Le degré est une fraction simple. Elever une fraction algébrique à une puissance : règle, exemples

La leçon considérera une version plus généralisée de la multiplication des fractions - c'est l'exponentiation. Tout d'abord, nous parlerons du degré naturel de la fraction et d'exemples qui démontrent des actions similaires avec des fractions. Au début de la leçon, également, nous répéterons l'élévation à une puissance naturelle des expressions entières et verrons comment cela est utile pour résoudre d'autres exemples.

Sujet : Fractions algébriques. Opérations arithmétiques sur les fractions algébriques

Leçon : Construction fraction algébriqueà un degré

1. Règles pour élever des fractions et des expressions entières à des puissances naturelles avec des exemples élémentaires

La règle pour élever des fractions ordinaires et algébriques à des puissances naturelles :

Vous pouvez faire une analogie avec le degré d'une expression entière et vous rappeler ce que signifie l'élever à une puissance :

Exemple 1 .

Comme vous pouvez le voir dans l'exemple, élever une fraction à une puissance est cas particulier multiplication de fractions, qui a été étudiée dans la leçon précédente.

Exemple 2. a), b) - moins s'en va, car nous avons élevé l'expression à une puissance paire.

Pour la commodité de travailler avec des degrés, nous rappelons les règles de base pour élever à une puissance naturelle :

- produit de degrés ;

- division des diplômes;

Élever un degré à une puissance;

Le degré du travail.

Exemple 3. - cela nous est connu depuis le sujet "Elever à la puissance des expressions entières", sauf un cas : il n'existe pas.

2. Les exemples les plus simples pour élever des fractions algébriques à des puissances naturelles

Exemple 4. Elever une fraction à une puissance.

Décision. Lorsqu'il est élevé à une puissance paire, moins s'en va :

Exemple 5. Élever une fraction à une puissance.

Décision. Maintenant, nous utilisons les règles pour élever un degré à une puissance immédiatement sans calendrier séparé :

Considérons maintenant les tâches combinées dans lesquelles nous devrons élever des fractions à une puissance, les multiplier et les diviser.

Exemple 6 : Effectuer des actions.

Décision. . Ensuite, vous devez faire une réduction. Nous décrirons une fois en détail comment nous allons procéder, puis nous indiquerons immédiatement le résultat par analogie :. De même (ou selon la règle de division des degrés). Nous avons: .

Exemple 7 : Effectuer des actions.

Décision. . La réduction s'effectue par analogie avec l'exemple évoqué précédemment.

Exemple 8 : Effectuer des actions.

Décision. . À cet exemple nous avons de nouveau décrit plus en détail le processus de réduction des puissances en fractions afin de consolider cette méthode.

3. Exemples plus complexes pour élever des fractions algébriques à des puissances naturelles (en tenant compte des signes et avec des termes entre parenthèses)

Exemple 9 : Effectuer des actions .

Décision. Dans cet exemple, nous allons déjà ignorer la multiplication séparée des fractions et utiliser immédiatement la règle pour leur multiplication et l'écrire sous un dénominateur. En même temps, nous suivons les signes - dans ce cas, les fractions sont élevées à des puissances paires, donc les moins disparaissent. Faisons une réduction à la fin.

Exemple 10 : Effectuer des actions .

Décision. Dans cet exemple, il y a une division de fractions, rappelons que dans ce cas la première fraction est multipliée par la seconde, mais inversée.

L'exponentiation est une opération étroitement liée à la multiplication, cette opération est le résultat de la multiplication multiple d'un nombre par lui-même. Représentons la formule : a1 * a2 * ... * an = an.

Par exemple, a=2, n=3 : 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

En général, l'exponentiation est souvent utilisée dans diverses formules en mathématiques et en physique. Cette fonction a un but plus scientifique que les quatre fonctions de base : Addition, Soustraction, Multiplication, Division.

Élever un nombre à une puissance

Élever un nombre à une puissance n'est pas une opération difficile. Il est lié à la multiplication comme la relation entre la multiplication et l'addition. Enregistrez un - un court enregistrement du n-ième nombre de nombres "a" multipliés les uns par les autres.

Considérez l'exponentiation au maximum exemples simples passer aux plus complexes.

