Résolution d'exemples d'équations trigonométriques. Équations trigonométriques

Méthodes de résolution équations trigonométriques

Présentation 2

Méthodes de résolution d'équations trigonométriques 5

Algébrique 5

Résoudre des équations en utilisant la condition d'égalité des fonctions trigonométriques du même nom 7

Affacturage 8

Réduction à une équation homogène 10

Introduction de l'angle auxiliaire 11

Convertir le produit en somme 14

Substitution universelle 14

conclusion 17

Introduction

Jusqu'à la dixième année, l'ordre des actions de nombreux exercices menant à l'objectif est généralement défini sans ambiguïté. Par exemple, les équations et inégalités linéaires et quadratiques, équations fractionnaires et les équations réductibles aux quadratiques, etc. Sans analyser en détail le principe de résolution de chacun des exemples mentionnés, nous notons la chose générale qui est nécessaire pour leur solution réussie.

Dans la plupart des cas, vous devez déterminer le type de tâche, vous souvenir de la séquence d'actions menant à l'objectif et effectuer ces actions. Il est évident que le succès ou l'échec de l'étudiant dans la maîtrise des méthodes de résolution d'équations dépend principalement de sa capacité à déterminer correctement le type d'équation et à se souvenir de la séquence de toutes les étapes de sa résolution. Bien sûr, cela suppose que l'étudiant ait les compétences nécessaires pour effectuer transformations identiques et l'informatique.

Une situation complètement différente se produit lorsqu'un élève rencontre des équations trigonométriques. En même temps, il n'est pas difficile d'établir le fait que l'équation est trigonométrique. Des difficultés surgissent lorsqu'il s'agit de trouver une ligne de conduite qui conduirait à résultat positif. Et ici, l'étudiant est confronté à deux problèmes. Par apparence les équations sont difficiles à déterminer le type. Et sans connaître le type, il est quasiment impossible de choisir la formule souhaitée parmi plusieurs dizaines disponibles.

Pour aider les élèves à se repérer dans le labyrinthe complexe des équations trigonométriques, on leur présente d'abord les équations qui, après introduction d'une nouvelle variable, sont réduites au carré. Résolvez ensuite des équations homogènes et réduites à celles-ci. Tout se termine, en règle générale, par des équations, pour la solution desquelles il est nécessaire de factoriser le côté gauche, puis d'assimiler chacun des facteurs à zéro.

Comprenant que la douzaine et demie d'équations analysées dans les leçons ne suffisent manifestement pas à laisser l'élève naviguer de manière autonome sur la "mer" trigonométrique, l'enseignant ajoute quelques recommandations supplémentaires de sa part.

Pour résoudre l'équation trigonométrique, il faut essayer :

Amenez toutes les fonctions incluses dans l'équation aux "mêmes angles" ;

Amenez l'équation aux "mêmes fonctions" ;

Factoriser le côté gauche de l'équation, etc.

Mais, malgré la connaissance des principaux types d'équations trigonométriques et de plusieurs principes pour trouver leur solution, de nombreux élèves se retrouvent encore dans une impasse devant chaque équation qui diffère légèrement de celles qui ont été résolues auparavant. On ne sait toujours pas à quoi il faut tendre, ayant telle ou telle équation, pourquoi dans un cas il faut appliquer les formules double angle, dans une autre moitié et dans la troisième - formules d'addition, etc.

Définition 1. Une équation trigonométrique est une équation dans laquelle l'inconnue est contenue sous le signe des fonctions trigonométriques.

Définition 2. Une équation trigonométrique est dite avoir les mêmes angles si toutes les fonctions trigonométriques qu'elle contient ont les mêmes arguments. Une équation trigonométrique est dite avoir les mêmes fonctions si elle ne contient qu'une seule des fonctions trigonométriques.

Définition 3. Le degré d'un monôme contenant des fonctions trigonométriques est la somme des exposants des puissances des fonctions trigonométriques qui y sont incluses.

Définition 4. Une équation est dite homogène si tous ses monômes ont le même degré. Ce degré s'appelle l'ordre de l'équation.

Définition 5.Équation trigonométrique ne contenant que des fonctions péché et parce que, est appelé homogène si tous les monômes par rapport aux fonctions trigonométriques ont le même degré, et les fonctions trigonométriques elles-mêmes ont des angles égaux et le nombre de monômes est supérieur de 1 à l'ordre de l'équation.

Méthodes de résolution d'équations trigonométriques.

