Tez hisoblash tezligi bo'yicha dastur. Boshlang'ich maktabda hisoblash shakllari

Bibliografik tavsif: Vladimirov A. I., Mixaylova V. V., Shmeleva S. P. Qiziqarli usullar tez hisoblash // Yosh olim. - 2016. - 6.1-son. - S. 15-17.03.2019 y.).

Kirish

Aqliy hisoblash - bu aql uchun gimnastika. Aqliy hisoblash - bu hisoblashning eng qadimgi usuli. Hisoblash ko'nikmalarini egallash xotirani rivojlantiradi va tabiiy va matematik sikl mavzularini o'zlashtirishga yordam beradi.

Oddiylashtirishning ko'plab usullari mavjud arifmetik amallar. Kalkulyatorda jadvallar va kalkulyator mavjud bo'lmagan hollarda soddalashtirilgan hisoblash texnikasini bilish ayniqsa muhimdir.

Biz qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish usullari haqida to'xtalib o'tmoqchimiz, ularni ishlab chiqarish uchun hisoblash yoki qalam va qog'ozdan foydalanish kifoya.

Mavzuni tanlash uchun motivatsiya hisoblash ko'nikmalarini shakllantirishni davom ettirish istagi, matematik operatsiyalar natijasini tez va aniq topish qobiliyati edi.

Hisoblash qoidalari va usullari ularning yozma yoki og'zaki bajarilishiga bog'liq emas. Biroq, og'zaki hisoblash ko'nikmalarini egallash katta ahamiyatga ega, chunki ular yozma hisob-kitoblarga qaraganda kundalik hayotda ko'proq qo'llaniladi. Bu ham muhim, chunki ular yozma hisob-kitoblarni tezlashtiradi, ratsional hisob-kitoblarda tajribaga ega bo'ladi va hisoblash ishlarida daromad keltiradi.

Matematika darslarida biz og'zaki hisob-kitoblarni ko'p qilishimiz kerak va o'qituvchi bizga 11 raqamiga qanday tez ko'paytirishni ko'rsatganida, bizda hali ham tez hisoblash usullari mavjudmi degan fikr bor edi. Biz o'z oldimizga tezkor hisoblashning boshqa usullarini topish va sinab ko'rish vazifasini qo'ydik.

b) maktabda yaxshi o'qish; (o'n olti%)

v) tez qaror qabul qilish; (o'n olti%)

d) savodli bo'lish; (52%)

2. O'qiyotganda qaysi maktab fanlarini to'g'ri hisoblashingiz kerakligini sanab bering ?

a) matematika; (80%)

b) fizika; (o'n besh%)

v) kimyo; (5%)

d) texnologiya;

e) musiqa;

3. Tez hisoblashni bilasizmi?

a) ha, juda ko'p;

b) ha, bir necha (85%);

v) yo'q, bilmayman (15%).

4. Hisoblashda tez hisoblash usullaridan foydalanasizmi?

b) yo'q (85%)

5. Tez hisoblash uchun tez hisoblash texnikasini o'rganmoqchimisiz?

b) yo'q (8%).

Suzishni o‘rganmoqchi bo‘lsangiz, suvga tushishingiz kerak, muammolarni hal qila olmoqchi bo‘lsangiz, ularni hal qilishdan boshlashingiz kerak, deyishadi. Lekin birinchi navbatda arifmetika asoslarini o'zlashtirish kerak. Tez hisoblashni o'rganish, ongda hisoblash faqat shu bilan mumkin katta istak va muammolarni hal qilishda tizimli o'qitish.

Ammo tez aqliy hisoblash usullari uzoq vaqtdan beri ma'lum. Gauss, fon Neumann, Euler yoki Wallis kabi ajoyib matematiklarning ajoyib aqliy arifmetik qobiliyatlari haqiqiy zavqdir. Bu haqda ko'p yozilgan. Biz ba'zi mashhur hisoblash sirlarini aytmoqchimiz va ko'rsatmoqchimiz. Va keyin sizning oldingizda butunlay boshqa matematika ochiladi. Jonli, foydali va tushunarli.

1. Tez ko‘paytirish usullari

1. BARMOQLAR BO'YICHA HISOBI

Birinchi o'nlikdagi raqamlarni 9 ga tez ko'paytirish usuli.

Aytaylik, biz 7 ni 9 ga ko'paytirishimiz kerak.

Keling, kaftlarimizni bizga qaratib qo'llarimizni aylantiramiz va ettinchi barmog'imizni egamiz (hisobdan boshlab bosh barmog'i chap).

Egilgan barmoqning chap tomonidagi barmoqlar soni o'nlab, o'ngda esa kerakli mahsulotning birliklari bo'ladi.

Guruch. 1. Barmoqlarni sanash

2. 10 dan 20 gacha sonlarni ko‘paytirish

Bunday raqamlarni ko'paytirish juda oson.

Raqamlardan biriga ikkinchisining birliklari sonini qo'shish, 10 ga ko'paytirish va sonlar birliklarining mahsulotini qo'shish kerak.

1-misol. 16∙18=(16+8) ∙ 10+6 ∙ 8=288 yoki

2-misol. 17 ∙ 17=(17+7) ∙ 10+7 ∙ 7=289.

Topshiriq: Tez ko‘paytiring 19 ∙ 13. Javob 19 ∙13=(19+3) ∙10 +9 ∙3=247.

3. 11 ga ko'paytiring

Raqamlari yig'indisi 10 dan oshmaydigan ikki xonali sonni 11 ga ko'paytirish uchun bu sonning raqamlarini bir-biridan uzoqlashtirish va ularning orasiga bu raqamlar yig'indisini qo'yish kerak.

72 ∙ 11 = 7 (7 + 2) 2 = 792;

35 ∙ 11 = 3 (3 + 5) 5 = 385.

Raqamlari yig'indisi 10 yoki 10 dan ortiq bo'lgan ikki xonali sonni 11 ga ko'paytirish uchun siz ushbu raqamning raqamlarini aqliy ravishda surishingiz, bu raqamlarning yig'indisini ularning orasiga qo'yishingiz va keyin birinchi raqamga bitta qo'shishingiz va tark etishingiz kerak. ikkinchi va oxirgi (uchinchi) o'zgarishsiz.

Misol .

94 ∙ 11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13) 4 = (9 + 1) 34 = 1034.

