uy > Abraziv moddalar

Kvadrat tenglamaning ildizlarini topish algoritmi berilgan. Kvadrat tenglamani yechish algoritmini tuzamiz

1. Diskriminantni toping D formula bo'yicha D= -4ac.

2. Agar D<0, то квадратное уравнение не имеет корней.

3. Agar D=0 bo‘lsa, tenglama bitta ildizga ega bo‘ladi:

4. Agar D>0 bo'lsa, tenglama ikkita ildizga ega bo'ladi:

Endi tenglamamizni yechishni boshlaylik 3 -10x+3=0,

Bu yerda =3, b=-10 va c=3.

Diskriminantni topish:

D= -4*3*3=64

D>0 bo'lgani uchun bu tenglama ikkita ildizga ega. Biz ularni topamiz:

; .

Shunday qilib, polinomning ildizlari f(x)=3 -10+3 3 va raqamlari bo'ladi.

Horner sxemasi

Horner sxemasi(yoki Horner qoidasi, Xorner usuli) - oʻzgaruvchining berilgan qiymati uchun koʻphadlar (monomillar) yigʻindisi sifatida yoziladigan koʻphadning qiymatini hisoblash algoritmi. . U, o'z navbatida, raqam berilgan ko'phadning ildizi yoki yo'qligini aniqlashga yordam beradi.

Birinchidan, polinom qanday bo'linishini ko'rib chiqing f(x) binomga g(x).

Buni quyidagicha yozish mumkin: f(x):g(x)=n(x), qayerda f(x)- dividend, g(x) - bo'luvchi a n(x)- xususiy.

Ammo qachon bo'lsa f(x) ga bo'linmaydi g(x) ifodaning umumiy belgisi mavjud

Bu erda r(x) darajasi< deg s(x), в таком случае можно сказать, что делится на с остатком .

Ko‘phadni binomga bo‘lish masalasini ko‘rib chiqaylik. Bo'lsin

,

olamiz

Bu erda r raqam, chunki r ning darajasi (x-c) darajasidan kichik bo'lishi kerak.

Keling, ko'paytiraylik s(x) yoqing va oling

Shunday qilib, binomialga bo'linganda, olingan formulalardan bo'linmaning koeffitsientlarini aniqlash mumkin. Koeffitsientlarni aniqlashning bu usuli Horner sxemasi deb ataladi.

...
+ ...
c ... r

Endi Horner sxemasini qo'llashning bir nechta misollarini ko'rib chiqamiz.

Misol. Ko‘p nomli bo‘linishni bajaring f(x)= ustida x+3.

Yechim. Boshida yozish kerak x+3) sifatida ( x-(-3)), chunki aniq -3 sxemaning o'zida ishtirok etadi.Yuqori qatorga koeffitsientlarni, pastki qatorga - harakatlar natijasini yozamiz.


f(x)=(x-2)(1)+16.

Horner sxemasi bo'yicha ildizlarni topish. Ildiz turlari

Xorner sxemasiga ko'ra, ko'phadning butun ildizlarini topish mumkin f(x). Keling, buni bir misol bilan ko'rib chiqaylik.

Misol. Ko‘phadning barcha butun ildizlarini toping f(x)= , Horner sxemasidan foydalangan holda.

Yechim. Bu polinomning koeffitsientlari butun sonlardir. Eng yuqori darajadan oldingi koeffitsient (bizning holimizda oldingi) birga teng. Shuning uchun biz ko'phadning butun ildizlarini erkin atamaning bo'luvchilari orasidan qidiramiz (bizda 15 bor), bu raqamlar:

Keling, 1 raqamidan boshlaylik.

№1-jadval

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38

Olingan jadvaldan ko'rinib turibdiki, =1 uchun ko'phadning ko'phad f(x)= , biz 0 emas, r=192 qoldiqni oldik, demak, birlik ildiz emas. Shuning uchun biz tekshirishni =-1 da davom ettiramiz. Buning uchun biz yangi jadval yaratmaymiz, balki eskisini davom ettiramiz va endi kerak bo'lmagan ma'lumotlarni kesib o'tamiz.

2-jadval

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22

Jadvaldan ko'rinib turibdiki, oxirgi katak nolga teng bo'lib chiqdi, ya'ni r=0. Natijada? -1 soni bu ko'phadning ildizidir. Ko'phadli ko'phadimizni bo'lish f(x)= bo'yicha ()=x+1 ko'phadni oldik

f(x)=(x+1)(),

2-jadvalning uchinchi qatoridan olingan koeffitsientlar.

Biz ekvivalent yozuvni ham qilishimiz mumkin

(x+1)(). Uni belgilang (1)

Endi butun sonli ildizlarni qidirishni davom ettirish kerak, ammo hozir biz ko'phadning ildizlarini qidiramiz. Biz bu ildizlarni ko'phadning erkin hadi, 45 raqami orasidan qidiramiz.

Keling, yana -1 raqamini tekshiramiz.

№3-jadval

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22

Shunday qilib, -1 soni ko'phadning ildizidir, uni shunday yozish mumkin

Tenglikni (2) hisobga olib, (1) tenglikni quyidagi shaklda yozishimiz mumkin

Endi biz polinomning ildizlarini yana erkin atamaning bo'luvchilari orasidan qidiramiz. Keling, yana -1 raqamini tekshiramiz.

4-jadval

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21

Jadvalga ko'ra -1 soni ko'phadning ildizi ekanligini ko'ramiz.

Berilgan (3*) tenglikni (2*) quyidagicha yozishimiz mumkin:

Endi biz ning ildizini qidiramiz. Yana erkin atamaning bo'luvchilariga qaraymiz. -1 raqami bilan yana tekshirishni boshlaylik.

Jadval raqami 5

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21
+ -1
-1 -2 -19

Biz nolga teng bo'lmagan qoldiqni oldik, ya'ni -1 soni ko'phadning ildizi emas. Keling, keyingi 1 raqamini tekshiramiz.

