x et effectuez des actions avec x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x

Voici un autre exemple d'expansion des parenthèses :

Exemple 5

2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x2

Comment développer les parenthèses précédées d'un signe moins

Considérez les cas où il y a un signe moins devant les crochets et qui ne sont multipliés (ou divisés) par aucun nombre ou expression. Selon la règle d'expansion des parenthèses précédées du signe "-", les parenthèses avec le signe "-" sont omises, tandis que les signes de tous les termes à l'intérieur des parenthèses sont inversés.

Exemple 6

Par example:

1 2 \u003d 1 2, - 1 x + 1 \u003d - 1 x + 1, - (- x 2) \u003d x 2

Les expressions variables peuvent être converties en utilisant la même règle :

X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,

on obtient x - x 3 - 3 + 2 x 2 - 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2 .

Ouverture de parenthèses lors de la multiplication d'un nombre par une parenthèse, expressions par une parenthèse

Ici, nous examinerons les cas où il est nécessaire d'ouvrir des parenthèses qui sont multipliées ou divisées par un nombre ou une expression. Ici des formules de la forme (a 1 ± a 2 ± ... ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± ... ± a n b) ou b (une 1 ± une 2 ± … ± une n) = (b une 1 ± b une 2 ± … ± b une n), où une 1 , une 2 , … , une n et b sont des nombres ou des expressions.

Exemple 7

Par exemple, développons les crochets dans l'expression (3 - 7) 2. Selon la règle, nous pouvons faire les transformations suivantes : (3 − 7) 2 = (3 2 − 7 2) . On obtient 3 · 2 − 7 · 2 .

En développant les parenthèses dans l'expression 3 x 2 1 - x + 1 x + 2, nous obtenons 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.

Multiplier une parenthèse par une parenthèse

Considérons le produit de deux parenthèses de la forme (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Cela nous aidera à obtenir une règle pour élargir les parenthèses lors de la multiplication d'une parenthèse par une parenthèse.

Pour résoudre l'exemple ci-dessus, on note l'expression (b 1 + b 2) comme B. Cela nous permettra d'utiliser la règle de multiplication entre parenthèses. Nous obtenons (a 1 + a 2) (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) b = (a 1 b + a 2 b) = a 1 b + a 2 b . En faisant une substitution inverse b sur (b 1 + b 2), appliquez à nouveau la règle de multiplication de l'expression par la parenthèse : a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (une 1 b 1 + une 1 b 2) + (une 2 b 1 + une 2 b 2) = = une 1 b 1 + une 1 b 2 + une 2 b 1 + une 2 b 2

Grâce à un certain nombre d'astuces simples, nous pouvons arriver à la somme des produits de chacun des termes de la première parenthèse et de chacun des termes de la deuxième parenthèse. La règle peut être étendue à n'importe quel nombre de termes entre parenthèses.

Formulons les règles de multiplication de parenthèses par parenthèses : pour multiplier deux sommes entre elles, il faut multiplier chacun des termes de la première somme par chacun des termes de la seconde somme et additionner les résultats.

La formule ressemblera à :

(une 1 + une 2 + . . . + une m) (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = une 1 b 1 + une 1 b 2 + . . . + une 1 b n + + une 2 b 1 + une 2 b 2 + . . . + une 2 b n + + . . . + + une m b 1 + une m b 1 + . . . une m b n

Développons les parenthèses dans l'expression (1 + x) · (x 2 + x + 6) C'est un produit de deux sommes. Écrivons la solution : (1 + x) (x 2 + x + 6) = = (1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6) = = 1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6

Séparément, il vaut la peine de s'attarder sur les cas où il y a un signe moins entre parenthèses avec des signes plus. Par exemple, prenons l'expression (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .

Tout d'abord, nous représentons les expressions entre parenthèses sous forme de sommes : (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)). Maintenant, nous pouvons appliquer la règle : (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)) = = (1 3 x y + 1 (− 2 x y 3) + (− x) 3 x y + ( − x) (− 2 x y 3))

Développons les parenthèses : 1 3 x y − 1 2 x y 3 − x 3 x y + x 2 x y 3 .