Vazifa: 54 ∙ 11 ni tez ko'paytiring (594)

Vazifa: 67∙ 11 ni tez ko'paytiring (737)

4. 22, 33, ..., 99 ga ko'paytirish

Ikki xonali sonni 22, 33, ..., 99 ga ko'paytirish uchun bu ko'paytma bir xonali sonning (2 dan 9 gacha) 11 ga ko'paytmasi sifatida ko'rsatilishi kerak, ya'ni 44 \u003d 4 11; 55 = 5 ∙ 11 va boshqalar. Keyin birinchi raqamlarning mahsulotini 11 ga ko'paytiring.

1-misol. 24 ∙ 22 = 24 ∙ 2 ∙ 11 = 48 ∙ 11 = 528

2-misol. 23 ∙ 33 = 23 ∙ 3 ∙ 11= 69 ∙ 11 = 759

Vazifa: 18∙44 ni ko'paytiring

5. 5 ga, 50 ga, 25 ga, 125 ga ko'paytiring.

Ushbu raqamlarga ko'paytirishda siz quyidagi iboralardan foydalanishingiz mumkin:

a ∙ 5=a ∙ 10:2 a ∙ 50=a ∙ 100:2

a ∙ 25=a ∙ 100:4 a ∙ 125=a ∙ 1000:8

Misol 1. 17 ∙ 5=17 ∙ 10:2=170:2=85

2-misol. 43 ∙ 50=43 ∙ 100:2=4300:2=2150

3-misol. 27 ∙ 25=27 ∙ 100:4=2700:4=675

4-misol. 96 ∙ 125=96:8 ∙ 1000=12 ∙ 1000=12000

Vazifa: 824∙25 ni ko'paytiring

Vazifa: 348∙50 ni ko'paytiring

&2. Tez bo'linish usullari

1. 5 ga, 50 ga, 25 ga bo‘linish

5 ga, 50 ga, 25 ga bo'lishda siz quyidagi iboralardan foydalanishingiz mumkin:

a:5= a ∙ 2:10 a:50=a ∙ 2:100

a:25=a ∙ 4:100

35:5=35 ∙ 2:10=70:10=7

3750:50=3750 ∙ 2:100=7500:100=75

6400:25=6400 ∙ 4:100=25600:100=256

&3. Natural sonlarni tez qo`shish va ayirish usullari.

Agar shartlardan biri bir necha birliklarga ko'paytirilsa, natijada olingan summadan bir xil sonli birliklar ayirilishi kerak.

Misol. 785+963=785+(963+7)-7=785+970-7= 1748

Agar shartlardan biri bir necha birliklarga oshirilsa, ikkinchisi esa bir xil songa kamaytirilsa, yig'indi o'zgarmaydi.

Misol. 762+639=(762+8)+(639-8)=770 + 631=1401

Agar ayirma bir necha birliklarga kamaytirilsa va minuend bir xil miqdordagi birliklarga ko'paytirilsa, farq o'zgarmaydi.

Misol. 529-435=(529-5)-(435+5)=524-440=84

Xulosa

Tez qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish, darajaga ko'tarish usullari mavjud. Biz tezda hisoblashning bir nechta usullarini ko'rib chiqdik.

Biz ko'rib chiqqan aqliy hisoblashning barcha usullari olimlar va oddiy odamlarning raqamlar bilan o'ynashga bo'lgan uzoq yillik qiziqishi haqida gapiradi. Ushbu usullarning ba'zilarini sinfda yoki uyda qo'llash orqali siz hisob-kitoblar tezligini rivojlantirishingiz, barcha maktab fanlarini o'rganishda muvaffaqiyatga erishishingiz mumkin.

Kalkulyatorsiz ko'paytirish xotira va matematik fikrlashni o'rgatishdir. Kompyuter texnologiyalari bugungi kungacha takomillashib bormoqda, lekin har qanday mashina odamlar unga qo'ygan narsalarni qiladi va biz hayotda bizga yordam beradigan aqliy hisoblashning ba'zi hiylalarini o'rgandik.

Biz loyiha ustida ishlashga qiziqdik. Hozircha biz faqat o'rganib chiqdik va tahlil qildik ma'lum usullar tezkor hisob.

Ammo kim biladi, balki kelajakda biz o'zimiz ham tez hisoblashning yangi usullarini kashf eta olamiz.

Adabiyot:

Arutyunyan E., Levitas G. Ko'ngilochar matematika.- M .: AST - PRESS, 1999. - 368 b.
Gardner M. Matematik mo''jizalar va sirlar. - M., 1978 yil.
Glazer G.I. Maktabda matematika tarixi. - M., 1981 yil.
"Birinchi sentyabr" Matematika No3 (15), 2007 y.
Tatarchenko T.D. Sinfda tez hisoblash usullari, "Maktabda matematika", 2008 yil, 7-son, 68-bet.
Og'zaki hisob / Comp. P.M.Kamaev. - M .: Chistye Prudy, 2007 - "Birinchi sentyabr" kutubxonasi, "Matematika" seriyasi. Nashr. 3(15).
http://portfolio.1september.ru/subject.php

Og'zaki hisoblash- bizning davrimizda kamroq va kamroq odamlarni bezovta qiladigan kasb. Telefoningizga kalkulyatorni olish va har qanday misolni hisoblash ancha oson.

Lekin haqiqatan ham shundaymi? Ushbu maqolada biz ongingizda raqamlarni tezda qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish usullarini o'rganishga yordam beradigan matematik usullarni taqdim etamiz. Bundan tashqari, birliklar va o'nliklarda emas, balki kamida ikki xonali va uch xonali raqamlarda ishlaydi.

Ushbu maqoladagi usullarni o'zlashtirgandan so'ng, kalkulyator uchun telefonga murojaat qilish g'oyasi endi unchalik yaxshi ko'rinmaydi. Axir siz vaqtni behuda sarflay olmaysiz va hamma narsani ongingizda tezroq hisoblab chiqa olmaysiz, lekin shu bilan birga miyangizni cho'zishingiz va boshqalarni (qarama-qarshi jinsdagi) hayratda qoldirishingiz mumkin emas.

Sizni ogohlantiramiz! Agar Siz oddiy odam, va bolalar vunderkindi emas, aqliy hisoblashni rivojlantirish uchun mashg'ulot va amaliyot, diqqatni jamlash va sabr-toqat talab qiladi. Avvaliga hamma narsa asta-sekin bo'lishi mumkin, lekin keyin hamma narsa muammosiz ketadi va siz tezda boshingizdagi istalgan raqamlarni hisoblashingiz mumkin.