6-jadval

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21
+ -1
-1 -2 -19
+ -21
-21

Va biz yana u mos kelmasligini ko'ramiz, qolgan r(x) = 24. Biz yangi raqamni olamiz.

Keling, 3 raqamini tekshiramiz.

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21
+ -1
-1 -2 -19
+ -21
-21
+ -45
-15

7-jadval

r(x)= 0, bu 3 soni ko‘phadning ildizi ekanligini bildiradi, bu ko‘phadni quyidagicha yozishimiz mumkin:

=(x-3)( )

Olingan ifodani hisobga olib, (5) tenglikni quyidagicha yozishimiz mumkin:

(x-3)( ) (6)

Keling, polinomni tekshirib ko'ramiz

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21
+ -1
-1 -2 -19
+ -21
-21
+ -45
-15
+

8-jadval

Jadvalga asoslanib, biz 3 raqami ko'phadning ildizi ekanligini ko'ramiz . Endi quyidagilarni yozamiz:

Olingan ifodani hisobga olgan holda (5*) tenglikni quyidagicha yozamiz:

(x-3)()= = .

Erkin terminning boʻluvchilari orasidan binomning ildizini toping.

Keling, 5 raqamini olaylik

№ 9-jadval

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21
+ -1
-1 -2 -19
+ -21
-21
+ -45
-15
+
+ -5
-5

r(x)=0, demak, 5 binomialning ildizidir.

Shunday qilib, biz yozishimiz mumkin

Qaror bu misol jadval raqami 8 bo'ladi.

Jadvaldan ko'rinib turibdiki, -1;3;5 raqamlari ko'phadning ildizlari hisoblanadi.

Endi to'g'ridan-to'g'ri murojaat qilaylik ildiz turlari.

1 - uchinchi darajaning ildizi, chunki qavs (x + 1) uchinchi darajada;

3- ikkinchi darajali ildiz, ikkinchi darajali qavs (x-3);

5 - birinchi darajaning ildizi yoki boshqacha aytganda, oddiy.

Muhim eslatmalar!
1. Agar formulalar o'rniga abrakadabrani ko'rsangiz, keshni tozalang. Buni brauzeringizda qanday qilish kerakligi bu erda yozilgan:
2. Maqolani o'qishni boshlashdan oldin, eng ko'p bizning navigatorimizga e'tibor bering foydali resurs uchun

"Kvadrat tenglama" atamasida kalit so'z "kvadrat" dir. Bu shuni anglatadiki, tenglama majburiy ravishda kvadratda o'zgaruvchini (bir xil X) o'z ichiga olishi kerak va shu bilan birga uchinchi (yoki undan katta) darajada X bo'lmasligi kerak.

Ko'p tenglamalar yechimi kvadrat tenglamalar yechimiga keltiriladi.

Keling, bizda boshqa emas, balki kvadrat tenglama borligini aniqlashni o'rganaylik.

1-misol

Maxrajdan xalos bo'ling va tenglamaning har bir a'zosini ko'paytiring

Keling, hamma narsani chap tomonga o'tkazamiz va shartlarni x ning darajalarining kamayish tartibida joylashtiramiz

Endi biz buni aniq aytishimiz mumkin berilgan tenglama kvadrat!

2-misol

Chap va o'ng tomonlarni ko'paytiring:

Bu tenglama, garchi dastlab unda bo'lsa ham, kvadrat emas!

3-misol

Keling, hamma narsani ko'paytiramiz:

Qo'rqinchlimi? To'rtinchi va ikkinchi darajalar ... Ammo, agar biz almashtirsak, biz oddiy kvadrat tenglamaga ega ekanligimizni ko'ramiz:

4-misol

Bu shunday tuyuladi, lekin keling, batafsilroq ko'rib chiqaylik. Keling, hamma narsani chap tomonga o'tkazamiz:

Ko'ryapsizmi, u qisqardi - va endi bu oddiy chiziqli tenglama!

Endi quyidagi tenglamalardan qaysi biri kvadratik, qaysi biri emasligini aniqlashga harakat qiling:

Misollar:

Javoblar:

  1. kvadrat;
  2. kvadrat;
  3. kvadrat emas;
  4. kvadrat emas;
  5. kvadrat emas;
  6. kvadrat;
  7. kvadrat emas;
  8. kvadrat.

Matematiklar shartli ravishda barcha kvadrat tenglamalarni quyidagi turlarga ajratadilar:

  • To‘liq kvadrat tenglamalar- koeffitsientlari va, shuningdek, c erkin termini nolga teng bo'lmagan tenglamalar (misoldagi kabi). Bundan tashqari, to'liq kvadrat tenglamalar orasida bor berilgan koeffitsienti bo'lgan tenglamalar (birinchi misoldagi tenglama nafaqat to'liq, balki qisqartirilgan!)
  • Tugallanmagan kvadrat tenglamalar- koeffitsient va yoki erkin c hadi nolga teng bo'lgan tenglamalar:

    Ular to'liq emas, chunki ularda ba'zi element yo'q. Ammo tenglama har doim x kvadratini o'z ichiga olishi kerak !!! Aks holda, u endi kvadratik emas, balki boshqa tenglama bo'ladi.

Nega ular bunday bo'linish bilan kelishdi? X kvadrati borga o'xshaydi va yaxshi. Bunday bo'linish hal qilish usullari bilan bog'liq. Keling, ularning har birini batafsil ko'rib chiqaylik.

Tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish

Birinchidan, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni echishga e'tibor qarataylik - ular ancha sodda!

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar quyidagi turlarga bo'linadi:

  1. , bu tenglamada koeffitsient teng.
  2. , bu tenglamada erkin muddat ga teng.
  3. , bu tenglamada koeffitsient va erkin muddat tengdir.