Par exemple, 42. 42 = 4 * 4 = 16 . Quatre au carré (à la deuxième puissance) égale seize. Si vous ne comprenez pas la multiplication 4*4, alors lisez notre article sur la multiplication.

Prenons un autre exemple : 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Cinq au cube (à la puissance trois) égale cent vingt-cinq.

Autre exemple : 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Neuf au cube est égal à sept cent vingt-neuf.

Formules d'exponentiation

Pour élever correctement à une puissance, vous devez vous souvenir et connaître les formules ci-dessous. Il n'y a rien d'au-delà de naturel là-dedans, l'essentiel est de comprendre l'essence et non seulement on s'en souviendra, mais cela semblera aussi facile.

Élever un monôme à une puissance

Qu'est-ce qu'un monôme ? C'est le produit de nombres et de variables dans n'importe quelle quantité. Par exemple, deux est un monôme. Et cet article porte sur l'élévation de ces monômes à une puissance.

En utilisant des formules d'exponentiation, il ne sera pas difficile de calculer l'exponentiation d'un monôme à une puissance.

Par example, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Si vous élevez un monôme à une puissance, alors chaque composant du monôme est élevé à une puissance.

Lorsque vous élevez une variable qui a déjà un degré à une puissance, les degrés sont multipliés. Par exemple, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Élever à une puissance négative

Un exposant négatif est l'inverse d'un nombre. Qu'est-ce qu'une réciproque ? Pour tout nombre X, l'inverse est 1/X. Soit X-1=1/X. C'est l'essence du degré négatif.

Prenons l'exemple (3Y)^-3 :

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Pourquoi donc? Puisqu'il y a un moins dans le degré, nous transférons simplement cette expression au dénominateur, puis l'élevons à la troisième puissance. Juste à droite?

Élever à une puissance fractionnaire

Commençons la discussion sur exemple spécifique. 43/2. Que signifie puissance 3/2 ? 3 - numérateur, signifie élever un nombre (dans ce cas 4) à un cube. Le nombre 2 est le dénominateur, c'est l'extraction de la deuxième racine du nombre (dans ce cas 4).

Ensuite, nous obtenons la racine carrée de 43 = 2^3 = 8 . Réponse : 8.

Ainsi, le dénominateur d'un degré fractionnaire peut être 3 ou 4, et à l'infini n'importe quel nombre, et ce nombre détermine le degré racine carrée extrait de numéro donné. Bien sûr, le dénominateur ne peut pas être nul.

Élever une racine à une puissance

Si la racine est élevée à une puissance égale à la puissance de la racine elle-même, alors la réponse est l'expression radicale. Par exemple, (√x)2 = x. Et ainsi dans tous les cas d'égalité du degré de la racine et du degré d'élévation de la racine.

Si (√x)^4. Alors (√x)^4=x^2. Pour vérifier la solution, nous traduisons l'expression en une expression avec un degré fractionnaire. Puisque la racine est carrée, le dénominateur est 2. Et si la racine est élevée à la puissance quatre, alors le numérateur est 4. Nous obtenons 4/2=2. Réponse : x = 2.

En tous cas la meilleure voie il suffit de convertir l'expression en une expression avec une puissance fractionnaire. Si la fraction n'est pas réduite, alors une telle réponse le sera, à condition que la racine du nombre donné ne soit pas attribuée.

Exponentation d'un nombre complexe

Qu'est-ce qu'un nombre complexe ? Un nombre complexe est une expression qui a la formule a + b * i ; a, b sont des nombres réels. i est le nombre qui, mis au carré, donne le nombre -1.

Prenons un exemple. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

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Exponentiation en ligne

A l'aide de notre calculateur, vous pouvez calculer l'exponentiation d'un nombre à une puissance :

Exponentation 7e année

L'élévation au pouvoir ne commence à passer les écoliers qu'en septième année.

Par example, a=2, n=3 : 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Exemples de solutions :

Présentation de l'exponentiation

Présentation sur l'exponentiation, conçue pour les élèves de septième année. La présentation peut clarifier certains points incompréhensibles, mais il n'y aura probablement pas de tels points grâce à notre article.