Gauss va aqliy arifmetika

Aqliy hisoblashning fenomenal tezligiga ega bo'lgan matematiklardan biri mashhur Karl Fridrix Gauss (1777-1855) edi. Ha, ha, normal taqsimotni o'ylab topgan o'sha Gauss.

Unga ko'ra o'z so'zlari U gapirishdan oldin hisoblashni o'rgandi. Gauss 3 yoshga to'lganda, bola qaradi ish haqi fondi otasi va e'lon qildi: "Hisob-kitoblar noto'g'ri." Kattalar hamma narsani tekshirgandan so'ng, kichkina Gauss to'g'ri ekanligi ma'lum bo'ldi.

Kelajakda bu matematik katta cho'qqilarni zabt etdi va uning asarlari hali ham nazariy va amaliy fanlarda faol foydalanilmoqda. O'limigacha Gauss ko'p hisob-kitoblarni boshida qilgan.

Bu erda biz murakkab hisob-kitoblar bilan shug'ullanmaymiz, lekin eng oddiyidan boshlaymiz.

Miyangizga raqamlar qo'shish

Katta raqamlarni aqlingizga qanday qo'shishni o'rganish uchun siz ga qadar raqamlarni aniq qo'shishingiz kerak 10 . Oxir oqibat, har qanday murakkab vazifa bir nechta ahamiyatsiz harakatlarni bajarishga to'g'ri keladi.

Ko'pincha "o'tish" belgisi bilan raqamlarni qo'shishda muammolar va xatolar yuzaga keladi 10 ". Qo'shishda (va hatto ayirishda ham) "o'nlablarga tayanish" texnikasidan foydalanish qulay. Nima bu? Birinchidan, biz o'zimizga aqlan so'raymiz, bundan oldin atamalardan biri qanchalik etishmayotgan 10 , va keyin qo'shing 10 ikkinchi muddatgacha qolgan farq.

Masalan, raqamlarni qo'shamiz 8 va 6 . Chiqish uchun 8 olish 10 , yetarli emas 2 . Keyin 10 qo'shish qoladi 4=6-2 . Natijada biz quyidagilarni olamiz: 8+6=(8+2)+4=10+4=14

Katta raqamlarni qo'shishning asosiy hiylasi ularni bit qismlarga ajratish va keyin bu qismlarni birga qo'shishdir.

Aytaylik, ikkita raqamni qo'shishimiz kerak: 356 va 728 . Raqam 356 sifatida tasavvur qilish mumkin 300+50+6 . Xuddi shunday, 728 kabi ko'rinadi 700+20+8 . Endi biz qo'shamiz:

356+728=(300+700)+(50+20)+(8+6)=1000+70+14=1084

Fikringizdagi raqamlarni ayirish

Raqamlarni ayirish ham oson bo'ladi. Ammo qo'shimchadan farqli o'laroq, har bir raqam bit qismlarga bo'linadi, ayirish paytida siz faqat biz ayiradigan raqamni "buzishingiz" kerak.

Misol uchun, qancha bo'ladi 528-321 ? Raqamni ajratish 321 bit qismlarga bo'lib, biz quyidagilarni olamiz: 321=300+20+1 .

Endi biz ko'rib chiqamiz: 528-300-20-1=228-20-1=208-1=207

Qo'shish va ayirish jarayonini tasavvur qilishga harakat qiling. Maktabda hammaga ustun bo‘ylab, ya’ni yuqoridan pastga sanash o‘rgatilgan. Fikrlashni qayta qurish va hisoblashni tezlashtirish usullaridan biri bu yuqoridan pastga sanash emas, balki chapdan o'ngga, raqamlarni qismlarga ajratishdir.

Sizning fikringizdagi raqamlarni ko'paytirish

Ko'paytirish - bu sonning takroriy takrorlanishi. Agar ko'paytirish kerak bo'lsa 8 ustida 4 , bu raqamni bildiradi 8 takrorlash kerak 4 marta.

8*4=8+8+8+8=32

Hamma narsadan beri qiyin vazifalar oddiyroqlarga qisqartiriladi, siz hamma narsani ko'paytirishga qodir bo'lishingiz kerak yagona raqamlar. Buning uchun ajoyib vosita bor - ko'paytirish jadvali . Agar siz ushbu jadvalni yoddan bilmasangiz, avval uni o'rganishingizni va shundan keyingina aqliy hisoblash amaliyotini boshlashingizni tavsiya qilamiz. Bundan tashqari, u erda o'rganish uchun hech narsa yo'q.

Ko'p xonali sonlarni bir xonali raqamlarga ko'paytirish

Birinchidan, ko'p xonali sonlarni bir xonali raqamlarga ko'paytirishni mashq qiling. Keling, ko'paytiraylik 528 ustida 6 . Raqamni ajratish 528 saflarga bo'linib, kattadan kichikga o'ting. Biz avval ko'paytiramiz va keyin natijalarni qo'shamiz.

528=500+20+8

528*6=500*6+20*6+8*6=3000+120+48=3168

Aytmoqchi! O'quvchilarimiz uchun endi 10% chegirma mavjud

Ikki xonali sonlarni ko'paytirish

Bu erda ham murakkab narsa yo'q, faqat qisqa muddatli xotiradagi yuk biroz ko'proq.

Ko'paytiring 28 va 32 . Buning uchun biz butun operatsiyani bir xonali sonlar bilan ko'paytirishga qisqartiramiz. Tasavvur qiling 32 kabi 30+2

28*32=28*30+28*2=20*30+8*30+20*2+8*2=600+240+40+16=896

Yana bir misol. Keling, ko'paytiraylik 79 ustida 57 . Bu raqamni olishingiz kerakligini anglatadi " 79 » 57 bir marta. Keling, butun operatsiyani bosqichlarga ajratamiz. Avval ko'paytiramiz 79 ustida 50 , undan keyin - 79 ustida 7 .

79*50=(70+9)*50=3500+450=3950
79*7=(70+9)*7=490+63=553
3950+553=4503

11 ga ko'paytiring

Bu yerda ayyor hiyla har qanday ikki xonali sonni ko'paytirishga yordam beradigan tezkor aqliy hisoblash 11 ajoyib tezlikda.

Ikki xonali sonni ko'paytirish uchun 11 , biz raqamning ikkita raqamini bir-biri bilan qo'shamiz va olingan miqdorni asl raqamning raqamlari orasiga kiritamiz. Olingan uch xonali son asl raqamni ko'paytirish natijasidir 11 .