1. i. Biz qanday qilib qazib olishni bilamiz Kvadrat ildiz, keyin bu tenglamadan ifodalaymiz

Ifoda salbiy yoki ijobiy bo'lishi mumkin. Kvadrat son manfiy bo'lishi mumkin emas, chunki ikkita manfiy yoki ikkita musbat sonni ko'paytirishda natija har doim ijobiy son bo'ladi, shuning uchun: agar, u holda tenglamaning yechimlari yo'q.

Va agar bo'lsa, biz ikkita ildiz olamiz. Bu formulalarni eslab qolish shart emas. Asosiysi, siz doimo bilishingiz va bundan kam bo'lmasligini yodda tutishingiz kerak.

Keling, ba'zi misollarni hal qilishga harakat qilaylik.

5-misol:

Tenglamani yeching

Endi chap va o'ng qismlardan ildizni olish qoladi. Axir, siz ildizlarni qanday chiqarishni eslaysizmi?

Javob:

Salbiy belgili ildizlar haqida hech qachon unutmang!!!

6-misol:

Tenglamani yeching

Javob:

7-misol:

Tenglamani yeching

Voy! Raqamning kvadrati manfiy bo'lishi mumkin emas, ya'ni tenglama

ildiz yo'q!

Ildizlari bo'lmagan bunday tenglamalar uchun matematiklar maxsus belgi bilan kelishdi - (bo'sh to'plam). Va javobni quyidagicha yozish mumkin:

Javob:

Shunday qilib, bu kvadrat tenglama ikkita ildizga ega. Bu erda hech qanday cheklovlar yo'q, chunki biz ildizni chiqarmadik.
8-misol:

Tenglamani yeching

Qavslar ichidan umumiy omilni chiqaramiz:

Shunday qilib,

Bu tenglamaning ikkita ildizi bor.

Javob:

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarning eng oddiy turi (ularning barchasi oddiy bo'lsa-da, to'g'rimi?). Shubhasiz, bu tenglama har doim faqat bitta ildizga ega:

Bu erda biz misollarsiz qilamiz.

To'liq kvadrat tenglamalarni yechish

Sizga eslatib o'tamizki, to'liq kvadrat tenglama bu erdagi tenglamaning tenglamasidir

To'liq kvadrat tenglamalarni echish berilganlarga qaraganda biroz murakkabroq (birozgina).

Eslab qoling, diskriminant yordamida har qanday kvadrat tenglamani yechish mumkin! Hatto to'liqsiz.

Qolgan usullar buni tezroq bajarishga yordam beradi, lekin kvadrat tenglamalar bilan bog'liq muammolar mavjud bo'lsa, avval diskriminant yordamida yechimni o'zlashtiring.

1. Diskriminant yordamida kvadrat tenglamalarni yechish.

Kvadrat tenglamalarni shu tarzda yechish juda oddiy, asosiysi amallar ketma-ketligini va bir nechta formulalarni eslab qolishdir.

Agar, u holda tenglamaning ildizi bor Maxsus e'tibor qadam chizish. Diskriminant () bizga tenglamaning ildizlari sonini bildiradi.

  • Agar bo'lsa, qadamdagi formula ga qisqartiriladi. Shunday qilib, tenglama faqat ildizga ega bo'ladi.
  • Agar bo'lsa, biz qadamda diskriminantning ildizini chiqara olmaymiz. Bu tenglamaning ildizi yo'qligini ko'rsatadi.

Keling, tenglamalarimizga qaytaylik va bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

9-misol:

Tenglamani yeching

1-qadam o'tkazib yuborish.

2-qadam

Diskriminantni topish:

Demak, tenglamaning ikkita ildizi bor.

3-qadam

Javob:

10-misol:

Tenglamani yeching

Tenglama standart shaklda, shuning uchun 1-qadam o'tkazib yuborish.

2-qadam

Diskriminantni topish:

Demak, tenglama bitta ildizga ega.

Javob:

11-misol:

Tenglamani yeching

Tenglama standart shaklda, shuning uchun 1-qadam o'tkazib yuborish.

2-qadam

Diskriminantni topish:

Bu shuni anglatadiki, biz diskriminantdan ildizni ajratib ololmaymiz. Tenglamaning ildizlari yo'q.

Endi biz bunday javoblarni qanday qilib to'g'ri yozishni bilamiz.

Javob: ildizlari yo'q

2. Kvadrat tenglamalarni Vyeta teoremasi yordamida yechish.

Esingizda bo'lsa, kamaytirilgan deb ataladigan tenglamalar turi mavjud (a koeffitsienti teng bo'lganda):

Bunday tenglamalarni Vyeta teoremasi yordamida yechish juda oson:

Ildizlarning yig'indisi berilgan kvadrat tenglama teng, ildizlarning hosilasi esa teng.

12-misol:

Tenglamani yeching

Bu tenglama Vyeta teoremasi yordamida yechish uchun mos keladi, chunki .

Tenglamaning ildizlari yig'indisi, ya'ni. birinchi tenglamani olamiz:

Va mahsulot:

Keling, tizimni yaratamiz va hal qilamiz:

  • Va. summasi;
  • Va. summasi;
  • Va. Miqdor teng.

va tizimning yechimi:

Javob: ; .

13-misol:

Tenglamani yeching

Javob:

14-misol:

Tenglamani yeching

Tenglama qisqartirildi, ya'ni:

Javob:

KVADRATIK TENGLAMALAR. O'RTACHA DARAJASI

Kvadrat tenglama nima?

Boshqacha qilib aytganda, kvadrat tenglama ko'rinishdagi tenglama bo'lib, bu erda - noma'lum, - ba'zi sonlar, bundan tashqari.

Raqam eng yuqori yoki deyiladi birinchi koeffitsient kvadrat tenglama, - ikkinchi koeffitsient, lekin - bepul a'zo.

Nega? Chunki agar, tenglama darhol chiziqli bo'ladi, chunki yo'qoladi.