Résultat

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Instruction

Si dans la source, il est donné sous le format d'une fraction ordinaire, l'opération doit être effectuée en deux étapes. Leur séquence n'affectera en rien le résultat - commencez, par exemple, par extraire du nombre de la racine du degré indiqué au dénominateur de la fraction. Par exemple, pour élever à diplôme⅔ le nombre 64 à cette étape doit en être extrait : 64^⅔ = (³√64)² = 4².

Augmentez la valeur obtenue à la première étape pour diplômeégal au nombre au numérateur de la fraction. Le résultat de cette opération sera le résultat de l'élévation du nombre à une fraction diplôme. Pour l'exemple de l'étape précédente, l'ensemble du processus de calcul peut être écrit comme suit : 64^⅔ = (³√64)² = 4² = 16.

Partez de la simplicité des calculs pour déterminer la séquence des opérations décrites ci-dessus, en extrayant la racine et en élevant à diplôme. Par exemple, s'il était requis dans le même diplôme⅔ pour élever le nombre 8, puis commencer par prendre la racine cubique du huit serait , puisque le résultat serait une fraction . Dans ce cas, mieux vaut commencer par 8 au carré, puis prendre la troisième racine de 64 et ainsi éviter les valeurs intermédiaires fractionnaires : 8^⅔ = ³√(8²) = ³√64 = 4.

Si l'exposant dans les données source est donné au format décimal, commencez par le convertir en une fraction ordinaire, puis suivez l'algorithme décrit ci-dessus. Par exemple, pour élever un nombre à diplôme 0,75 transforme ce chiffre en une fraction ordinaire ¾, puis extrait la quatrième racine et élève le résultat à un cube.

Utilisez any si le cours des calculs n'a pas d'importance, mais seul le résultat est important. Il peut également s'agir d'un script intégré dans Moteur de recherche Google- avec son aide Valeur souhaitée encore plus facile que d'utiliser la calculatrice Windows standard. Par exemple, pour élever le nombre 15 à diplôme⅗ aller à page d'accueil site et entrez 15^(3/5) dans le champ de requête de recherche. Google affichera le résultat des calculs avec une précision allant jusqu'à 8 caractères même sans appuyer sur le bouton d'envoi de la demande : 15 ^ (3/5) = 5,07755639.

Sources:

comment élever à une puissance fractionnaire

Diplôme Nombres triés à l'école dans les cours d'algèbre. Dans la vie, une telle opération est rarement pratiquée. Par exemple, lors du calcul de l'aire d'un carré ou du volume d'un cube, des exposants sont utilisés, car la longueur, la largeur et pour un cube et la hauteur sont des valeurs égales. Sinon, l'exponentiation est le plus souvent de nature industrielle appliquée.

Tu auras besoin de

Papier, stylo, calculatrice d'ingénierie, tables de degrés, produits logiciels (par exemple, un éditeur de feuille de calcul Excel).

Instruction

Lorsque vous travaillez avec un nombre négatif, vous devez faire attention aux signes. Il ne faut pas oublier qu'un degré pair (n) donnera un signe plus, un impair - un signe.
par exemple
(-7)^2 = (-7)*(-7) = 49
(-7)^3 = (-7)*(-7)*(-7) = 343

Zéro degré (n = 0) de tout Nombres sera toujours égal à un.
15^0 = 1
(-6)^0 = 1
(1/3)^0 = 1 Si n = 1, le nombre n'a pas besoin d'être multiplié par lui-même.
Sera
7^1 = 7
329^1 = 329

Si n = 2, alors le degré est un carré, si n = 3, le degré s'appelle un cube. Calculer le carré et le cube à partir des nombres des dix premiers est assez facile à faire. Mais avec une augmentation Nombresélevé à une puissance, et à mesure que la puissance elle-même augmente, les calculs deviennent laborieux. Pour de tels calculs, des tableaux spéciaux ont été développés. Il existe également des calculateurs spéciaux d'ingénierie et en ligne, des produits logiciels. En tant que logiciel le plus simple pour les opérations avec, vous pouvez utiliser l'éditeur de tableur Excel.

Sources:

http://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg17.html

Lors de la résolution de certains problèmes techniques, il peut être nécessaire de calculer racine troisième diplôme. Parfois, ce nombre est aussi appelé la racine cubique. racine troisième diplômeà partir d'un nombre donné, un tel nombre est appelé, dont le cube (troisième degré) est égal à celui donné. C'est-à-dire que si y racine troisième diplôme nombres x, alors la condition suivante doit être satisfaite : y?=x (x est égal à y cube).