Tekshiring va ko'paytiring 54 ustida 11 .

5+4=9
54*11=594

Har qanday ikki xonali raqamni oling, uni ko'paytiring 11 va o'zingiz ko'ring - bu hiyla ishlaydi!

Kvadratga solish

Aqliy hisoblashning yana bir qiziqarli usuli yordamida siz ikki xonali sonlarni osongina va tez kvadratga olishingiz mumkin. Buni tugaydigan raqamlar bilan qilish ayniqsa oson 5 .

Natija ierarxiyadagi raqamning birinchi raqamidan keyingi raqamga ko'paytmasi bilan boshlanadi. Ya'ni, agar bu raqam bilan belgilansa n , keyin ierarxiyadagi keyingi raqam bo'ladi n+1 . Natijada oxirgi raqamning kvadrati, ya'ni kvadrat bilan tugaydi 5 .

Keling, tekshiramiz! Keling, raqamni kvadratga aylantiramiz 75 .

7*8=56
5*5=25
75*75=5625

Ongda raqamlarning bo'linishi

Bo'linish bilan shug'ullanish qoladi. Aslida, bu ko'paytirishning teskari operatsiyasi. gacha bo'linish bilan 100 hech qanday muammo yuzaga kelmasligi kerak - axir, siz yoddan biladigan ko'paytirish jadvali mavjud.

Bitta raqamga bo'linish

Ko'p xonali sonlarni bitta raqamga bo'lishda, ko'paytirish jadvali yordamida bo'linadigan eng katta qismni tanlash kerak.

Masalan, raqam bor 6144 , boʻlinish 8 . Ko'paytirish jadvalini eslang va buni tushuning 8 sonni ajratadi 5600 . Keling, misolni quyidagi shaklda tasavvur qilaylik:

6144:8=(5600+544):8=700+544:8

544:8=(480+64):8=60+64:8

Ajratish uchun chap 64 ustida 8 va bo'linishning barcha natijalarini qo'shib, natijani oling

64:8=8

6144:8=700+60+8=768

Ikki raqamga bo'linish

Ikki xonali songa bo'linganda, ikkita raqamni ko'paytirishda natijaning oxirgi raqami uchun qoidadan foydalanishingiz kerak.

Ikkita ko'p xonali sonni ko'paytirishda ko'paytirish natijasining oxirgi raqami har doim bu raqamlarning oxirgi raqamlarini ko'paytirish natijasining oxirgi raqamiga to'g'ri keladi.

Masalan, ko'paytiraylik 1325 ustida 656 . Qoida tariqasida, natijada olingan sondagi oxirgi raqam bo'ladi 0 , kabi 5*6=30 . Haqiqatan ham, 1325*656=869200 .

Endi, ushbu qimmatli ma'lumotlar bilan qurollangan holda, ikki xonali raqamga bo'linishni o'ylab ko'ring.

Qancha bo'ladi 4424:56 ?

Dastlab, biz "o'rnatish" usulidan foydalanamiz va natijada bo'lgan chegaralarni topamiz. ga ko'paytirilganda, biz raqamni topishimiz kerak 56 beradi 4424 . Intuitiv ravishda, keling, raqamni sinab ko'raylik 80.

56*80=4480

Shunday qilib, kerakli raqam kamroq 80 va aniqroq 70 . Keling, uning oxirgi raqamini aniqlaymiz. Uning ishi 6 raqam bilan tugashi kerak 4 . Ko'paytirish jadvaliga ko'ra, natijalar biz uchun mos keladi 4 va 9 . Bo'linish natijasi yoki raqam bo'lishi mumkin deb taxmin qilish mantiqan to'g'ri 74 , yoki 79 . Biz tekshiramiz:

79*56=4424

Bajarildi, yechim topildi! Agar raqam mos kelmasa 79 , ikkinchi variant, albatta, to'g'ri bo'ladi.

Xulosa qilib, biz bir nechtasini taqdim etamiz foydali maslahatlar, bu sizga og'zaki hisoblashni tezda o'rganishga yordam beradi:

Har kuni mashq qilishni unutmang;
agar natija siz xohlagan darajada tez kelmasa, mashg'ulotlarni to'xtatmang;
yuklab oling mobil ilova og'zaki hisoblash uchun: shuning uchun siz o'zingiz uchun misollar keltirishingiz shart emas;
Tez aqliy hisoblash texnikasi bo'yicha kitoblarni o'qing. Mavjud turli texnikalar arifmetika, va siz o'zingizga eng mos keladiganini o'zlashtira olasiz.

Mental arifmetikaning afzalliklari shubhasizdir. Amaliyot qiling va har kuni siz tezroq va tezroq hisoblaysiz. Va agar sizga murakkabroq va ko'p bosqichli vazifalarni hal qilishda yordam kerak bo'lsa, tez va malakali yordam uchun talabalar xizmati mutaxassislariga murojaat qiling!

Raqam hissi, minimal hisoblash qobiliyatlari nutq va yozish kabi inson madaniyatining bir xil elementidir. Va agar siz osongina ongingizda hisoblasangiz, unda siz haqiqat ustidan boshqa darajadagi nazoratni his qilasiz. Bundan tashqari, bunday mahorat aqliy qobiliyatlarni rivojlantiradi: ob'ektlar va narsalarga diqqatni jamlash, xotira, tafsilotlarga e'tibor va bilim oqimlari o'rtasida almashish. Va agar siz ongingizda qanday qilib tezda hisoblashni o'rganishga qiziqsangiz, buning siri oddiy: siz doimo mashq qilishingiz kerak.

Xotirani rivojlantirish: afsona yoki haqiqatmi?

Urug'lar kabi tenglamalarni ochadigan aqlli odamlar uchun matematika oson. Boshqa odamlarga o'rganish qiyinroq, ammo imkonsiz narsa yo'q, agar siz ko'p mashq qilsangiz, hamma narsa mumkin. Quyidagi matematik amallar mavjud: ayirish, qo'shish, ko'paytirish, bo'lish. Ularning har biri o'ziga xos xususiyatlarga ega. Barcha qiyinchiliklarni tushunish uchun siz ularni bir marta tushunishingiz kerak, keyin hamma narsa juda oson bo'ladi. Agar siz har kuni 10 daqiqa mashq qilsangiz, bir necha oy ichida siz munosib darajaga erishasiz va matematik raqamlarni hisoblash haqiqatini bilib olasiz.