Bu holda, va nolga teng bo'lishi mumkin. Ushbu najasda tenglama to'liq emas deb ataladi. Agar barcha shartlar joyida bo'lsa, ya'ni tenglama to'liq bo'ladi.

Har xil turdagi kvadrat tenglamalar yechimlari

Tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish usullari:

Boshlash uchun biz to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni echish usullarini tahlil qilamiz - ular oddiyroq.

Quyidagi tenglama turlarini ajratish mumkin:

I. , bu tenglamada koeffitsient va erkin muddat tengdir.

II. , bu tenglamada koeffitsient teng.

III. , bu tenglamada erkin muddat ga teng.

Endi ushbu kichik turlarning har birining yechimini ko'rib chiqing.

Shubhasiz, bu tenglama har doim faqat bitta ildizga ega:

Kvadrat soni manfiy bo'lishi mumkin emas, chunki ikkita manfiy yoki ikkita musbat sonni ko'paytirishda natija har doim ijobiy son bo'ladi. Shunung uchun:

agar, u holda tenglamaning yechimlari yo'q;

agar bizda ikkita ildiz bo'lsa

Bu formulalarni eslab qolish shart emas. Esda tutish kerak bo'lgan asosiy narsa shundaki, u kamroq bo'lishi mumkin emas.

Misollar:

Yechimlar:

Javob:

Salbiy belgi bilan ildizlar haqida hech qachon unutmang!

Raqamning kvadrati manfiy bo'lishi mumkin emas, ya'ni tenglama

ildizlari yo'q.

Muammoning yechimlari yo'qligini qisqacha yozish uchun biz bo'sh to'plam belgisidan foydalanamiz.

Javob:

Demak, bu tenglamaning ikkita ildizi bor: va.

Javob:

Qavslar ichidan umumiy omilni chiqaramiz:

Agar omillardan kamida bittasi bo'lsa, mahsulot nolga teng nol. Bu shuni anglatadiki, tenglama quyidagi hollarda yechimga ega:

Demak, bu kvadrat tenglama ikkita ildizga ega: va.

Misol:

Tenglamani yeching.

Yechim:

Tenglamaning chap tomonini faktorlarga ajratamiz va ildizlarini topamiz:

Javob:

To'liq kvadrat tenglamalarni yechish usullari:

1. Diskriminant

Kvadrat tenglamalarni shu tarzda yechish oson, asosiysi harakatlar ketma-ketligini va bir nechta formulalarni eslab qolishdir. Esingizda bo'lsin, har qanday kvadrat tenglama diskriminant yordamida echilishi mumkin! Hatto to'liqsiz.

Ildiz formulasida diskriminantning ildizini payqadingizmi? Ammo diskriminant salbiy bo'lishi mumkin. Nima qilish kerak? Biz 2-bosqichga alohida e'tibor qaratishimiz kerak. Diskriminant bizga tenglamaning ildizlari sonini aytadi.

  • Agar, tenglamaning ildizi bo'lsa:
  • Agar, tenglama bir xil ildizga ega bo'lsa, lekin aslida bitta ildiz bo'lsa:

    Bunday ildizlar qo'sh ildiz deyiladi.

  • Agar, u holda diskriminantning ildizi chiqarilmaydi. Bu tenglamaning ildizi yo'qligini ko'rsatadi.

Nima uchun ildizlarning soni har xil? Keling, kvadrat tenglamaning geometrik ma'nosiga murojaat qilaylik. Funktsiyaning grafigi parabola:

Muayyan holatda, ya'ni kvadrat tenglama, . Va bu kvadrat tenglamaning ildizlari x o'qi (o'qi) bilan kesishish nuqtalari ekanligini anglatadi. Parabola o'qni umuman kesib o'tmasligi yoki uni bitta (parabola tepasi o'qda yotganda) yoki ikkita nuqtada kesishi mumkin.

Bundan tashqari, koeffitsient parabola shoxlarining yo'nalishi uchun javobgardir. Agar, u holda parabolaning shoxlari yuqoriga, agar bo'lsa - pastga yo'naltiriladi.

Misollar:

Yechimlar:

Javob:

Javob: .

Javob:

Bu hech qanday yechim yo'qligini anglatadi.

Javob: .

2. Vyeta teoremasi

Vieta teoremasidan foydalanish juda oson: siz shunchaki mahsuloti tenglamaning erkin muddatiga teng bo'lgan juft raqamlarni tanlashingiz kerak va yig'indisi qarama-qarshi belgi bilan olingan ikkinchi koeffitsientga teng.

Shuni yodda tutish kerakki, Vyeta teoremasi faqat qo'llanilishi mumkin berilgan kvadrat tenglamalar ().

Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik:

1-misol:

Tenglamani yeching.

Yechim:

Bu tenglama Vyeta teoremasi yordamida yechish uchun mos keladi, chunki . Boshqa koeffitsientlar: ; .

Tenglama ildizlarining yig'indisi:

Va mahsulot:

Keling, ko'paytmasi teng bo'lgan shunday juft raqamlarni tanlaymiz va ularning yig'indisi teng yoki yo'qligini tekshiramiz:

  • Va. summasi;
  • Va. summasi;
  • Va. Miqdor teng.

va tizimning yechimi:

Shunday qilib, va bizning tenglamamizning ildizlari.

Javob: ; .

2-misol:

Yechim:

Biz mahsulotda keladigan raqamlar juftligini tanlaymiz va keyin ularning yig'indisi teng yoki yo'qligini tekshiramiz:

va: jami ber.

va: jami ber. Uni olish uchun siz faqat da'vo qilingan ildizlarning belgilarini o'zgartirishingiz kerak: va, albatta, ish.

Javob:

3-misol:

Yechim:

Tenglamaning erkin hadi manfiy, shuning uchun ildizlarning mahsuloti manfiy sondir. Bu ildizlardan biri salbiy, ikkinchisi esa ijobiy bo'lsagina mumkin. Shunday qilib, ildizlarning yig'indisi ularning modullarining farqlari.