La solution des équations trigonométriques consiste en deux étapes : la transformation de l'équation pour obtenir sa forme la plus simple et la solution de l'équation trigonométrique la plus simple résultante. Il existe sept méthodes de base pour résoudre des équations trigonométriques.

je. méthode algébrique. Cette méthode est bien connue en algèbre. (Méthode de remplacement des variables et substitution).

Résoudre des équations.

1)

Introduisons la notation X=2 péché3 t, on a

En résolvant cette équation, on obtient :
ou

ceux. peut être écrit

Lors de l'écriture de la solution obtenue en raison de la présence de signes diplôme
cela ne sert à rien d'écrire.

Réponse:

Dénoter

On a équation quadratique
. Ses racines sont des nombres
et
. Par conséquent, cette équation se réduit aux équations trigonométriques les plus simples
et
. En les résolvant, on trouve que
ou
.

Réponse:
;
.

Dénoter

ne satisfait pas la condition

Moyens

Réponse:

Transformons le côté gauche de l'équation :

Ainsi, cette équation initiale peut s'écrire :

, c'est à dire.

Dénotant
, on a
En résolvant cette équation quadratique, on a :

ne satisfait pas la condition

Nous écrivons la solution de l'équation d'origine:

Réponse:

Substitution
réduit cette équation à une équation quadratique
. Ses racines sont des nombres
et
. Car
, alors équation donnée n'a pas de racines.

Réponse : pas de racines.

II. Solution d'équations utilisant la condition d'égalité des fonctions trigonométriques du même nom.

un)
, si

b)
, si

dans)
, si

En utilisant ces conditions, considérons la solution des équations suivantes :

6)

En utilisant ce qui a été dit au point a), on trouve que l'équation admet une solution si et seulement si
.

En résolvant cette équation, on trouve
.

Nous avons deux groupes de solutions :

.

7) Résolvez l'équation :
.

En utilisant la condition de la partie b), on en déduit que
.

En résolvant ces équations quadratiques, on obtient :

.

8) Résolvez l'équation
.

De cette équation on déduit que . En résolvant cette équation quadratique, on trouve que

.

III. Factorisation.

Nous considérons cette méthode avec des exemples.

9) Résolvez l'équation
.

La solution. Déplaçons tous les termes de l'équation vers la gauche : .

Nous transformons et factorisons l'expression du côté gauche de l'équation :
.

.

.

1)
2)

Car
et
ne pas prendre la valeur null

en même temps, puis on sépare les deux parties

équations pour
,

Réponse:

10) Résolvez l'équation :

La solution.

ou

Réponse:

11) Résolvez l'équation

La solution:

1)
2)
3)

,

Réponse:

IV. Réduction à une équation homogène.

Pour résoudre une équation homogène, il faut :

Déplacez tous ses membres vers le côté gauche ;

Mettez tous les facteurs communs entre parenthèses ;

Égalez tous les facteurs et toutes les parenthèses à zéro ;

Les parenthèses égales à zéro donnent une équation homogène de moindre degré, qu'il convient de diviser par
(ou
) dans le diplôme supérieur ;

Résolution reçue équation algébrique relativement
.

Prenons des exemples :

12) Résolvez l'équation :

La solution.

Diviser les deux côtés de l'équation par
,

Présentation de la notation
, Nom

les racines de cette équation sont :

d'ici 1)
2)

Réponse:

13) Résolvez l'équation :

La solution. En utilisant les formules du double angle et l'identité trigonométrique de base, nous réduisons cette équation à un demi-argument :

Après réduction des termes semblables, on a :

En divisant la dernière équation homogène par
, on a

je désignerai
, on obtient l'équation quadratique
, dont les racines sont des nombres

De cette façon

Expression
disparaît à
, c'est à dire. à
,
.

Notre solution à l'équation n'inclut pas ces nombres.

Réponse:
, .

V. Introduction d'un angle auxiliaire.

Considérons une équation de la forme

Où un, b, c- coefficients, X- inconnue.

Divisez les deux membres de cette équation par

Or les coefficients de l'équation ont les propriétés du sinus et du cosinus, à savoir : le module de chacun d'eux ne dépasse pas l'unité, et la somme de leurs carrés est égale à 1.

Ensuite, nous pouvons les étiqueter en conséquence
(ici - angle auxiliaire) et notre équation prend la forme : .

Alors

Et sa décision

Notez que la notation introduite est interchangeable.

14) Résolvez l'équation :

La solution. Ici
, nous divisons donc les deux côtés de l'équation par

Réponse:

15) Résolvez l'équation

La solution. Car
, alors cette équation est équivalente à l'équation

Car
, alors il existe un angle tel que
,
(ceux.
).

Nous avons

Car
, alors on obtient finalement :

.