Ko'p odamlar sizning fikringizdagi raqamlarni qanday o'zgartirishingiz mumkinligini tushunmaydi. Chetdan ahmoq va sezilmas ko'rinmasligi uchun qanday qilib raqamlar ustasi bo'lish mumkin? Qo'lda kalkulyator bo'lmasa, miya hisoblashga harakat qilib, ma'lumotni intensiv ravishda qayta ishlashni boshlaydi kerakli raqamlar ongda. Ammo hamma ham kerakli natijalarga erisha olmaydi, chunki har birimiz o'z chegaralariga ega individual shaxsmiz. Agar siz ongingizda tushunishni istasangiz, unda siz qalam, bloknot va sabr bilan qurollangan barcha kerakli ma'lumotlarni o'rganishingiz kerak.

Ko'paytirish jadvali kunni saqlaydi

Biz IQ darajasi 100 dan yuqori bo'lgan odamlar haqida gapirmaymiz, bunday shaxslar uchun maxsus talablar mavjud. Keling, ko'paytirish jadvali yordamida ko'plab manipulyatsiyalarni o'rganishi mumkin bo'lgan o'rtacha odam haqida gapiraylik. Xo'sh, qanday qilib sog'lik, kuch va vaqtni yo'qotmasdan ongda tezda hisoblash mumkin? Javob oddiy: ko'paytirish jadvalini yodlang! Aslida, bu erda hech qanday qiyin narsa yo'q, asosiysi bosim va sabr-toqatga ega bo'lishdir va raqamlarning o'zi sizning maqsadingizdan oldin taslim bo'ladi.

Bunday qiziqarli tashabbusni amalga oshirish uchun sizga sizni tekshira oladigan va ushbu bemor jarayonida sizga sherik bo'ladigan aqlli sherik kerak bo'ladi. Bilgan odam hatto eng dangasa talabaning ham xayolida. Tezda ko'payib ketganingizdan so'ng, aqliy hisoblash siz uchun odatiy holga aylanadi. Afsuski, sehrli usullar yo'q. Yangi mahoratni qanchalik tez egallash sizga bog'liq. Siz miyangizni nafaqat ko'paytirish jadvali yordamida mashq qilishingiz mumkin, balki yanada qiziqarli mashg'ulot mavjud - kitob o'qish.

Kitoblar va kalkulyatorsiz miyangizni mashq qiling

Hisoblash ishlarini og'zaki ravishda imkon qadar tezroq bajarishni o'rganish uchun siz doimo miyangizni yangi ma'lumotlar bilan tinchlantirishingiz kerak. Ammo umezada tez hisoblashni qanday o'rganish kerak qisqa vaqt? Siz xotirangizni faqat foydali kitoblar bilan o'rgatishingiz mumkin, buning yordamida nafaqat miyangizning ishi universal bo'ladi, balki bonus sifatida xotirani yaxshilaydi va foydali bilimlarga ega bo'ladi. Ammo kitob o'qish mashg'ulotning chegarasi emas. Kalkulyator haqida unutganingizdagina miyangiz ma'lumotni tezroq qayta ishlay boshlaydi. Har qanday holatda ham ongingizda hisoblashga harakat qiling, murakkab matematik misollar orqali o'ylab ko'ring. Ammo bularning barchasini o'zingiz qilishingiz qiyin bo'lsa, sizga hamma narsani tezda o'rgatadigan mutaxassisning yordamiga murojaat qiling.

Agar siz matematika bilan do'st bo'lmasangiz va tezda ongingizda hisoblashni qanday o'rganishni tushunish qiyin bo'lishi mumkin. yaxshi o'qituvchi bu vazifani osonlashtirishi mumkin. Ammo qiyinchiliklarga berilmang. Barcha kerakli tavsiyalarni o'rganib chiqib, siz tezda boshingizda qanday hisoblashni o'rganishingiz va tengdoshlaringizni yangi qobiliyatlar bilan ajablantirishingiz mumkin.

U bilan ishlash qobiliyati katta raqamlar- umumiy rivojlanishdan tashqariga chiqish.
Hisoblashning "hiylalarini" bilish barcha to'siqlarni tezda engib o'tishga yordam beradi.
Muntazamlik intensivlikdan ko'ra muhimroqdir.
Shoshmang, ritmingizni ushlashga harakat qiling.
Yodlash tezligiga emas, to'g'ri javoblarga e'tibor qarating.
Harakatlarni baland ovozda gapiring.
Agar bu sizga yordam bermasa, tushkunlikka tushmang, chunki asosiy narsa boshlashdir.

Qiyinchiliklar oldida hech qachon taslim bo'lmang

Trening davomida sizda javobini bilmagan ko'plab savollar bo'lishi mumkin. Bu sizni qo'rqitmasligi kerak. Axir, siz avvaliga tez hisoblashni bilolmaysiz oldindan tayyorgarlik. Doim olg'a yurgan kishigina yo'lni egallaydi. Qiyinchiliklar sizni tinchlantirishi kerak va nostandart imkoniyatlarga ega bo'lgan odamlarga qo'shilish istagini pasaytirmasligi kerak. Agar siz allaqachon marra chizig'ida bo'lsangiz ham, eng osoniga qayting, miyangizni mashq qiling, unga dam olishga imkon bermang. Va unutmangki, ma'lumotni qanchalik baland ovozda talaffuz qilsangiz, shunchalik tez eslab qolasiz.

Fikringizni tezda qanday hisoblashni o'rganish qiyin emas, bu faqat tajriba va tayyorgarlikni talab qiladi. Murakkab raqamlar bilan ishlash qobiliyati ko'pchilik ustidan nazorat darajasini oshiradi hayotiy jarayonlar, odamni ko'proq to'plangan va tartibli qiladi. Bundan tashqari, ongda tezkor hisoblash sizni chalg'itishga imkon beradi qayg'uli fikrlar, xotira, e'tibor va o'ziga ishonch hissini yaxshilaydi.

Tez aqliy hisoblashning xususiyatlari va afzalliklari

Deyarli har bir o'qimishli odam endi 20 tagacha bo'lgan raqamlar bilan ongida ishlay oladi. Biroq, uchta yoki undan ko'p raqamga ega bo'lgan qiymatlar bilan aqliy hisob-kitoblarni amalga oshirish allaqachon qiyin. Buni faqat shunday qilganlar qilishlari mumkin matematik operatsiyalar ongda muntazam ravishda, bularga matematiklar, olimlar, buxgalterlar va boshqalar kiradi.