Tu auras besoin de

calculatrice ou ordinateur

Instruction

Compter racine diplôme utiliser la calculatrice. Il est souhaitable que ce ne soit pas une calculatrice ordinaire, mais une calculatrice utilisée pour les calculs d'ingénierie. Cependant, même sur celui-ci, vous ne trouverez pas de bouton spécial pour extraire la racine. troisième diplôme. Utilisez donc une fonction pour élever un nombre à une puissance. Extraire la racine troisième diplôme correspond à élever à la puissance 1/3 (un tiers).

Pour élever un nombre à la puissance 1/3, tapez le nombre lui-même sur le clavier de la calculatrice. Appuyez ensuite sur la touche "exponentiation". Un tel bouton, selon le type de calculatrice, peut ressembler à xy (y - sous la forme d'un exposant). Étant donné que la plupart des calculatrices n'ont pas la capacité de travailler avec des nombres ordinaires (non décimaux), au lieu du nombre 1/3, tapez sa valeur approximative : 0,33. Pour obtenir une plus grande précision des calculs, il est nécessaire d'augmenter le nombre de "triples", par exemple, composez 0.33333333333333. Ensuite, appuyez sur le bouton "=".

Compter racine troisième diplôme sur , utilisez la calculatrice Windows standard. La procédure est tout à fait similaire à celle décrite dans le paragraphe précédent de l'instruction. La seule chose est les boutons d'exponentiation. Sur une calculatrice "informatique", cela ressemble à x ^ y.

Si un racine troisième diplôme Si vous devez le faire systématiquement, utilisez MS Excel. Compter racine troisième diplôme dans Excel, entrez le signe "=" dans n'importe quelle cellule, puis sélectionnez "fx" - insérez une fonction. Dans la fenêtre qui apparaît, dans la liste « Sélectionner une fonction », sélectionnez la ligne « DEGRÉ ». Cliquez sur le bouton OK. Dans la fenêtre qui vient d'apparaître, entrez dans la ligne "Nombre" la valeur du nombre dont vous souhaitez extraire racine. Dans la ligne "Diplôme", entrez le nombre "1/3" et cliquez sur "OK". La valeur souhaitée de la racine cubique à partir du nombre d'origine apparaîtra dans le tableau.

Dans les calculs techniques et dans la résolution de nombreux problèmes, il est parfois nécessaire racine, c'est-à-dire trouver un nombre dont le cube est égal à celui d'origine. Une calculatrice d'ingénierie suffit pour calculer la valeur de la racine cubique. Cependant, même sur une telle calculatrice, il n'y a pas de clé spéciale pour calculer la racine cubique. Mais en utilisant quelques astuces simples, vous pouvez vous passer d'un tel bouton.

Tu auras besoin de

calculatrice d'ingénierie ou ordinateur

Instruction

Pour trouver la racine cubique à l'aide d'une calculatrice, prenez le numéro d'ingénierie et tapez le numéro d'origine dessus. Ensuite, cliquez sur le bouton d'exponentiation. Entrez maintenant la valeur de l'indicateur. Dans ce cas, il devrait (théoriquement) être égal à 1/3. Mais, comme l'utilisation de fractions ordinaires même sur une calculatrice d'ingénierie est difficile, composez la valeur arrondie du nombre 1/3, c'est-à-dire: 0,33. Cliquez ensuite sur le bouton "=". La valeur désirée apparaîtra sur l'indicateur de la calculatrice. En avoir plus valeur exacte, composez non pas deux triples, mais, par exemple, 0,333333333333.

Pour calculer la racine cubique sur un ordinateur, exécutez le programme de la calculatrice. Si l'icône correspondante n'est pas sur le bureau, procédez comme suit :
- appuyez sur le bouton "Démarrer" ;
- sélectionnez l'élément de menu "Exécuter" ;
- entrez la ligne "calc" dans la fenêtre qui apparaît. Si la calculatrice qui apparaît sur le bureau a un aspect normal (ressemblant à une "calculatrice comptable"), passez-la en mode calcul. Pour ce faire, sélectionnez la ligne « Affichage » et sélectionnez l'élément « Ingénierie ». Entrez maintenant le nombre à partir duquel vous voulez extraire la racine cubique. Appuyez ensuite sur le bouton "x^y" de la calculatrice. Composez ensuite , par exemple 0.33. Pour obtenir un résultat plus précis, vous pouvez saisir une valeur plus élevée de l'exposant, par exemple 0,333333333333. Pour obtenir un résultat précis, entrez l'exposant "1/3" entre parenthèses. Autrement dit, appuyez sur les touches "(1/3)" dans l'ordre.