Notez qu'une équation de la forme a une solution si et seulement si

16) Résolvez l'équation :

Pour résoudre cette équation, nous regroupons les fonctions trigonométriques avec les mêmes arguments

Diviser les deux membres de l'équation par deux

On transforme la somme des fonctions trigonométriques en un produit :

Réponse:

VI. Convertir le produit en somme.

Les formules correspondantes sont utilisées ici.

17) Résolvez l'équation :

La solution. Convertissons le côté gauche en une somme :

VII.Substitution universelle.

,

ces formules sont vraies pour tout

Substitution
dit universel.

18) Résolvez l'équation :

Solution : remplacez et
à leur expression à travers
et dénoter
.

On obtient une équation rationnelle
, qui est converti en carré
.

Les racines de cette équation sont les nombres
.

Par conséquent, le problème a été réduit à la résolution de deux équations
.

Nous trouvons que
.

Afficher la valeur
ne satisfait pas l'équation d'origine, qui est vérifiée en vérifiant - substitution valeur donnée tà l'équation d'origine.

Réponse:
.

Commentaire. L'équation 18 pourrait être résolue d'une manière différente.

Divisez les deux membres de cette équation par 5 (c'est-à-dire par
):
.

Car
, alors il existe un nombre
, Quel
et
. Donc l'équation devient :
ou
. De là, nous constatons que
où
.

19) Résolvez l'équation
.

La solution. Puisque les fonctions
et
ont valeur la plus élevéeégale à 1, alors leur somme est égale à 2 si
et
, en même temps, c'est-à-dire
.

Réponse:
.

Lors de la résolution de cette équation, la délimitation des fonctions et a été utilisée.

Conclusion.

Travaillant sur le thème « Solutions des équations trigonométriques », il est utile que chaque enseignant suive les recommandations suivantes :

Systématiser les méthodes de résolution des équations trigonométriques.

Choisissez vous-même les étapes pour effectuer l'analyse de l'équation et les signes de l'opportunité d'utiliser l'une ou l'autre méthode de résolution.

Réfléchir aux moyens de l'autocontrôle de l'activité lors de la mise en œuvre de la méthode.

Apprenez à faire "vos" équations pour chacune des méthodes étudiées.

Demande n° 1

Résoudre des équations homogènes ou réductibles.

1.	représentant
	représentant
	représentant
5.	représentant
	représentant
7.	représentant
	représentant

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Le concept de résolution d'équations trigonométriques.

• Pour résoudre une équation trigonométrique, convertissez-la en une ou plusieurs équations trigonométriques de base. Résoudre l'équation trigonométrique revient finalement à résoudre les quatre équations trigonométriques de base.

Solution des équations trigonométriques de base.

• Il existe 4 types d'équations trigonométriques de base :
• péché x = a ; cos x = a
• tg x = a ; ctg x = un
• Résoudre des équations trigonométriques de base implique de regarder les différentes positions x sur le cercle unitaire et d'utiliser une table de conversion (ou une calculatrice).
• Exemple 1. sin x = 0,866. En utilisant une table de conversion (ou une calculatrice), vous obtenez la réponse : x = π/3. Le cercle unité donne une autre réponse : 2π/3. Rappelez-vous : toutes les fonctions trigonométriques sont périodiques, c'est-à-dire que leurs valeurs sont répétées. Par exemple, la périodicité de sin x et cos x est 2πn, et la périodicité de tg x et ctg x est πn. Donc la réponse s'écrit comme ceci :
• x1 = π/3 + 2πn ; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Exemple 2 cos x = -1/2. En utilisant une table de conversion (ou une calculatrice), vous obtenez la réponse : x = 2π/3. Le cercle unité donne une autre réponse : -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π ; x2 = -2π/3 + 2π.
• Exemple 3. tg (x - π/4) = 0.
• Réponse : x \u003d π / 4 + πn.
• Exemple 4. ctg 2x = 1,732.
• Réponse : x \u003d π / 12 + πn.

Transformations utilisées dans la résolution d'équations trigonométriques.

• Pour transformer des équations trigonométriques, des transformations algébriques sont utilisées (factorisation, réduction membres homogènes etc) et identités trigonométriques.
• Exemple 5. En utilisant des identités trigonométriques, l'équation sin x + sin 2x + sin 3x = 0 est convertie en l'équation 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Ainsi, les équations trigonométriques de base suivantes à résoudre : cos x = 0 ; sin(3x/2) = 0 ; cos(x/2) = 0.

• Recherche d'angles par valeurs connues les fonctions.