Développement des parenthèses dans les produits de plusieurs parenthèses et expressions

S'il y a trois expressions ou plus entre parenthèses dans l'expression, il est nécessaire de développer les parenthèses de manière séquentielle. Il faut commencer la transformation par le fait que les deux premiers facteurs sont pris entre parenthèses. À l'intérieur de ces parenthèses, nous pouvons effectuer des transformations selon les règles décrites ci-dessus. Par exemple, les parenthèses dans l'expression (2 + 4) 3 (5 + 7 8) .

L'expression contient trois facteurs à la fois (2 + 4) , 3 et (5 + 7 8) . Nous développerons les parenthèses de manière séquentielle. Nous enfermons les deux premiers facteurs dans une autre parenthèse, que nous mettrons en rouge pour plus de clarté : (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).

Conformément à la règle de multiplication d'une parenthèse par un nombre, nous pouvons effectuer les actions suivantes : ((2 + 4) 3) (5 + 7 8) = (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) .

Multipliez tranche par tranche : (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .

Parenthèse en nature

Les degrés, dont les bases sont des expressions écrites entre parenthèses, avec des indicateurs naturels peuvent être considérés comme un produit de plusieurs parenthèses. De plus, selon les règles des deux paragraphes précédents, ils peuvent être écrits sans ces crochets.

Considérez le processus de transformation de l'expression (a + b + c) 2 . Il peut s'écrire comme un produit de deux parenthèses (une + b + c) (une + b + c). Nous multiplions parenthèse par parenthèse et obtenons a a + a b + a c + b a + b b + b c + c a + c b + c c .

Prenons un autre exemple :

Exemple 8

1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x 1 x + 1 x 2 1 x + 2 1 x 1 x + 2 2 1 x + 1 x 1 x 2 + + 1 x 2 2 + 2 1 x 2 + 2 2 2

Diviser une parenthèse par un nombre et une parenthèse par une parenthèse

Diviser une parenthèse par un nombre suggère que vous devez diviser par le nombre tous les termes entre parenthèses. Par exemple, (x 2 - x) : 4 = x 2 : 4 - x : 4 .

La division peut être précédemment remplacée par la multiplication, après quoi vous pouvez utiliser règle appropriée parenthèses ouvrantes dans une œuvre. La même règle s'applique lors de la division d'une parenthèse par une parenthèse.

Par exemple, nous devons ouvrir les parenthèses dans l'expression (x + 2) : 2 3 . Pour ce faire, remplacez d'abord la division en multipliant par l'inverse de (x + 2) : 2 3 = (x + 2) · 2 3 . Multipliez la parenthèse par le nombre (x + 2) 2 3 = x 2 3 + 2 2 3 .

Voici un autre exemple de division parenthèse :

Exemple 9

1 x + x + 1 : (x + 2) .

Remplaçons la division par la multiplication : 1 x + x + 1 1 x + 2 .

Faisons la multiplication : 1 x + x + 1 1 x + 2 = 1 x 1 x + 2 + x 1 x + 2 + 1 1 x + 2 .

Commande d'extension de support

Considérons maintenant l'ordre d'application des règles discutées ci-dessus dans les expressions vue générale, c'est à dire. dans les expressions qui contiennent des sommes avec des différences, des produits avec des quotients, des parenthèses en nature.

L'ordre des actions :

la première étape consiste à élever les parenthèses à une puissance naturelle ;
au deuxième stade, les parenthèses sont ouvertes en travaux et en privé ;
la dernière étape consiste à ouvrir les parenthèses dans les sommes et les différences.

Considérons l'ordre des actions en utilisant l'exemple de l'expression (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Transformons à partir des expressions 3 (− 2) : (− 4) et 6 (− 7) , qui devraient prendre la forme (3 2:4) et (− 6 7) . En substituant les résultats obtenus dans l'expression originale, on obtient : (− 5) + 3 (− 2) : (− 4) − 6 (− 7) = (− 5) + (3 2 : 4) − (− 6 7 ). Développez les parenthèses : − 5 + 3 2 : 4 + 6 7 .

Lorsqu'il s'agit d'expressions contenant des parenthèses entre parenthèses, il est pratique d'effectuer des transformations de l'intérieur vers l'extérieur.

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