Ushbu mutaxassislar kabi tez hisoblash ko'nikmalarini qanday egallash mumkin? Bu imkonsiz narsa emas. Har birimiz buni qilish uchun tabiiy qobiliyatga egamiz. Ba'zilar uchun ular ko'proq rivojlangan, boshqalari esa biroz o'qitilishi kerak. Trening uchun topshiriqlarni Internetda bepul topish mumkin. Siz barcha shaxsiy xususiyatlarni hisobga oladigan va kerakli ko'nikmalarni tezda egallashga yordam beradigan o'z metodologiyangizni ishlab chiqishingiz mumkin.

Ushbu biznesda muvaffaqiyatga erishish uchun quyidagi asosiy qoidalarga rioya qilish kerak:

muntazam mashg'ulotlar

Avval siz o'zingizning mashg'ulot rejimingizni ishlab chiqishingiz kerak, keyin esa, agar siz haqiqatan ham ta'sirchan natijalarga erishmoqchi bo'lsangiz, unga qat'iy rioya qiling. Birinchi oy davomida mashg'ulotlar kuniga bir marta 10-15 daqiqa davomida amalga oshirilishi kerak. Ularni uzoqroq qilish tavsiya etilmaydi, chunki siz juda charchashingiz va bu faoliyatni sovutishingiz mumkin.

Agar qiyin bo'lsa, unda siz bir yoki ikki kun tanaffus qilishingiz mumkin. Shoshilmang, texnikani o'z tezligingizda o'rganing. Tez hisoblashni o'rganish she'r o'rganishga o'xshaydi. Agar biror narsa darhol ishlamasa, orqaga qaytmang, mashq qilishni davom eting va muvaffaqiyat sizni kutishingizga olib kelmaydi.

diqqat va konsentratsiya

Bu juda muhim nuqta tez hisoblash usulini o'rganishda. Avvalo, siz murakkab raqamlar bilan ishlash algoritmini eslab qolishingiz kerak. Keyin mashg'ulot jarayonida u esda qoladi va uch va to'rt xonali raqamlar bilan ham ongda harakatni bajarish qiyin bo'lmaydi.

Miyani keraksiz ma'lumotlar bilan ortiqcha yuklamaslik va kerakli ko'nikmalarni tezda egallash uchun begona narsalar bilan chalg'itmaslikka harakat qiling.

ta'lim rejimiga rioya qilish

Bu muvaffaqiyatning asoslaridan biridir. Faqat sabr-toqat va o'z ustida muntazam ishlash sizga kerakli narsaga erishishga imkon beradi. Qachon mashg'ulot o'tkazishingiz uchun jadval tuzing. Hatto u erda har kuni bajarilgan mashqlar haqida ma'lumotni belgilashingiz mumkin.

motivatsiya

Bu ham muvaffaqiyat kalitlaridan biri bo‘lib, inson o‘z oldiga maqsad qo‘yganini ko‘rsa, u muayyan ko‘nikma va malakalarni egallashni talab qilsa ham, unga erishishga intiladi.

sabr

Har qanday biznesda muvaffaqiyatga erishish uchun hamma narsa darhol ishlamasa ham, sabr-toqat va sabr-toqat kerak. Hamma odamlar har xil, bu ko'nikmalarni egallash uchun kimdir ko'proq vaqt kerak, kimdir kamroq. Asosiysi, birinchi muvaffaqiyatsizliklardan keyin taslim bo'lmaslik.

Bundan tashqari, mashg'ulotni boshlashdan oldin, siz quyidagi asosiy fikrlarni hisobga olishingiz kerak:

tabiiy qobiliyatlar

Hamma odamlar ham tabiiy ravishda matematik fikrlash qobiliyatiga ega emas, shuning uchun tezlikni hisoblash algoritmlarini o'zlashtirish uchun ularga biroz ko'proq vaqt kerak bo'ladi. Faqat bu faktni texnikani o'rganmaslik uchun asosiy bahona qilmang.

matematik algoritmlarni bilish va tushunish

Bu oldindan o'rganilgan sxema bo'yicha ongda tezkor hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun kerak.

oziqlanish

Kuchli aqliy mashg'ulot davrida siz dietangizga miyani oziqlantirish uchun mahsulotlarni kiritishingiz kerak, masalan, juda mos keladi. yong'oq, asal, mevalar.

Ushbu ko'nikmalardan foydalangan holda, kalkulyator va boshqa hisoblash vositalaridan foydalanmasdan aqliy hisoblash operatsiyalarini bajarish juda yoqimli bo'ladi.

Asosiy texnikalar

Aqliy hisoblash ko'nikmalarini rivojlantirishning ko'plab usullari mavjud. Har kim o'zi uchun eng qulayini tanlashi mumkin. Raqamlar bilan to'rtta amal mavjud: qo'shish, ko'paytirish, ayirish, bo'lish.

Keyinchalik kerakli ko'nikmalarni rivojlantirish uchun algoritmni bir marta tushunish kifoya. Kuniga 10-15 daqiqa mashq qilish kifoya qiladi va keyin vaqti-vaqti bilan epizodik mashg'ulotlar bilan olingan qobiliyatlarni saqlab qoladi. Birinchi natijalar yarim oy ichida sezilarli bo'ladi va ikki yoki uch oy ichida siz munosib hisob darajasiga erisha olasiz.

tez qo'shish texnikasi

Bu mashg'ulot paytida boshlashning eng oson darajasi. Ikki xonali raqamlardan boshlash yaxshidir. Misol uchun, siz 23 va 51 raqamlarini qo'shishingiz kerak. Birinchidan, o'nliklarni qo'shing: 20+50 = 70, keyin qolgan miqdorga 3+1=4 qo'shing. Natijada biz 74 raqamini olamiz.

Ko'p xonali raqamlarni qo'shishni o'zlashtiring, shuningdek bo'lmaydi maxsus ish. Masalan, 342 va 741 raqamlarini qo'shamiz. Buning uchun bu raqamlarni mos ravishda 300, 40, 2 va 700, 40 va 1 raqamlariga ajratamiz. Keyin, ikki xonali raqamlarga o'xshab, biz ongimizga qo'shishni boshlaymiz: 300 + 700 = 1000, 40 + 40 = 80, 2 + 1 = 3, keyin 1000 + 80 + 3 = 1083 qo'shing.

tez ayirish texnikasi

Qo'shish bilan bo'lgani kabi, ikkita qiymatni ayirish qiyin emas. Keling, ikki xonali raqamlardan boshlaylik, masalan, 35 dan 23 raqamini ayirishimiz kerak. Keling, raqamlardan ham boshlaylik: 30-20 \u003d 10, 5-3 \u003d 2, keyin olingan qiymatlarni qo'shing 10 + 2 va kerakli raqamni oling 12.