Calcul sous Excel. Exécutez le programme lui-même, appuyez sur le bouton "=" et sélectionnez la fonction "DEGRE". Entrez ensuite le nombre dont vous voulez extraire la racine du degré. Ensuite, dans la fenêtre suivante qui apparaît, tapez la fraction "1/3" et cliquez sur le bouton "OK".

Vidéos connexes

Sources:

comment calculer racines cubiques

Lors de la résolution de problèmes arithmétiques et algébriques, il est parfois nécessaire de construire fraction dans carré. La façon la plus simple de le faire est lorsque fraction décimal - une calculatrice ordinaire suffit. Toutefois, si fraction ordinaire ou mixte, puis en élevant un tel nombre à carré certaines difficultés peuvent survenir.

Nous avons compris ce qu'est le degré d'un nombre en général. Maintenant, nous devons comprendre comment le calculer correctement, c'est-à-dire élever les nombres aux puissances. Dans ce matériel, nous analyserons les règles de base pour calculer le degré dans le cas d'un exposant entier, naturel, fractionnaire, rationnel et irrationnel. Toutes les définitions seront illustrées par des exemples.

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Le concept d'exponentiation

Commençons par la formulation des définitions de base.

Définition 1

Exponentiation est le calcul de la valeur de la puissance d'un certain nombre.

C'est-à-dire que les mots "calcul de la valeur du degré" et "exponentiation" signifient la même chose. Ainsi, si la tâche est "Élever le nombre 0 , 5 à la puissance cinq", cela doit être compris comme "calculer la valeur de la puissance (0 , 5) 5 .

Nous donnons maintenant les règles de base qui doivent être suivies dans de tels calculs.

Rappelez-vous ce qu'est une puissance d'un nombre avec un exposant naturel. Pour une puissance de base a et d'exposant n, ce sera le produit du nième nombre de facteurs, dont chacun est égal à a. Cela peut être écrit comme ceci :

Pour calculer la valeur du degré, vous devez effectuer l'opération de multiplication, c'est-à-dire multiplier les bases du degré le nombre de fois spécifié. Le concept même d'un diplôme avec un indicateur naturel est basé sur la capacité à se multiplier rapidement. Donnons des exemples.

Exemple 1

Condition : Relancez - 2 à la puissance 4 .

Décision

En utilisant la définition ci-dessus, on écrit : (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Ensuite, nous avons juste besoin de suivre ces étapes et d'obtenir 16 .

Prenons un exemple plus compliqué.

Exemple 2

Calculer la valeur 3 2 7 2

Décision

Cette entrée peut être réécrite sous la forme 3 2 7 · 3 2 7 . Plus tôt, nous avons vu comment multiplier correctement les nombres mixtes mentionnés dans la condition.

Effectuez ces étapes et obtenez la réponse : 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Si la tâche indique la nécessité d'élever des nombres irrationnels à une puissance naturelle, nous devrons d'abord arrondir leurs bases à un chiffre qui nous permettra d'obtenir une réponse de la précision souhaitée. Prenons un exemple.

Exemple 3

Effectuez la quadrature du nombre π .

Décision

Commençons par arrondir au centième supérieur. Alors π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Si π ≈ 3 . 14159, alors nous obtiendrons un résultat plus précis : π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Notez que la nécessité de calculer les puissances des nombres irrationnels dans la pratique se pose relativement rarement. On peut alors écrire la réponse sous la forme de la puissance elle-même (ln 6) 3 ou convertir si possible : 5 7 = 125 5 .

Séparément, il convient d'indiquer quelle est la première puissance d'un nombre. Ici, vous pouvez simplement vous rappeler que tout nombre élevé à la première puissance restera lui-même :

Cela ressort clairement du dossier. .

Cela ne dépend pas de la base du diplôme.