  • Avant d'apprendre à résoudre des équations trigonométriques, vous devez apprendre à trouver des angles à partir de valeurs connues de fonctions. Cela peut être fait à l'aide d'une table de conversion ou d'une calculatrice.
  • Exemple : cosx = 0,732. La calculatrice donnera la réponse x = 42,95 degrés. Le cercle unitaire donnera des angles supplémentaires dont le cosinus est également égal à 0,732.

• Mettez de côté la solution sur le cercle unité.

  • Vous pouvez mettre des solutions à l'équation trigonométrique sur le cercle unitaire. Les solutions de l'équation trigonométrique sur le cercle unité sont les sommets d'un polygone régulier.
  • Exemple : Les solutions x = π/3 + πn/2 sur le cercle unité sont les sommets du carré.
  • Exemple : Les solutions x = π/4 + πn/3 sur le cercle unité sont les sommets d'un hexagone régulier.

• Méthodes de résolution d'équations trigonométriques.

  • Si une équation trigonométrique donnée ne contient qu'un seul fonction trigonométrique, résoudre cette équation comme une équation trigonométrique de base. Si une équation donnée comprend deux ou plusieurs fonctions trigonométriques, alors il existe 2 méthodes pour résoudre une telle équation (selon la possibilité de sa transformation).
    • Méthode 1
  • Transformez cette équation en une équation de la forme : f(x)*g(x)*h(x) = 0, où f(x), g(x), h(x) sont les équations trigonométriques de base.
  • Exemple 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • La solution. En utilisant la formule du double angle sin 2x = 2*sin x*cos x, remplacez sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Résolvez maintenant deux équations trigonométriques de base : cos x = 0 et (sin x + 1) = 0.
  • Exemple 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Solution : En utilisant des identités trigonométriques, transformez cette équation en une équation de la forme : cos 2x(2cos x + 1) = 0. Résolvez maintenant deux équations trigonométriques de base : cos 2x = 0 et (2cos x + 1) = 0.
  • Exemple 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • Solution : En utilisant des identités trigonométriques, transformez cette équation en une équation de la forme : -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Résolvez maintenant deux équations trigonométriques de base : cos 2x = 0 et (2sin x + 1) = 0.
    • Méthode 2
  • Convertir l'équation trigonométrique donnée en une équation contenant une seule fonction trigonométrique. Remplacez ensuite cette fonction trigonométrique par une inconnue, par exemple t (sin x = t ; cos x = t ; cos 2x = t, tg x = t ; tg (x/2) = t, etc.).
  • Exemple 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • La solution. À équation donnée remplacer (cos^2 x) par (1 - sin^2 x) (selon l'identité). L'équation transformée ressemble à :
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Remplacez sin x par t. Maintenant l'équation ressemble à : 5t^2 - 4t - 9 = 0. C'est une équation quadratique avec deux racines : t1 = -1 et t2 = 9/5. La deuxième racine t2 ne satisfait pas la plage de la fonction (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Exemple 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • La solution. Remplacez tg x par t. Réécrivez l'équation originale comme suit : (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Trouvez maintenant t puis trouvez x pour t = tg x.

Solution des équations trigonométriques les plus simples.

La résolution d'équations trigonométriques de tout niveau de complexité revient finalement à résoudre les équations trigonométriques les plus simples. Et en cela, le cercle trigonométrique s'avère à nouveau être la meilleure aide.

Rappel des définitions du cosinus et du sinus.

Le cosinus d'un angle est l'abscisse (c'est-à-dire la coordonnée le long de l'axe) d'un point sur le cercle unité correspondant à la rotation d'un angle donné.

Le sinus d'un angle est l'ordonnée (c'est-à-dire la coordonnée le long de l'axe) d'un point sur le cercle unitaire correspondant à la rotation d'un angle donné.

La direction positive du mouvement le long du cercle trigonométrique est considérée comme un mouvement dans le sens antihoraire. Une rotation de 0 degrés (ou 0 radians) correspond à un point de coordonnées (1 ; 0)

Nous utilisons ces définitions pour résoudre les équations trigonométriques les plus simples.

1. Résolvez l'équation

Cette équation est satisfaite par toutes ces valeurs de l'angle de rotation , qui correspondent aux points du cercle dont l'ordonnée est égale à .

Marquons un point d'ordonnée sur l'axe des ordonnées :

Dépensons ligne horizontale parallèle à l'axe des x jusqu'à son intersection avec le cercle. Nous obtiendrons deux points situés sur un cercle et ayant une ordonnée. Ces points correspondent aux angles de rotation de et radians :

Si nous, ayant quitté le point correspondant à l'angle de rotation par radian, faisons le tour d'un cercle complet, alors nous arriverons à un point correspondant à l'angle de rotation par radian et ayant la même ordonnée. Autrement dit, cet angle de rotation satisfait également notre équation. Nous pouvons faire autant de virages "à vide" que nous le souhaitons, en revenant au même point, et toutes ces valeurs d'angle satisferont notre équation. Le nombre de tours "à vide" est indiqué par la lettre (ou). Comme nous pouvons effectuer ces révolutions dans les sens positif et négatif, (ou ) peut prendre n'importe quelle valeur entière.