Ko'p xonali raqamlarni ayirish ham oson, masalan, 377 dan 154 raqamini ayirish. Buning uchun raqamli qiymatlarni mos ravishda 300, 70, 7 va 100, 50 va 4 raqamlariga ajratamiz.

300-100 = 200, 70-50 = 20, 7-4 = 3 ni ayirib, keyin olingan raqamlarni qo'shing: 200+20+3 = 223.

Xuddi shu tarzda, siz ongingizdagi l raqamlarini yuqori bit chuqurligi bilan ayirishingiz mumkin.

tez ko'paytirish texnikasi

Ushbu protsedurani ko'paytirish jadvalini o'rganish orqali sezilarli darajada osonlashtirish mumkin. Biz bilamizki, ko'paytirish qo'shish amalini soddalashtirishdir. Masalan, 3 * 6 = 18, lekin aslida bu uchta oltitaning yig'indisi. Ko'paytirishda siz bit chuqurligi texnikasidan ham foydalanishingiz mumkin, masalan, 42 * 3 mahsulotini topishingiz kerak. Avval 2*3 = 6, 4*3 =12, keyin biz bu raqamlarni birlashtiramiz, oxirgisini birinchisidan oldin qo'yamiz, ya'ni. Biz 126 raqamini olamiz. Bu algoritm ikki xonali raqamlar mahsulotini hisoblash uchun mos.

Ongda uch xonali sonni ko'paytirishda texnika biroz boshqacha bo'ladi. Misol uchun, biz 421 va 372 sonlarini ko'paytirishimiz kerak. Bu erda qo'shimchani qo'llashimiz kerak. Biz ikkinchi raqamning har bir raqamiga navbat bilan 421 ni ko'paytiramiz: 421 * 2 = 842, 421 * 7 = 2942, 421 * 3 = 1263, keyin bit chuqurligini ofset bilan kuzatib, ushbu raqamlarni qo'shing: 2000 + 1000 = 12000 800 + 900 + 200 = 29800 , 40+40+60=6440, 2+7+3 = 372, natijada 156612 raqamini olamiz.

Uch xonali sonlarni ko'paytirishda, ayniqsa, ongingizda raqamlarni qo'shish bilan xato qilmaslik uchun ehtiyot bo'lishingiz kerak.

tez bo'linish texnikasi

Ongda bir xonali va ikki xonali sonlarning bo'linishi ko'ra amalga oshiriladi oddiy printsip ko'paytirish jadvalidan foydalanish. Misol uchun, biz ko'paytirish jadvalini eslab, 35 ni 5 ga bo'lishimiz kerak, natijada 7 bo'lishini oldindan bilamiz.

Ko'p xonali raqamlarni bo'lish biroz qiyinroq. Masalan, biz 345 ni 5 ga bo'lamiz, biz buni bit chuqurligini hisobga olgan holda ham qilamiz: 300/5 \u003d 60, 45/5 \u003d 9, keyin 60 + 9 qo'shing va kerakli raqamni 69 ni oling.

Ko'rib turganingizdek, ongda har qanday hisob-kitoblarni amalga oshirish printsipi bit chuqurligi printsipiga asoslanadi.

Bilish kerak

Tezda ongda hisoblash qobiliyatiga ega bo'lish inson uchun muhim afzallikdir, chunki bunday qobiliyatlarga faqat cheklangan miqdordagi odamlar ega. Biroq, quyidagi fikrlarni hisobga olish kerak:

olingan ko'nikmalarni muntazam ravishda saqlab turish;
o'quv jarayonida matematik amallarni ovoz chiqarib gapira olish;
haddan oshib ketmang.

Yo'l yurgan tomonidan o'zlashtiriladi. Faqatgina sabr-toqat va motivatsiya bilan tez matematik hisoblash qobiliyatini yodda tutish mumkin. uzoq vaqt.

Ongingizda tez hisoblashni o'rganish imkonsiz ish emas. Har bir inson tez matematik hisob-kitoblar texnikasini egallashi mumkin, bu qat'iyatlilik, diqqatni jamlash va muntazam mashg'ulotlarni talab qiladi. Ushbu mahoratga ega bo'lishning ko'plab usullari mavjud, har kim o'zi uchun eng ko'p yoqtirganini tanlashi mumkin. Tez hisoblash operatsiyalarini ongda amalga oshirish bit chuqurligi printsipiga asoslanadi.

Ushbu maqola "Boshlang'ich darajada ongingizda qanday va qanchalik tez hisoblaysiz?" mavzusidan ilhomlangan. va S.A.ning texnikalarini yoyishga chaqiriladi. Og'zaki hisoblash uchun Rachinskiy.
Rachinskiy 19-asrda qishloq maktablarida dars bergan va ko'rsatgan ajoyib o'qituvchi edi o'z tajribasi tez aqliy hisoblash malakasini rivojlantirish mumkinligi. Uning shogirdlari uchun shunga o'xshash misolni hisoblash juda qiyin emas edi:

Dumaloq raqamlardan foydalanish

Eng keng tarqalgan aqliy hisoblash usullaridan biri shundaki, har qanday raqam raqamlarning yig'indisi yoki farqi sifatida ifodalanishi mumkin, ulardan biri yoki bir nechtasi "dumaloq":

Chunki ustida 10 , 100 , 1000 va boshqa dumaloq raqamlarni tezroq ko'paytirish uchun siz hamma narsani oddiy operatsiyalarga kamaytirishingiz kerak 18x100 yoki 36x10. Shunga ko'ra, dumaloq raqamni "bo'lish" va keyin "dum" qo'shish orqali qo'shish osonroq: 1800 + 200 + 190 .
Yana bir misol:
31 x 29 = (30 + 1) x (30 - 1) = 30 x 30 - 1 x 1 = 900 - 1 = 899.