Biz mahsulotda beradigan va farqi teng bo'lgan bunday juft raqamlarni tanlaymiz:

va: ularning farqi - mos emas;

va: - mos kelmaydi;

va: - mos kelmaydi;

va: - mos. Faqat ildizlardan biri salbiy ekanligini eslash qoladi. Ularning yig'indisi teng bo'lishi kerakligi sababli, mutlaq qiymatidan kichikroq bo'lgan ildiz manfiy bo'lishi kerak: . Biz tekshiramiz:

Javob:

4-misol:

Tenglamani yeching.

Yechim:

Tenglama qisqartirildi, ya'ni:

Erkin atama salbiy, shuning uchun ildizlarning mahsuloti salbiy. Va bu tenglamaning bir ildizi manfiy, ikkinchisi esa ijobiy bo'lgandagina mumkin.

Biz mahsuloti teng bo'lgan raqamlar juftlarini tanlaymiz va keyin qaysi ildizlarda salbiy belgi bo'lishi kerakligini aniqlaymiz:

Shubhasiz, faqat ildizlar va birinchi shartga mos keladi:

Javob:

5-misol:

Tenglamani yeching.

Yechim:

Tenglama qisqartirildi, ya'ni:

Ildizlarning yig'indisi manfiy, ya'ni kamida bitta ildiz manfiy. Ammo ularning mahsuloti ijobiy bo'lgani uchun, bu ikkala ildizning ham minus ekanligini anglatadi.

Biz ko'paytmasi teng bo'lgan bunday juft raqamlarni tanlaymiz:

Shubhasiz, ildizlar raqamlar va.

Javob:

Qabul qiling, bu juda qulay - bu yomon diskriminantni hisoblash o'rniga, ildizlarni og'zaki ravishda ixtiro qilish. Vieta teoremasidan iloji boricha tez-tez foydalanishga harakat qiling.

Ammo Vieta teoremasi ildizlarni topishni osonlashtirish va tezlashtirish uchun kerak. Undan foydalanish foydali bo'lishi uchun siz harakatlarni avtomatlashtirishga olib kelishingiz kerak. Va buning uchun yana beshta misolni hal qiling. Lekin aldamang: siz diskriminantdan foydalana olmaysiz! Faqat Viet teoremasi:

Mustaqil ish uchun topshiriqlar yechimlari:

1-topshiriq. ((x)^(2))-8x+12=0

Vyeta teoremasiga ko'ra:

Odatdagidek, tanlovni mahsulot bilan boshlaymiz:

Miqdori tufayli mos emas;

: miqdor sizga kerak bo'lgan narsadir.

Javob: ; .

Vazifa 2.

Va yana, bizning sevimli Vyeta teoremasi: yig'indi ishlashi kerak, lekin mahsulot teng.

Lekin bo'lmasligi kerakligi sababli, lekin, biz ildizlarning belgilarini o'zgartiramiz: va (jami).

Javob: ; .

Vazifa 3.

Hmm... Qayerda?

Barcha shartlarni bir qismga o'tkazish kerak:

Ildizlarning yig'indisi mahsulotga teng.

Ha, to'xtang! Tenglama berilmagan. Ammo Vyeta teoremasi faqat berilgan tenglamalarda amal qiladi. Shunday qilib, avval siz tenglamani keltirishingiz kerak. Agar siz buni keltira olmasangiz, bu fikrni tashlab, uni boshqa yo'l bilan hal qiling (masalan, diskriminant orqali). Sizga shuni eslatib o'tamanki, kvadrat tenglamani keltirish, etakchi koeffitsientni quyidagilarga tenglashtirishni anglatadi:

Yaxshi. Keyin ildizlarning yig'indisi teng bo'ladi va mahsulot.

Bu erda olish osonroq: axir - asosiy raqam (tavtologiya uchun uzr).

Javob: ; .

Vazifa 4.

Erkin atama salbiy. Buning nimasi o'ziga xos? Va ildizlarning turli belgilar bo'lishi haqiqatdir. Va endi, tanlov vaqtida biz ildizlarning yig'indisini emas, balki ularning modullari orasidagi farqni tekshiramiz: bu farq teng, lekin mahsulot.

Shunday qilib, ildizlar teng va, lekin ulardan biri minus bilan. Vietaning teoremasi bizga ildizlarning yig'indisi qarama-qarshi belgili ikkinchi koeffitsientga teng ekanligini aytadi, ya'ni. Bu shuni anglatadiki, kichikroq ildiz minusga ega bo'ladi: va, chunki.

Javob: ; .

Vazifa 5.

Avval nima qilish kerak? To'g'ri, tenglamani keltiring:

Yana: biz sonning omillarini tanlaymiz va ularning farqi teng bo'lishi kerak:

Ildizlar teng va, lekin ulardan biri minus. Qaysi? Ularning yig'indisi teng bo'lishi kerak, ya'ni minus bilan kattaroq ildiz bo'ladi.

Javob: ; .

Xulosa qilib beraman:
  1. Vyeta teoremasi faqat berilgan kvadrat tenglamalarda qo'llaniladi.
  2. Vieta teoremasidan foydalanib, siz tanlab, og'zaki ildizlarni topishingiz mumkin.
  3. Agar tenglama berilmagan bo'lsa yoki erkin atamaning mos omillar jufti topilmasa, unda butun son ildizlari yo'q va siz uni boshqa usulda (masalan, diskriminant orqali) echishingiz kerak.

3. To'liq kvadrat tanlash usuli

Agar noma'lumni o'z ichiga olgan barcha atamalar qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan atamalar sifatida ifodalangan bo'lsa - yig'indi yoki ayirma kvadrati - u holda o'zgaruvchilar o'zgargandan so'ng, tenglama turdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama sifatida ifodalanishi mumkin.