Autrement dit, la première série de solutions à l'équation d'origine a la forme :

, , - ensemble d'entiers (1)

De même, la deuxième série de solutions a la forme :

, où , . (2)

Comme vous l'avez deviné, cette série de solutions est basée sur le point du cercle correspondant à l'angle de rotation par .

Ces deux séries de solutions peuvent être combinées en une seule entrée :

Si nous prenons cette entrée (c'est-à-dire paire), nous obtiendrons la première série de solutions.

Si nous prenons cette entrée (c'est-à-dire impaire), nous obtiendrons la deuxième série de solutions.

2. Résolvons maintenant l'équation

Puisque est l'abscisse du point du cercle unité obtenu en faisant tourner l'angle , on marque sur l'axe un point d'abscisse :

Tracez une ligne verticale parallèle à l'axe jusqu'à ce qu'elle croise le cercle. On obtiendra deux points situés sur un cercle et ayant une abscisse. Ces points correspondent aux angles de rotation de et radians. Rappelons qu'en se déplaçant dans le sens des aiguilles d'une montre, on obtient un angle de rotation négatif :

On note deux séries de solutions :

,

,

(Nous tombons dans point désiré, partant du cercle complet principal, c'est-à-dire .

Combinons ces deux séries en un seul article :

3. Résolvez l'équation

La droite des tangentes passe par le point de coordonnées (1,0) du cercle unité parallèle à l'axe OY

Marquez-y un point d'ordonnée égale à 1 (on cherche la tangente dont les angles valent 1) :

Reliez ce point à l'origine par une ligne droite et marquez les points d'intersection de la ligne avec le cercle unité. Les points d'intersection de la droite et du cercle correspondent aux angles de rotation sur et :

Puisque les points correspondant aux angles de rotation qui satisfont notre équation sont distants de radians, nous pouvons écrire la solution comme suit :

4. Résolvez l'équation

La droite des cotangentes passe par le point dont les coordonnées du cercle unitaire sont parallèles à l'axe.

On marque un point d'abscisse -1 sur la droite des cotangentes :

Connectez ce point à l'origine de la ligne droite et continuez jusqu'à ce qu'il croise le cercle. Cette ligne coupera le cercle aux points correspondant aux angles de rotation de et radians :

Puisque ces points sont séparés les uns des autres par une distance égale à , alors décision commune Nous pouvons écrire cette équation comme suit :

Dans les exemples donnés, illustrant la solution des équations trigonométriques les plus simples, des valeurs tabulaires de fonctions trigonométriques ont été utilisées.

Cependant, s'il y a une valeur non tabulaire du côté droit de l'équation, alors nous remplaçons la valeur dans la solution générale de l'équation :

SOLUTIONS SPÉCIALES :

Marquez des points sur le cercle dont l'ordonnée est 0 :

Marquez un seul point sur le cercle dont l'ordonnée est égale à 1 :

Marquez un seul point sur le cercle dont l'ordonnée est égale à -1 :

Puisqu'il est d'usage d'indiquer les valeurs les plus proches de zéro, on écrit la solution comme suit :

Marquez les points sur le cercle dont l'abscisse est 0 :

5.
Marquons un seul point sur le cercle dont l'abscisse est égale à 1 :

Marquez un seul point sur le cercle dont l'abscisse est égale à -1 :

Et quelques exemples plus complexes :

1.

Sinus égal à un si l'argument est

L'argument de notre sinus est , donc on obtient :

Divisez les deux membres de l'équation par 3 :

Réponse:

2.

Cosinus zéro si l'argument du cosinus est

L'argument de notre cosinus est , donc on obtient :

Nous exprimons , pour cela nous nous déplaçons d'abord vers la droite avec le signe opposé :

Simplifiez le côté droit :

Divisez les deux parties par -2 :

Notez que le signe avant le terme ne change pas, car k peut prendre n'importe quelle valeur entière.

Réponse:

Et en conclusion, regardez le tutoriel vidéo "Sélection de racines dans une équation trigonométrique à l'aide d'un cercle trigonométrique"

Ceci conclut la conversation sur la résolution des équations trigonométriques les plus simples. La prochaine fois nous parlerons de la façon de résoudre.