Exemple 4

Ainsi, (− 9) 1 = − 9 , et 7 3 élevé à la première puissance reste égal à 7 3 .

Par commodité, nous analyserons séparément trois cas : si l'exposant est un entier positif, s'il est nul et s'il est un entier négatif.

Dans le premier cas, cela revient à élever à une puissance naturelle : après tout, les entiers positifs appartiennent à l'ensemble des nombres naturels. Nous avons déjà décrit comment travailler avec de tels diplômes ci-dessus.

Voyons maintenant comment monter correctement à la puissance zéro. Avec une base non nulle, ce calcul produit toujours une sortie de 1 . Nous avons expliqué précédemment que la puissance 0 de a peut être définie pour tout nombre réel, non égal à 0 , et a 0 = 1 .

Exemple 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - non défini.

Il ne nous reste plus que le cas d'un degré avec un exposant entier négatif. Nous avons déjà expliqué que ces degrés peuvent être écrits sous la forme d'une fraction 1 a z, où a est un nombre quelconque et z est un entier négatif. Nous voyons que le dénominateur de cette fraction n'est rien de plus qu'un degré ordinaire avec un entier positif, et nous avons déjà appris à le calculer. Donnons des exemples de tâches.

Exemple 6

Élevez 3 à la puissance -2.

Décision

En utilisant la définition ci-dessus, on écrit : 2 - 3 = 1 2 3

Nous calculons le dénominateur de cette fraction et obtenons 8 : 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Alors la réponse est : 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Exemple 7

Élevez 1, 43 à la puissance -2.

Décision

Reformuler : 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

On calcule le carré au dénominateur : 1,43 1,43. Les décimales peuvent être multipliées de cette façon :

En conséquence, nous avons obtenu (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Il nous reste à écrire ce résultat sous la forme d'une fraction ordinaire, pour laquelle il faut le multiplier par 10 mille (voir le matériel sur la conversion des fractions).

Réponse : (1, 43) - 2 = 10000 20449

Un cas distinct élève un nombre à la première puissance moins. La valeur d'un tel degré est égale au nombre opposé à la valeur d'origine de la base: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Exemple 8

Exemple : 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Comment élever un nombre à une puissance fractionnaire

Pour effectuer une telle opération, nous devons rappeler la définition de base d'un degré avec un exposant fractionnaire: a m n \u003d a m n pour tout a positif, entier m et n naturel.

Définition 2

Ainsi, le calcul d'un degré fractionnaire doit être effectué en deux étapes : élever à une puissance entière et trouver la racine du nième degré.

Nous avons l'égalité a m n = a m n , qui, compte tenu des propriétés des racines, est généralement utilisée pour résoudre des problèmes sous la forme a m n = a n m . Cela signifie que si nous élevons le nombre a à une puissance fractionnaire m / n, alors nous extrayons d'abord la racine du nième degré de a, puis nous élevons le résultat à une puissance avec un exposant entier m.

Illustrons par un exemple.

Exemple 9

Calculez 8 - 2 3 .

Décision

Méthode 1. Selon la définition de base, nous pouvons représenter cela comme suit : 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Calculons maintenant le degré sous la racine et extrayons la troisième racine du résultat : 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Méthode 2. Transformons l'égalité de base: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Après cela, nous extrayons la racine 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 et mettons le résultat au carré : 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

On voit que les solutions sont identiques. Vous pouvez utiliser comme vous le souhaitez.

Il existe des cas où le degré a un indicateur exprimé sous la forme d'un nombre fractionnaire ou d'une fraction décimale. Pour faciliter le calcul, il est préférable de le remplacer par une fraction ordinaire et de compter comme indiqué ci-dessus.

Exemple 10

Élevez 44,89 à la puissance de 2,5.

Décision

Convertissons la valeur de l'indicateur en une fraction ordinaire - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Et maintenant nous effectuons toutes les actions indiquées ci-dessus dans l'ordre : 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

Réponse : 13501, 25107.

Si le numérateur et le dénominateur d'un exposant fractionnaire sont gros chiffres, alors le calcul de telles puissances avec indicateurs rationnels- travail assez difficile. Cela nécessite généralement une technologie informatique.