Misol uchun:

1-misol:

Tenglamani yeching: .

Yechim:

Javob:

2-misol:

Tenglamani yeching: .

Yechim:

Javob:

IN umumiy ko'rinish transformatsiya quyidagicha ko'rinadi:

Bu shuni anglatadiki: .

Bu sizga hech narsani eslatmaydimi? Bu diskriminant! Aynan shunday diskriminant formulasi olingan.

KVADRATIK TENGLAMALAR. ASOSIY HAQIDA QISQA

Kvadrat tenglama ko'rinishdagi tenglama, bu erda noma'lum, kvadrat tenglamaning koeffitsientlari, erkin haddir.

To‘liq kvadrat tenglama- koeffitsientlari nolga teng bo'lmagan tenglama.

Qisqartirilgan kvadrat tenglama- koeffitsienti bo'lgan tenglama, ya'ni: .

Tugallanmagan kvadrat tenglama- koeffitsient va yoki erkin c hadi nolga teng bo'lgan tenglama:

  • Agar koeffitsient bo'lsa, tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: ,
  • agar erkin atama bo'lsa, tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: ,
  • agar va, tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: .

1. Tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish algoritmi

1.1. Ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama, bu erda, :

1) noma'lumni ifodalang: ,

2) ifoda belgisini tekshiring:

  • agar tenglamaning yechimlari bo'lmasa,
  • bo'lsa, tenglama ikkita ildizga ega.

1.2. Ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama, bu erda, :

1) Qavslar ichidan umumiy ko‘rsatkichni chiqaramiz: ,

2) Komillarning kamida bittasi nolga teng bo'lsa, mahsulot nolga teng. Shunday qilib, tenglama ikkita ildizga ega:

1.3. Shaklning to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamasi, bu erda:

Bu tenglama har doim faqat bitta ildizga ega: .

2. Bu yerda ko‘rinishdagi to‘liq kvadrat tenglamalarni yechish algoritmi

2.1. Diskriminant yordamida yechim

1) Biz tenglamani keltiramiz standart ko'rinish: ,

2) Diskriminantni formuladan foydalanib hisoblang: , bu tenglamaning ildizlari sonini bildiradi:

3) tenglamaning ildizlarini toping:

  • agar, u holda tenglamaning ildizi bo'lsa, ular quyidagi formula bo'yicha topiladi:
  • agar, u holda tenglamaning ildizi bo'lsa, u formula bilan topiladi:
  • bo'lsa, tenglamaning ildizlari yo'q.

2.2. Vieta teoremasi yordamida yechim

Qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisi (shakldagi tenglama, bu erda) teng, ildizlarning mahsuloti esa teng, ya'ni. , lekin.

2.3. To'liq kvadrat yechim

Ko'rinishdagi kvadrat tenglamaning ildizlari bo'lsa, u holda uni quyidagicha yozish mumkin: .

Xo'sh, mavzu tugadi. Agar siz ushbu satrlarni o'qiyotgan bo'lsangiz, unda siz juda zo'rsiz.

Chunki odamlarning atigi 5 foizi o‘zlari biror narsani o‘zlashtira oladi. Va agar siz oxirigacha o'qigan bo'lsangiz, unda siz 5% ga kirgansiz!

Endi eng muhimi.

Siz ushbu mavzu bo'yicha nazariyani aniqladingiz. Va takror aytaman, bu ... shunchaki ajoyib! Siz allaqachon tengdoshlaringizning aksariyatidan yaxshiroqsiz.

Muammo shundaki, bu etarli bo'lmasligi mumkin ...

Sabab?

Muvaffaqiyatli uchun imtihondan o'tish, institutga byudjet bo'yicha va ENG MUHIM, umrbod qabul qilish uchun.

Men sizni hech narsaga ishontirmayman, faqat bitta narsani aytaman ...

Qabul qilgan odamlar yaxshi ta'lim, uni olmaganlarga qaraganda ko'proq pul ishlang. Bu statistika.

Lekin bu asosiy narsa emas.

Asosiysi, ular ko'proq BAXTLI (bunday tadqiqotlar mavjud). Ehtimol, ularning oldida ko'proq imkoniyatlar ochilib, hayot yanada yorqinroq bo'ladimi? Bilmayman...

Lekin o'zingiz o'ylab ko'ring...

Imtihonda boshqalardan yaxshiroq bo'lish va oxir-oqibat ... baxtli bo'lish uchun nima qilish kerak?

SHU MAVZU BO'YICHA MUAMMOLARNI YECHIB QO'LINGIZNI TO'LDIRING.

Imtihonda sizdan nazariya so'ralmaydi.

Sizga kerak bo'ladi muammolarni o'z vaqtida hal qilish.

Va agar siz ularni hal qilmagan bo'lsangiz (KO'P!), Agar biror joyda ahmoqona xatoga yo'l qo'yasiz yoki o'z vaqtida qilolmaysiz.

Bu xuddi sportdagidek - aniq g'alaba qozonish uchun ko'p marta takrorlash kerak.

To'plamni istalgan joydan toping albatta yechimlari bilan batafsil tahlil va qaror qiling, qaror qiling, qaror qiling!

Siz bizning vazifalarimizdan foydalanishingiz mumkin (kerak emas) va biz ularni albatta tavsiya qilamiz.

Vazifalarimiz yordamida yordam berish uchun siz hozir o'qiyotgan YouClever darsligining ishlash muddatini uzaytirishga yordam berishingiz kerak.

Qanday? Ikkita variant mavjud:

  1. Ushbu maqoladagi barcha yashirin vazifalarga kirishni oching -
  2. Qo'llanmaning barcha 99 ta maqolasidagi barcha yashirin vazifalarga kirishni oching - Darslik sotib oling - 499 rubl

Ha, bizda darslikda 99 ta shunday maqola bor va barcha topshiriqlarga kirish va ulardagi barcha yashirin matnlarni darhol ochish mumkin.