Bo'lish orqali ko'paytirishni soddalashtiring

Aqliy hisoblaganda, butun son bilan emas, balki dividend va bo'linuvchi bilan ishlash qulayroqdir (masalan, 5 shaklida mavjud 10:2 , a 50 sifatida 100:2 ):
68 x 50 = (68 x 100) : 2 = 6800: 2 = 3400; 3400: 50 = (3400 x 2) : 100 = 6800: 100 = 68.
Xuddi shunday, ko'paytirish yoki bo'lish 25 , hammasidan keyin; axiyri 25 = 100:4 . Misol uchun,
600: 25 = (600: 100) x 4 = 6 x 4 = 24; 24 x 25 = (24 x 100) : 4 = 2400: 4 = 600.
Endi ongda ko'payish mumkin emasdek tuyuladi 625 ustida 53 :
625 x 53 = 625 x 50 + 625 x 3 = (625 x 100) : 2 + 600 x 3 + 25 x 3 = (625 x 100) : 2 + 1800 + (20 + 5) x 3 = = (60000 +) 2500): 2 + 1800 + 60 + 15 = 30000 + 1250 + 1800 + 50 + 25 = 33000 + 50 + 50 + 25 = 33125.

Ikki xonali sonni kvadratga solish

Ma'lum bo'lishicha, har qanday ikki xonali sonni oddiygina kvadrat qilish uchun barcha raqamlarning kvadratlarini eslab qolish kifoya 1 oldin 25 . Yaxshi, to'rtburchaklar 10 Biz allaqachon ko'paytirish jadvalidan bilamiz. Qolgan kvadratlarni quyidagi jadvalda ko'rish mumkin:

Rachinskiyni qabul qilish quyidagicha. Har qanday ikki xonali sonning kvadratini topish uchun bu raqam va orasidagi farq kerak 25 ga ko'paytiring 100 va hosil bo'lgan ko'paytmaga berilgan sonning to'ldiruvchisining kvadratini qo'shing 50 yoki uning ortiqligi kvadrati ustidan 50 -Yu. Misol uchun,
37^2 = 12 x 100 + 13^2 = 1200 + 169 = 1369; 84^2 = 59 x 100 + 34^2 = 5900 + 9 x 100 + 16^2 = 6800 + 256 = 7056;
Umuman ( M- ikki xonali raqam):

Keling, uch xonali sonni kvadratga solishda ushbu hiylani qo'llashga harakat qilaylik, avval uni kichikroq shartlarga ajratamiz:
195^2 = (100 + 95)^2 = 10000 + 2 x 100 x 95 + 95^2 = 10000 + 9500 x 2 + 70 x 100 + 45^2 = 10000 + (90+5) x 2 x 100 + + 7000 + 20 x 100 + 5^2 = 17000 + 19000 + 2000 + 25 = 38025.
Hmm, bu stackingdan ko'ra osonroq deb aytmagan bo'lardim, lekin vaqt o'tishi bilan siz bunga ko'nikishingiz mumkin.
Va, albatta, siz ikki xonali raqamlarni kvadrat bilan mashq qilishni boshlashingiz kerak va u erda siz allaqachon ongingizda demontajga erishishingiz mumkin.

Ikki xonali sonlarni ko'paytirish

Ushbu qiziqarli uslub Rachinskiyning 12 yoshli talabasi tomonidan ixtiro qilingan va dumaloq raqamni qo'shish variantlaridan biridir.
Birliklar yig'indisi 10 ga teng bo'lgan ikkita ikki xonali son berilsin:
M = 10m + n, K = 10a + 10 - n.
Ularning mahsulotlarini tuzib, biz quyidagilarni olamiz:

Masalan, hisoblab chiqamiz 77x13. Bu raqamlarning birliklari yig'indisi ga teng 10 , chunki 7 + 3 = 10 . Avval kichikroq raqamni kattasining oldiga qo'ying: 77 x 13 = 13 x 77.
Dumaloq raqamlarni olish uchun biz uchta birlikni olamiz 13 va ularni qo'shing 77 . Endi yangi raqamlarni ko'paytiramiz 80x10, va natijaga biz tanlangan mahsulotni qo'shamiz 3 eski raqamning farqiga birliklar 77 va yangi raqam 10 :
13 x 77 = 10 x 80 + 3 x (77 - 10) = 800 + 3 x 67 = 800 + 3 x (60 + 7) = 800 + 3 x 60 + 3 x 7 = 800 + 180 + 21 = 800 + 201 = 1001.
Ushbu yondashuv mavjud maxsus holat: ikkita omil mavjud bo'lganda hamma narsa juda soddalashtiriladi bir xil raqam o'nlab. Bunday holda, o'nliklar soni undan keyingi raqamga ko'paytiriladi va natijaga bu raqamlar birliklarining mahsuloti kiradi. Keling, ushbu texnikaning qanchalik oqlanganligini misol bilan ko'rib chiqaylik.
48x42. O'nlab soni 4 , keyingi raqam: 5 ; 4 x 5 = 20 . Birlik mahsuloti: 8x2= 16 . Shunday qilib, 48 x 42 = 2016.
99x91. O'nlab soni: 9 , keyingi raqam: 10 ; 9 x 10 = 90 . Birlik mahsuloti: 9 x 1 = 09 . Shunday qilib, 99 x 91 = 9009.
Ha, ya'ni ko'payish uchun 95x95, hisoblash uchun etarli 9 x 10 = 90 va 5 x 5 = 25 va javob tayyor:
95 x 95 = 9025.
Keyin oldingi misolni biroz osonroq hisoblash mumkin:
195^2 = (100 + 95)^2 = 10000 + 2 x 100 x 95 + 95^2 = 10000 + 9500 x 2 + 9025 = 10000 + (90+5) x 2 x 100 + 9000 + 100 = + 19000 + 1000 + 8000 + 25 = 38025.

Xulosa o'rniga

Ko'rinib turibdiki, nima uchun 21-asrda siz shunchaki bo'ysunishingiz mumkin bo'lsa, aql bilan hisoblashingiz mumkin ovozli buyruq smartfon? Ammo agar u nafaqat yuklasa, insoniyatga nima bo'lishini o'ylab ko'rsangiz jismoniy ish, balki har qanday ruhiy? Bu kamsituvchimi? Agar siz aqliy hisoblashni o'z-o'zidan maqsad deb hisoblamasangiz ham, u ongni tinchlantirish uchun juda mos keladi.

Ma'lumotnomalar:
“S.A. maktabida aqliy arifmetika uchun 1001 ta topshiriq. Rachinskiy.