Séparément, nous nous attardons sur le degré avec une base nulle et un exposant fractionnaire. Une expression de la forme 0 m n peut avoir la signification suivante : si m n > 0, alors 0 m n = 0 m n = 0 ; si m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Comment élever un nombre à une puissance irrationnelle

La nécessité de calculer la valeur du degré, dans l'indicateur duquel il y a un nombre irrationnel, ne se pose pas si souvent. En pratique, la tâche se limite généralement à calculer une valeur approchée (jusqu'à un certain nombre de décimales). Ceci est généralement calculé sur un ordinateur en raison de la complexité de tels calculs, nous ne nous attarderons donc pas sur cela en détail, nous indiquerons uniquement les principales dispositions.

Si nous devons calculer la valeur du degré a avec un exposant irrationnel a , nous prenons l'approximation décimale de l'exposant et comptons à partir de celui-ci. Le résultat sera une réponse approximative. Plus l'approximation décimale prise est précise, plus la réponse est précise. Montrons avec un exemple :

Exemple 11

Calculez une valeur approximative de 21 , 174367 ....

Décision

Nous nous limitons à l'approximation décimale a n = 1 , 17 . Faisons les calculs en utilisant ce nombre : 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Si nous prenons, par exemple, l'approximation a n = 1 , 1743 , alors la réponse sera un peu plus précise : 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833 .

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Tu auras besoin de

calculatrice, ordinateur, application excel.

Instruction

Pour élever un nombre décimal fraction dans carré, prenez-en un d'ingénierie, composez-le sur le fait qu'il est intégré carré fraction et appuyez sur la touche d'exponentiation. Sur la plupart des calculatrices, ce bouton est étiqueté "x²". Sur une calculatrice Windows standard, l'élévation à carré ressemble à "x^2". Par example, carré la fraction décimale 3,14 sera égale à : 3,14² = 9,8596.

Pour élever à carré décimal fraction sur une calculatrice (comptable) ordinaire, multipliez ce nombre par lui-même. Soit dit en passant, dans certains modèles de calculatrices, il est possible d'augmenter un nombre à carré même s'il n'y a pas de bouton dédié. Par conséquent, lisez d'abord les instructions d'une calculatrice spécifique. Parfois, des exponentiations « délicates » sont données sur la couverture arrière ou sur la calculatrice. Par exemple, sur de nombreuses calculatrices pour élever un nombre à carré appuyez simplement sur les boutons "x" et "=".

Pour l'érection en carré fraction ordinaire (constituée du numérateur et du dénominateur), élever à carré séparément le numérateur et le dénominateur de cette fraction. Autrement dit, utilisez la règle suivante : (h / z)² = h² / z², où h est le numérateur de la fraction, z est le dénominateur de la fraction. Exemple : (3/4)² = 3² / 4² = 9 /16.

Si érigé en carré fraction- mixte (composé d'une partie entière et d'une fraction ordinaire), puis amenez-le d'abord à aspect ordinaire. Autrement dit, appliquez la formule suivante: (ts h / s)² \u003d ((ts * s + h) / s) ² \u003d (ts * s + h) ² / s², où ts est la partie entière du fraction mixte Exemple : (3 2/5)² = ((3*5+2) / 5)² = (3*5+2)² / 5² = 17² / 5² = 289/25 = 11 14/25.

Si dans carré(pas) les fractions sont constantes, alors utilisez MS Excel. Pour ce faire, entrez la formule suivante dans l'un des tableaux : \u003d DEGREE (A2; 2) où A2 est l'adresse de la cellule dans laquelle la valeur en cours d'augmentation sera saisie carré fraction.Pour dire au programme que le numéro d'entrée doit être traité comme fraction yu (c'est-à-dire ne pas le convertir en décimal), tapez avant fractionème chiffre "0" et le signe "espace". Autrement dit, pour entrer, par exemple, la fraction 2/3, vous devez entrer : "0 2/3" (et appuyer sur Entrée). Dans ce cas, la ligne de saisie affichera la représentation décimale de la fraction saisie. La valeur et la représentation de la fraction directement dans seront conservées dans leur forme d'origine. De plus, lors de l'utilisation fonctions mathématiques, dont les arguments sont des fractions ordinaires, le résultat sera également représenté comme une fraction ordinaire. Ainsi carré la fraction 2/3 sera représentée par 4/9.