Barcha yashirin vazifalarga kirish saytning butun umri davomida taqdim etiladi.

Yakunida...

Bizning vazifalarimiz sizga yoqmasa, boshqalarni toping. Faqat nazariya bilan to'xtamang.

"Tushundim" va "Men qanday hal qilishni bilaman" - bu mutlaqo boshqa ko'nikmalar. Sizga ikkalasi ham kerak.

Muammolarni toping va hal qiling!

slayd 2

A.G. darsligi boʻyicha 8-sinf algebra darslarining kvadrat tenglamalar sikli. Mordkovich

O'qituvchi MBOU Grushevskaya o'rta maktabi Kireeva T.A.

slayd 3

Maqsadlar: kvadrat tenglama, kvadrat tenglamaning ildizi tushunchalari bilan tanishtirish; kvadrat tenglamalar yechimlarini ko'rsatish; kvadrat tenglamalarni yechish qobiliyatini shakllantirish; kvadrat tenglamaning ildizlari formulasidan foydalanib, to‘liq kvadrat tenglamalarni yechish yo‘lini ko‘rsating.

slayd 4

slayd 5

Bir oz tarix Qadimgi Bobildagi kvadrat tenglamalar. Nafaqat birinchi, balki ikkinchi darajali tenglamalarni echish zarurati, hatto antik davrda ham er maydonlarini topish bilan bog'liq muammolarni hal qilish zarurati bilan bog'liq edi. tuproq ishlari harbiy tabiat, shuningdek, astronomiya va matematikaning o'zi rivojlanishi bilan. Bobilliklar kvadrat tenglamalarni yechishni bizning imonimizdan taxminan 2000 yil oldin bilishgan. Zamonaviy algebraik yozuvlarni qo'llagan holda, ularning mixxat yozuvlarida to'liq bo'lmaganlardan tashqari, masalan, to'liq kvadrat tenglamalar borligini aytish mumkin.

slayd 6

Bobil matnlarida bayon qilingan bu tenglamalarni yechish qoidasi hozirgi zamonga to‘g‘ri keladi, ammo bobilliklar bu qoidaga qanday kelgani ma’lum emas. Hozirgacha topilgan deyarli barcha mixxat yozuvlari retseptlar ko'rinishida keltirilgan yechimlar bilan bog'liq muammolarni beradi, ular qanday topilganligi ko'rsatilmaydi. Ga qaramasdan yuqori daraja Bobilda algebraning rivojlanishi, manfiy son tushunchasi va kvadrat tenglamalarni yechishning umumiy usullari mixxat yozuvlarida mavjud emas.

Slayd 7

Ta'rif 1. Kvadrat tenglama a, b, c koeffitsientlari istalgan ko'rinishdagi tenglamadir. haqiqiy raqamlar, va Polinom kvadrat trinom deyiladi. a - birinchi yoki eng yuqori koeffitsient c - ikkinchi koeffitsient c - erkin atama

Slayd 8

Ta'rif 2. Kvadrat tenglama, uning yetakchi koeffitsienti 1 ga teng bo'lsa, qisqartirilgan deyiladi; agar yetakchi koeffitsient 1 dan farq qilsa, kvadrat tenglama kamaytirilmagan deb ataladi. Misol. 2 - 5 + 3 = 0 - qisqartirilmagan kvadrat tenglama - qisqartirilgan kvadrat tenglama

Slayd 9

Ta'rif 3. To'liq kvadrat tenglama - bu uchta haddan iborat bo'lgan kvadrat tenglama. a + in + c \u003d 0 To'liq bo'lmagan kvadrat tenglama - bu uchta shart ham mavjud bo'lmagan tenglama; c koeffitsientlaridan kamida bittasi nolga teng bo'lgan tenglamadir.

Slayd 10

Tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish usullari.

slayd 11

24.16-sonli topshiriqlarni yeching (a, b) Tenglamani yeching: yoki Javob. yoki Javob.

slayd 12

Ta'rif 4 Kvadrat tenglamaning ildizi x o'zgaruvchining kvadrat uch a'zosi yo'qolib ketadigan har qanday qiymatidir; x oʻzgaruvchisining bunday qiymati kvadrat uch aʼzoning ildizi deb ham ataladi.Kvadrat tenglamani yechish uning barcha ildizlarini topish yoki ildizlari yoʻqligini aniqlashni bildiradi.

slayd 13

Kvadrat tenglamaning diskriminanti D 0 D=0 Tenglamaning ildizlari yo‘q Tenglama ikkita ildizga ega Tenglama bitta ildizga ega Kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalar

Slayd 14

D>0 kvadrat tenglamaning ikkita ildizi bor, ular misol formulalari orqali topiladi. Tenglamani yechish. a \u003d 3, b \u003d 8, c \u003d -11, Javob: 1; -3

slayd 15

Kvadrat tenglamani yechish algoritmi 1. D = 2 formula yordamida diskriminant D ni hisoblang. Agar D 0 bo lsa, kvadrat tenglama ikkita ildizga ega bo ladi.

Dasturlash Lazar maktab o'quvchilari uchun.

Dars raqami 12.

Kvadrat tenglamani yechish.

Matytsin Igor Vladimirovich

Matematika va informatika o'qituvchisi

bilan MBOU o'rta maktabi. qiz

Maqsad: har qanday kiritish berilgan kvadrat tenglamani yechish dasturini yozish.

Qiz 2013.

Kvadrat tenglama eng keng tarqalgan maktab kurs tenglamalaridan biridir. Buni hal qilish juda oson bo'lsa-da, ba'zida javoblarni tekshirish kerak. Buning uchun siz foydalanishingiz mumkin oddiy dastur. Uni yozish ko'p vaqt talab qilmaydi.

Kvadrat tenglamaning o'zidan boshlashingiz kerak. Algebra kursidan bilamizki, kvadrat tenglama shakldagi tenglamadir bolta 2 + bx + c =0, qayerda x - o'zgaruvchan, a , b va c - ba'zi raqamlar, va a .

Ta'rifdan ko'rinib turibdiki, tenglamada faqat koeffitsientlar o'zgaradi a , b Va c . Bu parametrlarni biz dasturimizga kiritamiz va buning uchun komponentlardan uchta kiritish maydoni yaratamiz.

14.1-rasm Koeffitsientlarni kiritish maydonlari.

Bundan tashqari, ta'rifdan kelib chiqadi a . Bunday holda, tenglama kvadrat bo'lmaydi. Va biz birinchi navbatda bu holatni tekshiramiz. Operator yordamida “Yechish” tugmasi va uning hodisa ishlab chiqaruvchisini yaratamiz agar holatini tekshiring a . Va agar a =0 tenglamamiz kvadrat emas deymiz.Bu tugma uchun hodisa ishlov beruvchisi:protsedurasi TForm1.Button1Click(Sender: TObject); var a,b,c:real; start a:=strtofloat(edit1.Text); b:=strtofloat(edit2.Text); c:=strtofloat(edit3.Text); agar a=0 bo'lsa Label4.Caption:="Tenglama kvadrat emas";oxiri;

Guruch. 14.2 Tenglama mavjudligini tekshirish.

Endi tenglama kvadrat bo'lsa, nima sodir bo'lishini tasvirlash kerak. Bu ham xuddi shu bayonotda bo'ladi agar so'zdan keyin boshqa va birikma operatoridan foydalanganda.

Agar tenglama kvadrat bo'lsa, uni darhol diskriminant formulasi va kvadrat tenglamaning ildizlari yordamida yechamiz.

Diskriminantni quyidagi formula bo'yicha topamiz: D := b * b – 4* a * c ;

Agar diskriminant noldan kichik bo'lsa, tenglamaning yechimlari yo'q. Bu quyidagicha tavsiflanadi:

Agar d keyin teg 4. Sarlavha :='Tenglamaning yechimi yo'q' boshqa …

Undan keyin boshqa formulalar yordamida tenglamaning ildizlarini to'g'ridan-to'g'ri qidirish bo'ladi:

X1:=(-b+sqrt(D))/2*a;

X2:=(-b-sqrt(D))/2*a;

Bu erda to'liq operator kodi agar :

agar a=0 bo'lsa, Label4.Caption:="Tenglama kvadrat emas"

boshlanishi

D:=b*b-4*a*c;

agar d

boshlanishi

X1:=(-b+sqrt(D))/2*a;

X2:=(-b-sqrt(D))/2*a;

Label4.Caption:="X1="+floattostr(x1)+" X2="+floattostr(x2);

oxiri;

oxiri;

Guruch. 14.3 Kvadrat tenglama dasturining ishchi oynasi.

Kvadrat tenglama a*x^2 +b*x+c=0 koʻrinishdagi tenglama boʻlib, bu yerda a,b,c baʼzi ixtiyoriy haqiqiy (haqiqiy) sonlar, x esa oʻzgaruvchidir. Va soni a=0.

a,b,c sonlar koeffitsientlar deyiladi. a - soni yetakchi koeffitsient, b soni x da koeffitsient, c soni esa erkin a'zo deyiladi.

Kvadrat tenglamalarni yechish

Kvadrat tenglamani yechish deganda uning barcha ildizlarini topish yoki kvadrat tenglamaning ildizi yo‘qligini aniqlash tushuniladi. a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 kvadrat tenglamaning ildizi x o'zgaruvchining istalgan qiymati bo'lib, shunday qilib kvadrat trinomial a*x^2 +b*x+c yo‘qoladi. Ba'zan x ning bunday qiymati kvadrat trinomialning ildizi deb ataladi.

Kvadrat tenglamalarni yechishning bir qancha usullari mavjud. Ulardan birini ko'rib chiqing - eng ko'p qirrali. U har qanday kvadrat tenglamani yechish uchun ishlatilishi mumkin.

Kvadrat tenglamalarni yechish formulalari

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi a*x^2 +b*x+c=0.

x=(-b±√D)/(2*a), bu yerda D =b^2-4*a*c.

Ushbu formula a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 tenglamasini umumiy shaklda yechish orqali, binomial kvadratini ajratib ko'rsatish orqali olinadi.

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasida D (b^2-4*a*c) ifoda a*x^2 +b*x+c=0 kvadrat tenglamaning diskriminanti deyiladi. Bu nom kelib chiqqan lotin, tarjimada "ajratish". Diskriminantning qiymatiga qarab, kvadrat tenglama ikkita yoki bitta ildizga ega bo'ladi yoki umuman ildizi bo'lmaydi.

Diskriminant noldan katta bo'lsa, u holda kvadrat tenglama ikkita ildizga ega bo'ladi. (x=(-b±√D)/(2*a))

Diskriminant nolga teng bo'lsa, u holda kvadrat tenglama bitta ildizga ega. (x=(-b/(2*a))

Diskriminant salbiy bo'lsa, u holda kvadrat tenglamaning ildizlari yo'q.

Kvadrat tenglamani yechishning umumiy algoritmi

Yuqorida aytilganlarga asoslanib, a*x^2 +b*x+c=0 kvadrat tenglamasini quyidagi formula yordamida yechishning umumiy algoritmini tuzamiz:

1. D =b^2-4*a*c formulasi yordamida diskriminantning qiymatini toping.

2. Diskriminantning qiymatiga qarab, formulalar yordamida ildizlarni hisoblang:

D<0, корней нет.

D=0, x=(-b/(2*a)

D>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)

Ushbu algoritm universal va har qanday kvadrat tenglamalarni echish uchun mos keladi. To'liq va to'liqsiz, iqtibos keltirilmagan va keltirilmagan.

Biz ham tavsiya qilamiz

Yuklanmoqda...Yuklanmoqda...